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专题 28 圆锥曲线求范围及最值六种类型大题 100 题
类型一:距离或长度关系的范围最值1-20题
1．在平面直角坐标系 中，直线 与椭圆 相交于 、 两点，与圆
相交于 、 两点．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）求 的取值范围．
2．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为 的直线l被E截得的线段长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－ 相交于A，B两点. 求
的取值范围．
3．已知抛物线 ，过点 作直线 ､ ，满足 与抛物线恰有一个公共点 ， 交抛物
线于 ､ 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与抛物线和相切于点 ，且 ､ 的斜率之和为0，直线 ､ 分别交 轴于点 ､ ，求线
段 长度的最大值.4．已知椭圆 的长轴长是 ，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段 的垂直平分线与y轴负半
轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是 ，求 的最小值；
5．在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线 的距离的3倍之和记为
d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和．
（1）求点P的轨迹C；
（2）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．
6．已知椭圆 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ，过 的直线 与 交于
两点，若 与 轴垂直时，
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若点 在椭圆 上，且 为坐标原点），求 的取值范围.
7．已知椭圆 ： 经过点 ，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形.（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 交椭圆 于 ､ 两点，求 的取值范围.
8．已知抛物线Г： ，过 作抛物线的两条切线 ，切点分别为A，B，且直线
的斜率为1．
（1）求 的值；
（2）直线l过点P与抛物线Г相交于两点C，D，与直线 相交于点Q，若 恒成立，
求 的最小值．
9．已知 为圆 的圆心， 是圆 上的动点，点 ，若线段 的中垂线与 相交于
点.
（1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与点 的轨迹 分别相交于 ， 两点，且与圆 相交于 ， 两点，
求 的取值范围.10．已知椭圆 的长轴长为 ，点 在 上.
（1）求 的方程；
（2）设 的上顶点为A，右顶点为B，直线 与 平行，且与 交于 ， 两点， ，点 为
的右焦点，求 的最小值.
11．已知椭圆C： 过点 ， 为椭圆的左右顶点，且直线 的斜率
的乘积为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线 与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线 于点P，交直线
于点Q，求 的最小值.
12．已知抛物线 的顶点为 ，焦点 .（1）求抛物线 的方程；
（2）过 作直线交抛物线于 两点.若直线 、 分别交直线 ： 于 、 两点，求 的
最小值.
13．抛物线 ： 在第一象限上一点 ，过 作抛物线 的切线交 轴于点 ，过 作 的垂线交抛
物线 于 ， （ 在第四象限）两点，交 于点 ．
（1）求证： 过定点；
（2）若 ，求 的最小值．14．已知离心率为 的椭圆 经过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 关于x轴的对称点为 ，过点 斜率为 的两条不重合的动直线与椭圆 的另一交点分别为
（ 皆异于点 ）.若 ，求点 到直线 的距离的取值范围.
15．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ，左顶点为 ，离心率为 ，上顶点
， 的面积为
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 ： 与椭圆 相交于不同的两点 ， 是线段 的中点.若经过点 的直线
与直线 垂直于点 ，求 的取值范围.
