文档内容
专题 27 圆锥曲线点差法必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知双曲线 被直线截得的弦AB，弦的中点为M（4，2），则直线AB的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直
线 的交点恰好为线段 的中点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线l与椭圆 交于点A、B，线段AB中点P为（1，2），则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．6 D．－6
5．过点 的直线交抛物线 于 两点，当点 恰好为 的中点时，直线 的方程为（
）
A． B． C． D．6．以椭圆 内一点 为中点的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆 ( )的右焦点为 ，离心率为 ，过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，若
的中点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知直线l被双曲线C： ﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0
9．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，若 的中点
坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆 ，点 为右焦点， 为上顶点，平行于 的直线 交椭圆于 ， 两点且线段 的中点为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知斜率为 的直线与双曲线 交于 ， 两点，若 ， 的中点为 ，
则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．直线 经过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆交于 两点，若 为线
段 中点， ，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知曲线 ，过点 且被点 平分的弦 所在的直线方程为（ ）A． B．
C． D．
15．过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： ( )相交于 ､ 两点，若 是线段
的中点，则椭圆 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
16．过椭圆 的右焦点 的直线与 交于 ， 两点，若线段 的中点 的坐
标为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
17．已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 （
为坐标原点）的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ， ，若 是线段 的中
点，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
19．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的中
点坐标为 ，则椭圆 的方程为___________．
20．椭圆 离心率为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，且 中点为 ，
为原点，则直线 的斜率是_______．
21．已知 为抛物线 的一条长度为8的弦，当弦 的中点离 轴最近时，直线 的斜率为
___________.
22．直线 与椭圆 交于 ， ，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线
的斜率为 ，则 ______．
23．已知椭圆 ，过点（4，0）的直线交椭圆 于 两点.若 中点坐标为（2，
﹣1），则椭圆 的离心率为_______
24．设 、 是抛物线 上不同的两点，线段 的垂直平分线为 ，若 ，则 ______.
25．已知直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若 中点的横坐标恰好为 ，
则椭圆 的离心率为______.
26．在直角坐标系 中， 是圆 的弦， 是 中点，若 ， 都存在非零斜率 ， ，则
.类比于圆，在直角坐标系 中， 是椭圆 的弦， 是 中点，若
， 都存在非零斜率 ， ，则 ________.
三、解答题
27．已知椭圆 ： 过点 ，长轴长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，当 为线段 中点时，求直线 的方程.28．已知椭圆C的焦点为 ， ，过 的直线与椭圆C交于A，B两点.若 的周长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆 中以 为中点的弦所在直线方程.
29．设椭圆 过点 ，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点 且以M点为中点的弦的方程．
30．已知椭圆 的离心率为 ，点 是椭圆 上的两个点，点 是线段 的
中点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 .任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．已知椭圆C： 上存在两点M，N关于直线 对称，且线段MN中点的纵坐标
为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．设直线 与双曲线 两条渐近线分别交于点 ， ，若点 满
足 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．3．已知椭圆 ： 上有三点 ， ， ，线段 ， ， 的中点分别为 ， ， ， 为
坐标原点，直线 ， ， 的斜率都存在，分别记为 ， ， ，且 ，直线 ，
， 的斜率都存在，分别记为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．斜率为 的直线 经过双曲线 的左焦点 ，交双曲线于 两点， 为双曲线的右
焦点且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ，
两点， 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．直线l与抛物线 相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段
PA，PB的中点都在抛物线上，则（ ）
A．PM与y轴垂直 B．PM的中点在抛物线上
C．PM必过原点 D．PA与PB垂直7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且
， ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于A， 两点，若线
