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专题 2.32 二次函数知识点分类专题训练（巩固篇）（专项练习
2）
一、单选题
知识点一、二次函数性质综合
1．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．对于二次函数 ,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
3．二次函数 的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与 轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线 =1 D．抛物线经过点（2,3）
4．对于抛物线 ，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶
点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2
﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．二次函数 的图像如图所示，对称轴是直线 ．下列结论：① ；②
；③ ；④ ( 为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点
A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断
9．如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图像可能是
（ ）
A． B． C． D．
10．在同一坐标系内，一次函数 与二次函数 的图像可能是
A． B． C． D．
11．已知 是非零实数， ，在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数的大致图像不可能是（ ）
A． B． C． D．
12．在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图像可能是（ ）．
A． B． C． D．
知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号
13．如图，已知二次函数 的图像如图所示，有下列5个结论 ；
； ； ； 的实数 其中正确结论的
有
A． B． C． D．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列说法错误的是（ ）A． B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1无实数根
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；
③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
16．已知二次函数 的图像如图所示，现给出下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点五、二次函数图像的对称性
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图，下列结论正确的是( )A．a<0 B．b2－4ac<0 C．当－10D．－ =1
18．二次函数图像上部分点的坐标对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图像的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0
19．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中
错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
20．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图像上有三点（x，m）、（x，
1 2
m）、（x，m），则x+x+x 的结果是（ ）
3 1 2 3
A． B．0 C．1 D．2
知识点六、二次函数图像的最值
21．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）A．若将图像向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点 ，则
B．当 时，y有最小值
C． 对应的函数值比最小值大7
D．当 时，图像与x轴有两个不同的交点
22．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x 2时，y
值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意
一点，设M的纵坐标为t，若 ，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B． ≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
23．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是
其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是
ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是 +3 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
24．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点
C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D． +知识点七、二次函数的解析式
25．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为
（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
26．一个二次函数的图像的顶点坐标为 ，与 轴的交点 ，这个二次函数的解析式是
（ ）
A． B．
C． D．
27．如图是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣ x2﹣ x+2 C．y=﹣ x2﹣ x+1 D．y=﹣x2+x+2
28．如图，抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
二、填空题
知识点一、二次函数性质综合29．下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图像与函数
的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减小；
④该函数的图像的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
30．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图像开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
31．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图像的顶点是(3，2)；③图像与x轴
没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是____．
32．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x=2时，y=5； ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
33．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．
①abc＞0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x=﹣1，x=3
1 2
③2a+b=0
④当x＞0时，y随x的增大而减小34．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜
a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）
35．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的两根是x＝﹣1，x＝3；
1 2
③2a+b＝0；
④4a2+2b+c＜0，
其中正确结论的序号为_____．
36．二次函数 的图像如图所示，给出下列说法：
① ；②方程 的根为 ， ；③ ；④当 时， 随 值
的增大而增大；⑤当 时， ．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法
的序号）．知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断
37．二次函数y=﹣x2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c的图像不经过第___象限．
38．如图是二次函数 和一次函数 的图像，当 ，
的取值范围是________．
39．平面直角坐标系中，点A（m，n）为抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣2（a＞0）上一动点，当0＜
m≤3时，点A关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，则a的取值范围是_____．
40．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则抛物线
y=ax2+bx+c的对称轴为______．知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号
41．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac
＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．
42．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
43．已知二次函数 ( )的图像如上图所示，给出4个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的是__________ (把正确结论的序号都填上)．44．如图，二次函数 的图像经过点 ，对称轴为直线 ，下列5个
结论：① ； ② ； ③ ；④ ； ⑤ ，其中
正确的结论为________________．（注：只填写正确结论的序号）
知识点五、二次函数图像的对称性
45．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．
46．已知抛物线 的对称轴是直线 ，那么 的值等于________．
47．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方
的部分记为C ，将C 向右平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，C 的顶点为F，连结EF．则图
1 1 2 2 2
中阴影部分图形的面积为______．
48．已知抛物线 与 轴交于 两点，若点 的坐标为 ，抛物线
的对称轴为直线 ，则点 的坐标为__________．
知识点六、二次函数图像的最值
49．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
50．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
51．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点
C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____．
52．如图，已知抛物线与反比例函数的图像相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于
点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_____．
知识点七、二次函数的解析式
53．下表中 与 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
…… ……
…… ……
54．如图，平行四边形ABCD中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过
轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．
55．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那
么它对应的函数解析式是__．56．如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点 B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平
分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．
参考答案
1．B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶
点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x=1，x=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），
1 2
故本小题正确；
③抛物线的对称轴 =0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图像与系数关系是关键.
