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专题 2.36 二次函数背景下平行四边形存在性问题（专项练习）
1．已知，二次函数y=x2+bx+c的图像经过A(-2，0)和B(0，4)．
（1）求二次函数解析式；
（2）求 ；
（3）求对称轴方程；
（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求P点坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知二次函数图像的顶点坐标为 ，直线 与该二次函数 的图像
交于A、B两点，其中A点的坐标为 ，B点在y轴上，P为直线AB上的一个动点（点P与
A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于点E，D为直线AB与这个二次函
数图像的对称轴的交点．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点
的坐标；不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点E，使 ，若存在，请直接写出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由
3．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图像交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C
（0，4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 的值最大？若存在，求出P点坐标；
若不存在，请说明理由.
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直
接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
4．已知二次函数 的图像过点 ，且对任意实数x，都有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图像与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函
数图像上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
5．如图，二次函数y=− x2 +bx+c的图像经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
2
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线y = x+1与二次函数的图像交于A、B
两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y = ；
（2）证明点（－m，2m－1）不在（1）中所求的二次函数图像上；
（3）若C为线段AB的中点，过点C做CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图像交于D．
①y轴上存在点K，使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是
．
②二次函数的图像上是否存在点P，使得三角形 S ＝2S ？若存在，求出P坐标，若不存
△ POE △ABD
在，请说明理由．7．如图，二次函数 的图像经过A(2，0)，B（0，-6）两点.
(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.
y ax2 bxc x A(1,0),B(2,0) y C(0,2)
8．如图，二次函数 的图像交 轴于 ，交 轴于 ，过
A,C
画直线。
（1）求二次函数的解析式；
y x
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C
为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图像与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与
y轴交于点C，
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，已知二次函数 的图像交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
求这个二次函数的表达式；
若点 在第二象限内的抛物线上，求 面积的最大值和此时点 的坐标；
在平面直角坐标系内，是否存在点 ，使 ， ， ， 四点构成平行四边形？若存在，直
接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．11．已知，二次函数 y＝（x+2）2 的图像与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．
（1）求点 A、点 B 的坐标；
（2）求 S△AOB；
（3）求对称轴方程；
（4）在对称轴上是否存在一点P，使以 P，A，O，B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求P点坐标；若不存在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-2的图像与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△BCP的面积最大？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以B、C、M、Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
13．已知二次函数 的图像如图所示，它与 轴的一个交点的坐标为A( ， )，与轴的交点的坐标为C( ， )．
（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标
（2）求此二次函数的图像与 轴的另一个交点B的坐标；
（3）根据图像回答：当 取何值时， ＜0；
（4）在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D、为顶点的四边形为平行四边形，若存
在直接写出点D的坐标，不存在说明理由．
14．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图像交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，
4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直
接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
15．如图，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图像经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点．（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求△ABC 的面积．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 O、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图像与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，
0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ?
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，
求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像交坐标轴于A（﹣1，0），C（0，
﹣4）两点，点B是抛物线与x轴的交点，点P是抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POB是以OB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）是否存在一点P，x轴上有一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若
存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知二次函数图像的顶点坐标为M(1，0)，直线 与该二次函数的图像交于A，B两
点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在 轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）若P( ，0) 是 轴上的一个动点，过P作 轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图像交于
D、E两点．
①当0< < 3时，求线段DE的最大值；
②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知二次函数的图像的顶点坐标为 ，直线 与该二次函数的图像交于 ，
两点，其中点 的坐标为 ，点 在 轴上． 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线分别与直线 和二次函数的图像交于 ， 两点．
（1）求 的值及这个二次函数的解析式；
（2）若点 的横坐标 ，求 的面积；
（3）当 时，求线段 的最大值；
（4）若直线 与二次函数图像的对称轴交点为 ，问是否存在点 ，使以 ， ， ， 为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知二次函数图像的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图像交于A，B两
点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的
垂线分别与直线AB和二次函数的图像交于D、E两点．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）若点P的横坐标为2，求△ODE的面积；
（3）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值；
（4）若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图二次函数y=ax2+bx-2的图像交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C，过A，
C两点画直线．
（1）求二次函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，如
果存在，请直接写出点D的坐标，如果不存在，请说明理由。
（3）若点Q在AC下方的抛物线上运动，求以A、C、Q为顶点的三角形的面积最大值.
22．如图，二次函数图像经过A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）该抛物线的对称轴上有一点D，在该抛物线上是否存在一点E，使得以D、E、B、C为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，且A点坐标为
（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.
