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专题 2.37 二次函数背景下等腰三角形存在性问题（专项练习）
1．如图，二次函数 的图像经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，
说明理由.
2．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点 与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）计算 的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得 是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．3．如图，已知二次函数 的图像与 轴相交于 两点（点 在点 的左边），与
轴交于点 ，点 在二次函数的图像上，且 ∥ 轴．问线段BC上是否存在点P，使△POC
为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图像与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的图像经过点A（-2，m）（m＜0），与y轴交于点B，与
x轴交于C、D两点（C在D的左侧），AB//x轴，且AB：OB=2：3．
（1）求m的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在线段BC上是否存在点P，使ΔPOC为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．6．如图，已知二次函数 的图像与 轴的一个交点为 ，与 轴的交点为 ，
过 的直线为 .
（1）求二次函数 的解析式及点 的坐标；
（2）直接写出满足 时， 的取值 ；
（3）在两坐标轴上是否存在点 ，使得 是以 为底边的等腰三角形？若存在，求出 的
坐标；若不存在，说明理由.
7．二次函数 过 、 两点，与 轴正半轴交于 ，
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点 ，使得三角形 为等腰三角形，若存在，直接写出 坐标，
若不存在，请说明理由．
（3）在直线 上方的抛物线上有点 ，作 于点 ，求 最大值．8．如图，已知二次函数 的图像与 轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交
于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积：
（3）在 轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C
（0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；
若不存在，请说明理由；
（3） 在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出
点 D的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知二次函数的图像经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图像上
的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P
点坐标；若不存在．请说明理由；
（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若
不存在，请说明理由．
11．如图，二次函数 图像的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标
分别为 ， 与y轴负半轴交于点C．
若 是等腰直角三角形，求a的值．
探究：是否存在a，使得 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说
明理由．12．如图，已知二次函数的图像经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图像上
的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如
果不存在，请说明理由．
13．如图，已知二次函数 的图像与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交
点为B，过A、B的直线为 ．
（1）求二次函数 的解析式及点B的坐标；
（2）由图像写出满足 的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的
坐标；若不存在，说明理由．14．已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物
线的顶点为D，
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条
件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知二次函数y=ax2+bx-3经过A（-1,0），B（3,0）两点，
（1）求二次函数解析式及对称轴方程；
（2）连接BC，交对称轴于点E，求E点坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使ΔBCM为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标，若不
存在，请说明理由；
（4）在第四象限内抛物线上是否存一点H，使得四边形ACHB的面积最大，若存在，求出点H坐标，若不存在，说明理由.
15．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，
2）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出
这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，
直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图，已知二次函数的图像经过点 A（ 3,3 ），点 B（ 4,0 ）和原点， P 为二次函数图
像上的一个动点，过点 P 做 x 轴的垂线，垂足为 D （ m,0), 并与直线 OA 相交于点C
(1) 求出二次函数的解析式．
(2) 若点 P 在直线 OA 的上方时，用含有 m 的代数式表示线段 PC 的长度，并求线段 PC
的最大值(3) 当 m ＞ 0 时，探索是否存在点 P ，使△PCO 成为等腰三角形，若存在求出点 P 坐标，
不存在，说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 交 轴于点 、 ，交 轴
于点 ，在 轴上有一点 ，连接 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 为抛物线在 轴负半轴上方的一个动点，求 面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，请直接写出所有 点的坐
标，若不存在请说明理由.
19．已知：关于x的二次函数 （a＞0），点A（n，y）、B（n+1，y）、C（n+2，
1 2
y）都在这个二次函数的图像上，其中n为正整数．
3
（1）y=y，请说明a必为奇数；
1 2（2）设a=11，求使y≤y≤y 成立的所有n的值；
1 2 3
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求
n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像交坐标轴于A（﹣1，0），C（0，
﹣4）两点，点B是抛物线与x轴的交点，点P是抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POB是以OB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）是否存在一点P，x轴上有一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若
存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 两点（点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ，且 ，顶点为 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点 为线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线 ，垂足为 ，若 ，四边形
的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围；
（3）探索：线段 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？如果存在，求出点 的坐标；
如果不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像交 轴于点 ， ，
交 轴于点 ，在 轴上有一点 ，连接
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点 在第二象限且是抛物线上的一个动点，求 面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图像经过A（-1，0）、C（3，0）、并且与y轴相交于点
B，点P是直线BC上方的抛物线上的一动点，PQ∥y轴交直线BC于点Q．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、B（5,0），与y轴交于点C，抛物线的顶
点为M(2,-9)，连接BM，点P为线段BM上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为点Q，求四边形ACPQ面积的最大值．
(3)是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
25．如图，二次函数 的图像交 轴于点 ，点 ，交 轴于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接 ，在直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 轴的平行线，交直线 于点
，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 关于 的函数关系式；
（3）若点 在 轴上，是否存在点 ，使以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存
在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 （ ）的图像与x轴交于A
（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出
所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图像上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，
PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．参考答案
1．（1）y＝－ x2＋4x－6；
（2）S ＝6；
△ABC
（3）点P坐标为（-2，0）或 或 或
【解析】
试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=- x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程
求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）分类讨论，进行求解即可.
