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专题2.3 实数（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022•碑林区校级开学）在给出的一组数 0， ， ，3.14， 中，无理数有
（ ） π
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】B。
【解答】解：0，3.14， 是有理数，
， 是无理数，
π
故选：B．
2．（2021•市南区模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（﹣ ）2 D．|﹣ |与
【答案】A。
【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；
B、是同一个数，故B错误；
C、是同一个数，故C错误；
D、是同一个数，故D错误；
故选：A．
3．（2022•易县一模）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（
）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【答案】C。
【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．4．（2021春•瑶海区期中）圆的面积变为原来的n倍，则它的半径是原来的（ ）
A．n倍 B． 倍 C． 倍 D．2n倍
【答案】C。
【解答】解：设圆原来的面积为S，原来的半径为r，设现在的半径为R．
根据题意得： R2＝n r2，R＝ r，则它的半径是原来的 倍．
π π
故选：C．
5．（2022春•杨浦区校级期中）若a、b是不相等的无理数，则（ ）
A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数
C．a•b一定是无理数 D． 不一定是无理数
【答案】D。
【解答】解：A、当a＝2﹣ ，b＝2+ ，a+b＝4，a+b是有理数，原说法错误，故
此选项不符合题意；
B、当a＝1+ ，b＝2﹣ ，a﹣b＝﹣1，a﹣b是有理数，原说法错误，故此选项不符
合题意；
C、当a＝ ，b＝2 ，ab＝8ab是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、若a、b是不相等的无理数，则 不一定是无理数，原说法正确，故此选项符合题
意．
故选：D．
6．（2022春•温岭市期中）设（x]表示小于x的最大整数，如（3]＝2，（﹣1.6]＝﹣2，则
下列结论中正确的是（ ）
A．（0]＝0
B．x﹣（x]的最小值是0
C．x﹣（x]的最大值是1
D．不存在实数x，使x﹣（x]＝0.2
【答案】C。
【解答】解：A、（0]＝﹣1，故本选项不符合题意；B、x﹣（x]＞0，所以x﹣（x]的最小值取不到0，故本选项不符合题意；
C、0＜x﹣（x]≤1，所以x﹣（x]的最值大值是1，故本选项符合题意；
D、存在实数x，使x﹣（x]＝0.2成立．例如x＝﹣0.8时，故本项不符合题意．
故选：C．
7．（2022春•江津区期中）如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是﹣1、 ，若线
段AB＝BC，则点C所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣ ＝ ﹣（﹣1），
解得x＝2 +1．
故选：C．
8．（2022春•怀宁县期中）下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；
②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；
④实数m的倒数是 ．
其中，正确的说法有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B。
【解答】解：①一个无理数的相反数一定是无理数，故①正确；
②一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，但一个有理数与一个无理数的积
不一定是无理数，故②不正确；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，故③正确；
④实数m的倒数是 （0除外），故④不正确；所以，上列说法，正确的说法有：①③，
故选：B．
9．（2021秋•商河县期中）如图，根据图中标注在点A所表示的数为（ ）
A．﹣ B．﹣1+ C．﹣1﹣ D．1﹣
【答案】C。
【解答】解：如图，在Rt△PBQ中，由勾股定理得，
PQ＝ ＝ ＝ ，
而PA＝PQ＝ ，
∴点A到原点的距离为 +1，
∴点A所表示的数为﹣（ +1）＝﹣1﹣ ，
故选：C．
10．（2022春•海淀区校级期中）已知 a 为实数，规定运算： ， ，
1
， ，…，a ＝1﹣ ．按上述方法计算：当a ＝3时，a 的值
n 1 2022
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。【解答】解：a ＝3，
1
a ＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ，
2
a ＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ，
3
a ＝1﹣ ＝1﹣ ＝3，
4
..．
∴2022÷3＝674，
∴a ＝ ，
2022
故选：C．
二、填空题。
11．（2021春•瑶海区校级期中）写出一个比4大且比5小的无理数： ．
【答案】 。
