专题2.3用公式法求解一元二次方程（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练_高频考点2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.3 用公式法求解一元二次方程 【学习目标】 1.经历用配方法推导一元二次方程的求根公式的过程； 2.理解求根公式，能用公式法解数字系数的一元二次方程； 3.理解根的判别式，会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，强化推理技能训练，发展 演绎推理能力； 4.经历列一元二次方程解决实际问题的过程，体会模型思想，增强应用意识和能力。 【知识梳理】 1.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: ( =b2－4ac≥0) 推 导 过 程 ： 一 元 二 次 方 程 ， 用 配 方 法 将 其 变 形 为 ： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出 b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x ,x．若b2－4ac＜0，则方程无解． 1 2 3.一元二次方程根的判别式 ( =b2－4ac) ①当 时，方程有两个不相等的实根； ② 当 时，方程有两个相等的实根； ③ 当 时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明 恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的 形式。 【高频考点精讲】 【高频考点1】用公式法解一元二次方程 例1．（2021•达川区期末）解方程：3x2﹣4 x+2＝0（用公式法解）． 【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：3x2﹣4 x+2＝0，∵a＝3，b＝﹣4 ，c＝2， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4 ）2﹣4×3×2＝24， ∴x ，则x ，x ． 1 2【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x 是解题的关键． 变式1.（2022·重庆市·九年级期中）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)x= ，x= (2)x= ，x= (3)方程无解 1 2 1 2 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用公式法求解即可． 【解析】 (1)解： ，2x2+8x-1=0， ∵Δ= =72>0， ∴x= ， ∴x= ，x= ； 1 2 (2)解： ，3x2-11x+9=0， ∵Δ= >0， ∴x= ∴x= ，x= ； 1 2 (3)解： ，∵Δ=(-6)2-4×1×10＝-4<0，∴方程无解． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解 一元二次方程是解题的关键． 变式2.（2022•江干区期末）解下列一元二次方程： （公式法）． 【分析】整理后利用公式法求解可得． 【解答】解：整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2， ∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x ，即x ，x ． 1 2 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接 开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【高频考点2】求根公式的应用 例 2．（2022•福州九年级模拟）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两根分别为 x 1 ，x ，下列判断一定正确的是（ ） 2 A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D． 1 【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案． 【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x ，x ， 1 2 ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x ，x ， 1 2 ∴x +x ＝﹣b ，x •x 1，∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，故选：D． 1 2 1 2 【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目． 变式1.（2022 •和平区九年级期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是 m（m≠0），则b （ ） A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m 【分析】根据公式得出 m，求出即可． 【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m， ∴ m，解得：b 2m，故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 【高频考点3】应用根的判别式判断方程根的情况 例3．（2022•河南九年级模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ） A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出 结论． 【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根； B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根； C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0， ∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关 键． 变式1. （2022·河南南阳市·九年级一模）定义新运算“ab”：对于任意实数a，b，都有 ab(ab)(ab)2，例如43(43)(43)2725．若xk 2x（k为实 数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】根据新定义，得xk (xk)(xk)2，转化成一元二次方程，利用根的判别式判 断即可． 【详解】∵ab(ab)(ab)2，∴xk (xk)(xk)2 x2 k2 2， ∴xk 2x变形为x2 2xk2 20，∴△＝(2)2 41(k2 2)44k2 8＝ 4k2 12＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根，故选C． 【点睛】本题考查了新定义问题，一元二次方程根的判别式，准确理解新定义，灵活运用根的判 别式是解题的关键． 【高频考点4】已知方程根的情况求字母系数的值或范围 例4．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的 取值范围是（ ） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 【答案】D 【分析】根据方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得 ，进而 即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根， ∴ ，解得：m＜4，故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等 的实数根，则判别式大于零，是解题的关键． 变式1. （2021·山东菏泽市·中考真题）关于 的方程 有实数根， 则 的取值范围是（ ） A． 且 B． 且 C． D． 【答案】B【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求 的取值范围即可． 【详解】解：∵关于 的方程 有实数根， ∴ ，且 ，解得， 且 ，故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中 ，熟悉一 元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 【高频考点5】根的判别式的综合应用 例5．（2022•广东模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根； （2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周 长． 【分析】（1）把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值；然后根 据根与系数的关系来求方程的另一根；（2）根据根的判别式的符号进行论证；（3）通过解方程 求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【解答】解：（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣k﹣2+2k＝0，解得k＝1． 设方程的另一根为t，则t＝2k＝2．