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专题 2.3 平方根
1. 理解概念：掌握平方根和算术平方根的概念，明确二者区别与联系，知道平方与
开平方互为逆运算。
2. 运算能力：能够准确求出一个非负数的平方根及算术平方根 ，熟练运用相关知识
教学目标
进行开方运算。
3. 思想方法：通过探究平方根相关内容，渗透分类讨论、数形结合思想，提升数学
探究和归纳表达能力。
1.重点
（1）概念理解：准确理解平方根的定义和性质，能清晰判断一个数是否存在平方根
以及平方根的个数
教学重难点 （2）运算掌握：熟练掌握求正数和0的平方根的方法，能够快速、准确地进行平方根
的运算。
2.难点
（1）性质理解：深入理解一个正数的两个平方根互为相反数这一性质，克服对其抽象性的理解困难。
（2）运算规律：掌握平方根的运算规律，包括加减乘除等运算，通过大量练习，让
学生熟练运用，避免混淆出错。
知识点01 平方根
（1）定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即： 那么数x就叫做a的平方根，记作 ，
读作“正负根号a”,
（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作 (a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【即学即练1】用式子表示“9的平方根等于 ”正确的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】下列说法正确的是（ ）
A． 是16的平方根 B．0没有平方根
C．25的平方根是5 D．
【即学即练3】求下列各数的平方根：
(1)81； (2) ； (3)1.69； (4) ； (5) ； (6)
题型01 平方根概念理解
【典例1】下列哪个数没有平方根（ ）
A． B． C．0 D．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 的平方根是
C．负数有 个平方根 D．正数只有 个平方根
【变式2】下列说法中，正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 的算术平方根是C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数
题型02 求一个数的平方根
【典例2】 的平方根是 ．
【变式1】化简： ＝ ．
【变式2】16的平方根是 ；2的算术平方根是 ．
题型03 已知一个数的平方根，求这个数
【典例3】已知一个正数的两个不同的平方根分别是 和 ，则这个正数是 ．
【变式1】一个数的两个平方根分别是 与 ，则这个数是 ．
【变式2】若 和 是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 ．
题型04 求代数式的平方根
【典例4】若a是 的整数部分，b是 的小数部分．则 的平方根是 ．
【变式1】若 |，则 的平方根为 ．
【变式2】已知实数x，y满足 ，则 的平方根为 ．
题型05 利用平方根解方程
【典例5】求下列各式中 的值．
(1) ；
(2) ．
【变式1】求x的值：
【变式2】解方程： ．
题型06 算术平方根与平方根综合问题
【典例6】已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求 的平方根．
【变式1】已知 的平方根为 ， 的算术平方根为 ．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【变式2】已知一个正数 的两个平方根分别是 和 ．(1)求 和 的值；
(2)若 ，求 的算术平方根．
题型07 平方根的实际应用
【典例7】如图，用两个边长为 的小正方形拼成一个大的正方形．
(1)大正方形的边长为 ；
(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为 且面积为
？
【变式1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用 个面积为 的小正方形纸片剪拼成一个面
积为 的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
(1)如图1，当 时，拼成的大正方形 的边长为___________ ；
(2)如图2，当 时，拼成的大正方形 的边长为___________cm；
(3)小李想沿着正方形纸片 边的方向能否裁出一块面积为 的长方形纸片，使它的长宽之
比为 ？他能裁出吗？请说明理由．
【变式2】观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1．
(1)如图1，求阴影正方形 的面积和边长；
(2)图2是 的正方形方格，请在图2中画出长为 的线段，并说明理由．一、单选题
1．下列各数没有平方根的是（ ）
A． B．0 C．7 D．16
2．下列式子能正确表示并计算“4的平方根”的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法：
① 是5的一个平方根；
② 的算术平方根是－3；
③ 的平方根是 ；
④0的平方根是0．
其中错误说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知一个正数 的两个平方根分别是 和 ，则 的值是（ ）
A． B．5 C． D．25
5．已知 ，则 的平方根是（ ）
A． B．1 C．2025 D．
二、填空题
6． 的平方根是 ．
7．若m与 是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为
8．小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式： ．已知一个根
，则另一个根 ．
9．若一个正数的两个平方根分别是 和 ，则 的值是 ．
10．物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式： （g为重
力加速度，取g的值为 ）．现有两个物体分别从离地面 和 处，同时由静止自由落到地面，
则它们落到地面时间相差 s．
三、解答题
11．求下列各数的平方根及算术平方根：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
12．求下列x的值：
13．已知实数 ， ， 满足： ，求：
(1) ， ， 的值．
(2) 的平方根．
14．已知 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的平方根．
15．（1）已知一个正数的平方根分别是 和 ，求这个正数．
（2）利用平方根求 中 的值：
16．已知 的平方根是 是最大的负整数．
(1)求 与 的值；
(2)求 的算术平方根．
17．如图，计划建一个面积为50米 的长方形苗圃 ，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，
并且它的长与宽之比为 ．
(1)求 的长；
(2)求出苗圃所用篱笆总长．
18．在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为 ，平方根为 ．求这
个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解： 这个数的算术平方根为 ．平方根为 ．
或 ．①（i）当 时，解得 ， ， ，∴这个数为16；②
（ii）当 时，解得 ， ， ，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是 ，平方根是 ，求这个数．
