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专题 2.4-5 二次函数的应用测试卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·河北邯郸·九年级阶段练习）抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】先求出 时， 的值，再求出 时， 的值，由此即可得出交点个数．
【详解】解：对于抛物线 ，
当 时， ，即与 轴的交点为 ，有1个，
当 时， ，
解得 ，即与 轴的交点为 ，有1个，
综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
2．（2022·山东德州·九年级阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水
头的高度（即 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的
最远水平距离 是（ ）
A．20米 B．18米 C．10米 D．8米
【答案】A
【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与 轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为 ，将点 代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令 ，解得 （负值舍去）
即 ，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192
米，高度也为192米，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数 表示，则a的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A
（96，0），可设抛物线的解析式为 ，将点A坐标代入求解即可．
【详解】解：如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（96，0），可设抛物线的解析式为 ，
将A（96，0）代入，得： ，
解得： ，
所以，该抛物线的解析式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求抛物线的解析式，理解题意，建立适当平面直角坐标系，
将实际问题转化为数学知识求解是解答的关键．
4．（2022·山西省运城市实验中学九年级阶段练习）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬
奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩
墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少
卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数
关系式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意找出等量关系：总利润=单个利润×数量，即可列出函数关系式．
【详解】解：根据题意得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，解题的关键是正确地根据题意找出等量关系列出函数表达
式．
5．（2022·四川巴中·九年级阶段练习）根据下列表格对应值：判断关于x的方程 的一个解 的范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由表格可发现 的值 和 最接近 ，再看对应的 的值即可得出答案．
【详解】解：由表可以看出，当 取 与 之间的某个数时， ，即这个数是
的一个根，
∴ 的一个解 的取值范围为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的
关系．
6．（2022·浙江·衢江锦绣中学九年级阶段练习）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二
次函数 的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线 对称，根据现有信息，
题中的二次函数一定不具有的性质是（ ）
A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2)
C．在 轴上截得的线段的长是2 D．与 轴的交点是(0，3)
【答案】B
【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、
C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能为3，故可
判断D正确．
【详解】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴在x轴上截得的线段长是3-1=2，∴A、C正确，不符合题意；
∵该二次函数图象对称轴为x=2，
∴顶点横坐标应为2，
∴B一定不正确，符合题意；
把x=0代入可求得y=c，
∴当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)，
∴D有可能正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的
图象上是解题关键．
7．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单
位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家
用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推
断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（ ）度．
A．36 B．45 C．50 D．42
【答案】D
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可知，物线开口向上，
从18和72两个点可以看出对称轴 ，
最终对称轴的范围是36＜x＜45，
即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间，
此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°．
故选：D．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2022·山东济南·模拟预测）如图，正方形 的边长为 ，以正方形的顶点A、 、 、 为圆心
画四个全等的圆，若圆的半径为 ，且 ，阴影部分的面积为 ，则能反映 与 之间函数关系的大
致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形得出阴影部分的面积等于一个半径为x的圆面积，从而得到y与x的函数关系式．
【详解】解：∵正六边形的内角和 ，四个阴影部分组成一个半径为x的圆，
∴ ，
当 时， ．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
9．（2022·山东省淄博第六中学模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点 、点B与y轴相交于点 ，下列结论：① ；②B点坐标为 ；③抛物线的顶点坐标为 ；④直线
与抛物线交于点D、E，若 ，则h的取值范围是 ；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，
