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专题 2.34 二次函数知识点分类专题训练（巩固篇）（专项练习
3）
一、单选题
知识点一、抛物线与坐标轴交点坐标
1．若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为 ，P为这条抛物线的顶点，
则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数 的图像如图所示，有下列结论：① ；② ；③抛
物线与 轴的另一个交点为 ；④ ．其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
3．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线上一动
点，过点 作 交 轴于 ，若点 从点 出发，沿着直线 上方抛物线运动到点 ，
则点 经过的路径长为（ ）A． B． C．3 D．
4．若y＝kx2﹣（2k﹣3）x+k﹣1是y关于x的二次函数，且函数值恒大于0，则k的取值范围是（
）
A．k＞0 B．k＞ C．k＞ D．0＜k＜
5．已知抛物线y=- x2+ x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C．若D为AB的中点,则CD的
长为( )
A． B． C． D．
知识点二、由函数值求自变量的值
6．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5
7．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（ ）
A．该二次函数的图像与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图像经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论：
甲：abc＞0；
乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；
丙：3a＋c＞0．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲和丙都错 B．乙和丙都对
C．乙对，丙错 D．甲对，丙错9．已知二次函数 ，若 ， 是关于 的方程 的两个根，
则实数 ， ， ， 的大小关系可能是（ ）
A． ＜ ＜ ＜ B． ＜ ＜ ＜
C． ＜ ＜ ＜ D． ＜ ＜ ＜
10．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像上有两点，坐标分别为（x，y），（x，y），其中
1 1 2 2
x＜x，yy＜0，则下列判断正确的是（ ）
1 2 1 2
A．a＜0 B．a＞0
C．方程ax2+bx+c=0必有一根x 满足x＜x＜x D．y＜y
0 1 0 2 1 2
知识点三、抛物线与一元二次方程
11．抛物线 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 （ 为
实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若抛物线 经过第四象限的点 ），则关于x的方程 的
根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根
13．已知函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A
（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P（t，y），P（t+1，y）在抛物线上，当实数t＞ 时，y＜y
1 1 2 2 1 2
15．若二次函数 的图像的对称轴是经过点 且平行于 轴的直线，则关于 的方程
的解为（ ）．
A． ， B． ， C． ， D． ，
知识点四、抛物线与一元二次不等式
16．如图，已知二次函数 的图像与正比例函数 的图像交于点A（3，2），
与x轴交于点B（2，0），若 ，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像，使y≥﹣1成立的x的取值范围是（ ）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3
18．二次函数 的部分图像如图所示，则不等式 的解集是
( )
A． B． C． D．
19．如图，抛物线 与x轴一个交点为 ，对称轴为直线 ，则
时x的范围是
A． 或 B．
C． D．
20．如图，二次函数 的图像与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y
＞0时，自变量x的取值范围是（ ）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
知识点五、抛物线与x轴的截距
21．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图像与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段