试题解析：（1）∵的图像经过A（2，0）、B（0，-6）两点，∴ ，
解得b=4，c=-6，
∴这个二次函数的解析式为y＝− x2+4x−6
（2）令- x2+4x-6=0
∴x2-8x+12=0
解得：x=2 x =6
1 2
∴C（4，0）
∴AC=2
∴S = ×2×6=6
△ABC
（3）点P坐标为（-2,0）或
2．（1） ， ；（2） ；（3）存在， 或 或 或
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b= ，进而求解；
（2）先求出C点坐标，利用面积公式求△ABC的面积= ×AC•OB= ×（4+ ）×3= ；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况构造方程，分别求解即可．
解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ，
令 ，则 ，
∴点B的坐标为 ；
（2）令 ，解得 或 ，
∴点C的坐标为 ，
连接AB、BC，
则 ；
（3）设点P的坐标为 ，
由题意得：
， ， ，
当 时，则 ，
解得 或 ，
当 时，则 ，
解得 （舍去）或 ，
当 时，则 ，
解得可得 ，
∴点P的坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题考查抛物线解析式，两轴交点坐标，三角形面积，等腰三角形的性质，解一元二次
方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会利用函数解析式求两轴交点坐标，会求三角形面积，
会利用等腰三角形的性质构造方程是解题关键．
3．存在，点 或 或 ．
【分析】
由抛物线解析式可得出C、B坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-x-3，分三个情
况讨论：当 时，点P在OC的垂直平分线上，根据O、C坐标可得OC中点坐标，把OC中点的横坐标代入BC解析式即可得P点坐标；当 时，设P（x，-x-3），利用两点间距
离公式即可得P点坐标；当 时，利用利用两点间距离公式即可得P点坐标．
解：当 时， ，
解得： ，
∵点 在点 的左边，
∴
当x=0时，y=-3，
∴B（0，-3），
设直线BC的函数解析式为
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y=-x-3，
①当 时，点P在OC的垂直平分线上，
∵点C（-3，0），O（0，0），
∴OC中点坐标为（ ，0），
把x= 代入y=-x-3得：y= -3= ，
∴点
②当 时，设P（x，-x-3），
∴ =3，
解得：x=0，x=-3（舍去），
1 2
∴-x-3=-3，
∴点 ，
③当 时，设点 ，∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去）
∴
∴存在，点 或 或 ．
【点拨】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形
的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
4．（1）y=﹣x2+ x+3，点B的坐标为（0，3）．（2）点P的坐标为：（ ，0）．
【分析】
把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B
的坐标．
分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．
解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0=﹣16+4b+3
得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+ x+3．
当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4﹣x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4﹣x）2
解得：x=
∴OP=4﹣ =
所以点P的坐标为：（ ，0）．
5．（1）m=-3;(2) ;(3) 存在点 ， ， ，使
为等腰三角形,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由AB∥x轴，A（﹣2，m），可得AB=2，又由AB：OB=2：3，即可求得点B的坐标，则可
求得m的值；
（2）由二次函数与y轴的交于点B，可求得c的值，又由图像过点A（﹣2，﹣3），将其代入函
数解析式，即可求得b的值，则可得此二次函数解析式；
（3）由二次函数的图像与x轴交于C、D两点（点C在左恻），可得当y=0即可求得C的坐标，
若△POC为等腰三角形，则可分别从①当PC=PO时，②当PO=CO时，③当PC=CO时去分析，
即可求得满足条件的点P的坐标．
解：（1）∵AB∥x轴，A（﹣2，m），∴AB=2．
又∵AB：OB=2：3，∴OB=3，∴点B的坐标为（0，﹣3），∴m=﹣3；
（2）∵二次函数与y轴的交于点B，∴c=﹣3．
又∵图像过点A（﹣2，﹣3），∴﹣3=4﹣2b﹣3，∴b=2，∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3；
（3）当y=0时，有x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3，x=1，由题意得：C（﹣3，0）．
1 2
若△POC为等腰三角形，则有：
①当PC=PO时，点P（ ）；
②当PO=CO时，点P（0，﹣3）；
③当PC=CO时，设直线BC的函数解析式为y=kx+n，则有 ，解得： ，∴直线
BC的函数解析式为y=﹣x﹣3．
设点P（x，﹣x﹣3），由PC=CO，得：[﹣（x+3）]2+[﹣（﹣x﹣3）]2=32，解得：x=﹣3
1，x=﹣3 （不合题意，舍去），∴P（﹣3 ）．
2
综上所述：存在点P（ ）或P（0，﹣3）或P（﹣3 ），使△POC为等腰三
角形．
【点拨】本题是二次函数综合题．考查了待定系数法求函数的解析式，平行线的性质，函数与点
的关系，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与
数形结合思想的应用．
6．（1） ， ；（2） 或 ；（3） ，
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得 点坐标；
（2）根据题意可知 ，即 ，再根据一次函数图像在上方法人部分是不
等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得 在线段的垂直平分线上，根