使 的周长最小，则Q点坐标为 ．其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】①代入点 的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入
公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把 带入后，即可表示出 ，进而求出h的取值范围；⑤连接
交对称轴于点Q，此时 的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标．
【详解】解：①∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴相交于点 ，
∴可得： ，
∴ ，故①正确；
②∵函数 函数值为0，
∴ ，
∴ ，
∴ 时， ，
∴B点坐标为 ，故②正确；③抛物线的顶点坐标为 ，故③错误；
④把 带入后， ，
解得： ，
∴h的取值范围是 ，故④正确；
⑤连接 交对称轴于点Q，此时 的周长最小，
直线 和对称轴 联立方程组，
可得 ，
解得 ，
∴Q点坐标为 ，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结
合思想是解题的关键．
10．（2022·湖北·武汉市洪山区杨春湖实验学校九年级阶段练习）已知点 ，若抛物线
与线段 有2个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质分 和 两种情形讨论求解即可．
【详解】解：当 时， 时， ；当 时，∴ ,解得：
当 时，设 所在的解析式为
则有 ，解得
∴线段MN所在直线的解析式为
联立可得
∴
∴ ，解得：
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、二次函数的图像上的点的特征等知识点，学会用转化的思想思考
问题是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学九年级阶段练习）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）
关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是 ，无人机着陆后滑行______秒才能停下来．
【答案】20
【分析】将函数解析式配方成顶点式，可得s取得最大值时的t的值即可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴当 时，s取得最大值600，
即无人机着陆后滑行20秒才能停下来，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出无人机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．12．（2022·吉林·东北师大附中九年级阶段练习）如图，有一座抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度
为5米，跨度为10米，则在桥洞对称轴右边1米处，桥洞离水面的高度是_____________米．
【答案】
【分析】设抛物线的解析式为 ．把 代入函数解析式求得 的值，即可求得该函数解析
式，然后把 代入函数解析式，来求相应的 值即可．
【详解】依题意得，该函数的顶点坐标是 ．故设该函数解析式为： ．
把点 代入，得 ，
解得： ，
所以该函数解析式为： ．
把 代入得到： ．
即在桥洞对称轴右边1米处，桥洞离水面的高是 米，
故答案为： ．
【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，学会用待定系数法求解抛物线解析式，设出点的坐标，根据
点与抛物线的位置关系，解决实际问题．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱
笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．则S与x的函数关系式为_____________；花
圃面积最大是____________平方米．【答案】 S=-4 +24x(0<x<6) 36
【分析】根据AB为xm，BC就为(24-4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式．根据所列的二次函数
的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积．
【详解】解：∵AB=x米，
∴BC=(24-4x)米，
∴S=AB•BC=x(24-4x)=-4 +24x(0<x<6)；
S=-4 +24x=-4 +36，
∵0<x<6，
∴当x=3时，S有最大值为36平方米；
故答案为：S=-4 +24x(0<x<6)， 36．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的
取值范围不要丢掉．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线
与 于B、C两点，那么线段BC的长是________．
【答案】2
【分析】根据题意，将 分别代入 ， ，求得 的正数解，即求得 的坐
标，进而即可求得 的长．【详解】解： ，则 解得 ，即
解得 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
15．（2022·全国·九年级专题练习）将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得
新函数的图象如图所示．当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___
【答案】 或
【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线
y=x+b与抛物线 只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分
别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线 的顶点坐标为（1，4），
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线 与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），把抛物线 图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为
，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线 只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共
点，
即 有相等的实数解，整理得 ， ，解得b= ，
所以b的值为-3或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛
物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
16．（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级阶段练习）如图，矩形 中， ，
抛物线 的顶点为M，下列说法正确的结论有______________．①抛物线顶点在直线 上；
②当M在矩形 内部或其边上时，m的取值范围是 ；
③如果顶点在 内（不包含边界），m的取值范围是 ．
【答案】①③##③①
【分析】①先确定顶点M的表达式，再将其代入直线 进行判定即可；
②将①确定的顶点坐标与题意结合列出关于m的不等式组求解即可；
③先求得AC的解析式，然后列出关于m的不等式组求解即可．
【详解】解：①∵ ，
∴顶点M的坐标为 ，
∴当 时，有 ，
抛物线顶点在直线 上，即①满足题意；
②∵顶点M坐标为 ，