AB的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
22．如图，抛物线 与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ）
A．3 B．−3 C．−4 D．−5
23．将二次函数y＝ax2的图像先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长
为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
24．如图所示，已知二次函数 的图像的顶点 的横坐标是 ，图像交 轴于
点 和点 ，且 ，那么 的长是（ ）A． B． C． D．
25．对于每个非零的自然数 ，抛物线 与 轴交于 、 两点，以
表示这两点间的距离，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
知识点一、抛物线与坐标轴交点坐标
26．已知抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是
________．
27．已知二次函数 的部分图像如图所示，则关于 的一元二次方程
的根为________．
28．已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么
它的图像与x轴的另一个交点坐标是_____．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
29．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝_______．
30．若二次函数 的最小值是 ，则它的图像与 轴的交点坐标是________．
知识点二、由函数值求自变量的值31．如图，二次函数 的图像与x轴交于 ，对称轴是直线 ，当函数值
时，自变量x的取值范围是___．
32．现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小
莉掷A立方体朝上的数字为 、小明 掷B立方体朝上的数字为 来确定点P（ ），那么它
们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线 上的概率为____________．
33．已知关于 的二次函数 的图像如图所示，则关于 的方程 的根为
__________
34．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解是________．
35．已知二次函数 （ ）图像上部分点的坐标 对应值列表如下：
… 0 10 30 …
… 2 2 …则关于 的方程 的解是_______．
知识点三、抛物线与一元二次方程
36．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
37．抛物线 经过点 、 两点，则关于 的一元二次方程
的解是___________
38．若二次函数 的对称轴为直线 ，则关于 的方程 的解为
_____.
39．当 时，直线 与抛物线 有交点，则a的取值范围是_______．
40．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像可知：当k__________时，方程
ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．
知识点四、抛物线与一元二次不等式
41．在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别于函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，
Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_______
42．已知二次函数 与一次函数 的图像相交于点 ，
如图所示，则能使 成立的x的取值范围是______．43．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
44．自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式： ＞0．
解：设 =0，解得： =0， =5，则抛物线y= 与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，
0）．画出二次函数y= 的大致图像（如图所示），由图像可知：当x＜0，或x＞5时函数
图像位于x轴上方，此时y＞0，即 ＞0，所以，一元二次不等式 ＞0的解集为：x＜
0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式 ＜0的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式： ＞0．
45．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a 0）与 轴的两个交点分别为A（-1，0）和B（2，0），
当y＜0时，x的取值范围是___________．知识点五、抛物线与x轴的截距
46．已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为 ，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为
_________．
47．若抛物线的顶点坐标为 ，且它在 轴截得的线段长为 ，则该抛物线的表达式为
________．
48．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(-3，0)，则线段AB的
长为_______________．
49．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，过点 作 轴交抛物
线于点 ，点 在抛物线上，连结 、 .若点 关于 轴的对称点恰好落在直线 上，则
的面积是_____________.
50．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S ＝
△ABC
3，则b＝______．
参考答案
1．A
【分析】
设抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 ，且 ，根据“两个交点间的距离为4，
对称轴为 ”建立方程可求出 的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点 的坐标，然后根据关于 轴的对称点的坐标变换规律即可得．
【详解】
解：设抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 ，且 ，
由题意得： ，解得 ，
则抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
顶点 的坐标为 ，
则点 关于 轴的对称点的坐标是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、关于 轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的
性质是解题关键．
2．D
【分析】
根据对称轴方程可得①正确，由图像可知x=-1时y<0，可得②错误；根据二次函数的对称性可得
③错误；根据抛物线开口分析、对称轴位置及与y轴交点即可得④正确；综上可得答案．
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x= =1，
∴ ，故①正确，
由图像可知，x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，
∴a+c0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∵x= =1>0，
∴b<0，
∴abc>0，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像与系数的关系，对于二次函数 ，抛物线对称
轴方程为直线x= ，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；当抛物线与y
轴交于y轴正半轴时，c>0，当抛物线与y轴交于负半轴时c<0，当对称轴在y轴左侧时，a、b同
号，当对称轴在y轴右侧时，a、b异号；熟练掌握二次函数当性质是解题关键．
3．D
【分析】
分别求出A，B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与y轴的交点
坐标即可解决问题．
【详解】
解：对于 ，
令x=0，则y=3，
∴
令y=0，则
解得，
∵点A在点C的左侧，
∴A（-3，0）
