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专题 2.39 二次函数背景下面积关系存在性问题（专项练习）
一、解答题
1．如图，已知二次函数 与 轴交于 、 两点（点 位于点 的左侧），与
轴交于点 ，已知 的面积是6．
（1）求 的值；
（2）在抛物线上是否存在一点 ，使 ．存在请求出 坐标，若不存在请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数 的图像与y轴交于点B(0， 4)，与
x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于 ？如果存在，请求出点P的坐标？如果不
存在，请说明理由．
3．如图，已知二次函数y=﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求a的值与△ABC的面积；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S =S ．若存在，请求出P坐标，若不存在，请说明
△ABP △ABC
理由．
4．如图,二次函数 经过点 和点 ,与 轴交于点 ．
求抛物线的解析式;
为 轴右侧抛物线上一点,是否存在点 ,使若存在 ,请直接写出点 的坐标;
若不存在,请说明理由．
5．已知二次函数y= x2－4x＋3．
（1）把这个二次函数化成 的形式并写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出这个二次函数的图像，并利用图像直接写出当y>0时，x的取值范围． 当x取何值时，
y随x的增大而减小；
（3）若抛物线与 轴的交点记为A，B，该图像上存在一点C，且△ABC的面积为3，求点C的
坐标．6．已知二次函数 （ ≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为 ，它的图像与
轴交于两点（ ，0），B（ ，0），且 ， ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为 ，点
D的坐标为 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且 ，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得 的面积是 的面积的 ？若存在，
求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，二次函数 的图像经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，
说明理由.
9．如图，二次函数 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 顶点，已知 ，
.
（1）求此二次函数的解析式及 点坐标.
（2）在抛物线上存在一点 使 的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出 的坐
标.
（3）根据图像直接写出 时， 的取值范围.
10．已知将二次函数 的图像向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到一新的二次函数，
其图像与ｘ轴交于A，B两点，与ｙ轴交于C点，顶点为P点．解决下列问题
（1）求A、B、C的坐标；
（2）求⊿ABC和⊿ABP的面积；
（3）在新函数的图像上是否存在一点Q使得⊿ABQ的面积与⊿ABC的面积相等？若存在，求出
Q点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，二次函数 的图像经过坐标原点，与 轴的另一个交点为A(－2，0)．
（1）求二次函数的解析式
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3，若存在请求出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
12．已知：如图，二次函数y=x2+bx+c的图像过点A（1，0）和C（0，﹣3）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果这个二次函数的图像与x轴的另一个交点为B，求线段AB的长．
（3）在这条抛物线上是否存在一点P，使△ABP的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
13．如图，已知二次函数 y＝x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求△ABC 的面积；
（3）在抛物线上存在一点 P 使△ABP 的面积为 10，请求出点 P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于点A（﹣2，
0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P（m，n）是该二次函数图像上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB， PD，
BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点
P的坐标，若不存在说明理由．
15．如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0).
(1) 求点B的坐标；
(2) 若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
(3) 在(2)中的二次函数图像的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的
面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.
16．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图像分别经过点A(1，0)，B(0，3)，
(1)求该函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明
理由．
17．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），
与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S ＝S ．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
△ABP △ABC
18．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
19．已知：如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，其中 点坐标为 ，
点 ，另抛物线经过点 ， 为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积 ．
（3）是否存在在抛物线上的点 使得 的面积为15，如果存在求出 点的坐标，若不存在
请说明理由．
20．已知二次函数
（1）求证：不论a为何实数，此函数图像与x轴总有两个交点．
（2）设a<0，当此函数图像与x轴的两个交点的距离为 时，求出此二次函数的解析式．
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图像与 x轴交于A、B两点，在函数图像上是否存在点
P，使得△PAB的面积为 ，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。
21．如图，二次函数y＝ x2+bx+c的图像交x轴于A、D两点并经过B点，已知A点坐标是（2，
0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，
DE，求△BDE的面积；
（3）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在2S ＝S ？若存在请求出
△ADP △BCD
P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本题8分）已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．
23．如图是二次函数 的图像，其顶点坐标为 ．
（1）直接写出 、 的值；
（2）求二次函数的图像与 轴的交点 ， 的坐标；
（3）在二次函数的图像上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
y=x2 +bx+c
24．如图是二次函数 的图像，其顶点坐标为M（1，－4）．（1）求出图像与x轴的交点A，B的坐标；
5
S = S
ΔPAB 4 ΔMAB
（2）在二次函数的图像上是否存在点P，使 ，若存在，求出P点的坐标；若不
存在，请说明理由；
25．如图是二次函数 的图像，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图像与 轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图像上是否存在点P，使 ，若存在，求出P点的坐标；若不
存在，请说明理由；
26．如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x－3的部分图像与x轴交于点A，B（A在B
的左边），与y轴交于点C，连接BC，D为顶点．
（1）求∠OBC的度数；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使△ABQ的面积等于5？如存在，求Q点的坐标；
若不存在，说明理由；27．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）
28．如图，二次函数与一次函数交于顶点 和点 两点，一次函数与 轴交于点 .
