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专题2.3 解一元二次方程-公式法（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022•朝阳区校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
则常数c的值为（ ）
A．±4 B．4 C．±16 D．16
【答案】B。
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：B．
2．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A。
【解答】解：
方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．（2022•沂南县二模）方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝0，x ＝﹣1 C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D。
【解答】解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
△＝1+8＝9＞0
∴x＝
解得x ＝﹣1，x ＝2．故选：D．
1 2
4．（2021 秋•永年区期末）x＝ 是下列哪个一元二次方程的根
（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
【答案】D。【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝ ，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝ ，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝ ，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝ ，符合题意；
故选：D．
5．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范
围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
【答案】C。
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：C．
6．（2022•鼓楼区校级二模）一元二次方程 3x﹣1﹣2x2＝0 在用求根公式 x＝
求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1
【答案】D。
【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2＝0，
∴﹣2x2+3x﹣1＝0，
则a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，
故选：D．
7．（2021 秋•迁安市期末）x＝ 是下列哪个一元二次方程的根
（ ）A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【答案】C。
【解答】解：A．此方程的解为x＝ ，不符合题意；
B．此方程的解为x＝ ，不符合题意；
C．此方程的解为x＝ ，符合题意；
D．此方程的解为x＝ ，不符合题意；
故选：C．
8．（2021•长春）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值
可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A。
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
9．（2021•滦南县二模）当b﹣c＝3时，关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A。
【解答】解：∵b﹣c＝3，
∴c＝b﹣3，
∵2x2﹣bx+c＝0，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×2×c＝b2﹣8c
＝b2﹣8（b﹣3）
＝b2﹣8b+24
＝（b﹣4）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
10．（2021•平山县校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两
个相等的实数根，则下面说法正确的是（ ）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
【答案】C。
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数
根，
∴ ，
∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．
当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；
当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．
故选：C．
二、填空题。
11．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有
实数根，那么a的最小整数值是 2 ．
【答案】2。
【解答】解：（2a﹣1）x2﹣8x+6＝0，
根据题意得2a﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4×（2a﹣1）×6＜0，
解得a＞ ，
所以a的最小整数值2
故答案为2．
12．（2021•乐山模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k ＞﹣ 1 且 k ≠ 0 ．
【答案】k＞﹣1且k≠0。
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
13．（2021•吉林模拟）已知关于 x的方程 x2﹣2x+k＝0有实数根，则 k的取值范围是
k ≤ 1 ．
【答案】k≤1。
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0，
解得，k≤1．
故答案是：k≤1．
14．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m
的取值范围是 m ≤ 且 m ≠﹣ 2 ．
【答案】m≤ 且m≠﹣2。
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤ 且m≠﹣2．
故答案为：m≤ 且m≠﹣2．
15．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k ≤ 1 时，方程有实数根．
【答案】≤1。
【解答】解：当k＝0时，原方程为﹣6x+9＝0，
方程的解为x＝ ；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵方程有实数根∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×9k≥0，
解得k≤1，
故答案为：≤1．
16．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别
是x ，x ，且以x ，x ，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则 m的值为 24 或 25
1 2 1 2
．
【答案】24或25。
【解答】解：当6为底边时，则x ＝x ，
1 2
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x ＝x ＝5，
1 2
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x ＝6，
1
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x ＝6，x ＝4，
1 2
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
17．（2021春•黄埔区期末）根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式
的值为 ﹣ 5+ 2 ．
【答案】﹣5+2 。
【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，∴ ＝ ＝ ＝﹣5+2 ，
故答案为﹣5+2 ．
18．（2021春•五峰县期末）如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，那么m的
取值范围是 m ≤ 3 ．
