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专题28 圆锥曲线中的范围和最值问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．给定抛物线 ，F是其焦点，直线 ，它与E相交于A，B两点，如果 且
，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】直线 与抛物线 方程联立得： ，
因为直线 与抛物线 相交于A，B两点，所以 ，设 ，
因此有 ，且 ，
由 ，代入 中得：
且 ，解得： ，
函数 在 时单调递减，所以 ，因此 ，
所以 或 ，故选：C
2．已知双曲线 ， 分别为双曲线的左右焦点， 为双曲线 上一点，且位于第一
象限，若三角形 为锐角三角形，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【解析】由 得 、 ，因为 位于第一象限，所以 恒为锐角，
因为三角形 为锐角三角形，所以 为锐角， 为锐角，
由 为锐角得 ，所以 ，因为 ，所以 ，
由 为锐角得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
综上所述： .故选：C.
3．已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，过 上一点 分别作与 和
平行的直线，交直线 于 两点，则线段 长度的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】由题意知， ，又离心率为 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程为
，
设 ， ，则 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 ，即 ，又点 在椭圆 上，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以线段 长度的最大值为4.故选：A.
4．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，椭圆C过 和 两点，点P在
线段 上，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为椭圆 过点 和 ，
所以 ，可得 ，所以 ， ，
设 ，由题意直线 的方程为 ，即 ，
因为点P在线段 上，所以 满足 ，
则
， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 .故选：D
5．已知 、 是双曲线 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ．若直线 与曲线 没有公共点，当双曲线 的离心率取得最
大值时，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为直线 与双曲线 没有公共点，
所以双曲线 的渐近线的斜率 ，而双曲线 的离心率 ，
当双曲线 的离心率取最大值时， 取得最大值 ，即 ，即 ，
则双曲线 的方程为 ，
设 、 、 ，则 ，
两式相减得： ，即 ，即 ，
又 ， ．故选：A.
6．过椭圆 上的焦点 作两条相互垂直的直线 ， 交椭圆于 两点， 交椭圆于
两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当直线 有一条斜率不存在时，不妨设直线 斜率不存在，则直线 斜率为0，此时 ， ，所以 ，
当直线 的斜率都存在且不为0时，不妨设直线 的斜率为k，则直线 的斜率为 ，
不妨设直线 都过椭圆的右焦点 ，所以直线 ，直线 ，
联立 与椭圆T ，可得 ，
， ，
所以 ，
同理 ，所以 ，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 = ，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
综上 的取值范围是 .故选：C
7．已知 ､ 分别为椭圆 ： 的左､右顶点， 为椭圆 上一动点， ， 与直线 交于
， 两点， 与 的外接圆的周长分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【解析】由已知得 、 ，设椭圆 上动点 ，
则利用两点连线的斜率公式可知 ， ，
设直线 方程为： ，则直线 方程为： ，根据对称性设 ，
令 得 ， ，即 ， ，则
设 与 的外接圆的半径分别为 ， ，由正弦定理得： ， ，
又 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 的
最小值为 ，故选：A
8．如图，已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直线 与过 的直线 交于点 ，
线段 的中点为 ，线段 的垂直平分线 与 的交点 （第一象限）在椭圆上，若 为坐标原点，
则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【解析】如图所示，点 在 轴右边，
因为 为 的垂直平分线，所以 ．由中位线定理可得 ．
设点 ．
由两点间的距离公式，得 ，
同理可得 ，所以 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，故 ，所以 ．
因为 ，所以 ．故 的取值范围为 ．故选：D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴相交于点 ，经过点 且斜率为 的直线 与抛物线
相交于点 ， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C． 的取值范围是D． 时，以 为直径的圆经过点
【解析】由题意可得：抛物线 的焦点为 ，准线 ，则 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程得 ，消去 得 ，
可得 ，解得 且 ，故Ｃ错误；
则 ，故A正确；
可得 ，
易知 同号，所以 ，故B错误；
因为 ， ，
所以
，
当 时， ，此时 为直角，即以 为直径的圆经过点 ，故D正确.
