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专题 2.33 二次函数知识点分类专题训练（基础篇）（专项练习
3）
一、单选题
知识点一、抛物线与坐标轴交点坐标
1．抛物线 与x轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（
）
A．8 B．12 C．15 D．16
3．抛物线 与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是
A．0． B．1． C．2． D．3．
知识点二、由函数值求自变量的值
5．根据下表中的对应值：
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59
判断方程 的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数 的自变量 与函数 的部分对应值列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
则关于 的方程 的解是（ ）
A． ， B．
C． D．不能确定7．二次函数 的图像上有两点 ，则 的值是（ ）
A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定
8．若抛物线 的对称轴是直线 ，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
知识点三、抛物线与一元二次方程关系
9．对于二次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．当 时， 有最大值 B．当 时， 随 的增大而减小
C．开口向下 D．函数图像与 轴交于点 和
10．若二次函数 中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 2 …
点 点 在该函数图像上，当 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．已知二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图像与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
12．二次函数 的图像与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
知识点四、抛物线与一元二次不等式关系
13．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围
是（ ）A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
14．如图，二次函数 的图像与 轴相交于 和 两点，当函数值 时，
自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
15．如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
16．如图，己知抛物线 经过点 ， ．当抛物线的开口向上时， 的
取值范围是（ ）A． B． C． 或 D．
知识点五、抛物线与x轴的截距
17．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上
移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的
横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
18．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小
明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．抛物线 在 轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
20．二次函数 的值永远为负值的条件是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
知识点六、实际问题与二次函数
21．国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降
价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
22．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优
惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
23．如图，在 中， ， ， ．动点 从点 出发，沿边 向点
以 的速度移动（不与点 重合），同时动点 从点 出发，沿边 向点 以 的
速度移动（不与点 重合）．当四边形 的面积最小时，经过的时间为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，矩形 中， ， ，抛物线 的顶点 在矩形
内部或其边上，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
知识点七、二次函数几何问题
25．如图所示，矩形 中， ，P是线段 上一点（P不与B重合），M是
上一点，且 ，设 的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
26．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠B=60°，点E在边BC上（与B、C不重合）EF∥AC，交
AB于点F，记BE=x，△DEF的面积为S，则S关于x的函数图像是（ ）A． B． C． D．
27．如图， 的顶点 在抛物线 上，将 绕点 顺时针旋转 ，得到
，边 与该抛物线交于点 ，则点 的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
28．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm．点P从点A出发，沿AB方向
以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其
中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（ ）
A．0cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．24 cm2
二、填空题
知识点一、抛物线与坐标轴交点坐标
29．将抛物线 向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为____．
30．抛物线 （ 为常数）与坐标轴交点的个数是______．
31．如图所示为抛物线y＝ax2＋2ax﹣3的图像，则一元二次方程ax2＋2ax﹣3＝0的两根为
_____________．32．抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴只有一个交点，那么b＝_____．
知识点二、由函数值求自变量的值
33．抛物线y=x2+2x﹣2018过点（m，0），则代数式m2+2m+1=_____．
34．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____．
35．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 ，
则经过________s后，飞机停止滑行．
36．已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是 ，则 的值为
______．
知识点三、抛物线与一元二次方程关系
37．如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，则关于 的方程
的解为_______________ .
38．抛物线 （ 为常数）与 轴交点的个数是__________．
39．若二次函数 的图像与x轴只有一个公共点，则实数n=______．40．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个
解x=3，另一个解x=___．
1 2
知识点四、抛物线与一元二次不等式关系
41．如图，已知抛物线 与直线 相交于 两点，则
时 的取值范围是________________________．
42．已知抛物线 的部分图像如图所示，当 时，x的取值范围是______．
43．已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图像与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式
cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．
44．如图是二次函数 和一次函数 的图像，则关于 的不等式
的解为________．知识点五、抛物线与x轴的截距
45．如图，抛物线 向下平移 个单位后，交 轴于 ，A两点，则 的长为
______．
46．已知抛物线 与 轴交于 、 两点，设抛物线顶点为 ，若 ，则
的值为________．
47．抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为__．
48．若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．
知识点六、实际问题与二次函数
49．如图，在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标
原点，直线BD为 轴建立平面直角坐标系．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线
则电线最低点离地面的距离是_______米．
50．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠
的竖直高度 （单位： ）与它距离喷头的水平距离 （单位： ）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______ ．
51．如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线 ，
若建公交站点D（在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O）的路线最短（公交车只能
平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为________．
52．随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货
量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为 ，则可列方程为___．
知识点七、二次函数几何问题
53．如图，在 中， ， ， 为 边上的高，动点 在 上，
从点 出发，沿 方向运动，设 ， 的面积为 ，矩形 的面积为 ，
，则 与 的关系式是________．54．如图，已知AB=12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形
APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°．M、N分别是对角线AC、BE的中
点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为______．（结果留根号）
55．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物
线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则
△ABP的面积是_____．
56．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上运动，过点A作AB⊥x轴于点
B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为_________．参考答案
1．C
【分析】
通过解方程 即可得到抛物线 的与x轴交点的坐标．
【详解】
解：当y=0时， ，
解得x=-1，x=3，
1 2
所以抛物线 的与x轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）．
故选C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
2．D
【分析】
由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线
x＝ 对称，所以A（ +4，n），B（ ﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理
即可解决问题．
【详解】
解：由题意b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），
∴A、B关于直线x＝ 对称，
∴A（ +4，n），B（ ﹣4，n），
把点A坐标代入y＝x2+bx+c，
n＝（ +4）2+b（ +4）+c＝ b2+16+c，
∵b2＝4c，
∴n＝16．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.
