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专题 27 圆锥曲线点差法必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知双曲线 被直线截得的弦AB，弦的中点为M（4，2），则直线AB的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】
设 ， ， ， ，利用点差法计算可得．
【详解】
解：设交点坐标分别为 ， ， ， ，则 ， ， ，
两式相减可得 ，即 ，所以
，即直线 的斜率为 ；
故选：A．
2．若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用点差法求出直线 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.
【详解】
设 ，则 ， ，
两式做差可得 ，
即 ，又因为 是 的中点，则 ，
因此 ，即 ，
所以 ，
因此直线 的方程为 ，即 ，
经检验，符合题意，故弦 所在直线的方程为 .
故选：B.
3．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直
线 的交点恰好为线段 的中点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据离心率可得 ，利用点差法即可求解.
【详解】
由题意可得 ，整理可得 ．
设 ， ，则 ，
两式相减可得 ．
因为直线 与直线 的交点恰好为线段 的中点，所以 ，
则直线 的斜率 ．
故选：C
4．若直线l与椭圆 交于点A、B，线段AB中点P为（1，2），则直线l的斜率为（ ）A． B． C．6 D．－6
【答案】B
【分析】
设A，B分别为 ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标公式可得直线斜率．
【详解】
设A，B分别为 ，
， ，相减得 ，
即 ，
又 中点是P（1，2）， ，
， ， ，
故选：B．
5．过点 的直线交抛物线 于 两点，当点 恰好为 的中点时，直线 的方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用点差法求得直线 的斜率，进而可求出直线 的方程，注意检验判别式是否大于0.
【详解】
设 ，所以 ，
两式相减得， ，
因为点 为 的中点，所以 ，所以 ，故直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，所以 ， ，故斜率为 符合题意，因此直线
的方程为 ，
故选：D.
6．以椭圆 内一点 为中点的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先设直线与椭圆的两个交点 ， ，再利用点差法求直线的斜率，最后求解直线方程.
【详解】
设过点 的直线交椭圆于 ， 两点，
则 ，两式相减得 ，
因为 ， ，
，两边同时除以 得 ，
得 ，
所以直线方程为 ，即 .
故选：B7．已知椭圆 ( )的右焦点为 ，离心率为 ，过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，若
的中点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】
解：设 ， ，则 的中点坐标为 ，
由题意可得 ， ，
将 ， 的坐标的代入椭圆的方程： ，
作差可得 ，
所以 ，
又因为离心率 ， ，所以 ，
所以 ，即直线 的斜率为 ，
故选：A.
8．已知直线l被双曲线C： ﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0
【答案】C
【分析】运用代入法、点差法求出直线l的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】
解：设P，Q的坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2
∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x+x=2，y+y=4，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ﹣(y﹣y)(y+y)=0，
1 2 1 2
整理得 ，即直线l的斜率为 ，
故直线l的方程为y﹣2= (x﹣1)，
即x﹣8y+15=0，
故选：C.
9．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，若 的中点
坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，可得 ， ，将 两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求
出 = = = ，进而可求出 的值.
【详解】
设 ，则 ， ，则 ，
两式相减得： ，
∴ = = = ，
又 = = ，∴ ，
联立 ，得 .
∴椭圆方程为 .
故选：D．
10．已知椭圆 ，点 为右焦点， 为上顶点，平行于 的直线 交椭圆于 ， 两
点且线段 的中点为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得直线 的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可.
【详解】
设 ，直线 的斜率为
则所以 ，由线段 的中点为
所以
所以 ，又 ，所以 ，又
所以 ，∴ ，
故选：A.
11．在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先设弦的两端点的坐标分别为 ， ，代入抛物线方程，两式作差，求出弦所在直线的斜率，
进而可求出直线方程.
【详解】
设以 为中点的弦的两端点的坐标分别为 ， ，
由题意可得， ，两式作差可得， ，
所以
因此所求直线的方程为 ，整理得 .
故选：C.
12．已知斜率为 的直线与双曲线 交于 ， 两点，若 ， 的中点为 ，
则双曲线的渐近线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用点差法，设 ，代入双曲线方程后作差，得 ，利用直线的
斜率和线段 的中点坐标求得 的值.
【详解】
设 ，
，两式相减得 ，
即 ，两边同时除以 得
，由条件可知 ， ， ，
，解得： ，
所以双曲线的渐近线方程是 ，即 .
故选：B
13．直线 经过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆交于 两点，若 为线
段 中点， ，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】
由已知求得 ，得到M的横坐标为 ,进而求得M的纵坐标，然后得出OM的斜率，由 ,
得到 ，即可判定结论.
【详解】
易得直线l的与x轴的交点横坐标为 ,∴椭圆的半焦距 ,
又∵ ，∴M的横坐标为 ,代入直线方程得到M的纵坐标为 ，
∴OM的斜率 ,
由于直线l的斜率 ,
,
, ,∴ ,
∴ ,∴ ,
逐项检验，即可判定只有C符合，
故选：C.
14．已知曲线 ，过点 且被点 平分的弦 所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，根据点差法求 ，进而求出方程并检验即可.
【详解】
解：设 ，故 ，
两式做差得： ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故弦 所在的直线方程为 ，即： .
联立方程 得： ，
，故满足条件.
故选：A.
15．过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： ( )相交于 ､ 两点，若 是线段
的中点，则椭圆 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，由点差法运算可得 ，再由离心率公式即可得解.
【详解】设 ，则 ， ，
所以 ，作差得 ，
所以 ，即 ，
所以该椭圆的离心率 .
故选：A.
16．过椭圆 的右焦点 的直线与 交于 ， 两点，若线段 的中点 的坐
标为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 以及 中点 坐标，利用“点差法”得到 之间的关系，从而得到 之间的关系，结合
即可求解出椭圆的方程.
【详解】
设 ，则
的中点 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
而 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以
椭圆方程为： .
故选：A.
17．已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 （
为坐标原点）的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先设 ， ， 的中点 ，将 ， 代入椭圆方程再相减得到 ，
从而得到 ，即可得到答案.
【详解】
设 ， ， 的中点 ，
则 ， .
因为 ， 两点在椭圆上，所以 ， .
两式相减得： ，，
， ，
即 ，解得 .
故选：B
18．过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ， ，若 是线段 的中
点，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，由条件可得 ， ，由 ， 得到
，然后得出 即可.
【详解】
设 ，由条件可得 ，
因为 ，
所以
将 ， 代入可得 ，
所以
故选：A
第II卷（非选择题）二、填空题
19．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的中
点坐标为 ，则椭圆 的方程为___________．
【答案】
【分析】
设 ， ，采用“点差法”，得 ，再根据直线过点 ，和AB的中点坐标
，得 ，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得 ， ，即可得E的方程.
【详解】
由题意，设 ，代入椭圆方程 ，
可得
两式相减可 ，变形可得 ﹐又 的中点 为 ，所以
，代入上式可得， ，又 ，所以
，
又 ，
解得 ，所以椭圆 的方程为 ．
故答案为：20．椭圆 离心率为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，且 中点为 ，
为原点，则直线 的斜率是_______．
【答案】
【分析】
设 ， ，利用点差法即可求出直线 的斜率；
【详解】
解：因为椭圆 离心率为 ，所以 ，所以
设 ， ，所以 ， ，因为 ， 在椭圆上，所以
，两式作差得 ，即 ，即 ，即
，所以
故答案为：
21．已知 为抛物线 的一条长度为8的弦，当弦 的中点离 轴最近时，直线 的斜率为
___________.
【答案】
【分析】
利用抛物线的定义，找到直线 中点 的纵坐标，以及最短距离时点 也在直线 上，再次利用直线
的两点表示出斜率，即可解出 的坐标，求出 的斜率．
【详解】
由题意得抛物线的准线方程为 ： ，过 作 于 ，过 作 于 ，设弦 的中点为 ，过 作 于 ，则 ，
设抛物线的焦点为 ，则 ，即 (当且仅当 ， ， 三点共线时
等号成立)，
所以 ，解得 ，
即弦 的中点到 轴的最短距离为： ，
所以点 的纵坐标为 ， ， ， ， ， ，
∴所以直线 的斜率 ，
∴ ，此时 ，
当弦 的中点离 轴最近时，直线 的斜率为 ，
故答案为： .
22．直线 与椭圆 交于 ， ，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线
的斜率为 ，则 ______．
【答案】
【分析】
设点，代入椭圆的方程，利用点差法，结合线段 的中点 的坐标，即可得到答案.
【详解】设 ，中点 ，
则 ，
把点 代入椭圆的方程 ，
整理得 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
即 .