故选：AD.10．已知抛物线C： ，过焦点F的直线交抛物线C于 ， 两点，MN的中点为P，
直线OM，ON分别与直线l： 相交于A、B两点.则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最小值为8
C．P到直线l距离的最小值为6 D． 与 的面积之比不为定值
【解析】依题意，可得如下图象：
，
对于A：因为抛物线 的方程为 ，所以 ，
由抛物线的焦点在 轴可得，直线的斜率一定存在，所以设直线 的方程为： ，
由 ，消 可得 ，
所以 ， ， ， ，所以A选项正确；
对于B：因为 ， ，所以
所以 ，
同理 ，所以 ，当 时取得最小值16，所以B选项错误；
对于C：因为 为 的中点，所以 到直线 的距离 ，
当且仅当 时等号成立，所以C选项正确；
对于D：由题意可得直线 的方程分别为： ，
所以它们与 的交点分别为： ，
所以
所以 ，又 到直线 的距离 ，
由弦长公式得： ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误；
故选：AC.
11．已知F是抛物线 的焦点，过点F作两条互相垂直的直线 ， ， 与C相交于A，B两点，
与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为D，E中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以 为直径的圆与y轴相切
C． 的最小值为32 D．当 取得最小值时， 轴
【解析】设 ， ， ， ， ，
直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ,将直线 的方程 代入 ，化简整理得 ，
则 ， ，故 ,
所以 ， ,
因为点A到直线l的距离 ，点B到直线l的距离 ，
点M到直线l的距离 ，
又 ，所以 ，故A错误；
因为 ，
所以以 为直径的圆的圆心M到l的距离为 ，
即以 为直径的圆与l相切，故B错误；
同理， ，所以 ， ，
，
则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
.
设 ，则 ， ， .
当 时，即 时， 最小，这时 ，即 轴，故D正确,
故选:CD.
12．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过点 垂直于x轴的直线交椭圆C于
A，B两点， ，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）A． 的最小值为
B． 的面积的最大值为
C． 的取值范围为
D．C上有且只有4个点P，使得 是直角三角形
【解析】由题意得 是等边三角形，所以 的周长为 ，所以 ，
令 ，则 ，则 ，所以 ，所以椭圆 ，
对于A，当点 位于上下顶点时， 最大，
此时 的最小为 ，故A错误；
对于B，设 ，则 ，
所以 的面积的最大值为 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，所以 ，
又 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故C正确；
对于D，由A选项可知， 最大时为锐角，
所以以点 为直角顶点的 不存在，
以点 为直角顶点的 分别有2个，
所以C上有且只有4个点P，使得 是直角三角形，故D正确.
故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，圆M； ，过F的直线l
与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则 的最小值为 ．
【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为 ，所以 ，所以抛物线方程为 ，
如下图， ，
因为 ，
设 ，所以 ，
所以 ，因为直线 水平时显然不合题意，故可设 ，
因为直线所过定点 在抛物线内部，则直线 必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，
联立 ， ， 所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为12.
14．设 ， 同时为椭圆 与双曲线 的左、右焦点，设
椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点M，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ， ，O为坐标原点，
若 ，则 的取值范围是 ．
【解析】设 ， ，焦距为2c，
由椭圆定义可得 ，由双曲线定义可得 ，解得 ， ，
当 时，可得 ，即 ，
可得 ，则 ，所以 ，
由 ，可得 ，可得 ，即 ， ，
可设 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，可得 ，所以 ．15．椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，设椭圆 与双曲
线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点， ，则
的取值范围是 .
【解析】设 ，则有 ，
所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 ，
由 ，得 ，所以 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
16．曲线 是由抛物线 与 组成的封闭图形，点，当 对曲线 上所有 点恒成立，则实数 的取值范围是__________．
【解析】当 在 时，设 ，
则 ， ，
则函数 在 上单调递增， ，
即 ，此时 ；当在 时，设 ，
则 ， ，
则函数 在 上单调递减， ，即 ，
故临界情况一： 在一条直线时， 时， ，则 ，
解得 或 ；
临界情况二： 三点共线时， 为线段 上一点，此时 ，
解得 或 ；
综上得： 或 ；
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点．
(1)求过点F、O，并且与抛物线 的准线相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G
的横坐标的取值范围．【解析】（1）抛物线 的准线为 ，椭圆 的左焦点为 ，
因为圆过点 ，所以圆心 在直线 上，设 ，则圆的半径为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所求圆的方程为 或 .