段 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．抛物线 上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长为3，则点 的纵坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．过点 作直线l与双曲线 交于P，Q两点，且使得A是 的中点，直线l方程为（
）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
11．以原点为对称中心的椭圆 焦点分别在 轴， 轴，离心率分别为 ，直线 交 所得的弦中点分别为 ， ，若 ， ，则直线 的斜率为( )
A． B． C． D．
12．过椭圆 的右焦点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，椭圆上不同的两点
，满足条件： 成等差数列，则弦 的中垂线在 轴上的截距的范围是（
）
A． B． C． D．
13．已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点 和点 ，直线
交椭圆于 两点，若 恰好为 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知圆 在椭圆 的内部，点 为 上一动点.过 作
圆 的一条切线，交 于另一点 ，切点为 ，当 为 的中点时，直线 的斜率为 ，则 的
离心率为（ ）
A． B． C． D．15．已知双曲线 ： ，若存在斜率为1的直线与 的左､右两支分别交于点 ， ，
且线段 的中点在圆 ： 上，则 的离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
16．过抛物线 的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线
交x轴于点M，若 ，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．已知抛物线C ： 和圆C ：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C 上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于
1 2 2
M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（ ）
A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0
18．已知圆 与椭圆 相交于 两点，若 是圆 的直径，则椭圆
的方程为（ ）
A． B． C． D．
19．已知抛物线 ，直线 交抛物线 于 两点， 是 的中点，过 作 轴的垂线
交抛物线 于点 ，且 ，若 ，则k为（ ）
A． B． C． D．220．已知椭圆 上存在两点 关于直线 对称，且线段 中点的纵坐
标为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交于B，D两点，且BD的中点为 ，
则C的离心率是______．
22．已知椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程为______.
23．已知椭圆 离心率 ，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A作x
轴垂线交椭圆于点C，过A作直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则 ____
24．已知椭圆 ： 上存在 ， 两点关于直线 对称，且线段 的中点在抛物线
上，则实数 的值为___________.
25．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ，
两点，若 为线段 的中点，则椭圆 的离心率是___________.26．已知直线 与椭圆 交于A、B两点，与圆
交于C、D两点．若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是_____________．
27．椭圆 内，过点 且被该点平分的弦所在的直线方程为______．
28．已知圆 ： 与椭圆 ： 相交于 、 两点，若 是圆 的直径，则
椭圆 的方程为________.
29．已知 为椭圆 的右焦点.直线 与椭圆C相交于A，B两点，
A，B的中点为P，且直线OP的斜率 ，则椭圆C的方程为_______________.
30．已知曲线 ： ，点 ， 在曲线 上，且以 为直径的圆的方程是
．则 ______．
31．已知抛物线E：y2＝4x，A（x，y），B（x，y），C（x，y）为抛物线上的三个动点，其中x＜x＜
1 1 2 2 3 3 1 2
x 且y＜0，若 ABC的重心恰为抛物线E的焦点，且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等
3 2
差数列，则直线AC的斜率为_____.
32．已知椭圆 ，作倾斜角为 的直线交椭圆C于A、B两点，线段 的中点M，O为坐标原点， 与 的夹角为 ，且 ，则 ____________
33．已知抛物线 的准线方程为 ，在抛物线 上存在两点 关于直线
对称，且 为坐标原点，则 的值为__________.
34．已知椭圆C： 的一个顶点为 ，离心率 ，直线 交椭圆于M，N两点，
如果 BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线 方程为___________
△
35．已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为3，过焦点 的直线 与抛物线
相交于 、 两点，点 到直线 的距离为 ，当 取得最大值时， 的面积等于__________．
三、解答题
36．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且
的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
（2）已知 ，若P在线段 上， 是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求
面积的最大值．
37．已知椭圆 ： ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 .
（1）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时直线
斜率；若不能，说明理由.
38．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，AB为椭圆的一条弦，
直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为 ，点P的坐标为
（1， ）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证： 为定值.
39．已知 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段
中点为 .
（1）若 ，点 在椭圆 上， 分别为椭圆的两个焦点，求 的取值范围；
（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求出此时直
线 的斜率；若不能，请说明理由.40．已知椭圆 ，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线 对
称.