23．已知椭圆 ，过点（4，0）的直线交椭圆 于 两点.若 中点坐标为（2，
﹣1），则椭圆 的离心率为_______
【答案】
【分析】
设 ，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.
【详解】
设 ，
则 ，①
，②
① ②可得 ，
因为 中点坐标为（2，﹣1），则 ， ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
24．设 、 是抛物线 上不同的两点，线段 的垂直平分线为 ，
若 ，则 ______.
【答案】
【分析】
根据线段 的垂直平分线方程可得出直线 的斜率，由此利用点差法可得出关于 的等式，进而可求得
实数 的值.
【详解】
由题知， ， ，两式相减得 ，
所以 ，由题知 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
25．已知直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若 中点的横坐标恰好为 ，
则椭圆 的离心率为______.
【答案】
【分析】
设 ， ，代入椭圆方程得 ， ，两式作差，利用中点坐标和斜率公式可得 ，再根据离心率公式可得结果.
【详解】
设 ， ，代入椭圆方程得 ， ，
两式作差得 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
26．在直角坐标系 中， 是圆 的弦， 是 中点，若 ， 都存在非零斜率 ， ，则
.类比于圆，在直角坐标系 中， 是椭圆 的弦， 是 中点，若
， 都存在非零斜率 ， ，则 ________.
【答案】
【分析】
利用椭圆中的点差法进行求解即可，也就是设出椭圆弦的两个端点的坐标，代入椭圆标准方程中，两个方
程相减，根据斜率公式和中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设 ，所以有 .
由 是 中点，所以点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，因此直线 的斜率为：
；
是椭圆上的点，因此有 得：
，因此有
.
故答案为：
三、解答题
27．已知椭圆 ： 过点 ，长轴长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，当 为线段 中点时，求直线 的方程.
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）椭圆基本量计算.
（2）点差法求斜率即可.
（1）
因为椭圆 的长轴长为 ，所以 ，得 ，
又椭圆 过点 ，
所以 ，得 .
所以椭圆 的标准方程为: .
（2）
直线 的斜率不存在时，过点 ，直线 的方程为：
此时线段 中点为 ，不合题意.
所以直线 的斜率必存在，设其为 ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，所以 ，
将 、 坐标代入椭圆 的标准方程为 得， ，
两式相减得： ，整理得： ，
所以 ， ，
所以 .
所以直线 的方程为 ，即 .因为点 在椭圆内部，所以直线 必与椭圆相交于两点，此直线即为所求.
28．已知椭圆C的焦点为 ， ，过 的直线与椭圆C交于A，B两点.若 的周长为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆 中以 为中点的弦所在直线方程.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由已知得 ，解得 ，又 ，可得 ，进而可得答案．
（2）根据题意得中点弦的斜率存在， ， ， ， ，则 ， ，两式作差，化
简可得斜率，即可得出答案．
【详解】
解：（1）由已知得 ，则 ，
又由 ，可得 ，
所以椭圆方程为 ．
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且 在椭圆内，
设 ， ， ， ，
所以 ， ，
两式作差，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以中点弦的方程为 ，
所求的直线方程 ．
29．设椭圆 过点 ，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点 且以M点为中点的弦的方程．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用待定系数法求出 =4，再根据 ，代入即可求解.
（2）利用点差法可求得直线的斜率，根据点斜式方程即可得出结果.
【详解】
（1）将 代入C的方程得 ，
∴ =4，又 得 ，
即 ，∴ ，∴C的方程为 ．
（2）设直线与C的交点为A ，B ，代入椭圆方程得
，作差化简可得 ，即 ，又 ，
则 ，
以M点为中点的弦的方程: ,即： .
30．已知椭圆 的离心率为 ，点 是椭圆 上的两个点，点 是线段 的中点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题意得 ，根据a，b，c的关系，可求得a的值，即可得答案；
（2）解法一：由题意得AB的斜率存在，设为k，可得直线AB的方程，与椭圆联立，可得关于x的一元二
次方程，根据韦达定理，可得 的表达式，根据 的中点为 ，可得k的值，代入弦长公式，
即可得答案；
解法二：利用点差法，可求得直线AB的斜率k，进而可得直线AB的方程，与椭圆联立，可得关于x的一
元二次方程，根据韦达定理，可得 的值，代入弦长公式，即可得答案.
【详解】
（1）由条件知， ， ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）解法一：
当直线 斜率不存在时，线段 的中点在 轴上，不符合题意，
故可设直线 的方程为 ，并设 ，
联立方程 消去 ，得 ，
，由点 是线段 的中点知， ，
所以 ，解得 ，
代入得 ，
所以 .
解法二：
当直线 斜率不存在时，线段 的中点在 轴上，不符合题意，
设 ，其中 ，代入椭圆方程，
，两式相减得 ，
由点 是线段 的中点知， ，
直线 斜率为 ，
直线 方程为 ，
联立方程 ，消去 ，得 ，
所以 ，
所以 .任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．已知椭圆C： 上存在两点M，N关于直线 对称，且线段MN中点的纵坐标
为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
设出 ， 的坐标，代入椭圆方程，作差后结合已知直线的斜率及 中点的坐标列式求解．
【详解】
解：设 ， ，则 ， ，
两式相减，得 ，即 ，
， 关于直线 对称， ，
又线段 中点的纵坐标为 ， 线段 中点的横坐标为 ，所以
，解得 ．
故选：A．
2．设直线 与双曲线 两条渐近线分别交于点 ， ，若点 满
足 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设 , 的中点为 ，用点差法可得 ，由 可得 结合
点 在直线 上，可得出 的关系，从而可得答案.
【详解】
由双曲线 得到渐近线的方程为
即双曲线的两条渐近线合并为
设 , 的中点为 ，则 ，
两式相减可得 ，即…………… ①
又点 在直线 上，则 ……… ②
由 ,则 ，则 …………… ③
联立②，③可得 ，
将 代入①可得
所以渐近线的方程为
故选：A
3．已知椭圆 ： 上有三点 ， ， ，线段 ， ， 的中点分别为 ， ， ， 为
坐标原点，直线 ， ， 的斜率都存在，分别记为 ， ， ，且 ，直线 ，
， 的斜率都存在，分别记为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
采用点差法，设 ， ，代入椭圆方程化简可得 ，即 ，同理求出
， ，结合 即可求解
【详解】
设 ， ，代入椭圆方程可得 ，两式相减，可得 ，即，故 ，即 ，即 ，同理可
得： ， ．由 ，得 ，故
．
故选：B．
4．斜率为 的直线 经过双曲线 的左焦点 ，交双曲线于 两点， 为双曲线的右
焦点且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用点差法代入计算得 ，然后结合 ，可得 ，设直线 的倾斜角为 ，
则可得 ，从而得 ，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】
设 的中点为 ，设 ，则 ，得
，则 ，设直线 的倾斜角为 ，又 ，所以
，可得 ，所以直线 的倾斜角为 ，则 的斜率为，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，
故选：
5．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ，
两点， 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用点差法，设 ， ， ，则 ， ，两式相减，化简可得
，设 ，过 作 轴，垂足为 ，从而结合已知条件可得 ，
将其代入椭圆方程化简可求得结果
【详解】
设 ， ， ，由题意得 ， ，两式相减，得，因为 为线段 的中点，且直线 的倾斜角为 ，所以
．设 ，则 ，过 作 轴，垂足为 ，则
， ，由题易知 位于第二象限，所以 ，所以
，得 ，所以 ，所以 ．
故选：B
6．直线l与抛物线 相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段
PA，PB的中点都在抛物线上，则（ ）
A．PM与y轴垂直 B．PM的中点在抛物线上
C．PM必过原点 D．PA与PB垂直
【答案】A
【分析】
设 ,得出线段PA，PB的中点坐标，代入抛物线方程，得到 ，从
而得到答案.
【详解】
设
则线段PA，PB的中点坐标分别为
线段PA，PB的中点都在抛物线 上.则 ，即
所以 是方程 的两个实数根
所以 ，所以 ,即PM与y轴垂直
故选：A
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且
， ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先设出点 的坐标，利用点差法可得 ，再根据 可得 ，
即可由此求出斜率.
【详解】
设 ，
在椭圆上，则 ，
两式相减可得 ，
， 是 中点，则 ，代入上式，则 ，即 ，
又 ，则 ，
即 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，所以直线 的斜率为 .
故选：C.
8．已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于A， 两点，若线
段 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用中点坐标公式和点差法可求得 的值，结合 可得出 、 的值，即得椭圆 的方程.
【详解】
设点 、 ，则 的中点为 ，
则 ，可得 .