即k的值为1，方程的另一根为2； （2）∵△＝（k﹣2）2≥0，∴对于任意实数k，原方程一定有实数根； （3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0此方程的两根为x ＝k，x ＝2 1 2 若x ≠x ，则x ＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12． 1 2 1 若x ＝x ＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形， 1 2 所以，这个等腰三角形的周长为12． 【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，等腰三角形 的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍． 变式1. （2022•萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0 （1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非 负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝﹣1代入方程 求解即可； （3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值． 【解答】（1）证明：当k≠0时，∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0， ∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∴△＝（2k﹣3）2≥0， 当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．∴无论k取何值，方程都有实根；（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k ．故k的值 ； （3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3， ∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x ， ∴此方程的两个根分别为x ＝1，x ＝3 ，∵方程的两个实根均为正整数，∴k＝﹣3，k＝﹣ 1 2 1，k＝3． 【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关 键，此题难度不大． 【高频考点6】根的判别式中新定义问题 例6．（2022•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全 等的Rt ABC和Rt BED的边长，易知AE c，这时我们把关于x的形如ax2 cx+b＝0的 一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元 △ △ 二次方程”ax2 cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2 cx+b＝ 0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积． 【分析】（1）只要证明△≥0即可解决问题．（2）当x＝﹣1时，有a c+b＝0，即a+b c，由2a+2b c＝12，即2（a+b） c＝12，推出c＝2 ，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝4，由 （a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝4，由此即可解决问题． 【解答】（1）证明： ， ∵a2+b2＝c2，∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0， ∴关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （2）解：当x＝﹣1时，有 ，即 ， ∵四边形ACDE的周长是12，∴ ，即 ， ∴ ，∴a2+b2＝c2＝8， 又∵a+b＝4，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab，∴ab＝4，∴ ． 【点评】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 变式1.（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数m，n， p， q ，有 m,p※q,nmn pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： 2,3※4,5253422．若关于x的一元二次方程   x2 1,x  ※52k,k0有两个 实数根，则k的取值范围是（ ） 5 5 5 5 A．k  且 B．k  C．k  且 D．k  4 k 0 4 4 k 0 4 【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两 个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，∴k  x2 1  52kx0．整理得， kx2 52kxk 0． 5 ∵方程有两个实数根，∴判别式 且 ．由 得，52k2 4k2 0，解得，k  ． 0 k 0 0 4   5 ∴k的取值范围是k  且 ．故选：C 4 k 0 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法 则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题 的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 【能力提升】一．选择题 1．（2022·全国初三课时练习）x= 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解. 【解析】一元二次方程的求根公式是 ， 对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D. 【点睛】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式. 2．（2022·山东淄博·二模）一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】方程整理后，求出根的判别式的值，即可作出判断． 【详解】解：方程整理得：3x2-5x-12=0， ∵Δ=（-5）2-4×3×（-12）=25+144=169＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系， 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时， 方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 3．（2022·河南·模拟预测）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算各选项方程的根的判别式 然后根据计算的结果分别判断根的情况． 【详解】解：A， 方程没有实数根，故符合题意． B， 方程有两个不相等的实数根，故不符合题意． C， 方程有两个相等的实数根，故不符合题意． D， 方程有两个不相等的实数根，故不符合题意．故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 ( a≠0， a， b，c为常数)的根的判别式 解题的关键是掌握当 方程有两个不相等的实数根;当 方程有两个相等的实 数根;当 方程没有实数根． 4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限， 则关于 的方程 的实数根的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【答案】D 【分析】直线 不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根． 【详解】∵直线 不经过第一象限，∴m=0或m＜0， 当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根； 当m＜0时，方程 是一元二次方程，且△= ， ∵m＜0，∴-4m＞0, ∴1-4m＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准 确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键． 5.（2022•滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确 的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据根的判别式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可 作出判断． 【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝k2﹣4k+4+16﹣4k ＝k2﹣8k+20＝k2﹣8k+16+4＝（k﹣4）2+4＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如 下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两 个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 6.（2022瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b ，关于x的方程 （2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ） A．