据直线 ，可得 的垂直平分线，根据自变量来为零，可得 在 轴上，根据函数值为零，可
得 在 轴上.
解：（1）解：将 代入 得：
∴ ，
（2）
即：
即： 时， 或（3）直线 的解析式为 ，
的中点为 ，
的垂直平分线为 ，
当 时， ， ，
当 时， ， .
综上所述： ， ，使得 是以 为底边的等腰三角形.
【点拨】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不
等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线 得出 的垂直平
分线是解题关键.
7．（1） ；（2）D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1， ），D（1，-
），（1，6）；（3） ．
【分析】
（1）先求出C（0，3），再把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入 ，求出
a，b，c的值即可；
（2）分三种情形讨论即可①CD=AD，②AD=AC，③AC=CD，画出图形即可解决问题；
（3）求出BC所在直线解析式y=-x+3，作直线l平行直线BC且与抛物线只有一个交点，求出两
条直线之间的距离即为PQ的最大值．
解：（1）∵ 过 、 两点，且 ，
∴C（0，3），把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入 得，
，
解得， ，
∴ ；
（2）抛物线 的对称轴为x= ，顶点坐标为（1，4），
设D点坐标为：D（1，a），
①如图1，以AC为底，CD=AD时，
∴ ，
∴
解得，a=1
∴D(1,1);
②以CD为底，AD=AC，如图2，∵AC=
∴
解得，
∴D（1， ），或D（1，- ）；
③以AD为底，AC=CD= ,如图3，
∴
解得，a=0或6，
∴D（1，0），或D（1，6）；
综上所述，D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1， ），D（1，- ），（1，6）；
（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得 ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵PQ⊥BC于Q，过点P作直线l：y=-x+b与BC平行且与抛物线只有唯一一个交点P，交y轴于
点N，如图4，
此时，PQ最长，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
过点C作CM⊥l于点M，则CM=PQ，∠NCM=45°，
∵PQ最大值即CM= ．
【点拨】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是学会分类讨论，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．
8．（1） ，点 的坐标为 （2）△ABC的面积为 ；（3）P的坐标为
（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（ ，0）【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b= ，进而求解；
（2）△ABC的面积= ×AC•OB= ×（4+ ）×3= ；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵二次函数 的图像与 轴的一个交点为 ，
∴ ，解得 ，
∴此二次函数关系式为： ，
当 时， 解得 ，
∴点 的坐标为 ．
（2）连接AB，二次函数关系式为： ，令x=0，得y=3
∴B（0，3）由（1）得A（4，0）， ，
∴AC=4－（ ）=
∴△ABC的面积= ×AC•OB= × ×3= ；
（3）存在，设点P的坐标为（x，0），由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，
①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P（﹣1,0）；
②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，
∴P（﹣4,0）
③当AP=BP时，如图所示
∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=
∴P（ ，0）
综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（ ，0）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中
（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在满足条件的P点，其坐标为（ ，﹣2）；(3)
存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．【解析】
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求
得P点坐标；
（3）存在．分两种情况讨论，再利用待定系数法以及解方程组即可解决问题．
解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
(2)如图1，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝ （小于0，舍去）或x＝ ，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（ ，﹣2）；
(3)如图2，
①当D点在直线BC的上方时，过A点作AD ∥BC，交抛物线于D，此时，使得S ＝S ，
1 1 △DBC △ABC
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∵AD∥BC，
1
∴设直线AD 的解析式为y＝x+n，
11
把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，则n＝1，
∴直线AD 的解析式为y＝x+1，
1
解 得 或 ，
∴D 的坐标为（5，6），
1②当D点在直线BC的下方时，
由直线AD 的解析式为y＝x+1可知直线AD 和y轴的交点E的坐标为（0， 1），
1 1
∴CE＝5，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣10，
∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10无实数根，