若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合题意；故直线 的斜率存在，且 ，
直线 的斜率为 ，
由于A、 两点都在椭圆 上，则 ，
两式作差得 ，所以 ，
因为 在直线AB上，故 ，
所以 ，
又 ，故
所以 ，解得 ，因此，椭圆 的标准方程为 .
故选：A.
9．抛物线 上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长为3，则点 的纵坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得到 ，利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式
和基本不等式即可得到答案
【详解】
解：设直线 的方程为 ，由 ，得 ，
由题意可得 ，即 ，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
中点 的纵坐标为
当且仅当
，即 时取等号，
所以点 的纵坐标的最小值为 ，
故选：A
10．过点 作直线l与双曲线 交于P，Q两点，且使得A是 的中点，直线l方程为（
）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
【答案】D
【分析】
设出点P，Q的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率并求出其方程，再将直线l与双曲线方程联立验证
即可得解.
【详解】
设点 ，因点 是 的中点，则 ，从而有 ，两式相减得： ，
即 ，于是得直线l的斜率为 ，
直线l的方程为： ，即 ，
由 消去y并整理得： ，此时 ，即方程组
无解，
所以直线l不存在.
故选：D
11．以原点为对称中心的椭圆 焦点分别在 轴， 轴，离心率分别为 ，直线 交 所得的弦
中点分别为 ， ，若 ， ，则直线 的斜率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分类讨论直线 的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据 ，
求解.
【详解】
设椭圆 的方程分别为 ， ，由 可知，
直线 的斜率一定存在，故设直线 的方程为 .
联立 得 ，
故 ， ；联立 得 ，
则 ， .
因为 ，所以 ，
所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ， .
故选：A.
12．过椭圆 的右焦点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，椭圆上不同的两点
，满足条件： 成等差数列，则弦 的中垂线在 轴上的截距的范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用焦半径公式得 ，设 中点 ，利用点差法可求得 ，进而求得弦 的中垂线方程，
求得其在 轴上的截距，利用 在椭圆“内”，可求得结果.
【详解】
因为 成等差数列， ，利用焦半径公式得： ， ，代入可得
设 中点 ，椭圆上不同的两点 ，
，两式作差可得 ， ，
所以弦 的中垂线的方程为： ，
当 时， ，此即 的中垂线在 轴上的截距，
在椭圆“内”， ，得 ，
．
故选：C．
13．已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，直线
交椭圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题设 ，利用 为 的重心，求出线段 的中点为 ，将B代入直线方程得，再利用点差法可得 ，结合 ，可求出 ，进而求出离心率.
【详解】
由题设 ，则线段 的中点为 ，
由三角形重心的性质知 ，即 ，解得：
即 代入直线 ，得 ①.
又B为线段 的中点，则 ，
又 为椭圆上两点， ，
以上两式相减得 ，
所以 ，化简得 ②
由①②及 ，解得： ，即离心率 .
故选：C.
14．已知圆 在椭圆 的内部，点 为 上一动点.过 作
圆 的一条切线，交 于另一点 ，切点为 ，当 为 的中点时，直线 的斜率为 ，则 的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当点 为 中点时，由点差法可得 ，再由 与圆 相切可得 ，可解出
；设 为 的左顶点，连接 ，则 ，根据正切的二倍角公式可解得
，即得出 ，将 和 代入 得 ，然后解出
离心率 .
【详解】
设 ， ， ，则 ， .
将 ， 的坐标分别代入 的方程，得 ，
两式相减，得 ，
所以 ，即 .
当 为 的中点时， ，则 ，故 .
如图，设 为 的左顶点，连接 ，则 ，所以
，整理得 ，解得 或
（舍去），则 ，所以 ，所以 ，
故 的离心率 .故选：C.
15．已知双曲线 ： ，若存在斜率为1的直线与 的左､右两支分别交于点 ， ，
且线段 的中点在圆 ： 上，则 的离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据点差法化简后可得 ，利用中点在圆上，代入根据方程有解，利用判别式建立不等关系，化简
即可求出离心率的取值范围.
【详解】
设 ，
则 ①， ②
① ②得
化简得 ，
因为直线斜率为1，
所以 ，设 为 中点，
则 ③，其中 ， ，
因为 在圆上，则 ④
③代入④可得 ，
方程有解可得 ，
即 ，
解得 ,即 ，
所以 ，
故选：B
16．过抛物线 的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线
交x轴于点M，若 ，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
先设点 ，点 ，则 ，再把 的中点坐标 和斜率 表示出
来，
进一步可以求出线段AB的中垂线的方程，只需令 ，则 的横坐标 ，故可计算出线段FM的长度为
.
【详解】设 ， ，由抛物线性质可知 .
，由题可知 .
，即
设线段AB的中垂线的斜率为 ，则 .
所以AB的中垂线方程为：
令 ，则 的横坐标
则
所以线段FM的长度为2.
故选：B.
17．已知抛物线C ： 和圆C ：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C 上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于
1 2 2
M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（ ）
A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0
【答案】D
【分析】
设点 和直线MN的方程为： ，其中 ，则 ，联立 并结
合韦达定理可得 ， ，利用直线MN与圆C 相切，则有 ，再根据直线C P
2 2与直线MN垂直，则 ，消去n化简可得 ，降次整理
可得 ，令 ，利用导数求出单调性可证明
在 无解，故可得 ，代入可求n，从而可求直线MN的方程.
【详解】
画出曲线图像如下图：
由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0，设点 ，
设直线MN的方程为： ，其中 ，则 ，
联立 ，可得 ，
则有， ， ，
根据中点坐标公式可得， ， ，
又直线MN与圆C 相切，则有 ，即 ①，
2依题意，直线C P与直线MN垂直，则 ，
2
整理得 ②，
将②代入①并整理得， ，
降次化简可得， ③，
令 ，
则 ，因为 ，
所以 ，即 在 单调递减，
则 在 上恒成立，即 在 无解，
从而③式的解只有一个， ，代入②式可得， ，
所以，直线MN的方程为： ，整理得，4x-3y-26=0.
故选：D.
18．已知圆 与椭圆 相交于 两点，若 是圆 的直径，则椭圆
的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得点 关于圆心 对称，先用点差法将直线AB的斜率求出来，即可得AB的方程，然后
再由 即可求出椭圆的方程.
【详解】依题意，点 关于圆心 对称，且 .
设 ， ，则 ， ，
两式相减并结合 ， 得 .
易知， 不与 轴垂直，则 ，所以 的斜率 ，
因此 直线方程为 ，
代入椭圆方程得： ，所以 ， .
于是 .
由 ，得 ，解得 .
所以椭圆的方程为 ，
故选：A.
19．已知抛物线 ，直线 交抛物线 于 两点， 是 的中点，过 作 轴的垂线
交抛物线 于点 ，且 ，若 ，则k为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
设 , ,根据向量运算可得 ，联立直线与抛物线方程，
由根与系数的关系即可求解k.
【详解】
设 ，则 ，
由 ，
，
，
，①
即 ，
由 得 ，
当 ，即 时
，
代入①得：
即 ，
解得 或 （舍去），
故选：B
20．已知椭圆 上存在两点 关于直线 对称，且线段 中点的纵坐
标为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
点 关于直线 对称，则线段 中点在直线 上，求出中点坐标， 与直线
垂直，根据中点关系和斜率关系即可求解.
【详解】
设 ，点 关于直线 对称，
且线段 中点在直线 上，纵坐标为 ，所以横坐标为 ，
，
在椭圆上： ， ，两式相减得：
解得： .
故选：B
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交于B，D两点，且BD的中点为
，则C的离心率是______．
【答案】2【分析】
设 ，代入双曲线方程，利用点差法，可求得 ，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】
设 ，则 ，
两式作差可得： ，即 ，
因为 为BD中点，
所以 ，
又直线BD斜率为1，
所以 ，代入可得， ，
所以C的离心率 .
故答案为：2
22．已知椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程为______.
【答案】
【分析】
设这条弦的两个端点分别为 、 ，由中点坐标公式得 ，利用点差法可求得直线
的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程.
【详解】
解：已知椭圆 的弦被点 平分，
设这条弦的两个端点分别为 、 ，则 ，得 ，
由于点 、 均在椭圆 上，则 ，
两式相减得 ，可得 ，
即 ，
所以直线 的斜率为 ，
因此，这条弦所在直线的方程为 ，即 .
故答案为： .
23．已知椭圆 离心率 ，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A作
x轴垂线交椭圆于点C，过A作直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则 ____
【答案】 /
【分析】
首先求得 ，然后由 求得 点的纵坐标，从而求得 .
【详解】
.
设 ，则 ，设，两式相减并化简得 ，
即 ， ，
由 ，可得 ，则 ，即 ，解得 ， .