参考答案
1．（1）y=x2+4x+4；（2）4；（3）x=-2；（4）存在，(﹣2，4)或(﹣2，﹣4)
【分析】（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，即可求出答案；
（2）由题意，求出OA=2，OB=4，即可求出答案；
（3）由 ，即可求出答案；
（4）由题意，可分为两种情况进行讨论：①当点P在点A的上方时；②当点P在点A的下方时；
分别求出点P的坐标，即可得到答案．
解：（1）∵y=x2+bx+c的图像经过A（－2，0）和B（0，4）
∴
解得： ；
∴二次函数解析式为：y=x2+4x+4；
（2）∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴S = OA•OB= ×2×4=4；
△AOB
（3）对称轴方程为直线为： ；
（4）∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，
∴AP=OB=4，
当点P在点A的上方时，点P的坐标为（﹣2，4），
当点P在点A的下方时，点P的坐标为（﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解
题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
2．（1）m=1，y=x2+2x+1；（2）存在，P（-2，3）；（3）存在，（-1，0）或（-2，1）或（
， ）或（ ， ）
【分析】
（1）根据顶点坐标（-1，0）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2，把点A（-3，4）分别代入二
次函数和一次函数的解析式中可得结论；
（2）先求AB的解析式，根据解析式表示出P、E两点的坐标：设P（x，-x+1），E（x，
x2+2x+1），由平行四边形的性质：CD=PE列式可求得x的值，计算点P的坐标；
（3）分两种情况：如图2，点E在AB的下方时，根据三角形面积=铅直高×水平宽，此时的水平
宽是3，铅直高是EF，根据解析式表示，由面积=2，代入可求得结论；如图3，点E在AB的上
方时，由图2可知，与AB平行且向上平移2个单位的直线EF的解析式为：y=-x+3，该直线与抛
物线的交点即是点E，列方程组求出即可．
解：（1）把A（-3，4）代入y=-x+m得：3+m=4，
m=1，
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2，
把A（-3，4）代入y=a（x+1）2中得：a（-3+1）2=4，
a=1，
∴这个二次函数的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1；
（2）如图1，当x=0时，y=1，
∴B（0，1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，4），B（0，1）代入得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=-x+1，当x=-1时，y=1+1=2，
∴D（-1，2），
∴CD=2，
设P（x，-x+1），E（x，x2+2x+1），
∵四边形DCEP是平行四边形，
∴CD=PE，CD∥PE，
∴PE=（-x+1）-（x2+2x+1）=-x2-3x=2，
x2+3x+2=0，
（x+1）（x+2）=0，
x=-1（舍），x=-2，
1 2
当x=-2时，y=2+1=3，
∴P（-2，3）；
（3）存在，
过E作EF∥CD，交AB于F
设F（x，-x+1），E（x，x2+2x+1），
∵S = ×3EF=3
△ABE
∴EF=2
如图2，点E在AB的下方时，
EF=（-x+1）-（x2+2x+1）=-x2-3x=2，
x=-1，x=-2，
1 2
当x=-1时，y=0，
当x=-2时，y=1，此时点E（-1，0）、（-2，1）；
如图3，点E在AB的上方时，
由图2可知，与AB平行且向上平移2个单位的直线EF的解析式为：y=-x+3，
则 ，
解得： 或 ，
∴E（ ， ）或（ ， ），
综上所述，点E的坐标为：（-1，0）或（-2，1）或（ ， ）或（ ，
）.【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，
要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物
线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对
称轴时，常设其解析式为顶点式来求，本题就是设顶点式来求解析式；对于已知三角形面积的值，
确定抛物线上一动点坐标时，常利用确定平行线解析式的方法，再利用两函数的交点来解决问题．
3．（1）二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4；
（2）存在，P（ ）
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，满足条件的点D的坐标为D（﹣5，4）
或（5，4）或（﹣3，﹣4）．
【解析】
试题分析：（1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最
大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；
（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到
CQ=AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ
的中点，则可求得Q点坐标．
试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图像交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C
（0，4）．
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，
（2）存在.
∵y=−x2−3x+4，
∴对称轴为x=− ，
∵A(−4,0)，
∴B(1,0)，
∵P在对称轴上，
∴PA=PB，
∴|PA−PC|=|PB−PC|⩽BC，即当P、B. C三点在一条线上时|PA−PC|的值最大，
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴直线BC解析式为y=−4x+4，
令x=− 可得y=−4×(− )+4=10，
∴存在满足条件的点P,其坐标为(− ,10)；
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，
理由：①以AB为边时,则有CQ∥AB，即点Q的纵坐标为4，
∵CQ=AB=5,且C(0,4)，
∴Q(−5,4)或(5,4)，
②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，
∵A、B中点坐标为(− ,0),且C(0,4)，
∴Q点横坐标=2×(− )−0=−3，Q点纵坐标=0−4=−4，
∴Q(−3,−4)，
综合可知存在满足条件的点D,坐标为(−5,4)或(5,4)或(−3,−4).
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在（1）中注意 待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出点P的位
置是解题的关键，在（3）中分AB为边和AB为对称线两种情况分别求解是解题的关键.