故存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．
【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、
三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位
置是解题的关键，在（3）中AD∥BC是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度
适中．
10．（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣ ，2+3 )；（4）存在，P(4﹣ ，2+3
)
【分析】
（1）由待定系数法将A（4，4），B（5，0）代入二次函数的解析式为y＝ax2+bx即可；
（2）求出OA的解析式，将P，C的纵坐标用含m的代数式表示出来，再表示出PC的长度，用
函数的思想即可求出其最大值；
（3）存在，如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，则
PM＝PN，证△ODC和△PCN是等腰直角三角形，可用含m的代数式分别表示出PM，PN的长
度，解等式即可求出m的值，进一步写出点P的坐标；
（4）存在，当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，用含m的代数式表示出PC，OC的长，解方程即可求出m的值，进一步写出点P的坐标．
解：（1）∵二次函数的图像经过原点，
∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx，
将A（4，4），B（5，0）代入，
得 ，
解得，a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x；
（2）设直线OA的解析式为y＝ax，
将A（4，4）代入，
得，a＝1，
∴y ＝x，
OA
∵PD⊥x轴，D（m，0），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），
∴PC＝﹣m2+5m﹣m
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
根据二次函数的图像及性质可知，当m＝2时，PC有最大值，其最大值为4；
（3）存在，理由如下：
如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，
则PM＝PN，
∵点C在直线y ＝x上，
OA
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠PCN＝45°，
∴△PCN是等腰直角三角形，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，
∴PN＝ （﹣m2+4m）＝﹣ m2+2 m，
∵P（m，﹣m2+5m），
∴PM＝m，
∵PM＝PN，∴m＝﹣ m2+2 m，
解得，m＝0（舍去），m＝4﹣ ，
1 2
∴P（4﹣ ，2+3 ）；
（4）存在，理由如下：
∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，
∴当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝ OD＝ m，
∴﹣m2+4m＝ m，
解得，m＝0（舍去），m＝4﹣ ，
1 2
∴当m＝4﹣ 时，﹣m2+5m＝2+3 ，
∴P（4﹣ ，2+3 ）．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图像及性质的运用，等腰三角形的性质等，
解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质．
11．（1） ；（2）存在， 或 ，见解析.
【解析】
【分析】作 于点E，根据 是等腰直角三角形，即可求得D的坐标，利用待定系数法求
得函数的解析式，从而求得a的值．
根据三边分别相等可以分三种情况：
当 时，根据勾股定理列方程： ，可得a的值；
当 时，根据勾股定理列方程： ，可得a的值；
当 时，由于 ， ，不成立．
解： 如图，作 于点E，
，
是等腰直角三角形，
，
则D的坐标是 ．
设二次函数的解析式是 ，
把 代入得 ，
解得： ．
存在，分三种情况：
当 时，
，在 中， ，
，
，
，
设二次函数的解析式为： ，
将 代入，
，
当 时，
，
在 中， ，
，
，则 ，
，
，
当 时，
，
是AB的中点，
而 ， ，
，
不成立，
或 ．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直
角三角形的性质求得D的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键．
12．（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣ ，2+3 ）或（4+ ，2﹣3 ）或（6，﹣6）或（5，0）．
【分析】
（1）设y＝ax（x﹣5），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC＝﹣m2+4m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥4时，PC＝CD﹣PD
＝m2﹣4m，OC＝ m，分为三种情况：①当OC＝PC时，m2﹣4m＝ m，求出方程的解即可
得到P的坐标；同理可求：②当OC＝OP时，③当PC＝OP时，点P的坐标．综合上述即可得到
答案．
解：（1）设y＝ax（x﹣5），
把A点坐标（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，
解得a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+5x，
答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x．
（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+5x上，C在直线OA上，A（4，4），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（2，0）时，PC ＝4，
max
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4．
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝ m，
解得m＝4﹣ ，
∴P（4﹣ ，2+3 ）；