设AB所在直线解析式为 ，把A，B点坐标代入得 ，解得
所以，直线AB的解析式为：y=x+3，
∵PQ//AB
∴设PQ的解析式为：y=x+a
∵点 经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴
解得，
∴点Q的坐标为（0， ）
当点P与点A重合时，点Q与点B重合，此时点Q的坐标为（0，3）
点 经过的路径长为
故选：D．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常
熟悉函数与坐标轴的交点的求法．
4．C
【分析】
由于函数值恒大于0，则抛物线开口向上，与x轴没有交点，即k＞0且△＝（2k﹣3）2﹣4k（k﹣
1）＜0，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意得k＞0且△＝（2k﹣3）2﹣4k（k﹣1）＜0，
解得k＞ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=a +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交
点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程;△= -4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
5．D
【详解】
把y=0代入
得 ，
解得 ，
∴A（-3，0），B（9，0），即可得AB=15，
∵又因D为AB的中点，
可得AD=BD=7.5，
求得OD=4.5，
在Rt△COD中，由勾股定理可得CD=7.5，故答案选D．
考点：二次函数图像与坐标轴的交点坐标；勾股定理．
6．D
【分析】
根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x的方程即可．
【详解】
解：根据题意，得
x2+2x﹣7＝8，即x2+2x﹣15＝0，
解得x＝3或﹣5，
故选D．
【点拨】本题考查关键将二次函数转化为求一元二次方程，再进行求解．
7．A
【分析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算当y=0时对应的方程的判别式的值即可判断A项，
根据二次函数的性质即可判断B、D两项，把点（0，0）代入二次函数的解析式可得关于m的方
程，解方程即可判断C项，进而可得答案．
【详解】
解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，所以该二次函数的图像
与x轴始终有两个交点，故本选项说法正确，符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣ ，且抛物线开口向下，所以当x＜1时，y随x的增大
而增大，故本选项说法错误，不符合题意；
C．当该二次函数的图像经过原点时，即x＝0时，y＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故本选项
说法错误，不符合题意；
D．函数的对称轴为直线x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，即顶点的纵坐标最小值为1，
故本选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于常
考题型，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
8．B
【分析】
根据二次函数图形可得到对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断甲乙丙三人的正误即可．
【详解】
解：由图像可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故甲结论是错误的；
根据图像判断，当y=-2时，对应的x值有两个，
∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；，故乙同学结论正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，∴ 即 ，
令x=-1，则y= ，
由图像可知当x=-1时，y＞0即 ，故丙同学结论正确．
故选：B
【点拨】本题主要考查二次函数图像性质和特征，能够利用二次函数图像判断出系数的正负是解
题的关键．
9．A
【分析】
根据二次函数图像性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论： 、 一定是一个
最大、一个最小，而 、 一定介于 、 之间，从而解答本题．
【详解】
解：∵二次函数的解析式是
∴
∴该二次函数的抛物线开口向上
∵ 、 是关于 的方程 的两个根
∴当 或 时，
∵当 或 时，
∴ 、 一定是一个最大、一个最小，而 、 一定介于 、 之间．
故选：A
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图像性质，解
题的关键是明确题意，利用二次函数的图像性质解答．
10．C
【详解】
试题解析：∵yy＜0，
1 2
∴抛物线经过x轴的上方和下方，
∴抛物线与x轴有两个交点，
且有一个交点在（x，0）和（x，0）之间，
1 2
∴方程ax2+bx+c=0必有一根x 满足x＜x＜x．
0 1 0 2
故选C．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．解
题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．
11．A
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为 ，将一元二次方程 的实数根可
以看做 与函数 的有交点，再由 的范围确定 的取值范围即可求解；
【详解】
∵ 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴一元二次方程 的实数根可以看做 与函数 的有交点，
∵方程在 的范围内有实数根，
当 时， ，
当 时， ，
函数 在 时有最小值2，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交
点问题，借助数形结合解题是关键．
12．C
【分析】
根据抛物线的图像进行判断即可．
【详解】
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键．
13．A
【分析】
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况即是判断函数y＝
ax2+bx+c的图像与直线y＝4交点的情况．
【详解】
∵函数的顶点的纵坐标为4，
∴直线y＝4与抛物线只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根，
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解
题的关键.
14．D
【分析】
由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛
物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物
解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝ ，所以C选项的结论正确；
∵点P（t，y），P（t+1，y）在抛物线上，
1 1 2 2
∴当点P、P 都在直线x＝1的右侧时，y＜y，此时t≥1；
1 2 1 2
当点P 在直线x＝1的左侧，点P 在直线x＝1的右侧时，y＜y，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，
1 2 1 2
即 ＜t＜1，
∴当 ＜t＜1或t≥1时，y＜y，所以D选项的结论错误；
1 2
故选：D．
【点拨】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图像的对称性确定抛物线与
x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
15．D
【详解】
∵二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则− =− =2，
解得：b=−4，
∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
解得：x=5，x=−1.
1 2
故选D.
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x
轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.