（1）求二次函数 和一次函数 的解析式；
（2） 轴上存在点 使 的面积为9，求点 的坐标.参考答案
1．（1） ；（2）存在， 点的坐标为 或 或 ．
【分析】
（1）根据求出A,B,C的坐标，再由 的面积是6得到关于a的方程即可求解；
（2）根据 得到 点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．
【详解】
（1）∵ ，
令 ，则 ，
∴ ，
令 ，即
解得 ，
由图像知：
∴ ，
∵
∴
解得： ，（ 舍去）；
（2）∵ ，
∴ ，∵ .
∴ 点的纵坐标为±3，
把 代入 得 ，
解得 或 ，
把 代入 得 ，
解得 或 ，
∴ 点的坐标为 或 或 ．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
2．（1） ；（2）D的坐标为（3，0），顶点坐标为（1， ）；（3）满足条
件的点P有两个，坐标分别为P( ， )、P( )．
1 2
【分析】
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据二次函数的解析式得点D的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；
（3）设P的坐标为P（x，y），到y轴的距离为|x|，则S = •BO•|x|，解出x=± ，进而得出
△BOP
P点坐标．
【详解】
解：(1)把点A(－1，0)和点B(0， 4)代入二次函数 中得：
解得：
所以二次函数的解析式为： ；
（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），= ，
∴顶点坐标为（1， ）；
(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣
∵ S ＝ •BO•∣x∣
△BOP
∴ ＝ ×4•∣x∣
解得：∣x∣＝ 所以x＝±
把x＝ 代入 中得：
即：y＝ ，
把x＝－ 代入 中得：
即：y＝－
∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P( ， )、P( )．
1 2
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌
握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
3．（1）a=﹣3，S =6；（2）存在，P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1 ，﹣3）或（﹣1
△ABC
，﹣3）．
【分析】
（1）令y=0代入函数解析式得到点A、B的坐标，进而可得a的值，然后可得点B、C的坐标，
进而可求解△ABC的面积；（2）由（1）可得点C的坐标，然后由等积法可得△ABP与△ABC同底，进而可得点P的纵坐
标为±3，然后分别代入二次函数解析式可求解．
【详解】
解：（1）∵y=﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x=0，则y=﹣a，∴C（0，﹣a），
令y=0，即﹣x2+（a+1）x﹣a=0
解得：x=a，x=1，
1 2
由图像知：a＜0，∴A（a，0），B（1，0）．
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴a=﹣3，AB=4，
∴OC=3，
∴S AB•OC 6；
△ABC
（2）∵a=﹣3，
∴C（0，3），
∵S =S ，
△ABP △ABC
∴P点的纵坐标为±3，
把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3=3，解得：x=﹣2或x=0（与点C重合，舍去）；
把y=﹣3代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3=﹣3，解得：x=﹣1 或x=﹣1 ，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1 ，﹣3）或（﹣1 ，﹣3）．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．(1) ；(2) 存在，D（1，3）或（2，3）或（5，-3）
【分析】
（1）利用待定系数法将点A和点B的坐标代入，求出a和b的值即可；
（2）求出△ABC的面积，根据 求出△ABD的面积，得出△ABD中AB边上的高，
从而分点D在x轴上方和x轴下方分别求出点D的坐标.
【详解】
解：（1）把点 和点 代入 中,得 ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）存在， ，
理由是：∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在△ABD中，∵AB=5，
∴AB边上的高，即点D到x轴的距离为3，
∵抛物线表达式为 ，
若点D的纵坐标为3，令y=3，
解得x=1或2，
∴点D的坐标为（1，3）或（2，3）；
若点D的纵坐标为-3，令y=-3，
解得x=5或-2（舍），
∴点D的坐标为（5，-3）.
综上：存在 ，使得 .
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数上点的坐标，解题的关键是注意
分类讨论思想的运用.
