文档内容
专题2.3 实数（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 了解无理数的含义；
2. 掌握实数的分类；掌握实数在数轴上的表示，熟练掌握实数的运算的方法
3.体会实数间关联
【知识点梳理】
考点 1 有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能
表示成分数的形式
（2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
考点2 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对
应.
考点3 实数运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的
【典例分析】
【考点1 无理数】
【典例1】（2022春•如皋市校级月考）下列各数﹣5， ，4.1212112，0， ，0. 中，
无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2021秋•梁溪区期末）在0、 、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增
π
加）、﹣3.14、 中，无理数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-2】（2022春•南宁期中）下列说法中正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数 B．无理数都是无限小数
C．无限小数都是无理数 D．分数都是无理数
【变式1-3】在 中，无理数的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点2 实数的分类】
【典例 2】（2022 春•瑶海区期中）把下列各数写入相应的括号中：﹣ 、 、
0.618、 、 、 、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
（1）正实数：{ }；
（2）负实数：{ }；
（3）有理数：{ }；
（4）无理数：{ }．
【变式2-1】（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
+5， ，0，﹣3.14， ，﹣12，﹣ ，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间
依次多一个0）
（1）整数集合：{ …}
（2）正数集合：{ …}
（3）无理数集合：{ …}
【变式2-2】（2021春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的大括号里：
﹣|﹣2|，0，﹣1.0 ，﹣ ，﹣ ，﹣（﹣3）， ， ， ， ，
0.1010010001…（小数点后面两个1之间多一个0）．
分数：{ }
整数：{ }
负有理数：{ }
无理数：{ }
【考点3 实数与数轴】
【典例3】（2022春•长沙期中）如图，一条长度为 的线段OA绕着O点旋转一周，当
OA与数轴重合时，A点表示的数为 ．【变式3-1】（2022春•西城区校级期中）如图，OA＝OB，则在数轴上点A表示的实数是
．
【变式3-2】（2022春•海淀区校级期中）把无理数 ， ， ，﹣ 表示在数轴
上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【考点4 实数运算】
【典例3】（2022春•东城区校级期中） 的相反数是 ；3.14﹣ 绝对值是 ．
π
【变式3-1】（2021秋•成都期末）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B．11 C． D．﹣11
【变式3-2】（2022•历城区一模）实数﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣
【变式3-3】（2022春•长垣市期中） ﹣2的绝对值是（ ）
A．2﹣ B． ﹣2 C． D．1
【典例4】（2022•克拉玛依模拟）计算： ．
【变式4-1】（2022•三元区模拟）计算： ．【变式4-2】（2022春•朝阳区校级期中）计算：| |+ ﹣（ ﹣1）0．
【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）（1）计算： ；
（2）计算： ．
专题2.3 实数（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 了解无理数的含义；
2. 掌握实数的分类；掌握实数在数轴上的表示，熟练掌握实数的运算的方法
3.体会实数间关联
【知识点梳理】
考点 1 有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能
表示成分数的形式
（3）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
考点2 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对
应.
考点3 实数运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的
【典例分析】
【考点1 无理数】
【典例1】（2022春•如皋市校级月考）下列各数﹣5， ，4.1212112，0， ，0. 中，
无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A
【解答】解：﹣5，0是整数，属于有理数；
4.1212112是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
0. 是循环小数，属于有理数；
无理数有 ，共1个．
故选：A．
【变式1-1】（2021秋•梁溪区期末）在0、 、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增
π
加）、﹣3.14、 中，无理数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：0是整数 属于有理数；
﹣3.14是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数是 、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加），共2个．
故选：C．π
【变式1-2】（2022春•南宁期中）下列说法中正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数 B．无理数都是无限小数
C．无限小数都是无理数 D．分数都是无理数
【答案】B
