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专题 2.31 二次函数知识点分类专题训练（基础篇）（专项练习
2）
一、单选题
知识点一、二次函数性质综合
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，下列关于此函数图像的描述中，错误的是（
）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图像的顶点坐标是（1，4） D．图像与x轴的另一个交点是（4，0）
2．已知二次函数 ，则下列关于这个函数图像和性质的说法，正确的是（ ）
A．图像的开口向上 B．图像的顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大 D．图像与 轴有唯一交点
3．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的右侧
C．当 时， 的值随 值的增大而减小 D． 的最小值为-3
4．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．a＋b＋c＜0
6．如果二次函数 的图像如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
7．如图是二次函数 图像的一部分，对称轴为 ，且经过点(2,0)．下列说法：
① ；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上的两点，则
．其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①④ D．③④
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．ac＞0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＜0 D．b＜0
知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断
9．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图像可能正确的有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数y=ax+b的大致图像如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图像可能是
A． B．
C． D．11．二次函数 的图像如下左图，则一次函数 与反比例函数
．在同一坐标系内的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图像如图所示，则二次
函数 的图像可能是（ ）A． B． C． D．
知识点四、两个二次函数图像综合判断
13．已知二次函数 和 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时
14．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2的图像，下列说法正确的是（ ）
A．图像有最低点，其坐标是（1，2） B．图像有最高点，其坐标是（﹣1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
15．在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与 关于
x轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
16．如果两个不同的二次函数的图像相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
知识点五、根据二次函数图像判断代数式符号
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论：①c＜0；②2a+b＝0；
③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论①6a﹣b＝0；
②abc＞0；
③若点M（﹣2，m）与点N（﹣5，n）为抛物线上两点，则m＞n；
④ax2+bx+c≥﹣6；
⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1．其中正确结论有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
19．如图二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A(2，0)，B(6，0)，下列说法正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．c＜0 D．对称轴是直线x＝4
20．已知函数 的对称轴为直线 ．若 是方程 的两个
根，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点六、二次函数图像的对称性21．已知点 在函数 的图像上，则下列选项中的点也在该函数图像上的是（
）
A． B． C． D．
22．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），则这条抛物线的对称轴
是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3
23．已知二次函数 的图像过点 ， ， ，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
24．已知二次函数 ，若点 ， ， 在此二次函数图像上，
则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点七、二次函数图像的最值
25．如图，已知二次函数的图像（0≤x≤1+2 ）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说
法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值
B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2
D．有最小值﹣1.5，有最大值226．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图像总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m≠ 时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若m＞ ，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．若m＞0时，函数有最小值是 ﹣m+1
27．如图，直线y x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点
C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（
）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
28．如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为1，2；在 轴上有一动点 ，当
最小时，则点 的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
知识点八、二次函数的解析式
29．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
30．已知抛物线 经过点 ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）
A． B． C． D．
31．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图像开口向下
B．这个函数的图像与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当 时，y的值随x值的增大而增大
32．二次函数 （a，b，c为常数，且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：① ；② ；③当 时，y随着x的增大而减小；④-1和3是方程
的根，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
