文档内容
专题 2.42 二次函数压轴题-周长问题（专项练习）
1．规定：不相交的两个函数图像在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”，
（1）求抛物线 与x轴的“亲近距离”；
（2）在探究问题：求抛物线 与直线y=x−1的“亲近距离”的过程中，有人提出：
过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之
间的距离，你同意他的看法吗?请说明理由．
2．如图，抛物线 与 轴交于 、 ，与 轴交于点 ，点 为
的中点，点 、 分别为 轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接 、 、 ，求四边形
周长最小时点 、 的坐标．
3．如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
4．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为
D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；
（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出
Q点坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交 轴于 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周
长最小？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且经过点
，点 是抛物线对称轴上的动点，是否存在点 ，使得 的值最小？若存在，请
求出最小值；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得 的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时， 的面积最大？求出 的最大面积及此时点M的坐标；
②过点M作 轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．8．抛物线 经过点
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线沿 轴向下平移后，所得新抛物线与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），
若 ，求新抛物线的解析式；
（3）已知点 是（2）中新抛物线上的一点，点 是该抛物线对称轴上的一点，求使
的值最小时点的坐标．
9．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点
（1）求A点和点B的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，过点 的抛物线 ．分别交 轴于 ，
两点（点 在点 的左侧），交 轴于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点 是抛物线对称轴上一点，当 取得最小值时，求点 的坐标．
（3）当 ， 两点满足： ， ，且 时，若符合条件的
点的个数有2个，直接写出 的取值范围．
11．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，
BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分
别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，
M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点
F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点
C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，
请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交
于点N，其项点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为 ；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行
线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交
抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐
标；若不能，请说明理由．
14．如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点
C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不
存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使△PAC的面积最大？若存在，求出
点P的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线 经过 三点，直线l是抛物线的
对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐
标．
16．如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数 的
图像交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图像于点D，求线段ND长
度的最大值；
（3）若点H为二次函数 图像的顶点，点M（4，m）是该二次函数图像上一点，在
x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x，y），Q（x，y），当PQ平行x
1 1 2 2
轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x ﹣x|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式
1 2
PQ=|y ﹣y|求出．
1 2
17．如图，直线y= x+ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣
弧AO上一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－ x²+bx+c经过点A、C，与x轴交于另
一点B，
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与
⊙M相切，并请说明理由．
18．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，C，对称轴是x=﹣3，请解
答下列问题：（1）求抛物线的解析式．
（2）求点B的坐标；
（3）过点B作与x轴平行的直线交抛物线交点C，在抛物线的对称轴上的确存在一点P，使
PA+PC的值最小，求点P的坐标．
19．如图，抛物线 与两轴分别交于A、B、C三点，已知点A（一3，O），B(1，
0)．点P在第二象限内的抛物线上运动，作PD上 轴子点D，交直线AC于点E．
(1)
(2)过点P作PF⊥AC于点F．求当△PEF的周长取最大值时点P的坐标．
(3)连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求对应
的P点坐标.
20．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）
（1）求a的值；
（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题：
①如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，
N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；
②如图③，点D（1，1），探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，
求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）2；（2）不同意他的看法；理由见解析
【分析】
（1）把y＝x2﹣2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；
（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，设P（t，t2﹣
2t+3），则Q（t，t﹣1），则PQ＝t2﹣2t+3﹣（t﹣1），然后利用二次函数的性质得到抛物线y＝
x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”，然后对他的看法进行判断；
解：（1）抛物线 化为顶点式为：y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的“亲近距离”为2；
（2）不同意他的看法．理由如下：如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，
设P（t，t2﹣2t+3），则Q（t，t﹣1），
∴PQ＝t2﹣2t+3﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+4＝（t﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，PQ有最小值，最小值为 ，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”为 ，
当y＝0时，0＝x﹣1，x＝1，直线y＝x﹣1与x轴的交点是（1，0）；抛物线的顶点为（1，
2）；
∴过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，
；
∴不同意他的看法；
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，解题关键是熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征和二
次函数的性质；正确理解新定义．
2．当四边形 周长最小时，点 的坐标 ，点 的坐标为 ．
【分析】
作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 ，交对称轴于点
，交 轴于点 ．求出直线 的解析为 ，进一步可得出结论．
解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 ，交
对称轴于点 ，交 轴于点 ．由对称知 ， ，此时四边形 的周长为 ．
此时四边形 的周长最小，最小值为 ．
， ，
抛物线对称轴为直线 ．
．
为 的中点， ．
．
设直线 的解析式为 ．
将点 、 的坐标代入可得 解得
直线 的解析为 ．
令 ，则 ， 点 的坐标为 ．
令 ，则 ， 点 的坐标为 ．
当四边形 周长最小时，点 的坐标 ，点 的坐标为 ．
【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二
次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键．3．（1） ；对称轴是x=3；（2） .
