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专题 2.35 二次函数背景下矩形、菱形、正方形存在性问题
（专项练习）
1．如图，一次函数 图像与坐标轴交于点A、B，二次函数 图像过
A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点
Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理
由．
2．如图，二次函数 的图像交x轴于点 ， ，交y轴于点C．点
是x轴上的一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段 上运动，如图1．求线段 的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．
若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴相交于点 和点 ，
与y轴交于点C．
（1）求 的值；
（2）点 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 于点Q．
①当 时，求当P点到直线 的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，
请求出m的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2＋bx＋c的图像经过点A(2，5)，B(0，2)，
C(4，2)．
（1）求这个二次函数关系式；（2）若在平面直角坐标系中存在一点D，使得四边形ABDC是菱形，请直接写出图像过B、C、
D三点的二次函数的关系式；
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 三点，
且 ．
（1）求 的值；
（2）在抛物线上求一点 使得四边形 是以 为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 是以 为对角线的菱形？若存在，求出
点 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点的坐
标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上
一动点
（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在
点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，B点的坐
标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形 .是否存在点P，使四边形
为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC
的最大面积.
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点
的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一
动点．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形
POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC
的最大面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点
的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一
动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边
形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．二次函数 的图像，与 轴交于原点和点 ，顶点 的坐标为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图像是一条抛物线，过 两点可以画无数条抛物线，设顶点为 ，过点 向 轴、 轴作垂线，垂足为点 ．求当所得的四边形 为正方形时的
二次函数表达式；
（3） 点在（1）中求出的二次函数图像上，且 点的横坐标为1， 点是坐标平面上一点，点
在 轴上，是否存在以 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点 的坐标；
若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点， 点在
原点的左则， 点的坐标为 ，与 轴交于 点，点 是直线 下方的抛物线上一动
点．
求这个二次函数的表达式；
求出四边形 的面积最大时的 点坐标和四边形 的最大面积；
连结 、 ，在同一平面内把 沿 轴翻折，得到四边形 ，是否存在点 ，使
四边形 为菱形？若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由；
在直线 找一点 ，使得 为等腰三角形，请直接写出 点坐标．12．如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y
轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图像上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且 ，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四
边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣ 的图像经过点A（﹣1，0），C（2，
0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求 PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的
四边形为菱形，则这样的点N共有 个．14．如图，二次函数y＝﹣ x2+ x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．
（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣
2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+ NB的和
最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得
到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C
与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、
B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐
标为 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x
轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图像上找到一点P，使 的面积是矩形
MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图所示，二次函数y=－mx2＋4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，
A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自
变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
17．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点
的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作
x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图像上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图所示，二次函数 的图像与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，
且与 轴交于点 ．
（1）求 的值；
（2）求点 的坐标；
（3）该二次函数图像上有一点 （其中 ， ），使 ，求点 的坐标；
（4）若点 在直线 上，点 是平面上一点，是否存在点 ，使以点 、点 、点 、点 为
顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）抛物线的解析式为： ；（2）Q点坐标为（1， ）或(3，0)
或（-1，0）．
【分析】（1）由直线 与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧
和左侧，根据菱形的性质求解即可．
解：（1）对于 ：当x=0时， ；
当y=0时， ，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0， ）
把A（3，0），B（0， ）代入 得：
解得，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1， ）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令 ，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1， ）或(3，0)或（-1，0）