（2）解：设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
因为直线 过椭圆的左焦点 ，所以方程 有两个不相等的实根，
设点 ，设 的中点为 ，
则 ，可得 ，
直线 的垂直平分线 的方程为 ，
令 ，则 .
因为 ，所以 ，故点 的横坐标的取值范围 .
18．已知椭圆 与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为 上任意一点到其中一
个焦点的距离的最小值为1.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 交 于 两点， 为坐标原点，以 ， 为邻边作平行四边形
在椭圆 上，求 的取值范围.【解析】（1）由题可知 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 2，所以 .
所以椭圆 的方程为： .
（2）联立 ，消去 ，化简整理得： ，
需满足 ，
设 ，由韦达定理可知： .
则以 为邻边作平行四边形 ，则 ，
由于点 在椭圆 上，所以 ，即
化简得： ，经检验满足
又 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，故 ，所以 的取值范围为 .
19．已知 ， 为椭圆C： 的左右焦点，P为椭圆C上一点．若 为直角三角形，且．
(1)求 的值；
(2)若直线l： 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点 ，求实数
m的取值范围．
【解析】（1）若 ，则 ．
因为 ， ，解得 ， ．因此 ．
若 ，则 ，
解得 ．因此 ．
综上知， 或 ．
（2）设 ， ，联立 ，消去y得到，
，即 ．
则 ， ，
弦AB中点M的坐标是 ．
由 得， ．
另一个方面，直线PM的方程是 ．
点 在此直线上，故 ，整理得， ．代入 中， ， ．
又 ， ，所以 ， ．
故实数m的取值范围是 ．
20．若椭圆 和椭圆 满足 ，则称这两个椭圆相似， 称为其
相似比．
(1)求经过点 ，且与椭圆 相似的椭圆方程．
(2)设过原点的一条射线 分别与（1）中的两个椭圆交于 、 两点（其中点 在线段 上），求
的最大值和最小值．
【解析】（1）设所求的椭圆方程为 ，则由题意得 ，解得 ，
所要求的椭圆方程为 ．
（2）①当射线与 轴重合时， ．
②当射线不与 轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考虑 、 在第一象限或x轴正半轴的情形．
设其方程为 ，设 ， ， ， ，
由 ，解得 ， ，
由 ，解得 ， ，
，令 ，则由 ，知 ，
，记 ，则 在 上是增函数， ，
，
由①②知， 的最大值为 ， 的最小值为 ．
21．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，过点 且与 轴垂直的直线交椭圆 于
， 两点， 的面积为 ，椭圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 ， 两个不同的点，若存在实数
，使得 ，求 的取值范围．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c， ，
代入椭圆方程可得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为
（2）当m=0时，则 ，由椭圆的对称性得 ,所以 ，
所以当m=0时，存在实数 ，使得 ；
当 时，由 ，得 ，因为A、B、P三点共线，所以 ，解得 ，所以 ，
设 ，由 ，得 ，
由题意得 ，则 ，
且 ，由 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
又 ，整理得 ，
显然 不满足上式，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 或 ，
综上， 的取值范围为
22．已知A，B是椭圆 的左、右顶点， 是E的左、右焦点， 是椭圆
上一点，且 的内心的纵坐标为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若P是椭圆E上异于A，B的一动点，过A，B分别作 ， 相交于点Q.则当点P在椭圆
E上移动时，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，故 .设 为 ，连接 并延长交 轴于 ，则 ，
故 ，故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 ，故椭圆的方程为： .
（2）
设 ，其中 ， ，
则 ，故直线 ，同理直线 .
设 ，则 ，故 ，
因为 ，故 ，所以 其中 ，
整理得到 的轨迹方程为： .又
，
其中 ，设 ，
则 ，
故 为偶函数，考虑 在 上的值域.
故 ，
设
因为 ，
所以
，
整理得到：
，因为 ，故 ，故 ，
而 所以
当且仅当 时等号成立，
故 ，当且仅当 时等号成立，故 在 上为增函数，
故 在 上的值域为 ，
故当 时， 的值域为 .