又∵M在矩形 内部或其边上，
∴ ，
解得 ，
∴ ，故②错误；
③设直线AC的解析式为∵ ，
∴直线AC的解析式为 ，
∵M顶点在 内（不包含边界），
∴ ，
解得 ，
∴ ，故③正确
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是确定二次函数顶点横纵坐标的取值范
围．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·江苏·苏州市第十六中学九年级阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是 ，且经过点
．
(1)求这个函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)当 时，二次函数值的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2) ，(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设二次函数关系式为 ，将点 代入解析式，待定系数
法求解析式即可求解；
（2）令 ，即可求得抛物线与 轴的交点坐标；
（3）根据抛物线的对称轴，开口方向确定最小值，再根据离对称轴越远，函数值越大，确定最大值，进
而即可求解．
【详解】（1）解：设二次函数关系式为 ，
图象过点 ，
，解得 ，
二次函数关系式为 ．
（2）∵二次函数关系式为 ．
当 时， ，
∴抛物线与 轴的交点坐标为： ．
又抛物线经过 ，
∴抛物线与坐标轴的交点为： ， ；
（3）解：∵ ，
∴ ，对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
∵顶点坐标为 ，
∴当 时，函数有最小值，
∵ ，
∴当 时， ，
∴当 时， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与 轴的交点坐标，根据自变量的范围求
函数值的范围，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2022·辽宁·大连嘉汇教育集团九年级阶段练习）如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项
目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得
最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．
(1)求实心球行进的高度 （米）与行进的水平距离 （米）之间的函数关系式；
(2)如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．
【答案】(1)
(2)这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀
【分析】（1）设抛物线顶点式表达式，代入坐标求解．
（2）当 时，解一元二次方程即可．
【详解】（1）由抛物线顶点是 ，设抛物线解析式为： ，
把点 代入得 ，∴抛物线解析式为： ；
（2）当 时， ， 解得， （舍去）， ，
即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是结合图像利用抛物线顶点式求表达式．
19．（2022·四川·成都七中九年级阶段练习）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：
该商品每天的销售量 （件）与每件售价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销
售这种商品每天获利 （元）．(1)求 与之间的函数关系式；
(2)求 与 之间的函数关系式；
(3)该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售
价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)30元
【分析】（1）直接根据待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意列函数关系式即可；
（3）将600代入w计算即可．
【详解】（1）设 与 之间的函数关系式为 ，
由所给函数图象可知∶ ，解得 ，
故 与 的函数关系式为 ；
（2） ，
即 与 之间的函数关系式为 ；
（3）（舍）
每件商品的售价应定为30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出解析式是解题的关键．
20．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校九年级阶段练习）如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取
某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线
近似表示滑雪场地上的一座小山坡．某运动员从点O正上方7米处的点A滑出，滑出
后沿一段抛物线： 运动．
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为10米，求抛物线 的函数关系式（不
要求写出自变量x的取值范围）；
(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2) 米
(3)
【分析】（1）根据题意将点代入解析式，求出b、c的值即可写出函数解析式；
（2）设在滑行期间距离小山坡的高度是m米，依题意得到垂直高度，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）求出山坡的顶点坐标为，根据题意列不等式，解出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线 过点 和 ，代入，得
， 解得： ，
抛物线 的函数关系式为 ；
（2）解：设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，由题意，得
，整理得： ，
解得： ， （舍去），
故运动员运动的水平距离为 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）解： ，
当 时，运动员到达坡顶，即 ，解得 ．
【点睛】点评本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与
二次函数模型相结合是解决本题的关键．
21．（2022·湖北·咸丰县唐崖镇民族初级中学九年级阶段练习）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．
水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶
点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部点O离水面的距离；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的
抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱OH的水平距离为dm，当这条彩带的长度小于 m时，求d的取值范围．
【答案】(1)6m
(2)① ；②
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；
（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式；
②根据题意，列式 ，然后解不等式即可．
【详解】（1）根据题意可知点 的坐标为（6， ），
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为： ，