【点拨】本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元
二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．
2．（1） ；（2）① ，②存在，
【分析】
（1）把 代入 中求出b，c的值即可；
（2）①由点 得 ，从而得 ，整
理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和 两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把 代入 中，得解得
∴ ．
（2）设直线 的表达式为 ，把 代入 ．
得， 解这个方程组，得
∴ ．
∵点 是x轴上的一动点，且 轴．
∴ ．
∴
．
∵ ，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段 上运动，且
∴当 时， 有最大值 ．
②∵点 是x轴上的一动点，且 轴．
∴ ．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴当 时，CQ=MN= ，
∴OQ=-3-( )=
∴Q(0， )；
当m= 时，CQ=MN=- ，
∴OQ=-3-(- )=
∴Q(0， )；
(ii)若 ，如图，则有
整理得，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段
的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m
的方程，要分类讨论，以防遗漏．
3．（1）b= ，c= ；（2）① ；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），∴ ，
解得： ，
∴b= ，c= ；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 ，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0<m<3，
∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=- + ，
∵-1<0，
∴当 时，PQ有最大值，最大值为 ；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，
当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q在点P上方时，
∴PQ= ，即 ，
∴ ，
解得 或 ，当 时，点P与点O重合，菱形不存在，
当 时，点P与点B重合，此时BC= ，菱形也不存在；
当点Q在点P下方时，
若点Q在第三象限，如图，
∵∠COQ=45°，
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，
此时OA=1 OC=3，菱形不存在，
若点Q在第一象限，如图，
同理，菱形不存在，
综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，
熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．
4．解：（1）y＝－ x2＋3x＋2；（2）y＝ x2－3x＋2
【分析】
（1）分别把 ， ， 代入 ，利用待定系数法可得 ， ，
从而得出这个二次函数关系式；（2）先求出 点的坐标，再把 、 、 三点的坐标代入，即可求出二次函数的关系式．
【详解】
解：（1）分别把 ， ， 代入 ，
得
解得 ，
故这个二次函数的解析式为： ；
（2） 点 、 、 的坐标分别是 ， ， ．
当四边形 是菱形时，点 的坐标是 ，
设二次函数的解析式为： ，
把 、 、 三点的坐标代入得：
解得：
所以图像过 、 、 三点的二次函数的关系式：
．
【点拨】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，关键是根
据菱形的性质和点 、 、 的坐标求出点 的坐标．
5．（1） ， ；（2）D ；（3）存在， ，这个菱形不是正方形．【分析】
（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x-x=5，对式子合理变形，求b；
2 1
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足
条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）根据四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，
代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形．
【详解】
解:（1） 抛物线 经过点
又由题意可知， 是方程 的两个根，
，
由已知得
又
解得 ，
当 时，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，不合题意，舍去．
；
（2）∵四边形 是以 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 必在抛物线的对称轴上，
又
拋物线的顶点 即为所求的点 ；
（3）∵四边形 是以 为对角线的菱形，点 的坐标为根据菱形的性质，
点 必是直线 与抛物线 的交点，
当 时，
在抛物线上存在一点 ，使得四边形 为菱形．
四边形 不能成为正方形，
因为如果四边形 为正方形，．点 的坐标只能是 ，但这一点不在抛物线上.
【点拨】本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的
方法．
6．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P点的坐标为（﹣ ， ）；（3）P点的坐标为（﹣
， ），四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【分析】
（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；
（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣ ，令y＝﹣ 即可得x2﹣
2x﹣3＝﹣ ，解该方程即可确定P点坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y
轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然
后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横
坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的
函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】
（1）∵C点坐标为（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，
解得，b＝﹣2，∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．如图1，
设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，
当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE＝CE＝ ，
令﹣x2﹣2x+3＝ ，
解得，x＝﹣ ，x＝ （不合题意，舍去）．
1 2
∴P点的坐标为（﹣ ， ）．
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，
则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，则Q点的坐标为（x，x+3），
当0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝1，x＝﹣3，
1 2
∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，
S ＝S +S +S
四边形ABCP △ABC △APQ △CPQ
＝ AB•OC+ QP•OF+ QP•AF
＝ ×4×3+ [（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
＝﹣ （x+ ）2+ ．
当x＝﹣ 时，四边形ABCP的面积最大，
此时P点的坐标为（﹣ ， ），四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【点拨】此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及
图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来
求解．
7．（1） ；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（ ， ）；（3）P点
的坐标为( ，− )，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【分析】
（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；.