知识点一、二次函数性质综合33．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则
该抛物线的解析式为_____．
34．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是________．（填写序号）
①抛物线与 轴的一个交点为（3,0）；②函数 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是 ； ④在对称轴左侧， 随 增大而增大．
35．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______
时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向
______平移______个单位得到．
36．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ 中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
37．若抛物线 （ ）的示意图如图所示，则 ____0， ____0， ____0
（填“ ”，“＝”或“ ”）．
38．如图为二次函数 的图像，则下列说法：① ；② ；③
；④ ，其中正确的有___________．（填序号）39．二次函数 的图像如图所示，则下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有______．（填写番号）
40．如图是二次函数 的图像的一部分，给出下列命题：① ；②
；③ 的两根为 和1；④ ；⑤关于 的一元二次方程
有两个相等的解，其中正确的命题是______．（只要求填写正确命题的序
号）
知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断41．如图是二次函数 和一次函数y＝kx+t的图像，当y≥y 时，x的取值范围是
2 1 2
_____．
42．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图像如图所示，有以下结论：
①bc＞0；②b2﹣4c＞0；③b+c+1＝0；④3b+c+6＝0；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其
中正确的是_____．
43．如图已知二次函数y＝x2+c与一次函数y＝x+c的图像如图所示，则当y＜y 时x的取值范
1 2 1 2
围_____．
44．如图，在平面直角坐标系xOy中， ， ，如果抛物线 与线段AB有
公共点，那么a的取值范围是______．知识点四、两个二次函数图像综合判断
45．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是____．
46．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线 （x≥0）与 （x≥0）于B、C两点，
过点C作y轴的平行线交y 于点D，直线DE∥AC，交y 于点E，则 =_．
1 2
47．已知抛物线 的顶点在坐标轴上，则 ________．
48．如图，抛物线 的顶点为 ，抛物线 的顶点为 ，作 轴于点
， 轴于点 ，则阴影部分的面积之和为___________．知识点五、根据二次函数图像判断代数式符号
49．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，给出下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③
b﹣2a=0；其中正确结论是_____（填序号）．
50．如图，二次函数 的图像，则下列结论中正确的有_____．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
51．二次函数 的图像如图所示，有下列结论：①当 时， ；②
；③ ；④ ．其中，正确结论的序号是________．
52．二次函数 的图像如上图所示，则下列结论：① ② ③④ ⑤对称轴为 ，其中正确结的确序号是_________．
知识点六、二次函数图像的对称性
53．已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如表：
… …
… …
则二次函数 图像的顶点坐标是____________．
54．抛物线 与x轴的公共点是 ，则这条抛物线的对称轴是直线 ＝
_____．
55．已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 10 5 2 1 2 5 …
， 两点都在该函数的图像上，若 ，则m的值为________．
56．若二次函数 ，当x取 ， （ ）时，函数值相等，则当x取 时，函数
值为_____．
知识点七、二次函数图像的最值
57．已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
点 在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为
__________．58．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点
C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．
59．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是_________________．
60．当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx＋2n＋1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别
是_____．
知识点八、二次函数的解析式
61．若二次函数 的图像经过点 ，则代数式 的值等于______．
62．如图，二次函数 的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则
_______．
63．已知抛物线 ： ，抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则抛物线 的表达式
是__________．
64．已知，抛物线 经过原点，其顶点为 ．
（1）当 时，抛物线的解析式为_________．
（2）当点A在抛物线 上，且 时，a的取值范围是______．参考答案
1．D
【分析】
利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】
由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图像的顶点坐标是（1，4），故选项C正确；
图像与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误.
故选D
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
2．C
【分析】
先利用配方法得到 ，可根据二次函数的性质可对 、 、 进行判断；通过解方程 可对 进行判断．
【详解】
解： ，
抛物线的开口向下，顶点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，当 时， 随 的增
大而增大，
令 ，则 ，解方程解得 ， ，
△ ，
抛物线与 轴有两个交点．
故选： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
3．D
【详解】
分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选D．
点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数
的性质解答．
4．B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶
点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x=1，x=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），
1 2
故本小题正确；③抛物线的对称轴 =0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图像与系数关系是关键.