故答案为：
24．已知椭圆 ： 上存在 ， 两点关于直线 对称，且线段 的中点在抛物线
上，则实数 的值为___________.
【答案】 或 /0或
【分析】
由题意，设 ： ， 的中点 ，联立直线AB方程和椭圆方程，利用韦达定理及中点坐
标公式，可得 ，代入抛物线方程可求t，从而即可得m的值．
【详解】
解：因为 所在的直线与直线 垂直，
所以设 ： ， 的中点 ，联立 ，得 ，
设 ， ，则有 ，
所以 ， ，得 ，
将 代入抛物线方程中得 ，所以 或 ，
所以 或 ，
因为点 在直线 上，所以得 或 ，
故答案为： 或 .
25．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ，
两点，若 为线段 的中点，则椭圆 的离心率是___________.
【答案】
【分析】
利用点差法，代入 为线段 的中点，可求得 ，进而得 ，即可求得离心率．
【详解】
设 ， ， ， 在椭圆上，所以 ， ，
两式相减，得 ，
又 为线段 的中点，所以
，即 ，即 ，所以 .故答案为：
26．已知直线 与椭圆 交于A、B两点，与圆
交于C、D两点．若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】
求得直线恒过定点，该定点刚好为圆心，则CD为直径，又由条件可知圆心也为AB的中点，设A、B点的
坐标，并运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的取值范围.
【详解】
直线 ，即为 ，可得直线恒过定点 ，圆 的圆心为
，半径为1，且C，D为直径的端点，
由 ，可得 的中点为 ，设 ， ，
则 ， ，两式相减可得 ，
由 ， ，可得 ，由 ，即有 ，
则椭圆的离心率 ．
27．椭圆 内，过点 且被该点平分的弦所在的直线方程为______．
【答案】
【分析】
设出 坐标，根据点在椭圆上利用点差法求解出 的值，再利用直线的点斜式方程可求解出直线方程.
【详解】设直线与椭圆的两个交点为 ，因为 在椭圆上，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的方程为： ，即 ，
故答案为： .
28．已知圆 ： 与椭圆 ： 相交于 、 两点，若 是圆 的直径，则
椭圆 的方程为________.
【答案】
【分析】
先设交点 ， ，利用点差法求出直线 的斜率，再联立直线与椭圆的方程，利用弦长
构建关系求出参数b即可.
【详解】
椭圆 ： ，即 ，焦点在 轴上，
由题意可知 为 中点，设 、 ，则 ，作差可得 ，即
即 ，又 ，则 ，
故直线 方程为： ，
联立 得： ，即 ，
即 ，设 ， ，则 ， ，
又 ， ，
即 ，即 ， ，则 ，椭圆 的方程为： .
故答案为： .
29．已知 为椭圆 的右焦点.直线 与椭圆C相交于A，B两点，
A，B的中点为P，且直线OP的斜率 ，则椭圆C的方程为_______________.
【答案】
【分析】设 ，A，B的中点为 ，则由题意知 ， ，由A，B是椭圆上不
重合的两点，则 ，两式相减可得 ，即 ，再结合 ，即可求得
椭圆C的方程.
【详解】
设 ，A，B的中点为 ，则由题意知 ，
由A，B是椭圆上不重合的两点，则 ，
两式相减得 ，
整理可得 ，即 ，即 ，
又 ，解得：
所以椭圆C的方程为
故答案为：
30．已知曲线 ： ，点 ， 在曲线 上，且以 为直径的圆的方程是
．则 ______．
【答案】
【分析】
由题知，圆的圆心坐标 ，由点差法可得直线 的斜率为1，设 ， ，则有，又圆的直径为2，联立直线与曲线方程，由韦达定理表示 ，解方程即可得 .
【详解】
因为 是圆的直径，必过圆心 点，设 所在直线方程为
：
设 、 点坐标分别为 ， ，都在 上，故
两式相减，可得：
（因为 是 的中点），即 ．
联立直线 与 的方程：
又 ，即 ，即
，
又因为 ，则有
即 ，
∴ ．
故答案为：
31．已知抛物线E：y2＝4x，A（x，y），B（x，y），C（x，y）为抛物线上的三个动点，其中x＜x
1 1 2 2 3 3 1 2＜x 且y＜0，若 ABC的重心恰为抛物线E的焦点，且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离
3 2
成等差数列，则直线AC的斜率为_____.
【答案】2
【分析】
如图所示，求出 ， 根据 是 ABC的重心，得到
根据AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列求出
再利用点差法求出直线 的斜率.
【详解】
如图所示，设 是抛物线的焦点， ，
由题得 ，
所以 ，即 ，同理
因为 是 ABC的重心，
所以
因为AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列，
所以 ，
所以 .由题得 .
所以
因为 ，
，
所以直线AC的斜率为2.
故答案为：2
32．已知椭圆 ，作倾斜角为 的直线交椭圆C于A、B两点，线段 的中点
M，O为坐标原点， 与 的夹角为 ，且 ，则 ____________
【答案】
【分析】
设 ，首先由点差法可得 ，设直线 的倾斜角为 ，则 或
，然后结合条件 可建立方程求解.
【详解】
设 ，
则 ， ，
两式相减，得 ．
两点直线的倾斜角为 ， ，
，即 ，设直线 的倾斜角为 ，则 或
所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，即
故答案为：
33．已知抛物线 的准线方程为 ，在抛物线 上存在两点 关于直线
对称，且 为坐标原点，则 的值为__________.
【答案】
【分析】
先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线 的方程，再根据点差法求出 的中点坐标，从而得出
的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．
【详解】
拋物线 的准线方程为 ，可知抛物线 的方程为： ．
设点 ， 的中点为 ，则
两式相减可得， ， ，所以 ，解得
，可得 ，则 ，
可得 .
故答案为： ．34．已知椭圆C： 的一个顶点为 ，离心率 ，直线 交椭圆于M，N两点，
如果 BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线 方程为___________
【答△案】
【分析】
利用椭圆的离心率以及经过的点，求出 ， 得到椭圆方程，设出 ，利用重心坐标结合平方差法，转化
求解直线的斜率，然后求解直线方程．
【详解】
解：由题意得 ，
又 ，解得 ．
椭圆的方程为 ．
椭圆左焦点 的坐标为 ，
设线段 的中点为 ， ，
由三角形重心的性质知 ，从而 ， ， ，
解得 ， ，
所以点 的坐标为 ．
设 ， ， ， ，则 ， ，且 ，
以上两式相减得 ，
，
故直线的方程为 ，即 ．
故答案为： ．35．已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为3，过焦点 的直线 与抛物线
相交于 、 两点，点 到直线 的距离为 ，当 取得最大值时， 的面积等于__________．
【答案】54
【分析】
根据抛物线焦半径公式得到抛物线方程；根据抛物线性质可知当 时， 最大，从而可求得 的方程；
联立直线 和抛物线方程，根据弦长公式求解出 ，进而得到所求面积.
【详解】
根据 到焦点 距离为 可得： ，解得
则抛物线 的方程为 ，则点 的坐标为 ，
当 时，点 到直线 距离最大
直线 的斜率
则直线 的方程为
联立 得
，本题正确结果：
三、解答题
36．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且
的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
（2）已知 ，若P在线段 上， 是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求
面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设点 ，由中点坐标得 ，再由直线AB的斜率得 ，将A、B两点代
入抛物线方程中计算可求得 得抛物线的方程；
（2）设 ，且 ，设点 ， ，求得切线PH、PG的方程，再由点P在切
线PG、PH上得出直线GH的方程 ，与抛物线 联立，求得弦长 ，以及点P到直线
GH的距离，表示 的面积，根据二次函数的性质可求得三角形面积的最大值.
【详解】
解：（1）设点 ，则 ，所以 ，又因为直线AB的斜率为1，所以
，
将A、B两点代入抛物线方程中得： ，将上述两式相减得， ，
即 ，所以 ，即 ，所以 ，
因此，抛物线的方程为 ；
（2）因为 ，P在线段 上，所以设 ，且 ，设点 ， ，则切线PH、PG的斜率定存在，设直线PH的方程为 ，与抛物
线 联立消y得： ，
所以 ，即 ，解得 ，所以切线PH的方程为
，即 ，
同理得切线PG的方程为 ，
又点P在切线PG、PH上，所以 ，所以直线GH的方程为 ，即 ，
直线GH的方程与抛物线 联立 ，整理得 ，所以
，
又点P到直线GH的距离为 ，
所以 的面积为 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 面积的最大
值为 ．
37．已知椭圆 ： ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，
线段 的中点为 .
