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专题2.3 解一元二次方程-公式法（专项训练）
1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
3．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2√2
5．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值
范围（ ）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
6．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
7．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
8．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
9．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
10．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
11．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角
三角形的面积.
12．用公式法解方程：x2﹣2 x﹣2＝0．13．用公式法解方程：2x2+4＝7x．
14．用公式法解方程：2x2+4x﹣3＝0．
15．用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
16．用公式法解方程3x2﹣2＝2x．
17．用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0．18．用公式法解解方程：x2+5＝2 x
19．用公式法解下列方程：3x2+5（2x﹣1）＝0．
20．用公式法解元二次方程：x2+1＝3x．
21．用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1
22．用公式法解方程：x2﹣x﹣6＝0．23．用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．
24．用公式法解方程：x2﹣2 x﹣3＝0．
25．用公式法解方程：2x2﹣8x+3＝0．
26．用公式法解下列方程：x2+4x+8＝2x+10
27．用公式法解下列方程：3x2﹣6x﹣2＝028．用公式法解方程：2x2﹣4x＝1．
29．用公式法解下列方程：4x2+1＝5x．
专题2.3 解一元二次方程-公式法（专项训练）
1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵根的判别式Δ=(−1) 2−4×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【答案】A
【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合
题意；
B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，
不符合题意；
D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合
题意.
故答案为：A.
3．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵b+c=5，
∴c=5-b，
∴3x2+bx+b-5＝0 ，
∴△=b2-4ac=b2-4×3×(b-5)
=b2-12b+60
=(b-6)2+24>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
4．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2√2
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
5．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值
范围（ ）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
【答案】D
【解答】解：根据题意得m≠0且Δ=（2m-4）2-4m×（m-2）≥0，
解得m≤2且m≠0，故答案为：D．
6．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
【答案】B
【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B
7．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
【答案】B
【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B.
8．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
【答案】B
【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.故答案为：B.
9．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
1
【答案】（1） a>- 且a≠0 （2）-3.
3
【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，
1
解得a>- 且a≠0.
3
（2）解：由题意得：a+2-3=0，
解得：a=1，
∴x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得x=1或-3，
∴另一个实数根为：-3.
10．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
【答案】（1）略 （2）m<−3．
【解答】（1）证明：∵△=b2−4ac
=(m+2) 2−4×2m
=(m−2) 2，
∵无论m取何值时，(m−2) 2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵原方程可化为(x+2)(x+m)=0，
∴x =−2，x =−m，
1 2
∵该方程有一个根大于3，
∴−m>3．∴m<−3．
11．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角
三角形的面积.
3
【答案】（1）略 （2） 或√2.
2
【解答】（1）证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，
其中：a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，
∴Δ=b2−4ac=[−(m+2)] 2−4×1×(2m−1)=(m−2) 2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，(m−2) 2+4>0，
即Δ>0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得：将x=1代入方程可得：
12−(m+2)+(2m−1)=0，
解得m=2，
∴方程为x2−4x+3=0，
解得：x =1或x =3，
1 2
∴方程的另一个根为x=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
1 3
该直角三角形的面积为： ×1×3= ；
2 2
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，
由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为√32−12=2√2，
1
则该直角三角形的面积为 ×1×2√2=√2；
2
3
综上可得，该直角三角形的面积为 或√2
212．用公式法解方程：x2﹣2 x﹣2＝0．
【答案】x ＝ +2，x ＝ ﹣2．
1 2
【解答】解：x2﹣2 x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝﹣2 ，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2 ）2﹣4×1×（﹣2）＝16＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ±2，
∴x ＝ +2，x ＝ ﹣2．
1 2
13．用公式法解方程：2x2+4＝7x．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：2x2+4＝7x整理为2x2﹣7x+4＝0，
这里：a＝2，b＝﹣7，c＝4，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝49﹣32＝17＞0，
∴x＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
14．用公式法解方程：2x2+4x﹣3＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝
1 2
【解答】解：这里a＝2，b＝4，c＝﹣3，
∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，∴x＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
15．用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．
【答案】 ．
【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴ ，
∴ ．
16．用公式法解方程3x2﹣2＝2x．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：整理得3x2﹣2x﹣2＝0，
这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
17．用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0．
【答案】 ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x＝ ＝ ，
则x ＝ ，x ＝ ．
1 2
18．用公式法解解方程：x2+5＝2 x
【答案】x ＝x ＝ ；
1 2
【解答】解：（1）x2+5＝2 x，
x2﹣2 x+5＝0，
a＝1，b＝﹣2 ，c＝5，
b2﹣4ac＝（﹣2 ）2﹣4×1×5＝0，
x＝ ＝ ，
x ＝x ＝ ；
1 2
19．用公式法解下列方程：3x2+5（2x﹣1）＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：这里a＝3，b＝10，c＝﹣5，
∵Δ＝102﹣4×3×（﹣5）＝100+60＝160＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
20．用公式法解元二次方程：x2+1＝3x．
【答案】x ＝ ，x ＝
1 2
【解答】解：整理成一般式，得：x2﹣3x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
则x＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
21．用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1
【答案】x ＝﹣ ，x ＝1．
1 2
【解答】解：这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，
∴x＝ ＝ ，
解得：x ＝﹣ ，x ＝1．
1 2
22．用公式法解方程：x2﹣x﹣6＝0．
【答案】 ＝3，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴ ，
即x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
23．用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．
【答案】x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【解答】解：5x2+2x﹣7＝0，
∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，∴x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
24．用公式法解方程：x2﹣2 x﹣3＝0．
【答案】x ＝ + ，x ＝ ﹣ ．
1 2
【解答】解：x2﹣2 x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣2 ，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2 ）2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x ＝ + ，x ＝ ﹣ ．
1 2
25．用公式法解方程：2x2﹣8x+3＝0．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：2x2﹣8x+3＝0，
这里a＝2，b＝﹣8，c＝3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×2×3＝40＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
26．用公式法解下列方程：x2+4x+8＝2x+10
【答案】 ， ；
【解答】解：（1）x2+4x+8＝2x+10，
整理，得x2+2x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴ ，
∴ ， ；
27．用公式法解下列方程：3x2﹣6x﹣2＝0
【答案】x ＝ ，x ＝
1 2
【解答】3x2﹣6x﹣2＝0，
这里a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）＝60＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，x＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
28．用公式法解方程：2x2﹣4x＝1．
【答案】x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【解答】解：∵2x2﹣4x＝1，
∴2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
则x＝ ＝ ＝ ，
即x ＝ ，x ＝ ．
1 2
29．用公式法解下列方程：4x2+1＝5x．
【答案】x ＝ ，x ＝1
1 2
【解答】解：4x2+1＝5x，
移项，得4x2﹣5x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×4×1＝9＞0，∴方程有两个实数根，x＝ ＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝1．
1 2
