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专题 2.40 二次函数背景下周长最值问题（专项练习）
1．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的
坐标为（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作
x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值．
2．如图，抛物线y=﹣（x﹣2）2+m+4与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）请问：在此抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得△MAC的周长有最小值？如果存在，
请你求出点M的坐标；如果不存在，请你说明理由！
（3）若点P是y轴上的一点，且满足△PAC是等腰△，请你直接写出满足条件的点P坐标．
3.已知：二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的
坐标；若不存在，那个说明理由．
4．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与坐标轴交于 、 、 三点，且 点的坐
标为 .
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于 轴上方部分有两个动点 、 ，且点 在点 的左侧，过 、
作 轴的垂线交 轴于点 、 两点，当四边形 为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）在（2）中的矩形周长最大时，连接 ，已知点 是 轴上一动点，过点 作 轴，
交直线 于点 ，是否存在这样的点 ，使直线 把 分成面积为 的两部分；若存在，
求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.
备用图5．如图，二次函数 的图像交 轴于 两点，并经过 点，已知 点坐标是
， 点坐标是 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数图像的顶点坐标及 点的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？若 点存在，求出 点的
坐标，若 点不存在，请说明理由．
6．如图，二次函数y＝ x2+bx+c的图像交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是
（2，0），B点坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数图像的顶点坐标及D点的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的
坐标；若C点不存在，请说明理由．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0）．
（1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；
（2）二次函数的图像经过点B（m，e），C（3﹣m，e）且对任意实数x，函数值y都不小于
﹣ ．
①求此时二次函数的解析式；
②若次函数与y轴交于点D，在对称轴上存在一点P，使得PA+PD有最小值，求点P坐标及
PA+PD的最小值．
8．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点 A、点B，交 y 轴于点 C．
（1）求直线 BC的函数表达式；
（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大
时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 轴上是否存在一点M使△CPM的周长最小，若存直接写出周长的
最小值；若不存在，请说明理由.
9．已知抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ，
为顶点，点 关于直线 的对称点为 ．
（1）如图①，若点 是对称轴上的动点，当 取得最小值时，求点 的坐标．（2）如图②，连接 ，点 是 轴上一动点，求 周长的最小值；
（3）如图③，点 是 轴上的动点，点 是 轴上的动点，是否存在点 、 ，使四边形
的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像的顶点为点 ，与 轴交于点 ，
与 轴交于 ， 两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点 是 轴上一动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；(3)如图，若点 是该抛物线上一点， 是直线 下方抛物线上的一动点，点 到直线
的距离为 ，求 的最大值．
11．已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，
且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并
与直线OA交于点C.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大
值及此时P点的坐标；
(3)当PC＝CO时，求P点坐标．
12．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c
的图像交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图像于点D，求线段ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图像的顶点，点M(4，m)是该二次函数图像上一点，在x轴，
y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．
13．如图，一次函数 的图像与二次函数 的图像交于坐标轴上的 两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上一点，过点 分别作 轴 轴平行线分别交直线 于点 和
点 ，设点 的横坐标为 ，请用含 的代数式表示 的周长，并求出当
的周长取得最大值(不需要求出此最大值)时点 的坐标；
（3）点 是直线 上一点，点 是抛物线上一点，在第二问 的周长取得最大值的条件
下，请直接写出使以点 为顶点的四边形是平行四边形的点 的坐标．
14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交
于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出△ANM周长的最小
值；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线的图像过点C（0，1），顶点为Q（2，3）,点D在x轴正半轴上，线段
OD=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M
点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，,连接QE.若点P
是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周
长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
16．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，
3）．（1）求此二次函数的解析式
（2）设此二次函数的对称轴为直线 l，该图像上的点 P（m，n）在第三象限， 其关于直线 1
的对称点为 M，点 M 关于 y 轴的对称点为 N，若四边形 OAPN 的面积为 20，求 m，n 的值；
（3）在对称轴直线 l 上是否存在一点 D，使△ADC 的周长最短，如果存在，求出点 D 的坐标；
如果不存在，请说明理由．
17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图像与坐标轴交于B、C、D三点，点B的坐标为(﹣1，
0)．且OC＝OD＝3OB．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧且MN∥x轴，
过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，求该四边形MNHG周长的最大值；
（3）当四边形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图像上找到一点P，使 PNC的面积是四
边形MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图像，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求出图像与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标．
19．如图，已知抛物线 过点 ，过定点 的直线 : 与抛物线
交于 、 两点，点 在点 的右侧，过点 作 轴的垂线，垂足为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 在x轴上运动，连接 ，作 的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点 ，
判断点 是否在抛物线 上，并证明你的判断；
（3）若 ，设 的中点为 ，抛物线上是否存在点 ，使得 周长最小，若存在求出
周长的最小值，若不存在说明理由；
（4）若 ，在抛物线上是否存在点 ，使得 的面积为 ，若存在求出
点 的坐标，若不存在说明理由．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，
请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐
标为 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x
轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图像上找到一点P，使 的面积是矩形
MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知二次函数图像的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点
的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图像位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作
x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图像上找到一点P，使△PNC的面积是矩形
MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，二次函数 的图像经过点 ，直线 与 轴交于
点 为二次函数图像上任一点．
求这个二次函数的解析式；
若点 是直线 上方抛物线上一点，过 分别作 和 轴的垂线，交直线 于不同的两
点 在 的左侧)，求 周长的最大值；
是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形？如果存在，求点 的坐标；如
果不存在，请说明理由．24．知识储备
在求二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值时，除了通过观察图像，还可以通过配方得到．把
二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的右边配方，得
y＝ax2+bx+c
＝a（x2+ x）+c
＝a[x2+2• x+（ ）2﹣（ ）2]+c
＝a（x+ ）2+
∵a（x+ ）2≥0，
∴当x＝﹣ 时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值为 ．
解决问题
（1）请你通过配方求函数y＝x2+ 的最小值．
（2）你能否通过配方求函数y＝x+ （x＞0）的最小值．
数学模型
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多
少？
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数
的图像抛物线经过A、C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边
形DEFG周长的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使△ODP的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
26．在平面直角坐标系中，以点 为圆心的圆与 轴相交于 、 两点，与 轴相切于
点 ，抛物线 经过点 、 、 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 为 轴上一点，连接 ， ，是否存在点 使得 的周长最小？若存在，求
出点 的坐标及 的周长最小值；若不存在，请说明理由．
27．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于 ， 两点，与 轴交于点
．
（1）请求出该二次函数的表达式．（2）请求出图像的对称轴和顶点坐标
（3）在二次函数图像的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小?若存在，请求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
28．如图是二次函数 的图像，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图像与 轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图像上是否存在点P，使 ,若存在，求出P点的坐标；若
不存在，请说明理由；
（3）在y轴上存在一点Q,使得△QMB周长最小，求出Q点坐标．
28．如图，已知二次函数y＝－ x2＋4x－6．
（1）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）设二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出
△PAD的周长；若不存在，请说明理由．30．如图1，已知二次函数y=mx2+3mx﹣ m的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y=﹣ x﹣ 对称．
（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；
（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线1于点E，若点P是直线AD上的一动
点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，
请说明理由：
（3）将二次函数图像向右平移 个单位，再向上平移3 个单位，平移后的二次函数图像上存
在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F坐标；
若不存在，请说明理由．
31．已知，如图，二次函数 （ ）图像的顶点为 ，与 轴交于 、 两点
（ 在 点右侧），点 ， 关于直线 对称.（1） 坐标为 ； 坐标为： ； 坐标为 ；
（2）求二次函数解析式；
（3）在直线 上是否存在一点 ，使得 最大？若不存在，请说明理由：若存在，请
求出此时 的面积；
（4）过点 作直线 交直线 于 点， ， 分别为直线 和直线 上的两个动点，
连接 、 、 ，求 和的最小值.