（1）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时直线
斜率；若不能，说明理由.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设 ，由 ，利用点差法求解；
（2）根据四边形 为平行四边形，设 ，得到 ，从而有 ，然后利用
（1）的结论求解,
【详解】
（1）设 ，
则 ，
两式相减得： ，
所以 ；
（2）若四边形 为平行四边形，
设 ，则 ，
所以 ，
由（1）知： ，整理得： ，
由 ，解得 ，
所以直线 斜率 .38．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，AB为椭圆的一条弦，
直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为 ，点P的坐标为
（1， ）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意可列方程组，解之即得；
（2）利用“点差法”即证.
【详解】
（1）由题意知 解得
故椭圆 的方程为 .
（2）证明：设 ， ， ，由于A，B为椭圆C上的点，所以 ，
，
两式相减得 ，
所以 .
又 ，故 ，为定值.
39．已知 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段
中点为 .
（1）若 ，点 在椭圆 上， 分别为椭圆的两个焦点，求 的取值范围；
（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求出此时直
线 的斜率；若不能，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）能， .
【分析】
（1）求得焦点坐标，设 ，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；
（2）设A，B的坐标分别为 运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行
四边形的性质，即可得到所求斜率.
【详解】
（1）当 时，椭圆 ，椭圆的两个焦点 .
设 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以
因为 ，所以
所以 的范围是 .（2）设A，B的坐标分别为 可得 .则 ，两式相减可得
，即 .
又设 ，直线 ，
即直线的方程为 ，
从而 代入椭圆方程可得， .
由 与 联立得 .
若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以 ，即 ，整
理可得 ，解得 .
经检验满足题意，所以当 时，四边形OAPB为平行四边形.
40．已知椭圆 ，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线 对
称.
【答案】 .
【分析】
设 、 是椭圆E上关于直线 的两个对称点，结合题意利用点差法求解即可
【详解】
设 、 是椭圆E上关于直线 的两个对称点，则应有：①-②并把③代入得 .
.⑥
联立④⑥得 代入⑤得 ，解得 .任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、解答题
1．已知 的两个顶点坐标分别为 ，该三角形的内切圆与边 分别相切于
P，Q，S三点，且 ，设 的顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）直线 交E于R，V两点．在线段 上任取一点T，过T作直线 与E交于M，N两点，
并使得T是线段 的中点，试比较 与 的大小 并加以证明．
【答案】
（1）（2）大小关系不确定；证明见解析
【分析】
（1）由题可得 ，可得轨迹为椭圆，即可求出方程；
（2）设 ，代入椭圆，相减可得斜率关系，利用弦长公式求出 ，
再求出 可比较.
（1）
由内切圆的性质得 ，
所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，
则 ， ，
故E的方程为 ．
（2）
当T不为坐标原点时，设 ，则
两式相减得 ，即 ，
所以 ，设 ，
联立方程组 整理得 ，
．
因为T是线段 的中点，所以
．
联立方程组 解得 ．联立方程组 解得 ，
所以 ，
故 ．
当T为坐标原点时，由对称性知， 与 的大小关系不
确定．
2．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，且椭圆 过点 ，离心率 ，
为坐标原点，过 且不平行于坐标轴的动直线 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 .
（1）求 的标准方程；
（2）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值；
（3） 轴上是否存在点 ，使得 为等边三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）由椭圆 所过点及离心率，列方程组，再求解即得；
（2）设出点A，B坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；
（3）设直线 的方程，联立直线 与椭圆 的方程，借助韦达定理求得 ， ，再结合 为等边
三角形的条件即可作答.
【详解】
（1）显然 ，半焦距c有 ，即 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）设 ， ， ， ，由(1)知 ， ，两式相减得 ，即 ，而弦 的中点 ，则有
，
所以 ；
（3）假定存在符合要求的点P，由(1)知 ，设直线 的方程为 ，
由 得： ，则 ， ，
于是得 ，从而得点 ， ，
因 为等边三角形，即有 ， ，
因此， ，
，
从而得 ，整理得 ，无解，
所以在y轴上不存在点 ，使得 为等边三角形.
3．已知点 ，不垂直于x轴的直线l与椭圆 相交于 两点．
（1）若M为线段 的中点，证明： ；
（2）设C的左焦点为F，若M在 的角平分线所在直线上，且l被圆 截得的弦长为 ，
求l的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】
（1）将 代入椭圆的方程，两式相减由两点间斜率公式以及中点坐标公式即可求证.
（2）当直线l的斜率为 时，不符合题意；当直线l的斜率不为 时，设直线 ： ，
与椭圆方程联立，消元利用韦达定理得出 ， ，利用 以及斜率公式即可得出 的值，
再由直线被圆截得的弦长求出 得值，即可求解.
【详解】
（1）由 可得 ，
因为 是 两点的中点，
所以 ，
因为 两点在椭圆 上，
所以 ，两式相减可得： ，
所以 ，
因为 是 两点的中点，
所以点 在椭圆的内部，
所以 ，解得： ，
所以 .
（2）当直线l的斜率为 时，l被圆 截得的弦长为 不符合题意；
当直线l的斜率不为 时，设直线 ： ，
得 ，则 即 ，
， ，
因为 ，则 轴，
因为 平分 ，所以 ，
即 ，
可得
，
整理得： ，所以 ，
因为 所以 ，
所以直线 ： ，
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，圆的半径 ，
所以圆心 到直线 ： 的距离为 ，
所以 解得： ，且满足 ，
所以l的方程为 ，
4．已知点 在椭圆 上，且点M到C的左､右焦点的距离之和为 .
（1）求C的方程；
（2）设О为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）将点 坐标代入椭圆方程以及双曲线的定义列方程组，解之即可求解；
（2）设 ， ，求AB的中点坐标，由点差法求得直线 的斜率和方程，与椭圆方程联立，
运用韦达定理和判别式大于 ，由向量数量积的坐标表示化简即可求解.
【详解】
（1）由已知得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，则AB的中点 在线段OM上，
且 ， 方程： ，
AB的中点代入 方程可得： .
又 ， ，两式相减得 ，
易知 ， ，所以 ，即 .
设直线AB的方程为 ，
代入 并整理得 .
由 ，解得 ，所以 .
由根与系数的关系得 ， ，则
，
又 ，所以 的取值范围是 .
5．已知椭圆 ： .
（1）椭圆 是否存在以点 为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线 的方程，若不存在，请说明理
由；
（2）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ， ，点 是椭圆 上的点，若直线 ， 分别与直线 交于
， 两点，求线段 的长度取得最小值时直线 的斜率.
【答案】（1）存在，直线 的方程为 ；（2） .
【分析】
（1）先判断点 在椭圆 的内部，得椭圆 存在以该点为中点的弦，再利用点差法求出直线 的斜率，
进而得到直线方程；
（2）显然直线 的斜率 存在，且 ，设直线 的方程为 ，求得点 ，点
，及点 ，进而求得 ，再利用基本不等式求最值.
【详解】
（1）因为 ，所以点 在椭圆 的内部，则椭圆 存在以点 为中点的弦.
设弦所在的直线 与椭圆 相交于 ， ，则 ，
两式相减，得 ，即 .
又 ， ，
，整理得 .
所以直线 的方程为 ，即 .
（2）因为 ， ， 三点共线所以可知当线段 的长度取得最小值时，直线 的斜率 显然存在，且
， ，设直线 的方程为 ，从而点 .
联立 ，消 整理得 ，
设点 ，则 .
所以 ，从而 ，所以 .
又点 ，则直线 的斜率为 .
由 ，得 ，所以 .
故 .又 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立
所以当 时，线段 的长度取得最小值.
所以此时直线 的斜率为 .
6．已知斜率为的 的直线 与椭圆 交于点 ，线段 中点为 ，直线
在 轴上的截距为椭圆 的长轴长的 倍.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 都在椭圆上，且 都经过椭圆 的右焦点 ，设直线 的斜率分别为
， ，线段PQ,MN的中点分别为 ，判断直线 是否过定点，若过定点.求出该定点，
若不过定点，说明理由.
【答案】（1） ；（2）过定点， .
【分析】
（1）利用点差法可得 ，再由直线 的方程为 ，求出 轴上的截距，结合题意即可求解.
（2）设直线 的方程分别为 ，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出
， ，求出直线 方程 ，
化简整理即可求解.
【详解】
本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.（1）设 ，
则 ，
且
两式相减得
即 ，
即 ，
所以
又直线 的方程为 ，
令 ，得
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由题意得 ，直线 的方程分别为 ，
设 ，联立 ，
得 ，
所以 ，
则同理
所以
由
得 ，
所以直线 的方程为
整理得 ，
所以直线 过定点 .