16．设椭圆 的左右焦点分别为 ， 是 上的动点，直线 经过椭圆的
一个焦点， 的周长为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2） 为椭圆上一点，求 的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.17．设实数 ，椭圆D： 的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段
PQ的中为N，点O是坐标原点，直线ON交直线 于点M．
（1）若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；
（2）求证： ；
（3）求 的最大值．
18．如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点 是椭圆 与抛物线 的交点，过点
的直线 交椭圆 于点 ，交抛物线 于点 （ ， 不同于 ）．（1）求椭圆 的焦距；
（2）设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的点，且 、 、 三点共线，若存在不过原点的直线 使
为线段 的中点，求 的最小值．
19．已知椭圆 的焦距为 ，且过点
（1）求椭圆的方程；
（2）若点 是椭圆的上顶点，点 在以 为直径的圆上，延长 交椭圆于点 ，
的最大值.20．如图，已知 ，直线 ， 是平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；
①已知 ，求 的值；
②求 的最小值．类型二:面积的范围最值1-21题
1．已知椭圆 过点 ，椭圆的焦距为2．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 过点 ，且斜率为 ，若椭圆 上存在 两点关于直线 对称， 为坐标原
点，求 的取值范围及 面积的最大值．
2．已知椭圆 的一个焦点为 ， ， 为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一
点，三角形 面积的最大值为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点的直线 与椭圆C交于A、B两点，若直线l的斜率的平方是直线 、 斜率
之积，求三角形 面积的取值范围.3．已知椭圆 的右焦点为F，离心率为e，从第一象限内椭圆 上一点P向x轴作垂
线，垂足为F，且tan∠POF＝e，△POF的面积为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l//PO，椭圆C与直线l的交于A，B两点，求△APB的面积的最大值．
4．已知椭圆 （ ）经过点 ，且离心率为 ． ： 的任意一切
线 与椭圆交于 ， 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在 ，使得 ，若存在，求 的面积 的范围；不存在，请说明理由．
5．已知动点 到点 与到直线 的距离相等.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设 在曲线 上，过 作两条互相垂直的直线分别交曲线 异于 的两点 ， ，且 ，记直线 的斜率为 .
（i）试用 的代数式表示 ；
（ii）求 面积 的最小值.
6．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且其长轴长与焦距之和为 ，直线 ，
与椭圆 分别交于点 ， ， ， ，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求四边形 面积的最大值．
7．如图，在直角坐标系中，以 为圆心的圆M与抛物线 依次交于A，B，C，D四点．
（1）求圆M的半径r的取值范围；
（2）求四边形 面积的最大值，并求此时圆的半径．8．已知抛物线 ： 和点 ，且点 和线段 的中点均在抛物线 上．
（1）求 的值；
（2）设点 ， 在抛物线 上，点 在曲线 上，若线段 ， 的中点均在抛物线 上，
求 面积 的最大值.
9．设抛物线 的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的两点A和B.
（1）若|FA|=3，求点A的坐标；
（2）若m=2，求证:原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（3）若|FA|=|FM|，且直线 ， 与抛物线有且只有一个公共点E，问:△OAE的面积是否存在最小值?
若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.
10．已知抛物线 ： ，直线 ： ，点 .
（1）过点 作抛物线 的切线，记切点为 ，求直线 的方程；
（2）点 为直线 上的动点，过点 作抛物线 的切线，记切点分别为 ，求 面积的最小值.
11．如图，已知抛物线 ： ，斜率为1的直线 与抛物线 交于两个不同的点A，B，过A，B 分别
作抛物线 的切线，交于点M.（1）求点M的横坐标；
（2）已知F为抛物线 的焦点，连接FA，FB，FM，记 面积为 ， 面积为 ，记 面
积为 ，求 的最小值.
12．已知椭圆焦点在 轴上，下顶点为 ，且离心率 .直线 经过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 与椭圆相切，求直线 的方程；
（3）若直线 与椭圆相交于不同的两点 ､ ，求 面积的最大值.
13．已知线段 在坐标轴上滑动，点A在y轴上滑动（包括原点），点B在x轴上滑动（包括原点）.
若 ，记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）点P在曲线C上，且在第一象限，过P作椭圆 的切线，切点分别为A，B.求 面积的
取值范围.注；过椭圆 外一点 作椭圆的切线，切点为A，B.则AB的直线方程为：
.
14．已知椭圆 和抛物线 ，点F为 的右焦点，点H为 的焦点．
（1）过点F作 的切线，切点为P， 求抛物线 的方程；
（2）过点H的直线l交 于P，Q两点，点M满足 ，（O为坐标原点），且点M在线段
上，记 的面积为 的面积为 ，求 的取值范围．
15．已知 ： 的上顶点到右顶点的距离为 ，离心率为 ，过椭圆左焦点 作不与x轴重合的
直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为： ，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点
E.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求 面积的最大值.