4．（1） ；（2）存在， 或 或 或
【分析】
（1）令 ，解得 ，可得函数 必过 ，再结合
必过 得出 ， ，即可得到 ，再根据
，可看成二次函数 与一次函数 仅有一个交点，
且整体位于 的上方，可得 ， 有两个相等的实数根，再根据
，可解得 的值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设 ，①当 为对角线时，②当
为对角线时，③当 为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．
解：（1）令 ，解得 ，
当 时， ，
∴ 必过 ，
又∵ 必过 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
即可看成二次函数 与一次函数 仅有一个交点，且整体位于
的上方
∴ ，
有两个相等的实数根∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）由（1）可知： ， ，设 ，
①当 为对角线时，
∴ ，解得 （舍）， ，
∴ ，即 ．
②当 为对角线时，
∴ ，解得 （舍） ，
∴ ，即 ．
③当 为对角线时，
∴ ，解得 ，
∴ 或 ，
∴ ．综上所述：N点坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形
的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
1
5．(1) y=﹣ x2+4x﹣6；(2)6；(3)存在；P点坐标为（4，6）或（4，﹣6）．
2
【解析】
【分析】
1
（1）把A点和B点坐标代入y=- x2 +bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c
2
即可得到抛物线解析式；（2）先把（1）中的解析式配成顶点式，从而得到C点坐标，然后根据
三角形面积公式计算即可；（3）利用PC∥OB，则根据平行四边形的判定方法，当PC=OB=6时，
以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形，从而可确定P点坐标．
1
解：（1）把A（2，0），B（0，﹣6）代入y=− x2 +bx+c得¿ ，
2
解得¿，
1
∴这个二次函数的解析式为y=﹣ x2+4x﹣6；
2
1 1
（2）∵y=﹣ x2+4x﹣6=﹣ （x﹣4）2+2，
2 2
∴这个二次函数图像的顶点坐标为（4，2），
∴C（4，0），
1
∴△ABC的面积= ×（4﹣2）×6=6；
2
（3）存在．
如图，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴PC∥OB，
当PC=OB=6时，以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形，
此时P点坐标为（4，6）或（4，﹣6）．【点拨】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质
和平行四边形的判定方法；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．
6．（1）y＝ x2－x＋1；（2）证明见解析；（3）①K（0，5）或（0，－3），②存在点P（－
6，16）和P（10，16），使得S ＝2S ．
△POE △ABD
【分析】
（1）由二次函数图像的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，根据根的判别式进行判定．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图像交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，
①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且
BA∥DK，进而求出K点的坐标．
②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S ＝
△ POE
2S ，设P（x， x2-x+1），由题意可以解出x．
△ABD
解：（1）y＝ x2－x＋1（y＝ （x－2）2）；
（2）证明：设点（―m，2m―1）在二次函数y＝ x2－x＋1的图像上
则有：2m―1＝ m2＋m＋1 ，
整理得m2―4m＋8＝0 ．
∵△＝（－4）2－4×8＝－16＜0 ，
∴原方程无实根 ，
∴点（―m，2m―1）不在二次函数y＝ x2－x＋1的图像上 ．
（3）①K（0，5）或（0，－3）②二次函数的图像上存在点P，使得S ＝2S
△POE △ABD
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE＝EF，由y＝ x2－x＋1和y＝x＋1可求得点B（8，9）．
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），∴AD∥x轴 ．
∴S ＝2S ＝2× ×4×4＝16 ．
△ABD △ACD
设P（x， x2－x＋1），由题意有：
S ＝ ×4（ x2－x＋1）＝ x2－2x＋2 ．
△POE
∵S ＝2S ，∴ x2－2x＋2＝32，
△POE △ABD
解得x＝－6或x＝10 ．
当x＝－6时，y＝ ×（－6）2－（－6）＋1＝16．
当x＝10时，y＝ ×102－10＋1＝16．
∴存在点P（－6，16）和P（10，16），使得S ＝2S ．
△POE △ABD
【点拨】本题考查二次函数综合题．
7．（1）（4，2）；（2）6；（3）存在， P（2，6），P（2，－6）
1 2
【解析】
试题分析：（1）题利用待定系数法求出解析式；
（2）以AC为三角形的底，OB为三角形的高，求出三角形的底与高就可以求出，三角形面积；
（3）分两种情况讨论即可．
试题解析：解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）两点代入则：，解得： ，∴解析式为y= x2+4x﹣6，∵y= x2+4x﹣6=
，∴顶点坐标为：（4，2）；
（2）令 x2+4x﹣6=0，∴x2﹣8x+12=0，∴解得：x=2，x=6，∴另一个交点C（6，0），
1 2
∴AC=2，∴S = ×2×6=6；
△ABC
（3）存在．分两种情况讨论：
①显然过B作BP∥OC交对称轴于点P，则四边形OBPC是矩形，此时P(2，－6)；
②过O作OP∥BC交对称轴于点P，∵OB∥PC，∴四边形OBCP是平行四边形，∴CP=OB=6，
∴P(2，6)．
综上所述：P（2，6）或P（2，－6）．
点睛：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及平行四边形的判定方法，题目难度不大，非
常典型．
8．（1） y x2 x2 （2） Q 1(2,2), Q 2( 1 5 , 1 5 ), Q 3( 1 5 , 1 5 )； Q 4（2，2
）。
7 10
( , )
(1,2) 3 9
（3） 或
【解析】
y ax2 bxc x A(1,0),B(2,0)
试题分析：解：（1）∵二次函数 的图像交 轴于 ，∴设该二