7．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直线交抛物线 于 两点，若线段 的中点
的纵坐标为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 ，问x轴上是否存在点 ，使得过点 的任一条直线与抛物线 交于点 两点，且点
到直线 的距离相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； ．
【分析】
（1）设 ，利用点差法可得解；
（2）由题知 为 的角平分线，可得 ，设直线 的方程为 ，与抛物线方程
联立得 ，由韦达定理结合 得 ，即 对
于任意的 恒成立，可得答案.【详解】
（1）设 ，则
因为线段 的中点的纵坐标为 ，则 ，
两式相减得 ．
所以 ，即抛物线 的方程为
（2）假设存在这样的点 满足条件，设为 ，
因为点 到直线 的距离相等，所以 为 的角平分线，
则 ，可得 ，显然直线 的斜率不能为零，
故设直线 的方程为 ，由 联立得 ，
设 ，则有
得
即 ，整理得 ，
即 ，得 ，
即 对于任意的 恒成立，所以 且此时满足 ，
所以存在点 到直线 的距离相等.
8．如图，曲线 由两个椭圆 和椭圆 组成，当a、b、c成等比数列时，称曲线 为“猫眼曲线”，若猫眼曲线 过点 ，且a、b、c的公比为 .
（1）求猫眼曲线 的方程；
（2）任作斜率为 且不过原点的直线与该曲线 相交，交椭圆 所得弦AB的中点为M，交椭圆
所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为 、 ，求证： 为与k无关的定值；
（3）设 、 为椭圆 上的两点，直线OP、直线 的斜率
分别为 、 ，且 ，求 的最大值.
【答案】（1）∴ ， ；（2） ，证明见解析;（3） 的最大值为
3.
【分析】
（1）由题意可知： ， ，代入分别求得a和c的值，即可求得“猫眼曲线” 的方程；
（2）根据中点坐标公式，将E，F坐标代入椭圆方程，利用“点差法”求得 ，同理求得
，即可求得 的值；（3）根据题意可得 ，由P､Q为椭圆 上的两点，推出 ，解得
4，进而推出 ，则 ，再由基本不等式推出答案.
【详解】
解：（1）由题意知， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
证明：（2）设斜率为 的直线交椭圆 于点 ， 线段 中点为 ，
则 ， ，
由 ，可得 ，
因为k存在且 ，∴ ， ，
∴ ，即 ，
同理 ，
∴ ；
故 为与k无关的定值；
（3）因为直线 ､直线 的斜率分别为 ､ ，且 ，
所以 ，即 ，
又因为 ､ 为椭圆 上的两点，所以 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 的最大值为3.
9．坐标平面内的动圆 与圆 外切，与圆 内切，设动圆 的圆心
的轨迹是曲线 ，直线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）当点 在曲线 上运动时，它到直线 的距离最小？最小值距离是多少？
（3）一组平行于直线 的直线，当它们与曲线 相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否
在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？
【答案】（1） ；（2）点 到直线 的距离最小，距离最小为 ；（3）在同一直线，
直线为： .
【分析】
（1）利用两个圆外切与内切的性质可得 ，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；
（2）设与 平行的直线 的方程为 ，代入 ，整理可得 ，当 ，直线 与曲线 相切，此时点 到直线 的距离最小，利用点到线距离公式
求得最小值.
（3）设两个交点为 ，利用点差法化简得 ，即 ，整理得
.
【详解】
解：（1）设动圆 的半径为 ，由题意可知 ，
则 ，根据椭圆的定义可知曲线 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，其中
，即
所以曲线 的方程为： .
（2）设与 平行的直线 的方程为 ，即 ，代入 ，
可得 ，整理得 ，
，
当 时，此时 直线 与曲线 相切，根据图形可知当 时，
点 到直线 的距离最小， .
（3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上
设与 平行的直线与曲线 的两交点坐标为 ，中点 ，
，
两式作差得 ，整理可得： ，即 ，整理得 ，即所有弦的中点均在直线 上.
10．已知点 在椭圆 ： （ ）上，且点 到 的左、右焦点的距离之和为
.
（1）求 的方程；
（2）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）本小题根据已知条件直接求出 ， ，再求出椭圆方程即可.
（2）本小题先设 、 两点，再将 转化为只含 的表达式，最后根据 的范围确定 的范围，
即可解题.
【详解】
解：（1）∵点 在椭圆 ： （ ）上，
∴ ，又∵ ，
∴ ， .
∴椭圆 的方程：
（2）设点 、 的坐标为 ， ，则 中点 在线段 上，且 ，
则 ，又 ， ，两式相减得 ，
易知 ， ，所以 ，则 .
设 方程为 ，代入 并整理得 .
由 解得 ，又由 ，则 .
由韦达定理得 ， ，
故
又∵.
∴ 的取值范围是 .
11．如图，椭圆 的右焦点为 ，过焦点 ，斜率为 的直线 交椭圆于 、 两点（异于长轴
端点）， 是直线 上的动点．（1）若直线 平分线段 ，求证： ．
（2）若直线 的斜率 ，直线 、 、 的斜率成等差数列，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）利用点差法可证得结论成立；
（2）令 ，可得直线 的方程为 ，将直线 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，
利用直线 、 、 的斜率成等差数列，可得出 关于 的等式，然后利用函数的基本性质可求得实
数 的取值范围.
【详解】
（1）设 、 ，线段 的中点 ，由题意可得 ，
上述两式相减得 ，可得 ，
， ，则 ，
因此， ；（2）由 ，令 ，则直线 的方程为 ，
由 得 ， 恒成立，
由韦达定理得 ， ，
因为直线 、 、 的斜率成等差数列，
所以 ， ，
，
，
，即 ，
， ，
由双勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，所以， .
因此，实数 的取值范围是 .
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，直线 ．
（1）若椭圆C的一条准线方程为 ，且焦距为2，求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上
方），若 ，求椭圆C的离心率；
（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求 的取值范围（用k表示）．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .【分析】
（1）利用准线、焦距以及 列方程组，解方程组求得 的值，进而求得椭圆方程.
（2）求得直线 的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合 得到关于 的方程，由
此求得椭圆的离心率.
（3）设 ， ，PQ的中点 ，利用点差法求得 ，根据点 在椭圆C的
内部列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】
（1）设椭圆C的半焦距为c，
因为椭圆C的一条准线方程为 ，且焦距为2，
所以 ，
解得 ，椭圆C的方程为 ．
（2）如图，因为 ， ，
所以 ，
因为直线l过点F，且与FA垂直，
所以直线l的方程为 ，
与椭圆C的方程联立得 ，
因为l过左焦点F，
所以 恒成立，
设 ， ，则 （*），因为 ，
所以 ，
代入（*）得 ，
消去 并化简得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（3）如图，设 ， ，PQ的中点 ，
则 ，两式相减并化简得
，即 ，因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为点 在椭圆C的内部，
所以 ，化简得 ．
故 的取值范围为 ．
13．在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，
且线段 的长为 ， 为椭圆 异于顶点 ， 的点，过点 ， 分别作 ， ，直线 ，
交于点 ．（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：当 在椭圆 上运动时，点 恒在一定椭圆 上；
（3）已知直线 过点 ，且与（2）中的椭圆 交于不同的两点 ， ，若 为线段 的中点，
求原点 到直线 距离的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）根据离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，且线段 的长为 ，由 求解.
（2）设 ， ，根据 ， ，分
别写出 ， 的直线方程联立，求得 ，代入 即可.
（3）设 ，根据直线 过点 ，且与椭圆 交于不同的两点 ， ， 为线段
的中点，利用点差法由 ，得到 ，然后由 ，
令 ，利用基本不等式求解.【详解】
（1）因为离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，且线段 的长为 ，
所以
解得
椭圆 的方程是 ；
（2）设 ， ，
因为 ，所以 的直线方程为 ，
同理 的直线方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，
因为点P在椭圆 上，
所以 ，所以 ，
即 ，
代入 得： ，
所以当 在椭圆 上运动时，点 恒在一定椭圆 上；
（3）设 ，
因为直线 过点 ，且与椭圆 交于不同的两点 ， ， 为线段 的中点，则 ，两式相减得： ，
所以 ，
所以原点 到直线 距离： ，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取得等号，
所以原点 到直线 距离的最小值为 ．
14．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆的一条弦（不
经过原点），直线 经过弦 的中点，与椭圆 交于 、 两点，设直线 的斜率为 .
