专题2.3新定义（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 2.3 新定义 1．定义：对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ， ．如果 ，那么 的取值范围是 ． 【解答】解： ， ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 所以不等式组的解集是 ， 故答案为： ． 2．定义：对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ， ． （1）如果 ，那么 的取值范围是 ． （2）如果 ，满足条件的所有正整数 为 ． 【解答】解：（1） ， 的取值范围是： ， 故答案为： ； （2）由题意得：， 解得： ， 满足条件的所有正整数 为：5，6， 故答案为：5，6． 3．对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数解，如： ， ， ． 若 ，那么 的取值范围是 ；若 ，则满足条件的所有正整 数 的值为 ． 【解答】解： ， ， ， ， 解得 ， ，3，4， 故答案为 ；2，3，4． 4．对于实数 ，我们 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ， 若 ，则 的取值范围 ． 【解答】解：根据题意得： ， 解得： ，即 ， 故答案为 ．5．定义：对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ， ．如果 ，那么 的取值范围是 ． 【解答】解： ， ， ， 则 ， 故答案为： ． 6．对于任意三个实数 ， ， ，用 ， ， 表示这三个数中最小的数．例如： ，2， ； ，2， ，如果 ， ， ，那么 的取值范围为 ． 【解答】解：由题意得， 解①得： ； 解②得： ； 则不等式组的解集为： ， 故答案为 ． 7．对于三个实数 ， ， ，用 ， ， 表示这三个数中最大的数． 例如： ，2， ， ，4， ，若 ，2， ，则 的取值范围是 ． 【解答】解： ，2， ， ， 解得 ， 故答案为： ． 8．对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当 时， ， ；当 时， ， ；如 ， ，设 ， ，则 的取值范 围为 ． 【解答】解：由题意，当 ，即 时， ， ， ， ； 当 ，即 时， ， ， ， ， 综上， 的取值范围为 ．故答案为： ． 9 ． 我 们 定 义 一 个 关 于 实 数 ， 的 新 运 算 ， 规 定 ： ， 例 如 ， ．若实数 满足 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 移项得： ， 解得： ． 故选： ． 10．对 ， 定义一种新的运算 ，规定 ， ，若关于正数 的不 等式组 恰好有3个整数解，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：①若 ， 由 得 ， 解 ，得： ，与 不符，舍去； ②若 ， 由 得 ， 解得 ， 不等式组恰好有3个整数解，， 解得 ， 故选： ． 11．定义 ，例如： ，若 ，则非负 整数 的个数为 A．5 B．4 C．3 D．0 【解答】解：由题意可知： ， ， ， ， ， 非负数 可取0，1，2，3，4， 故选： ． 12 ． 对 于 任 意 实 数 、 ， 定 义 一 种 运 算 ： ， 例 如 ， ，请根据上述的定义解决问题，若不等式 ，则该不等式 的正整数解 A．1 B．1，2 C．2 D．不存在 【解答】解： ※ ， ， 为正整数， 、2． 故选： ．13．已知一种新运算定义为： ，则不等式组 的非正整数解 有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据新运算定义得 ， 解不等式①得， ， 解不等式②得， 或 ， 所以，不等式组的解集是 ， 不等式组 的非正整数解为 一个， 故选： ． 14．我们定义 ，例如 ，若 满足 则整数 的值有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：根据题意得： ． 解得： ． 则 的整数值是 ，共1个． 故选： ． 15．对于任意实数 ， ，定义一种运算： ，例如 ．请根据上述定义解决问题：若关于 的不等式组 ；有3个整数解，则 的取值范 围为 ． 【解答】解： ， ， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， 不等式组的解集是 ， 不等式组有3个整数解， ， 解得： ， 故答案为： ． 16．对有理数 ， 定义运算： ※ ，其中 ， 是常数．如果2※ ， 3※ ，那么 ， 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：根据题意得： ①， ② 由①得： ③ ，解得 ， 把 代入得， ， ， 故选： ． 