16．C
【详解】
解：∵二次函数 的图像与正比例函数 的图像交于点A（3，2），与x轴交
于点B（2，0），
∴由图像得：若 ，则x的取值范围是：2＜x＜3．
故选C．
17．C
【分析】
观察函数图像在y=-1上和上方部分的x的取值范围便可．
【详解】
解：由函数图像可知，当y≥﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+c不在y＝﹣1下方部分的自变量x满足：
﹣1≤x≤3，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图像、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题
的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．D
【分析】
根据二次函数的对称性求出函数图像与x轴的另一交点的坐标，然后写出函数图像x轴上方部分
的x的取值范围即可．
【详解】
解：由图可知，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为(-3，0)，
∴函数图像与x轴的另一交点坐标为(1，0)，
∴ax2+bx+c＜0的解集是x>1或x<-3．
故选D.
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性，数形结合的思想，难点
在于求出函数图像与x轴的另一交点坐标．
19．B
【详解】
因为抛物线与x轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，所以抛物线另一个与x轴的交点
为（4，0），∴y＜0时，−2＜x＜4.故选B．
20．B
【详解】
当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选B．
21．B【解析】
【分析】
先将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，求出m的值，将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到x+x＝4，
1 2
x•x＝3，即可解答
1 2
【详解】
将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，
得到m＝3，
所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点，
设A(x，y)，b(x，y)
1 1 2 2
∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，
∴x+x＝4，x•x＝3，
1 2 1 2
∴AB＝|x﹣x|＝ ＝2；
1 2
故选B．
【点拨】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.
22．B
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系可得：x+x=4，x•x=-k，所以（x-x）2=（x+x）2-4xx=16+4k，AB的长
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
度即两个根的差的绝对值，利用以上条件代入化简即可得到k的值．
【详解】
设方程0=-x2-4x+c的两个根为x 和x，
1 2
∴x+x=4，x•x=-c，
1 2 1 2
∴（x-x）2=（x+x）2-4xx=16+4c，
1 2 1 2 1 2
∵AB的长度即两个根的差的绝对值，即： ，
又∵AB=2
∴ =2，
解得，k=-3.
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
23．D
【分析】
根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，
本题得以解决．
【详解】
解：二次函数y＝ax2的图像先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a
（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x，x，
1 2
则x+x＝6，xx＝ ，
1 2 1 2
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x﹣x|＝4，
1 2
∴（x﹣x）2＝16，
1 2
∴（x+x）2﹣4xx＝16，
1 2 1 2
∴36﹣4× ＝16，
解得，a＝ ，
故选：D．
【点拨】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.
24．C
【分析】
利用图像可得AB=（点A的横坐标﹣对称轴）×2，解答即可．
【详解】
因为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为
x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A（m，0），且m＞4，即AD=m﹣
4，所以AB=2AD=2（m﹣4）=2m﹣8．
故选C．【点拨】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，注意结合图像．
25．D
【分析】
根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是 ,另一个是 ，，根据x轴上两点
间的距离公式，得AB = － ，再代入计算即可．
n n
【详解】
解：令 时， ，
解得： ，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是 和 ，
∴AB = －
n n
∴ ＝ ．
故选D．
【点拨】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数
根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．
26．
【分析】
先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线 与 轴的一个交点的横坐标
大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．
【详解】
解：∵抛物线 ，∴当y=0时， ，
解得 ，
∵抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，
解不等式是解题关键．
27． 或
【分析】
根据函数图像求出二次函数与x轴的交点,利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题.
【详解】
解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴关于 的一元二次方程 的根为 或 .
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
28．（3，0）．
【详解】
分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x= =1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图像与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
29．1
【详解】∵物线 与x轴交点的横坐标为-1，
∴a-1+c=0，
∴a+c=1，
故答案为1.