（1）若点 的坐标为 ，求椭圆 的方程；
（2）求证： 为定值；
（3）过 作 轴的垂线，垂足为 ，若直线 和直线 倾斜角互补，且 的面积为 ，求椭圆的方程.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
【分析】
（1）根据题意得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆 的方程；
（2）设点 、 ，利用点差法可得出 ，再利用 可求得 的值；
（3）设点 ，根据直线 和 的倾斜角互补和面积公式计算出点 的坐标，进而可求
得椭圆 的方程.
【详解】
（1）由已知条件得 ，解得 ，因此，椭圆 的方程为 ；
（2）设点 、 ，则线段 的中点坐标为 ，
， .
由题意可得 ， ， ，
由于点 、 都在椭圆上，则 ，
两式作差得 ， （定值）；
（3）设点 ，则 、 ， ，直线 与直线 的倾斜角互补， ，
又 ，且 ，则 ，解得 .
的面积为 且 ，解得 ， ，即点 .
，解得 ，因此，椭圆 的标准方程为 .
15．已知椭圆 的右焦点为 ，右准线为 .过点 作与坐标轴都不垂直的
直线与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且直线 与右准线 交于点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，且 .
【分析】
（1）根据准线的定义得 ，又由 ，结合 可求得 ，得椭圆标准方程；
（2）由 可求得 点横坐标，设直线 方程为 ，代入椭圆方程整理后应用韦达定
理得 ，由 可得 ，得直线方程；（3）设 ，得 ，由点差法可得 ，从而得 ，则可得 点坐标，然后计算 可
得 ．
【详解】
（1）由已知可得： ，
解得：
椭圆 的标准方程为： .
（2）由 可知：
即 ，可得： ，
设 ，直线AB的方程为 ，
联立 ，得： ，
为线段 的中点，则 ，
即 ，解得： ，
所以直线 的方程为 .
（3）设 ， ， ， ， ， ，
由 ，两方程相减得 ，即 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，∵ ，∴ ，即 ，
， ， ，
，
，
∴ ．
∴存在满足题意的 ，且 ．
16． 为坐标原点，椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的右顶点为 .设 ， 是
上位于第二象限的两点，且满足 ， 是弦 的中点，射线 与椭圆交于点 .
（1）求证：直线 与直线 斜率的乘积为 ；
（2）若 ，求椭圆 的标准方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1） 可求出 即椭圆方程为 ，设 ， ，代入椭圆方程，两
方程相减进行整理可证明 ；
（2）设 ： ，代入 ，可求出 的坐标，从而可求 ，同理可求，结合 和 可求出 ，从而可求椭圆的方程.
【详解】
（1）由 知 ，∴方程可表示为 ，
设 ， ，则 ，两式相减，即 ，
∴ ，结论成立；
（2）设 ： ，代入 ，得 ， ，
∴ ，同理设 ： ，则 ，
且 ，∴ ，
∴ ，从而椭圆方程为 .
17．已知 是曲线 上的动点，且点 到 的距离比它到x轴的距离大1.直线
与直线 的交点为 .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）已知 是曲线 上不同的两点，线段 的垂直垂直平分线交曲线 于 两点，若 的中点为
，则是否存在点 ，使得 四点内接于以点 为圆心的圆上；若存在，求出点 坐标以及圆 的
方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ;(2)存在, , .
【分析】(1)由点 到 的距离比它到 轴的距离大1可知, 点 的轨迹为抛物线,即可求出轨迹方程.
(2) 设 ,点差法结合中点 ,可求出 ,从而可求直线 的方程是 ,直线
的方程是 ,分别与 联立,求出交点 的坐标,求出到四点距离均相等的点即为圆
心,该距离即为半径,即可求出圆的方程.
【详解】
解:(1)因为点 到 的距离比它到 轴的距离大1,
则点 到 的距离与点 到直线 的距离相等.故点 的轨迹为抛物线
焦点为 ,则 .即曲线 的轨迹方程为 .
（2）联立 ,解得 ,故 .
设 ,则 ,根据点差法,两式相减整理得
.所以直线 的方程是
直线 的斜率为 ,则直线 的方程是
联立 ,解得
从而有 .联立 ,得 ,则
设 的中点为 ,则 ,从而有
故 四点共圆且 为圆心,故圆 的方程是 .
18．如图所示，在直角坐标系 中，点 到抛物线 ： 的准线的距离为 .点是 上的定点， ， 是 上的两动点，且线段 的中点 在直线 上.
（1）求曲线 的方程及点 的坐标；
（2）记 ，求弦长 （用 表示）；并求 的最大值.
【答案】（1） . .（2） ， 的最大值为1.
【分析】
（1）根据抛物线的定义，求出 ，即可得出抛物线的方程，便得出点 的坐标；
（2）由点 ，得出 ，利用点差法求出直线 的斜率，得出直线 的方程为
，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长 ，通过基本
不等式求得 的最大值.
【详解】
解：（1） 的准线为 ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线 的方程为 .
又点 在曲线 上，∴ .故 .
（2）由（1）知，点 ，
从而 ，即点 ，
依题意，直线 的斜率存在，且不为0，
设直线 的斜率为 ，且 ， ，
由 ，得 ，
故 ，
所以直线 的方程为 ，
即 .
由 ，消去 ，
整理得 ，
所以 ， ， .
从而
.
∴ ，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，
又 满足 .
∴ 的最大值为1.19．椭圆 将圆 的圆周分为四等份，且椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 的中点为 ，线段 的垂直平分线为 ，直
线 与 轴交于点 ，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）先求解A点坐标，代入椭圆方程，结合离心率为 ，即得解.
（2）设 ， ，利用点差法得到 ，得到直线 的方程为 ，得到
，利用 在椭圆内部得到 范围，即得解.
【详解】
（1）不妨取第一象限的交点为 .
由椭圆 将圆 的圆周分为四等份，知 .
所以 .
因为点 在椭圆 上，所以 .①
因为 ，所以 .②
①②联立，解得 ， .所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，则
两式相减，得 .
又因 的中点为 ，所以 ， .
所以直线 的斜率 .
当 时，直线 的方程 ，直线 即 轴，此时 .
当 时，直线 的斜率 .
所以直线 的方程为 ，即 .
令 ，则 .
因为点 在椭圆内部，所以 .
所以 ，所以 .
综上所述， 的取值范围为 .
20．在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 都在椭圆 上，且 中点 在线段 (不包括端点)上.①求直线 的斜率；
②求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）① ；② .
【分析】
（1）根据题意，由离心率 ，且点 在椭圆 上，列出方程，计算 的值，则椭圆方程可
求；
（2）利用“点差法”求出 所在直线的斜率，设出直线方程，与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，
再由点到直线的距离公式求出原点到直线 的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值.
【详解】
（1）离心率 ，
由 代入椭圆方程，可得 ，
又
解得 ， ，
即有椭圆方程为 ；
（2）①设
可得 ，
相减可得 ，
由题意可得 ，
即为 ，
可得直线 的斜率为 ；
②设直线 的方程为 ，代入椭圆方程可得， ，
由 ，解得 ，
，
，
又 到 的距离为 ，
即有 面积为
当且仅当 ，即 时， 取得最大值 .
21．已知椭圆方程为 ，左右焦点分别为 ，直线 过椭圆右焦点 且与椭圆交于A、B两点，
（1）若 为椭圆上任一点，求 的最大值，
（2）求弦AB中点M的轨迹方程，
【答案】（1）3；（2） .
【分析】
（1）根据椭圆方程得出 ，结合椭圆定义 ，再根据基本不等式求得 的
最大值；
（2）设 ，利用点差法和中点坐标公式，求出 ，由两点坐标写出 ，结合 ，求出关
于 的方程为点M的轨迹方程.
【详解】
（1）已知椭圆方程为 ，焦点在 轴上，
可得 ，所以 ，
由椭圆的定义可知，
，
又因为 ，
则当且仅当 时， 的最大值为3.
（2）设 ，其中 ，
当直线 的斜率 存在时，
则
①-②得： ，
即 ，又因为：
则有： ，解得： .
当直线 的斜率 不存在时， 也符合上述方程.
综上得： 的轨迹方程为： .
22．已知抛物线 的焦点为 ，若在 轴上方该抛物线上有一点 ，满足直线 的倾斜角为 ，
且 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线上另有两点 满足 ，求直线 方程.
【答案】（1） ；（2） .【分析】
（1）设抛物线的准线为 ， 与 轴的交点为 ，利用抛物线的定义可以得到
，求出 的值后可得抛物线的方程.
（2）设点 ，由向量 可以得到 ，再利用点差法
可求 ，从而可得直线 的方程.
【详解】
（1）设抛物线的准线为 ， 与 轴的交点为 ，过 作 ，垂足为 .
由 可得 ，由 ，
可知 ，则 ，
故抛物线的方程为 .