【分析】
（1）由抛物线与x轴的交点坐标可设两点式，再代入点A即可求出解析式；
（2）找到点A关于对称轴的对称点A'的坐标，连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周
长最小,再根据B、A'两点的坐标求出其直线解析式，再由P点横坐标为3即可求出P点坐标.
解：(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可设两点式,
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4),
求得a= ,
∴y= (x-1)(x-5)= x2- x+4= (x-3)2- ,
∴对称轴是x=3.
(2)
如图1,点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4),连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的
周长最小,
设直线BA'的解析式为y=kx+b,
把A'(6,4),B(1,0)代入得 解得 ,
∴y= x- .
∵点P的横坐标为3,
∴y= ×3- = .
∴P(3, ).
【点拨】此题主要考察二次函数的图像和性质，根据题意作关于对称轴的对称点是此题的关键.4．（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣ ，0）．
【分析】
（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标．
（2）根据勾股定理证明 是直角三角形，四边形ABCD的面积＝ ×BC×CD+
×AB×OC，计算求解．
（3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴
于点Q，代入计算求出点Q的坐标．
解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，
∴点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝ ＝ ．
（3）存在，Q（﹣ ，0），如图作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，
∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得，
，
解得 ，
∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，
令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣ ，
∴点Q的坐标为（﹣ ，0）．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，
求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键．
5．（1）y= +2x+3；（2）存在，Q(1，2)
【分析】
（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解
析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此
题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交
点即是所求；
解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代y=-x2+bx+c中得
，解得： ．
∴抛物线解析式为：y= +2x+3；
（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称，
∴直线BC与x=1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，∵y= +2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
设直线BC解析式为y=kx+b
将C（0，3），B（3，0）代入可得
解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
Q点坐标即为 ，解得 ，
∴Q（1，2）
【点拨】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，特别是
要注意数形结合思想的应用．
6．存在，
【分析】
作点M关于函数对称轴的对称点 （10，6），连接C 交函数对称轴于点P，则点P为所求，
即可求解．
解：如图，作点 关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 ，交对称轴于点 ，点 即为所求，设 与 轴交于点 .
∵点 ，点 关于抛物线对称轴对称，
∴
∴ .
∴此时 的值最小.
将 ， 代入 ，
得
解得
∴抛物线的解析式为 .
∴ ，抛物线的对称轴为直线 .
∴ ，
∴ ， .
∴ ，
即 的最小值为 .
