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专题 19 用树状图或表格求概率(重难题型)
1．如图，由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，在该地面上任
意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，计算得4个直角三角形总面积；根据直角三角形和正方形的性质，通过证明中
间空白区域是正方形，从而得空白区域的面积，再根据概率公式计算，即可得到答案.
【详解】
直角三角形面积为：
∴4个直角三角形总面积为：
∵由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面
∴中间空白区域四边形的内角均为： ，且边长为：
∴中间空白区域为正方形
∴正方形的面积为：
∴任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率是：
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形、正方形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形、正方
形、概率公式的性质，从而完成求解．2．2020年9月8日第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单
位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、
小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和同时选中小李和小张的情况数，然后根据
概率公式即可得出答案．
【详解】
根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中同时选中小李和小张的有2种，
∴同时选中小李和小张的概率为 ＝ ．
故选D．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率，利用列表法（或树状图）得出所有等可能的结
果数和同时选中小李和小张的情况数是解决问题的关键．
3．疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通
道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有
学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【详解】
解：列表格如下：
A B
A A，A B，A
B A，B B，B
由表可知，共有4种等可能的结果，其中小王和小李从同一个测温通道通过的有2种可能，
所以小王和小李从同一个测温通道通过的概率为 ．
故选：C
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．下列算式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．运算结果正确的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据算术平方根、负整数指数幂、分式、二次根式、整式加法的性质，对各个选项分别计
算，再结合简单概率计算的性质分析，即可得到答案．
【详解】
，故①错误；，故②正确；
，故③错误；
∵
∴ 不符合二次根式的定义，故④错误；
，故⑤错误；
∴五个算式中，正确的共有一个
∴运算结果正确的概率是：
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根、负整数指数幂、分式、二次根式、整式运算、概率的知识；解题
的关键是熟练掌握了算术平方根、负整数指数幂、分式、二次根式、整式运算、概率的性
质，从而完成求解．
5．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜
色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至
少有一张是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画树状图，共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
6．如图，从一个大正方形中截去面积为 和 的两个小正方形，若随机向大正方
形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
【详解】
解：∵两个小正方形的面积为 和 ，
∴两个小正方形的边长为 和 ，
∴大正方形的边长为 ，
∴大正方形的面积为 ，∴阴影部分的面积为 ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了几何概率，熟练掌握正方形边长与面积的关系是解题关键．
7．如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画树状图，确定所有的等可能性，确定指定事件的等可能性，利用概率公式计算即可．
【详解】
画树状图如下：
，
所有的等可能性有8种，两个转盘的指针都不落在“1”区域的等可能性有3种，
∴两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是 ，
故选C．
【点睛】本题考查了画树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．
8．从2020年5月1日起，北京正式施行“垃圾分类”，如图是生活中的四个不同的垃圾
分类投放桶．小明投放了两袋垃圾，不同类的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式求出答案．
【详解】
解：四个不同的垃圾桶分别记为A，B，C，D表示，根据题意画图如下：
由树状图知，小明投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾不同类的有
12种结果，
所以小明投放的两袋垃圾不同类的概率为： ；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．
9． 、 、 、 四个人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红桃和两张黑桃共四张扑克牌，
洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色扑克牌的两个人为游戏搭档，若 、 两人各抽取了一张扑克牌，则两人恰好成为游戏搭档的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】
解：根据题意画图如下：
共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色4种可能，
所以两人恰好成为游戏搭档的概率= ．
故选：B
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的
事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别写着数字 将它投掷于桌面上，连续
投掷两次，则两次与桌面接触的面上的数字之和为5的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出基本事件总数n=4×4=16，再利用列举法求出数字之和为5包含的基本事件个数，由
此能求出数字之和为5的的概率．
【详解】
解：在一个游戏中，有两枚大小相同、质地均匀的正四面体骰子，
每个面上分别写着数字1，2，3，4．同时投掷一次，记x为两个朝下的面上的数字之和，由表格可知，所有的可能有16种，
∴x=5包含的基本事件有（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4个，
∴x=5的概率为 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
11．在运动会上,小亮、小莹、小刚和小勇四位同学代表九年级（3）班参加4×100米接力
比赛，小勇跑最后一棒，其他三人抽签排定序号，小亮和小刚进行接棒的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设小亮、小莹、小刚分别为：乙、丙、丁，先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再