将 （6， ）代入 有： ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴桥拱顶部离水面高度为6m；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为 ，
将 （0，4）代入其表达式有： ，求得 ，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为： ，
同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为： ，
②设彩带的长度为 m，
则 ，
∵这条彩带的长度小于 m，∴ ，
解得 ．
∴ 的取值范围 ．
【点睛】本题考查了利用二次函数解决实际问题，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达
式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
22．（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ,
, , 动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 向终点A运动；动点Q从
点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边 向终点C运动．设运动的时间为t秒， ．
(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：___________；
(2)当 时，求t的值；
(3)连接 交 于点F，若双曲线 经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；
若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)经过点 的双曲线 的k值为【分析】（1）过点 作 于点 ，由点 ， 的出发点、速度及方向可找出当运动时间为 秒时点
， 的坐标，进而可得出 ， 的长，再利用勾股定理即可求出 关于 的函数解析式 由时间 路程
速度可得出 的取值范围 ；
（2）将 代入 的结论中可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，利用勾股定理可求出 的长，由 可
得出 ，利用相似三角形的性质结合 可求出 ，由 可得出
，在 中可求出 及 的值，由 ，
可求出点 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 值，此题得解．
【详解】（1）过点 作 于点 ，如图 所示．
当运动时间为 秒时 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
．
故答案为： ．
（2）当 时， ，
整理，得： ，
解得： ， ．（3）经过点 的双曲线 的 值不变．
连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，如图 所示．
， ，
．
，
，
，
．
，
．
在 中， ， ，
， ，
点 的坐标为 ，
经过点 的双曲线 的 值为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性
质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出 关于 的函数解析式；
（2）通过解一元二次方程，求出当 时 的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找
出点 的坐标．23．（2022·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（
在 的左边），与 轴交于点 ，连接 ， ，点 在抛物线上一点．
(1)求证； 是等腰直角三角形．
(2)连接 ，如图1，若 平分 ，求点 的坐标．
(3)如图2，若点 在线段 的下方抛物线上一点，画 于点 ．
①求 的最大值．
②在线段 上取点 ，连 ， ，若 ，且点 关于直线 的对称点恰好落在抛物线上，
求点 的坐标（直接写出答案）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)① 的最大值为 ，②
【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得 ，即问题得解；
（2）过点 作 交 于点 ，交 于 ，连接BF，利用等腰直角三角形的性质可得 ，利
用待定系数法可得直线 的解析式为： ，再联立 ，即可求解；
（3）利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为： ，①设过点 的坐标为 ，
过点 与直线 平行的直线解析式为 ，过D点作y轴的平行线交BC于点P，通过联立方程可得点 的坐标为 ，根据 可得P点横坐标为3，即可得 ，进而可得 ，再证明
为等腰直角三角形,即 ，问题得解； 设点C关于OF的对称点为点T（且点T在
抛物线上），则有OF垂直平分线段CT，即 ，由图可知抛物线 上除点C、点B
外，再无其他点到原点的距离为6，由此可得点T与点B重合，此时对称轴OF即为 斜边的中线，
即点F为BC中点，过A点作 于G点，连接FA，再计算出 ，
可得 ，可知D点与A点重合，则E点与G点重合，符合要求，问题随之得解．
【详解】（1）令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
解得 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形；
（2）过点 作 交 于点 ，交 于 ，连接BF，如图，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
即根据“三线合一”可知： ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
∴ ，
∴利用待定系数法可得直线 的解析式为： ，
联立 ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为： ，
①设过点 的坐标为 ，过点 与直线 平行的直线解析式为 ，过D点作y轴的
平行线交BC于点P，如图，联立 ，可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得 ，
即点 的坐标为 ，根据 可得P点横坐标为3，
即可得 ，
∴当 有最大值时，点 的坐标为 ， ，
即： ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形,
∴ ，
∴此时 的最大值为 ；设点C关于OF的对称点为点T（且点T在抛物线上），则有OF垂直平分线段CT，
即 ，
由图可知抛物线 上除点C、点B外，再无其他点到原点的距离为6，
∴点T与点B重合，此时对称轴OF即为 斜边的中线，
即点F为BC中点，
过A点作 于G点，连接FA，
∵ ， ， ， 为等腰直角三角形，
∴ ， ， ，且可得 为等腰直角三角形，
∴ , ,
∴ ，
∴ , ,
∴ ， ，
∴ ,
∴ ，
此时若D点与A点重合，则E点与G点重合，满足 ，
此时D点坐标为： ；
若D点不与A点重合：
点F为定点（BC中点），且F点在线段AE上，即： ，
第一种情况：当D点从A点往C点靠近时，E点也会逼近F点，
此时形成的角 会越来越小，∴即不存在 的情况；
第二种情况：当D点从A点往B点靠近时，DF与BF的夹角 将越来越小，
则在 的另一个锐角 会越来越大，
∴即不存在 的情况；
综上：D点与A点重合满足要求，即 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正切，等腰三角形的判定与性质，二次函数与一元二次
方程的关系等知识，问题的难点在第三问的第二小问，确定F点为BC的中点是解答本题的关键．