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分
线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；.
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y
轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然
后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横
坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的
函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入 ，得
， 解得 .
∴二次函数的解析式为 .
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；.
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E.
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；.
连接PP′，则PE⊥CO于E，
.
∵C（0，-3），.
∴CO=3，.
又∵OE=EC，.
∴OE=EC= .
∴y=− ；.
∴x2-2x-3=− ，
解得 （不合题意，舍去）.
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（ ， ）.
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，.
则 ，.
解得： .
∴直线BC的解析式为y=x-3，.
则Q点的坐标为（x，x-3）；.
当0=x2-2x-3，.
解得：x=-1，x=3，.
1 2
∴AO=1，AB=4，.
S =S +S +S .
四边形ABPC △ABC △BPQ △CPQ
= AB•OC+ QP•BF+ QP•OF.
= ×4×3+ (−x2+3x)×3.
=− (x− )2+ .
当x＝ 时，四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为( ，− )，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
8．（1）y＝x2﹣2x﹣3，点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，点P（1+
，﹣ ）；（3）故S有最大值为 ，此时点P（ ，﹣ ）．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为：x＝﹣ ＝1，解出b＝﹣2，即可求解；
（2）四边形POP′C为菱形，则y ＝﹣ OC＝﹣ ，即可求解；
P
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得到直线BC的表达式，设点P（x，x2﹣
2x﹣3），则点H（x，x﹣3），再根据ABPC的面积S＝S +S 即可求解．
△ABC △BCP
【详解】
（1）函数的对称轴为：x＝﹣ ＝1，解得：b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
再将点C（0，﹣3）代入得到c=-3，
,∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）存在，理由：
如图1，四边形POP′C为菱形，则y ＝﹣ OC＝﹣ ，
P
即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣ ，
解得：x＝1 （舍去负值），
故点P（1+ ，﹣ ）；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，
由点B、C的坐标得到直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），ABPC的面积S＝S +S
△ABC △BCP
＝ ×AB×OC+ ×PH×OB
＝ ×4×3+ ×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）
＝﹣ x2+ x+6，
=
∵- ＜0，
∴当x= 时，S有最大值为 ，此时点P（ ，﹣ ）．
【点拨】此题是一道二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，图像与坐标轴的交点，