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、勾股定理的运用等，其中，本题
提供的利用点的对称性，求解线段和的一般方法．7．（1）抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，k＝﹣4；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）① 的最大
面积为8，点M的坐标为（﹣1，﹣4）；②线段PM长度的最大值为 ．
【分析】
（1）直接将C点坐标代入函数关系式，进而得出k的值即可；
（2）如图，连接AC交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法可求出直
线AC的解析式，进一步即可求出点P的坐标；
（3）①表示出M点坐标，进而表示出△AMB的面积，然后利用二次函数的性质即可得出答案；
②表示出M点、P点的坐标，进而表示出PM的长，再利用二次函数的性质求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝（x+1）2+k 与y轴交于点C（0，﹣3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且﹣3＝（0+1）2+k，解得：k＝﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，k＝﹣4；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，
当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，解得：x＝1，x＝﹣3，
1 2
∴点A（﹣3，0）、B（1，0），
如图，连接AC交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线AC的解析式为y＝ax+d，
将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得： ，解得： ．
故直线AC：y＝﹣x﹣3，
当x=﹣1时，y=﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）∵点M是抛物线上的一动点，∴设点M的坐标为[x，（x+1）2﹣4]，
∵点M在第三象限，∴﹣3＜x＜0；
①如图，∵AB＝4，
∴S ＝ ×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，
△AMB
∵点M在第三象限，
∴S ＝8﹣2（x+1）2，
△AMB
∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
故设点P的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（ x+ ）2+ ，
当x＝﹣ 时，PM最大，最大值为 ．
【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图像与
性质以及函数图像上点的坐标特点等知识，属于常考题型，正确表示出△AMB的面积和PM的长、
熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
8．（1）抛物线的顶点坐标是(1，0)；（2）y=x2－2x；（3）点M坐标为(1，2)．
【分析】
（1）把(2，1)代入 中求出c的值得到抛物线解析式，然后将抛物线解析式化为顶点
式即可求得顶点坐标；
（2）先确定抛物线 的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A(0，0)，B(2，0)，然
后利用交点式可写出新抛物线的表达式；
（3）根据对称性及两点之间线段最短找出点M，再求出BC所在直线表达式即可求出坐标．
解：（1）把(2,1)代入 得4－4+c=1，解得：c=1，
∴抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴抛物线的顶点坐标是(1，0)；（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴新抛物线的对称轴为直线x=1，
又∵新抛物线与x轴交于A、B两点，且AB=2，
∴A(0，0)，B(2，0)，
∵抛物线 沿y轴向下平移后得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为y= (x－0)(x－2)，即y=x2－2x；
（3）∵A、B关于对称轴对称，且点M是对称轴上的一点，
∴MA=MB，
∴AM+CM=BM+CM，
连接BC，交对称轴于点M，如图所示，
根据两点之间线段最短可知，此时BM+CM的值最小，即AM+CM的值最小，
∵C(－2，8)，B(2，0)，
∴BC所在直线表达式为： ，
将x=1代入 得：y=2，
∴点M坐标为(1，2)．
【点拨】本题考查了二次函数表达式的三种形式及图像与性质，一次函数的表达式，熟练掌握图
像性质是解题的关键．9．（1） ；（2）△ABC是直角三角形，详见解析；（3） ．
【分析】
（1）令y=0时进行求解即可；
（2）根据（1）及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点距离公式及勾股定理的逆定理进行
求解即可；
（3）作点C关于x轴的对称点 ，然后连接 ，与x轴交于点M，则点M即为MD+MC的最
小值时与x轴的交点，然后求解直线 的解析式即可．
解：（1）当y=0时， ，
，
；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
，
AB=5，
，
，
，
，
，
△ABC是直角三角形；
（3）作点C关于x轴的对称点 ，然后连接 ，与x轴交于点M，根据轴对称性及两点之间
线段最短可知，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，如图所示：，
，
顶点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，则有：
，
，
，
当y=0时， ，则 ，
．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键，注意运
用两点距离公式及利用轴对称的性质求解最短路径的问题．10．（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）把点P(− ， )代入y=− +bx+2即可求解；
（2）连接 ，交对称轴 于点 ，连接 ，此时 取得最小值，即为 的长，求得
直线 的函数表达式，即可求解；
（3）利用两点之间的距离公式结合勾股定理的逆定理得到关于 的一元二次方程
，根据 ，求解即可．
解：（1）∵点P(− ， )在抛物线 上，
∴ ，解得： ．
∴抛物线的函数表达式为： ；
（2） ，
∴抛物线的对称轴 为 ．
由 ，得 ， ，
∴ ， ．
由 ，得 ，
∴C(0，2)，
∵ ， 两点关于对称轴 对称，
∴连接 ，交对称轴 于点 ，连接 ，此时 取得最小值，即为 的长．
设直线 的函数表达式为 ，
∴ ，解得 ．
∴ ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
（3）∵M(m，0)，N(0，n)，P(− ， )，∠PMN=90°，且满足： ， ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ，
整理得关于 的一元二次方程： ，
∵符合条件的 点的个数有2个，
∴ ，
即 ，解得： ，
的取值范围为 ．
【点拨】本题主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数
的顶点坐标与对称轴的求法，勾股定理的逆定理以及一元二次方程根与系数的关系等，解答本题