16．已知抛物线T： （ ）和椭圆C： ，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段 的中垂线交椭圆C于M，N两点.
（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
（2）若 恰好被 平分，求 面积的最大值
17．在平面直角坐标系 中，点 ，过动点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 .
记动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的直线 交曲线 于不同的两点 、 .
①若 为线段 的中点，求直线 的方程；
②设 关于 轴的对称点为 ，求 面积 的取值范围.
18．在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 到直线 的距离等于 .动点 的轨迹记为曲
线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知 ，过点 的动直线 与曲线 交于 ， 两点，记 和 的面积分别为 和 ，
求 的最大值.19．已知动点 到定点 的距离和 到直线 的距离的比是常数 .
（1）求点 的轨迹 .
（2）若 为轨迹 与 轴左侧的交点，直线 交轨迹 于 两点 不与 重合 ，连接 ，并延
长交直线 于 两点，且 ，问：直线 是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说
明理由
（3）在（2）的条件下，若直线 斜率 的取值范围是 ，求 面积的取值范围
20．已知抛物线 的焦点为 .且 与圆 上点的距离的最小值为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若点 在圆 上， ， 是 的两条切线. ， 是切点，求 面积的最大值.
21．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，且椭圆C上的点M满足
， ．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点 是椭圆 的上顶点，点 在椭圆C上，若直线 ， 的斜率分别为 ，满足 ，
求 面积的最大值．
类型三:坐标或截距的范围最值1-19题
1．已知圆 的圆心为 ，过点 作直线与圆 交于点 、 ，连接 、 ，过点
作 的平行线交 于点 ；
（1）求点 的轨迹方程；
（2）已知点 ，对于 轴上的点 ，点 的轨迹上存在点 ，使得 ，求实数 的取值
范围．
2．已知抛物线 ，点 是 的焦点， 为坐标原点，过点 的直线 与 相交于 两点.
（1）求向量 与 的数量积；
（2）设 ，若 ，求 在 轴上截距的取值范围.
3．已知抛物线C： （ ）的焦点为F，原点O关于点F的对称点为Q，点 关于点Q的对
称点 ，也在抛物线C上
（1）求p的值；
（2）设直线l交抛物线C于不同两点A､B，直线 ､ 与抛物线C的另一个交点分别为M､N，
， ，且 ，求直线l的横截距的最大值.4．已知直线 与抛物线 ： 在第一象限内交于点 ，点 到 的准线的距离为 ．
(Ⅰ)求抛物线 的方程
(Ⅱ)过点 且斜率为负的直线交 于点 ，过点 与 垂直的直线交 于点 ，且 ， ， 不重合，求
点B的纵坐标的最小值．
5．如图，椭圆C： ＝1（a＞b＞0）的离心率是 ，短轴长为2 ，圆的左、右顶点．过F的直线
l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记 ABA 的面积为S， MA Q的面积为S，若S≥3S，求直线l在y轴上截距的范围．
1 1 2 2 1 2
6．已知抛物线 ，直线 交抛物线C于M、N两点，且线段 中点的纵坐标
为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点 ，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以
为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．7．椭圆 两焦点分别为 、 ，且离心率 ；
（1）设E是直线 与椭圆的一个交点，求 取最小值时椭圆的方程；
（2）已知 ，是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交于不同的两点A、B，使得点N在线段
AB的垂直平分线上，若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由．
8．已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点．
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 的斜率存在，在线段 上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出 的范围，
若不存在，请说明理由．
9．已知动圆 与圆 外切，与圆 内切．
（1）试求动圆圆心 的轨迹方程；
（2）过定点 且斜率为 的直线 与（1）中轨迹交于不同的两点 ，试判断在 轴上是否
存在点 ，使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数 的范围；若不存在，请
说明理由．
10．已知点 ， ，直线 与直线 的斜率之积为 .（1）求点M的轨迹 方程；
（2）点N是轨迹 上的动点，直线 ， 斜率分别为 ， 满足 ，求 中点横坐标 的
取值范围.