当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝ m，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，①当OC＝PC时，m2﹣4m＝ m，
解得：m＝4+ 或m＝0（舍去），
∴P（4+ ，2﹣3 ）；
②当OC＝OP时，（ m）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝6，m＝4，
1 2
∵m＝4时，P和A重合，即P和C重合，不能组成△POC，
∴m＝4舍去，
∴P（6，﹣6）；
③当PC＝OP时，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝5，
∴P（5，0），
答：存在，P的坐标是（4﹣ ，2+3 ）或（4+ ，2﹣3 ）或（6，﹣6）或（5，0）．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的待定系数法、二次函数的图像性质以及等腰
三角形的性质和判定。解答关键是，根据等腰三角形的腰与底边进行分类讨论，构造方程求解。
13．（1） ，B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P（0， ），P（ ，
1 2
0）．
【分析】
（1）将A点坐标代入y，可得抛物线的解析式，根据自变量为零，可得B点坐标；
1
（2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，观察图像可得到答案；（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根
据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得
P在x轴上．
解：（1）将A点坐标代入 ，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，
∴二次函数 的解析式为 ，
∵当x=0时， =3，
∴B点坐标为（0，3）；
（2）由图像得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时， ；
（3）存在，解答如下：
根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，作线段
AB的垂直平分线l，垂足为C，
∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解解析式为 ，
则有： ，解得： ，
∴直线AB的解析式为 ，
设AB的垂直平分线l的解析式为： ，
∵直线l过AB的中点为（2， ），
∴ ，解得： ，
∴AB的垂直平分线l的解析式为 ，
①当x=0时，y= ，P（0， ），
1
②当y=0时，x= ，P（ ，0），
2综上所述：P（0， ），P（ ，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
1 2
考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．综合题；4．压轴题．
14．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）证明见解析；（3）点P坐标为（ ，
）或（2，3）．
解：试题分析：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函数y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的
值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理
进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点
横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴将A（﹣1，
0）、C（0，3），代入，得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD= = ，BC= =3 ，BD= =2 ，∵CD2+BC2=
（ ）2+（3 ）2=20，BD2=（2 ）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；
（3）y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．假设存在这样的点P,①以CD为底边，则PD=PC，设P
1 1 1
点坐标为（x，y），根据勾股定理可得PC2=x2+（3﹣y）2，PD2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此
1 1
x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P 点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣
1
x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x= ，x= ＜1，(不满足在对称轴右侧应舍去），
1 2∴x= ，∴y=4﹣x= ，即点P 坐标为（ ， ）．②以CD为一腰，∵点P
1 2
在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点C关于直线x=1对称，此时点P 坐标
2 2
为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（ ， ）或（2，3）．
考点：1.二次函数图像性质；2.等腰三角形性质；3.直角三角形的判定.
15．（1）二次函数解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1；
（2）E（1，-2）；
（3）存在：M（0,3），M（0，0），M（0，-3- ），M（0，-3+ ）
1 2 3 4
（4）点H坐标为
【解析】
OE=AE−OA
分析：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数y= ，求得a、b的值即可确定
二次函数的解析式；（2）求出直线BC:y=x-3, 把对称轴方程直线x=1代入，即可求解;（3）在
RT△BOC中，根据勾股定理求出BC，据等腰三角形的性质求出①当BC=BM时，M（0,3）；②
1
当CM=BM时，点M与点O重合，M（0，0）；③当BC=CM时，M点有两个即M（0，-3-
2 3
），M（0，-3+ ）；（4）设点H的坐标为 ，连接OH，根据
4
.
