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专题 24 圆锥曲线综合大题归类
目录
题型一： 大题基础：五个方程...........................................................................................................................................1
题型二：直线横截式.............................................................................................................................................................2
题型三：直线“双变量”型过定点.....................................................................................................................................3
题型四：面积最值范围型.....................................................................................................................................................4
题型五：面积比值范围型.....................................................................................................................................................5
题型六：定值型.....................................................................................................................................................................6
题型七：斜率“和”型.........................................................................................................................................................7
题型八：斜率“积”型.........................................................................................................................................................8
题型九：斜率“比值”型.....................................................................................................................................................8
题型十：斜率复合型...........................................................................................................................................................10
题型十一：切线型...............................................................................................................................................................10
题型十二：三角函数型转化难题.......................................................................................................................................12
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点...................................................................................................................13
题型十四：非对称型...........................................................................................................................................................14
题型十五：点代入型...........................................................................................................................................................15
题型一： 大题基础：五个方程
基本模板实战模板
1、设点，
2、方程1：设直线： -----此处还有千言万语，在后边分类细说。
3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去
分母
4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立
后方程
的二次项能否为零-----这就是实战经验。
5、（1） ； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必
须考虑。
6、方程4、5：韦达定理
7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话
1．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知动点 在抛物线 上， ，点 到
的准线的距离为 ，且 的最小值为5.
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 交于 两点，且直线 的斜率与直线 的斜率之积为 ，求 的斜率.
2．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C与双曲线 有相同的焦点，且椭圆C过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C的左焦点为F，过F作直线l与椭圆C交于A、B两点，若弦 中点在直线 上，求直线l的方程．
3．（2024·四川南充·一模）已知动点 与定点 的距离和P到定直线 的距离的比是常数
，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点 ，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且 ， ，求直线FM
的斜率.
4．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知双曲线 及直线 .
(1)若 与 有两个不同的交点，求实数 的取值范围；
(2)若 与 交于 两点， 是坐标原点，且 的面积为 ，求实数 的值.
题型二：直线横截式
（1）直线AB方程为 ，联立曲线方程，
结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点
的情况；
（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.
1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知双曲线 的左、右顶点分别为
，离心率为 .过点 的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线 的斜
率分别为 ．(1)若 ，求： ；
(2)证明： 为定值．
2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C： ，若椭圆的焦距为4且经过点
，过点 的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线 与x轴不垂直，在x轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出s的值；
若不存在，说明理由．
3．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知焦距为 的椭圆 的右焦点为 ，
右顶点为 ，过F作直线 与椭圆 交于 、 两点（异于点 ），当 轴时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 是钝角．4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆 ： 的右焦点F在直线
上，A，B分别为 的左、右顶点，且 .
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线 交C于M，N两点，使得直线 ， 的斜率之和等于-1？若存在，求
出 的方程；若不存在，请说明理由.
题型三：直线“双变量”型过定点
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型： ，依旧得讨论k是否存
在情况
当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。
（1）
（2） ，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。
设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实
（3）
际上也没有特别大的计算优势。如第1题。
重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：
（4）
一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定
点的理论根据之一。
1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离相
等，若动点 的轨迹记为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)不过点 的直线与 交于横坐标不相等的A，B两点，且 ，若 的垂直平分线交 轴于
点 ，证明： 为定点．
2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆 ，点 为椭圆上顶点，直线
与椭圆 相交于 两点，
(1)若 为 的中点， 为坐标原点， ，求实数 的值；
(2)若直线 的斜率为 ，且 ，证明：直线 过定点，并求定点坐标．
3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在
上.
(1)求 的方程；(2)设 的右顶点为 ，点 ， 是椭圆上的两点（异于顶点），若直线 ， 与 轴交于点 ， ，若
，求证：直线 恒过定点.