t B．t C．t D．t 【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解． 【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立； ②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立； 则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0， 该一元二次方程有两个不相等的实数根，△＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0；解得：t ．故选： D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下 关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算． 7．（2022·安岳县初三月考）关于 的一元二次方程 ，给出下列说法： ①若 ，则方程必有两个实数根；②若 ，则方程必有两个实数根；③若 ，则方程有两个不相等的实数根；④若 ，则方程一定没有实数根．其中 说法正确的序号是( ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=- （a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到 △=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2- 4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断． 【解析】①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以① 正确；②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个 实数根，所以②正确；③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必 有两个不相等的实数根，所以③正确；④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不 能判断方程根的情况，所以④错误．故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： 当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△ ＜0时，方程无实数根． 8．（2022·江苏苏州·一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x 的一元二次方程 的两个实数根，则m的值为（ ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，令一元二次方程的根的判别式 ，构建方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ，即 ，解得 ．故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，解 题关键是熟练掌握相关基本知识，用转化的思想思考问题． 9．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列关于x的方程说法正确的是（ ） A． 没有实数根； B． 有实数根；C． 有两个相等的实数根； D． （其中m是实数）一定有实数根. 【答案】D 【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】解：A、移项得： ， ，故方程有两个不相等的实数根，说法错误； B、 中， ，故方程没有实数根，说法错误； C、 中， ，故方程没有实数根，说法错误； D、 中， ，故方程有两个不相等的实数根，正确；故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是本题的关键： Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没 有实数根． 10．（2022·四川绵阳·二模）如果关于x的方程 有正整数解，且关于x的方程 mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先求出分式方程的解，然后再根据一元二次方程根的判别式可得m的范围，进而问题 可求解． 【详解】解：去分母得﹣1﹣2（x﹣2）＝1﹣mx， 整理得（m﹣2）x＝﹣2，解得x＝ ， ∵x为正整数，m为整数，∴m＝0或m＝1， 而x≠2，即 ≠2，解得m≠1，∴m＝0， ∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴m≠0，且 ，即 ， ∴符合条件的m的值有0个．故选：A． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元二次方程根的判别式，熟练掌握分式方程的解法及 一元二次方程根的判别式是解题的关键． 11．（2022·成都市·九年级月考）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 （ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为 ，右图是一个长方形，长宽分别为 、 ，并且它们的面积相等，由此即可列出等式 ，解方程即可求出 ． 【详解】解：依题意得 ，整理得： ， 则 ，方程两边同时除以 ， ， （负值已经舍去），故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会 根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题． 二．填空题 12.（2022•台江区校级月考）若关于x的方程x2 x+n＝0有两个相等的实根，则 ． 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△＝0即可得到关于m、n的方程，进而 即可求得 的值． 【解答】解：∵关于x的方x2 x+n＝0有两个相等的实根， ∴△＝（ ）2﹣4n∴m＝4n，∴ 4．故答案为：4． 【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m、n的方程是解答此题的关键． 13.（2022•海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数 式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ ． 【分析】根据题意得到△＝b2﹣4c＝0，求得c ，把原方程可表示为x2+bx 0，根据x取 m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，得到m2+bm （m+2）2+b（m+2） ，解得b＝ ﹣2m﹣2，把x＝m代入x2+bx+c＝即可得到结论．【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4c＝0，∴c ，∴原方程可表示为：x2+bx 0， ∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等， ∴m2+bm （m+2）2+b（m+2） ，∴b＝﹣2m﹣2， ∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x ， 当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，故答案为： 1． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式的求值，正确的理解题意是解题的 关键． 14．（2022·江苏南通·二模）若 ， 是关于x的方程 的两个根，且 ，则k＝ ______． 【答案】9 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式等于0，进而即可求解． 【详解】解：∵若 ， 是关于x的方程 的两个根，且 ， ∴ ．解得 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相 等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根． 15．（2022·浙江金华·八年级期末）已知关于x的一元二次方程 有实 数根，当m取最大整数值时，代数式 的值为______． 【答案】4 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且 ，进而求得 的 值，得到 ，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，则 ， ∴ ，且 ，解得 ， m取最大整数为1，此时原方程为 ， 即 ， ， 代数式 的值为 ，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，求得 的值是解题的关 键． 16．