y a(x1)(x2) y ax2 bxc y
次函数的解析式为： ，又二次函数 的图像交 轴于
C(0,2) x0,y 2 2a(01)(02) a 1
，将 代入，得 ，解得， ，∴抛物线的解析式为
y (x1)(x2) y x2 x2
，即 ;
p p2 p2 p p
（2）若OC为平行四边形的边，设P（ ， ），Q（ ， ），则PQ=p2 2p2 p2 2p2 2 p 0
，P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则 ，∴ 1
p 2 p 1 5 p 1 5 Q Q 1 5 1 5 Q 1 5
（舍去） 2 ， 3 ， 4 ；∴ 1(2,2), 2( , ), 3( ,
1 5 )；若OC为平行四边形的对角线，则 Q 4（2，2）。
点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突
破口。
9．（1）y＝﹣ x2﹣ x+2；（2）存在，Q(2 ，0)或(2﹣ ，0)或(﹣1，0)
【解析】
【分析】
（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝2，解得：a＝﹣ ，
即可求解；
（2）分AC是边、AC是对角线两种情况，即可求解．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
故﹣3a＝2，解得：a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）设点M（m，n），n＝﹣ m2﹣ m+2；点Q（0，s），而点A（﹣3，0）、点C（0，
2）；
①当AC是边时，
点A向右平移3个单位、向上平移2个单位得到C，
同理点M（Q）右平移3个单位、向上平移2个单位得到点Q（M），
即m±3＝s，n±2＝n，
解得：s＝2 ；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：m+s＝﹣3，n＝2，
解得：s＝﹣1，
综上点Q（2 ，0）或（2﹣ ，0）或（﹣1，0）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
10．（1） ；（2）点 ，8；（3）足条件的点 的坐标为 或 或
．
【解析】
【分析】
（1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最
大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；
（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到
CQ=AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ
的中点，则可求得Q点坐标．
解： ∵二次函数 的图像交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ，
如图 ，
由 有，二次函数的表达式为 ，
令 ，得 ，或 ，∴
连接 ， ， ，
∴点 是直线 平移之后和抛物线只有一个交点时， 最大，
∵ ， ，
∴直线 解析式为 ，
设直线 平移后的直线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
过点 作 轴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
存在点 ，使 ， ， ， 四点构成平行四边形，
理由：①以 为边时， ，过点 作平行于 的直线 ，
∵ ，
∴直线 解析式为 ，
∴点 在直线 上，
设 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
②以 为对角线时， 必过线段 中点，且被 平分，即： 的中点也是 的中点，
∵ ， ，
∴线段 中点坐标为 ，
∵ ，
∴直线 解析式为 ，
设点 ，
∴ ，
∴ （舍）或 ，
∴ ，即：满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、平行四边形的性质、方
程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出点P的
位置是解题的关键，在（3）中分AB为边和AB为对称线两种情况分别求解是解题的关键．本题
考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
11．（1）点 B（0，4）；（2）4；（3）x＝﹣2；（4）点 P 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣
4）
【解析】
【分析】
（1）令y=0求出点A的坐标，令x=0求出点B的坐标即可；
（2）求出OA、OB的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可；
（4）根据平行四边形对边平行且相等可得AP=OB，再分点P在点A的上方和下方两种情况讨论
求解．
解：（1）令 y＝0，则（x+2）2＝0，解得 x＝x＝﹣2，
1 2
所以，点 A（﹣2，0），
令 x＝0，则 y＝（0+2）2＝4，
所以，点 B（0，4）；
（2）∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴S ＝ OA•OB＝ ×2×4＝4；
△AOB
（3）对称轴方程为直线 x＝﹣2；
（4）∵以 P，A，O，B 为顶点的四边形为平行四边形，
∴AP＝OB＝4，
当点 P 在点 A 的上方时，点 P 的坐标为（﹣2，4）， 当点 P 在点 A 的下方时，点 P 的坐
标为（﹣2，﹣4），
综上所述，点 P 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以 P，A，O，B 为顶点的四边形为平
行四边形．
【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，三角形的面积，平
行四边形的对边平行且相等的性质，综合题，但难度不大，要注意（4）有两种情况．12．（1）y= x2- x-2；（2）点P（ ，- ）；（3）Q（ -2，0），Q（-2- ，0），Q
1 2 3
（1，0），Q（5，0）．
4
【解析】
【分析】
（1）由二次函数y=ax2+bx-2的图像与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，直接利用待定系
数法，即可求得这个二次函数的表达式；
（2）首先过点P作PE∥y轴，交BC于点D，交x轴于点E，然后求得直线BC的解析式，即可由
S =S +S = PD•OE+ PD•BE= PD（OE+BE）= PD•OB，求得答案；
△BCP △PCD △PBD
（3）分别从BC是边与对角线去分析求解即可求得答案．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-2的图像与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴这个二次函数的表达式为：y= x2- x-2；
（2）存在．