（2）由（1）可知点A的坐标为 ， ，可设点 .
由 ，可得 ，
即 ，则 中点的坐标为 ，
∵ ，∴ ，
故直线 的斜率为 ，
∴直线 的方程为 ，整理为 .
23．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上.（1）若线段 的中点坐标为 ，求直线 的斜率；
（2）若 三点共线，直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值，
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）设 ，代入椭圆方程相减得到答案.
（2）设直线 ，联立方程得到 ， ，得到
，计算得到答案.
【详解】
（1）设 ，则 ，
两式相减，可得 ，
即 ，
解得 ，即直线 的斜率为 .
（2）显然直线 的斜率不为0，设直线 ，
联立 消去 整理得 ，
显然 ，故 ，
故 的面积 ，令 ，其中 ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，即 面积的最大值为 .
24．如图，设椭圆 两顶点 ，短轴长为4，焦距为2，过点 的直线
与椭圆交于 两点．设直线 与直线 交于点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段 中点 的轨迹方程；
（3）求证：点 的横坐标为定值.
【答案】（1） ；（2） （ ）；（3） .
【分析】
（1）根据题意可得 ，由此求得椭圆方程。
（2）设 ，利用点差法求出线段 中点 的轨迹方程。
（3）设直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，联立求得
，由此证明点 的横坐标为定值。
【详解】（1） 椭圆 两顶点 ，短轴长为 ，焦距为 ，
，解得
椭圆方程为： .
（2）设 ，
则 ①， ②，
则① ②得 ，
，
即 .
线段 中点 的轨迹方程为： .
（3）证明：设直线 的方程为： ，
直线 的方程为： ，
两式联立可得：
由① ②得
即 ③，
又 三点共线，则 ④，
②代入③得把③④代入⑤整理得 .
25．已知抛物线 过点 ，且P到抛物线焦点的距离为2直线 过点 ，且与抛物
线相交于A，B两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线 的方程；
（Ⅲ）过点 作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直
线 的斜率 ；若不能，请说明理由.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）能， .
【分析】
（Ⅰ）根据题意，结合抛物线的性质，即可求出抛物线的方程为 。
（Ⅱ）设 ， ，设而不求利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式即可求出直线 的
方程。
（Ⅲ）设 ， ， ， ，且 .联立直线与抛物线方程，
得到联立方程，再利用韦达定理以及M，A，C三点共线得出 的数量关系，假设C，D，Q三点共
线，构造关于 的等式，转化为 的等式，进行求解即可得出结论。
【详解】
（Ⅰ）由题意有 ，及 ，
解得 .故抛物线的方程为 .
（Ⅱ）设 ， ，则 ， ，
两式相减得 ，即 .于是 ， ，
（注：利用直线与抛物线方程联立，求得 ，同样得4分）
故直线l的方程为 ，即 ；
（Ⅲ）设 ， ， ， ，且 .
由 ，得 ，则 ， ，
由M，A，C三点共线，可得 ，化简得 ，即 .
同理可得， ，
假设C，D，Q三点共线，则有 ，化简得 ，
进一步可得， ，即 ，解得 .
因此，当直线l的斜率 时，C，D，Q三点共线.
26．椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 作垂直于 轴的直线与椭圆 在第
一象限交于点 ，若 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知点 关于 轴的对称点 在抛物线 上，是否存在直线 与椭圆交于 ，使得 的
中点 落在直线 上，并且与抛物线 相切，若直线 存在，求出 的方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2） 或
【详解】试题分析：（1）根据题意得到 进而求得椭圆方程；（2）设直线 与椭圆的交点坐标为
满足椭圆方程 两式作差可得 ，中点 落在直线 上
得 ，再联立直线l和抛物线，得到二次方程，在判断判别式的正负即可.
解析：
（Ⅰ）解：由题意可知 解得椭圆方程是 .
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知 则有 代入 可得抛物线方程是
若直线 斜率存在，设直线 与椭圆的交点坐标为 满足椭圆方程 两式作差可
得 ， 的中点 落在直线 上则有
代入可得 ，
直线 方程可以设为 与抛物线方程联立 消元可得方程 ，直线与抛物线相切则有 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立：
消元可得方程 ，
，所以直线 满足题意.
若直线 斜率不存在时，直线 满足题意.
所以，综上这样的直线 存在，方程是 或 .
27．1.已知椭圆 的离心率为 ，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 交椭圆于A，B两点，且AB被直线 平分.
①若 的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；
②椭圆的左右焦点分别是 ， ， ， 的重心分别是 ， ，当原点O落在以CD为直径的圆
外部时，求 面积的取值范围.
【答案】
（1）
（2）① ；②
【分析】
（1）根据离心率和焦点弦求出椭圆方程；（2）①用点差法先求k，然后利用面积求解出 ，进而求出
结果；②利用重心坐标公式，用含b的式子表达出 ， 两点坐标，再利用原点O落在以CD为直径的圆外部得到 ，代入后解出 的范围，进而求解出 面积的取值范围
（1）
∵离心率为
∴
∵过焦点且垂直于长轴的弦长等于1
结合 ，解得： ，
∴椭圆方程为：
（2）
①令 ， ，AB中点坐标 .
∴ ，
两式相减得：
其中 ，
∵AB被直线 平分
∴AB中点坐标 在直线 上，即
∴直线方程l为：
与椭圆 联立：
解得：其中 ，
设原点到直线l的距离为d
则
∴
∴ ，解得：
∴
即 的方程为：
②∵
∴
∵ ， 的重心分别是 ，
，
，
∴ ，
又因为 在以 为直径的圆外
∴ ，即
∴ ，即
又
当 时， 取得最大值为1；且综上：
28．已知抛物线 ，两条直线 ， 分别于抛物线 交于 ， 两点和 ， 两点．
（1）若线段 的中点为 ，求直线 的斜率；
（2）若直线 ， 相互垂直且同时过点 ，求四边形 面积的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）设 ， ，利用点差法可求得结果；
（2）设出直线 ， 的方程， 的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求出 ，同理求出 ，利
用两直线垂直求出四边形的面积，然后根据基本不等式可求得最小值.
【详解】
（1）设 ， ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ，所以直线 的斜率 .
（2）依题意可知 ， 的斜率都存在且不等于0，设 的斜率为 ，因为直线 ， 相互垂直，所以 的斜
率为 ，
所以直线 的方程为： ，直线 的方程为 ，
联立 消去 并整理得 ，
恒成立，所以 ， ，
所以
同理可得 ，
因为 ，所以四边形 面积
令 ，则 ,当且仅当 ，即 时，等号成立.
故 ，其中
利用二次函数的性质知，当 时，
所以四边形 面积的最小值为 .
29．已知椭圆 的一条弦 的中点为 ．
（1）若直线 的斜率为 且不过坐标原点 ，求直线 的斜率；
（2）若直线 过椭圆的右焦点 ，且不与 轴垂直，斜率不为零，试问在 轴上是否存在一点 ，使
，且以 为直径的圆恰好经过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） ；（2）存在； ．
【分析】
（1）利用点差法即可得解；
（2）设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，联立直线与椭圆得
， 利用韦达定理结合弦长公式知 ，结合中点坐标
公式知 ，结合已知得 ，解得 ，又 ，解得 ，
从而求得 ．
【详解】
（1）设 的中点 ，
由于 为椭圆上的点， ，
两式相减，得 ，
即 ，则 ，
所以直线 的斜率为 ．
（2）设直线 的斜率为 ，由（1）可得， 所在直线的斜率为 ，
又直线 过点 ，则 ，
联立 得 ，由韦达定理得： ，
，
．
设 ，若 为直径的圆恰好经过点 ，则 ，即
，
解得： ．
又 ，所以 ，
解得： ，所以 ．
所以存在点 ，满足 ，且以 为直径的圆恰好经过点 ．
30．已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线
段 的中点为 .证明：
（ ）直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值 .
（ ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，当四边形 为平行四边形时，则直线 的斜率
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用点差法即可证明；
（2）根据题意M是平行四边形对角线的交点，利用坐标关系代换，构造齐次式解 ，再根据（1）
的结论证得结论.【详解】
（1）设 ，直线不经过原点且不与坐标轴平行，
所以 ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
， 在椭圆上， 两式相减：
，两边同时除以
得 ，所以 ，
即
所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值 ；
（2）四边形 为平行四边形时，当且仅当 与 互相平分，
设 ，则 ，且在椭圆上， ，即
由（1）得 ， ，
所以 ，
整理得： ，又因为
所以 ，即 ，两边平方得：
， ，
所以 两边同时除以 ，，
所以 ，
，
所以