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 ，点 在圆 上运动，线段 的垂
直平分线交线段 于点 ，设动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)设 与 轴交于 两点（A在 点左侧），直线 交 于 两点（ 均不在 轴上），设直线
的斜率分别为 ，若 ，证明：直线 过定点．
题型四：面积最值范围型
求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意
1. 注意变量的范围。
2. 式子转化为求值域或者求最值的专题复习
一些常见的思维：
1.可以借助均值不等式求最值。
2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。
分式型：以下几种求最值的基本方法
（1）
（2） 与 型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数
求解。
（3） 型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知 为坐标原点，双曲线 的焦距是实轴长
的 倍，过 上一点 作 的两条渐近线的平行线，分别交 轴于 两点，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过双曲线 的右焦点 的直线 与双曲线的左、右两支分别交于 两点，点 是线段 的中点，过
点 且与 垂直的直线 交直线 于点 ，点 满足 ，求四边形 面积的最小值．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 为坐标原点， 是圆 上一点，
且 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 ，设动点 的轨迹为曲线 ，且曲线 与直线
相切．
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 与曲线 交于 两点，求 面积的最大值．
3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）平面内有一点 和直线 ，动点 满足： 到点 的距离与 到直线 的距离的比值是 .点 的运动轨迹是曲线 ，曲线 上有 四个动点.
(1)求曲线 的方程；
(2)若 在 轴上方， ，求直线 的斜率；
(3)若 都在 轴上方， ，直线 ，求四边形 的面积的最大值.
x2 y2
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左､右焦点分别为 和 ，焦距为
a2 b2
2.动点 在椭圆 上，当线段 的中垂线经过 时，有 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图，过原点 作 的两条切线，分别与椭圆 交于点 和点 ，直线
的斜率分别记为 .当点 在椭圆上运动时，
①证明： 恒为定值，并求出这个值；
②求四边形 面积的最大值.
题型五：面积比值范围型
x2 y2
1．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率 ，且 上的点到点
a2 b2
的距离的最大值为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 ，记 关于 轴的对称点为 .
①试证直线 恒过定点 ；
②若 在直线 上的投影分别为 ，记 的面积分别为 ，求 的
取值范围.
2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
且焦距为4，左顶点为E，过右焦点 的动直线l交C于A，B两点，当l垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C的左支交于点A，右支交于点B，求 的取值范围．
3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆 与直线 相切于点 ，圆心 在 轴上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 与圆 交于 两点，当 时，求实数 的值；
(3)过点 且不与 轴重合的直线与圆 相交于 两点， 为坐标原点，直线 分别与直线 相
交于 两点，记 的面积为 ，求 的最大值.
4．（23-24高三上·浙江·开学考试）如图，已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，抛物线
的焦点为 ，抛物线的弦 和椭圆的弦 交于点 ，且 为 的中点.
(1)求 的值；
(2)记 的面积为 的面积为 ，求 的最小值.
题型六：定值型
求定值问题常见的思路和方法技巧：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题
1．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知点 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是负半轴
上的一点， ，过点 的直线 与 交于点 与点 .
(1)求 面积的最大值；
(2)设直线 的斜率为 和直线 的斜率为 ，椭圆 上是否存在点 ，使得 为定值，若存在，求
出点 与 值，若不存在，请说明理由.2．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆 常数 ，点 为坐标原点．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)若 是椭圆 上任意一点， ，求 的取值范围；
(3)设 是椭圆 上的两个动点，满足 ，试探究 的面积是否为定值，
说明理由．
3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆 分别与 轴正半轴交于 两点， 为
圆 上的动点.
(1)若线段AP上有一点 ，满足 ，求点 的轨迹方程;
(2)过点 的直线 截圆 所得弦长为 ，求直线 的方程;
(3)若 为圆 上异于 的动点，直线AP与 轴交于点 ，直线BP与 轴交于点 ，求证:
为定值.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知点 分别为椭圆 的左､右焦点，直线 与椭
圆 有且仅有一个公共点，直线 ，垂足分别为点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 为定值，并求出该定值；
题型七：斜率“和”型
x2 y2
+ =1（a>b>0）
a2 b2
给定椭圆 ，与椭圆上定点P
，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A
和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
1．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线 的焦点为 ， 是 上一点且
，直线 经过点 ．
(1)求抛物线 的方程；(2)①若 与 相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若 与 在第一象限内的两个不同交点为 ，且 关于原点 的对称点为 ，证明：直线 的倾
斜角之和为 ．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，过点 的直线 与
椭圆 相交于 两点，当 过坐标原点 时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 斜率存在时，线段 上是否存在定点 ，使得直线 与直线 的斜率之和为定值．若存在，求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，且四个顶点所围成的菱形的
面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设 ，满足 ．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
4．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E： 的左右焦点分别为 ， ，过焦点 斜率为 的直线
与椭圆E交于A，B两点，过焦点 斜率为 的直线 与椭圆E交于C，D两点，且 ．
(1)求直线 与 的交点N的轨迹M的方程；
(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为 ， ， ， ，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，
满足 ，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
题型八：斜率“积”型
1．（2025·广东·一模）设 两点的坐标分别为 . 直线 相交于点 ，且它们的
斜率之积是 . 设点 的轨迹方程为 .
