文档内容
专题2.3 立方根（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【要点梳理】
要点一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果
，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
特别说明：：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立
方和立方互为逆运算.
要点二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这
个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
要点三、立方根的性质
特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
要点四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向
左移动1位.例如， ， ， ， .
【典型例题】
类型一、立方根概念的理解
1．填表：
算术平方
相反数等 绝对值等 倒数等于 平方等于 立方等于 平方根等 立方根等 最大的负 绝对值最
根等于它
于它本身 于它本身 它本身 它本身 它本身 于它本身 于它本身 整数 小的数
本身
【答案】填表见解析
解：试题分析：（1）根据相反数的性质，相反数等于它本身的数只能是0；
（2）根据绝对值的性质解答．非负数的绝对值是它本身；
（3）根据倒数的定义可知，±1的倒数等于它本身；（4）根据平方的性质解答；
（5）根据立方的性质解答；
（6）-1没有平方根，1的平方根是±1，0的平方根是0；
（7）由于一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，算
术平方根等于它本身的数是只能是0和1，由此即可求解；
（8）直接利用立方根的性质得出符合题的答案；
（9）根据负整数的定义可知；
（10）根据绝对值的性质解答，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相
反数，0的绝对值是0．
试题解析：填表如下
【变式1】 简答：
(1)设 +|b3-27|=0,求(a+b)2的值;
(2)已知225的算术平方根是a,-512的立方根是b,求 的值.
【答案】(1)1;(2)6.
【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性可求出a及b的值，进而可得出答案；
（2）首先根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值，然后将a、b的值代入化简
即可．
解：(1) 由题意知:a3+64=0,b3-27=0,
解得a=-4,b=3.
∴(a+b)2=(-4+3)2=(-1)2=1.
(2) ∵ =15=a, =-8=b,
∴ =6.
【点拨】本题主要考查的是算术平方根、立方根的定义.根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值是解题的关键．
【变式2】已知 的平方根是 ，实数 的立方根是 ，求 的立方
根.
【答案】
【分析】利用平方根及立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代
入原式计算求出立方根即可．
解：∵实数a+b的平方根是±4，实数 的立方根是-2，
∴a+b=16， =-8，
∴a=-24，b=40，
∴
∴ 的立方根是 .
【点拨】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
类型二、求一个数的立方根
1．正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7．
（1）求a的值；
（2）求44﹣x这个数的立方根．
【答案】(1) a＝﹣10;(2) 4－x的立方根是﹣5
【分析】（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平
方根，它们互为相反数，求出a的值；
根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x的值，再根
据立方根的定义即可解答.
解：解：（1）由题意得：3﹣a＋2a＋7＝0，∴a＝﹣10,（2）由（1）可知x＝169，则44－x＝﹣125，
∴44－x的立方根是-5.
【点拨】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；负数没有平方根．
举一反三：
【变式1】 计算：
【答案】 ．
【分析】先算平方根、立方根、乘方和绝对值，再加减．
解： ，
= ，
= ．
【点拨】本题考查了乘方、立方根、平方根和绝对值的混合运算，解题关键是熟练应
用相关法则，准确进行运算．
【变式2】我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成
b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互
为相反数．
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若 与 互为相反数，求1－ 的值．
【答案】（1）成立；（2）-1
解：【试题分析】
举例：8和-8的立方根分别为2和-2. 2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数；
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则 =1-2=-1.
【试题解析】
（1）8和-8的立方根分别为2和-2；2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数（举
例符合题意即可），成立.
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则 =1-2=-1.故答案为-1.【方法点睛】本题目是一道关于立方根的拓展题目，根据立方根互为相反数得到这两
个数互为相反数；反之也成立.运用了从特殊的到一般的数学思想.