找出小亮和小刚进行接棒的结果数，然后根据概率公式求解•．
【详解】
设小亮、小莹、小刚分别为：乙、丙、丁，
画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中乙、丁相邻的结果数为4，
∴小亮和小刚进行接棒的概率＝4÷6＝ ．
故选C．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再
从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
12．广东省2021年的高考采用“ ”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选
科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4
科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公
式即可得出答案．
【详解】
解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：共有12种等可能的结果数，其中选中“地理”“生物”的有2种，
则P ＝2÷12＝ ．
（地理、生物）
故选A．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫
陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复（猫春图），就可以随机抽
取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会
相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先画树状图（或列表）求出所有等可能结果，她两次都抽到“东风纸鸢”的情况占几种结果，
用这个结果数比以总结果数即得答．
【详解】
解：东风纸鸢用a表示，其他六张用1、2、3、4、5、6表示
画树状图得：∵每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，
共有49种等可能的结果，她两次都抽到“东风纸鸢”有1种情况，
∴她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是： ．
故选择：C．
【点睛】
此题考查用列表或画树状图的方法求随机事件概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比，要注意本题是摸出不放回的情况．
14．盒子里有 张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标有数字 ， ， ，从中
随机抽出一张后不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字全为奇数的有2种结
果，
所以两次抽出的卡片上的数字全为奇数的概率为 ，
故选：A．【点睛】
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出
现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这
个事件的概率 ．
15．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该
事件的概率即可解答．
【详解】
解：随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现的情况如下，共有4种等可能的结果，两
次正面都朝上的情况有1种，概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题关键是熟
练运用列举法求出所有等可能的出现结果，会用概率公式计算．
16．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第
二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③
第一次摸出的球是红球的概率是 ；④两次摸出的球都是红球的概率是 ．其中正确的结
论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由随机事件的意义、概率公式、画树状图法分别分析求解即可．
【详解】
解：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，①错误；
②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是绿球，②正确；
③第一次摸出的球是红球的概率是 ，③正确；
④画树状图如图：
共用9种等可能结果数，两次摸出的球都是红球的结果有1个，
∴两次摸出的球都是红球的概率是 ，④正确；
有3个正确结论，
故选：C．
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率和随机事件的意义，解题关键是明确相关定义，熟练
运用列举法求概率．
17．某中学有5名教师自愿献血，其中2人A型血，2人B型血，1人O型血，现从他们当
中随机挑选2人参与献血，抽到的两人血型不同的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意列表得出所有等可能的结果，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出
答案．
【详解】
解：列表如下：
O A A B B
O ------- OA OA OB OB
A AO --------- AA AB AB
A AO AA ------- AB AB
B BO BA BA -------- BB
B BO BA BA BB --------
∵共有20种等可能的结果，其中抽到的两人血型不同的结果有16种，
∴抽到的两人血型不同的概率为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了列表法求概率，解题关键是正确列出表格，准确求出概率．
18．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的
三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
确定抽取三边长包含的基本事件，和三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，
即可求出能构成三角形的概率．
【详解】解：抽取三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，
4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，
5）共10个；
设事件B＝“抽取三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“
则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故p（B）＝ ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度不大．
19．一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小
明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画树状图，共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，再由概率公
式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，
∴摸到1个红球和1个蓝球的概率为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．现有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，3的不透明卡片（形状与材质相同），将它们
正面朝下洗均匀，随机抽取一张记下数字后放回（设数字为a），再次正面朝下洗均匀，
再随机抽取一张记下数字（设数字为b），则关于x的不等式组 有解的概率是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与关于x的不等式组
有解的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，
∵关于x的不等式组 有解，
∴ab＜0,