翻折的性质，菱形的性质，利用函数解析式确定最大值，（3）是此题的难点，利用分割法求四
边形的面积是解题的关键.
9．（1）y＝x﹣3，y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，点P
【分析】
（1）设一次函数解析式为：y=mx+n，把B、C点坐标分别代入一次函数解析式和二次函数解析
式即可解出．
（2）若四边形 是菱形， 和OC相互垂直，P点纵坐标是 ，代入二次函数表达式即
可解得．
【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为：y＝mx+n，有：，
解得：m＝1，n＝﹣3；
∴直线BC：y＝x﹣3．
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c中，得：
，
解得：b＝﹣2，c＝﹣3；
∴抛物线：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为
﹣ ，代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得：
﹣ ＝x2﹣2x﹣3，
解得 x＝ ，x＝ （舍去）
1 2
∴点P
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数用待定系数法求表达式，二次函数动点与菱形的存在性
的问题．
10．（1） ；（2） 或 ；（3）(1，0)或(-2，0)
【分析】
（1）设二次函数 ，根据待定系数法，求出a的值，即可得到答案；
（2）设二次函数解析式为： ，先得出Q(2，2)或Q(2，-2)，进而即可求解；
（3）先求出点G(1，3)，再分两种情况：①当GE为为正方形的对角线时，②当GE是正方形的
边时，分别求解，即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数 的图像的顶点 的坐标为 ，∴设二次函数 ，
把(0，0)代入上式，得： ，解得：a=-1，
∴二次函数的表达式为： ；
（2）∵抛物线过 两点，
∴对称轴为：直线x=2，可设二次函数解析式为： ，
∴OM=2，
又∵四边形OMQN是正方形，
∴QM=OM=2，
∴Q(2，2)或Q(2，-2)，
∴ 或 ，解得： 或 ，
∴二次函数解析式为： 或 ；
（3）由（1）可知二次函数的解析式为： ，
∴当x=1时，y=3，即：G(1，3)，
当GE为为正方形的对角线时，GR=ER=3，
1 1
此时，R(1，0) ，
1
当GE是正方形的边时，GR=GE= ，
2
∴RE= × =6，
2
∴R(-2，0)，
2
∴R的坐标为(1，0)或(-2，0)．【点拨】本题主要考查二次函数与平面几何综合，熟练掌握二次函数的待定系数法，正方形的性
质，是解题的关键．
11．（1） ；（2）当 时，四边形 的面积取最大值，最大值为 ；
（3）存在点 ，使四边形 为菱形；（4） 点坐标为 、
、 或 ．
【解析】
【分析】
（1）直接代入B、C两点坐标即可求解解析式；
（2）过 作 轴，交 于 ，设 ，求解直线BC解析式为 ，则可
得 ，观察图形，利用 即可求解；
（3）取 的中点 ，过 作 的垂线交抛物线于 ，在 的延长线上取 ，连接
、 ，所得四边形 即为菱形；
（4）设点 的坐标为 ，则利用已知点C和O，写出用m表示的OC、PC、PO的表达式，
再分别按 、 和 三种情况进行讨论，分别求解m的值即可.
【详解】
解： 将点 、 代入 中，得： ，解得： ，
∴该二次函数的表达式为 ．
∵点 ，点 ，
∴直线 ．
过 作 轴，交 于 ，如图 所示．
设 ，则点 ，
当 时， ，
解得： ， ，
∴点 ．
则 ，
，
，
，∵ ， ，
∴当 时，四边形 的面积取最大值，最大值为 ．
取 的中点 ，过 作 的垂线交抛物线于 ，在 的延长线上取 ，连接 、
，如图 所示．
∵ ， ， ，
∴四边形 为菱形．
当 ，则有 ，
解得： （舍去）， ，
∴存在点 ，使四边形 为菱形．
设点 的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ．
为等腰三角形分三种情况：
①当 时， ，
解得： ，
此时点 的坐标为 或 ；
②当 时， ，
解得： 或 （舍去），
此时点 的坐标为 ；
③当 时，有 ，解得： ，
此时点 的坐标为 ．
综上可知： 点坐标为 、 、 或 ．
【点拨】本题为二次函数综合题型，第一问考察了待定系数法求解函数解析式；第二问结合三角
形面积计算公式进行考察；第三问综合了动点及菱形相关问题；第四问侧重考察了分类讨论的思
维.
12．（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）
或（1，-2）．
【分析】
（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；
（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；
（3）因为S =S ，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等
△ABD △ABC
即可，因此要计算y=3时对应的点即可；
（4）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解．
【详解】
解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得：
-9+6+m=0，
∴m=3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，-x2+2x+3=0，
x2-2x-3=0，
（x+1）（x-3）=0，
∴x=-1或3，
∴B（-1，0）；
（3）∵S =S ，
△ABD △ABC
当y=3时，-x2+2x+3=3，-x2+2x=0，
x2-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，
∵AO=OC=3，故∠PAB=45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，-2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，
面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．
13．（1） ，抛物线的顶点坐标为（ ）；（2）最小值为 ；
（3）5个
【分析】
(1)将A、C三点的坐标代入y=ax2+bx﹣ ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而
得到其顶点坐标；(2)连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH
即可．
(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对
称轴有两个交点，此时AM=AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时
BM=AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM．由M点的个数则可得出
点N的个数有5个．
【详解】
(1)∵二次函数 的图像经过点A(﹣1，0)C(2，0)，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为 ，
∵y= ，
∴抛物线的顶点坐标为( )；
(2)如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB= ，
，
∴∠ABO=30°，
∴PH= PB，
∴ PB+PD=PH+PD=DH，
∴此时 PB+PD最短(垂线段最短);
∵抛物线的顶点坐标为( )，
∴ ，
∵∠ABO=30°，
∴∠HAD=60°，
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD= ，∠HAD=60°，
∴ ，
∴DH= ，
∴ PB+PD的最小值为 ；
(3)①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM=AB，
即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；
②以B为圆心AB为半径画弧，因为 ，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=AB，即
M点有两个，所以满足条件的N点有两个；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM，因为M点有一个，所以满足条件
的N点有一个；
则满足条件的N点共有5个，故答案为：5．
【点拨】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，菱形的判定，
锐角三角函数定义，垂线段最短的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，
学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会利用数形结合解决问题．
14．（1）点H（9，﹣3），PM+MN+ NB的和最小值为9 ；（2）（ ，﹣ ）或（﹣ ，
）；
【分析】
（1）过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12，过点C作
CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，即可求解；
（2）分B′K为菱形的一条边、B′K为菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数y＝﹣ x2+ x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C，
则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6），
则直线BC的表达式为：y＝﹣ x+6，
设点P（x，﹣ x2+ x+6），则点E（x，﹣ x+6），
PE﹣2EF＝y ﹣3y ＝﹣ x2+ x+6﹣3（﹣ x+6）＝﹣ x2+3x﹣12，
P E
当x＝9时，PE﹣2EF有最大值，此时，点P（9，6），
即点C是点P关于函数对称轴的对称点，
过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12…①，
过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，BH＝ BN，PM+MN+ NB的和最小值＝CM+MN+NH＝CH即为最小值，
同理直线CH的表达式为：y＝﹣x+6…②，
当y＝0时，x＝6，故点N（6，0），
联立①②并解得：x＝9，故点H（9，﹣3），
PM+MN+ NB的和最小值＝CH＝ ＝9 ；
（2）存在，理由：
y＝﹣ x2+ x+6＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
点P（9，6），则点P′（9，﹣6），
则直线BP′表达式中的k值为：2，
设抛物线向左平移m个单位，则向下平移2m个单位，
则y′＝﹣ （x﹣ +m）2+ +2m，
将点A的坐标代入上式并解得：m＝3，
则y′＝﹣ x2+ x+3，令y′＝0，则x＝﹣3或6，故点N（6，0），
函数的对称轴为：x＝ ，
同理可得：直线CN的表达式为：y＝﹣x+6，直线BB′的表达式为：y＝x﹣12，
联立上述两式并解得：x＝9，
即交点坐标为：（9，﹣3），该点是点B（12，0）和点B′的中点，
由中点公式可得：点B′（6，﹣6），同理可得：直线CB′的表达式为：y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点K（3，0），
设点S（m，n），点R（ ，s），而点B′、K的坐标分别为：（12，0）、（3，0）；
①当B′K为菱形的一条边时，
点K向右平移3个单位向下平移6个单位得到B′，
同样，点R（S）向右平移3个单位向下平移6个单位得到S（R），
即 +3＝m，s﹣6＝n或 ﹣3＝m，s+6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣ ）2+（s+6）2＝（ ）
2+s2，
解得：m＝ 或﹣ ，n＝﹣ 或 ，
即点S的坐标为：（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）；
②当B′K为菱形的一条对角线时，
由中点公式得：6+3＝m+ ，s﹣6＝n，且KR＝B′R，
即（6﹣ ）2+（s+6）2＝（ ）2+s2，
解得：m＝ ，故点P（ ，﹣ ）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形的性质、点的对称性等，其中
（2），要注意分类求解，避免遗漏．
15．（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为： 或 或 ．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为： ，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长 ，即可求解；
（3） ，解得： ，即可求解．【详解】
（1）二次函数表达式为： ，
将点B的坐标代入上式得： ，解得： ，
故函数表达式为： …①；
（2）设点M的坐标为 ，则点 ，
则 ， ，
矩形MNHG的周长 ，
∵ ，故当 ，C有最大值，最大值为10，
此时 ，点 与点D重合；
（3） 的面积是矩形MNHG面积的 ，
则 ，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即 ，
过点P作 于点K，
将 、 坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为： ，
，∴ ， ，设点 ，则点 ，
，
解得： ，
则 ，
解得： ，
故点 ，
直线n的表达式为： …②，
联立①②并解得： ，
即点 、 的坐标分别为 、 ；
故点P坐标为： 或 或 ．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段
之间的关系．
16．（1） （2）p=－x2－4x+4，其中－2＜x＜2（3）不存在，证明见解析；
【分析】
（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m= ，即可求得抛物线的解析式；
（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由
x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，
大于抛物线与x负半轴的交点；（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，
看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．
【详解】解：（1）∵二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m= ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+2；
（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又∵抛物线关于y轴对称，
∴D、C点关于y轴分别与A、B对称．
∴AD的长为2x，AB长为y，
∴周长p=2y+4x=2（﹣ x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8．
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴x＜2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞﹣2．
∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2．
（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=﹣（x+2）2+8，
解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．
点睛：本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数
形结合，此题算是中档题，考点还是比较基础的，数形结合得出是解题关键．
17．（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（ ， ）或（ ， ）或（
， ）
【分析】
（1）将抛物线的解析式设为顶点式，然后将点B代入即可求出抛物线的解析式；（2）由四边形MNHG为矩形知MN∥x轴，MG∥y轴，故可设出点M坐标，则矩形MNHG的周
长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函数性质即可求解；
（3）由（2）中知，D与N重合，由已知先求出S 值，连接DC，在CD得上下方等距离处作
△PNC
CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作
PK⊥CD于点K，设出点P坐标，通过推导计算，即可求解出点P的坐标.
【详解】
（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故当x＝ ＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的 ，
则S ＝ ×MN×GM＝ ×2×3＝ ，
△PNC
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n
于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3 ，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S ＝ ＝ ×PK×CD＝ ×PH× ×3 ，
△PNC
解得：PH＝ ＝HG，
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝ ，
解得：x＝ ，故点P（ ， ），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣ ＝﹣x+ …②，
联立①②并解得：x＝ ，
即点P′、P″的坐标分别为( ， ）、（ ， ）；
故点P坐标为：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）.
【点拨】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，提取有效信息，运
用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推导、探究、发现和计算.
18．（1） ；（2）点 的坐标为 ；（3）点 的坐标为（2，3）；（4）存在，
，
【分析】
（1）直接将A的坐标代入二次函数解析式可求出m，从而得到二次函数的解析式；
（2）令y=0，解方程得B点坐标；
（3）由 ，同底等高的两个三角形面积相等，所以只要△ABD的AB边上的高与OC
相等即可，则由抛物线的对称性可得D的坐标；
（4）分AB是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可．
【详解】
解：（1）将（3,0）代入二次函数解析式 ，得 ．
解得， ．
（2）二次函数解析式为 ，
令 ，得 ．
解得 或 ．∴点 的坐标为 ．
（3）∵ ，点 在第一象限，
∴点 、 关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为 ，点 的坐标为（0,3），
∴点 的坐标为（2，3）．
（4）在 中，令x=0，得y=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为： ，则 ， ，解得 ，
∴直线AC的解析式为： ，
如图，
若AB为矩形的对角线，
∴ ， ，矩形 是正方形由 ，及 ，PQ平分AB， 得 ， ，
若AB为矩形的边，
同理可得 ，矩形 是正方形，
由 ， ， 得 ， ，
综上所述，存在， ， 使 能构成矩形．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，
其中第（4）问要注意分类求解，避免遗漏．
