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专题2.3 解一元二次方程-公式法（能力提升）（原卷版）
一、选择题。
1．（2022•朝阳区校级一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
则常数c的值为（ ）
A．±4 B．4 C．±16 D．16
2．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．（2022•沂南县二模）方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝0，x ＝﹣1 C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
4．（2021 秋•永年区期末）x＝ 是下列哪个一元二次方程的根
（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
5．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范
围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
6．（2022•鼓楼区校级二模）一元二次方程 3x﹣1﹣2x2＝0 在用求根公式 x＝
求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1
7．（2021 秋•迁安市期末）x＝ 是下列哪个一元二次方程的根
（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
8．（2021•长春）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值
可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2021•滦南县二模）当b﹣c＝3时，关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．（2021•平山县校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两
个相等的实数根，则下面说法正确的是（ ）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
二、填空题。
11．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有
实数根，那么a的最小整数值是 ．
12．（2021•乐山模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
则实数k的取值范围是 ．
13．（2021•吉林模拟）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是
．
14．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m
的取值范围是 ．
15．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k 时，方程有实数根．
16．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别
是x ，x ，且以x ，x ，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则 m的值为
1 2 1 2
．
17．（2021春•黄埔区期末）根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式
的值为 ．
18．（2021春•五峰县期末）如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，那么m的
取值范围是 ．
三、解答题。
19．（2021春•台江区校级期中）解方程：
（1）x2﹣ x﹣ ＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x．20．（2021秋•海淀区校级期末）解方程：x2﹣4x＝2x﹣9．
21．（2021春•沙坪坝区校级期末）解方程：
（1）2x2+5x+1＝0； （2） ．
22．（2021春•渝中区校级期末）解方程
（1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣3）＝x﹣4．
23．（2021春•金安区校级期末）解一元二次方程
（1） x2﹣x﹣4＝0； （2）（2x+3）（x﹣6）＝16．24．（2021秋•海淀区期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成
（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：
变形 m n p
（x+1）（x﹣5）＝﹣2 ﹣1 5 ﹣2
x（x﹣4）＝3 0 4 3
（x﹣1）（x﹣t）＝6 1 t 6
（x﹣2）2＝7 2 2 7
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 ；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m ）（x﹣n ）＝p 和（x﹣m ）（x﹣n ）＝p
1 1 1 2 2 2
（p ≠p ），则 的值为 ．
1 2
25．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．26．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
27．（2021春•蚌埠期末）已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．
28．（2021秋•农安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．
29．（2021春•合肥期末）定义新运算，对于任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：
﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情
况．30．（2021•海州区校级一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两
个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