如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于点D，交x轴于点E，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵C（0，-2），B（3，0），∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y= x-2，
设P（x， x2- x-2），则点D（x， x-2），
∴S =S +S = PD•OE+ PD•BE= PD（OE+BE）= PD•OB= ×[ x-2-（ x2-
△BCP △PCD △PBD
x-2）]×3=-x2+3x=-（x- ）2+ ，
∴当x= 时，使△BCP的面积最大，
∴点P（ ，- ）；
（3）存在．
若BC是边，如图2，
则BC∥MQ，BC=MQ，
过点M作MH⊥x轴，
∴△MQH≌△BOC，
∴MH=OC=2，QM=OB=3，
∴当y=2时， x2- x-2=2，
解得：x=1± ，∴Q 的横坐标为：1+ -3= -2，Q 的横坐标为：1- -3=-2- ，
1 2
∴Q（ -2，0），Q（-2- ，0）；
1 2
若BC为对角线，如图3，
则BQ∥CM，BQ=CM，
∵M（2，-2），
∴CM=2，
∴BQ=2，
∴OQ=1，
∴Q（1，0），
3
BC为平行四边形的边时，则BQ∥CM，BQ=CM，
∵M（2，-2），
∴CM=2，
∴BQ=2，
∴OQ=5，
∴Q（5，0），
4
综上，Q（ -2，0），Q（-2- ，0），Q（1，0），Q（5，0）．
1 2 3 4
【点拨】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问
题以及平行四边形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
13．（1） ， ；（2） ；（3） ；（4） 或 或
【分析】
（1）将（-1，0）和（0，-3）两点代入二次函数y=x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解
析式；
（2）利用（1）中的抛物线解析式来求抛物线与x轴另一交点坐标；
（3）根据图像直接回答；
（4）分AB为边和对角线进行讨论，结合平行四边形的性质求解即可．
解：（1）由二次函数y=x2+bx+c的图像经过（-1，0）和（0，-3）两点，得 ，
解得 ．
则抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
令y=0，则x2-2x-3=0
解得， ，
则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（-1，0），B（3，0）；
所以，二次函数的图像与 轴的另一个交点B的坐标（3，0）；
（3）根据图像知，当-1＜x＜3时，y＜0；
（4）∵A(-1，0)，B（3，0）
∴AB=3-(-1)=4
①连接AC，过点C作CD//AB，且CD=AB，如图①，则D（4，-3）；
②连接BC，过点C作CD//BA，且CD=BA，如图②，则D（-4，-3）；③连接BC，AC，过点A作AD//BC，过点B作 BD//AC，相交于点D，连接DC与AB相交于点
E，如图③
∵A(-1，0)，B（3，0）
∴点E（1，0）
设D(x，y)，则有， ，
解得，x=2，y=3，
∴D（2，3），
综上，点D的坐标为 或 或
【点拨】本题是二次函数综合题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图像与性
质、平行四边形的判定等知识点，难度较大．第（3）问注意按照平行四边形边和对角线进行分
类讨论，做到条理清晰、不重不漏．
14．（1）y=﹣x2+3x+4；（2）P（2，6），16；（3）存在，Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）
或（3，﹣4）
【解析】试题分析：(1)、将点A和点C的坐标代入解析式，从而求出b和c的值，然后得出函数
解析式；(2)、根据二次函数得出点B的坐标，根据题意可得要使△ACP的面积达到最大时，经
过点P且与AC的平行直线与抛物线只有一个交点，从而得出答案；(3)、分两种情况来进行讨论：
①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB 过点C作平行于AB的直线l，设点Q的坐标为（d，
4），则CQ=|d|，根据题意得出AB=5，从而得出d的值，得出点Q的坐标；②、以AB为对角线
时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，根据题意得出中点
的坐标，得出直线CQ的解析式，设出点Q的坐标，然后根据勾股定理求出点Q的坐标得出答案.试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图像交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C
（0，4）．
∴ ，∴ ， ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+3x+4，
（2）如图，
由（1）有，二次函数的表达式为y=﹣x2+3x+4， 令y=0，得x=4，或x=-1，∴B（-1，0）
连接AC，PA，PC，要使四边形 的面积最大，当且仅当 的面积最大时，
∴点P在平行于直线AC，且该直线与抛物线只有一个交点时，S 最大，
△PAC
即：S 最大；
四边形AOCP
∵A（4，0），C（0，4）， ∴直线AC解析式为 ，
设与直线AC平行的直线解析式为 ，则
，∴
∴ ，∴ ，∴点P（2，6），
连接PO，过点P作PD⊥y轴，PG⊥x轴，则PD=2，PG=6，∴ ．
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，
理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB 过点C作平行于AB的直线l，
∵C（0，4），∴直线l解析式为y=4，∴点Q在直线l上， 设Q（d，4），∴CQ=|d|，
∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5， ∴Q（﹣5，4）或（5，4），
②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，
∵A（4，0），B（-1，0），∴线段AB中点坐标为（ ，0），
∵C（0，4），∴直线CQ解析式为y=- x+4，设点Q（m，- m+4），
∴ ，∴m=0（舍）或m=3，∴Q（3，﹣4），
即：满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）．
点睛：本题主要考查的就是求二次函数的解析式以及二次函数的综合应用问题.当两个一次函数
互相平行时，则两个函数的比例系数相等；当两个一次函数互相垂直时，则两个函数的比例系数
互为负倒数.当一次函数和二次函数只有一个交点时，则一次函数和二次函数联立成一元二次方
程，则方程的根的判别式为零.当动点产生平行四边形时，我们需要将已知的线段分成两种情况
来进行讨论，从而分别求出动点的坐标.