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、解答题
1．已知 的两个顶点坐标分别为 ，该三角形的内切圆与边 分别相切于
P，Q，S三点，且 ，设 的顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）直线 交E于R，V两点．在线段 上任取一点T，过T作直线 与E交于M，N两点，
并使得T是线段 的中点，试比较 与 的大小 并加以证明．2．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，且椭圆 过点 ，离心率 ，
为坐标原点，过 且不平行于坐标轴的动直线 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 .
（1）求 的标准方程；
（2）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值；
（3） 轴上是否存在点 ，使得 为等边三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
3．已知点 ，不垂直于x轴的直线l与椭圆 相交于 两点．
（1）若M为线段 的中点，证明： ；
（2）设C的左焦点为F，若M在 的角平分线所在直线上，且l被圆 截得的弦长为 ，
求l的方程．
4．已知点 在椭圆 上，且点M到C的左､右焦点的距离之和为 .
（1）求C的方程；
（2）设О为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求 的取值范围.5．已知椭圆 ： .
（1）椭圆 是否存在以点 为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线 的方程，若不存在，请说明理
由；
（2）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ， ，点 是椭圆 上的点，若直线 ， 分别与直线 交于
， 两点，求线段 的长度取得最小值时直线 的斜率.
6．已知斜率为的 的直线 与椭圆 交于点 ，线段 中点为 ，直线
在 轴上的截距为椭圆 的长轴长的 倍.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 都在椭圆上，且 都经过椭圆 的右焦点 ，设直线 的斜率分别为
， ，线段PQ,MN的中点分别为 ，判断直线 是否过定点，若过定点.求出该定点，
若不过定点，说明理由.
7．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直线交抛物线 于 两点，若线段 的中点
的纵坐标为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 ，问x轴上是否存在点 ，使得过点 的任一条直线与抛物线 交于点 两点，且点到直线 的距离相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，曲线 由两个椭圆 和椭圆 组成，当a、b、c成等
比数列时，称曲线 为“猫眼曲线”，若猫眼曲线 过点 ，且a、b、c的公比为 .
（1）求猫眼曲线 的方程；
（2）任作斜率为 且不过原点的直线与该曲线 相交，交椭圆 所得弦AB的中点为M，交椭圆
所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为 、 ，求证： 为与k无关的定值；
（3）设 、 为椭圆 上的两点，直线OP、直线 的斜率
分别为 、 ，且 ，求 的最大值.9．坐标平面内的动圆 与圆 外切，与圆 内切，设动圆 的圆心
的轨迹是曲线 ，直线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）当点 在曲线 上运动时，它到直线 的距离最小？最小值距离是多少？
（3）一组平行于直线 的直线，当它们与曲线 相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否
在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？
10．已知点 在椭圆 ： （ ）上，且点 到 的左、右焦点的距离之和为
.
（1）求 的方程；
（2）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求 的取值范围.
11．如图，椭圆 的右焦点为 ，过焦点 ，斜率为 的直线 交椭圆于 、 两点（异于长轴
端点）， 是直线 上的动点．（1）若直线 平分线段 ，求证： ．
（2）若直线 的斜率 ，直线 、 、 的斜率成等差数列，求实数 的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，直线 ．
（1）若椭圆C的一条准线方程为 ，且焦距为2，求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上
方），若 ，求椭圆C的离心率；
（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求 的取值范围（用k表示）．
13．在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，
且线段 的长为 ， 为椭圆 异于顶点 ， 的点，过点 ， 分别作 ， ，直线 ，
交于点 ．（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：当 在椭圆 上运动时，点 恒在一定椭圆 上；
（3）已知直线 过点 ，且与（2）中的椭圆 交于不同的两点 ， ，若 为线段 的中点，
求原点 到直线 距离的最小值．
14．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆的一条弦（不
经过原点），直线 经过弦 的中点，与椭圆 交于 、 两点，设直线 的斜率为 .