【解答】解：比4大且比5小的无理数可以是 ．
故答案为 ．
12．（2022春•江源区期中）已知a是﹣ ，b的立方根为﹣2，则a+b的倒
数为 ﹣ ．
【答案】﹣ 。
【解答】解：∵a是﹣ ＝﹣5的相反数，
∴a＝5，
∵b的立方根为﹣2，
∴b＝﹣8，
∴a+b＝5﹣8＝﹣3，则a+b的倒数为：﹣ ．
故答案为：﹣ ．
13．（2022春•西城区校级期中）如图，OA＝OB，则在数轴上点A表示的实数是 ﹣
．
【答案】﹣ 。
【解答】解：∵OB＝ ＝ ，
∴OA＝OB＝ ，
∵点A在原点的左侧，到原点的距离是 ，
∴点A表示的实数是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
14．（2022春•海门市期中）计算：﹣ ＝ ﹣ 4 ﹣ 1 ．
【答案】﹣4 ﹣1。
【解答】解：原式＝﹣3 +2﹣ ﹣3
＝﹣4 ﹣1．
故答案为：﹣4 ﹣1．
15．（2022春•西城区校级期中）有一个无理数生成器，原理如图，当输入的x为729时，
输出的y是 ．【答案】 。
【解答】解：输入x＝729时，
∴729的立方根是9，
∵9的算术平方根是3，是有理数，
∴3的算术平方根是 ，是无理数，
∴输出为 ，
故答案为： ．
16．（2022春•椒江区校级期中）数轴上位置如图，则 ＝ ．
【答案】 ﹣a。
【解答】解：根据数轴上点的位置可知，
a＜0＜ ，
∴a﹣ ＜0，
∴|a﹣ |＝﹣（a﹣ ）＝ ﹣a，
故答案为： ﹣a．
17．（2022春•单县期中）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的
数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表
示的数为 1+ ．【答案】1+ 。
【解答】解：∵正方形的面积为5，
∴AB为 ；
∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，
∴AE＝AB＝ ；
∵A点表示的数为1，
∴OE＝OA+AE＝1+
故答案为：1+
18．（2022春•泗水县期中）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编
程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学
家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出 的两个分数形式：
π
（约率）和 （密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分
数来表示数值
的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （即有 ＜x
＜ ，其中a，b，c，d为正整数），则 是x的更为精确的近似值．例如：已知
＜ ＜ ，则利用一次“调日法”后可得到 的一个更为精确的近似分数为：
π π＝ ；由于 ≈3.1404＜ ，再由 ＜ ＜ ，可以再次使用“调日
π π
法”得到 的更为精确的近似分数……现已知 ＜ ＜ ，则使用一次“调日法”可
π
得到 的近似分数为 ．
【答案】 。
【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴利用一次“调日法”后可得到 的一个更为精确的近似分数为： ，
∵ 且 ＞2，
∴ ，
∴再次使用“调日法”得到 的更为精确的近似分数为： ．
故答案为： ．
三、解答题。
19．（2021•雁塔区校级四模）计算：|2 ﹣3|﹣（ ﹣1）0+（ ）﹣1+ ．
【解答】解：原式＝3﹣2 ﹣1+4+3
＝6+ ．
20．（2021秋•砚山县期末）计算：（ ﹣2 ）× ﹣6 ．
【解答】解：原式＝
＝3 ﹣6 ﹣3
＝﹣6 ．
21．（2021春•吴中区月考）计算：（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝3+5+
＝8 ；
（2）原式＝2 ﹣ +2
＝2 + ．
22．（2021春•鹿城区校级月考）计算：
（1）23+ ﹣|﹣4|；
（2）（﹣3）3×（ ﹣ ）÷（﹣ ）．
【解答】解：（1）原式＝8+3﹣4
＝7；
（2）原式＝﹣27× ×（﹣ ）
＝8．
23．（2021•渝中区校级开学）计算：
（1）﹣5﹣[﹣ ﹣（1﹣0.2× ）÷（﹣2）2]；
（2） +|2﹣ |+ ﹣ ．
【解答】解：（1）原式＝﹣5﹣（﹣ ﹣ ÷4）
＝﹣5﹣（﹣ ﹣ ）
＝﹣5+＝﹣4 ；
（2）原式＝2 +2﹣ +2﹣2
＝ +2．
24．（2021•日喀则市一模）计算： ．
【解答】解：
＝ ﹣ +2 ﹣3+5
＝ + +2．
25．（2021春•会昌县期末）已知 与（b+27）2互为相反数，求 ﹣ 的值．
【解答】解：∵ 与（b+27）2互为相反数，
∴ +（b+27）2＝0，
∴a﹣16＝0，b+27＝0，
解得a＝16，b＝﹣27
∴ ﹣ ＝4+3＝7．
26．（2021•玉田县二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、
b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．
（1）计算：a2﹣2a﹣ 的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【解答】解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，