32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴
上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数
的图像经过A、C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连结D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形
DEFG周长的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．参考答案
1．（1）y=－ ；（2）周长最大值为10
【分析】
（1）设二次函数表达式为：y＝a（x−1）2＋4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），根据对称性得到点N（2−x，−x2＋2x＋3），再表示出矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，即可求解．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为y= ，
把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，
解得a=－1，
∴y=－ =－ ；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），
∵二次函数对称轴为x=1，
∴点N（2−x，−x2＋2x＋3），
则MN＝x−2＋x＝2x−2，GM＝−x2＋2x＋3，
矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，
∵−2＜0，故当x＝− ＝2，C有最大值，最大值为10，
故该矩形周长的最大值为10．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段
之间的关系．
2．（1）m=﹣3；（2）存在点M（2，﹣1），使得△MAC的周长最小；（3）P点坐标为P
（0，3）或（0， ﹣3）或（0， ）或（0，﹣3﹣ ）．
【解析】
【分析】
（1）把点A（1，0）代入解析式中，解方程求出m的值即可；（2）先求出二次函数的对称轴和
C点、B点坐标，根据二次函数的对称性可知M点在BC与对称轴的交点时△AMC的周长周长最
小，根据B、C两点的坐标求出BC的解析式，根据对称轴求出M点坐标即可.（3）先根据A、C
两点求出AC的长，再分AC为腰，AC为底边的情况列方程求出P点坐标即可.
【详解】
（1）把点A（1，0）代入解析式中得﹣（1﹣2）2+m+4=0，
解得m=﹣3；
（2）存在点M，使得△MAC的周长最小．抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，抛物线的对称轴是直线x=2
令x=0时，y=﹣3，则点C的坐标为（0，﹣3），
令y=0时，﹣（x﹣2）2+1=0，解得：x=3，x=1
1 2
∴A（1，0）、B（3，0），
连接BC交对称轴于点M，如图，
∵点A与点B关于直线x=2对称，
∴MA=MB，
∴MA+MC=MB+MC=BC，
∴此时MA+MC的值最小，
而线段AC是定长，
∴此时△MAC的周长有最小值，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 ，解得k=1，b=﹣3
∴直线BC的解析式是y=x﹣3
∵当x=2时，y=﹣1
∴点M的坐标为（2，﹣1）；
（3）∵A（1，0），C（0，﹣3），
∴AC= = ，
当CP=CA= 时，P点坐标为（0， ﹣3）或（0，﹣3﹣ ）；
当AP=AC时，P点与C点关于x轴对称，P点坐标为（0，3）；
当PA=PC时，设P（0，t），则12+t2=（t+3）2，解得t=﹣ ，P点坐标为（0，﹣ ），
综上所述，P点坐标为P（0，3）或（0， ﹣3）或（0，- ）或（0，﹣3﹣ ）．【点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的对称轴、二次函数的对称性及与坐标轴
交点的计算是解题关键.
3．（1）A（﹣2，0），B（6，0）；（2）y＝﹣ x2+2x+6，抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标
为（2，8）；（3）P（2，4）．
【分析】
（1）解一元二次方程x2-4x-12=0，求出点A和点B的横坐标，进而得到答案；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程组，求出a和b的
值即可，进而求出顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，求出
C′坐标，求出直线AC′解析式，进而求出点P的坐标．
【详解】
（1）解方程x2﹣4x﹣12＝0得x＝﹣2，x＝6，
1 2
即A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y＝ax2+bx+6，
得到 ，
解得 ，
即y＝﹣ x2+2x+6，
由于y＝﹣ x2+2x+6＝- （x﹣2）2+8，
即抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，8）；
（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接
CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），
设直线AC′解析式为y＝kx+n，则 ，
解得 ，
∴y＝x+2，
当x＝2时，y＝4，
即P（2，4）．
【点拨】本题主考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式和一次函数
解析式、解一元二次方程以及轴对称轴的性质，解答本题的关键是作出点C关于抛物线对称轴的
对称点C′，此题难度不大．
4．（1） ；（2）20；（3）存在；点 的坐标为 或
【分析】
（1）二次函数表达式为： ，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）设点 的坐标为 ，则 的坐标为 , 的坐标为 ,从而求得
; ，所以矩形MNHG的周长
，即可求解；
（3）当矩形周长取得最大值时， ，从而求出 的值，然后求出直线 的解析式，设点
坐标为 ，分当 的面积是 面积的 时；当 的面积是 面积的时两种情况分别列出方程，求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）设二次函数的解析式为
二次函数图像的顶点坐标为
又 图像经过点
解得：
二次函数的解析式为
（2） 四边形 为矩形，
关于直线 对称
设点 的坐标为 ，则 的坐标为
的坐标为
;
矩形 的周长
当 时，
矩形周长的最大值为20.