5．D
【分析】
根据开口方向可判断A；根据对称轴位置可判断B；根据与y轴的交点可判断C；令x＝1，可判
断D．
【详解】
解：∵由图像知，开口向下，
∴a＜0，故A错误；
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，故B错误；
由图像知，与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，故C错误；
当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像与各项系数间的关系，熟知二次函数的图像与各项字母系数之
间的关系是解答的关键．
6．C
【分析】
首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴
的交点即可判断c的正负，由此得出答案即可．
【详解】
解：∵图像开口方向向上，
∴a＞0；
∵图像的对称轴在y轴的右边上，
∴ ＞0，∵a＞0，
∴b＜0；
∵图像与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，b＜0，c＜0．
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与系数的关系，能根据图像正确确定各个系数的符号是解
决此题的关键，运用了数形结合思想．
7．A
【分析】
利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a＞0，利用抛物线与y轴的交
点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时
得到c=-2a，加上b=-a，则可对②进行判断；利由抛物线与x轴有两个交点结合根的判别式，即
可得出b2-4ac＞0，，则可对③进行判断；通过比较点（- ，y）到直线x= 的距离与点（ ，
1
y）到直线x= 的距离的大小可对④进行判断．
2
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x= = ，
∴b=-a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
∴c=-2a，
∴-2b+c=2a-2a=0，所以②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③错误；
∵点（ ，y）到直线x= 的距离比点（ ，y）到直线x= 的距离大，
1 2
∴y＜y；所以④正确．
1 2
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，观察二次函数图像，逐一分析四条说法的正误是
解题的关键．
8．B
【分析】
根据函数的图像得出图像的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x=1，并
利用抛物线的对称性逐个判断即可．
【详解】
图像的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，
故A错误，
对称轴是 ，
，
，
故B正确，
故D错误，
抛物线与 轴有两个交点，
故C错误，
综上，正确的是B选项，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，能根据图像得出正确信息是解此题的关键，数形结
合是解题的关键．
9．C【分析】
分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图像即可求得答案．
【详解】
解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错
误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图像可能是①②，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图像和二次函数的图像，掌握一次函数的图像和二次函数的
图像是解题的关键.
10．D
【分析】
根据y=ax+b的函数图像得到a>0，b<0，即可确定二次函数y=ax2+bx+1的图像.
【详解】
根据一次函数的图像可得a>0，b<0．则二次函数开口向上，对称轴在y轴的右侧．
故选D．
【点拨】此题考查函数图像与系数之间的关系.
11．C
【分析】
根据二次函数图像，确定二次函数系数的符号，再确定一次函数与反比例函数的系数，即可求得．
【详解】
解：二次函数图像开口向上，得到
二次函数图像与 轴有两个交点，得到
二次函数的与 轴交点在 轴的下方，得到
二次函数的对称轴 ，得到
∴
∴一次函数 图像经过一、二、三象限
反比例函数 的图像经过二、四象限
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一次函数、反比例函数与二次函数图像与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．D
【分析】
根据二次函数 与一次函数 的图像可知 ， ， ，从而判断出二次函数
的图像．
【详解】
解：∵二次函数 的图像开口向上，
∴ ，
∵次函数 的图像经过一、三、四象限，
∴ ， ，
对于二次函数 的图像，
∵ ，开口向上，排除A、B选项；
∵ ， ，
∴对称轴 ，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数的图像和一次函数图像
经过的象限，找出 ， ， 是解题的关键．
13．B
【分析】
分两种情况讨论，通过解不等式 和 ，可对各项进
行判断．
【详解】
解：当 时， ，
整理得 ，
，，解得 或 ；
当 时， ，
整理得 ，
，
，解得 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式 组 ：利用两个函数图像在直角坐标系中的上下位置关
系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
14．D
【分析】
根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】
解：A、由于a＝﹣1＜0，所以开口向下，有最大值，故A不符合题意．
B、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知顶点为（1，2），故B不符合题意．
C、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，故C
不符合题意．
D、二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
15．B
【分析】
根据关于x轴对称，函数值y互为相反数，将抛物线 化成关于x轴对称
的抛物线的解析式为 ，列出方程组，求解即可得出结论．
【详解】
解：∵抛物线 与 关于x轴对称，
∴ ，
∴ 与 相同，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线
化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
16．B
【分析】
根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
【详解】
∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.17．C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对
称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①如图所示，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
故①正确；
②如图所示，对称轴x＝﹣ ＝1，则2a+b＝0．
故②正确；
③如图所示，当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0．
故③正确；
④如图所示，抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0．
故④错误．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点拨】主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以
及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
18．C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图像，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】
解：①∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴﹣ ＝﹣3，
∴b＝6a，∴6a﹣b＝0，结论①正确；
②∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＝6a＞0，c＜0，
∴abc＜0，结论②错误；
③∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），点M（﹣2，m）在抛物线上，
∴点（﹣4，m）在抛物线上．
∵在x＜﹣3上，y随x值的增大而减小，点N（﹣5，n）在抛物线上，
∴m＜n，结论③错误；
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），抛物线开口向上，
∴ax2+bx+c≥﹣6，结论④正确；
⑤∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣5，﹣4），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，结论⑤正确．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性
质和数形结合的思想解答．
19．D
【分析】
根据抛物线与x轴的交点即可判断A；由x＝﹣2时，y＞0，即可判断B；抛物线与y轴的交点即
可判断C，根据对称性求得对称轴即可判断D．
【详解】
解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故错误；
B、当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故错误；
C、抛物线交y轴的正半轴，则c＞0，故错误；
D、∵次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（2，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝4，故正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，数形
结合是解题的关键．
20．B【分析】
利用函数图像分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
【详解】
解：∵x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
1 2
∴x、x 是抛物线与x轴交点的横坐标，
1 2
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，x＜x，1＜x＜2，
1 2 2
∴-10＜x＜-9，故选项B正确；
1
xx＜0，故选项A错误；
1 2
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，
∴ ，
∴b=8a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故选项D错误；
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x轴
交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
21．C
【分析】
先求出对称轴，然后根据对称性即可得到答案．
【详解】
的对称轴为x=-1
根据对称性函数在x=1时的函数值与x=-3时的函数值一样
故当点 在函数 的图像上时， 也在函数图像上
故选C．【点拨】本题主要考查二次函数的对称性，能够求出对称轴是解题关键．
22．B
【分析】
根据“抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等”进行填空．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），
∴这条抛物线的对称轴是：x＝ ＝-1，
即x＝-1．
故选：B．
【点拨】本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，关键是掌握抛物线与x轴的两交点关于对称轴
对称；
23．C
【分析】
根据二次函数图像具有对称性和二次函数图像上点的坐标特征，可以判断y、y、y 的大小，从
1 2 3
而可以解答本题．
【详解】
解：∵
∴函数 的对称轴为直线 ，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，当x
＞2时，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1＜2
∴ ，
由二次函数的对称性可知， 和 的函数值相等
∵
∴
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大
而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
24．C
【分析】
由题意易得二次函数的对称轴为直线 ，进而可得点 ， 关于抛物线
的对称轴对称，然后根据二次函数的性质可排除选项．
【详解】