【答案】m≤3。
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+l＝0有实数根，
∴当m﹣2＝0时，m＝2时，﹣2x+l＝0有实数根；
当m﹣2≠0时，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12≥0，
解得m≤3．
由以上可知m≤3．
故答案为：m≤3．
三、解答题。
19．（2021春•台江区校级期中）解方程：
（1）x2﹣ x﹣ ＝0；
（2）x（x﹣4）＝8﹣2x．
【解答】解：（1）x2﹣ x﹣ ＝0；
a＝1，b＝﹣ ，c＝﹣ ，
∴b2﹣4ac＝（﹣ ）2﹣4×1×（﹣ ）＝4＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
∴该方程的解为： ， ．
（2）x（x﹣4）＝8﹣2x．
方程右边提公因式得x（x﹣4）＝2（4﹣x），
∴x（x﹣4）＝﹣2（x﹣4）移项得x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0，
∴（x+2）（x﹣4）＝0，
x+2＝0或x﹣4＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝4．
1 2
20．（2021秋•海淀区校级期末）解方程：x2﹣4x＝2x﹣9．
【解答】解：原方程化为：x2﹣6x+9＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝9，
∴△＝36﹣36＝0，
∴x＝ ＝3，
∴x ＝x ＝3．
1 2
另解：原方程化为：x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
x﹣3＝0，
x ＝x ＝3．
1 2
21．（2021春•沙坪坝区校级期末）解方程：
（1）2x2+5x+1＝0；
（2） ．
【解答】解：（1）2x2+5x+1＝0，
a＝2，b＝5，c＝1，
b2﹣4ac＝52﹣4×2×1＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝ ＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（2）去分母，得：1﹣x﹣（x﹣5）＝2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣5≠0，
∴x＝2是原分式方程的解．
22．（2021春•渝中区校级期末）解方程（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）2x（x﹣3）＝x﹣4．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝ ＝ ＝1 ，
∴x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（2）整理，得：2x2﹣7x+4＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝4，
b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝ ＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
23．（2021春•金安区校级期末）解一元二次方程
（1） x2﹣x﹣4＝0；
（2）（2x+3）（x﹣6）＝16．
【解答】解：（1）整理，得：x2﹣4x﹣16＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣16，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣16）＝80＞0，
则x＝ ＝ ＝2±2 ，
∴x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 ；
1 2
（2）整理为一般式，得：2x2﹣9x﹣34＝0，
∵a＝2，b＝﹣9，c＝﹣34，∴Δ＝（﹣9）2﹣4×2×（﹣34）＝353＞0，
则x＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
24．（2021秋•海淀区期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成
（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：
变形 m n p
（x+1）（x﹣5）＝﹣2 ﹣1 5 ﹣2
x（x﹣4）＝3 0 4 3
（x﹣1）（x﹣t）＝6 1 t 6
（x﹣2）2＝7 2 2 7
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 3 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 m + n ＝ 4 ；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m ）（x﹣n ）＝p 和（x﹣m ）（x﹣n ）＝p
1 1 1 2 2 2
（p ≠p ），则 的值为 ﹣ 1 ．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3+6＝6，
x2﹣4x+3＝6，
（x﹣1）（x﹣3）＝6，
所以t＝3；
故答案为3；
（2）﹣1+5＝4，
0+4＝4，
1+3＝4，
2+2＝4，
所以m+n为一次项系数的相反数，
即m+n＝4；
故答案为m+n＝4；（3）由（2）的结论得到m +n ＝﹣b，m +n ＝﹣b，
1 1 2 2
所以m +n ＝m +n ，
1 1 2 2
即n ﹣n ＝﹣（m ﹣m ），
1 2 1 2
∴ ＝﹣1．
故答案为﹣1．
25．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程 x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×
（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x ＝2，x ＝k+1．
1 2
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
26．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤ ；
（2）∵k≤ ，
∴k的最大整数值为2，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x ＝1，x ＝2．
1 2
27．（2021春•蚌埠期末）已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．
【解答】解：（1）关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
∵Δ＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，Δ＝（m﹣1）2＝2，
解得m＝1± ．
28．（2021秋•农安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入方程x2﹣mx﹣2＝0，得1+m﹣2＝0，
解得m＝1，
解方程x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝﹣1，x ＝2；
1 2
（2）∵Δ＝m2+8＞0，
∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．
29．（2021春•合肥期末）定义新运算，对于任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：
﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情
况．
【解答】解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a＝0中，Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
30．（2021•海州区校级一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两
个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【解答】解：（1）由题意知，Δ＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得：m＜6，
又m﹣2≠0，即m≠2，
则m＜6且m≠2；
（2）由（1）知m＝5，
则方程为3x2+10x+8＝0，
即（x+2）（3x+4）＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣
