专题 28 圆的方程及直线、圆的位置关系
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
圆锥曲线近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第11题,5分 直线与圆的位置关系， 参数方程
2023年全国乙（文科），第13题,5分 根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第5题,5分
根据标准方程确定圆的圆心和半径 几何概型
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第11题,5分
直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标
2023年全国乙（文科），第12题,5分
2023年全国乙（理科），第12题,5分 直线与圆的位置关系 向量的数量积
2023年全国乙（理科），第20题,12分 1、根据离心率求椭圆方程；
2023年全国乙（文科），第21题,12分 2、椭圆中的定点问题；
2023年全国甲（文科），第7题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2023年全国甲（理科），第8题,5分
双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦
2023年全国甲（文科），第9题,5分
2023年全国甲（理科），第12题,5分 椭圆的定义、焦点三角形
1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线
2023年全国甲（理科），第20题,12分
方程；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
2、抛物线中的三角形面积问题
2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常考选填题；
2.考查圆的方程，判断圆心与半径；
3.考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；
4.考查与圆相关的最值问题
【备考策略】1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程.
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
3.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两个圆
的位置关系.
4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
5.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
【命题预测】1.考查圆的方程，判断圆心与半径；
2.考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；
3.考查与圆相关的最值问题
知识讲解
一、圆的定义和圆的方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准 圆心: ,
方程 半径:
( D) 2
, 即 x+ +
一般 2 圆心: ,
方程 ( E) 2 D2+E2-4F
y+ = (D2+E2-4F>0)
2 4
半径:
1.几种特殊位置的圆的方程
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点
过原点
圆心在 轴上
圆心在 轴上
与 轴相切
与 轴相切
2.以 为直径端点的圆的方程为 .
二、点与圆的位置关系
点 与圆 的位置关系:
1.若点 在圆外,则 ;
2.若点 在圆上,则 ;
3.若点 在圆内,则 .
求圆的方程的两种方法
(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心的坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:①若已知条件与圆心 和半径 有关,则设圆的标准方程,求出 的值;②选择
圆的一般方程,
依据已知条件列出关于 的方程组,进而求出 的值.
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法:根据圆与直线的定义列出方程.
③几何法:利用圆的几何性质列出方程.
④相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,其中
以下几类转化较为常见:
(1)形如 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如 的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.求解形如 (其中 均为动点)且与圆 有关的折线段的最值问题的基本思路:
(1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;
(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
利用已知或隐含的不等关系,先构建以待求量为元的不等式,再借助基本不等式求最值.
三、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
1.三种位置关系: 、 、 .
2.两种研究方法
{Δ>0 ⇔ 相交 ,
Δ=0 ⇔ 相切 ,
(1)
Δ<0 ⇔ 相离 .
{d<r ⇔ 相交 ,
d=r ⇔ 相切 ,
(2)
d>r⇔ 相离 .
四、圆与圆的位置关系
设圆 ,圆 .
位置
关系
几何法:圆心距 与 的关系
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
外切
相交
内切
内含
1.与圆的切线有关的结论
(1)过圆 上一点 的切线方程为 ;
(2)过圆 上一点 的切线方程为 ;
(3)过圆 外一点 作圆的两条切线,切点分别为 ,则过 两点的直线方程为
.
2.直线被圆截得的弦长
弦心距 ,弦长 的一半 及圆的半径 构成一直角三角形,且有 .
3.两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆 , ①
圆 . ②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程由①-②得到,即(D-D )x+(E-E )y+(F-F )=0.
1 2 1 2 1 2
4.常用的圆系方程
(1)圆心为定点 的同心圆系方程为 ,其中 为定值, 是参数.
(2)半径为定值 的圆系方程为 ,其中 为参数, 是定值.
(3) 过 圆 与 直 线 的 交 点 的 圆 系 方 程 为.
(4)过圆 与圆 交点的圆系方程为
,此圆系中不含圆 .
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用 与 的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系适用于动直线问题.
圆的切线方程的求法
(1)几何法:设切线方程为 ,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 ,然后
令 ,进而求出 .
(2)代数法:设切线方程为 ,与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然
后令其根的判别式 ,进而求得 .
注意:若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条(若通过上述
方法只求出一个 ,则说明另一条切线的斜率一定不存在,此时另一条切线的方程为 ).
求解圆的弦长的3种方法
1.几何法:根据半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形,求解.
2.公式法:根据公式 求解.
3.距离法:联立直线与圆的方程,解方程组求出两交点的坐标,用两点间距离公式求解.
几何法判断圆与圆的位置的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 和 , 的值.
(3)比较 , , 的大小,写出结论.
若两圆相交,则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 项得到.
同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线.当两圆的位置关系不同时,公切线的条数也不同.具体情况
如下表:
位置关系 切线条数
外离 4
外切 3
相交 2
内切 1
内含 0
考点一、圆的标准方程与一般方程
1．圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）A． B．
C． D．
2．与圆 同圆心，且过点 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，
则 的方程为 ．
1．若圆 与圆C关于直线 对称，则圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若方程 表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）过四点 中的三点的一个圆的方程为
．
考点二、与圆有关的轨迹问题
1．若圆 与圆 关于直线 对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相
切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．2．（2023年河北省模拟数学试题）点A是圆 上的一个动点，点 ，当点A在圆上运动时，
线段 的中点P的轨迹方程为 .