（2022·浙江杭州·八年级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的有 _____． ①若b＝2 ，则此方程一定有两个相等的实数根； ②若此方程有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根； ③若a﹣b+c＝0，则此方程一定有两个不等的实数根； ④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax+b）2； 0 0 【答案】①②④ 【分析】①由b=2 可得b2=4ac，再根据根的判别式的意义即可作出判断； ②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则Δ=b2-4ac＞0，判断方程cx2+bx+a=0也一定有两个不 等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可； ③由a-b+c=0得：b=a+c，所以b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，故方程有实数根，但不一定有 两个实数根； ④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，即方程有实根，判别式 ≥0，结合m是方程的根，代入一 定成立，即可作出判断． △ 【详解】解：①若b=2 ，等式两边平方得b2=4ac，即b2-4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有 两个相等的实数根； ②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2-4ac＞0， 方程x2-bx+ac=0中根的判别式也是b2-4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若a-b+c=0，则b=a+c，方程ax2+bx+c=0中根的判别式Δ=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0， 故方程有实数根，但不一定有两个不等的实数根； ④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x= ， 0 0 把x 的值代入（2ax+b）2，可得b2-4ac=（2ax+b）2， 0 0 0 综上所述其中正确的①②④．故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x，整 0 体代入求b2-4ac=（2ax+b）2． 0 总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系： （1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根； （2）Δ=0 方程有两个相等的实数根； ⇔ （3）Δ＜0 方程没有实数根． ⇔ 17．（2022⇔·浙江杭州·八年级期中）若关于 的一元二次方程 没有实数根，请写出 一组正确的 ， 的值 ______， ______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）【分析】利用一元二次方程的定义得到 ，再利用根的判别式得到 ，则 ，然后先确定一个 的值，再确定一个 的值（答案不唯一）． 【详解】解： 方程为一元二次方程， ， 方程没有实数根， ，即 ， 当 时， ， 可以取 ，此时方程没有实数解． 故答案为： ， （答案不唯一）． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下 关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根． 三．解答题 18．（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程 ． (1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可． （1） ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴此方程一定有两个不相等的实数根； （2） ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之 间的关系是解本题的关键． 19．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于 的一元二次方程 ．(1)求证：无论 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）用公式法求出方程的两根， ，再由该方程的两根都是整数，且k为整数， 可得 为整数，即可求解． （1） 解：根据题意得： ∴无论 取何值，此方程总有两个实数根； （2） 解： ， ∴ ， ∴ ， ∵该方程的两根都是整数，且k为整数， ∴ 为整数， ∴整数k为±1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时， 方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 20．（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程． (1) ；（配方法）(2) ．（公式法） 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再在方程的两边都加上 再配方，解方程即可； （2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．【解析】 (1)解： 可得： 配方得： 或 解得： (2)解： 则 解得： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解 本题的关键． 21．（2021·山西九年级二模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应 任务． 解方程： ． 解： ． ．第一步 ，第二步 ．第三步 ，第四步 ，或 ．第五步 ， ．第六步 任务一： ①小颖解方程的方法是______； A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法②解方程过程中第二步变形的依据是______； 任务二：请你用“公式法”解该方程． 【答案】任务一：① C；②等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结 果仍是等式；任务二： ， 【分析】任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，②方程两边同时加上一个相 同的数是运用了等式的基本性质；任务二：根据方程得知 、 和 的值，再根据公式法把 、 和 的值代入求解． 【详解】解： 任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，故选C； ②解方程过程中第二步变形的依据是：等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式， 所得结果仍是等式； 任务二：解方程： ． ， ， ． ， ． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式和实数的运算和一元二次方程的解法，正确化简，掌握配方法和公 式法是解题的关键． 22.（2022•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m n＝mn+n．（1）求﹣2 得值； △ △ （2）如果关于x的方程x （a x） 有两个相等的实数根，求实数a的值． 【分析】（1）利用新定义△得到△﹣2 2 ，然后进行二次根式的混合运算； △ （2）先利用新定义把方程化为（a+1）x2+（a+1）x 0，再根据一元二次方程的定义和判别 式的意义得到a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1） 0，然后解不等式和方程可得到a的值． 【解答】解：（1）﹣2 2 2×4 4 4 ； （2）∵a x＝ax+x，∴x （a x）＝x（ax+x）+ax+x， △ △ △ △ ∴关于x的方程x （a x） 化为x（ax+x）+ax+x ，整理得（a+1）x2+（a+1）x 0， △ △∵方程有两个相等的实数根，∴a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1） 0，解得a＝0， 即a的值为0． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下 关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0时，方程无实数根． 23．（2022·山东莱州初二期末）已知 是关于 的一元二次方程 的两实数根．等腰三角形 的一边长为7，若 恰好是 另外两边的长，求 的周长． 【答案】 的周长为17． 【分析】分类讨论：若x=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m=10， 1 1 m=4，当m=10时，由根与系数的关系得x+x=2（m+1）=22，解得x=15，根据三角形三边的 2 1 2 2 关系，m=10舍去；当m=4时，x+x=2（m+1）=10，解得x=3，则三角形周长为3+7+7=17；若 1 2 2 x=x，则m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x=x=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去． 1 2 1 2 【解析】①当7为底边长时，方程 有两个相等的实数根， ∴ ，解得 ，∴方程为 ，解得 ， ∵ ，∴不能构成三角形； ②当7为腰长时，设 ，代入方程得 ，解得 ， ， 当 时，方程为 ，解得 ， ， ∵ ，∴不能构成三角形；当 时，方程为 ，解得 ， ， 此时能构成三角形， 的周长为 ．综上， 的周长为17． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，等腰三角形的性质以及三角形三边 的关系，难度适中．