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2024-2025 学年山东省烟台市高一上学期期末学业水平诊断数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】 ，
故选：C.
2. 函数 的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.
【详解】 ， ，
且函数 的定义域是(0,+∞)，定义域内 是增函数， 也是增函数，所以
是增函数，且 ，
所以函数 的零点所在的区间为 .故选：B
【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端
点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断，或
是转化为两个函数的图象交点判断.
3. 已知点 在角 终边上，则下列角中与 终边相同的是（ ）
.
A 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义和诱导公式即可判断.
【详解】由题意，得 ， ，
则与 终边相同的是 .
故选：B
4. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为 ，其中 表示溶液中氢离子的浓
度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是 摩尔/升，则胃酸的pH为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数运算性质即可求解.
【详解】由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是 摩尔/升，则胃酸的pH为：
故选：C.
5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由
弧 和其所对的弦 围成，若弦 长度为2，弧 所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为
（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过 作 ，垂足为 ，利用锐角三角函数求出 ，即可求出弧 的长 ，最后根据弧
田的面积 即可求解.
【详解】过 作 ，垂足为 ，易知 为 中点， ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以弧 的长为 ，
因为 ， ，
所以弧田的面积 .
故选：D
6. 已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可.
【详解】设 ，则 ，解得 ，故 ，
则 的定义域为 ，故A错误；
的值域为 ，故B错误；
，则 为偶函数，故C正确；
在 和 上分别单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误.
故选：C.
7. 设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数的图象与性质比较大小和利用幂函数的图象与性质比较大小.
【详解】因为 在 上为增函数，且 ，
所以 ，即 ，因此
因为 ， ，所以 ，而函数 在 是增函数，因此
因为 在 上为增函数，且 ，
所以 ，即 ，因此
综上所述，
故选：A.
8. 已知函数 ，则（ ）
A. 为偶函数，且在 上单调递增
B. 为偶函数，且在 上单调递减
C. 为奇函数，且在 上单调递增
D. 为奇函数，且在 上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再
利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在 上的单调性.
【详解】因为 的定义域为 ，并且
，
又 ，所以 为偶函数；
设 、 ，并且 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
于是 ，
即 ，所以 在 上单调递增，所以A正确，BCD错误.
故选：A.
二、多选题：本题共 3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，且 ，则（ ）
A. 的定义域为 B. 为偶函数
C. 在 上单调递减 D. 的最大值为0
【答案】AB
【解析】
【分析】选项A根据对数有意义的条件可得；选项B根据偶函数的定义可得；选项C根据复合函数的单调
性判断可得；选项D因单调性不确定，故不确定最值情况.
【详解】 函数 ，且 ，
解得 ，
故函数 的定义域为 ，
又 ，
∴f (x)为偶函数.
，不知道 还是 ，故不能判断 的单调性和最值情况，
综上，AB正确，CD错误.
故选：AB
10. 已知函数 的图象关于直线 对称，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 若 在 上有3个零点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】因为函数 的图象关于直线 对称，可求得 ，对于
，故选项A正确；再根据正弦型函数的图像及性质逐一判断B、C、D选项即可.
【 详 解 】 因 为 的 图 象 关 于 直 线 对 称 ， 所 以 ， 解 得
，
又 ，所以 ，所以 ，所以 的最小正周期 ，故选
项A正确;
因为 ，所以 的图象关于点 对称，故选项B正确;当 时， ，所以 在区间 上不单调，故选项C错误;
当 时， ，因为 在 上有3个零点，所以 ，解得
，故选项D正确，
故选:
11. 若定义在 上的函数 满足：对任意的 ，都存在唯一的 ，使得
，则称函数 是“ 函数”，则下列说法正确的有（ ）
A. 是“ 函数”
B. 是“ 函数”
C. 若 是“ 函数”，则
D. 若 是“ 函数”，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题中“ 函数”的定义，得到函数在 上的值域与函数在 的值域的关系，
且两个值域交集对应区间上函数是单调的.然后利用函数的单调性求值域，对各个选项逐一分析即可.