3．已知圆C ：（x＋3）2＋y2＝1和圆C ：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆
1 2 1 2
圆心M的轨迹方程为 .
4．（2023-2024学年湖北省模拟考试数学试题）已知圆O的直径 ，动点M满足 ，则点
M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023年广东省模拟数学试题）点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 的中点 的
轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两条直线 ， ，有一动圆（圆心和半径都在变动）与 都相交，
并且 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
3．（2023年山东省模拟数学试题）两定点A，B的距离为3，动点M满足 ，则M点的轨迹长
为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 是圆 上的定点，点 是圆内一点， 、 为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．
考点三、与圆有关的最值问题
1．若x，y满足 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．无法确定
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M： ，直线 ：
， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆 ，过点（1，2）的直线
被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆
上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若圆 ）与圆 交于A、B两点，则
tan∠ANB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1．已知点 是圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
2．已知圆 的方程为 ，点 在直线 上，线段 为圆 的直径，则 的
最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2021年北京市高考数学试题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变
化时，若 的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知边长为2的等边三角形 ， 是平面 内一点，且满足 ，则三角形 面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 ： 与圆 ： 相外切，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
考点四、直线与圆的位置关系
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l
的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
2．若直线 与圆 相交于 两点， 且 (其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
3．（2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题）已知抛物线 上三点 ，直
线 是圆 的两条切线，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．2．设 为实数，若直线 与圆 相交于M，N两点，且 ，则
（ ）
A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1
3．（2023届广东省二模数学试题）若斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数
的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
4．已知直线l： 与圆C： 交于A，B两点，O为坐标原点，则 的
最小值为（ ）．
A． B． C． D．
考点五、圆与圆的位置关系
1．已知两圆分别为圆 和圆 ，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
2．设圆 ，圆 ，则圆 ， 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知圆 ， ，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
1．（2023届广西阶段性联合检测数学（文）试题）圆 与圆 的
位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
2．已知圆 ： 与圆 ： ，若圆 与圆 有且仅有一个公共
点，则实数a等于（ ）A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
3．已知圆 与圆 的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
4．设 与 相交于 两点，则
．
考点六、圆在情景中的应用
1．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作
中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为
阿波罗尼斯圆.已知 ， ，圆 上有且仅有一个点P满足 ，
则r的取值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
2．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名
的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该
圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆 上有且只有一个点
在椭圆 的蒙日圆上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学
成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这
个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满 ，则动点P轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
2．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著
名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且
该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆 与椭圆
的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
【基础过关】
1．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为
.
2．（2023年四川省模拟数学试题）自 引圆 的割线ABC，则弦 中点P的轨迹方程
.
3．过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D． 或
4．（2022年北京市高考数学试题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
5．圆 的圆心和半径分别是（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
6．已知点A（1，2）在圆C： 外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．若实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线 ： 恒过点 ，过点 作直线与圆C： 相交于A，B两点，
则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
9．（2020年北京市高考数学试题）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2023届广东省调研数学试题）已知圆 关于直线 （ ， ）
对称，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
11．直线 分别与x轴，y轴交于 两点，点 在圆 ，则 面积的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则
圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．13．已知直线 与圆 交于 两个不同点，则当弦 最短时，
圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉
的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，
后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知 ， ，圆 上有且仅有一个点
P满足 ，则r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【能力提升】
1．求过两圆 和 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程
（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线 与圆 相交于两点 ，当 变化时， 的面积的最大值
为（ ） △
A． B． C． D．
3．已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则动点 运动轨迹的
周长为 .
4．（2024届河北省调研监测数学试题）过圆 ： 上一点 作圆 ： 的两切
线，切点分别为 ， ，设两切线的夹角为 ，当 取最小值时，
.
5．（2023届湖北省调研数学试题）若两条直线 与圆 的四个交点能构成矩形，则 .
6．直线 被圆O； 截得的弦长最短，则实数m= .
7．已知抛物线 ，圆 ，直线 与 交于A、B两点，与 交于
M、N两点，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
8．已知圆 的面积被直线 平分，圆 ，
则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
9．已知过点 的动直线l与圆C： 交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于
点N．若动点 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的
科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人
将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点 ， ，圆 ，在圆上存在
点 满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ： ，直线 ： ， 为直线 上的动点，过点 作 的切
线 ， ，切点为 ， ，当四边形 的面积取最小值时，直线AB的方程为
．
12．（2022年全国新高考I卷数学试题）写出与圆 和 都相切的一条直线的
方程 ．13．平面上两点A、B，则所有满足 且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊
数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆 上的动点P满足： 其中O为坐标原点，A点的坐标
为 .
(1)直线 上任取一点Q，作圆 的切线，切点分别为M，N，求四边形 面积的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一
条渐近线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域
内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线 与 交于A，B两点，
写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
6．（2022年全国新高考II卷数学试题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
7．（2022年高考天津卷数学真题）若直线 与圆 相交所得的弦长为
，则 ．
8．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 ．
9．（2020年浙江省高考数学试题）设直线 与圆 和圆 均相切，则
；b= ．10．（2020年天津市高考数学试题）已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为 ．