15．（1）y=﹣x2+4x﹣3， 即 y=﹣（x﹣2）2+1，（2，1）；（2） ；（3）（2，3）或
（2，-3）.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数 的图像经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点，即可得到抛物
线的解析式为 即 ，进而得出抛物线的顶点坐标；
（2）由（1）可得，C（2，0），根据 A（1，0），B（0，﹣3），可得 OC=2，OA=1，
OB=3，AC=1，即可得到△ABC的面积；
（3）分两种情况讨论：当四边形 OBCP 是平行四边形时，CP =OB=3；当四边形 OBP C 是
1 1 2平行四边形时，CP =OB=3，即可得到 P 点坐标．
2
解：（1）∵二次函数 的图像经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点，
∴抛物线的解析式为 即
∴抛物线的顶点坐标为（2，1）；
（2）由（1）可得，C（2，0），又∵A（1，0），B（0，﹣3），
∴OC=2，OA =1，OB=3，
∴AC=1，
∴△ABC 的面积
（3）存在，P 点有2个，坐标为 P（2，3），P（2，﹣3）．
1 2
如图，当四边形 OBCP 是平行四边形时，CP =OB=3，而 OC=2， 故 P
1 1 1
（2，3）；
当四边形 OBP C 是平行四边形时，CP =OB=3，而 OC=2， 故 P
2 2 2
（2，﹣3）．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质以及三角形面积的求
法，解题时注意分类思想的运用．解这类问题关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次
函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
16．（1） ， 或 ；（2）P ；（3）
【分析】
（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y﹤0；
（2）设出P点坐标 ，利用割补法将△ACP 面积转化为
，带入各个三角形面积算法可得出 与m之间的函数关系，分析
即可得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位
置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.
解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：
解得：
∴二次函数解析式为 .
由图像可知，当 或 时y﹤0；
综上：二次函数解析式为 ，当 或 时y﹤0；
（2）设点P坐标为 ，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM= ，PN= ，AO=3.当 时， ，所以OC=2
，
∵
∴函数 有最大值，
当 时， 有最大值，
此时 ；
所以存在点 ，使△ACP 面积最大.
（3）存在，
假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点 此时 =
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0,2）关于对称轴 对称，
∴M（﹣2,2），
∴CM=2.
由 = ；
②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即 .
设M（x，﹣2），则有 ，解得： .
又QG=3,∴ ，
∴
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为：
.
【点拨】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数
图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并
且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用
平行四边形性质进行计算和分析.
17．（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）点P坐标为（2，﹣6）；（3）点P坐标为：（ ，4）或（
，4）或（3，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c，可求出b、c的值即可求得二次函数的解析式；（2）过
OB的中点D作垂线交抛物线于点P，则△POB就是所求的三角形，根据抛物线的解析式可求出B点坐标，由DP是OB的垂直平分线，可知直线DP为：x=2，进而可得P点坐标；（3）设P
（m，m2﹣3m﹣4），分别讨论AC为边和AC为对角线两种况，根据平行四边形的性质，列方程
求出m的值即可求得P点坐标.
解：（1）将A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点代入y=x2+bx+c得： ，
∴ ，
所以此二次函数的解 析式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵△POB是以OB为底边的等腰三角形，
∴过OB的中点D作垂线交抛物线于点P
即△POB就是所求的三角形，如图1，
∵点B是抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴的一个交点，
∴B（4，0）
∴直线DP可以表示为：x=2
∵点P是抛物线y=x2﹣3x﹣4与直线x=2的交点，
∴根据方程组的解得：点P坐标为（2，﹣6）；
（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴CO=4，
①以AC作为边，如图2，过点P 向x轴作垂线交x轴于点M
1
根据平行四边形的性质：AC=PF，CO=MP ，
1 1 1
∵∠PMF =∠AOC=90°，
1 1
∴Rt△P MF ≌Rt△COA，
1 1
∴CO=P M
1
∵CO=P M=4，
1
∴m2﹣3m﹣4=4或m2﹣3m﹣4=﹣4，
解之得：m= 或m=0（舍）或m=3，
∴点P坐标为（ ，4）或（ ，4）或（3，﹣4），②以AC作为对角线，如图2，CP∥AF，
∴点P坐标为（3，﹣4）
∴点P坐标为：（ ，4）或（ ，4）或（3，﹣4）．
【点拨】本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图像为
抛物线，其顶点式为y=a（x- ）2+ ，抛物线的对称轴为x=- ，当a＞0，y最小值=
；当a＜0，y最，大值= ；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特
殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．
18．(1) ； (2)① 有最大值 ②存在.（2，0）（ ，0）（ ，0）.
