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专题 2.41 二次函数背景下销售与利润问题（专项练习）
一、单选题
1．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售
出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可
多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为
（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
2．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，
某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n
﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
3．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千
克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 （元/千克）（
，且 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 （千克）．有下列说法：
①当 时，
② 与 之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
4．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润 （单位：元）与每
件涨价 （单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．将进货单价为 元的某种商品按零售价 元一个售出时，每天能卖出 个．若这种商品的
零售价在一定范围内每降价 元，其日销售量就增加 个，则能获取的最大利润是（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元6．某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费
提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．
以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ）
A．60元 B．50元 C．40元 D．40元或60元
7．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其
销售量就减少5个，设这种商品的售价为 元时，获得的利润为 元，则下列关系式正确的是（
）
A． B．
C． D．
8．某商品进货价为每件10元，售价每件50元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件
降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若想每天盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程
为（ ）
A． B．
C． D．
9．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为 元，随着不同幅度的降价，日销量
（单位为件）发生相应的变化．如果售价为 元时，日销量为（ ）件．
降价（元）
日销量
（件）
A．1200 B．750 C．1110 D．1140
10．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）
与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）A．180 B．220 C．190 D．200
二、填空题
11．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60
元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为____元时，网店该商品每天盈利
最多．
12．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（ ，且x为整
数）出售，可卖出 件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
13．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．已知某公司生产季节性产品，
其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为 ，则该公司一年中应停产的月
份是________．
14．今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的
销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．
（1）小华的问题解答：____；
（2）小明的问题解答：____．
15．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销
售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价
为___________元．
16．进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百
分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为_________________．17．某水果店销售一批水果，平均每天可售出 ，每千克盈利 元，经调查发现，每千克降价
元，商店平均每天可多售出 水果，则商店平均每天的最高利润为______________ 元
18．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天
销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
该商场负责人，会将售价定为_____________元︱件时，可保证每天获得的利润最大.
19．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出 个，则当x=_________元，一天出
售该种手工艺品的总利润y最大．
20．我县云蒙湖被临沂市人民政府定位“饮用水水源地”，为净化水源，某水产养殖企业在净化
水源的同时，为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现
这种水产品的每千克售价y（元）与销售月份x（月）满足关系式y＝− x+36，而其每千克成本
1
y（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．“五•一”之前，______月份出售这种品
2
每千克的利润最大．
三、解答题
21．随着时代的不断发展，网络购物已经融入到人们的生活中，某电商平台上一个商家出售一种
成本为50元/件的T恤衫．根据后台数据发现，以单价100元销售，每天可以销售120件；若每
件降价0.5元，则销量增加10件．设每件销售单价为x元，每天的销量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；（2）根据该电商平台的规定每销售一件T恤衫商家需缴纳电商平台推广费用4元，当销售单价
是多少元时，该商家每天获得的利润W（元）最大，最大利润是多少？
22．某商场经销一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，该商品每星期的销售量 （件）
与销售单价 （元）之问的函数关系如图中线段 所示．
（1）求出该商品每星期的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式，并写出自变
量 的取值范围；