2．B
【详解】
二次函数 ,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
3．B
【详解】
A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选
项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，
故选B．
4．C
【解析】
试题分析：①∵a=﹣ ＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选C．
考点：二次函数的性质
5．D【分析】
由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴
及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x=﹣ ＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选D．
【点拨】本题主要考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数
符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确
定．
6．B
【详解】
分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．
7．C
【分析】
①由抛物线开口方向得到 ，对称轴在 轴右侧，得到 与 异号，又抛物线与 轴正半轴相
交，得到 ，可得出 ，选项①错误；
②把 代入 中得 ，所以②正确；
③由 时对应的函数值 ，可得出 ，得到 ，由 ， ， ，
得到 ，选项③正确；
④由对称轴为直线 ，即 时， 有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴ ，
∵抛物线的对称轴在 轴右侧，∴ ，
∵抛物线与 轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，①错误；
②当 时， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
把 代入 中得 ，所以②正确；
③当 时， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 时，函数的最小值为 ，
∴ ，
即 ，所以④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系数 共同决
定对称轴的位置：当 与 同号时，对称轴在 轴左；当 与 异号时，对称轴在 轴右．常数项
决定抛物线与 轴交点：抛物线与 轴交于 ．抛物线与 轴交点个数由判别式确定：
时，抛物线与 轴有2个交点； 时，抛物线与 轴有1个交点；
时，抛物线与 轴没有交点．
8．B
【详解】
分析：直接利用二次函数图像的开口方向以及图像与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图像与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图像的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
9．B
【详解】
分析：可先根据一次函数的图像判断a的符号，再判断二次函数图像与实际是否相符，判断正误
即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该
开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开
口向上，对称轴x=﹣ ＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开
口向上，对称轴x=﹣ ＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开
口向上．故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图像，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在
不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐
标等．
10．C
【分析】
x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后
确定出一次函数图像经过第一三象限，从而得解．
【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
11．D
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣ ，0）或
点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图像可以判断a、b的正负
情况，进一步即可判断﹣ 与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】
解：解方程组： ，得： 或 ，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣ ，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图像可知a＞0，b＞0，二次函数图像可知，a＞0，b＞0，∴﹣ ＜0，
a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图像可知a＞0，b＜0，二次函数图像可知，a＞0，b＜0，∴﹣ ＞0，
由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图像可知a＜0，b＜0，二次函数图像可知，a＜0，b＜0，∴﹣ ＜0，
a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图像可知a＜0，b＞0，二次函数图像可知，a＜0，b＞0，∴﹣ ＞0，
由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函
数图像的性质．
12．D
【详解】
试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知， ＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像．
13．B
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】对称轴在y轴的右侧，
，
由图像可知： ，
，故 不正确；
当 时， ，
，故 正确；
由对称知，当 时，函数值大于0，即 ，故 正确；
，
，
，
，
，故 不正确；
当 时，y的值最大 此时， ，
而当 时， ，
所以 ，
故 ，即 ，故 正确，
故 正确，
故选B．
【点拨】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物
线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数
的性质是关键．
14．B
【分析】
根据函数图像确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称
轴得到b=2a，再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线
与直线y=n+1即可判断D．【详解】
由函数图像知a<0， c>0，由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得b<0，故abc>0，选项A正确；
二次函数与x轴有两个交点，故∆= ，则选项B错误，
由图可知二次函数对称轴为x=-1，得b=2a，
根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1，0)，
代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a，
∴3a+c=0，选项C正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，n），
∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D正确；
故选：B．
【点拨】此题考查抛物线的性质，抛物线的图像与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握
y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键．
15．B
【分析】
先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b
＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x＝
2，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【详解】
解：由图像知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图像知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
由图像知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图像知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
16．C
【分析】
根据图像可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图像过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图像可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图像可知： ， ，由于对称轴 ，∴ ，∴ ，故①正确；
②∵抛物线过 ，∴ 时， ，故②正确；
③顶点坐标为： .由图像可知： ，∵ ，∴ ，即
，故③错误；
④由图像可知： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故④正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的图像与性质和抛物线的图像与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图
像与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
17．D
【详解】
试题分析：根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴∴B选项错误，
由图像可知，当－10时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线： ；
若抛物线与轴的两个交点是A(x，0)，B(x，0)，则抛物线的对称轴是： .
1 2
28．D
【分析】
根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．
【详解】解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），
所以 ，
解得a=-1，b=1，c=2，
这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2．
故选D
【点拨】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是
比较常见的题目．
29．①②④
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图像形状相同；②求出当 时，y
的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶点坐
标，再代入函数 进行验证即可得．
【详解】
当 时，将二次函数 的图像先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长
度即可得到二次函数 的图像；当 时，将二次函数 的图像先向左
平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图
像
该函数的图像与函数 的图像形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图像一定经过点 ，结论②正确由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图像的顶点 在函数 的图像上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关
键．
30．①
【分析】
根据二次函数图像的特点得出答案
【详解】
①因为y=3（x﹣1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上
且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴
是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两
个交点，所以错误.