11．已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 是其渐近线上的一点，且
以 为直径的圆过点 ， ，点 为坐标原点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）当点 在 轴上方时，过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ，设直线 与双曲线
相交于不同的两点 、 ，若 ，求实数 的取值范围.
12．已知点 ，点Р是圆C： 上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点
E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线 与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求
实数m的取值范围．
13．已知曲线 在 轴右边， 上每一点到点 的距离减去它到 轴距离的差都是 .
（1）求曲线 的方程；
（2）是否存在正数 ，对于过点 且与曲线 有两个交点 的任一直线，都有 ？若存
在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.14．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线与抛物线 交于 ， 两点，当 ， 两点
的纵坐标相同时， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 ， 为抛物线 上两个动点， ， 为 的中点，求点 纵坐标的最小值.
15．椭圆 与抛物线 有一个公共焦点且经过点 .
（1）求椭圆 的方程及其离心率；
（2）直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为原点，是否存在点 满足 ，
，若存在，求出 的取值范围，若不存在，请说明理由
16．已知抛物线 的焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线交抛物线 于 ， 两点，
满足 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 且斜率为1的直线被抛物线 截得的弦为 ，若点 在以 为直径的圆内，求 的取
值范围.17．椭圆 ： 的左、右焦点分别是 ， 离心率为 ，过 且垂直于 轴的直线
被椭圆 截得的线段长为1．
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ， ，设 的角平分线 交 的长轴于点
，求 的取值范围；
18．如图，已知椭圆 ： ，椭圆 ： ， ， . 为椭圆 上一动点且
在第一象限内，直线 ， 分别交椭圆 于 ， 两点，连结 交 轴于 点.过 点作 交椭圆
于 ，且 .
（1）求证：直线 过定点，并求出该定点；
（2）若记 ， 点的横坐标分别为 ， 求 的取值范围.
19．如图，椭圆 ： （ ）和圆 ： ，已知圆 将椭圆 的长轴三等分，椭
圆 右焦点到右准线的距离为 ，椭圆 的下顶点为 ，过坐标原点 且与坐标轴不重合的任意直线与圆 相交于点 、 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 、 分别与椭圆 相交于另一个交点为点 、 .
①求证：直线 经过一定点；
②试问：是否存在以 为圆心， 为半径的圆 ，使得直线 和直线 都与圆 相交？若存在，
请求出实数 的范围；若不存在，请说明理由．类型四:斜率或倾斜角的范围最值1-19题
1．已知双曲线C的两个焦点分别为 ，渐近线方程为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点 的直线 与双曲线的左支有两个交点，且点 到 的距离小于1，求直线 的倾斜角 的
范围．
2．已知动圆 过点 ，且与直线 相切，设圆心 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 交曲线 于 ， 两点，以 为直径的圆交 轴于 ， 两点，若 ，求
的取值范围.
3．已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)若有两个半径相同的圆 ，它们的圆心都在 轴上方且分别在双曲线 的两条渐近线上，过双曲线
右焦点且斜率为 的直线 与圆 都相切，求两圆圆心连线的斜率的范围．4．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 的中心 关于直线 的对称点落在直
线 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 、 是椭圆 上关于 轴对称的任意两点，连接 交椭圆 于另一点 ，求直线
的斜率范围并证明直线 与 轴相交定点．
5．已知椭圆 的两个焦点为F 、F ，椭圆上一点 满足
1 2
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 与椭圆恒有两上不同的交点A、B，且 （O是坐标原点），求k的范围．
6．已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为2，
（1）求 的值与抛物线 的方程；
（2）抛物线上第一象限内的动点 在点 右侧，抛物线上第四象限内的动点 ，满足 ，求直线
的斜率范围.
7．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为 ，且其右焦点到直线 的距离
为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且 ?若存在，请求出k
的取值范围，若不存在，请说明理由．8．已知圆 ，点 ，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点
Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程C；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点， ，直线DA与直线DB的斜率之积为 ，求直线l斜率的
取值范围．
9．已知 分别是椭圆 的左、右焦点.
