专题2.3用公式法求解一元二次方程（原卷版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练_高频考点2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题2.3 用公式法求解一元二次方程 【学习目标】 1.经历用配方法推导一元二次方程的求根公式的过程； 2.理解求根公式，能用公式法解数字系数的一元二次方程； 3.理解根的判别式，会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，强化推理技能训练，发展 演绎推理能力； 4.经历列一元二次方程解决实际问题的过程，体会模型思想，增强应用意识和能力。 【知识梳理】 1.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: ( =b2－4ac≥0) 推 导 过 程 ： 一 元 二 次 方 程 ， 用 配 方 法 将 其 变 形 为 ： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出 b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x ,x．若b2－4ac＜0，则方程无解． 1 2 3.一元二次方程根的判别式 ( =b2－4ac) ①当 时，方程有两个不相等的实根； ② 当 时，方程有两个相等的实根； ③ 当 时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明 恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的 形式。 【高频考点精讲】 【高频考点1】用公式法解一元二次方程 例1．（2021•达川区期末）解方程：3x2﹣4 x+2＝0（用公式法解）． 变式1.（2022·重庆市·九年级期中）解下列方程： (1) (2) (3)变式2.（2022•江干区期末）解下列一元二次方程： （公式法）． 【高频考点2】求根公式的应用 例 2．（2022•福州九年级模拟）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两根分别为 x 1 ，x ，下列判断一定正确的是（ ） 2 A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D． 1 变式1.（2022 •和平区九年级期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是 m（m≠0），则b （ ） A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m 【高频考点3】应用根的判别式判断方程根的情况 例3．（2022•河南九年级模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ） A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 变式1. （2022·河南南阳市·九年级一模）定义新运算“ab”：对于任意实数a，b，都有 ab(ab)(ab)2，例如43(43)(43)2725．若xk 2x（k为实 数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【高频考点4】已知方程根的情况求字母系数的值或范围 例4．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的 取值范围是（ ） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 变式1. （2021·山东菏泽市·中考真题）关于 的方程 有实数根， 则 的取值范围是（ ） A． 且 B． 且 C． D． 【高频考点5】根的判别式的综合应用 例5．（2022•广东模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周 长． 变式1. （2022•萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0 （1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）． 考点6】根的判别式中新定义问题 例6．（2022•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全 等的Rt ABC和Rt BED的边长，易知AE c，这时我们把关于x的形如ax2 cx+b＝0的 一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元 △ △ 二次方程”ax2 cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2 cx+b＝ 0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积． 变式1.（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数m，n， p， q ，有 m,p※q,nmn pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： 2,3※4,5253422．若关于x的一元二次方程   x2 1,x  ※52k,k0有两个 实数根，则k的取值范围是（ ） 5 5 5 5 A．k  且 B．k  C．k  且 D．k  4 k 0 4 4 k 0 4 【能力提升】 一．选择题1．（2022·全国初三课时练习）x= 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0 2．（2022·山东淄博·二模）一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2022·河南·模拟预测）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A． B． C． D． 4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限， 则关于 的方程 的实数根的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 5.（2022•滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确 的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6.（2022瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b ，关于x的方程 （2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ） A．t B．t C．t D．t 7．（2022·安岳县初三月考）关于 的一元二次方程 ，给出下列说法： ①若 ，则方程必有两个实数根；②若 ，则方程必有两个实数根；③若 ，则方程有两个不相等的实数根；④若 ，则方程一定没有实数根．其中 说法正确的序号是( ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2022·江苏苏州·一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x 的一元二次方程 的两个实数根，则m的值为（ ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 9．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列关于x的方程说法正确的是（ ） A． 没有实数根； B． 有实数根；C． 有两个相等的实数根； D． （其中m是实数）一定有实数根. 10．（2022·四川绵阳·二模）如果关于x的方程 有正整数解，且关于x的方程 mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2022·成都市·九年级月考）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 （ ） A． B． C． D． 二．填空题 12.（2022•台江区校级月考）若关于x的方程x2 x+n＝0有两个相等的实根，则 ． 13.（2022•海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数 式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ ． 14．（2022·江苏南通·二模）若 ， 是关于x的方程 的两个根，且 ，则k＝ ______． 15．（2022·浙江金华·八年级期末）已知关于x的一元二次方程 有实 数根，当m取最大整数值时，代数式 的值为______． 16．（2022·浙江杭州·八年级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的有 _____． ①若b＝2 ，则此方程一定有两个相等的实数根； ②若此方程有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根； ③若a﹣b+c＝0，则此方程一定有两个不等的实数根； ④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax+b）2； 0 0 17．（2022·浙江杭州·八年级期中）若关于 的一元二次方程 没有实数根，请写出 一组正确的 ， 的值 ______， ______． 三．解答题18．（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程 ． (1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 19．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：无论 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数 的值． 20．（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程． (1) ；（配方法）(2) ．（公式法） 21．（2021·山西九年级二模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应 任务． 解方程： ． 解： ． ．第一步 ，第二步 ．第三步 ，第四步 ，或 ．第五步， ．第六步 任务一： ①小颖解方程的方法是______； A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 ②解方程过程中第二步变形的依据是______； 任务二：请你用“公式法”解该方程． 22.（2022•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m n＝mn+n．（1）求﹣2 得值； △ △ （2）如果关于x的方程x （a x） 有两个相等的实数根，求实数a的值． 初二期末）已知 是关△于 的△一元二次方程 的两实数根．等腰三 角形 的一边长为7，若 恰好是 另外两边的长，求 的周长．