的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11．（1） ；（2） 或 ；（3）是，3NE+NF为定值4
【分析】
（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积
为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解
析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣ x2+ x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而
得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）设点D（n，﹣ n2+ n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK
的长，直接代入计算可得结论．
解：（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵△ABC的面积为2，即 ，
∴OC=1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，
∴a=﹣ ，
∴该二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣ x2+ x+1=m，
解得：x=1+ ，x=1﹣ ，
1 2
∴点P的坐标为（1﹣ ，m），点Q的坐标为（1+ ，m），
∴点G的坐标为（1﹣ ，0），点H的坐标为（1+ ，0），
∵矩形PGHQ为正方形，∴PQ=PG，
∴1+ ﹣（1﹣ ）=m，
解得：m=﹣6﹣2 ，m=﹣6+2 ，
1 2
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2 或2 ﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣ n2+ n+1），延长BD交y轴于K，
∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y=kx+b，
则 ，解得： ，
∴AD的解析式为：y=（﹣ ）x﹣ ，
当x=2时，y=﹣ n+2﹣ n+1=﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN=3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y=（﹣ ）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK=n+1，
∵N（2，0），B（3，0），∴ ，
∵EN∥OK，
∴ ，
∴OK=3EN，
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性
质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）
根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的
方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．
12．（1）抛物线的解析式为：y＝ x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣
5)；（3）存在，点E( ﹣1，﹣4 +11)或(﹣ ﹣1，4 +11)
【分析】
（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小
值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求
BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；
（3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先
求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方
程组可求解．
解：（1）由题意可得： ，
解得： ，∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣3x﹣8；
（2）△ACD周长能取得最小值，
∵点A（﹣2，0），点B（8，0），
∴对称轴为直线x＝3，
∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，
∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，
∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，
∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，
设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，
∴0＝8k﹣8，
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，
当x＝3，y＝﹣5，
∴点D（3，﹣5）；
（3）存在，
∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），
∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，
如图，
∵△ACE与△ACD面积相等，
∴DE∥AC，
∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，
∴﹣5＝﹣4×3+n，∴n＝7，
∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，
联立方程组可得： ，
解得： ， ，
∴点E（ ﹣1，﹣4 +11）或（﹣ ﹣1，4 +11）．
【点拨】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用
待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底
相同，高相同，转化平行线问题是解题关键．
13．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t= 时，PM有最大值，最大值为 ；（3）（0，1）或（
， ）或（ ， ）．
【分析】
（1）运用待定系数法即可解决；
（2）依题意得P（t，﹣t2+2t+3），表示M点坐标，再求出PM长的函数表达式，依据二次函数
性质求最值；
（3）运用配方法求顶点D坐标，由以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，且
EF∥BD，可得EF＝BD，设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝ ，建立
方程求解即可求得符合题意的点E坐标．
解：（1）把A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得， ，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣1，0），C（2，3）代入得，
，
解得， ，
直线AC的解析式为y=x+1，
依题意得，P（t，﹣t2+2t+3），M(t,t+1),
PM=﹣t2+2t+3-(t+1)= ﹣t2+t+2=-(t- )2+ ,
当t= 时，PM有最大值，最大值为 ；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4），把x=1代入y=x+1得，y=2，