（3）存在，理由如下：
当矩形周长取得最大值时，
，对称轴为直线设直线 的解析式为
将 代入上式得：
，解得
设点 坐标为
①当 的面积是 面积的 时，
解得： ； （舍去）
②当 的面积是 面积的 时，
解得： ； （舍去）
综上所述，点 的坐标为 或
【点拨】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利
用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出
线段之间的关系．
5．（1）
（2）(4,−2)，(6,0)
（3）存在，C(4,2)【分析】
（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；
（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；
（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴
对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B
三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．
【详解】
（1）把A(2，0)，B(8，6)代入 ，得
解得
∴二次函数的解析式为
故答案为：
（2）由 得二次函数图像的顶点坐标为(4，−2)
令y=0，得
解得：x=2，x=6，
1 2
∴D点的坐标为(6，0)．
故答案为：(4，−2)，(6，0)
（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．
连接CA，如图，∵点C在二次函数的对称轴x=4上，
∴x =4，CA=CD，
C
∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，
根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，此时，由于BD
是定值，因此△CBD的周长最小．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A(2，0)、B(8，6)代入y=mx+n，得
解得
∴直线AB的解析式为y=x−2
当x=4时，y=4−2=2，
∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为(4，2)时，△CBD的周长最小．
故答案为：存在，C(4，2)
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，会将二次函数一般式化为顶点式，表示
出顶点坐标，本题是抛物线动点问题的综合题型，在求线段和最短的时候，“两点之间，线段最
短”是经常会被用到的知识点．
6．（1）y= x2﹣4x+6；（2）D点的坐标为（6，0）；（3）存在．当点C的坐标为（4，2）时，
△CBD的周长最小
【分析】
（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；
（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴
对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B
三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．
【详解】
（1）把A（2，0），B（8，6）代入 ，得
解得：
∴二次函数的解析式为 ；
（2）由 ，得
二次函数图像的顶点坐标为（4，﹣2）．
令y=0，得 ，
解得：x=2，x=6，
1 2
∴D点的坐标为（6，0）；
（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得 的周长最小．
连接CA，如图，
∵点C在二次函数的对称轴x=4上，
∴x =4，CA=CD，
C
∴ 的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，
根据“两点之间，线段最短”，可得
当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，
此时，由于BD是定值，因此 的周长最小．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得解得：
∴直线AB的解析式为y=x﹣2．
当x=4时，y=4﹣2=2，
∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时， 的周长最小．
【点拨】本题考查了（1）二次函数综合题；（2）待定系数法求一次函数解析式；（3）二次函
数的性质；（4）待定系数法求二次函数解析式；（5）线段的性质：（6）两点之间线段最短．
7．（1）y＝（x+1）2-4，当x＝-1时，y最小值为-4；（2）①y＝x2﹣3x+2，②存在，P（ ，
），2
【分析】
（1）利用待定系数法以及配方法即可解决问题．
（2）①首先求出b、c（用a表示），想办法列出不等式即可解决问题．
②根据解析式求得对称轴，然后根据对称性求得A的对称点的坐标，连接A′D交抛物线的对称轴
与点P．此时PA+PD＝A′D，则PA+PD最小．
【详解】
解：（1）将b＝2，c＝﹣3代入得：y＝ax2+2x﹣3．
将点A（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3，得a+2﹣3＝0，
∴a＝1．
∴y＝x2+2x﹣3，
∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，y最小值为﹣4．
（2）①由题意可知：对称轴 ．
∴ ，
∴b＝﹣3a，又∵a+b+c＝0，
∴c＝2a，
∴y＝ax2﹣3ax+2a
顶点纵坐标为 ，
∵函数值y不小于 ﹣
∴a＞0，且 ，
∴a2﹣2a+1≤0，
∴（a﹣1）2≤0，
∵（a﹣1）2≥0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；
②如图所示：求得A关于对称轴的对称点A′的坐标，连接A′D交抛物线的对称轴与点P．此时PA+PD＝A′D，
则PA+PD最小，
∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣ ）2﹣ ，
∴对称轴为直线x＝ ，
∴A关于对称轴的对称点A′（2，0），
由y＝x2﹣3x+2可知D（0，2），
设直线A′D的解析式为y＝kx+n，
∴ 解得
∴直线A′D的解析式为y＝﹣x+2，
把x＝ 代入得，y＝ ，
∴P（ ， ），
∵ ，
∴PA+PD的最小值为2
【点拨】本题考查待定系数法、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，学会利用参数解决问题．
8．（1）y= + （2）（ ， ）（3）
【解析】
试题分析：（1）先求出B、C的坐标，进而求出直线BC的解析式；
（2）设D（m， ），设P（m， + ），得到DP= =
，得到当m= ，时，DP有最大值，又由 DP = DP
得到当DP最大时， 最大，从而得到P的坐标．（3）作C关于x轴的对称点C′，则C′（0， ），连结PC′交x轴于点M，连结CM，则
△CPM的周长最小，△CPM的周长=CP+CM+PM=CP+PC′，再用两点间距离公式即可求出答案．
试题解析：解：（1）由题意可得：B（3，0），C（0， ），∴直线BC的解析式为y= +
；
（2）∵DP//y轴，点D在抛物线 上，∴可设D（m，
），又点P在直线BC上，∴可设P（m， + ），∴DP=（ ）-（
+ ）= =
∴当m= ，时，DP有最大值，又∵ DP = DP
∴当DP最大时， 最大，∴P（ ， ）．
（3）△CPM的周长存在最小值为 ．解答如下：
作C关于x轴的对称点C′，则C′（0， ），连结PC′交x轴于点M，连结CM，则△CPM
的周长最小，△CPM的周长=CP+CM+PM=CP+PC′=
= ．
点睛：本题是二次函数的综合题，用到了求二次函数的最值和“将军饮马”问题．难度不大．
9．（1） ；（2） ；（3）存在，
【分析】
（1）如图①，连接 ，交抛物线对称轴于点 ，点 即为所求．（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，过点 作 轴于点
，求出 即可得到结论；
（3）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点 ，作点E关于x轴的对称点 ，
得出四边形DNME的周长最小为： +DE，进而利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图①，连接 ，交抛物线对称轴于点 ，点 即为所求，连接 ．
∵抛物线 ，
∴ ， ，抛物线对称轴为直线 ．
∵点 ，点 关于直线 对称，
∴ ．
∴ ．
∴此时 取得最小值 ．
设直线 的解析式为：y=kx+b，则有 ，
解得， ，
所以，直线 的解析式 ．
当 时， ，
∴ ；（2）如解图②，∵ 为定值，
∴当 的值最小时， 的周长最小．
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，
由抛物线解析式可知 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵点 ， 关于 轴对称，
∴ ．
∴ ．
∴此时 取得最小值．
∵ ，∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 周长的最小值 ；（3）存在，如解图③，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与
轴、 轴的交点即为点 、 ，连接 ， ， ，延长 ， 交于点 ．
∵点 ， 关于 轴对称，点 ， 关于 轴对称，
∴ ， ．
∴四边形 的周长为 ．
由两点之间线段最短，可知此时四边形 取得最小值．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．∴四边形 周长的最小值为 ．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数
形结合是解题关键．
10．(1) ；(2) （ ，0）； (3)
【分析】
(1) 把A(-1，0)，B(3，0)代入 ，利用待定系数法即可求解；
(2)作点C关于x轴的对称点F，连接DF交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，由点C的
坐标可得出点F的坐标，由点D，F的坐标，利用待定系数法可求出直线DF的解析式，再利用
一次函数图像上点的坐标特征可求出点P的坐标；
(3)过点E作y轴的平行线与AG交于点Q，求得S =S +S = ，得到
△AEG △AEQ △GEQ
△AEG的面积最大为 ，即可求得 的最大值．
【详解】
(1)把A(-1，0)，B(3，0)代入 得：
，
解得： ，∴二次函数的解析式为 ；
(2) ∵ ，
∴顶点为点 (1，-4)，
当 时， ，
∴点 的坐标为(0，-3)，
作点C关于x轴的对称点F，连接DF交 轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图．
∵点C的坐标为（0，-3），
∴点F的坐标为（0，3）．
设直线DF的解析式为 ，
将D（1，-4），F（0，3）代入 ，得：
，解得 ，
∴直线DF的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为（ ，0）；
(3)过点E作y轴的平行线与AG交于点Q，当 时， ，
∴点G的坐标为（2，-3），
设直线AG的解析式为 ，
将A（-1，0），G（2，-3）代入 ，得：
，解得 ，
∴直线AG的解析式为 ；
设E（ ， ），则Q（ ， ），
∴EQ ；
∴S ＝S +S = ( )×3= ，
△AEG △AEQ △GEQ
当x= 时，△AEG的面积最大为 ，
∵AG= = ，
E到AG的最大距离为 ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，二次函数的性质，三角形的面
积问题，轴对称的性质等．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．11．(1)B (4，0)，A (3，3); （2）△PCE周长的最大值为4＋2 ，P (1，3)；（3）P
点坐标为(3－ ，1＋2 )或(3＋ ，1－2 ).