类型三、已知一个数的立方根，求这个数
3．已知x+12的算术平方根是 ，2x+y﹣6的立方根是2．
（1）求x，y的值；
（2）求3xy的平方根．
【答案】（1）x=1，y=12；（2）±6．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解答，由算数平方根的定义，可得
x+12=( )2，求解可得到x的值；由立方根的定义，得到2x+y-6=23，将x的值代入
2x+y=14，即可得到y的值；
（2）先求出3xy的值，再结合平方根的定义即可求出3xy平方根．
解：（1）∵x+12的算术平方根是 ，2x+y﹣6的立方根是2．
∴x+12= =13，2x+y﹣6=23=8，
∴x=1，y=12
（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，
∵36的平方根是±6，
∴3xy的平方根±6．
【点拨】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立
方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知x﹣2的平方根是±2，5y+32的立方根是﹣2．
（1）求x3+y3的平方根．
（2）计算：|2﹣ |- 的值．
【答案】（1）无平方根；（2）﹣3 ．
【分析】根据题意可分别得到关于x、y的方程，解方程可求得x、y的值；
（1）把上面求得的x、y的值代入x3+y3进行计算后再根据平方根的定义进行求解即可；（2）把x、y的值代入根据绝对值的性质进行化简后再按顺序进行计算即可.
解：由题意得：x﹣2=4，5y+32=﹣8，解得：x=6，y=﹣8；
（1）x3+y3=216﹣512=﹣296，-296没有平方根，所以x3+y3无平方根；
（2）原式=|2﹣ |﹣| +2|+ = ﹣2﹣ ﹣2+ =﹣3 ．
【点睛】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义求出x、y的
值是解题的关键.
【变式2】已知 的平方根是±4， 的立方根是-2．求 的平方根．
【答案】±13
【分析】利用平方根、立方根的定义先求出x与y的值，再将x，y的值代入计算后可
进一步得出结果．
解：∵x+2的平方根为±4，4y-32的立方根是-2，
∴x+2=16，4y-32=-8，
解得：x=14，y=6，
则x2-y2+9=169，
∴x2-y2+9的平方根是±13．
【点拨】此题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握基本概念是解题的关键，注意
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
类型四、立方根的实际运用
4某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2= ,
其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?
(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)?
【答案】（1）0.9h （2）9.7km
【分析】（1）根据t2＝ ，其中d=9（km）是雷雨区域的直径，开立方，可得答案；
（2）根据t2＝ ，其中t=1h是雷雨的时间，开立方，可得答案．解：(1)当d＝9时，则t2＝ ，因此t＝ ＝0.9.
答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.
(2)当t＝1时，则 ＝12，因此d＝ ≈9.65≈9.7.
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.
【点拨】本题考查了立方根，注意任何数都有立方根．
举一反三：
【变式1】 小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个
正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【答案】6cm
【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解．
解：设第二个纸盒的棱长为acm，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体
积大189cm3，
∴a3-33=189，
∴a3=189+27=216，
a3=216=63
∴a=6cm．
【点拨】此题考查立方根的计算, 关键是能根据题意得出方程．．
【变式2】请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的表面积．
【答案】（1）魔方的棱长6cm；（2）长方体纸盒的长为10cm．
解：试题分析：（1）由正方体的体积公式，再根据立方根，即可解答；（2）根据长方体的体积公式，再根据平方根，即可解答.
试题解析：（1）设魔方的棱长为xcm，
可得：x3=216，
解得：x=6，
答：该魔方的棱长6cm；
（2）设该长方体纸盒的长为ycm，
6y2=600，
y2=100，
y=10，
答：该长方体纸盒的长为10cm．
类型五、算术平方根与立方根的实际应用
5已知 x+3 的立方根为 2，3x+y-1 的平方根为±4 ，求 3x+5y 的算术平方根．
【答案】5
【分析】根据立方根的立方得被开方数和平方根的平方等于被开方数，可得二元一次
方程组，根据解方程组，可得 x、y 的值，再计算 3x+5y 的值，根据算术平方根的定义，
可得答案．
解：由 x+3 的立方根为 2，3x+y-1 的平方根为±4 ，得：
∴3x+5y=15+10=25，
∵25 的算术平方根为 5，
∴3x+5y 的算术平方根为 5
【点拨】本题主要考查了立方根，平方根和算术平方根，解题关键是利用立方根的立
方和平方根的平方等于被开方数得出二元一次方程组．
举一反三：
【变式1】 已知a是一64的立方根，b的算术平方根为2.
(1)写出a，b的值;(2)求3b一a的平方根，
【答案】(1)a=-4,b=4;(2) ±4.