当a= -2，b=1；a= -2，b=3；a= 1，b=-2；a= 3，b=-2符合题意，
有4种结果，
∴关于x的不等式组 有解的概率为 = ，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组有解集的条件，概率的计算，熟练画树状图，准确理解不等式组有解
集的意义是解题的关键．
21．有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画树状图求解即可；
【详解】
解：将黄色区域平分成两部分，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，
∴两次指针都落在黄色区域的概率为： ；
故选：B．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
22．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．若一次
性摸出两个，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等
于4的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表得：
1 2 3 4
1 ﹣﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和不小于4的情况数是10，
所以两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为
1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关
系的有15种结果，∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的
事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程 的系数 的值，
能使该方程有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式的意义得到 =32+4a≥0且 ，解得a≥ 且 ，然后
△
根据概率公式求解．
【详解】
解：当 =32+4a≥0且 时，一元二次方程 有实数根，
△所以a≥ 且 ，
从－3，0，1，2这4个数中任取一个数，满足条件的结果数有 ，
所以所得的一元二次方程中有实数根的概率是 ．
故选： ．
【点睛】
正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关键．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有A、B、C、D四个服务项目，其中每个服务项
目又分为第一小组和第二小组，则李明分到A项目的第一小组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和李明分到A项目的第一小组的情况数，然
后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数，其中分到A项目的第一小组的有1种，
则李明分到A项目的第一小组的概率是 ．
故选：A．【点睛】
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．点P的坐标是(m，n)，从-5，-3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余
下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第四象限点的坐标特征找出点P（m，
n）在平面直角坐标系中第四象限内的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为:
共有20种等可能的结果，其中点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的结果数为4，
所以点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的概率为 ，
故选B.
【点睛】
本题考查了点的坐标以及列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结
果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B
的概率．
27．有四根长度分别为 、 、 、 的木棒，从中任取三根，并将它们首尾
相连，能组成三角形的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算
即可．
【详解】
解：2cm、3cm、4cm、5cm的根木棒中，
共有以下4种组合：
2，3，4；
2，3，5；
2，4，5；
3，4，5；
其中共有以下方案可组成三角形：
取2cm，3cm，4cm；由于4﹣2＜3＜4+2，能构成三角形；
①取2cm，4cm，5cm；由于5﹣2＜4＜5+2，能构成三角形；
②取3cm，4cm，5cm；由于5﹣3＜4＜5+3，能构成三角形；
③所以有3种方案符合要求．
故能组成三角形的概率是P=
故答案选：C
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系和概率公式，正确找到所有组成三角形的情况是解题的关
键．
28．从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花1，2，3，背面朝上搅匀后先抽取一张点数记
为 ，放回搅匀再抽取一张点数记为 ，则点 在直线 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
首先列出表格即可求得所有等可能的结果与点(a，b)在直线 上的情况，然后利用
概率公式求解即可；
【详解】
列表格为：
第一次 1 1 1 2 2 2 3 3 3
第二次 1 2 3 1 2 3 1 2 3
其中点(a，b)在直线 上的情况有：
第一次 2 3
第二次 1 2
由列表可知，一共有9种等可能的结果，其中点(a，b)在直线 上的情况有2种，
所以点(a，b)在直线 上的概率为 ；
故选：C．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
29．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出
两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意列出表格，然后由表格中求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之
和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】
两次摸出小球标号的组合如下：共12组
第一 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4次
第二
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
次
其中标号之和大于4的组合如下：共8组
第一次 1 2 2 3 3 4 4 4
第二次 4 3 4 2 4 1 2 3
∴其概率为： ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意列表法或树状图法要不重复不遗漏的列出所
有等可能的情况，所用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．
30．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为 ，第二次掷
出的点数记为 ，则使关于 的一元二次方程 有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二
次方程ax2-6x+c=0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：列表得：
乘
1 2 3 4 5 6
积
1 1 2 3 4 5 6
1 1
2 2 4 6 8
0 2
1 1 1
3 3 6 9
2 5 8
4 4 8 1 1 2 22 6 0 4
1 1 2 2 3
5 5
0 5 0 5 0
1 1 2 3 3
6 6
2 8 4 0 6
∴一共有36种等可能情况，
∵b=6，当b2-4ac≥0时，有实根，即36-4ac≥0有实根，
∴ac≤9，
∴方程有实数根的有17种情况，