【分析】
（1）令y=0,得－x2＋4x＝0，解方程即可得到点B的坐标，设点A坐标为(x，x)，把
A(x，x)代入y＝－x2＋4x中得：x＝－x2＋4x，解方程即可得出点A的坐标；
（2）根据题意画出图形，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，再求得PC＝－x2＋3x，由
等腰三角形的性质得，当PC取最大值时，△PCE周长最大，进而求得当x＝1时，
PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，从而得出△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；
（3）当点P在点C上方时和当点P在点C下方时分别讨论分析.
【详解】
解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，
解得x ＝0，x ＝4.
1 2
∴点B坐标为(4，0)，
设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，
x＝－x2＋4x，
解得x ＝3，x ＝0(舍去)，
1 2
∴点A的坐标为(3，3);
（2）如图，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，
∵点A坐标为(3，3)；
∴∠AOB＝45°，∴OD＝CD＝x，
∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，
∵PE∥x轴，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．
∵PE与线段OA相交，
∴0≤x≤1，
由PC＝－x2＋3x＝－(x－ )2＋ 可知，抛物线的对称轴为直线x＝ ，且在对称轴
左侧PC随x的增大而增大，
∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，
∴PE＝2，CE＝2 ，
∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋2 ，
∴△PCE周长的最大值为4＋2 ，
把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，
∴点P的坐标为(1，3)；
（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图，
①当点P在点C上方时，P C ＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC ＝ x，
1 1 1∵P C ＝OC ，
1 1 1
∴－x2＋3x＝ x，
解得x ＝3－ ，x ＝0(舍去)．
1 2
把x＝3－ 代入y＝－x2＋4x得，
y＝－(3－ )2＋4(3－ )＝1＋2 ，
∴P (3－ ，1＋2 )，
1
②当点P在点C下方时，P C ＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC ＝ x，
2 2 2
∵P C ＝OC ，
2 2 2
∴x2－3x＝ x，
解得x ＝3＋ ，x ＝0(舍去)，
1 2
把x＝3＋ 代入y＝－x2＋4x，
得y＝－(3＋ )2＋4(3＋ )＝1－2 ，
∴P (3＋ ，1－2 )．
2
综上所述，P点坐标为(3－ ，1＋2 )或(3＋ ，1－2 )．
【点拨】二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、一元二次方
程等知识．
12．(1) y＝－x2＋4x＋5；(2) ;(3) F ( ，0)，E(0， )．
【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系
数法可求二次函数的表达式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一
次函数BC的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标
为D（n，-n2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，
9）关于y轴的对称点H，可得点H 的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM，可得点M
1 1 1 1
的坐标连结HM 分别交x轴于点F，y轴于点E，可得HM+HM的长度是四边形HEFM的最小
1 1 1 1
周长，再根据待定系数法可求直线HM 解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．
1 1
【详解】
解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A(－1，0)，C(0，5)，
∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图像过A，C两点，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；
(2)如解图①，
第2题解图①
∵点B是二次函数的图像与x轴的交点，
∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，
∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，
∴ ，
解得 ，
∴直线BC解析式为y＝－x＋5，
设ND的长为d，N点的横坐标为n，
则N点的坐标为(n，－n＋5)，
D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，
则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，
由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，
∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－ )2＋ ，
∴当n＝ 时，线段ND长度的最大值是 ；
（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，
∴m＝5，∴M(4，5)．
∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，
∴顶点坐标为H(2，9)，
如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H ，则点H 的坐标为H (－2，9)；作点
1 1 1
M(4，5)关于x轴的对称点M ，则点M 的坐标为M (4，－5)，连接H M 分别交x轴
1 1 1 1 1
于点F，y轴于点E，∴H M ＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E
1 1
即为所求的点．设直线H M 的函数表达式为y＝mx＋n，
1 1
∵直线H M 过点H (－2，9)，M (4，－5)，
1 1 1 1
∴ ，
解得 ，
∴y＝－ x＋ ，
∴当x＝0时，y＝ ，即点E坐标为(0， )，
当y＝0时，x＝ ，即点F坐标为( ，0)，
故所求点F，E的坐标分别为( ，0)，(0， )．
【点拨】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，待定系数法求一次
函数的表达式，待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的顶点坐标，两点间的距离公式，二
次函数的最值，轴对称-最短路线问题，方程思想的应用，综合性较强
13．（1） ；（2）周长 ， ；（3）点 的坐标为
或【分析】
（1）先利用一次函数解析式，求出A，B坐标，再代入 ，求出b，c即可得到二
次函数解析式；
（2）设点 ，可得出PQ的表达式，易证 为等腰直
角三角形，即可得出 ，再利用二次函数的性质可得出
周长最大时M的坐标；
（3）设 ， ，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分别讨论PC，
PQ，PD为对角线，建立方程求解．
【详解】
解：（1）令 中 为0得y=4，则 ，
令y=0，得 ，解得 ，则
分别将点 的坐标代人到 ，
得 ，解得
∴二次函数的解析式为 ．
（2）由题意设点 ，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，即 为等腰直角三角形．
设 的周长为 ，则 ，即 ．
当 时， 的周长取得最大值，
将 代入到 中可得， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）设 ， ，
在（2）的条件下P点坐标为 ，Q点坐标为
①当PC为对角线时，
，解得
此时C 与Q点重合，不符合题意，舍去；
②当PQ为对角线时，
，解得
此时C 与Q点重合，不符合题意，舍去；
③当PD为对角线时，
，解得 或
当 时， ，即当 时， ，即
综上，点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合问题，（2）题的关键是建立周长与P点横坐标m之间的函数
关系式，（3）题的关键是利用平行四边形对角线互相平分建立方程．
14．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）△APC的面积最大值为 ；（3）存在，△ANM周
长的最小值为 + ．
【分析】
（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）过点P作PE//y轴，交直线AC于点F，设点P的坐标为(x，-x2-2x+3)，则点F的坐标为
(x，-x+1)，进而可得出PF的值，利用三角形的面积公式可得出△APC的面积解析式，再利用二
次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）先求出点N的坐标，可判断点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称
轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图像上点的坐标特征求出点M
的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求解即可．
【详解】
解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y＝kx+n，得：
，
解得：k=-1，n=1，
即直线AC的解析式为y＝﹣x+1；
（2）过点P作PF//y轴交直线AC于点F，设点P(x，﹣x2﹣2x+3)，则点F(x，﹣x+1)，(﹣2＜x＜1＝
∴PF＝﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)＝﹣x2﹣x+2．