【详解】设 在 上的值域为集合S，在 上的值域为集合T，
因为对任意的 ，都存在唯一的 ，使得 ，
则必须满足对于A， 在 上的值域为 ，即 ，
在 上的值域为 即
满足 ，
且由 的图像可得对任意的 ，都存在唯一的 ，使得 ，
故 是“ 函数”，故A正确；
对于B， 在 上的值域为 即
在 上的值域为 ，即 ，
不满足 ，故 不是“ 函数”，故B错误；
对于C， ，其图像关于 对称，
当 时，
在 上的值域为 即
在 上的值域为 ，即
若 是“ 函数”，
由 ，所以 ，解得 ，与 矛盾.
当 时，
在 上的值域为 ，即 ，
在 上的值域为 即
若 是“ 函数”，
由 ，所以 ，即 ，解得且由 的图像可知对任意的 ，都存在唯一的 ，使得 ，
故 满足题意.
综上所述，若 是“ 函数”，则 ，故C正确；
对于D，若 ，
在 上单调递增，
所以 在 上的值域为 ，即 ，
在 单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的值域为 即
则 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以
要满足对任意的 ，都存在唯一的 ，使得 ，
则需 ，解得 ，所以
当 时，此时 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上的值域为 ，即 ，
在 上的值域为 ，即
由 的图像可得，对任意的 ，都存在唯一的 ，使得 ，
故 符合题意.
当 时，
在 上单调递减，
在 单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的值域为 即
在 上的值域为 ，即
此时 ，即 ，
不满足任意的 ，都存在唯一的 ，使得 ，
综上所述， ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛，本题对函数进行了新的定义，所以充分理解定义，然后根据定义分别判断各个选项即
可.对于含参的函数，需要对参数进行分类讨论，在分别求出对应区间的值域，由定义进行判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意， ，解不等式得出结论.
【详解】由题意， ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
13. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m， 转动一圈.若该摩天
轮上一吊箱 视为质点)从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经
历的时长为__________(单位：
【答案】40
【解析】
【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案.
【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
设吊箱B离地面的高度为h，则
，
令 ，得 ，
或 ， ，
或 ， ，
因为第4次达到158m，
所以 时，吊箱B第4次距离地面158m，
为
故答案 ：
14. 已知函数 ，且下列四个结论：① 是 的零点，② 是
的零点，③ 的零点之积为3，④方程 只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结
论的序号为__________；若方程 有三个不等的实根，则实数a的取值范围为__________.
【答案】 ①. ② ②.
【解析】【分析】首先解得函数的零点，判断零点的范围，推出①和②③均矛盾，故求得 ，然后验证即可得
出错误结论的序号;
把 分段代入方程 ，有三个不等的实根求得 的取值范围.
【详解】函数 ，
因为 在0<x<2上单调递增， 在 上单调递减，
若 时，令 ，解得 ，
所以若函数 有零点，只能在 上存在唯一一个零点，
由题可知，四个结论中，①和②③均矛盾，故 ，
若函数 满足方程 只有一个实根，需 ，矛盾；
若 时，令 ，解得 ，
所以函数 在0<x<2上有一个零点，且 ，
由题可知①和②矛盾，
若①是正确结论，则 ，因为 的零点之积为3，所以 ，解得 ，
此时 ，在0<x<2上有 ，在 上有 ，满足
题意；
若②是正确结论，则 ，因为 的零点之积为3，所以 ，解得 ，
此时 ，在0<x<2上有 ，在 上有 ，不满足
题意，
故②结论错误；
因为 ，若 ，即 ，因为 ，结合韦达定理可知，
方程 必有两个异号实根，
故 在 上只有一个根，所以 在0<x<2上有两个不同实根，
根据图像可得所以 ，解得
故
故答案为：②；
【点睛】分段函数零点问题的处理方法：
(1)画出函数图像找出图像的交点;
(2)分段函数的零点,分段解方程可求得每段上的函数零点.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）利用指数运算性质和对数运算性质计算即可；
（2）运用同角三角函数的基本关系及诱导公式求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为 ，
所以
16. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）若 ，求 的值;
（2）求方程 的解.
【答案】（1）
（2） 或 ，
【解析】
【分析】（1）由图象得到 结合 求解；
（2）运用正弦型函数性质求解即可.【小问1详解】
由图象可知 ，
所以 ，于是 ， ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以
【小问2详解】
因为 ，所以 或
解得 或 ，
17. 某企业为了解每月广告投入费用 单位：万元)与月利润 单位：万元)的关系，统计了前三个月每月
广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示：
月份 第一个月 第二个月 第三个月
每月广告投入费用 单位：万
2 4 8
元)
月利润 单位：万元) 4 8 31
（1）当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型 与
可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型
（2）已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系 结合第（1）问的结
果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元?
