文档内容
专题2.3 解一元二次方程-公式法（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、理解并掌握用公式法解一元二次方程；
2、理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情
况；
【知识点梳理】
考点1 解一元二次方程-公式法：
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
考点2 一元二次方程的判别式：
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-公式法】
【例1】用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1
【变式1-1】（2021秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
【变式1-2】（2021春•东平县期中）解方程：x2+5＝2 x（用公式法解）；
【变式1-3】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．
【考点2 一元二次方程的判别式】【例2】（2022春•雨花区校级月考）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等实数根
【变式2-1】（2022•河南一模）方程x2+ x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式2-2】（2022•长垣市一模）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖
直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc．则方程 ＝﹣8的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【变式2-3】（2022•长安区模拟）若m+n+2＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n﹣1＝
0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【例3】（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相
等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜ B．a＞ C．a＜ 且a≠1 D．a＞ 且a≠1
【变式3-1】（2022春•义乌市校级月考）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k≤3 C．k≥﹣3且k≠2 D．k≤3且k≠2
【变式3-2】（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2
【变式3-3】（2022•罗湖区模拟）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k
的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0
【例4】（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【变式4-1】（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相
等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【变式4-2】（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
专题2.3 解一元二次方程-公式法（知识解读）
【直击考点】【学习目标】
3、理解并掌握用公式法解一元二次方程；
4、理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情
况；
【知识点梳理】
考点1 解一元二次方程-公式法：
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
考点2 一元二次方程的判别式：
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-公式法】【例1】用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1
【答案】（1）x ＝ ，x ＝ （2）没有实数解
1 2
【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
∴x＝ ＝ ，
所以x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（2）6x（x+1）＝5x﹣1，
整理得6x2+x+1＝0，
∵a＝6，b＝1，c＝1，
∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，
方程没有实数解．
【变式1-1】（2021秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
【答案】 ．
【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴ ，
∴ ．
【变式1-2】（2021春•东平县期中）解方程：x2+5＝2 x（用公式法解）；
【答案】x ＝x ＝ ；
1 2
【解答】解：x2+5＝2 x，x2﹣2 x+5＝0，
a＝1，b＝﹣2 ，c＝5，
b2﹣4ac＝（﹣2 ）2﹣4×1×5＝0，
x＝ ＝ ，
x ＝x ＝ ；
1 2
【变式1-3】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．
【答案】x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：5x2+2x﹣7＝0，
∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
∴x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【考点2 一元二次方程的判别式】
【例2】（2022春•雨花区校级月考）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等实数根
【答案】C
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【变式2-1】（2022•河南一模）方程x2+ x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【答案】D
【解答】解：∵Δ＝（ ）2﹣4×1×1＝﹣1＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【变式2-2】（2022•长垣市一模）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖
直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc．则方程 ＝﹣8的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：∵ ＝﹣8，
∴x2﹣6x＝﹣8，即x2﹣6x+8＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式2-3】（2022•长安区模拟）若m+n+2＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n﹣1＝
0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（n﹣1），
而m+n+2＝0，
即n＝﹣m﹣2，
∴Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2﹣1）
＝m2+4m+12
＝（m+2）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【例3】（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相
等的实数根，则a的取值范围是（ ）A．a＜ B．a＞ C．a＜ 且a≠1 D．a＞ 且a≠1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0且1﹣a≠0，
整理得：4+8﹣8a＞0且a≠1
解得：a＜ 且a≠1．
故选：C．
【变式3-1】（2022春•义乌市校级月考）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k≤3 C．k≥﹣3且k≠2 D．k≤3且k≠2
【答案】C
【解答】解：当k﹣2＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得x＝ ；
当k﹣2≠0时，根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）≥0，解得k≤3且k≠2，
综上所述，k的取值范围为k≤3．
故选：C．
【变式3-2】（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，
解得：k＜2且k≠﹣2．
故选：C．
【变式3-3】（2022•罗湖区模拟）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k
的取值范围是（ ）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0
【答案】B
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1，所以k的取值范围为k≥﹣1且k≠0．
故选：B．
【例4】（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【答案】（1）略 (2)m的值为 或﹣
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝ 或﹣ ．
∴m的值为 或﹣ ．
【变式4-1】（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相
等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【答案】（1）m＜ ． （2）x ＝0，x ＝3
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【解答】解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＞0，
∴m＜ ．
（2）当m＝﹣1时，
∴△＝9，
由求根公式可知：x＝ ，
∴x ＝0，x ＝3．
1 2
【变式4-2】（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．【答案】（1）无论k取何值，方程总有实数根 （2）7
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣
1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长，
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，
解得k＝1，
将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，
解得：x ＝x ＝2．
1 2
此时△ABC三边为3，2，2；
所以周长为3+2+2＝7．