【解答】解：A、 ＝2，是整数，是有理数，不符合题意；
B、无理数都是无限小数，符合题意；
C、无限循环小数是有理数，不符合题意；
D、分数都是有理数，不符合题意．
故选：B．
【变式1-3】在 中，无理数的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：﹣0.101101110111是有限小数，属于有理数；
＝2，0是整数，属于有理数；
故在 中，无理数有 ， ，共2
个．
故选：B．
【考点2 实数的分类】
【典例 2】（2022 春•瑶海区期中）把下列各数写入相应的括号中：﹣ 、 、
0.618、 、 、 、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
（1）正实数：{ }；
（2）负实数：{ }；
（3）有理数：{ }；
（4）无理数：{ }．
【解答】解：把下列各数写入相应的括号中：﹣ 、 、0.618、 、 、
、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
（1）正实数：{ 、 、 、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}；
（2）负实数：{﹣ 、 }；
（3）有理数：{﹣ 、0.618、 、 、0}；
（4）无理数：{ 、 、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}，
故答案为：（1） 、 、 、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）；（2）﹣ 、 ；
（3）﹣ 、0.618、 、 、0；
（4） 、 、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
【变式2-1】（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
+5， ，0，﹣3.14， ，﹣12，﹣ ，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间
依次多一个0）
（1）整数集合：{ …}
（2）正数集合：{ …}
（3）无理数集合：{ …}
【解答】解：（1）整数集合：{+5，0，﹣12，﹣（﹣6）…}，
故答案为：+5，0，﹣12，﹣（﹣6）；
（2）正数集合：{+5， ， ，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多
一个0）…}，
故答案为：+5， ， ，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个
0）；
（3）无理数集合：{ ，﹣ ，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，
故答案为： ，﹣ ，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
【变式2-2】（2021春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的大括号里：
﹣|﹣2|，0，﹣1.0 ，﹣ ，﹣ ，﹣（﹣3）， ， ， ， ，
0.1010010001…（小数点后面两个1之间多一个0）．
分数：{ }
整数：{ }
负有理数：{ }
无理数：{ }【解答】解：分数：{﹣1.0 ， }
整数：{﹣|﹣2|，0，﹣（﹣3）， }
负有理数：{﹣|﹣2|， ，﹣1.0 }
无理数：{ ， ， ， ，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）}，
故答案为：﹣1.0 ， ；﹣|﹣2|，0，﹣（﹣3）， ；﹣|﹣2|， ，﹣1.0 ；
， ， ， ，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）．
【考点3 实数与数轴】
【典例3】（2022春•长沙期中）如图，一条长度为 的线段OA绕着O点旋转一周，当
OA与数轴重合时，A点表示的数为 ．
【答案】 ﹣ 2
【解答】解：∵当OA与数轴重合时，点A到原点的距离是 ，
且点A在原点的右侧，
∴点A表示的数是 ﹣2．
【变式3-1】（2022春•西城区校级期中）如图，OA＝OB，则在数轴上点A表示的实数是
．
【答案】﹣
【解答】解：∵OB＝ ＝ ，∴OA＝OB＝ ，
∵点A在原点的左侧，到原点的距离是 ，
∴点A表示的实数是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【变式3-2】（2022春•海淀区校级期中）把无理数 ， ， ，﹣ 表示在数轴
上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【答案】
【解答】解：设被墨迹覆盖住的无理数为x．
由图可知：3＜x＜4．
∵4＜ ＜5.3＜ ＜4，2＜ ＜3，﹣2＜﹣ ＜﹣1，
∴被墨迹覆盖住的无理数是 ．
故答案为： ．
【考点4 实数运算】
【典例3】（2022春•东城区校级期中） 的相反数是 ；3.14﹣ 绝对值是 ．
π
【答案】﹣ ， ﹣3.14．
π
【解答】解： 的相反数是：﹣ ；3.14﹣ 绝对值是： ﹣3.14．
π π
故答案为：﹣ ， ﹣3.14．
π
【变式3-1】（2021秋•成都期末）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B．11 C． D．﹣11
【答案】C
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ．
故选：C．【变式3-2】（2022•历城区一模）实数﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣
【答案】C
【解答】解：实数﹣3的绝对值是：3．
故选：C．
【变式3-3】（2022春•长垣市期中） ﹣2的绝对值是（ ）
A．2﹣ B． ﹣2 C． D．1
【答案】A
【解答】解：∵1＜ ＜2，
∴ ﹣2的绝对值是2﹣ ．
故选：A．
【典例4】（2022•克拉玛依模拟）计算： ．
【解答】解：原式＝2﹣2 +（2﹣ ）﹣1
＝2﹣2 +2﹣ ﹣1
＝3﹣3 ．
【变式4-1】（2022•三元区模拟）计算： ．
【解答】解：
＝﹣8+（2﹣ ）+2 +1
＝﹣8+2﹣ +2 +1
＝﹣5+ ．
【变式4-2】（2022春•朝阳区校级期中）计算：| |+ ﹣（ ﹣1）0．【解答】解：原式＝ ﹣1+2 ﹣6× ﹣1
＝ ﹣1+2 ﹣3 ﹣1
＝﹣2．
【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）（1）计算： ；
（2）计算： ．
【解答】解：（1）
＝9+（﹣3）+
＝9﹣3+
＝ ；
（2）
＝4 ﹣2﹣2 +2﹣
＝2 ﹣ ．