∴方程有实数根的概率= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，是一个综合题，解题的关
键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．
31．如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写着
9，8，5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字，同时
转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（
）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合题意，根据树状图的方法分析，即可得到答案．
【详解】
画树状图如下：根据题意，共有12种等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3
整除的结果有2种
∴同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率为：
=
故选：D．
【点睛】
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图的性质，从而完成求解．
32．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“ ”，“ ”，“3”，除数字外三个
小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一
个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公
式计算得出答案．
【详解】
列树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种，∴P（两次记录的数字之和为4）= ，
故选：B．
【点睛】
此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有
可能的情况是解题的关键．
33．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式
计算解答．
【详解】
随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，
落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况，
故至多有一次正面朝下的概率为 ．
故选：A．
【点睛】
此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
34．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，
摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸
到黄球的频率是0.3，则估计口袋中红球约有（ ）
A．12个 B．14个 C．18个 D．20个
【答案】B
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例
关系入手，列出方程求解．【详解】
解：设盒子中有红球x个，
由题意可得： =0.3，
解得：x=14，
经检验，x=14是分式方程的解．
估计口袋中红球约有14个．
故选：B
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概
率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
35．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6）一次，
则朝上的一面的点数是3的倍数的概率是______．
【答案】
【分析】
利用概率公式计算即可
【详解】
一共有6种等可能性,其中是3的倍数的可能性有3,6这2种,
所以朝上的一面的点数是3的倍数的概率是 = ,
故答案为:
【点睛】
本题考查了概率公式的应用,熟练掌握概率公式是解题的关键．
36．现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡
片（注：这四张卡片除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，洗
匀后从中随机抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率
是___．【答案】
【分析】
画树状图，列出所有可能抽到的卡片情况共有12种，其中恰好抽到写有“文化自信”和“理
论自信”的卡片共有2种，然后利用概率公式求即可．
【详解】
解：画树状图，列出所有可能抽到的卡片情况共有12种，其中恰好抽到写有“文化自信”和
“理论自信”的卡片共有2种，
∴恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键．
37．不透明的袋子中有2白3黑共5个除颜色外完全相同的小球，从中随机摸取2个小球
都是白色球的概率为______．
【答案】
【分析】
画树状图，共有20种等可能的结果，从中随机摸取2个小球都是白色球的结果有2种，再
由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：共有20种等可能的结果，从中随机摸取2个小球都是白色球的结果有2种，
∴从中随机摸取2个小球都是白色球的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
38．郑小舟在数学课本“读一读”中了解到一些中国古代的数学著作，如《周髀算经》、
《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》，现在他计划从这四部书中随机选择两部书
购买则选择到《九章算术》的概率是______．
【答案】
【分析】
此题需要两步完成，所以可采用树状图法或列表法求解.
【详解】
解：将四部书《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为 ，
， ， ，
用列表法列举出从4部书中选择2部所能产生的全部结果：
第1部
第2部由表中可以看出，共有12种等可能的结果，而选中《九章算术》的结果有6种，
所以选中《九章算术》的概率为 ．
故答案为：
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
39．一个不透明盒子里有3张形状大小质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，
3．从中随机抽出一张后不放回，再从盒中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概
率为______．
【答案】
【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：列表如下
1 2 3
1 （2，1） （3，1）
2 （1，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3）
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片都是奇数的有2种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为 ，故答案为： ．
【点睛】
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出
现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这
个事件的概率 ．
40．某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项
目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率．
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百
分制）的统计图表如下：
考生 自选项目 长跑 掷实心球
小红 95 90 95
小强 90 95 95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），
分别计算小红和小强的体育中考成绩．
【答案】（1） ；（2）①条形统计图见解析；②小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【分析】（1）用列表法求概率即可；