(1)求 ;
(2)不经过点 的直线 与曲线 相交于 、 两点，且直线 与直线 的斜率之积是 ，求证：直线
恒过定点.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线 过点 ，离心率为2.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交 于 ， 两点（异于点 ），证明：当直线 ， 的斜率均存在时， ，
的斜率之积为定值.3．（2024·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下
顶点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程；
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ，证明直线 过定点，并求出
这个定点．
题型九：斜率“比值”型
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知点 ， ，点P在以AB为直径的圆C上运动， 轴，
垂足为D，点M满足 ，点M的轨迹为W，过点 的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为 ，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为 ， ，证明 为定值，并求出该定值.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 过
和 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 为双曲线 上不关于坐标轴对称的两点， 为 中点，且 为圆 的一条非直径的弦，记
斜率为 ， 斜率为 ，证明： 为定值.
3．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，
过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
4．（2024·广西·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆C的左，
右顶点和坐标原点，点 为椭圆 上异于 的一动点， 面积的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线交椭圆C于 两点，直线 交 轴于 ，过 分别作 的垂线，交 于
两点， 为 上除点 的任一点.
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）设直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ，求 的值.
题型十：斜率复合型
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 分别为椭圆 的左､右顶点， 分别为椭圆
的左､右焦点，斜率存在的直线 交椭圆 于 两点，记直线 的斜率分别为 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的取值范围.
3．（2023·广东·模拟预测）已知点 为椭圆 ： 上的一点，点 ．
(1)求C的离心率；
(2)若直线l交C于M，N两点（M，N不与点B重合），且直线BM，BN，MN的斜率满足
，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
3．（2024·四川南充·模拟预测）在平面直角坐标系中，点 在运动过程中，总满足关系式
.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条斜率分别为 的直线 和 ，分别与 交于 和 ，线段 和 的中点分别
为 ，若 ，证明直线 过定点.
4．（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是直线 ：
（其中 是实半轴长， 是半焦距）上不同于原点 的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线交于 ， 两点，斜率为 的直线 与双曲线 交于 ， 两点．
(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点 ，满足
，若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．
题型十一：切线型
在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为 与椭圆方程联立，由 进行求解；
（2）椭圆（双曲线） 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时，首先应
证明直线 与椭圆（双曲线） 相切.
双曲线 的以 为切点的切线方程为
抛物线的切线：
（1）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ；
（2）点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ．
1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线l交抛物线于A，B两点，
抛物线在点A处的切线为 ，在点B处的切线为 ，直线 与 交于点M.
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： ；
(2)设线段AB的中点为N，求 的取值范围.
2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知 为椭圆C： 上的点，C的焦距为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O： 的两条切线，切点分别为A，B，求 的取值
范围．
3．（24-25高三上·上海·开学考试）已知双曲线 的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线
上的动点，点 .
(1)求点M到 的两条渐近线的距离之积；
(2)求经过点Q的双曲线 的切线方程；
(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作 的两条切线，
分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明： .
4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点 到 的距离等于到直线x=−1的
距离.(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点 作（1）中 的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O
为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求 的最小值.