5．（1） -1，（2，-1）；（2） ， ； ；（3）（4，3），（0，3）
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般
式转化为顶点式，根据顶点式即可求得顶点坐标．
（2）根据顶点坐标，抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图像，根据图
像求得当y＞0时，x的取值范围，当x＜2，y随x的增大而减小；
（3）S ＝ ×AB×y 即可求解．
△ABC C
【详解】
（1）y＝x2−4x＋3＝（x−2）2−1，则该抛物线解析式是y＝（x−2）2−1；
∴抛物线的顶点为（2，−1）；
（2）画出函数图像如图：
当y＞0时，x的取值范围是x＜1或x＞3．当x＜2，y随x的增大而减小；
（3）由图可知：A（1，0），B（3，0）
∴AB=2
∵S ＝ ×AB×y ＝ ×2×3＝3．
△ABC C
∴y =3，故x2−4x＋3＝3，
C
解得x=0,x=4，
1 2
故C点（4，3），（0，3）.
【点拨】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法．属于基础题型，比较简单．
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x−h）2＋k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x−x）（x−x）．
1 2
6．（1）y=-x²+2x+3；（2）存在，P（1+ ，－9）或（1- ，－9）.
【解析】【分析】
（1）把E点代入、对称轴表示出来，再结合根与系数的关系可表示出x2+x2=10，可得到关于
1 2
a、b、c的方程组，求解即可求出二次函数的解析；
（2）可先求得A、B的坐标，求得△EOB的面积，可求得P到OA的距离，代入抛物线可求得P
点坐标．
【详解】
（1）∵图像过E（2，3），
∴4a+2b+c=3①；
∵对称轴x=1，∴- =1②，
∵图像与x轴交于两点A（x，0），B（x，0），
1 2
∴x、x 是方程ax2+bx+c=0两根，
1 2
∴x+x=- ，xx= ，
1 2 1 2
∴x2+x2=（x+x）2-2xx= - =10③，
1 2 1 2 1 2
由①②③可解 ，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0可得-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A为（-1，0）、B为（3，0），
∴OA=1，OB=3，且E为（2，3），
∴S = ×3×3= ，
△EOB
设P点坐标为（x，y），则S = ×1×|y|，
△POA
∵S =S ，
△EOB △POA
∴|y|=9，解得y=±9，
当y=9时，代入后x无解，
当y=-9时，代入可得x=1+ 或1- ，∴P点坐标为（1+ ，-9）或（1- ，-9），
∴在（1）中抛物线上是存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积，其坐标为（1+
，-9）或（1- ，-9）
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次方程的关系，在（1）中用
a、b、c表示出x2+x2=10是解题的关键，在（2）中求出P点的横坐标是解题的关键．
1 2
7．（1） ；（2）点E的坐标为 ；（3）存在，点G的坐标为 或
.
【分析】
（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求
（2）可通过点B，点D求出线段BD所在的直线关系式，点E在线段BD上，即可设点E的坐标，
利用点与点的关系公式，通过 即可求
（3）先求线段AD所在的直线解析式，求利用点到直线的公式 ，即可求
与 的高，利用三角形面积公式即可求．
【详解】
（1）依题意，设二次函数的解析式为
将点B代入得 ，得
∴二次函数的表达式为：
（2）依题意，点 ，点 ，设直线BD的解析式为
代入得 ，解得∴线段BD所在的直线为 ，
设点E的坐标为：
∴
∵
∴
整理得
解得 ， （舍去）
故点E的纵坐标为
∴点E的坐标为
（3）存在点G，
设点G的坐标为
∵点B的坐标为 ，对称轴
∴点A的坐标为
∴设AD所在的直线解析式为
代入得 ，解得
∴直线AD的解析式为∴ AD的距离为5
点G到AD的距离为：
由（2）知直线BD的解析式为： ，
∵BD的距离为5
∴同理得点G至BD的距离为：
∴
整理得
∵点G在二次函数上，
∴
代入得
整理得
解得 ，
此时点G的坐标为 或
【点拨】此题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．解题关键在
于利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而
求出线段之间的关系．
8．（1）y＝－ x2＋4x－6；
（2）S ＝6；
△ABC
（3）点P坐标为（-2，0）或 或 或
【解析】试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=- x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程
求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）分类讨论，进行求解即可.
试题解析：（1）∵的图像经过A（2，0）、B（0，-6）两点，
∴ ，
解得b=4，c=-6，
∴这个二次函数的解析式为y＝− x2+4x−6
（2）令- x2+4x-6=0
∴x2-8x+12=0
解得：x=2 x =6
1 2
∴C（4，0）
∴AC=2
∴S = ×2×6=6
△ABC
（3）点P坐标为（-2,0）或
9．（1）二次函数解析式为 ， 点坐标为 ;（2） ， ;（3）
.