（2）①根据统计表补全条形统计图；②用加权平均数分别计算出小红和小强的成绩即可．
【详解】
解：（1）根据题意小红和小强自选项目情况如下表所示：
乒乓球 篮球 羽毛球
乒乓 乒乓球，乒乓 篮球，乒乓
羽毛球，乒乓球
球 球 球
篮球 乒乓球，篮球 篮球，篮球 羽毛球，篮球
羽毛 乒乓球，羽毛 篮球，羽毛
羽毛球，羽毛球
球 球 球
由上表可知，小红和小强自选项目选择方式有9种情况，小红和小强自选项目相同的情况
有
3种，故小红和小强自选项目相同的概率为 ；
（2）①补全条形统计图如图所示：
②小红的体育中考成绩为：95×50%+90×30%+95×20%=93.5；
小强的体育中考成绩为：90×50%+95×30%+95×20%=92.5；
答：小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【点睛】
本题主要考查了用列表法求概率、画条形统计图以及加权平均数等知识点，灵活应用相关
知识成为解答本题的关键．
41．3月8日，是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域做出的重要贡献和取得的巨大成
就而设立的国际妇女节，某班召开了一次以魅力女性为主题的班会活动，班主任制作了编
号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为 ．
（2）若张华从4张卡片中随机抽取1张不放回，李明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，
然后根据抽取的卡片讲述卡片上女英雄的故事，请用列表法或树状图方法求张华、李明两
个人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的概率．
【答案】（1） ；（2）树形图见解析，
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父
从军”的故事的有6个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的
结果有6个
∴张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的概率为 ．【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完
成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
42．“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努
力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18
日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口
的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和
接种总人数的扇形统计图：
甲医院 乙医院
年龄段 频数 频率 频数 频率
18－29周岁 900 0.15 400 0.1
30－39周岁 a 0.25 1000 0.25
40－49周岁 2100 b c 0.225
50－59周岁 1200 0.2 1200 0.3
60周岁以上 300 0.05 500 0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空： _________， _________， _________；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所
占圆心角为_________；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的
概率．【答案】（1）①1500，0.35，6=900；②108°；（2）
【分析】
（1）①分别用甲、乙两医院18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然
后根据频数与频率的关系求出相应的值；②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40
－49周岁年龄段人数与接种总人数的百分比乘以360°即可得到在扇形统计图中所占圆心角；
（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率
公式求解即可．
【详解】
解：（1）①900÷0.15=6000（人），400÷0.1=4000（人）
∴a=6000-900-2100-1200-300=1500
b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35
c=4000-400-1000-1200-500=900
故答案为：1500，0.35，6=900；
②360°
故答案为：108°；
（2）画树状图为：∴所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数，
∴三人在同一家医院接种的概率 ．
【点睛】
此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
43．今年是建党100周年，回望“雄关漫道真如铁”的过去，瞭望“乘风破浪会有时”的未来，
党史学习教育是牢记初心使命、坚定理想信念、推进党的自我革命的必然要求．教育局党
委对教育系统的教师党员个人学习形式开展了问卷调查（问卷调查表如图），并将调查结
果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）请根据统计图中提供的信息，解答
下列问题：
“个人学习党史形式问卷调查”
党员同志你好！我市教育系统召开了党史学习教育动员大会，请在表中选择一项你学习党
史的形式（每人只能选择一种方式），在其空格内打“√”，非常感谢你的合作．
代码 形式 选择结果
A 阅读指定的党史学习用书并做讲座
B 记党史学习笔记
C 上党史学习网课并按时打卡
D 阅读“学习强国”APP上有关内容累计积分
E 整理有关网站学习资料并打印装订成册（1）本次参与调査的总人数是 人；扇形统计图中，扇形统计图D部分的圆心角是
度；
（2）若该市教育系统有6000名党员，如果对全市进行调査，请你估计选择学习形式C的
人数为多少？
（3）教育局党委规定，选择学习形式是A的党员要就规定书目中的两本内容进行讲座，并
用随机抽取两本书的方式确定具体内容．工作人员将四本书分别编号为1，2，3，4，如图
所示，将写有编号的卡片放在不透明的盒子中，王老师选择的学习形式是A，他从盒子中
随机一次性抽出两张卡片，请用列表或画树状图的方法求他抽到两张卡片编号恰好是1和
2的概率．
【答案】（1）120 ，54；（2）1500人；（3） ．
【分析】
（1）用A类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，然后用360度乘以D类人数
所占的百分比即可；（2）用样本估计总体的思想求解，用6000乘以样本中C类人数所占的百分比即；
（3）根据题意列表表示出所有出现的等可能结果，然后根据概率的公式进行计算求解．
【详解】
解：（1）本次参与调查的总人数=24÷20%=120（人）；
扇形统计图D部分的圆心角是360°× =54°；
故答案为：120；54
（2） ，
6000×25%＝1500（人）．
答：选择学习形式C的人数约为1500人．
（3）列表如下：
1 2 3 4
1 —— （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） —— （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） —— （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） ——
由列表可以看出，总共有12种等可能结果，其中抽到两张卡片编号恰好是1和2的结果有
2种，
∴P ．
（抽到两张卡片编号恰好是1和2）
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法或树状图法求概率，读懂统
计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
44．已知一个布袋里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外其余都相同，把它们充分
搅匀.