解：∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∴点 为二次函数的顶点，
∵点 ， ，
∴根据二次函数的对称性可得： ，
∴ ，
∵3＞0，
∴二次函数的开口向上，
∴ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
25．C
【分析】
由函数图像可看出其最大值和最小值，可求得答案．
【详解】
解：由图像可知当x=1时，y有最小值-2，
当 时，y有最大值2，
∴函数有最小值-2，有最大值2，
故选：C．【点拨】本题主要考查了二次函数的最值，正确识别函数图像、理解最值的意义是解题的关键．
26．D
【分析】
根据函数的图像和性质逐一求解即可．
【详解】
解：A、当m=0时，
，
当x=-1时，y=2，则不经过（-1，-2），故错误；
B、 ，
当m=0时， ，函数图像与x轴只有1个交点，故错误；
C、 ，
函数的对称轴为直线x= ，
当m＞ 时， ＜1，故当x＜ 时，y随x的增大而减小，故错误；
D、当m＞0时，函数开口向上，
函数的最小值是 ，故正确；
故选D．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常
熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
27．C
【分析】
C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则
C'F即为所求最短距离．
【详解】
∵y=x2+2x﹣2的对称轴为 ，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，
∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线y x+3，
设直线C'F的解析式为 ，
将C'(﹣2，﹣2)代入得： ，
解得： ，
∴C'F的解析式为y x ，
解方程组 ，
得： ，
∴F( ， )，
∴C'F ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图像及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键．
28．D
【详解】
解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方
法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
29．D
【分析】
依题知，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B；可得B点坐标，又
OB=OA，可得A点坐标，然后将A的坐标代入函数解析式即可；
【详解】
依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，
∴ B（0，c），∴ OB＝c，
∵ OA＝OB，
∴ OA＝c，
∴ A（c，0），
∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去），
故选：D
【点拨】本题考查二次函数待定系数法，重点在理解和熟练求解过程的转化．
30．B
【分析】
将已知点的坐标代入 确定抛物线的解析式，再计算出自变量为0时所对应的函数
值即可求解．
【详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴物线的解析式为： ，
∵ 时， ，
∴抛物线必经过的点是 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式，解
题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
31．C
【分析】
利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判
断．
【详解】
解：设二次函数的解析式为 ，依题意得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图像开口向上，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图像与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ ，∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图像的顶点坐标为( ， )，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的
性质解答是解题关键．
32．C
【分析】
利用待定系数法求出此二次函数解析式，再结合二次函数的性质和解一元二次方程逐项判断即可．
【详解】
∵当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，解得： ，
故该二次函数为 ，且改为顶点式为 ．
∴ ，故①正确；
，故②正确；
∵ ，且对称轴为 ，∴当 时，y随x的增大而减小，故③错误；
方程 为 ，即 ，
解方程 ，得： ，故④正确．
综上正确的为①②④，共3个．
故选C．
【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，解一元二次方程．根据表格
利用待定系数法求出此二次函数解析式是解答本题的关键．
33．y＝﹣2（x+2）2+1．
【分析】
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将定点坐标代入解析式就可
以求出结论．
【详解】
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相
同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y＝﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1，
故答案为y＝﹣2（x+2）2+1．
【点拨】本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物
线的性质求出a值是关健．
34．①③④
【详解】
根据图表，当x=-2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为
（-2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x= = ，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x= 时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，
并且在直线x= 的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错
35． 向上 (2，0) 直线x＝ 2 ≥2 2 小 0 右 2．