【答案】（1）更符合实际的函数模型为
（2）
【解析】
【分析】 分别求解若选用函数 若选用函数 ，判定即可；
分类讨论，解不等式求解即可.
【小问1详解】
若选用函数
将点 ， 代入可得
解得 ， ，所以
当 时，得
若选用函数 ，将点 ， 代入可得 ，解得 ， ，所以
当 时，得 ，
因为 ，即模型 与实际数据差距更小，所以更符合实际的函数模型为
【小问2详解】当 时，令 ，即 ，
所以
当 时，由 ，解得 ，所以
所以该企业每月广告投入费用 x在 时月利润不少于64万元.
18. 已知函数 图象上两条相邻的对称轴之间的距离为
（1）求 的单调递增区间;
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，设
，若对任意 ，存在 ，使得 成立，求实
数a的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由题意得到 ，结合正弦型函数性质求解；
由题意 ，结合单调性求解即可
【小问1详解】
由题意 ，周期 ，所以 ，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递增区间为
【小问2详解】
由题意 ，
因为对任意 ，存在 ，使得 成立，所以
当 时， ，所以
当 时， ， ，即
令 ，则 ， ，
若 ， 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，解得 ，
若 ， 在 上单减，在 上单增，
因为 ，所以 ，解得 ，
若 ， 在上单减，
因为 ，所以 ，解得综上，a的取值范围为 或
19. 已知函数 的定义域为 .
（1）求a的取值范围;
（2）讨论函数 的单调性;
（3）给定函数 ， ，若其图象与直线 存在公共点 ，则称 是 的一个
“不动点”;若其图象与直线 存在公共点 ，则称 是 的一个“次不动点”.若函数
在 上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）先将问题转化为 在 上恒成立，分离参数后得到 在 上恒
成立，利用基本不等式求出 的最小值即可；
（2）根据复合函数的单调性，设 ， ，分类讨论求解即可；
（ 3 ） 设 函 数 在 上 的 “ 不 动 点 ” 为 m ， 则 ， 令 ， ， 则
，将函数 在 上仅有一个“不动点”转化为 与 的图象在 上仅有一个交点；设函数 在 上的“次不动点”为 n，则 ，令 ， ，则
，将函数 在 上仅有一个“次不动点”转化为 与 的图象在 上
仅有一个交点，结合单调性求解即可.
【小问1详解】
因为函数 的定义域为 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又因为 ，当且仅当 时，等号成立.
所以a的取值范围为
【小问2详解】
令 ，则 为 上的增函数，且
设
当 时，函数 在 上单调递增，
又 为增函数，由复合函数单调性， 在 上单增;
当 时， 在 上单减，在 上单增，
又 为增函数，
由复合函数单调性， 在 单减，在 单调递增.
综上，当 ，函数 在 上单调递增;
当 时，函数 在单调递减，在 单调递增.
【小问3详解】设函数 在 上的“不动点”为m，则 ，
即 ，整理得 ， ，
令 ， ，则 ，
则 在 上单减， 上单增，
因当 时， ， ， ，
所以若 与 的图象在 上仅有一个交点，则 或 ，
又由（1）知， ，所以 或
设函数 在 上的“次不动点”为n，则 ，
即 ， ，所以 ，
即 ，
令 ， ，则 ，则 ， ，
任取 ， 且 ，
则
t3+2t -1 t3+2t -1 t3t2+2t t2-t2-t3t2-2t t2+t2 (t -t )(t2t2-2t t +t +t ) (t -t )[(t t -1) 2+(t +t -1)]
φ(t )-φ(t )= 1 1 - 2 2 = 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1= 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 2 1 2 1 2 .
1 2 t2 t2 t2t2 t2t2 t2t2
1 2 1 2 1 2 1 2因为 ， 且 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 在 上单增，
因为 与 的图象在 上仅有一个交点，且
所以 ，又因为 ，故
综上，若函数 在 上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，a 的取值范围为 或
【点睛】思路点睛:本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和
方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解.
