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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.3二次函数的图象与性质（2）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•成都期末）抛物线 的对称轴是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【解析】 由抛物线 可知，其顶点坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
故选： ．
2．（2021•芜湖模拟）将抛物线 的图象向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为
A． B．
C． D．
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，求出新图象的顶点坐标，然后写出
即可．
【解析】抛物线 的顶点坐标为 ，
向右平移3个单位后的图象的顶点坐标为 ，
所以，所得图象的解析式为 ．
故选： ．
3．（2021秋•崇川区校级月考）若点 、 、 在二次函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】由抛物线开口向上且对称轴为直线 知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．
【解析】 二次函数 中 ，
抛物线开口向上，对称轴为 轴．
离对称轴水平距离越远，函数值越大，
点 、 、 在二次函数 的图象上，
点 离对称轴水平距离最远，点 离对称轴水平距离最近，
．
故选： ．
4．（2019秋•浏阳市期中）已知二次函数的图象 如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，
下列说法正确的是
A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值 ，有最大值0
C．函数有最小值 ，有最大值3 D．函数有最小值 ，无最大值
【分析】由函数图象可看出其最大值和最小值，可求得答案．
【解析】由图象可知当 时， 有最小值 ，当 时， 有最大值3，
函数有最小值 ，有最大值3，
故选： ．
5．（2020秋•龙凤区期末）在同一平面直角坐标系中，直线 与抛物线 的图象可能是A． B．
C． D．
【分析】根据各选项中直线经过的象限可得出 、 的符号，再依此找出二次函数图象的开口、对称轴以
及顶点坐标，对照图象即可得出结论．
【解析】 、 直线 经过第一、二、三象限，
， ，
抛物线 开口向上，对称轴为 轴，顶点为 ，
该选项图象符合题意；
、 直线 经过第一、二、四象限，
， ，
抛物线 开口向下，对称轴为 轴，顶点为 ，
该选项图象不符合题意；
、 直线 与抛物线 的交点坐标为 ，
该选项图象不符合题意；
、 直线 经过第一、二、三象限，
， ，
抛物线 开口向上，对称轴为 轴，顶点为 ，
该选项图象不符合题意．故选： ．
6．（2020秋•集贤县期中）已知二次函数 的图象如图所示，关于该函数在所给自变
量取值范围内的最值，下列说法正确的是
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值 ，无最大值
C．有最小值0，无最大值 D．有最小值 ，有最大值3
【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应 的值，即是函数的最值．
【解析】根据图象可知此函数有最小值 ，有最大值3，
故选： ．
7．（2020秋•怀安县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大
致为
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 的图象相比较看是否一致．反之也可．
【解析】 、由一次函数的图象可知 、 ，由二次函数的图象可知 ，两者相矛盾；
、由一次函数的图象可知 、 ，由二次函数的图象可知 ，两者相吻合；
、由一次函数的图象可知 、 ，由二次函数的图象可知 ，两者相矛盾；
、由一次函数的图象可知 、 ，由二次函数的图象可知 ，两者相矛盾．
故选： ．
8．（2019•雁塔区校级模拟）当 时，二次函数 的最大值是1，则实数 的值为
A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3
【分析】由二次函数解析式可知其开口方向、对称轴，分 在对称轴左侧和右侧两种情况分别求其
最值，可得到关于 的方程，可求得答案．
【解析】
，
二次函数开口向下，对称轴为 ，
当 时，则 在对称轴左侧， 随 的增大而增大，当 时， 有最大值，
，解得 （舍去）或 ，
当 时，则 在对称轴右侧， 随 的增大而减小，当 时， 有最大值，
，解得 （舍去）或 ，
综上可知 的值为2或 ，
故选： ．
9．（2019•历城区二模）当 时，关于 的二次函数 有最大值4，则实数 的
值为
A．2 B．2或 C．2或 或 D．2或 或
【分析】分类讨论： ， ， ，根据函数的增减性，可得答案．
【解析】当 ， 时， ，解得 （舍 ，当 ， 时， ，解得 ；
当 ， 时， ，
解得 ，
综上所述： 的值为 或2，
故选： ．
10．（2019秋•晋安区期中）二次函数 ，当 且 时， 的最小值为 ，最大
值为 ，则 的值为
A．0 B． C． D．
【分析】条件 和 可得 ， ，所以 的最小值为 为负数，最大值为 为正数．
最大值为 分两种情况，（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出 ，结合图象最小值只能由
时求出．（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由 求出，最小值只能由
求出．
【解析】二次函数 的大致图象如下：
．
①当 时，当 时 取最小值，即 ，
解得： 或 （舍去）．
当 时 取最大值，即 ，
解得： 或 （均不合题意，舍去）；
②当 时，当 时 取最小值，即 ，解得： 或 （舍去）．
当 时 取最大值，即 ，
解得： ，
或 时 取最小值， 时 取最大值，
， ，
，
，
此种情形不合题意，
所以 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•南岗区模拟）二次函数 取最大值时， ．
【分析】把二次函数整理成顶点式形式，然后解答即可．
【解析】
，
当 时，二次函数取最大值．
故答案为： ．
12．（2021•厦门模拟）抛物线 的对称轴是 直线 ．
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接卸车该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【解析】 抛物线 ，
该抛物线对称轴是直线 ，故答案为：直线 ．
13．（2021秋•射阳县校级月考）二次函数 的顶点坐标为 ．
【分析】利用顶点式即可直接找到顶点坐标．
【解析】由顶点式可知 的顶点为 ．
故答案为： ．