本题解析：（1）将A，B两点坐标代入y=ax2+bx-3得方程组，解得a=1，b=-2，所以二次函数解
析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1；（2）设E点坐标为(1，a),把B(3，0),C(0，-3)代入直线BC：y=kx+b,求得解析式为：y=x-3， 把
x=1,代入得：a=-2, ∴E（1，-2）；
（3）存在：M（0,3），M（0，0），M（0，-3- ），M（0，-3+ ）
1 2 3 4
（4）连接OH，设H点坐标为（x，x2-2x-3）
0 0 0
S =S +S +S
四边形ACHB △AOC △COH △BOH
= + x+ |x 2-2x-3|
0 0
=
=
当x= 时，x2-2x-3=
0 0 0
所以点H坐标为
点拨：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定
理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
16．（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的
坐标为（-1，0）或（1± ，0）或（- ，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（- ，- ）．
【解析】
【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的
解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；
（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求
M的坐标即可；
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；
（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
∴D（n，n+2），
∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，
∴S = ×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，
△ANC
∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM 时，M（-1，0）；
1 1②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M、M，则BC=BM =BM = ，
2 3 2 3
此时，M（1- ，0），M（1+ ，0）；
2 3
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M，连接CM，则CM=BM ，
4 4 4 4
设OM =x，则CM=BM =x+1，
4 4 4
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x= ，
∵M 在x轴的负半轴上，
4
∴M（- ，0），
4
综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1± ，0）或（- ，0）；
【点拨】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函
数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二
次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．
17．（1） ；（2） ；（3） , , （ 5 ， -5 ） ,
(4,0)
【分析】
（1）利用抛物线过O、B可设二次函数解析式为： ，将A点坐标代入即可.
（2）利用P、C两点的坐标关系和所在的函数图像即可求出PC与x的函数关系式，然后求最值
即可.
（3）利用平面直角坐标系上任意两点之间的距离公式分类讨论即可.
解：⑴ 因为O、B在x轴上，抛物线过O、B两点，故可设 抛物线的解析式为 ，把
A （ 3,3 ）代入，得
解得
∴
⑵ 设直线 OA（其中O为原点），故设解析式 ，将A点坐标代入得：
解得
∴直线 OA解析式 ，
又因为PC⊥x轴，故P、C横坐标都为m，分别代入解析式可得 ，y=m
c
∴PC= = = ，当 x= 时， 代入解析式得：PC 最大值 =
⑶由上可知：C的坐标为：（m，m）P点坐标为（m， ），PC= 利用平面直角坐标系内任意两点的距离：故OC= ，PO=
①当OC=PC时， ，取绝对值得
，因为m＞0，故将m=0舍去.代入解析式中此时P点坐标为
或 .
②当OC=OP时，因为P、C不能重合（等腰三角形）只有C在一象限，P在四象限，满足题意
易得OD垂直平分PC，
∴CD=PD，
∵CD=m，PD=
∴ ，
（m＞0，故舍去），
此时将m=5代入解析式中解得：P（ 5 ， -5 ）
③当PC=OP时 ，
（m＞0，故舍去），
∴此时将m=4代入解析式中解得p(4,0)
综上所述， P 点坐标为 , , （ 5 ， -5 ） ,(4,0)
【点拨】此题考查的是①利用待定系数法求二次函数解析式；②利用二次函数求最值；③平面直
角坐标系上任意两点之间的距离公式.
18．（1）二次函数的解析式为 ；（2）当 时， 的面积取得最大值
；（3） 点的坐标为 ， ， .
解：分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴ ，
解得： ，
所以二次函数的解析式为：y= ；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y= ，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，
设D（m， ），则点F（m， ），
∴DF= ﹣（ ）= ，
∴S =S +S = ×DF×AG+ DF×EH
△ADE △ADF △EDF
= ×DF×AG+ ×DF×EH
= ×4×DF=2×（ ）
= ，
∴当m= 时，△ADE的面积取得最大值为 ．
（3）y= 的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣
4，0），可求PA= ，PE= ，AE= ，分三种情况讨论：当
PA=PE时， = ，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时， = ，解得：n= ，此时点P坐标为（﹣1， ）；
当PE=AE时， = ，解得：n=﹣2 ，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2
）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1， ），（﹣1，﹣2 ）．
点拨：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积
的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
19．（1）见解析；（2）n=1、2、3、4；（3）存在，理由见解析．
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y=y 得到用n表示a的式子，即可得到
1 2
答案；
（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解．
（3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物
线的顶点，点A、C关于对称轴对称，于是得到 ，从而可以求出 ．
解：（1）∵点A（n，y）、B（n+1，y）都在二次函数 （a＞0）的图像上，
1 2∴ ．
∵y=y，
1 2
∴ ，整理得：a=2n+1．
∵n为正整数，∴a必为奇数．
（2）当a=11时，∵y＜y＜y，
1 2 3
∴ ．
化简得： ．解得： ．
∵n为正整数，∴n=1、2、3、4．
（3）存在．
假设存在，则AB=AC，
如图所示，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E，
∵x =n，x =n+1，x =n+2，∴AD=CE=1．
A B C
在Rt△ABD与Rt△CBE中，AB=BC，AD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠BAD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称．
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴ ．∴ ．
∴存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形， ．20．（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）点P坐标为（2，﹣6）；（3）点P坐标为：（ ，4）或（
，4）或（3，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c，可求出b、c的值即可求得二次函数的解析式；（2）过
OB的中点D作垂线交抛物线于点P，则△POB就是所求的三角形，根据抛物线的解析式可求出
B点坐标，由DP是OB的垂直平分线，可知直线DP为：x=2，进而可得P点坐标；（3）设P
（m，m2﹣3m﹣4），分别讨论AC为边和AC为对角线两种况，根据平行四边形的性质，列方程
求出m的值即可求得P点坐标.
