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专题2.3 不等式与函数
1．（2020•凉山州）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）
1 1 1
A．m＞− B．m＜3 C．− ＜m＜3 D．− ＜m≤3
2 2 2
【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．
{2m+1＞0
【解析】根据题意得 ，
m−3≤0
1
解得− ＜m≤3．
2
故选：D．
2．（2020•乐山）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4
【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得函数y＝2时的自变量的值，根据图象即可求得．
【解析】∵直线y＝kx+b与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，1），
{ 1
{2k+b=0 k=−
∴ ，解得 2
b=1
b=1
1
∴直线为y=− x+1，
2
1
当y＝2时，2=− x+1，解得x＝﹣2，
2
由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2，
故选：C．
3．（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点
P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）
∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．
故选：A．
4．（2020•遵义）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等
式kx+b＜2的解集为 ．
【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+2在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【解析】∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．
故答案为x＜4．
5．某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元,每通话1 min收费0.3元;乙种业务不
收月租费,但每通话1 min收费0.4元.
（1）何时选择甲种业务对顾客更合算?
（2）何时选择乙种业务对顾客更合算?
【解答】解:设通话时长为x min,甲种业务收费y甲元,乙种业务收费y乙元,则y甲=10+0.3x,y乙=0.4x.
(1)若y甲<y乙,即10+0.3x<0.4x.
∴x>100,甲种业务合算.(2)若y乙<y甲,即0.4x<10+0.3x.
∴0<x<100,乙种业务合算.
6．某书报亭开设两种租书方式:一种是零星租书,每册收费1元;另一种是会员卡租书,办卡费每月12元,租书
费每册0.4元.小军经常来该店租书,若每月租书数量为x册.
（1）写出零星租书方式应付金额y1(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式;
（2）写出会员卡租书方式应付金额y2(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式;
（3）小军选取哪种租书方式更合算?
【解答】解:(1)∵零星租书每册收费1元,
∴应付金额与租书数量之间的函数关系式为y1=x.
(2)∵在会员卡租书中,租书费每册0.4元,x册就是0.4x 元,加上办卡费12元,∴应付金额与租书数量之间的函
数关系式为y2=0.4x+12.
(3)当y1=y2时,x=12+0.4x,解得x=20;
当y1>y2时,x>12+0.4x,解得x>20;
当y1<y2时,x<12+0.4x,解得x<20.
综上所述,当小军每月租书数量少于20册时,采用零星方式租书合算;当每月租书20册时,两种方式费用一样;
当每月租书多于20册时,采用会员卡租书的方式更合算.
7．（2020河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y （元），且y ＝kx+b；按照方案二所需费用为y
1 1 1 2
（元），且y＝kx．其函数图象如图所示．
2 2
（1）求k 和b的值，并说明它们的实际意义；
1
（2）求打折前的每次健身费用和k 的值；
2
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【解答】（1）∵y＝kx+b过点（0，30），（10，180），
1 1
∴{ b=30 ，解得{k =15，
1
10k +b=180 b=30
1
k＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
1
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k＝25×0.8＝20；
2
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y＝15x+30，y＝20x．
1 2
当健身8次时，
选择方案一所需费用：y＝15×8+30＝150（元），
1
选择方案二所需费用：y＝20×8＝160（元），
2
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
8．（2020•泸州）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共 30件．其中甲种
奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费
了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买
乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范
围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，
根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