30．
【分析】
根据二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接求得c的值，即可求得图像与y轴的交点坐
标．
【详解】
∵二次函数y＝x2＋2x＋c的最小值是7，
∴ ＝ ＝7，
解得c＝8，
∴图像与y轴的交点坐标是（0，8），
故答案为（0，8）．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图像
直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
31．
【分析】
直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的抛物线与x轴交于（3，0），对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为：（-1，0），
故当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：-1＜x＜3．
故答案为-1＜x＜3．
【点拨】观察图像可知二次函数y=ax2+bx+c有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确
利用数形结合分析是解题关键．
32．
【详解】
解：列表如下：点P共有36种等可能的情况，其中（1，3）、（2，4）、（3，3）三个点在抛物线y=﹣x2+4x上，
所以它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为
故答案为 ．
【点拨】本题考查列表法与树状图法求概率及二次函数图像上点的坐标特征，正确列表并数形结
合思想解题是本题的解题关键.
33．0或-3
【分析】
求关于 的方程 的根，其实就是求在二次函数 中，当 y=4时x的值，
据此可解．
【详解】
解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，
∴抛物线与y轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-3，4），
∴当x=0或-3时，y=4,即 =4，即 =0
∴关于x的方程ax2+bx =0的根是x=0，x=-3．
1 2
故答案为：x=0，x=-3．
1 2
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的
解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．
34．x＝－3，x＝1
1 2
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性及与一元二次方程的关系进行作答.
【详解】
由题知，该函数关于x=-1对称，且当x=-3时，y=0，所以当y=0时，x=1；综上，y=0时，x=-3,
1
x=1.
2
【点拨】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及
与一元二次方程的关系是本题解题关键.
35． ，
【分析】
根据二次函数与一元二次方程的关系求解，根据列表可求出二次函数的对称轴和c，则
， 即 求当 时对应的 值，由列表可得 ，
然后根据对称轴求 .
【详解】
本题考查二次函数图像的性质．当 ， 时， ，故二次函数图像的对称轴是直线
，且 ，所以二次函数解析式为 ，由此可知方程 的解即是
的解，即是求当 时对应的 值，由图像知x为10或20，故答案为： ，
．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系，从列表中获取信息
是解答本题的关键.
36．－1或2或1
【分析】
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时
b2-4ac=0，据此求解可得．
【详解】
∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，解得：a=-1，a=2，
1 2
当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为-1或2或1.
37． ， .
【分析】
由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元
二次方程组进行求解即可得.
【详解】
依题意，得： ，
解得： ，
所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为： ，
即： ，
化为： ，
解得： ， ，
故答案为 ， .
【点拨】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确
把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关
键.
38． ，
【分析】
首先根据对称轴求出参数b,再将参数代入方程中求解方程即可.
【详解】
解： 二次函数 的对称轴为直线因此方程为
所以可得
故答案为 ， .
【点拨】本题主要考查二次函数与一元二次方程的问题，关键在于根据对称轴确定参数.
39．
【分析】
直线 与抛物线 有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．
【详解】
解:法一： 与抛物线 有交点
则有 ，整理得
解得
，对称轴
法二：由题意可知，
∵抛物线的 顶点为 ，而
∴抛物线y的取值为
，则直线y与x轴平行，
∴要使直线 与抛物线 有交点，
∴抛物线y的取值为 ，即为a的取值范围，
∴
故答案为【点拨】考查二次函数图像的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根
的判别式或根与系数的关系进行计算．
40．＜2
【分析】
此题实际上是求直线y=k与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点问题，当直线y=k与抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）有两个交点时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．
【详解】
解：如图，当k＜2时，直线y=k与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）有两个交点，即方程ax2+bx+c=k有
两个不相等实数根；
故答案为＜2
【点拨】考查二次函数和一元二次方程根的关系，利用数形结合的数学思想解题，使问题变得直
观化，降低了题的难度．
41．a＞1或a＜-1
【解析】
【分析】
首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到a的取值
范围.
【详解】
解：∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点，且都在x轴的下方，
∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，
令y=x2-2ax＜0，当a＞0时,解得：0＜x＜2a；当a＜0时，解得：2a＜x＜0，
①当a＞0时，若 有解，则 ，解得：a＞1，
②当a＜0时，若 有解，则 ，解得：a＜-1，综上所述，实数a的取值范围是a＞1或a＜-1.
【点拨】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题
关键.