3．C
【分析】
令x=0，求出y的值即可．
【详解】
解：令x=0，则y=3，
∴抛物线y=2x2-4x+3与y轴交点坐标为（0，3）．
故选：C．
【点拨】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关
键．
4．C【分析】
当 时，求出与 轴的纵坐标；当 时，求出关于 的一元二次方程 的根的
判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线 与 轴的交点个数．
【详解】
解：当 时， ，
则与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，
△ ，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线 与 轴有1个点．
综上所述，抛物线 与坐标轴的交点个数是2个．
故选： ．
【点拨】此题考查了抛物线与 轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中
，求出的 值即为抛物线与 轴交点的纵坐标；令 ，求出对应的 的值，即为抛物
线与 轴交点的横坐标．
5．C
【分析】
求抛物线的对称轴为 ，根据a=1>0，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而
增大，根据表格确定函数值的符号， y=0时，有0.50，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
根据表格x=0.5，y=-0.25<0，x=0.6时，y=0.16>0，
∴y=0时，有0.50 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有2个交点；
△=0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有1个交点；
△<0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴没有交点.
12．D
【分析】
利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．【详解】
∵二次函数y=kx2−6x+3的图像与x轴有交点，
∴方程kx2−6x+3=0(k≠0)有实数根，
即△=36−12k⩾0，k⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k⩽3且k≠0.
故选D.
【点拨】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握其性质定义.
13．C
【分析】
先利用抛物线的对称性求解抛物线与 轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到y＜0
时，函数图像在 轴的下方，从而可得答案．
【详解】
解：由抛物线的对称轴为： 且过
所以抛物线与 轴的另一个交点的坐标为：
当y＜0时，函数图像在 轴的下方，
所以： ＜ ＜
故选：
【点拨】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解
题的关键．
14．D
【分析】
由抛物线与x轴的交点坐标，结合图像即可解决问题．
【详解】
解：∵二次函数 的图像与x轴交于 和 两点，函数开口向下，
∴函数值 时，自变量x的取值范围是 或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次函数的基本性质，熟悉相关性质是解题的关键．
15．D
【分析】观察两函数图像的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，
由图可知：抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n上方时，
x的范围是：x＜-1或x＞3，
即ax2+c＞mx+n的解集是x＜-1或x＞3，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．A
【分析】
根据抛物线 经过点 ，求出 ，由抛物线的开口向上，可得
，可得 即可．
【详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ， ，
∵抛物线的开口向上，
∴ ， ，
∴ ．
故选择A．
【点拨】本题考查抛物线性质，利用抛物线经过点求出关于t的代数式，利用抛物线开口方向确
定 是解题关键．
17．C
【分析】
根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对
称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】
解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣
2，0），
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，
0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图像与性质，解答本题的关键是理解二次
函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
18．C
【分析】
首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，
当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y
轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
【点拨】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．A
【分析】
令解析式 ，求解出抛物线与 轴交点的横坐标，再作差即可．
【详解】
由 解得 ， ，
，故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线在 轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．
20．D
【分析】
二次函数 的值永远为负即函数图像的开口向下且函数与 轴没有交点，根据此即
可算出 和 的取值．
【详解】
解：因为二次函数 的值永远为负值，
所以函数图像的开口向下，所以 ．
此外，函数与 轴没有交点，所以 ，
所以二次函数 的值永远为负值的条件是 ， ．
故选D.