（1）若点 的坐标为 ，求椭圆 的方程；
（2）求证： 为定值；
（3）过 作 轴的垂线，垂足为 ，若直线 和直线 倾斜角互补，且 的面积为 ，求椭圆的方程.
15．已知椭圆 的右焦点为 ，右准线为 .过点 作与坐标轴都不垂直的
直线与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且直线 与右准线 交于点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由.
16． 为坐标原点，椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的右顶点为 .设 ， 是
上位于第二象限的两点，且满足 ， 是弦 的中点，射线 与椭圆交于点 .
（1）求证：直线 与直线 斜率的乘积为 ；
（2）若 ，求椭圆 的标准方程.17．已知 是曲线 上的动点，且点 到 的距离比它到x轴的距离大1.直线
与直线 的交点为 .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）已知 是曲线 上不同的两点，线段 的垂直垂直平分线交曲线 于 两点，若 的中点为
，则是否存在点 ，使得 四点内接于以点 为圆心的圆上；若存在，求出点 坐标以及圆 的
方程；若不存在，说明理由.
18．如图所示，在直角坐标系 中，点 到抛物线 ： 的准线的距离为 .点
是 上的定点， ， 是 上的两动点，且线段 的中点 在直线 上.
（1）求曲线 的方程及点 的坐标；
（2）记 ，求弦长 （用 表示）；并求 的最大值.
19．椭圆 将圆 的圆周分为四等份，且椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 的中点为 ，线段 的垂直平分线为 ，直
线 与 轴交于点 ，求 的取值范围.
20．在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 都在椭圆 上，且 中点 在线段 (不包括端点)上.
①求直线 的斜率；
②求 面积的最大值.
21．已知椭圆方程为 ，左右焦点分别为 ，直线 过椭圆右焦点 且与椭圆交于A、B两点，
（1）若 为椭圆上任一点，求 的最大值，
（2）求弦AB中点M的轨迹方程，
22．已知抛物线 的焦点为 ，若在 轴上方该抛物线上有一点 ，满足直线 的倾斜角为 ，
且 .
（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上另有两点 满足 ，求直线 方程.
23．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上.
（1）若线段 的中点坐标为 ，求直线 的斜率；
（2）若 三点共线，直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值，
24．如图，设椭圆 两顶点 ，短轴长为4，焦距为2，过点 的直线
与椭圆交于 两点．设直线 与直线 交于点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段 中点 的轨迹方程；
（3）求证：点 的横坐标为定值.
25．已知抛物线 过点 ，且P到抛物线焦点的距离为2直线 过点 ，且与抛物线相交于A，B两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线 的方程；
（Ⅲ）过点 作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直
线 的斜率 ；若不能，请说明理由.
26．椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 作垂直于 轴的直线与椭圆 在第
一象限交于点 ，若 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知点 关于 轴的对称点 在抛物线 上，是否存在直线 与椭圆交于 ，使得 的
中点 落在直线 上，并且与抛物线 相切，若直线 存在，求出 的方程，若不存在，说明理由.
27．1.已知椭圆 的离心率为 ，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 交椭圆于A，B两点，且AB被直线 平分.
①若 的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；
②椭圆的左右焦点分别是 ， ， ， 的重心分别是 ， ，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求 面积的取值范围.
28．已知抛物线 ，两条直线 ， 分别于抛物线 交于 ， 两点和 ， 两点．
（1）若线段 的中点为 ，求直线 的斜率；
（2）若直线 ， 相互垂直且同时过点 ，求四边形 面积的最小值．
29．已知椭圆 的一条弦 的中点为 ．
（1）若直线 的斜率为 且不过坐标原点 ，求直线 的斜率；
（2）若直线 过椭圆的右焦点 ，且不与 轴垂直，斜率不为零，试问在 轴上是否存在一点 ，使
，且以 为直径的圆恰好经过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
30．已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线
段 的中点为 .证明：
（ ）直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值 .
（ ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，当四边形 为平行四边形时，则直线 的斜率.