17．阅读下面材料：对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当 时， ， ；当 时， ， ，如： ． ； ， ． 根据上面的材料回答下列问题： （1） ， 3 ； （2）当 时，求 的取值范围． 【解答】解：（1） ， ， 故答案为3； （2）由定义得， ， ， ， ， 故的取值范围是 ． 18．阅读下面的材料： 对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当 时， ， ；当时， ， ，如： ， ， ， ． 根据上面的材料回答下列问题： （1） ， ； （2）当 时，求 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得 ， ； 故答案为： ； （2）由题意得： ， 的取值范围为 ． 19．对于实数 ， ，定义符号 ， 的意义为：当 时， ， ；当 时， ， ．例如： ， ， ， ． （1） ， ； （2）若关于 的函数 ， 时，求该 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得 ， ； 故答案为： ； （2）由题意得： ， ， ，， 的取值范围为 ． 20．定义运算 ， ：当 时， ， ；当 时， ， ．如 ， ． （1） ， ； （2）已知 和 在同一坐标系中的图象如图所示，若 ， ，结合图象，直接写出 的取值范围； （3）试讨论： ， 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为： ； （2）由 ， ，得 ， 在 的下方， 由图象，得． （3）当 时， ， ， ， 当 时， ， ， ． 21．对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形 ，给出如下定义：过点 作 轴和 轴的垂线，垂足分别为 ， ，若图形 中的任意一点 满足 且 ，则称四边形 是图形 的一个覆盖，点 为这个覆盖的一个特征点．例：若 ， ，则点 为线段 的一个覆盖的特征点．已知 ， ， ，求解下列问题： （1）在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的有 ， ； （2）若在一次函数 的图象上存在 的覆盖的特征点，求 的取值范 围． 【解答】解：（1）由定义可知， ， 是 的覆盖特征， 故答案为： ， ； （2）①当 时，符合题意； ②当 时，当 且 时， 为 的覆盖特征点， 点 在一次函数 上， 当直线 过点 时， ， ，， 综上所述： 且 ． 22．对 ， 定义一种新运算 ， （其中 ， 均为非零常数）． 例如： ；已知 ， ． （1）求 ， 的值； ； （2）若关于 的不等式组 恰好只有1个整数解，求 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得， ， 解得 ； （2）把 ， 代入可得 ， ， 所以不等式组可转化为： ， 解得 ， 因为原不等式组只有1个整数解， 所以 ， 解得 ． 23．对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零常数）， 这里等式右边是通常的四则运算，例如： ．（1）已知 ， ． ①求 、 的值； ②若关于 的不等式组 恰好有4个整数解，求实数 的取值范围； （2）若 ， ， 对任意实数 、 都成立（这里 和 均有意义）， 则 、 应满足怎样的关系式？ 【解答】解：（1）①由题意得， ， 解得 ； ②由①得， ， 所以 ， 解得 ， 因为原不等式组有4个整数解， 所以 ， 解得 ； （2） ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 24．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程 的解为 ，不等式组 的解集 为 ．因为 ，所以称方程 为不等式组 ，的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组 的“相伴方程”的是 ①② ；（填序号） ① ② ③ （2）若关于 的方程 是不等式组 的“相伴方程”，求 的取值范 围； （3）若方程 ， 都是关于 的不等式组 的“相伴方 程”，其中 ，求 的取值范围． 【解答】解：（1）解不等式 得 ， 解方程 得： ； 解方程 得： ； 解方程 得： ， ， ， ， ①②是不等式组 的“相伴方程”， 故答案为：①②；（2）解不等式组 得： ， 解方程 得： ， 关于 的方程 是不等式组 的“相伴方程”， ， 解得： ， 即 的取值范围是 ； （3）解方程 得 ， 解方程 得 ， 方程 ， 都是关于 的不等式组 的“相伴方程”， ， 所以分为两种情况：①当 时，不等式组为 ， 此时不等式组的解集是 ，不符合题意，舍去； ②当 时，不等式组的解集是 ， 所以根据题意得： ， 解得： ， 所以 的取值范围是 ．