题型十二：三角函数型转化难题
在一直一曲五个方程（韦达定理代入型）题型中，主要的难点在于怎么转化出“第六个方
程”。
1. 具有明显的可转化为韦达定理特征的。属于较容易的题。
2. 隐藏较深的条件，需要用一些技巧，把条件转化为点坐标之间的关系，再转化为韦达定理。
3. 没有固定的转化技巧，可以在训练中积累相关化归思想。
1．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的右焦点为点F，椭圆上
顶点为点A，右顶点为点B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足
，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线 的准线过点 ，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两点，作线段
的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C： 过定点 ，过点 的两条动直线交椭圆
于A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的倾斜角互补， 为椭圆C的右焦点.
1 1 2 2(1)设 是椭圆 的动点，过点 作直线 的垂线 为垂足，求 .
(2)在 中，记 ，若直线AB的斜率为 ，求 的最大值.
4．（2024·广东湛江·一模）已知 为双曲线 上一点， 分别为双曲线
的左、右顶点，且直线 与 的斜率之和为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线 的倾斜角分别为 和 ，且
，证明：直线 过定点．
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点
若有
1.利用公式 ，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）
可以利用公式 ，可消去
1．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C： 的左､右焦点分别为 ，两焦点 与
短轴的一个顶点构成等边三角形，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 两点，与直线 交于点 .设 ，
证明： 为定值.
2．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，两焦点 ，
与短轴的一个顶点构成等边三角形，点 在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线 交于点D．
①设 内切圆的圆心为I，求 的最大值；
②设 ， ，证明： 为定值．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点 关于坐标原点 对称， 过点 且与直线
相切.
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)是否存在与圆 相切且斜率大于0的直线 ，满足：与曲线 交于 两点，与 轴交于点
，且 ？若存在，求直线 的方程，若不存在，说明理由.
4．（2024·贵州·三模）已知双曲线 ，过点 的直线 与双曲线 相交于 两点.
(1)点 能否是线段 的中点？请说明理由；
(2)若点 都在双曲线 的右支上，直线 与 轴交于点 ，设 ，求
的取值范围.
题型十四：非对称型
平移齐次化的步骤，
（1）平移；
（2）与圆锥曲线联立并其次化；
（3）同除 ；
（4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去.
1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 点 在
上， 的周长为 ，面积为 .
(1)求 的方程.
(2)设 的左､右顶点分别为 ，过点 的直线 与 交于 两点（不同于左右顶点），记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则是否存在实常数 ，使得 恒成立.
2．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆E的左、右焦点分别为 ， ，点M在椭
圆E上， ， 的周长为 ，面积为 ．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），
记直线AC的斜率为 ，直线BD的斜率为 ，问是否存在实常数 ，使得 ，恒成立？若成立，求
出 的值，若不成立，说明理由．3．（2019·北京丰台·一模）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为4，离心
率为 .过右焦点 的直线 交椭圆 于 两点（均不与 重合），记直线 的斜率分别为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）是否存在常数 ，当直线 变动时，总有 成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
4．（23-24高二下·浙江·期中）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为
“孪生”曲线，若双曲线 与椭圆 是“孪生”曲线，且椭圆 ， （
分别为曲线 的离心率）
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点 分别为双曲线 的左、右顶点，过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线
的斜率分别为
①是否存在实数 ，使得 ，若存在求出 的值；若不存在，请说明理由；
②试探究 的取值范围．
题型十五：点代入型
1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知椭圆 左､右顶点分别为 ，短轴长为 ，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若第一象限内一点 在椭圆上，且点 与 外接圆的圆心 的连线交 轴于点 ，设 ，
求实数 的值.
2．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）设 两点的坐标分别为 ， ．直线 相交
于点 ，且它们的斜率之积是 ．
(1)求点 的轨迹方程．
(2)若 ，在 的轨迹上任取一点 （异于点 ），求线段 长的最大值．
3．（2024高三·广西·阶段练习） 已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F的直线
与椭圆C相交于AB两点，当 斜率为1时，坐标原点O到 的距离为
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．4．（2024·全国·一模）已知抛物线C ：x2=y，圆C ：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
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（1）求点M到抛物线C 的准线的距离；
1
（2）已知点P是抛物线C 上一点（异于原点），过点P作圆C 的两条切线，交抛物线C 于A，B两点，
1 2 1
若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