∴S ＝ (x －x )·PF
△APC A C
＝﹣ x2﹣ x+3
＝﹣ (x+ )2+ ．
∴当x＝﹣ 时，△APC的面积取最大值，最大值为 ．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为(0，3)．
由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，
得：抛物线的对称轴为x＝﹣1．
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称，
设直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
此时△ANM周长有最小值．
∵A(1，0)，C(﹣2，3)，N(0，3)，由勾股定理得：AC＝ ，AN＝ ，
∴C ＝AM+MN+AN＝AC+AN＝ + ．
△ANM
∴△ANM周长的最小值为 + ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图
像上点的坐标特征、一次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、轴对称的性质、三角形的
面积以及周长，解题的关键是：（1）熟练掌握待定系数法；（2）求出△APC的面积解析式；
（3）利用二次函数图像的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．
15．（1） ；(2)符合题意的Ｍ有三点，分别是(2，3)，( ， )，( ，
)；(3)存在，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2 ．
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3. 将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）①C为直角顶点时，作CM⊥CD，CM交抛物线与点M，先求得直线CD的解析式，然后再
求得直线CM的解析式，然后求得CM与抛物线的交点坐标即可；②D为直角顶点坐标时，作
DM⊥CD，先求得直线CM的解析式，然后将直线CM与抛物线的交点坐标求出即可；
（3）存在；作点C关于直线QE的对称点C/，作点C关于x轴的对称点C//，连接C/C//，交QE于
点P，则△PCE即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE的周长等于线
段C/C//的长度，然后过点C/作C/N⊥y轴，然后依据勾股定理求得C/C//的长即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为
将C（0，1）代入得：
解得: ，
∴ ；
(2)①C为直角顶点时，如图①：CM⊥CD，设直线CD为 ，
∵OD=OC，
∴OD=1，
∴D(1，0)，
把D(1,0)代入 得: ，
∴
∵CM⊥CD,
∴易得直线CM为: ，
则： ，
解之得M(2，3)，恰好与Q点重合；
②D为直角顶点时：
如图②，易得：直线ＤＭ为 ，则： ，
则Ｍ为( ， )或( ， )；
综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )，( ， )，( ， )．
(3)在．
如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD
于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，
△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，
连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图④所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= =2 ．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2 ．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析
式，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1是解答问题（2）的关键，利用轴对称的性
质将三角形的周长转化为线段C/C//的长是解答问题（3）的关键．
16．（1）y=﹣x2﹣4x；（2）m 的值为﹣5，n 的值为﹣5；（3）在对称轴直线 l 上存在一点
D，使△ADC 的周长最短，点 D 的坐标为（﹣2， 2）．
【分析】
(1)根据点 A、B、C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
(2)利用配方法找出二次函数的对称轴，由点 P 的坐标可得出点 M、N 的坐标，利用梯形的面
积公式结合四边形 OAPN 的面积为 20，可求出 n 值，再利用二次函数图像上点的坐标特征可
求出 m 的值；
(3)连接 AB，交直线 l 于点 D，利用两点之间线段最短可得出点 D 即为所求， 根据点 A、B
的坐标，利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点 D 的坐标．
【详解】
解：（1）将 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）、C（﹣3，3）代入 y=ax2+bx+c 中，
得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣4x．
（2）∵二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+4，
∴二次函数的对称轴为直线 x=﹣2．
∵点 P（m，n）关于直线 1 的对称点为 M，点 M 关于 y 轴的对称点为 N，
∴点 M（﹣4﹣m，n），点 N（m+4，n）（如图 1），
∴S 四边形 OAPN= （OA+PN）•|n|= （4+4）|n|=20， 解得：n=5，n=﹣5．
1 2
∵点 P（m，n）在第三象限，
∴n=﹣5，
∴﹣m2﹣4m=﹣5，
解得：m=﹣5，m=1（舍去）．
1 2
∴m 的值为﹣5，n 的值为﹣5．
（3）∵AC 的值为定值，
∴要使△ADC 的周长最短，则 AD+CD 的值最小．
连接 AB，交直线 l 于点 D，则 BD=CD，此时由两点之间线段最短可得知，点 D
即为所求（如图 2）．
设直线 AB 的解析式为 y=kx+d（k≠0），
将 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入 y=kx+d 中，
得： ，解得： ，
∴直线 AB 的解析式为 y=x+4， 当 x=﹣2 时，y=x+4=2，
∴点 D 的坐标为（﹣2，2）．
∴在对称轴直线 l 上存在一点 D，使△ADC 的周长最短，点 D 的坐标为（﹣2， 2）．【点拨】考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图像上点的坐标特征、
轴对称中的最短路径问题以及梯形的面积，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法
求出二次函数解析式；（2）利用梯形的面积求出 n 值；（3）利用抛物线的对称性确定点 D 的
位置．
17．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）10；（3）存在， 或 或
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由l＝2MN+2MG＝ ，即可求解；
（3）△PNC的面积＝ ×CD•d，△PNC的面积是四边形MNHG面积的 ，解得PF＝ ，进而
求解．
【详解】
（1）∵点B的坐标为（﹣1，0），OC＝OD＝3OB＝3，
∴点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C、D的坐标代入抛物线表达式得：
，解得 ，故抛物线的表达式为 ；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，
故点N的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x+3），
设四边形MNHG周长为l，
则l＝2MN+2MG＝ ，
∵﹣2＜0，故l存在最大值，
当x＝2时，l的最大值为10；
（3）存在，理由：
由（2）知，x＝2时，点N的坐标为（0，3），
即点N、D重合（以下用点D代替点N），如下图，
则点M的坐标为（2，3），则四边形MNHG面积为2×3＝6，
连接CD，过点P作y轴的平行线交CD于点F，过点P作PE⊥CD于点E，
∵OC＝OD，则∠OCD＝∠ODC＝45°，则∠EPF＝45°，
故PF＝ PE，设PE＝d，
由C、D的坐标得，CD＝3 ，则△PNC的面积＝ ×CD•d，
∵△PNC的面积是四边形MNHG面积的 ，
∴ ×3 •d＝6× ，即 ×3 • ＝6× ，
解得PF＝ ，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为 ，
设点P的坐标为 ，则点F ，
则 ＝ ，
解得： 或 或 ，
故点P的横坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，构造新的二次函数，求二次函数的最值，
一元二次方程与二次函数的关系，正确的求解计算是解题关键．
18．（1）A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（2）满足条件的Q点的坐标为（0，﹣
）．
【分析】
（1） 已知顶点坐标代入解析式，再求得y=0时的x值即可确定点A、B的坐标.
（2）△QMB的周长=QM+QB+MB,而线段MB长度为确定值，所以只需确定QM+QB的和最小
即可，做点B关于y轴的对称点C，连接CM与y轴交点即为点Q，求得直线CM与y轴交点坐
标即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）．
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3，x＝﹣1，
1 2
∴A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
（2）作B点关于y轴的对称点C，如图，则C（﹣4，0），
连接MC交y轴于Q，
∵QB＝GC，
∴QM+QB＝QM+QC＝MC，
∴此时QM+QB的值最小，△QMB周长最小，
设直线MC的解析式为y＝ax+b，
把M（1，﹣4），C（﹣3，0）代入得 ，解得 ，
∴直线MC的解析式为y＝ ，
当x＝0时，y＝0 ＝﹣ ，
∴满足条件的Q点的坐标为（0，﹣3）．
【点拨】此题是二次函数的综合运用题，在（2）中涉及最短路
径问题，找到点B的对称点求得一次函数与y轴交点，正确理解题意是解题关键.