（2）当该商品每件的销售价定为多少元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润？最
大销售利润是多少？
23．2021年，科技创新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的
“新”与“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生
产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，
由于生产技术不断改
进，该产品第 天的生产成本 （元/台）与 （天）之间的关系如图所示．
第 天该产品的生产量 （台）与 （天）满足关系式 ．
（1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润；
（2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元?24．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润
全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方
式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）
满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，试问：当x为多少时，
线上和线下月利润总和达到最大？
25．2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，某市政府加大各部门和各单位
的对口扶贫力度．某单位帮扶某村完成一种农产品的销售工作，其成本为每件10元，销售过程
中发现，该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的一次函数关系．
（1）请求出y与x之间的函数解析式；
（2）该农产品的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？26．我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如表
数据：
销售单价x
… 30 40 50 60 …
（元/件）
每天销售量y（件） … 500 400 300 200 …
（1）上表中x、y的各组对应值满足一次函数关系，请求出y与x的函数关系式；
（2）物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件：
①销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
②该工艺厂积极投入到慈善事业，它将该工艺品每件销售利润中抽取2元捐赠给我市的公共卫生
事业，并且捐款后每天的利润不低于7600元，则工艺厂每天从这件工艺品的利润中最多可捐出
多少元？
27．某超市以每次20元的价格新进一批商品，经市场调研发现该商品每天的销售量 件 与销售
价格 元 件 的关系如图所示．
（1）试确定y与x之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）；
（2）若超市一天销售该商品的利润为 （元），写出W与商品的售价 （元 件）之间的函数
表达式；
（3）在（2）的条件下，当销售价格x定为多少时，一天的利润W最大，最大利润是多少？28．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润 （万
元）与投入资金 （万元）的平方成正比例；乙种产品所获得年利润 （万元）与投入资金
（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金 （万元）（ 为常数且
）生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为 （万元）（其中 ），所获全
年总利润 （万元）为 与 之和．
（万元）
（万元）
（万元）
分别求 和 关于 的函数关系式；
求 关于 的函数关系式（用含 的式子表示）；
当 时，
①公司市场部预判公司全年总利润 的最高值与最低值相差恰好是 万元，请你通过计算说明
该预判是否正确；
②公司从全年总利润 中扣除投入甲种产品资金的 倍（ ）用于其它产品的生产后，得
到剩余利润 （万元），若 随 增大而减小，直接写出 的取值范围．参考答案
1．C
【分析】
根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关
系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商
店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
【详解】
解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．
2．D
【分析】
根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．B
【分析】
根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；
【详解】当 时， ，故①正确；
由题意得： ，故②正确；
日销售利润为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴ 不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知： ，
即 ，
∵ ，
∴当 时， ，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．
4．D
【分析】
由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），
再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
【详解】
解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）．故选：D．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间
的函数关系式．
5．B
【分析】
设降价 元，表示出利润的关系式为 ，根据二次函数的最值问题
求得结果．
【详解】
解：设降价 元，所获得的利润为 元，
则
，
，
当 元时，二次函数有最大值 ．
获得的最大利润为625元．
故选： ．
【点拨】本题是一个二次函数的实际应用题，主要考查了列二次函数解析式，求二次函数的最值．
应识记有关利润的公式：利润 销售价 成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出函
数关系式是解决问题的关键．
6．A
【分析】
本题利用二次函数解决实际问题，根据已知题意建立二次函数模型，然后化为二次函数顶点式，
确定最大值及此时x的值.
【详解】
设每张床位每晚收费应提高 个20元，收入为 元，根据题意得：
，
∵ 时， 取得最大值，
又∵ 取整数，∴当 或3时， 取得最大值，
当 时，每张床位每晚收费提高60元，床位最少，即投资少，
∴为了投资少而收入多，每张床位每晚收费应提高60元，
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，如何根据已知题意建立二次函数模型是解答本题
的关键，同时要熟练掌握二次函数一般式化为顶点式.
7．B
【分析】
根据售价减去进价表示出实际的利润．
【详解】
解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：
即y=（x-35）（400-5x），
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5
个”．
8．B
【分析】
根据降价x元，用x表示出降价后的销量和售价，再根据利润=销量 （售价-成本）列式．
【详解】
解：每件降2元，平均每天多销售4件，
那么每件降x元，平均每天多销售 件，此时销量为 件，售价是 元，