（1）若 是第一象限内该椭圆上的一点，且满足 ，求点 的坐标；
（2）设过定点 的直线与椭圆交与不同的两点 ，且 为锐角，求直线 斜率的平方的取
值范围.
10．斜率为 的直线 过抛物线 ； 的焦点，且交 于 ， 两点( 在第一象限)， 交
的准线于 ，且 .
（1）求抛物线方程；
（2）设点 ，斜率为 的直线 过点 交 轴于 ，抛物线 是否上存在不同两点 ， ，使
且 ，若存在，求斜率 的范围，若不存在说明理由.
11．在平面直角坐标系内，已知定点 ，动点 在 轴右侧运动（允许动点在 轴上），并且点到 轴的距离恰好比它到定点 的距离小1.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）斜率存在的直线 经过点 且与 交于 ， 两点，若线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，
求点 横坐标的取值范围.
12．已知动点 到定点 的距离和 到直线 的距离的比是常数 ．
（1）求点 的轨迹 ．
（2）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 ，求直线 的斜率 的取值范
围．
13．已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若轨迹 上存在两点 ， 满足 （ ， 分别为直线 ， 的斜率），求直线
的斜率的取值范围.
14．已知圆 ， ， 是圆 上的一个动点， 的中垂线 交 于点 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与点 的轨迹 交于不同的两点 ， ，且线段 的垂直平分线过定点
，求 的取值范围.15．已知椭圆 的方程为 ，左、右焦点分别是 ， ，若椭圆 上的点 到
， 的距离和等于 .
（1）写出椭圆 的方程和焦点坐标；
（2）直线 过定点 ，且与椭圆 交于不同的两点 ， ，若 为钝角（ 为坐标原点），求
直线 的斜率 的取值范围.
16．已知椭圆 离心率为 ，且其上一点到右焦点 距离的最大值为4
（1）求椭圆的标准方程
（2）设 为椭圆的左焦点，P为椭圆C上的任意一点，求 的取值范围．
（3）设A为椭圆的右顶点， 为椭圆的一条不经过A的弦，以 为直径的圆B经过A点，求 斜率
的最大值．
17．动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为定值 .
（1）求动点 的轨迹方程：
（2）若直线 与动点 的轨迹交于不同的两点 ， ，且线段 被直线 平分，求直线 的斜率
的取值范围.
18．已知直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点.
（1）求抛物线的方程；（2）以 为直径的圆与 轴交于 ， 两点，若 ，求 的取值范围.
19．已知椭圆 的右焦点为F，且F与C上点的距离的取值范围为[1，3].
（1）求C的方程；
（2）已知О 为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
类型五:向量关系的范围最值1-13题
1．已知椭圆 的焦距为4，过焦点且垂直于 轴的弦长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 右焦点的直线 交椭圆于点 ，设椭圆的左焦点为 ，求 的取值范围．2．已知椭圆 的中心在坐标原点 ，左顶点 ，离心率 ， 为右焦点，过焦点 的直线交椭
圆 于 、 两点（不同于点 ）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）当 的面积 时，求直线 的方程；
（3）求 的范围.
3．双曲线 与椭圆 有相同的焦点，直线 为 的一条渐近线
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知点 ，设 是双曲线 上的点， 是点 关于原点的对称点，求 的范围.
4．椭圆 中心在原点，焦点在 轴上， 、 分别为上、下焦点，椭圆的离心率为 ， 为椭圆上一
点且 ．
（1）若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）若 的延长线与椭圆 另一交点为 ，以 为直径的圆过点 ， 为椭圆上动点，求
的范围．
5．如图，点 ， 分别是椭圆 的左､右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴， ，直线 与椭圆C相交于另一点B.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若 的周长为 ，M为椭圆C上任意一点，求 的取值范围.