【解析】解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝
2．当x≥2时，y随x的增大而增大；当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平
移2个单位得到．
故答案为：向上； （2，0）； 直线x＝ 2；≥2 ；2；小； 0； 右；2．
36．①②④
【分析】
根据二次函数y＝ax2的图像与性质逐一判断即得答案
【详解】
解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称
轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且 越大开口越小，可知抛物
线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y 开口最大，故③不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④正确．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数y=ax2的与性质是解题的关
键．
37．
【分析】
根据二次函数图像与其各项系数的关系即可填写．
【详解】
根据图像开口向上可知a>0，对称轴在y轴右侧可知b<0，与y轴交点在原点下方可知c<0．
故答案为：>，<，<．
【点拨】本题考查二次函数图像与各项系数的关系．熟知二次函数图像与各项系数的关系是解答本题的关键．
38．（2）（3）
【详解】
略
39．③④
【分析】
根据二次函数图像的性质解题．
【详解】
解：由图像知，二次函数的图像开口向下， ，故①错误；
由图像知，二次函数的图像与 轴交于正半轴， ，故②错误；
当 时，由图可知， ， ，故③正确；
由图可知，二次函数图像与 轴有两个不同的交点， ，故④正确，
故其中正确的有③④，
故答案为：③④．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，在重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
40．①③⑤
【分析】
根据二次函数的图像与性质可直接进行排除答案．
【详解】
解：由图像可得： ，对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故②错误，
当x=1时，y=0，即 ，故①正确；
由二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点横坐标为 ，
∴令y=0，则有 ，
∴ 的两根为 和1，故③正确；
当 时，则 ，
∵-2＞-3，y随x的增大而减小，
∴ ，故④错误；
由 及 可得： ，∴关于 的一元二次方程 可变形为 ，
∴根据一元二次方程根的判别式可得： ，
∴该方程有两个相等的实数根，故⑤正确；
∴正确的命题为①③⑤；
故答案为①③⑤．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的
图像与性质及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
41．﹣1≤x≤2．
【分析】
根据图像可以直接回答，使得y≥y 的自变量x的取值范围就是直线y=kx+m落在二次函数
1 2 1
y=ax2+bx+c的图像上方的部分对应的自变量x的取值范围．
2
【详解】
根据图像可得出：当y≥y 时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．
1 2
故答案为：﹣1≤x≤2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、
直观，降低了题的难度．
42．④⑤
【分析】
根据函数y＝x2+bx+c的图像得出a、b、c的符号，对①进行判断；利用判别式的意义对②进行判
断；利用x＝1，y＝1可对③进行判断；利用x＝3，y＝3对④进行判断；根据1＜x＜3时，
x2+bx+c＜x可对⑤进行判断．
【详解】
解：由图像开口向上，则a＞0，对称轴在y轴右侧，则a，b异号，故b＜0，
图像与y轴交在正半轴，故c＞0，
则bc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝b2﹣4c＜0，所以②错误；
∵x＝1，y＝1，
∴1+b+c＝1，
即b+c＝0，所以③错误；
∵x＝3，y＝3，∴9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0，所以④正确；
∵1＜x＜3时，x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，所以⑤正确．
故答案为：④⑤．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数与不等式（组）：利用两个函数图像在
直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数
解析式列成不等式求解．
43．0＜x＜1．
【解析】
【分析】
首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当y＜y 时x的取值范围．
1 2
【详解】
解：由题意可得：x2+c＝x+c，
解得：x＝0，x＝1，
1 2
则当y＜y 时x的取值范围：0＜x＜1．
1 2
故答案为0＜x＜1．
【点拨】此题主要考查了二次函数与一次函数，正确得出两函数的交点横坐标是解题关键．
44．
【分析】
分别把A、B点的坐标代入 得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】
解：把 代入 得 ；
把 代入 得 ，
所以a的取值范围为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．45．k=0或k＞2．
【分析】
先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图像，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根
时，k的取值范围．
【详解】
解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像在x轴上方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图像是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图像．
∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像在x轴下方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图像是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图像．
∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2，
∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图像的顶点纵坐标是2，
∴y＝|ax2＋bx＋c|的图像如右图．
∵观察图像可得当k≠0时，
函数图像在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图像在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图像在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根，
则函数图像应该在y＝2的上边，
故k＝0或k＞2．
【点拨】本题考查了二次函数的图像，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图像，根据
图像得出k的取值范围．
46．5-
【解析】试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C的坐标为（1， ），则点
B的坐标为（ ， ），点D的坐标为（1，1），点E的坐标为（ ，1），则AB= ，DE=
－1，则 =5－ ．
考点：二次函数的性质
47．0或2
【分析】
把抛物线解析式化为顶点式，再根据顶点在坐标轴上，求出 值即可．
【详解】
解：抛物线 化为顶点式为： ，
当顶点在x轴上时， ，解得， ；
当顶点在y轴上时， ；
故答案为：0或2．
【点拨】本题考查了二次函数顶点坐标，解题关键是熟练运用配方法把二次函数化成顶点式．
48．4．
【分析】
过B作BE⊥x轴于E，分别把抛物线配方变成顶点式，求出顶点 （2，2），顶点 （-2，-
2），由A、B两点关于原点对称。又抛物线开口大小 ，可得抛物线A绕点O旋转180°得
到抛物线B，可知曲边三角形AOC≌曲边三角形BOE，可得阴影部分图形面积=正方形ODBE面
积，求出S =2×2=4即可．
矩形ODBE
【详解】
解：过B作BE⊥x轴于E，
抛物线 的顶点为 （2，2），
抛物线 的顶点为 （-2，-2），
∴A、B两点关于原点对称，又抛物线开口大小 ，
抛物线A绕点O旋转180°得到抛物线B，曲边三角形AOC≌曲边三角形BOE，阴影部分图形面积=正方形ODBE面积，
S =2×2=4，
矩形ODBE
∴阴影部分的面积之和为4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查抛物线的性质，抛物线旋转不变性，正方形面积，掌握抛物线的性质，抛物线
旋转不变性，矩形面积是解题关键．
49．①③
【分析】
由图可知，二次函数开口向下，a＜0，与x轴两个交点△＞0，对称轴x＝﹣1，据此求解即可．
【详解】
解：①由图可知，
与x轴两个交点，
△=b2﹣4ac＞0，
即4ac﹣b2＜0，
∴①正确；
②函数对称轴x=﹣1，与x轴的一个交点在0至1之间，则另一个交点在-2至-3之间，
∴当x=﹣2或x=0时，y＞0，
即y=4a-2b+c＞0，
即4a+c＞2b，
∴②错误；
③对称轴x= -1，
即b=2a，即b-2a=0，
∴③正确；故答案为：①③．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系问题是
解答本题的关键．
50．①②⑤
【分析】
根据函数的图像得出图像的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x=1，抛
物线的图像和x轴有两个交点，函数与x轴的交点坐标是（-1，0）和（3，0），再逐个判断即可．
【详解】
解：∵图像的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x=1，
∴a＜0，c＞0， ，
即2a+b=0，b＞0，
∴abc＜0，故①②正确；
∵抛物线的图像和x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故③错误；
∵抛物线的图像的对称轴是直线x=1，和x轴的一个交点坐标是（-1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
即当x=3时，y=a×32+b×3+c=0，故④错误；
∵2a+b=0，
即b=-2a，代入解析式得：y=ax2-2ax+c，
当x=3时，y=9a-6a+c=3a+c=0，
∵a＜0，
∴3a+c+5a=8a+c＜0，故⑤正确；
即正确的有3个，
故答案为：①②⑤．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，能根据图像得出正确信息是解此题的关键，用了数
形结合思想．
51．②③
【分析】
利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论①③；由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而得出b＞
0，由抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，据此判断出结论②；当x＝﹣2时， ，可判断④即可．
【详解】
解：由图像知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
当 时， ，故①错误，
由图像知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图像知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
故答案为：②③．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
52．①②⑤
【分析】
观察图像开口方向，可得 ，与y轴交点在负半轴，解得 ，由抛物线与x轴有两个交点，
可得 ，根据对称轴公式得到抛物线的对称轴为 ，再将x=1时，x=-2时，分别代
入函数解析式中，结合图像解题即可．
【详解】
根据题中二次函数的图像，可知抛物线图像开口向上，即 ，与y轴交于负半轴，即 ，
抛物线与x轴的交点是 ，即对称轴是 ， ，故①②⑤
正确；
当x=1时，y=0，故④错误；
当x=-2时，由图像可知，y<0,故③错误，
故答案为：①②⑤．
【点拨】本题考查二次函数图像的性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．53．
【分析】
根据表格数据，该二次函数的对称轴为直线x=﹣1，即可得出顶点坐标．
【详解】
解：由表可知，该二次函数的对称轴为直线x=﹣1，
当x=﹣1时，y=0，
∴二次函数 图像的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，由图表得出二次函数的对称轴是解答的关键．
54．2
【分析】
根据抛物线的对称性即可求解．
【详解】
解：∵抛物线 与 轴的公共点的坐标是
∴这条抛物线的对称轴是直线 ，
故答案为：2.