解：（1）将A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点代入y=x2+bx+c得： ，
∴ ，
所以此二次函数的解 析式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵△POB是以OB为底边的等腰三角形，
∴过OB的中点D作垂线交抛物线于点P
即△POB就是所求的三角形，如图1，
∵点B是抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴的一个交点，
∴B（4，0）
∴直线DP可以表示为：x=2
∵点P是抛物线y=x2﹣3x﹣4与直线x=2的交点，
∴根据方程组的解得：点P坐标为（2，﹣6）；
（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴CO=4，
①以AC作为边，如图2，过点P 向x轴作垂线交x轴于点M
1
根据平行四边形的性质：AC=PF，CO=MP ，
1 1 1∵∠PMF =∠AOC=90°，
1 1
∴Rt△P MF ≌Rt△COA，
1 1
∴CO=P M
1
∵CO=P M=4，
1
∴m2﹣3m﹣4=4或m2﹣3m﹣4=﹣4，
解之得：m= 或m=0（舍）或m=3，
∴点P坐标为（ ，4）或（ ，4）或（3，﹣4），
②以AC作为对角线，如图2，CP∥AF，
∴点P坐标为（3，﹣4）
∴点P坐标为：（ ，4）或（ ，4）或（3，﹣4）．
【点拨】本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图像为
抛物线，其顶点式为y=a（x- ）2+ ，抛物线的对称轴为x=- ，当a＞0，y最小值=
；当a＜0，y最，大值= ；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特
殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．21．（1） ；（2）S= ；（3）存在，点 的坐标为
或 或
【分析】
（1）求出点B、C坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）求出点M、A坐标，求出直线 的解析式，表示出点P坐标，利用割补法即可求出 关于
的函数解析式；
（3）设点N坐标为 且 ，根据勾股定理表示出 ,根据
为等腰三角形分类讨论，求出x值，并把不合题意舍去即可求解．
解：（1）∵ ，
∴点B坐标为（3,0），点C坐标为（0,3），
把点B、C坐标代入抛物线解析式得
解得
∴二次函数的解析式为 ；
（2）∵ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，解得 ，
∴ 直线 的解析式为 ，
∵ 轴， ，∴ 点 的坐标为 ，
∴
；
（3）存在．
由于 是直线 上一点，由（2）知，直线 的解析式为 ，
因此设 且 ，由勾股定理可得：
，
，
，
①当 时， ，
解得 ， （舍去），
此时 ；
②当 时， ，
解得 ， （舍去），
此时 ；
③当 时， ，
解得 ，此时 ．
综上，点 的坐标为 或 或 ．【点拨】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法，不规则图形面积求法，勾股定理，一元二
次方程，等腰三角形等知识，理解函数图像上点的意义，熟练掌握相关知识点并熟练应用是解题
关键．
22．（1） ；（2） ；（3）（﹣1，1）或（﹣1， ）或（﹣1，﹣2 ）
【分析】
（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，
运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴ ，
解得： ，
所以二次函数的解析式为：y= ；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y= ，
过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m， ），则点F（m， ），
∴DF= ﹣（ ）= ，
∴S =S +S = ×DF×AG+ DF×EH
△ADE △ADF △EDF
= ×DF×AG+ ×DF×EH
= ×4×DF
=2×（ ）
= ，
∴当m= 时，△ADE的面积取得最大值为 ．
（3）y= 的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可
求PA= ，PE= ，AE= ，分三种情况讨论：
①当PA=PE时， = ，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
②当PA=AE时， = ，解得：n= ，此时点P坐标为（﹣1， ）；
③当PE=AE时， = ，解得：n=﹣2 ，此时点P坐标为：（﹣1，﹣
2 ）．
∴综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1， ），（﹣1，﹣2 ）．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面
积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
23．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2） ；（3）M（1，1），M（1， ），M（1，﹣ ），M
1 2 3 4
（1，0）．【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可；（2）设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣
m+3）．利用两点间的距离公式得到PQ＝﹣m2+3m，再利用配方法求得最值即可；（3）分①MA
＝MB， ②MA＝AB，③AB＝MB三种情况求点M的坐标即可．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图像经过A（﹣1，0），C（3，0）．
∴
解得 ．