6．已知 是平面上的动点， 且点 与 的距离之和为 ．点 的轨迹为曲线 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）不与 轴垂直的直线 过点 且交曲线 于 两点， 曲线 与 轴的交点为 ，当
时，求 的取值范围．
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ，椭圆 上任意一点 ，满足 的
最小值为 ，过 作垂直于椭圆长轴的弦长为3
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过 的直线交椭圆于 ， 两点，求 的取值范围.8．已知椭圆 ： 左右焦点分别为 ， 在椭圆 上且活动于第一象限， 垂直于 轴交
轴于 ， 为 中点；连接 交 轴于 ，连接 并延长交直线 于 .
（1）求直线 与 的斜率之积；
（2）已知点 ，求 的最大值.
9．已知抛物线 及点 .
（1）以抛物线焦点 为圆心， 为半径作圆，求圆 与抛物线交点的横坐标；
（2） 、 是抛物线上不同的两点，且直线 与 轴不垂直，弦 的垂直平分线恰好经过点 ，求
的范围.
10．如图，已如椭圆 ： 的右焦点为 ，点 ， 分别是椭圆 的上､下顶点，点 是直线 ：
上的一个动点（与 轴交点除外），直线 交椭圆于另一点 .（1）当直线 过椭圆的右焦点 时，求 的面积；
（2）记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
（3）求 的取值范围.
11．已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 为焦点的椭圆 恰好过 两点,
②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两点，过
点 作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否椭圆
（1）在① ②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，若点 是椭圆 上的点， ， 分别是椭圆M的左右焦点，求
的最值.
12．已知双曲线 与圆 交于点 第一象限 ，曲线 为 、上取满足 的部分．
（1）若 ，求b的值；
（2）当 ， 与x轴交点记作点 、 ，P是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求 ；
（3）过点 斜率为 的直线l与曲线 只有两个交点，记为M、N，用b表示 ，并求
的取值范围．
13．已知动圆与 轴相切于点 ，过点 ， 分别作动圆异于 轴的两切线，设两切线相
交于 ，点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）过 的直线 与曲线 相交于不同两点 ，若曲线 上存在点 ，使得 成立，求
实数 的范围.
类型六:离心率的范围最值1-8题
1．已知椭圆 ： （ ）的左、右两焦点分别为 ， ，短轴的一个端点为 ，直线 ：
交椭圆 于 ， 两点， ．
（1）若椭圆的离心率为 ，求椭圆的方程；
（2）若点 到直线 的距离不小于 ，求椭圆的离心率的取值范围．2．如图，椭圆 ： 的离心率为 ， ， 分别是其左、右焦点，过 的直线 交椭圆
于点 ， ， 是椭圆上不与 ， 重合的动点， 是坐标原点．
（1）若 是△ 的外心， ，求 的值；
（2）若 是△ 的重心，求 的取值范围．
3．如图，椭圆C： (a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别
交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设 .
（1）若点P(－3，0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；
（2）若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．
4．已知椭圆 ： （ ）的长半轴长为 ．
（1）若椭圆 经过点 ，求椭圆 的方程；
（2） 为椭圆 的右顶点， ，椭圆 上存在点 ，使得 ．求椭圆 的离心率的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 交
双曲线C于M，N两点.
（1）若M（2，3），四边形 的面积为12，求双曲线C的方程；
（2）若 ，且四边形 是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围.
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P是双曲线的右支上一点．
（1）求 ， 的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足 ，求双曲线的离心率的取值范围．
7．如图所示，已知椭圆 ： ，其中 ， ， 分别为其左，右焦点，点 是椭圆 上一
点， ，且 ．（1）当 ， ，且 时，求 的值；
（2）若 ，试求椭圆 离心率 的范围．
8．(本题满分14分)
已知椭圆 的右焦点为F,右准线为l，且直线 与 相交于A点.
（Ⅰ）若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程；
（Ⅱ）当 变化时, 求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
（Ⅲ）若 时,求椭圆离心率e的范围.