∴c﹣4＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，c＝4，则原式＝a2﹣2a﹣ ＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）﹣ ＝9﹣（﹣6）﹣2＝13；
（2）∵b＜0，且b的倒数是它本身，
∴b＝﹣1，
∵a＝﹣3，
∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中点为﹣2，
∵c＝4，
∴与点C重合的点表示的数是﹣8；
故答案为：（1）13；（2）﹣8．
27．（2022春•高安市期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方
根，求代数式 +|b﹣a|+ ﹣|2b|的值．
【解答】解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c
＝2．
28．（2021春•红谷滩区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两
个长方形的宽都是 个单位长度，长方形ABCD的长AD是 个单位长度，长方
形EFGH的长EH是 个单位长度，点E在数轴上表示的数是 ，且E，D两点之
间的距离为 ．
（1）点H在数轴上表示的数是 1 3 ，点A在数轴上表示的数是 ﹣ 1 1 ；
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点 以每秒4个单位长度
的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？（3）若线段AD的中点为M，线段
EH上有一点 ，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长
方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M，N，F三点为
顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长EH是 个单位长度，且点E在数轴上表示
的数是 ，
∴点H在数轴上表示的数为5 + ＝13 ，
∵E，D两点之间的距离为 ，长方形ABCD的长AD是 个单位长度，
∴点A在数轴上表示的数为5 ﹣12 ﹣4 ＝﹣11 ；
故答案为：13 ，﹣11 ；
（2）由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为﹣9 ，线段EH上有一点N，
且EN＝ EH，则N表示的数为 ．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，
经过x秒后，M点表示的数为 ，N点表示的数为 ，
即：OM＝ ，ON＝ ，
∵原点O恰为线段MN的三等分点，
∴OM＝2ON或2OM＝ON且点O在线段MN上，即M、N表示的数异号，
①当OM＝2ON时，则有 ，解得 或 ，
经检验， 不符合题意，舍去， 符合题意．
②当2OM＝ON时，则有 ，
解得 ，
经检验， 不符合题意，舍去， 符合题意；
综上所述，当 或 时，原点O恰为线段MN的三等分点．
（3）根据题意，因为M、N、F三点中点M的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三
种情况：
①当∠FMN＝90°时，点M与点E重合，此时4t＝14 ，
解得：t＝ ；
②当∠MFN＝90°时，
∵∠FEN＝90°，EF＝EN＝ ，
∴∠FNE＝45°，
∴∠EFM＝45°，
∵∠FEM＝90°，
∴∠FME＝45°＝∠EFM，
∴EM＝EF＝ ，
∴4t＝ ，
解得 ．
③如图，连接FN，
∵EFGH是长方形，
∴∠FEN＝90°，
∵EF＝EN＝ ，∴∠FNM＝45°或135°，
∴∠FNM≠90°．
综上所述，存在这样的t，t的值为 或 ．
29．（2022春•长汀县期中）如图，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且
能够完全重合，边OA在数轴上，OA＝3．长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后
的长方形O′D′E′F′与OABC重叠部分的面积记为S．
（1）如图1，求出数轴上点F表示的数．
（2）当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O′表示的数．
（3）在移动过程中，设P为线段O′A的中点，点F′，P所表示的数能否互为相反
数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵长方形OABC的面积为12，OA边长为3，
∴OC＝12÷3＝4，
∵长方形OABC与ODEF的面积都为12，
∴OF＝OC＝4，DE＝OA＝3，
∴数轴上点F表示的数为﹣4，
（2）∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半，
∴S＝6，
①当点O′在OA上时，O′O＝6÷3＝2，
∴O′表示的数为2，
②当点O′在点A右侧时，如图，∴AF′＝6÷3＝2，
∴OF′＝3﹣2＝1，
∴OO′＝O′F′+OF′＝5，
综上，O′表示的数为2或5．
（3）能，理由如下：设OO′＝x，分两种情况：
①当原长方形ODEF向左移动时，点O′所表示的数为﹣x，点F′所表示的数为﹣4﹣
x，
∵点P是O′A的中点，
∴点P所表示的数为： ﹣ x；
∴ ﹣ x+（﹣4﹣x）＝0，
∴x＝﹣ ；
②当原长方形 ODEF向右移动时，点 O′所表示的数为 x，点F′所表示的数为﹣
4+x；
∵点P是O′A的中点，
∴点P所表示的数为： + x，
∴ + x+（﹣4+x）＝0，
∴x＝ ．
∴点O移动的距离为： ．