根据利润=销量 （售价-成本），列式： ，即 ．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数应用题的列式，解题的关键是抓住：利润=销量 （售价-成本）这个
公式去列式．
9．C
【分析】
由题意根据表中的数据分析得，每降 元，销售量增加 件，就可求出降 元时的销售量，以
此进行分析即可．【详解】
解：由表中数据得，每降 元，销售量增加 件，
即每降 元，销售量增加 件，
降 元时，销售量为 （件）．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大
利润，最大销量等问题．解答此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
10．D
【分析】
由图像过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润=每千克
的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】
设y=kx+b，由图像可知， ，
解得： ，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣ =20时，p =200．
最大值
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等
知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结
合思想的应用．
11．80
【分析】直接利用每件利润×销量=总利润，进而得出每天盈利与x的关系式，配方即可得出答案．
【详解】
解：设当销售单价为x元时，每天盈利为y元，
则y=（x-50）[100-2（x-60）]
=-2x2+320x-11000
=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，
∴当x=80时，y有最大值，且为1800，
答：当销售单价为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1800元．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
12．25
【分析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根
据所列二次函数求最大值．
【详解】
解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为
数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
13．1月、2月、12月
【分析】
知道利润y和月份n之间函数关系式，求利润y大于0时x的取值．
【详解】
解：由题意知，
利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，
令y=0，
则n=2或12，∵y=-n2+14n-24的图像开口向下，
∴当n≤2或n≥12时，y≤0，∴当n=1或2或12时，无利润，
故停产的月份是1月、2月、12月，
故答案为：1月、2月、12月．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数的性质解决问题是本题的关键．
14．当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润 800元的销售利润不是最多，当定价为
4.8元时，每天的销售利润最大
【分析】
（1）设定价为x元，利润为y元，则销售量为： ，由题意可得
，然后把y=800代入求解，最后根据售价不能超
过进价的240%得到问题的答案即可；
（2）由（1） ，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】
解：（1）设定价为x元，利润为y元，则销售量为： ，
由题意得： ，
当y=800时， ，解得：x=4或x=6，
∵售价不能超过进价的240%，
∴x≤2×240%，即x≤4.8，
∴x=4，
即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；
故答案为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润．
（2）由（1） ，
∵－100＜0，
∴函数图像开口向下，且对称轴为x=5，
∵x≤4.8，∴当x=4.8时函数能取最大值，且 ，
故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大；
故答案为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
15．39
【分析】
设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为x-20元，销售数量为280-（x-30）•10，根据
公式利润=（售价-进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．
【详解】
解：设销售单价为x元时，销售利润最大，
单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30）•10，
∴利润总额为y=（x-20）•[280-（x-30）•10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，
配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39元时，有最大利润3610元，
故答案为：39．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键首先求列出函数关系式，再将方程配方，即
可求最大值．
16．
【分析】
根据题意直接进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：
y与x之间的函数关系式为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
17．
【分析】设每千克降价x元，先用含x的式子表示出每天的销售量，再设商店平均每天的利润为w元，根
据每千克的盈利乘以销售量等于利润，写出关于x的函数，写成顶点式，根据二次函数的性质，
可得答案．
【详解】
解：设每千克降价x元，由题意得每天的销售量为：
40+ ×10=（40+20x）千克，
设商店平均每天的利润为w元，由题意得：
w=（4-x）（40+20x）
=-20x2+40x+160
=-20（x-1）2+180，
∵二次项系数为-20＜0，
∴当x=1时，w取得最大值180元．
故答案为：180．
【点拨】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，正确列出函数关系式
并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
18．140
【分析】
先根据图像用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，然后再表示出每天的利润，最后利用二
次函数的性质求最大利润即可.
【详解】
设y与x之间的函数关系式
将 代入函数解析式中得为
解得
∴
则每天得利润为
∴当 时，每天得利润最大为1600元.
故答案为140
【点拨】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.
19．4
【解析】
先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，
∴y=（8-x）x，即y=-x2+8x，
∴当x=- =4时，y取得最大值．
故答案为4．
20．四
【解析】
试题分析：利用待定系数法可以求出 ，则利润
，即当 时，函数为增函数，则“五•
一”之前4月份出售这种水产品的利润最大．
21．（1）y＝﹣20x+2120；（2）当销售单价是80元时，该商家每天获得的利润W（元）最大，
最大利润是13520元
【分析】
（1）直接根据每件降价0.5元，销量增加10件，进而得出函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式即可得出答案．