42．x<-2或x>8
【详解】
试题分析：根据函数图像可得：当 时，x＜－2或x＞8．
考点：函数图像的性质
43．－1＜x＜3
【分析】
根据图像，写出函数图像在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点拨】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求
解更简便．
44．（1）①，③；（2）0＜x＜5；（3）x＜﹣1或x＞3．
【详解】
试题分析：（1）根据题意容易得出结论；
（2）由图像可知：当0＜x＜5时函数图像位于x轴下方，此时y＜0，即 ＜0，即可得出结
果；
（3）设 =0，解方程得出抛物线y= 与x轴的交点坐标，画出二次函数y=
的大致图像，由图像可知：当x＜﹣1，或x＞5时函数图像位于x轴上方，此时y＞0，
即 ＞0，即可得出结果．
试题解析：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；
故答案为①③；
（2）由图像可知：当0＜x＜5时函数图像位于x轴下方，此时y＜0，即 ＜0，∴一元二次不等式 ＜0的解集为：0＜x＜5；
故答案为0＜x＜5．
（3）设 =0，解得： =3， =﹣1，∴抛物线y= 与x轴的交点坐标为（3，
0）和（﹣1，0）．
画出二次函数y= 的大致图像（如图所示），由图像可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数
图像位于x轴上方，此时y＞0，即 ＞0，∴一元二次不等式 ＞0的解集为：x
＜﹣1或x＞3．
考点：二次函数与不等式（组）；二次函数的图像；抛物线与x轴的交点；阅读型．
45．x＜-1或x＞2
【分析】
直接从图上可以分析：y＜0时，图像在x轴的下方，共有2部分：一是A的左边，即x＜−1；二
是B的右边，即x＞2．
【详解】
观察图像可知，抛物线与x轴两交点为（−1，0），（2，0），y＜0，图像在x轴的下方，所以
答案是x＜−1或x＞2．
故答案为x＜-1或x＞2
【点拨】考查了二次函数的图像与函数值之间的联系，函数图像所表现的位置与y值对应的关系，
典型的数形结合题型．
46．
【详解】
试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.
解：∵方程2x2﹣3x﹣5=0两根为 ，﹣1，
∴抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点的横坐标分别为 ，﹣1，
∴两个交点间距离为 .
故答案为 .
47．
【分析】
设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x轴上截
得的线段长为6，求出a的值即可．
【详解】
解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a（x-2）2+9，
∵且它在x轴上截得的线段长为6，
令y=0得，方程0=a（x-2）2+9，
即：ax2-4ax+4a+9=0，
∵抛物线ya（x-2）2+9在x轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x，x，
1 2
∴x+x=4，x•x= ，
1 2 1 2
∴|x-x|=
1 2
即16-4× =36
解得：a=-1，
y=-（x-2）2+9，
故答案为：y=-（x-2）2+9．
【点拨】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数
与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
48．8
【分析】直接利用抛物线的对称性求得点B的坐标，然后求线段AB的长度即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点A（－3，0），
∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个解为：x＝－3，
∵抛物线的对称轴为：直线x＝－ ＝1，
∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像与x轴的另一个交点为：（5，0），
∴线段AB的长为：5－（－3）＝8．
故答案为：8．
【点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是求出B点的坐标，此题难度
不大．
49．2.
【解析】
试题解析：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，
∴A（0，-1），
把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，
解得x=0，x=2，
1 2
∴B（2，-1），
∴AB=2，
∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
∴△PAB边AB上的高为2，
∴S= ×2×2=2．
考点：二次函数图像上点的坐标特征．
50．b＝－4
【解析】
【分析】
由S ＝3及BC＝2可确定A点坐标，从而确定c；再令抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为
△ABC
x、x 且x＞x，可得x-x=2，则x+x= ，再运用韦达定理即可求解.
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】
解：由题意可得A点纵坐标为3×2÷2=3，故A(0，3)，代入抛物线中可得c=3，则抛物线解析式为：y＝x2＋bx＋3.
令抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x、x 且x＞x，由BC=2可得x-x=2，
1 2 1 2 1 2
则-b=x +x= ，即b=-4，
1 2
故答案为：-4.
【点拨】本题结合韦达定理考查了抛物线解析式的求解，熟练掌握一元二次方程与二次函数之间
的关系是解题关键.