【点拨】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.
31．①③
【详解】
根据二次函数的性质，对于二次函数y=3x2+2,可得①最小值为2,正确;②图像的顶点是(0,2)，错误；
③图像与x轴没有交点，正确；④当x<−1时，y随x的增大而减小，错误；
故答案为①③
32．①③④．
【解析】试题解析：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
a−b+c＝−1
∴{ c＝3 ，
a+b+c＝5a＝−1
解得{ b＝3 ，
c＝3
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确；
3 3
对称轴为直线x=- = ，
2×（−1） 2
3
所以，当x＞ 时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
2
当x=2时，y=-4+4+3=3；故③正确.
方程为-x2+2x+3=0，
整理得，x2-2x-3=0，
解得x=-1，x=3，
1 2
所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故④正确.
综上所述，结论正确的是①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增
减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
33．②③
【分析】
由函数图像可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y
轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为
（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方
程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式
得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，
对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，∴ ＞0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c=0的两根是x=﹣1，x=3，故②正确；
1 2
∵对称轴为直线x=1，∴ =1，即2a+b=0，故③正确；
∵由函数图像可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为②③．
【点拨】此题考查了二次函数图像与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确
定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物
线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开
口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析
式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
34．③④
【详解】
由抛物线的开口向下，可得a＜0；由与y轴的交点为在y轴的正半轴上，可得c＞0；因对称轴为
x= =1，得2a=-b，可得a、b异号，即b＞0，即可得abc＜0，所以①错误；
观察图像，根据抛物线与x轴的交点可得，当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，即b＞a+c，所以
②错误；
观察图像，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x= =1可得抛物
线与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c＞0，所以③
正确；
由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.
【点拨】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与系数的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物
线向下开口； 还可以决定开口大小， 越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在
y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
35．②③．
【分析】
根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
由图像可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，
c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；
当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图像可得x＝﹣1，x＝3；
1 2
因此②正确；
对称轴为x＝1，即﹣ ＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确，
∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，
∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，
故答案为：②③．
【点拨】此题考查二次函数的图像和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与
一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
36．①②④
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x轴的交点坐标判断②，根据函数图像判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=- =1，
∴ab＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x2+bx+c=0的根为x=-1，x=3，②正确；
1 2
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，③错误；
由图像可知，当x＞1时，y随x值的增大而增大，④正确；
当y＞0时，x＜-1或x＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点拨】本题考查的是二次函数图像与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物
线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．37．四
【详解】
解：根据图像，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小
于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞
0．
因此，由于函数y=bx+c的 ， ，故它的图像经过第一、二、三象限，不经过第四
象限．
故答案为：四
【点拨】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图像与系数的关系：对于，函数
，①当 ， 时，函数 的图像经过第一、二、三象限；②当 ，
时，函数 的图像经过第一、三、四象限；③当 ， 时，函数 的图
像经过第一、二、四象限；④当 ， 时，函数 的图像经过第二、三、四象限．
38．
【分析】
关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断y＞y 时，
2 1
x的取值范围．
【详解】
从图像上看出，两个交点坐标分别为
∴当有 时，有-2＜x＜1，
故答案为-2＜x＜1．
【点拨】此题考查了学生从图像中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分
析其中的“关键点”，还要善于分析各图像的变化趋势．
39．0＜a＜1．
【分析】
求得直线y＝﹣x+2，当x＝3时的函数值为﹣1，根据题意当x＝3时，抛物线的函数值小于1，得
到关于a的不等式，解不等式即可求得a的取值范围．
【详解】
解：直线y＝﹣x+2中，当x＝3时，y＝﹣x+2＝﹣1，
∵A（m，n）关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，
∴当x＝3时，n＜1，∴9a﹣3（a+1）﹣2＜1，
解得a＜1，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a＜1，
故答案为：0＜a＜1．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像
上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
40．x=-
【分析】
根据一次函数的图像上点的坐标特征，把 、 、 代入两个解析式，且利用 和 时，
的值相等，从而建立方程组求出 、 的关系式，然后利用二次函数对称轴直线公式求解即可．
【详解】
如图可知，当 时， ，得
当 时，
①当 时， ②当 且
②-①得
∴
∴
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线
故答案为：直线
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是根据一次函
数图像建立方程组，求出 、 的等量关系式．
41．①②③④【分析】
根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根
据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当x=-1时，y
＞0，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣3时，y＜0，然后代入即可判断⑤．
【详解】
解：由图像可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故②正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图像可得：当x＝1时，y＜0，
∴当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】此题考查的是二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质与各项系数的关系是
解决此题的关键．
42．①③④⑥【分析】
①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②根据a和c的符号可得：a-c<0，根据b的符号可作判断；
③根据对称性可得：当x=2时，y>0，可作判断；
④根据对称轴为：x=1可得：a=- b，结合x=-1时，y<0，可作判断；
⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；
⑥根据2a+b=0和c>0可作判断．
【详解】
解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，
∴abc<0；
故①正确；
②∵a<0，c>0，∴a−c<0，
∵b>0，∴b>a−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程x=− =1，∴b=−2a，∴a=− b，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴− b+c<0，
∴2c<3b，
故④正确；
⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故⑤错误；
⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为①③④⑥.