【详解】
解：（1）设每件销售单价为x元，每天的销量为y件，根据题意可得：
y＝120+2（100﹣x）×10
＝﹣20x+2120；
（2）由题意可得：W＝（x﹣50﹣4）y
＝（x﹣50﹣4）（﹣20x+2120）
＝﹣20x2+3200x﹣114480，
当x＝80时，W ＝13520元，
最大
答：当销售单价是80元时，该商家每天获得的利润W（元）最大，最大利润是13520元．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键．22．（1） （ ）；（2）当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星
期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销售利润是6250元．
【分析】
（1）设该商品每星期的销售量 与销售单价 之间的函数关系式为： ，将A
（40，500），B（90，0）代入，即可求解；
（2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，可列出w关于x的关系式，将其变形
为 的形式，结合x的取值范围，即可求解．
【详解】
（1）设该商品每星期的销售量 与销售单价 之间的函数关系式为： ，将A
（40，500），B（90，0）代入得：
，解得： ，
∴该商品每星期的销售量 与销售单价 之间的函数关系式为 ，
自变量的取值范围为 ；
（2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，根据题意得：
∵-10<0，
∴w有最大值，
∵ ，
∴当 时，w最大，为6250．
∴当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销
售利润是6250元．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，最大销售利润的问题，常利函数的增减性来
解答，我们首先要领会题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题的关
键．
23．（1）第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元；（2）第15天的利润最大，最大利润为12500元．
【分析】
（1）根据图像信息解得第30天时的成本，及此时的产量，继而解得该天的利润；
（2）设线段 的式为 ，利用待定系数法解得解析式为 ，解得写
出分段函数的解析式，设第 天该网络销售平台的利润为 元，
分类讨论，结合配方法、二次函数的最值解题即可．
【详解】
解：（1）由图像可知，第30天时的成本为500元，
此时的产量为 （台），
则第30天的利润为： （元），
答：第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元．
（2）设线段 的式为 ，
把 ， 代入得，
，解得 ，
线段 的解析式为 ，
，其中 为整数，
设第 天该网络销售平台的利润为 元，
①当 时，
，
，开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， ，
②当 时，，
随 的增大而减小，
当 时， ，
答：第15天的利润最大，最大利润为12500元．
【点拨】本题考查一次函数的图像与性质、二次函数的最值问题，涉及待定系数法求一次函数的
解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．（1）y＝﹣100x+2400；（2）当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大．
【分析】
（1）设y＝kx+b（k≠0），然后由表格可进行求解；
（2）设线上和线下月利润总和为W元，则由题意易得W＝﹣100（x﹣19）2+7300，进而问题可
求解．
【详解】
解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：
，
解得： ，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为W元，
则W＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
25．（1）y＝﹣10x+300；（2）销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解
析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（20，100），（25，50）代入y＝kx+b，
得 ，
解得： ，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300；
（2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，
由题意得w＝（x﹣10）•y
＝（x﹣10）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+400x﹣3000
＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，
得出利润关于销售单价的函数关系式．
26．（1） （2）①销售单价定为45元时，每天获得利润最大，最大为8750元；②
工艺厂每天从这件工艺品的利润中最多捐出760元.
【分析】
（1）设对应的函数关系式为 ，然后选择两组数据代入求解即可得到答案；
（2）①设每天获得的利润为W，然后求出W关于x的表达式，然后求解即可；
②设 然后根据题意列出不等式求解即可得到答案.
【详解】解：（1）设对应的函数关系式为
有题意得：
解得：
∴对应的函数关系式为 ；
（2）①设每天获得的利润为W
由题意得：
∴当 时，W有最大值，且当 时，W随x的增大而增大
∵每天的单价不能超过45元
∴当 时， 有最大值= 元
答：销售单价定为45元时，每天获得利润最大，最大为8750元；
②设
∵
∴
整理得：
∴
解得 即
∵每天的单价不能超过45元
∴
∵销售量
∴当 销售量最多，从而捐款最多，最多捐款=2×（800-10×42）=760元
答：工艺厂每天从这件工艺品的利润中最多捐出760元.
【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知
识进行求解.27．（1） ；
（2） ；
（3）当销售价格x定为45元时，一天的利润W最大，最大利润是6250元
【分析】
（1）分别利用当20≤x≤30时，设y=ax+b，当30＜x≤60时，设y=mx+n，利用待定系数法求一次
函数解析式即可；
（2）根据总利润=（售价-进价）×销售数量，利用（1）中所求进而得出w（元）与售价x
（元/件）的函数表达式，
（3）在（2）条件下，对二次函数进行配方求最值；
【详解】
解： 分两种情况：当 时，设 ，
根据题意，得，
，
解得
故 ；
当 时，设 ，
根据题意，得 ，
解得，
；
故每天销售量 件 与售价 元 件 之间的函数表达式是：
；，
当 时， ，
由于 ，抛物线开口向上，又 ，
因此当 时， ；
当 时， ，
由于 ，抛物线开口向下，又 ，
所以当 时， ，
综上所述，当 时， ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，求出分段函数是解题关键．
28．（1） ， ；（2） ；（3）①该预判正确，理由见解析；
② ．
【分析】
（1）y（万元）、y（万元）与投入资金n2、n（万元）成正比例，要确定解析式，只要找直线
1 2
上一点，y（万元）上（2，1），y（万元）上（2，0.1）即可
2 1
（2）设公司计划共投入资金m（万元），投入甲种产品资金为x（万元），投入乙种产品资金为
（m-x）（万元），代入 即可，
（3）①由 ，得 ，配方得 利用二次函数开口向上，
对称轴右侧，函数的性质，取最大值与最小值作差即可，②设剩余年利润为 ，由①知年利润
，可得剩余年利润为： ，对称轴为 ，
，抛物线开口向上，在对称轴左侧，剩余年利润为 与x的增大而减小，只要投资额在
对称轴左侧取值，即 ，又知0