19．（1） ；（2）在，理由详见解析；（3）存在， ;（4）存在， 或
或
【分析】
（1）抛物线 过点 ，利用待定系数法即可求解；（2）设I的坐标为 ，过I作IH⊥y轴于点H，由点I在线段DF的垂直平分线上，求得
ID=IF=y，在Rt 中，利用勾股定理计算，求得得点I的坐标为 ，从而说明点
在抛物线上；
（3）先求得 的中点M的坐标为 ，作PN⊥ 轴于点N，利用(2)的结论：抛物线上的点到
点F的距离等于它到 轴的距离，当 三点共线时， 周长最小，即可求得答案；
（4）作QR⊥ 轴于点D，交AB于点R，先求得直线 的解析式和点 的坐标，利用三角形面积
公式求得 ，再求得 ，设点 的坐标为： ，则
点 的坐标为： ，则 ，解方程即可求得点 的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）在，理由如下：
设I的坐标为 ，过I作IH⊥y轴于点H，如图：
则 ， ，∵点I在线段DF的垂直平分线上，
∴ID=IF=y，
在Rt 中， ，
∴ ，
化简得： ，
∴点I 在抛物线 上；
（3）存在，理由如下：
若 ，设 的中点为 ，
，
消去y得： ，
∴点M的横坐标为： ，
纵坐标为： ，
∴点M的坐标为： ，
由(2)可知：抛物线上的点到点F的距离等于它到 轴的距离，
设抛物线上存在点P，使得 周长最小，
过点P作PN⊥ 轴于点N，如图：∵ ，
由于 是定值， ，
∴当 三点共线，即 ⊥ 轴于点N时， 周长最小，
此时点 的坐标为： ， ，
，
∴ 周长最小值为： ；
（4）存在，理由如下：
过点Q作QR⊥ 轴于点D，交AB于点R，如图，将 代入 得： ，
∴直线 的解析式为： ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为： ，
，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
设点 的坐标为： ，则点 的坐标为： ，
∴ ，
当 时，
解得： ，此时点 的坐标为： ，
当 时，即 ，
，
解得： 或 ，此时点 的坐标为： 或 ，
综上：满足条件的点 为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性
质和勾股定理，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
20．（1）抛物线的解析式为：y＝ x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣
5)；（3）存在，点E( ﹣1，﹣4 +11)或(﹣ ﹣1，4 +11)
【分析】
（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小
值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求
BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；
（3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先
求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方
程组可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣3x﹣8；
（2）△ACD周长能取得最小值，
∵点A（﹣2，0），点B（8，0），
∴对称轴为直线x＝3，
∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，
∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，
∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，
∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，
设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，
∴0＝8k﹣8，∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，
当x＝3，y＝﹣5，
∴点D（3，﹣5）；
（3）存在，
∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），
∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，
如图，
∵△ACE与△ACD面积相等，
∴DE∥AC，
∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，
∴﹣5＝﹣4×3+n，
∴n＝7，
∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，
联立方程组可得： ，
解得： ， ，
∴点E（ ﹣1，﹣4 +11）或（﹣ ﹣1，4 +11）．
【点拨】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用
待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键．
21．（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为： 或 或 ．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为： ，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长 ，即可求解；
（3） ，解得： ，即可求解．
【详解】
（1）二次函数表达式为： ，
将点B的坐标代入上式得： ，解得： ，
故函数表达式为： …①；
（2）设点M的坐标为 ，则点 ，
则 ， ，
矩形MNHG的周长 ，
∵ ，故当 ，C有最大值，最大值为10，
此时 ，点 与点D重合；
（3） 的面积是矩形MNHG面积的 ，
则 ，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即 ，
过点P作 于点K，将 、 坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为： ，
，∴ ， ，
设点 ，则点 ，
，
解得： ，
则 ，
解得： ，
故点 ，
直线n的表达式为： …②，
联立①②并解得： ，
即点 、 的坐标分别为 、 ；
故点P坐标为： 或 或 ．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（ ， ）或（ ， ）或（
， ）
【分析】
（1）将抛物线的解析式设为顶点式，然后将点B代入即可求出抛物线的解析式；
（2）由四边形MNHG为矩形知MN∥x轴，MG∥y轴，故可设出点M坐标，则矩形MNHG的周
长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函数性质即可求解；
（3）由（2）中知，D与N重合，由已知先求出S 值，连接DC，在CD得上下方等距离处作
△PNC
CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作
PK⊥CD于点K，设出点P坐标，通过推导计算，即可求解出点P的坐标.
【详解】
（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故当x＝ ＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的 ，
则S ＝ ×MN×GM＝ ×2×3＝ ，
△PNC
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n
于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3 ，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S ＝ ＝ ×PK×CD＝ ×PH×sin45°×3 ，
△PNC
解得：PH＝ ＝HG，
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝ ，
解得：x＝ ，
故点P（ ， ），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣ ＝﹣x+ …②，
联立①②并解得：x＝ ，
即点P′、P″的坐标分别为( ， ）、（ ， ）；
故点P坐标为：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）.
【点拨】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，提取有效信息，运
用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推导、探究、发现和计算.
23． ； 最大周长为 ； 或 或．
【分析】
（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）先求解 的解析式，证明 得到 利用 的坐标表示 的长度，
利用三角函数求解 的长度，建立周长与 的横坐标之间的函数关系式，利用函数的最值
求周长的最大值，
（3）分情况讨论：以 为直角顶点，利用 可直接得到答案，以 为直角顶点时，
利用 求解 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式可得答案．
【详解】
解：（1）
设抛物线为：
把 代入
（2）设直线 为
解得：
轴， 轴，
设的周长
当 时， 周长最大．
最大周长为：
（3）如图，当 时，
为抛物线与 轴的交点，当 时， 与 轴交于 点，
设 的解析式为：
解得：
为
解得：
或综上： 以 为直角边的直角三角形时，点 坐标为 或 或
．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数求图形周长的最值
问题，直角三角形的存在性问题，同时考查三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
24．（1）当x＝±1时，函数y＝x2+ 的最小值为2；（2）当x＝1时，y＝x+ （x＞0）的最小
值为2；数学模型：该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是4 ．
【分析】
(1)根据完全平方公式 ，进行配方得 ，即可得到最小值；
(2) 根据完全平方公式 ，进行配方得 ，即可得到最小值；
数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+ ）（x＞0），根据
完全平方公式 ，进行配方得到y＝2[（ ﹣ ）2+2 ]＝2（ ﹣
）2+4 ，即可求出答案．
【详解】
（1）＝
＝
∵ ，
∴当x＝±1时，函数y＝x2+ 的最小值为2；
（2）y＝x+
＝
＝（ ）2+（ ）2﹣2 +2
＝（ ﹣ ）2+2，
∵（ ﹣ ）2≥0，
∴当 ﹣ ＝0时，即x＝1时，y＝x+ （x＞0）的最小值为2；
