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专题 19 用树状图或表格求概率(重难题型)
1．如图，由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，在该地面上任
意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率是（ ）
A． B．
C． D．
2．2020年9月8日第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单
位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、
小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通
道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有
学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是
（ ）
A． B． C． D．
4．下列算式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．运算结果正确的概率是（ ）．
A． B． C． D．
5．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至
少有一张是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从一个大正方形中截去面积为 和 的两个小正方形，若随机向大正方
形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率
是（ ）
A． B． C． D．
8．从2020年5月1日起，北京正式施行“垃圾分类”，如图是生活中的四个不同的垃圾
分类投放桶．小明投放了两袋垃圾，不同类的概率是（ ）A． B． C． D．
9． 、 、 、 四个人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红桃和两张黑桃共四张扑克牌，
洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色扑克牌的两个人为游戏搭
档，若 、 两人各抽取了一张扑克牌，则两人恰好成为游戏搭档的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别写着数字 将它投掷于桌面上，连续
投掷两次，则两次与桌面接触的面上的数字之和为5的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．在运动会上,小亮、小莹、小刚和小勇四位同学代表九年级（3）班参加4×100米接力
比赛，小勇跑最后一棒，其他三人抽签排定序号，小亮和小刚进行接棒的概率是
A． B． C． D．
12．广东省2021年的高考采用“ ”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选
科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4
科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是
（ ）
A． B． C． D．
13．春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫
陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复（猫春图），就可以随机抽
取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会
相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是（ ）A． B． C． D．
14．盒子里有 张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标有数字 ， ， ，从中
随机抽出一张后不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为（
）
A． B． C． D．
15．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
16．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出
一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第
二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③
第一次摸出的球是红球的概率是 ；④两次摸出的球都是红球的概率是 ．其中正确的结
论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．某中学有5名教师自愿献血，其中2人A型血，2人B型血，1人O型血，现从他们当
中随机挑选2人参与献血，抽到的两人血型不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
19．一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小
明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．现有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，3的不透明卡片（形状与材质相同），将它们
正面朝下洗均匀，随机抽取一张记下数字后放回（设数字为a），再次正面朝下洗均匀，
再随机抽取一张记下数字（设数字为b），则关于x的不等式组 有解的概率是（
）
A． B． C． D．
21．有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是
（ ）
A． B． C． D．
22．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．若一次
性摸出两个，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．23．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为
1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概
率是（ ）
A． B． C． D．
24．从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程 的系数 的值，
能使该方程有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
25．李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有A、B、C、D四个服务项目，其中每个服务项
目又分为第一小组和第二小组，则李明分到A项目的第一小组的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．点P的坐标是(m，n)，从-5，-3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余
下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的概
率是（ ）
A． B． C． D．
27．有四根长度分别为 、 、 、 的木棒，从中任取三根，并将它们首尾
相连，能组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
28．从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花1，2，3，背面朝上搅匀后先抽取一张点数记
为 ，放回搅匀再抽取一张点数记为 ，则点 在直线 上的概率是（ ）
A． B． C． D．29．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出
两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
30．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为 ，第二次掷
出的点数记为 ，则使关于 的一元二次方程 有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
31．如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写着
9，8，5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字，同时
转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（
）．
A． B． C． D．
32．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“ ”，“ ”，“3”，除数字外三个
小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一
个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（ ）
A． B． C． D．
33．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（ ）
A． B． C． D．
34．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸
到黄球的频率是0.3，则估计口袋中红球约有（ ）
A．12个 B．14个 C．18个 D．20个
35．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6）一次，
则朝上的一面的点数是3的倍数的概率是______．
36．现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡
片（注：这四张卡片除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，洗
匀后从中随机抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率
是___．
37．不透明的袋子中有2白3黑共5个除颜色外完全相同的小球，从中随机摸取2个小球
都是白色球的概率为______．
38．郑小舟在数学课本“读一读”中了解到一些中国古代的数学著作，如《周髀算经》、
《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》，现在他计划从这四部书中随机选择两部书
购买则选择到《九章算术》的概率是______．
39．一个不透明盒子里有3张形状大小质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，
3．从中随机抽出一张后不放回，再从盒中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概
率为______．
40．某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项
目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率．
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百
分制）的统计图表如下：
考生 自选项目 长跑 掷实心球
小红 95 90 95
小强 90 95 95①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），
分别计算小红和小强的体育中考成绩．
41．3月8日，是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域做出的重要贡献和取得的巨大成
就而设立的国际妇女节，某班召开了一次以魅力女性为主题的班会活动，班主任制作了编
号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面
朝上洗匀后放在桌面上．
（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为 ．
（2）若张华从4张卡片中随机抽取1张不放回，李明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，
然后根据抽取的卡片讲述卡片上女英雄的故事，请用列表法或树状图方法求张华、李明两
个人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的概率．42．“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努
力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18
日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口
的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和
接种总人数的扇形统计图：
甲医院 乙医院
年龄段 频数 频率 频数 频率
18－29周岁 900 0.15 400 0.1
30－39周岁 a 0.25 1000 0.25
40－49周岁 2100 b c 0.225
50－59周岁 1200 0.2 1200 0.3
60周岁以上 300 0.05 500 0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空： _________， _________， _________；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所
占圆心角为_________；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的
概率．43．今年是建党100周年，回望“雄关漫道真如铁”的过去，瞭望“乘风破浪会有时”的未来，
党史学习教育是牢记初心使命、坚定理想信念、推进党的自我革命的必然要求．教育局党
委对教育系统的教师党员个人学习形式开展了问卷调查（问卷调查表如图），并将调查结
果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）请根据统计图中提供的信息，解答
下列问题：
“个人学习党史形式问卷调查”
党员同志你好！我市教育系统召开了党史学习教育动员大会，请在表中选择一项你学习党
史的形式（每人只能选择一种方式），在其空格内打“√”，非常感谢你的合作．
代码 形式 选择结果
A 阅读指定的党史学习用书并做讲座
B 记党史学习笔记
C 上党史学习网课并按时打卡
D 阅读“学习强国”APP上有关内容累计积分
E 整理有关网站学习资料并打印装订成册（1）本次参与调査的总人数是 人；扇形统计图中，扇形统计图D部分的圆心角是
度；
（2）若该市教育系统有6000名党员，如果对全市进行调査，请你估计选择学习形式C的
人数为多少？
（3）教育局党委规定，选择学习形式是A的党员要就规定书目中的两本内容进行讲座，并
用随机抽取两本书的方式确定具体内容．工作人员将四本书分别编号为1，2，3，4，如图
所示，将写有编号的卡片放在不透明的盒子中，王老师选择的学习形式是A，他从盒子中
随机一次性抽出两张卡片，请用列表或画树状图的方法求他抽到两张卡片编号恰好是1和
2的概率．
44．已知一个布袋里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外其余都相同，把它们充分
搅匀.
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是______事件，“从中任意抽取1个球是
黑球”是____事件；（填：必然、随机、不可能）
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是_____；
（3）甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任取2个球，若两球同色，则
甲获胜；若两球异色，则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说
明．45．疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育
部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计
表：
已接
未接种 合计
种
七年级 30 10 40
八年级 35 15
九年级 40 60
合计 105 150
（1）表中， ______， ______， ______；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或
“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师
约有______人；
（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，
九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中
的两名教师恰好不在同一年级的概率．