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
55．1
【分析】
根据表中的对应值得到x=1和x=3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x=2，由于
y=y，所以 ， 是抛物线上的对称点，则 ，然后解方
1 2
程即可．
【详解】
解：∵x=1时，y=2；x=3时，y=2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵ ， 两点都在该函数的图像上，y=y，
1 2∴点 ， 是抛物线上的对称点，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．
56．1
【分析】
y=ax2+1的对称轴是y轴，当x取x，x（x≠x）时，函数值相等，所以x，x 互为相反数，即
1 2 1 2 1 2
x+x=0，由此可以确定此时函数值．
1 2
【详解】
解：∵在y=ax2+c的对称轴是y轴，当x取x，x（x≠x）时，函数值相等，
1 2 1 2
∴x，x 互为相反数，
1 2
∴x+x=0，
1 2
∴y=0+1=1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性．
57．4
【分析】
根据题意画出函数图像，要使 的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求
的面积即可．
【详解】
解：根据题意可求出 ，
抛物线 的对称轴为： ，
根据函数对称关系，点B关于 的对称点为点A，
连接AD与 交于点E，
此时 的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
过点C作 的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于 与梯形ACHG的面积和，
即 ，
则 S - ，
四边形ACHE
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画
出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
58．1
【分析】
由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求
得抛物线的顶点坐标即可求得答案．
【详解】
解：∵AC⊥x轴，
∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，
∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x−1）2＋1，
∴顶点坐标为（1，1），∴AC的最小值为1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为1，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．
59．﹣4或2
【分析】
根据抛物线的对称轴公式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x ，
∵ ，
①当 1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当 2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m （舍去）．
③当﹣1 2，即﹣2＜m＜4时，当x 时，函数最大值为3，
∴ 3，
解得m＝2 或m＝﹣2 （舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2 ，故答案为：﹣4或2 ．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，掌握抛物线的对称轴公式是解题的关键．
60．﹣1，﹣1或1，﹣1
【分析】
根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得m、n的值．
【详解】
∵函数 ，
∴该函数图像开口向下，对称轴为直线 ，
∵当 时，函数 的最小值是-4，最大值是0，
∴当 时，即 时，则有当 时， ，当 时， ，
即 ，解得 ，不符合 ，故此种情况不存在；
当 时， ，
时， ，当 时， 或 时， ，
即 或 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， ， 时， ，
即 ，解得 ，不符合 ，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是-1，1或1，-1，
故答案为：-1，1或1，-1．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．
61．2017
【分析】
由题意可把点 代入二次函数解析式得 ，则有 ，进而整体代入求值即可．
【详解】解：∵二次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为2017．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
62．
【分析】
如图，由题意易得点A、B关于y轴对称，点 ，进而根据正方形的性质可得点 ，
然后代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】
解：如图，
∴A、B关于y轴对称，
∵四边形AOBC是正方形，
∴ ，AB与OC相互平分，
令x=0时，则有 ，
∴点 ，
∴ ，
∴点 ，把点A代入得： ，解得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键．
63． ．
【分析】
先确定抛物线 的顶点坐标，根据抛物线 与抛物线 关于 轴对称，求出抛物线 的顶点坐
标为（-2，1），抛物线的形状不变，开口方向不变 ，即可写出抛物线 的表达式是
．
【详解】
解：∵抛物线 ： ，
∴抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵抛物线 与抛物线 关于 轴对称，
抛物线 的顶点坐标为（-2，1），抛物线的形状不变，开口方向不变，
抛物线 的表达式是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查抛物线的顶点式，抛物线的性质，轴对称性质，利用轴对称性质求抛物线的解
析式，掌握抛物线的顶点式，抛物线的性质，轴对称性质，利用轴对称性质求抛物线的解析式是
解题关键．
64．y=-3x2+6x
【分析】（1）根据顶点坐标设抛物线为y=a（x-1）2+3，将原点代入求出a值即可．
（2）分别求出m=1和m=7时点A的坐标，可得新的函数解析式，再根据经过原点可得a值，从
而得到a的取值范围．
【详解】
解：（1）当m=1，n=3时，顶点坐标为（1，3），
设抛物线为y=a（x-1）2+3，
∵抛物线经过原点，
∴0=a（0-1）2+3，
∴a=-3，
∴抛物线解析式为y=-3x2+6x；
（2）∵点A在抛物线 上， ，
当x≥ 时，y随x的增大而增大，
当m=1时，n=1，当m=7时，n=43，
当A（1，1）时， ，
∵抛物线 过原点，
∴a+1=0，则a=-1，
当A（7，43）时， ，
∵抛物线 经过原点，
∴ ，则 ，
∴a的取值范围是 ；
故答案为：y=-3x2+6x， ．
【点拨】本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，
第三个问题解不等式要注意讨论．