数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+ ）（x＞0），
y＝2（x+ ）＝2[（ ﹣ ）2+2 ]＝2（ ﹣ ）2+4 ，
当 ﹣ ＝0时，即x＝ ，y有最大值4 ，
∴该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是4 ．
【点拨】本题主要考查对完全平方公式，二次函数的最值，配方法的应用，能熟练地运用学过的
性质进行计算是解本题的关键．25．(1) （2）∵四边形OABC为矩形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，
BC＝OA＝4，∴B（5，4）， ∵E为BC中点， ∴E（5，2），∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，∴∠ADO＝∠AOD＝45°，∴AD＝OA＝4，∴D（4，4），作
D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′G、E′F，
则D′（－4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，四边形DEFG的周长＝DE＋
EF＋FG＋GD＝DE＋ E′F＋FG＋ GD′≥DE＋ E′D′，根据勾股定理， ，
，∴四边形DEFG周长的最小值是 ． （3）P(4，0)
1
P(10，6) P (0，4) P (14，18)
2 3 4
【解析】
试题分析：（1）把A(0，4)、C(5，0)两点坐标代入二次函数 中，得到关于b、c
的二元一次方程组，解方程组，即可求出二次函数的解析式；（2）先求出D、E的坐标，并求出
DE的长度，作作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′G、E′F，在直角
E′BD′，E′D的长度，因为′四边形DEFG的周长＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋ E′F＋FG＋
GD′≥DE＋ E′D′，所以四边形DEFG的周长最小值为DE+ E′D′，求出DE+ E′D′的值即为四边形
DEFG周长的最小值；（3）先求出OD的长度，再根据面积求出点P到直线OD的距离，再求分
情况讨论；
试题解析：
（1）∵二次函数 的图像经过A（0，4）、C（5，0）两点，
∴ 解得
∴二次函数的解析式为 ；
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，BC＝OA＝4，
∴B（5，4），
∵E为BC中点，
∴E（5，2），∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，
∴∠ADO＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OA＝4，
∴D（4，4），
∴DE＝ ，
作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′G、E′F，如下图所示：则D′（－
4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，
∵在 E′BD′中，∠E′BD′＝90°，BD′＝5－（－4）＝9，E′B＝4－（－2）＝6，
∴E′D′＝ ，
∵四边形DEFG的周长＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋ E′F＋FG＋ GD′≥DE＋ E′D′，
∴四边形DEFG的周长最小值为DE+ E′D′，
∴四边形DEFG周长的最小值是 ；
（3）∵点D的坐标是（4，4），
∴OD＝ ，
又∵使△ODP的面积为8，
∴点P到直线OD的距离为 ，
过点O作OF⊥OD，取OF= ，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，则，∠OFG＝
90°，如图所示：∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠COF＝∠FOG＝45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直线GF的解析式为y=x-4,
把y=x-4代入 中，得 ，
解得x=4,x=10,
1 2
把x=4,x=10代入y=x-4中，得y=0,y=6,
1 2 1 2
∴P(4,0),P (10,6),
1 2
过点O作OF⊥OD，取OF= ，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，如下图所示：∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠DOA＝∠AOF＝∠GOF=45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直线GF的解析式为y=x+4,
把y=x+4代入 中，得 ，
解得x=0,x=14,
1 2
把x=0,x=14代入y=x+4中，得y=4,y=18,
1 2 1 2
∴P(0,4),P (14,18),
1 2
所以综合上述可得，P(4，0) 、 P(10，6) 、P(0，4) 、 P(14，18) ．
1 2 3 4
点睛：两点之间线段最短应用：①当点A、B在直线l两侧时，在直线l找一点到两点的距离最短
的方法(如图1所示)：连接点A与点B交l于点C，则点C即示所求的点；②点A、B在直线l同
侧时，在直线l找一点到两点的距离最短的方法(如图2所示)：作点A（或点B）关于直线l的对
称点D，连接BD两点，交直线l于点C即为所求的点；③点A、B两点在坐标系中同一象限内时，
在两坐标轴上找两点C、D，使得四边形ABCD的周长最小的方法（如图3所示）：作点A关于
y轴的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交两坐标轴于点C、D，则点C和点D即为所求的点．
26．（1） ；（2）存在． ； 的周长最小值为12．
【分析】
（1）如图①，连接 ， ， ，设抛物线对称轴交 轴于点 ，先求出 ，
， ，把这三点代入 求解即可；
（2）如图②，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 ，连接 ，此时
的周长为 ，即当点 ， ， 三点共线时，
的周长取得最小值，最小值为 的长，先求出 的周长最小值，然后求出直线 的
解析式，即可求出点M．
【详解】
（1）如图①，连接 ， ， ，设抛物线对称轴交 轴于点 ，
由题意得 ， ．
．， ， ．
把点 ， ， 代入 中，
得
解得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）存在．如图②，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 ，连接 ，此时
的周长为 ，即当点 ， ， 三点共线时，
的周长取得最小值，最小值为 的长，
点 与点 关于 轴对称，
点 的坐标为 ， ，
易得 ，
．
，
．
的周长最小值为12；设直线 的解析式为 ，
将 、 代入，
得
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
．
【点拨】本题属于二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析
式，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
27．（1） ；（2）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；（3）
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）用配方法或公式法求解即可；
（3）利用将军饮马河原理求解即可．
【详解】
解（1）将 ， 两点的坐标代入 ，
得
，解得
∴二次函数的表达式为 ．
（2）
，
∴二次函数图像的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
（3）存在．如图，作点 关于二次函数图像的对称轴的对称点 ，
连接A ，交二次函数图像的对称轴于点 ，此时△ 的周长最小．
，
∴ ．
设直线A 的表达式为 ，
则 ，
解得∴直线A 的表达式为 ．
当 时， ，即 ．
【点拨】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线的对称轴和顶点坐标，线段和最
小值问题，熟练掌握待定系数法求解析式，配方法或公式法求顶点坐标，将军饮马河原理求新都
安和的最小值是解题的关键．
28．（1）A(-1，0)B（3，0）（2）P（0，-3），Q（2，-3），Q（ ，3），Q（ ，
3）（3）Q（0，-3）.
【分析】
（1）把顶点坐标代入函数解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐
标；
（2）设点P到AB的距离为h，利用三角形的面积列式求出h，再分点P在x轴下方和上方两种
情况把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点M关于y轴的对称点M′，连接BM′与y轴的交点即
为所求的点Q，利用待定系数法求出直线BM′的函数解析式，再令x=0求解即可．
【详解】
(1)∵顶点坐标为M(1,−4)，
∴二次函数为y=(x−1)2−4，
令y=0,则(x−1)2−4=0，
解得x=−1,x=3，
1 2
∴A(−1,0),B(3,0)；
(2)设点P到AB的距离为h，∵S△ =34S ，
PAB △MAB
∴ AB⋅h= ，
解得h=3，
当点P在x轴下方时，点P的纵坐标是−3，
∴(x−1)2−4=−3，
解得x=0,x=2，
1 2
此时点P的坐标为(0,−3)或(2,−3)，
点P在x轴上方时,点P的纵坐标为3,
∴(x−1)2−4=3，
解得x1= +1,x2=− +1，
此时点P的坐标为( +1,3)或(− +1,3)，
综上所述,点P的坐标为(0,−3),(2,−3),( +1,3),(− +1,3)；
(3)如图,取点M(1,−4)关于y轴的对称点M′(−1,−4)，
连接BM′与y轴的交点即为使得△QMB周长最小的点Q，
设直线BM′的解析式为y=kx+b，
则 ，
解得 ，
∴BM′的解析式为y=x−3，
令x=0，则y=−3，
所以,点Q的坐标为P(0,−3).
29．（1） 、 、 ；（2）6；（3）存在，
【分析】
（1）求与 轴交点则令 ，求与 轴的交点则令 .
（2）根据函数解析式求得对称轴和AC的长度，根据 求解.（3） 长度固定，只需找到点 使 最小即可，找到点 关于 轴的对称点 ，连接
，则 与 轴的交点即是点 的位置.
【详解】
（1） 、 、
（2）对称轴： ，则
∴ ，
．
（3）存在．（ 长度固定，只需找到点 使 最小即可，找到点 关于 轴的对称点 ，
连接 ，则 与 轴的交点即是点 的位置．）
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 周长最小值 ．
【点拨】本题考查二次函数的运用，掌握二次函数的性质，拿出交点坐标和对称轴，结合题意，
通过分析可解.