∴B（1，2），BD＝2，
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝ ，
∵EF∥BD，
∴当EF＝BD时，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．
∴ ＝2，
当 时，
解得：m＝0，m＝1（舍去），
1 2
当 时，
解得m＝ ，m＝ ；
3 4
∴点E的坐标为：（0，1）或（ ， ）或（ ， ）．
【点拨】本题属于中考压轴题，与二次函数有关的代数几何综合题，涉及知识点多，综合性较强，
难度较大，解题时必须熟练掌握并灵活运用相关性质和定理，还要注意数形结合，分类讨论；此
题主要考查了二次函数图像和性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形性质等．14．（1）抛物线y＝x2-4x+3;（2）D(2，1)；（3）点 的坐标为 ，
【分析】
（1）（1） 将 、 坐标代入即可；
（2）由于 长度不变， 要周长最小， 就是让 最小， 而 、 关于对称轴对称， 所
以 就是 的最小值， 此时 点就是 与抛物线对称轴的交点；
解：（1） 抛物线 经过点 ，点 ，
，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为 ；
（2） ，
，抛物线的对称轴为 ；
长度不变，
最小时， 的周长最小，
、 是关于抛物线对称轴对称的，
当 点为对称轴与 的交点时， 最小， 即 的周长最小， 如图，
，解得： ，
，
抛物线对称轴上存在点 ，使 的周长最小；
（3）存在，
如图，设过点 与直线 平行线的直线为 ，
联立 ，
消掉 得， ，
，
解得： ，
即 时，点 到 的距离最大， 的面积最大，
此时 ， ，
点 的坐标为 ， ，
设过点 的直线与 轴交点为 ，则 ， ，
，
直线 的解析式为 ，
，点 到 的距离为 ，
又 ，
的最大面积 ．
【点拨】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法
求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线
确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．
15．（1） ；（2）（1，﹣2）；（3）（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或
（1，0）
【分析】
（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）因为AC为定值，要使 的周长最小，只需PA+PC最小即可，根据抛物线的对称性，
连接BC交l于点P，此时PA+PC最小为BC的长，由点B、C坐标求出直线BC的函数解析式，
利用二次函数的性质和一次函数图像上的点的坐标特征即可求得点P坐标；
（3）设点M（1，m），分AM=AC、AM=MC、AC=MC三种情况讨论求解即可．
解：（1）将点 代入 中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的函数关系式为 ；
（2）因为AC为定值，要使 的周长最小，只需PA+PC最小即可，
连接BC交l于点P，此时PA+PC取得最小值，如图，设直线AB的函数解析式为y=kx+t（k≠0），
将 代入，
得： ，解得： ，
∴直线BC的函数解析式为y=x﹣3，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，即点P的横坐标为1，
将x=1代入y=x﹣3中，得：y=1﹣3=﹣2，
∴点P坐标为（1，﹣2）；
（3）设点M(1，m)，则 ， ，
，
分三种情况讨论：
①当AM=AC时，有 =10，
解得： ，
∴点M的坐标为（1，﹣ ）或（1， ）；
②当AM=MC时，有 = ，
解得：m=﹣1，
∴点M的坐标为（1，﹣1）；③当AC=MC时，有10= ，
解得： ，
∴点M的坐标为（1，0）或（1，﹣6），
设直线AC的函数解析式为y=px+q，
将 代入，
得： ，解得： ，
∴直线AC的函数解析式为y=﹣3x﹣3，
∵当x=1时，y=﹣3﹣3=﹣6，
∴点M（1，﹣6）在直线AC上，即点A、C、M不能组成三角形，
故满足题意的点M的坐标为（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或（1，0）．
【点拨】本题考查了待定系数法求二函数的解析式、求一次函数的解析式、轴对称中的最短路径
问题、图像上点的坐标特征、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解答的关键是认真审题，
寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
16．（1） ；（2） ；（3）F（ ，0），E（0， ）．
解：试题分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，
再根据待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一
次函数BC的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为﹣n+5，D点的坐
标为D（n， ），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的
最大值；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，
9）关于y轴的对称点H，可得点H 的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM ，可得点
1 1 1
M 的坐标连结HM 分别交x轴于点F，y轴于点E，可得HM+HM的长度是四边形HEFM的最
1 1 1 1 1
小周长，再根据待定系数法可求直线HM 解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐
1 1
标．
试题解析：（1）∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A（﹣1，0），C（0，5），∵二次函数 的图像过A，C两点，∴ ，解得： ，∴二次函数的表
达式为 ；
（2）如图1，∵点B是二次函数的图像与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为
得，点B的坐标B（5，0），设直线BC解析式为y=kx+b，∵直线BC过点B（5，0），C（0，
5），∴ ，解得： ，∴直线BC解析式为y=﹣x+5，设ND的长为d，N点的横坐
标为n，则N点的纵坐标为﹣n+5，D点的坐标为D（n， ），则d=| ﹣
（﹣n+5）|，由题意可知： ＞﹣n+5，∴d= ﹣（﹣n+5）= =
，∴当n= 时，线段ND长度的最大值是 ；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，
9）关于y轴的对称点H，则点H 的坐标为H（﹣2，9），作点M（4，5）关于x轴的对称点
1 1 1
HM ，则点M 的坐标为M（4，﹣5），连结HM 分别交x轴于点F，y轴于点E，所以
1 1 1 1 1
HM+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F、E即为所求，设直线HM 解析式为
1 1 1 1
y=kx+b，直线HM 过点M（4，﹣5），H（﹣2，9），根据题意得方程组： ，解
1 1 1 1 1 1
得： ，∴ ，∴点F，E的坐标分别为（ ，0），（0， ）．考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；综合题．
17．(1)y= , B(1，0) ;(2)见解析;(3)见解析.