∴此二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵设直线BC为y＝kx+b，因其经过B（0，3），C（3，0），
∴ ．
解得k＝﹣1，b＝3
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）
PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m
＝﹣（m﹣ ）2+ ．
PQ的最大值为 ．
（3）存在，理由如下：
∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣ ＝1，OA＝1，OB＝3，
在Rt△ABO中由勾股定理可得AB＝ ，AB2＝10．
设M（1，a），则MA2＝22+a2，MB2＝12+（a﹣3）2．分三种情况讨论：
①MA＝MB，22+a2＝12+（a﹣3）2，得a＝1，
∴M（1，1）；
1
②MA＝AB，22+a2＝10，得a＝± ，
∴M（1， ），M（1，﹣ ）；
2 3
③AB＝MB，12+（a﹣3）2＝10，得a＝0或a＝6，
∴M（1，0），M（1，6）．
4 5
∵M、A、B三点共线，
5
∴M（1，6）舍去．
5
∴ M的坐标为：M（1，1），M（1， ），M（1，﹣ ），M（1，0）．
1 2 3 4
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合
能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线
段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．（1） ；（2） ；（3）存在， ，或 或
【分析】
（1）根据抛物线的顶点为 ，将 化成顶点式 ，然后将点
代入，化简计算即可；
（2）求出A，B，C三点的坐标，可得直线 的表达式为 ，设点 ，则
，根据 化简求解即可；（3）分三种情况讨论：当 时，当 时，当 时分别求解即可.
解：（1） 抛物线的顶点为 ，
设抛物线的表达式为 .
将点 代入得， .
解得
二次函数的表达式为 ；
（2）令 ，得 ，
.
抛物线的对称轴为直线 ， ，
.
由 ， 可得直线 的表达式为 ，
设点 ，则 ，
则
.
, ,
当 时，四边形 面积有最大值，最大值为 ；
（3）存在，由（2）知直线 的表达式为 .设 ，其中 ，
由 ， ， 可得，
， ， ；
分情况讨论如下：
1. 当 时，有 .
解得 （舍）， ，
此时点 的坐标为 ；
2. 当 时，有 .
解得 （舍）， ，
此时点 的坐标为 ；
3. 当 时，有 .
解得
此时点 的坐标为 ；
综上所述，当 是等腰三角形时，点 的坐标为 ，或 或 .
【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，几何图形面积的计算方法，平面坐标系中两点间的距离公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论思想进行讨论．
25．（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+ ，0）或（1- ，0）或
（- ，0）．
【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）分CB=CM、BC=BM、BM=CM三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM 时，M（-1，0）；
1 1
②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M、M，则BC=BM =BM = ，
2 3 2 3
此时，M（1- ，0），M（1+ ，0）；
2 3
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M，连接CM，则CM=BM ，
4 4 4 4设OM =x，则CM=BM =x+1，
4 4 4
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x= ，
∵M 在x轴的负半轴上，
4
∴M（- ，0），
4
综上，点M的坐标为：（-1，0）或（1+ ，0）或（1- ，0）或（- ，0）．
【点拨】此题考查二次函数综合题，二次函数的解析式．解题关键在于利用数形结合的思想把代
数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．（1） ；（2）E的坐标为（ ， ）、（0，﹣4）、（ ，
）；（3） ，（ ， ）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为 ，则可设E（m， ），然后分三种情况讨论即
可求得；
（3）利用△PBD的面积 即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数 （ ）的图像与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴ ，解得： ，∴该二次函数的解析式为 ；
（2）由二次函数 可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由
二次函数 可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为 ，∴ ，解
得： ，∴直线BC的解析式为 ，设E（m， ），
当DC=CE时， ，即 ，解得 ，
（舍去），∴E（ ， ）；
当DC=DE时， ，即 ，解得 ，
（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时， ，解得 = ，∴E（ ， ）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（ ， ）、
（0，﹣4）、（ ， ）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：
，
∵△PBD的面积= =
= ，
∴当m= 时，△PBD的最大面积为 ，∴点P的坐标为（ ， ）．
考点：二次函数综合题．