30．（1）A（﹣ ，0），B（ ，0）；抛物线解析式y= x2+ x﹣ ；（2）
12；（3）（0， ），（0，﹣ ）
【分析】
（1）在y=mx2+3mx﹣ m中令y=0，解方程求得x的值即可求得A、B的坐标，继而根据已知求出点D的坐标，把点D坐标代入函数解析式y=mx2+3mx﹣ m利用待定系数法求得m即可得
函数解析式；
（2）先求出直线AD解析式，再根据直线BE∥AD，求得直线BE解析式，继而可得点E坐标，
如图2，作点P关于AE 的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'，根据对称性可得PQ=P'Q，
PE=EP'=P'E'，从而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，可知当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最
小，即DQ+PQ+PE最小值为DE'，根据D、E'坐标即可求得答案；
（3）分情况进行讨论即可得答案.
【详解】
（1）∵令y=0，
∴0=m x2+3mx﹣ m，
∴x= ，x=﹣ ，
1 2
∴A（﹣ ，0），B（ ，0），
∴顶点D的横坐标为﹣ ，
∵直线y=﹣ x﹣ 与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y=﹣ x﹣ 对称，
∴∠DAB=60°，且D点横坐标为﹣ ，
∴D（﹣ ，﹣3 ），
∴﹣3 = m﹣ m﹣ m，
∴m= ，
∴抛物线解析式y= x2+ x﹣ ；
（2）∵A（﹣ ，0），D（﹣ ，﹣3 ），∴直线AD解析式y=﹣ x﹣ ，
∵直线BE∥AD，
∴直线BE解析式y=﹣ x+ ，
∴﹣ x﹣ =﹣ x+ ，
∴x= ，
∴E（ ，﹣3 ），
如图2，作点P关于AE 的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'，
根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，
∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，
∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，
即DQ+PQ+PE最小值为DE'，
∵D（﹣ ，﹣3 ），E'（ ，3 ），
∴DE'=12，
∴DQ+PQ+PE最小值为12；
（3）∵抛物线y= （x+ ）2﹣3 图像向右平移 个单位，再向上平移3 个单位，∴平移后解析式y= x2，
当x=3时，y=3 ，
∴M （3，3 ），
如图3
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，则∠EAM=45°，
直线AE交y轴于F点，作MG⊥x轴，EH⊥MG，则△EHM≌△AMG，
∵A（﹣ ，0），M（3，3 ），
∴E（3﹣3 ，3 + ），
∴直线AE解析式：y= x+ ，
∴F（0， ），
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，
同理可得：F（0，﹣ ）.
【点拨】本题考查了待定系数法、轴对称的性质、抛物线的平移、线段和的最小值问题、全等三
角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题
的关键.31．（1） ， ， ；（2） ；（3）存在， 的
面积为 ；（4） 的最小值为8.
【分析】
（1）由直线的解析式可求出点A的坐标；再根据二次函数的对称轴可知点B的坐标；然后根据
直线的解析式和点 、 的横坐标确定HB与直线的交点在y轴上，最后根据点的对称性求解即
可；
（2）将点H的坐标代入二次函数的解析式求解即可；
（3）先根据三角形的三边关系确定点P的位置，再求出其坐标，最后根据三角形的面积公式求
解即可；
（4）先求出点K的坐标，再利用两点之间线段最短求出 的最小值为BM，然后再次利
用两点之间线段最短求出 的最小值，即为 最小值，最后利用勾股定理求
解即可.
【详解】
（1）令 ，代入直线的解析式得：
解得： ，则点A的坐标为
如图1，设直线与y轴的交点为C
令 ，代入直线的解析式得： ，则点C的坐标为
二次函数 的对称轴为 ，点A、B关于对称轴对称
则点B的坐标为 ，二次函数顶点D的横坐标为
点 、 关于直线 对称，并且点 、 的横坐标关于原点对称
则HB与直线 的交点为点
因此，点H的纵坐标为 ，即点H的坐标为综上， ；
（2）把 代入 得：
解得：
故二次函数解析式为 ；
（3）由三角形的三边关系得：
则当P、H、A三点共线时， 最大，最大值为AH
此时，点P为直线 与AH所在直线的交点
设直线 的解析式为
将 和 代入得：
解得： ，则直线AH的解析式为
联立 ，解得
则点P的坐标为 ；
故此时 的面积为
综上，存在这样的点P，使得 最大，此时 的面积为 ；
（4）∵过点 作直线 ，直线AH的解析式为
∴直线 的解析式为 中的
又因为 在直线 上，代入求出
∴直线 的析解式为：联立 ，解得：
∴交点 的坐标是
则
∵点 、 关于直线 对称
∴ 的最小值是
如图2，过 作 轴于 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，交直线 于
则 ， ， ，
∴根据两点之间线段最短公理得出 的最小值是
即 的长是 的最小值
∵
∴
由勾股定理得
故 的最小值为8.
【点拨】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像和性质、三角形的三边关
系、两点之间线段最短公理、勾股定理，较难的是题（3），利用两次“两点之间线段最短公
理”找出最小值是解题关键.32．（1） ；（2） ；（3）P（ ， ）或P（
， ）或P（ ， ）或P（ ， ）．
【分析】
（1）二次函数的图像经过A、C两点，把A、C的坐标代入即可得到二次函数的表达式为；
（2）先求出D， E的坐标，计算出DE的长，再作D关于y轴对称点D′（－4，4），E关于x
轴的对称点E′（5，－2），连结E′D′交x轴于点F，交y轴于点G，连结DG，EF，则四边形
DEFG的周长最小，而DE+GF+BF= E′D′= ，从而得到四边形DEFG的周长的最小值；
（3）设p（x，y），分P在x轴上方和P在x轴下方二种情况讨论，如图1，
= =12，得到 ，即 ，解得
，由 ，得到P的坐标；
如图2， = =12，得到 ，即 ，故
，由 ，得到P的坐标．
【详解】
解：（1）二次函数 的图像经过A、C两点，
∴ ，解得： ，
∴二次函数的表达式为： ；
（2）∵A（0，4），∴OA=4，∵∠AOC的平分线交AB于点D，∴∠AOD=∠DOC，
∵AB∥OC，∴∠DOC=∠ADO，∴∠ADO=∠AOD，∴AD=AO=4，∴D（4，4），∵C（5，0），B（5，4），E为BC的中点，∴E（5，2），∴DB=1，BE=2，∴DE= =
= ，作D关于y轴对称点D′（－4，4），E关于x轴的对称点E′（5，－2），连结
E′D′交x轴于点F，交y轴于点G，连结DG，EF，如图，则四边形DEFG的周长最小，
∵DE+GF+BF= E′D′= = ，∴四边形DEFG的周长= ；
（3）设p（x，y），分二种情况讨论，如图1，
= = =12，
∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，∴P（ ， ）或P（ ， ）；
如图2， = = =12，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴P（ ， ）或P（ ， ）；
综上所述，存在点P，满足条件，点P的坐标是：P（ ， ）或P（
， ）或P（ ， ）或P（ ， ）．
考点：二次函数综合题．