解：【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出其对称轴和B点坐标；
（2）首先利用待定系数法求一次函数解析式进而得出，此时PA=PB，|PA-PC|的值最大，
求出即可；
（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，利用已知得出△AFG为等
边三角形，进而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．
【详解】（1）由y= x+ ， 得：A（-3，0），C（0， ），
将其代入抛物线解析式得： ，解得： ，
∴y= ，
∵对称轴是x=-1，
∴由对称性得B(1，0)；
（2）延长BC与对称轴的交点就是点P，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B(1，0)，C（0， ）代入得： ，解得： ，则直线BC解析式为：y=- x+ ，
当x=-1时，y=2 ，
∴P(-1, 2 )；
（3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，理由如下：
∵在RT△AOC中，tan∠CAO= ，
∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG为等边三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG为⊙M的切线．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到切线的判定以及等边三角形的判定与性质
以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，利用二次函数对称性得出|PA-PC|
的最大值是解题关键．
18．（1） ；（2）B点坐标为（0,5）；（3）P（-3，-1）
解：（1）根据对称轴是x=﹣3，求出b=6，把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得16﹣4b+c=﹣
3，即可得出答案；（2）利用待定系数法求出一次函数关系式即可求出点P的坐标．
解：（1）把点A（-4，-3）代入y=x²+bx+c得16-4b+c=-3，即c-4b=-19，
∵对称轴为直线x=-3，∴ ，解得b=6，
∴c=-19+4b=5，
∴抛物线的解析式是
令x=0,则y=5 ∴B点坐标为（0,5）.
（2）如图所示，
∵BC∥x轴，
∴点C与点B关于直线x=-3对称，即直线x=-3是线段BC的垂直平分线.
连接AB交抛物线对称轴于点P,连接CP，这时PC=PB，PA+PC=PA+PB=AB
∴点P为题意的点.
设AB的表达式为 ，把A（-4，-3）、B（0，5）代入得：
，解得 ∴
在 中，令x=-3得y=-1，∴P（-3，-1）
19．(1) -2; 3 ;(2)( , )(3) ,
解：试题分析：（1）将A、B两点坐标代入解析式中即可求出b、c的值；
（2）通过点P、E的坐标可求出PE＝ ，由题可知，△PEF为等腰直角三角形，当PE最
大时，此三角形的周长最大，求出令PE最大的x值，即可求出P点的坐标；
（3）对以P、Q、A三个顶点的角分别为直角时所形成的等腰直角三角形进行分类讨论即可.
解：（1）∵A（一3，O），B(1，0)在抛物线 的图像上，∴
解得
故答案为-2，3 ;
（2）∵C（0，3），A（－3，0）
∴AO=CO
∴∠CAO=45°
∵PD上 轴于点D
∴∠ADE=90°
∴∠AED=45°
∵PF⊥AC于点F
且∠PEF=∠AED=45°
∴△PEF为等腰直角三角形
∴当PE最大时，此三角形的周长最大，
由C（0，3），A（－3，0）可知直线AC的解析式为
设P（x， ），则E点坐标为（x，x+3）
∴PE＝ （-3