【点拨】本题主要考查对于二次函数图像的理解，同时还要掌握函数图像与x轴没有交点的性质．
21．C
【分析】
原价为33，第一次降价后的价格是 ，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价
的为： ，则函数解析式即可求得．
【详解】
解：根据题意：平均每次降价的百分比为 ，该药品的原价为33元，降价后的价格为 元，
可得 与 之间的函数关系为： ．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，本题需注意第二次降价是在第一次降
价后的价格的基础上降价的．
22．B
【分析】
设旅行团人数为 人，此时的营业额为 元，根据优惠规定可建立 与 之间的函数关系式，再
利用二次函数的性质即可得．
【详解】解：设旅行团人数为 人，此时的营业额为 元，则 ，
由题意得： ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时， 取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
23．B
【分析】
根据图形得到 列出函数关系，再将函数关系化为顶点式，根据性质求出
结果．
【详解】
解：设运动的时间为x秒（ ），四边形APQC的面积为y ，
则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，y有最小值，
∴当 时，，y有最小值，，最小值是12，
∴当四边形 的面积最小时，经过的时间为2秒．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了根据点的运动问题列出函数关系式以及二次函数的性质，关键是根据图
形明确四边形的面积等于大三角形的面积减去小三角形的面积，列出函数关系．
24．D
【分析】
先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形 内部或其边上列出不等式求解即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标M为（m，-m＋1），
∵ ， ，
∴ ，
∴-1≤m≤0，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．
25．A
【分析】
根据勾股定理可得 ，因为 ，所以 ，过点M作 于点E，可得
，然后根据相似三角形的性质得到 ，由此可用x表示ME，最后根据三
角形的面积公式即可确定函数关系．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
如图，过点M作 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，P不与B重合，那么 ，可与点C重合，那么 ．
故y与x之间的函数关系式为 ．故答案选A．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，主要是通过三角形相似得出等式．
26．A
【分析】
根据△DEF的面积=菱形的面积-△ADF的面积-△CDE的面积-△BEF的面积，据此表示出DEF的
面积即可.
【详解】
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵EF∥AC，
∴△BFE是等边三角形
（其中 ）
故选A
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，二次函数和几何图形综合，解决本题的关键是用x将每个图形的面积表示出来.
27．C
【分析】
先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得
P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
【详解】
∵Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线 上，
∴4=4a，解得a=1，
∴抛物线为 ，
∵点A(−2,4)，
∴B(−2,0)，
∴OB=2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转 ，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=2，
∴D(0,2)，
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
代入 ,得 ，
解得
∴P
故答案为: .
【点拨】考查二次函数图像上点的坐标特征, 坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质是解题的关
键.
28．C
【解析】
根据题意，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP=2t，AQ=t，
S =t2，
△APQ
∵00，∴抛物线与 轴有2个交点．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，
a≠0）的图像与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴
有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元
二次方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数
根．
39．4．
【详解】
】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．
40．-1
【解析】
试题分析：根据二次函数的图像与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x 的值
2
由图可知，对称轴为x=1，
根据二次函数的图像的对称性，
=1，
解得，x=﹣1
2
考点：抛物线与x轴的交点
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图像与性质
41．x≤-2或x≥3
【分析】
直接根据两函数图像的交点为A（-2，3）、B（3，-1）两点，进而结合函数图像得出y≥y 时x的
1 2
取值范围．
【详解】
解：如图所示：∵抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx+m相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，
1 2
∴y≥y 时x的取值范围是：x≤-2或x≥3．
1 2
故答案为：x≤-2或x≥3．【点拨】此题主要考查了二次函数与不等式，正确画出函数图像是解题关键．
42．0＜x＜2
【分析】
根据函数图像和二次函数的性质，可以得到（0，-3）关于对称轴对称的点，再结合图像可得x的
范围．
【详解】
解：由图像可得，
该抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为（0，-3），
故（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3），
故当y＜-3时，x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是理解 ，结合函数的对称性得到
结果．
43．x＜ 或x＞
【分析】
根据原函数经过A，B，得到对应方程的两根，根据根与系数的关系得到b=-4a，c=-12a，将不等
式cx2+2bx-a＜0化为12x2+8x+1＞0，解之即可．
【详解】
解：∵函数y=ax2+2bx-c（a＞0）的图像与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，
∴ax2+2bx-c=0（a＞0）的两个实数根分别为x=2，x=6，
1 2
∴ ， ，
∴b=-4a，c=-12a，
∴cx2+2bx-a＜0可化为-12ax2-8ax-a＜0，
又a＞0，∴12x2+8x+1＞0，
令12x2+8x+1=0，
解得：x= 或x= ，
∵12＞0，
∴不等式的12x2+8x+1＞0解集为x＜ 或x＞ ．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，解题的关键是根据已知
得到a，b，c的关系．
44．x≤-1或x≥2
【分析】
关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断
时，x的取值范围．
【详解】
解：观察图像可知：抛物线y 与直线y 的交点横坐标是-1，2，
1 2
故当x≤-1或x≥2时，y≥y．
2 1
故答案为：x≤-1或x≥2．
【点拨】此题考查了学生从图像中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分
析其中的“关键点”，还要善于分析各图像的变化趋势．
45．4
【分析】
首先根据图像的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令 ，求出两个x的值，
即可求解．
【详解】
抛物线 向下平移 个单位后的解析式为 ,
令 ，
解得 ，
∴ 的长为4，
故答案为：4．【点拨】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图像的平移
规律是解题的关键．
46．
【分析】
解答此题可分以下几步:①设A、B点坐标分别为 、 ,求出用 、 表示的AB长度的表达式;
②求出抛物线顶点纵坐标表达式,其绝对值即为△APB的高;
③根据∠PAB=30°通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式;
④将 看做一个整体,解方程即可得到正确答案.
