专题2.3实数的有理化（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 2.3 实数的有理化 【例题精讲】 【例1】在进行二次根式简化时， 我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子， 其实我们还可将其进一步简化： ； （一 ； （二 ； （三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简： ； （四 （1） 化简 （2） 请用不同的方法化简 ． ①参照 （三 式得 ②步骤 （四 式得 （3） 化简：． 【解答】解： （1） ， ． 故答案为： ， ； （2）①原式 ． 故答案为： ； ②原式 ． 故答案为： ； （3） 原式 ． 【例2】阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ， ，使 且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简． 例如：化简 ．解： ， ． 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1） ， ； （2） ， ． 【题组训练】 1．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以将 其进一步化简： ； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． （1）请用其中一种方法化简 ；（2）化简： ． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 2．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出 的结果为 ； （2）利用上面提供的解法，请化简： ． 【解答】解：（1） ； （2）原式． 3．阅读下面计算过程： ； 请解决下列问题 （1）根据上面的规律，请直接写出 ． （2）利用上面的解法，请化简： ． （3）你能根据上面的知识化简 吗？若能，请写出化简过程． 【解答】解：（1） ． （2） ； （3）． 故答案为： ． 4．阅读下面问题： ； ； ． 试求：（1） 的值； （2） 的值； （3） 为正整数）的值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 5．观察下列分母有理化的计算： ， ， ， ， 在计算结果中找出规律，用含有字母 表示大于0的自然数）表示；再利用这一规律计 算以下列式子的值：的值． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ； 即 的值是2009． 6．观察下列等式： ① ； ② ； ③ ； 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： ； （2）计算： ． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ．7．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ； （2）利用上面所提供的解法，请化简： 的值． 【解答】解：（1） ； （2）由题意可知： ．8．我们知道形如 的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数 化为有理数，如： ， 这样的化 简过程叫做分母有理化．我们把 叫做 的有理化因式， 叫做 的有理 化因式，完成下列各题． （1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ； （2）化简： ； （3）比较 的大小，说明理由． 【解答】解：（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ； （2）原式 ； （3） ； ； ， ． 9．阅读下面问题： ；； ． 试求：（1） 的值； （2） 为正整数）的值． （3）计算： ． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）原式 ． 10．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如： ① ；② 等运算都是分母有 理化．根据上述材料，（1）化简： （2）计算： （3） ． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 11．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；（一（二 （三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 化简： ． 【解答】解：原式 ． 12．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们 还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简 ； （2）化简： ． 【解答】解：（1） ． （2）原式 ． 13．（一 阅读下面内容： ； ； ． （二 计算： （1） ； （2） 为正整数）．（3） ． 【解答】解：（二 （1）原式 ； （2） ； （3）原式 ． 15．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 和 ，使 且 ， 则 可变为 ，即变成 ，从而使得 ． 化简： ． ． ． 请你仿照上例将下列各式化简： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1） ， ； （2） ． 16．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得 化 简．例如， ， ． 请仿照上例解下列问题： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1） ， ； （2） ， ． 17．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性 质化去一层根号． 例如： 解决问题： ①在括号内填上适当的数： ②根据上述思路，试将 予以化简． 【解答】解：①， 故答案为： ， ； ② ． 18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ． 设 （其中 、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样可以把部分 的式子 化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表 示 、 ，得： ， ． （2）利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空： ；（3）化简 【解答】解：（1） ， ， 故答案为： ， ． （2）设 则 ， 若令 ， ，则 ， 故答案为：21，4，1，2． （3） 20．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平 方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中 、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表 示 、 ，得： ， ； （2）若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值； （3）化简： ． 【解答】解：（1） ， ， ， ． 故答案为 ， ； （2） ， ， ， ， 、 均为正整数， 、 或 ， ， 或7； （3） ， 则． 21．我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是 一个数的平方，如 ， ， ， ，那么，我们可以利用这种思 想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： ， ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3） ． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）原式 ， ， ，． 22．同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟练掌握了吧！ 现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及 都可以看作是一个数的平方， 如 ， ，下面我们观察： 反之， 求： （1） ； （2） ； （3）若 ，则 、 与 、 的关系是什么？并说明理由． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ， ．理由： ， ， ， ， ． 23．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使 且 ，则 将变成 ，即变成 ，从而使 得以化简． 例如，因为 ，所以 ． 请仿照上面的例子化简下列根式： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1） ， ， （2） ， ． 24．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性 质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1） ； （2） ． 25．同学们学习了公式 ， ， ， 下面我们观察： ，反过来， ， ． 仿上面的例子： （1）化简：① ；② ； （2）填空：在 中，如果有 ， 且 ，那么化简： ．【解答】解：（1）①原式 ； ②原式 ； （2） ， 且 ， ， ， 故答案是： ．