【解析】
【分析】
（1）将A点坐标分别代入抛物线的直线，便可求出抛物线的解析式和m的值；
（2）过A作AH⊥PM于H，利用△MAB的面积=S -S -S 计算即可；
梯形BOHA △BOM △AMH
（3）①线段DE的长为h，根据P点坐标分别求出DE两点坐标，便可求出h与a之间的函数关
系式，进而可求出线段DE的最大值；
②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形，要使四边形NMED是平行四
边形，必须DE=MN=2，由①知DE=|-a2+3a|，进而求出a的值，所以P的坐标可求出．解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2，
∵点A（3，4）在抛物线上，则4=a（3-1）2，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2
∵点A（3，4）也在直线y=x+m，即4=3+m，
解得m=1；
（2）过A作AH⊥PM于H，
∵B（0，1），M（1，0），A（3，4），
∴OB=1，OH=3，AH=4，
∴△MAB的面积=S -S -S =7.5- ×1×1- ×2×4=3；
梯形BOHA △BOM △AMH
（3）①已知P点坐标为P（a，0），则E点坐标为E（a，a2-2a+1），D点坐标为D（a，
a+1），
h=DE=y -y =a+1-（a2-2a+1）=-a2+3a，
D E
∴h与a之间的函数关系式为h=-a2+3a=-（a- ）2+ （0＜a＜3），
∴线段DE的最大值是 ；
②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
理由是∵M（1，0），
∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
即N（1，2），
∴MN=2，
要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，
由①知DE=|-a2+3a|，
∴2=|-a2+3a|，解得：a=2，a=1，a= ，a= ，
1 2 3 4
∴（2，0），（1，0）（因为和M重合，舍去）（ ，0），（ ，0）
∴P的坐标是（2，0），（ ，0），（ ，0）．
【点拨】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的性质
等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练．
19．(1) ， ；(2) ；(3) DE的最大值为 ；(4)存在，点 的坐标为
或( )或( ，0)
【分析】
(1)根据直线 经过点A(3，4)求得m=1，根据二次函数图像的顶点坐标为M(1，0)，且经
过点A(3，4)即可求解；
(2)先求得点 的坐标，点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解；
(3)由题意得 ，则 根据二次函数的性质即可求解；
(4)分两种情况：D点在E点的上方、D点在E点的下方，分别求解即可．
解：(1)∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数图像的顶点坐标为 ，
∴设二次函数的解析式为：
∵抛物线经过 ，∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为： ；
(2)把 代入 得 ，
∴点 的坐标为 ，
把 代入 得 ，
∴点D的坐标为(2，3)，
∴ ，
∴ ；
(3)由题意得 ，
∴
∴当 (属于 范围)时，DE的最大值为 ；
(4) 满足题意的点P是存在的，理由如下：
∵直线AB： ，
当 时， ，
∴点N的坐标为(1，2)，∴ ，
∵要使四边形为平行四边形只要 ，
∴分两种情况：
①D点在E点的上方，则
，
∴ ，
解得： (舍去)或 ；
②D点在E点的下方，则
，
∴ ，
解得： 或
综上所述，满足题意的点P是存在的，点P的坐标为 或( )或( ，0) ．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段
之间的关系．
20．（1）m＝1，y＝x2﹣2x+1；（2）S ＝2；（3）DE的最大值为 ；（4）满足题意的点P
△ODE
是存在的，坐标为（2，0）或（ ，0）或（ ，0）．
【分析】
（1）直线y=x+m 经过点A（3，4），4=3+m，m=1，二次函数图像的顶点坐标为M（1，0），
即可求解；
（2）把x=2代入y=x2-2x+1 得y=1，E（2，1），把x=2代入y=x+1得y=3，D（2，3），即可
求解；
（3）由题意得D（a，a+1），E（a，a2-2a+1），DE=（a+1）-（a2-2a+1）=-（a ）2+ ，即可求解；
（4）分两种情况：D点在E点的上方、D点在E点的下方，分别求解即可．
解：（1）∵直线y＝x+m 经过点A（3，4），
∴4＝3+m，
∴m＝1，
∵二次函数图像的顶点坐标为M（1，0），
∴设y＝a（x﹣1）2
∵抛物线经过A（3，4），
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1；
（2）把x＝2代入y＝x2﹣2x+1 得y＝1，
∴E（2，1），
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴D（2，3），
∴DE＝3﹣1＝2
∴S ＝2；
△ODE
（3）由题意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），
∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a ）2+ ，
∴当a＝ （属于0＜a＜3 范围）时，DE的最大值为 ；
（4）∵直线AB：y＝x+1，N（1，2），
∴MN＝2，
∵要使四边形为平行四边形只要DE＝MN．
∴分两种情况：
①D点在E点的上方，则
DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
∴a＝1（舍去）或a＝2；
②D点在E点的下方，则 DE＝a2﹣3a＝2，
∴a＝ 或 ；综上所述，满足题意的点P是存在的，坐标为（2，0）或（ ，0）或（ ，0）．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段
之间的关系．