14．（2021•广东）把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线
的解析式为 ．
【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【解析】把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式
为： ，即
故答案为 ．
15．（2021•香坊区模拟）二次函数 ，当 取 时， 取得最小值．
【分析】根据抛物线的顶点坐标和抛物线的开口方向可以得到答案．
【解析】 ，
该抛物线的顶点坐标是 ，且抛物线开口方向向上，
当 时， 取得最小值 ．
故答案为： ．
16．（2021•鼓楼区一模）已知二次函数 为常数），如果当自变量 分别取 ， ，1时，
所对应的 值只有一个小于0，那么 的取值范围是 且 ， ．
【分析】根据题意得到 ，即 ，解得 ，把 的值分别代入即可求得．【解析】由题意得 ，
，
，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
的取值范围是 且 ， ，
故答案为： 且 ， ．
17．（2020秋•南岸区期末）对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，
根据二次函数的相关性质，可求出 3 ．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得 的值．
【解析】由表格可知， 和 时的函数值相等，
表格中的两个函数对称轴都是直线 ，
， ，
， ，
故答案为：3．
18．（2021•长兴县模拟）已知：点 在函数 的图象上，也在函数
的图象上，则 的最小整数值是 1 ．
【分析】由题意求出 ， ，则可得出答案．
【解析】 点 在函数 图象上，也在函数 图象上，，
解得： ，
，
，
的最小整数值是1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．画出下列函数的图象
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】利用列表、描点、连线画函数图象．
【解析】（1）列表：
0 1 2 3 4
4 1 0 1 4
描点、连线，（2）列表：
0 1 2 3 4
4 1 0 1 4
描点、连线，
（3）列表：
0 1 2 3 4
7 4 3 4 7
描点、连线，（4）列表：
0
1 1
描点、连线，
20．（2020•杭州模拟）在同一平面直角坐标系中画出二次函数 与二次函数 的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【分析】根据二次函数图象，可得二次函数的性质．
【解析】如图：，
（1） 与 的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是 轴，
与 的不同点是： 开口向上，顶点坐标是 ， 开口向下，
顶点坐标是 ；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点： 当 时， 随 的增大而减小，当 时，
随 的增大而增大；
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小．
21．（2021•汝阳县一模）已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如表：
1 2 3 4
2 1 2 5
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数 的图象，分别在 、 的图象上取点 ，
， ，试比较 与 的大小．
【分析】（1）找出顶点 代入一个点可求得二次函数的表达式；
（2）分别把 、 两点的坐标代入表达式中，求出对应的 和 的值，比较大小即可．【解析】（1）从表格看，二次函数顶点为 ，则 ，
把 代入 中得： ， ，
二次函数的表达式； ；
（2）由题意得： ，
把 ， ， 分别代入 、 的表达式中，
，
，
，
， ，
， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ．
22．（2020秋•宁明县期中）已知函数 是关于 的二次函数．
求：（1）满足条件的 值；
（2）当 为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当 为何值时， 随着 增大而增
大？
【分析】（1）根据函数 是关于 的二次函数．可以求得 的值；
（2）根据（1）中的结果，可以得到当 为何值时，抛物线有最低点，并求出最低点的坐标，在这种情况
下，当 为何值时， 随着 增大而增大【解析】（1） 函数 是关于 的二次函数，
，
解得 ， ，
即 的值是 或2；
（2）由（1）知， 或2，
故 或 ，
当 时，该抛物线有最低点，
当 时， ，该函数的最低点的坐标为 ，当 时， 随 的增大而增大．
23．已知抛物线 ．
（1）顶点在坐标轴上，求字母 的值，并指出顶点坐标；
（2）顶点在直线 上，求字母 的值，并指出顶点坐标．
【分析】（1）根据题意和题目中的抛物线解析式，利用分类讨论的方法，可以求得 的值及此时的顶点坐
标；
（2）根据顶点在直线 上，可知对称轴是直线 ，从而可以求得 的值及此时的顶点坐标．
【解析】（1） 抛物线 ，顶点在坐标轴上，
当顶点在 轴上时， ，解得 ， ；
当顶点在 轴上时， ，解得 ；
当顶点在原点时， 且 ，此时无解；
由上可得，当 时，顶点坐标为 ；当 时，顶点坐标为 ， ；当 时，顶点坐标为
，
即 的值是1，此时顶点坐标为 ； 的值是 ，此时顶点坐标为 ， ； 的值是0，此时顶点坐标为 ；
（2） 抛物线 ，顶点在直线 上，
，
解得 ，
抛物线 ，此时抛物线的顶点坐标为 ，
即 的值是 ，此时抛物线的顶点坐标为 ．
24．（2021•渝中区模拟）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合
图象研究函数性质的过程．以下是张华同学研究函数 图象、性质及其应用的部分
过程，试解答下列问题：
（1）请写出下列表中 、 的值，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
0 1 2 3
2 0 1 0 2
（2）根据所画函数的图象，写出该函数的两条性质：
① 函数图象关于 轴对称 ；
② ．（3）若直线 ， 与函数 的图象至少有3个交点，则 的取值范围
为 ．
【分析】（1）把 、 分别代入代入函数解析式即可把下表补充完整；描点、连线即可得到函数的
图象；
（2）函数图象关于 轴对称；函数有最小值 ．
（3）把 ， 代入 求得 的值，根据函数的图象即可得到符合题意的 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ．
当 时， ．
如图所示：
；
（2）由图象可知：①函数图象关于 轴对称；
②函数有最小值 ；
故答案为：函数图象关于 轴对称；函数有最小值 ．
（3）把 代入 得， ，解得 ，把 代入 得， ，解得 ，
根据函数图象，直线 ， 与函数 的图象至少有3个交点，则 的取
值范围为 ，
故答案为 ．