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系.
43．①③④
【解析】
由图像可知：
抛物线与x轴有两个交点，则
∴①正确；
抛物线开口向上，
∴
抛物线与y轴交于y轴的负半轴，
∴
对称轴
∴
∴
∴②错误；
当 时，由图像可知
即
∵
∴
即
∴③正确；
当 时，由图像可知
∵对称轴为
∴ 与 时的函数值相等
∴当 时，
即∴④正确.
故答案为①③④.
点晴：此类问题主要考查二次函数的相关知识，综合性强，难度较大．解决这类问题不但要熟练
掌握二次函数的图像、性质、二次函数与一元二次方程等知识，还要善于挖掘和利用图形中隐藏
的条件（如当 时， ，当 时， 等）来解决问题.
44．②④．
【分析】
根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x=- =-1得到b=2a，则b＞0，根据
抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x= ，y=0，得到 a+ b+c=0，即
a+2b+4c=0；由a= b，a+b+c＞0，得到 b+2b+c＞0，即3b+2c＞0；由x=-1时，函数最大小，
则a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），即a-b≤m（am-b）．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=- =-1，
∴b=2a，则2a-b=0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x= 时，y=0，
∴ a+ b+c=0，即a+2b+4c=0，所以②正确；
∵a= b，a+b+c＞0，
∴ b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；∵x=-1时，函数最大小，
∴a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），
∴a-b≤m（am-b），所以⑤错误．
故答案为②④．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系．
45．3
【分析】
根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【详解】
由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对
称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m
﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．
46．-4
【解析】
【分析】
利用二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，即可解得．
【详解】
解：因为抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，
所以 ＝1,
b＝－4,
故答案为－4
【点拨】本题考查二次函数的对称轴，熟记公式是解题关键.
47．4
【分析】
由S ＝S ＝BD×OE，即可求解．
阴影部分图形 四边形BDFE
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S ＝S ＝BD×OE＝2×2＝4．
阴影部分图形 四边形BDFE
故：答案为4．
【点拨】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S ＝S 是本题的关键．
阴影部分图形 四边形BDFE
48．
【分析】
根据抛物线对称轴是直线 及 两点关于对称轴直线对称求出点B的坐标即可.
【详解】
解：∵抛物线 与 轴交于 两点，且点 的坐标为 ，抛物线的
对称轴为直线
∴点B的横坐标为
即点B的坐标为
【点拨】本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线 对称的点的坐标是本
题的解题关键.
49．1 5
【详解】
二次函数配方，得： ，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
50．10
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．51． +
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作
点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长
=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点
间的距离公式可得答案．
【详解】
解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝ .
∴四边形EDFG的周长的最小值为： + ．
故答案是： + ．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点
F、G的位置是解题的关键．52．
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点
A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，
从而可以解答本题．
【详解】
解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数 的图像相交于点B，且B点的横坐标为3，抛
物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴ ，
解得：
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
解得： ，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x＝ ，
故答案为（ ，0）．【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标
特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答．
53．
【分析】
根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、
(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答
案．
【详解】
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中(-1，0)、(0，3)、
(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得： ，
∴函数的表达式为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、
图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．54．
【分析】
根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为 ，进而得到A点坐标为 ，B点坐
标为 ，利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为 ，B点坐标为
设函数解析式为 ，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为 ，即
故答案为 ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A
点或B点的坐标．
55． ．
【分析】
由对称轴公式可求解参数b，再代入（3,0）即可求解参数c．
【详解】
解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3,0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为： ．【点拨】本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式．
56．y=- x2+ x+4
【分析】
先计算出AC=5，再证明CB=CA=5，则B（5，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AC=5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC=∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠BAC=∠CBA，
∴CB=CA=5，
∴B（5，4）．
把A（-3，0）、B（5，4）代入y=ax2+bx+4，
得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=- x2+ x+4．
故答案为y=- x2+ x+4．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，平行
线的性质，等腰三角形的判定．求出B点坐标是解题的关键．