21．（1）y=x2-x-2（2）（3，-2）、（1，2）、（-3，-2）．（3）
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据平行四边形的特点作图即可求解；
（3）先求出直线AC的解析式，过Q点QF⊥x轴于F点，交直线AC于P点，设Q（x, x2-
x-2），表示出PQ的长，再根据S = AO×PQ列出二次函数关系式即可求解．
△ACQ
解：（1）把A(﹣1，0)，B(2，0)代入y=ax2+bx-2得
解得
∴y=x2-x-2
（2）令x=0，得y=-2
∴C（0，-2）
如图，∵A(﹣1，0)，B(2，0)，C（0，-2）
①四边形ABD C是平行四边形，
1
∴CD=AB=3
1
∴D（3，-2）
1
②四边形ACBD 是平行四边形，
2
AB,CD 交于E点，E（ ，0）
2
∴C、D 关于E点对称，
2
∴D（1，2）
2
③四边形ABCD 是平行四边形，
3
∴CD=AB=3
3∴D（-3，-2）
3
综上，点D的坐标为（3，-2）、（1，2）、（-3，-2）．
（3）设AC为y=kx+b，把A(﹣1，0)，C（0，-2）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y=-2x-2
过Q点QF⊥x轴于F点，交直线AC于P点，
设Q（x, x2-x-2），
∴P（x, -2x-2）
∴PQ=（-2x-2）- （x2-x-2）=- x2-x
∴S = S + S = AF×PQ+ FO×PQ = AO×PQ= ×1×（- x2-x）=- （x+ ）2+
△ACQ △APQ △PCQ
∴当x=- 时，S 的最大值是 ．
△ACQ【点拨】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、平行四边形的性质
及二次函数的性质．
1 1 1 7 13 9 5
22．（1）y= x2﹣ x﹣4；（2）x= ；（3）存在，点E的坐标为（ ，﹣ ）、（ ， ）或
3 3 2 2 12 2 4
7 5
（﹣ ， ）．
2 4
【解析】
试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），根据点A、B、C的坐标利用待定系
数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出抛物
线的对称轴；（3）假设存在，分线段BC为对角线以及BC为边两种情况考虑，根据点B、C、D
的坐标结合平行四边形的性质即可得出点E的坐标，利用二次函数图像上点的坐标特征即可求出
点E的坐标，此题得解．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将A（﹣3，0）、B（4，0）、C
1 1
（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c（a≠0）中得：¿，解得：¿，∴该抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣
3 3
1
−
1 1 3 1
4．（2）∵抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣4，∴该抛物线的对称轴为x=﹣ = ．（3）假
3 3 1 2
2×
3
1
设存在，∵点D在抛物线的对称轴上，∴设点D的坐标为（ ，m）．以D、E、B、C为顶点的
2
四边形是平行四边形分两种情况（如图所示）：①当线段BC为对角线时，∵B（4，0）、C
1 1 7
（0，﹣4）、D（ ，m），∴点E的坐标为（4﹣ ， ﹣4﹣m），既（ ，﹣4﹣m），∵点E
2 2 2
1 1 1 49 1 7 13 7
在抛物线y= x2﹣ x﹣4上，∴﹣4﹣m= × ﹣ × ﹣4=﹣ ，此时点E的坐标为（ ，﹣
3 3 3 4 3 2 12 2
13 1 1
）；②当线段BC为边时，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（ ，m），∴点E的坐标为（
12 2 2
1 9 7 1 1
+4，m+4）或（ ﹣4，m+4），既（ ，m+4）或（﹣ ，m+4）．∵点E在抛物线y= x2﹣ x
2 2 2 3 31 81 1 9 5 1 49 1 7 5
﹣4上，∴m+4= × ﹣ × ﹣4= 或m+4= × ﹣ ×（﹣ ）﹣4= ，此时点E的坐标为（
3 4 3 2 4 3 4 3 2 4
9 5 7 5
， ）或（﹣ ， ）．综上可知：在该抛物线上存在一点E，使得以D、E、B、C为顶点的
2 4 2 4
7 13 9 5 7 5
四边形是平行四边形，点E的坐标为（ ，﹣ ）、（ ， ）或（﹣ ， ）．
2 12 2 4 2 4
考点：二次函数综合题．
23．(1) y=x2＋2x－3 ， y=x－1 (2) 存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形
【分析】
（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的
y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式．
（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，
进而根据y=－3求得合适的a的值即可．
解：（1）将A（－3，0），D(－2，－3)的坐标代入y=x2＋bx＋c得，
，解得： ．
∴抛物线的解析式为y=x2＋2x－3 ．
由x2＋2x－3=0，得：x=－3，x=1，∴B的坐标是（1，0）．
1 2
设直线BD的解析式为y=kx＋b，则
，解得： ．
∴直线BD的解析式为y=x－1．（2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,
∴直线EF的解析式为：y=x－a．
若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴．
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为－3．
由 得y2＋（2a＋1）y＋a2＋2a－3=0，解得：y= ．
令 =－3，解得：a=1，a=3．
1 2
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意．
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．