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是______事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是____事件；（填：必然、随机、不可能）
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是_____；
（3）甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任取2个球，若两球同色，则
甲获胜；若两球异色，则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说
明．
【答案】（1）必然，不可能；（2） ；（3）这个游戏不公平．说明见解析．
【分析】
（1）根据“三类事件”的概念即可判别；
（2）利用概率的公式可求；
（3）列表，分别求出“两球同色”和“两球异色”的概率，然后进行比较即可判断游戏是
否公平．
【详解】
（1）∵袋子中放有3个红球，2个白球，
∴当从袋子中随机抽取1个球时，抽取的结果不是红球，就是白球．
∴事件“从中任意抽取1个球，不是红球就是白球”是必然事件；
∵袋子中没有黑球，
∴事件“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件．
故答案为：必然；不可能
（2）从中任意抽取1球，共有5种等可能的结果，其中是红球的有3种结果，
∴P（一红）= ．
故答案为：
（3）列表如下：
红1 红2 红3 白1 白2
红1 × 红1红2 红1红3 红1白1 红1白2
红2 红2红1 × 红2红3 红2白1 红2白2
红3 红3红1 红3红2 × 红3白1 红3白2白1 白1红1 白1红2 白1红3 × 白1白2
白2 白2红1 白2红2 白2红3 白2白1 ×
由表格可知，共有20种等可能结果，，其中“两球同色”有8种结果，“两球异色”有12
种结果．
∴P（两球同色）= ，P（两球异色）= ．
∴P（两球同色） P（两球异色）．
∴这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查了三类事件的概念、列举法求概率、游戏的公平性等知识点，熟知列举法求概率
是解题的关键．
45．疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育
部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计
表：
已接
未接种 合计
种
七年级 30 10 40
八年级 35 15
九年级 40 60
合计 105 150
（1）表中， ______， ______， ______；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或
“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师
约有______人；
（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，
九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中
的两名教师恰好不在同一年级的概率．【答案】（1） ， ， ；（2）七；（3）2400；（4）
【分析】
（1）根据八年级教师中已接种和未接种即可求得a，根据九年级已接种的及总人数可求得
b，根据三个年级未接种的人数可求得总人数c；
（2）分别计算七、八、九年级教师中接种率即可求得结果；
（3）计算抽取的三个年级教师中未接种的百分比，把此百分比作为该市初中教师未接种的
百分比，从而可求得该市未接种的教师的人数；
（4）七年级教师用A表示，八年级教师用 表示，九年级教师用 ， 表示,根据树状
图或列表法，求得等可能的结果种数及恰好两位教师不在同一个年级的可能结果，即可求
得概率．
【详解】
解：（1） ； ；
故答案为：50；20；45
（2）七年级教师的接种率为： ；
八年级教师的接种率为： ；
九年级教师的接种率为： ；
即七年级教师的接种率最高．
故答案为：七
（3）抽取的三个年级教师中未接种的百分比为： ，
（人）
故答案为：2400
（4）设七年级教师用 表示，八年级教师用 表示，九年级教师用 ， 表示，根据题意：可画出树状图：
或列表：
A
A
由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有10种，故 （两名
教师不在同一年级） ．
说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可．
【点睛】
本题考查了统计表，用样本估计总体，求简单事件的概率，是统计与概率知识的综合，关
键是读懂统计表，从中获取有用的信息，用样本估计总体．