【详解】
解:如图,
作PD⊥x轴于设A、B点坐标分别为 、 ，
AB= = ＝ = ；
抛物线顶点坐标为( ， )
则DP的长为 ，
由抛物线是轴对称图形可知,△APB为等腰三角形,
∠PAD=30°,
DP=tan30° AD= tan30° AB,
即 ＝ ，
两边平方得： ＝ ，
去分母得： ，移项得： ， ，
解得： ＝0或 ＝0，
由于抛物线y=a +bx+c与x轴交于A,B两点,故△>0
即: ＝ ，
故答案： ．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及等腰
三角形的性质和三角函数的相关知识,综合性较强.
47．1
【分析】
首先求出抛物线与x轴的交点，进而得出AB的长．
【详解】
当y=0，则0=x2﹣5x+6，
解得：x=2，x=3，
1 2
故AB的长为：3﹣2=1．
【点拨】考点：抛物线与x轴的交点．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图像与x轴交
点是解题关键．
48．4
【详解】
试题分析： ，令y=0， ，解得： ，所以A（-1，0），B
（3，0），所以AB=4.
考点：抛物线与x轴的交点.
49．2.8【分析】
把抛物线一般式化为顶点式,得到顶点坐标,即可得电线最低点离地面的距离．
【详解】
解：∵ ，
∴顶点坐标为 ，
∴电线最低点离地面的距离是2.8米，
故答䅁为：2.8．
【点拨】本题考查二次函数的应用,解题的关键是能把抛物线一般式化为顶点式．
50．3
【分析】
把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴当x=1时， ，
故答案是：3．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
51．5
【分析】
设 ，根据公交车只能平行或垂直于街道行驶得到路径为 ，根据二
次函数的最值求出路径的最小值．
【详解】
解：由题意，设公交站 ，
∴路径 ．
∴当 时，路径最短，为5．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，用m表示出路径的表达式．
52．【分析】
根据一元二次方程增长率公式列式即可；
【详解】
依题意可得： ；
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析判断是解题的关键．
53．
【分析】
先利用勾股定理求BC，AD是等腰直角三角形斜边上的高得AD=BD=DC=
由 ，则PD= ，S= ，S= ，求 即可．
1 2
【详解】
在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为 边上的高，
∴AD=BD=DC=
设 ，
∴PD= ，
∵矩形 ，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45º，
∴PE=AP=x，
S= ，
1
S= ，
2
∴ ，．
故答案为： ．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积，掌握等
腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，矩形的性质与面积是解题关键．
54．
【分析】
连接MP，NP，证明MP⊥NP，将M、N的距离转化为直角三角形的斜边最短，利用勾股定理结
合二次函数即可求解；
【详解】
解：连接MP，NP，
∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，
∴MP= AP，NP= BP，
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴∠MPC=60°，∠EPN=30°，
∴MP⊥NP，
∴MN2=MP2+NP2，
即MN2=（ AP）2+（ BP）2= [AP2+（12-AP）2]= （AP2-12AP+72）= （AP-6）2+18，
当AP=6时，MN有最小值3 ，
∴点M、N之间的距离最短为3 ；
故答案为3 ；
【点拨】本题考查菱形的性质，二次函数的应用；将点的最短距离借助勾股定理转化为二次函数
最小值是解题的关键．
55．2【分析】
求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形
的高，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】
解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，
∴A(0，-1)，
把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，
解得x=0，x=2，
1 2
∴B(2，-1)，
∴AB=2，
∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
∴△PAB边AB上的高为2，
∴S= ×2×2=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的
关键．
56．2
【分析】
先根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD AB，再把抛物线解析式配成顶点式得到抛物线
的顶点坐标为（2，4），从而得到垂线段AB的最小值为4，所以中线CD的最小值为2．
【详解】
解：∵CD为Rt△ABC中斜边AB边上的中线CD，
∴CD AB，
∵y＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴点A到x轴的最小距离为4，即垂线段AB的最小值为4，
∴中线CD的最小值为2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
