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专题 2.35 二次函数背景下矩形、菱形、正方形存在性问题
（专项练习）
1．如图，一次函数 图像与坐标轴交于点A、B，二次函数 图像过
A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点
Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理
由．
2．如图，二次函数 的图像交x轴于点 ， ，交y轴于点C．点
是x轴上的一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段 上运动，如图1．求线段 的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．
若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴相交于点 和点 ，
与y轴交于点C．
（1）求 的值；
（2）点 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 于点Q．
①当 时，求当P点到直线 的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，
请求出m的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2＋bx＋c的图像经过点A(2，5)，B(0，2)，
C(4，2)．
（1）求这个二次函数关系式；（2）若在平面直角坐标系中存在一点D，使得四边形ABDC是菱形，请直接写出图像过B、C、
D三点的二次函数的关系式；
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 三点，
且 ．
（1）求 的值；
（2）在抛物线上求一点 使得四边形 是以 为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 是以 为对角线的菱形？若存在，求出
点 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点的坐
标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上
一动点
（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在
点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，B点的坐
标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形 .是否存在点P，使四边形
为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC
的最大面积.
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点
的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一
动点．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形
POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC
的最大面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点
的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一
动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边
形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．二次函数 的图像，与 轴交于原点和点 ，顶点 的坐标为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图像是一条抛物线，过 两点可以画无数条抛物线，设顶点为 ，过点 向 轴、 轴作垂线，垂足为点 ．求当所得的四边形 为正方形时的
二次函数表达式；
（3） 点在（1）中求出的二次函数图像上，且 点的横坐标为1， 点是坐标平面上一点，点
在 轴上，是否存在以 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点 的坐标；
若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点， 点在
原点的左则， 点的坐标为 ，与 轴交于 点，点 是直线 下方的抛物线上一动
点．
求这个二次函数的表达式；
求出四边形 的面积最大时的 点坐标和四边形 的最大面积；
连结 、 ，在同一平面内把 沿 轴翻折，得到四边形 ，是否存在点 ，使
四边形 为菱形？若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由；
在直线 找一点 ，使得 为等腰三角形，请直接写出 点坐标．12．如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y
轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图像上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且 ，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四
边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣ 的图像经过点A（﹣1，0），C（2，
0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求 PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的
四边形为菱形，则这样的点N共有 个．14．如图，二次函数y＝﹣ x2+ x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．
（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣
2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+ NB的和
最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得
到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C
与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、
B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐
标为 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x
轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图像上找到一点P，使 的面积是矩形
MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图所示，二次函数y=－mx2＋4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，
A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自
变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
17．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点
的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作
x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图像上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图所示，二次函数 的图像与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，
且与 轴交于点 ．
（1）求 的值；
（2）求点 的坐标；
（3）该二次函数图像上有一点 （其中 ， ），使 ，求点 的坐标；
（4）若点 在直线 上，点 是平面上一点，是否存在点 ，使以点 、点 、点 、点 为
顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）抛物线的解析式为： ；（2）Q点坐标为（1， ）或(3，0)
或（-1，0）．
【分析】（1）由直线 与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧
和左侧，根据菱形的性质求解即可．
解：（1）对于 ：当x=0时， ；
当y=0时， ，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0， ）
把A（3，0），B（0， ）代入 得：
解得，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1， ）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令 ，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1， ）或(3，0)或（-1，0）
【点拨】本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元
二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．
2．（1） ；（2）① ，②存在，
【分析】
（1）把 代入 中求出b，c的值即可；
（2）①由点 得 ，从而得 ，整
理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和 两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把 代入 中，得解得
∴ ．
（2）设直线 的表达式为 ，把 代入 ．
得， 解这个方程组，得
∴ ．
∵点 是x轴上的一动点，且 轴．
∴ ．
∴
．
∵ ，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段 上运动，且
∴当 时， 有最大值 ．
②∵点 是x轴上的一动点，且 轴．
∴ ．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴当 时，CQ=MN= ，
∴OQ=-3-( )=
∴Q(0， )；
当m= 时，CQ=MN=- ，
∴OQ=-3-(- )=
∴Q(0， )；
(ii)若 ，如图，则有
整理得，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段
的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m
的方程，要分类讨论，以防遗漏．
3．（1）b= ，c= ；（2）① ；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），∴ ，
解得： ，
∴b= ，c= ；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 ，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0