【分析】
（1）将已知的两点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式;.（2）设 ,然后
利用三角形的面积计算即可;（3）根据图像可得出y的取值范围..
【详解】
解：（1）将 ， 代入 中，得： ，
解得 .
所以二次函数解析式为 .
令 ，即 ，解得： ， .
∴ 点坐标为 .
（2）设 ，
∵ 的面积为10，
∴ ，
解方程 得 ， ，
此时 点坐标为 ， .
方程 没有实数解.
综上所述， 点坐标为 ， .
（3）如图所示，
当 时，
当 时， 有最小值，
将 代入 中，得 .
当 时， 有最大值.
将 代入 中，得 .
∴ 的取值范围是 .【点拨】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，不规则图形的面积通常转化为
规则图形的面积的和差．
10．（1）A（-5，0）、B（-1，0）、C（0，-5）；（2）10，8；（3）存在，Q（-6，-5）
【分析】
（1）根据二次函数图像平移左加右减，上加下减即可得到新的二次函数的解析式，再令x为0
求出C的坐标，令y为0求出A、B的坐标；
（2）根据二次函数求出其顶点坐标，根据三角形面积公式求解即可；
（3）由△ABQ于△ABC的面积相等可知两个三角形的底都是AB，所以点Q的纵坐标应和点C
的纵坐标一样，由此可找出点Q的坐标；
【详解】
（1）∵ 图像向上平移4个单位，向左平移3个单位，
∴ 新的二次函数解析式为： ，
∵ 点C为二次函数与y轴的交点，
∴ ，即y=-5，
∴ C(0，-5)，
∵点A、B为二次函数与x轴的交点，
∴ ，即 ， ，
∴ A(-5，0)、B(-1，0)；
（2）∵A(-5，0)、B(-1，0)，
∴ AB=4 ，
又∵ C(0，-5)，
∴ ，∵二次函数： ，
∴顶点坐标P(-3，4)，
∴ ，
（3）存在；
假设 ，AB=AB，
∴ 点Q的纵坐标为-5，
∴ ，
∴ （舍去） 或 ，
∴ Q(-6，-5)，
∴存在一点Q使得
【点拨】本题主要考查了二次函数图像左加右减，上加下减、三角形的面积公式，以及面积相等
时求动点的坐标；掌握二次函数的性质是解题的关键；
11．（1）y＝－x2－2x；（2）（3，-3），（1，-3）．
【分析】
（1）把点（0，0）和点A（-2，0）分别代入函数关系式来求b、c的值；
（2）设点P的坐标为（x，-x2-2x），利用三角形的面积公式得到-x2-2x=±3．通过解方程来求x的
值，则易求点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图像经过坐标原点（0，0）
∴c=0．
又∵二次函数y=-x2+bx+c的图像过点A（-2，0）
∴-（-2）2-2b+0=0，
∴b=-2．
∴所求b、c值分别为-2，0；
（2）存在一点P，满足S =3．
△AOP
设点P的坐标为（x，-x2-2x）
∵S =3
△AOP∴ ×2×|-x2-2x|=3
∴-x2-2x=±3．
当-x2-2x=3时，此方程无解；
当-x2-2x=-3时，
解得 x=-3，x=1．
1 2
∴点P的坐标为（-3，-3）或（1，-3）．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解（1）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的
解析式．
12．（1）二次函数的解析式为 ；（2） ；（3）存在，点 的坐标为
或 或 .
【分析】
（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的
值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；
（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长；
（3）设P（m，n），根据△ABP的面积为8可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计
算出m的值即可得到P点坐标．
【详解】
解：（1）依题意把 ， 代入 得：
，解得： ，
∴ 该二次函数的解析式为 ；
（2）令 ，则 ，
解之得： ， ，
∴ 点B坐标为（－3，0），
又∵ ，∴ ；
（3）存在. 设点 坐标为 ，由 得： ，解得： ，
分两种情况讨论：
①当 时，点 坐标为 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ， ；
②当 时，点 坐标为 ，则 ，
解得： ， ∴ ，
综上所述，在这条抛物线上存在一点 ，使△ 的面积为 ，此时点 的坐标为
或 或 .
【点拨】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数
图像经过的点必能满足解析式．
13．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）△ABC 的面积为6；（3）P 点坐标为（﹣4，5），（2，5）．
【解析】
【分析】
（1）将A,C代入解析式即可解题,
（2）求出B点坐标,表示出AB的长,根据C点坐标表示出△ABC的高即可求出三角形面积,
（3）根据三角形面积求出三角形的高为5,令x2+2x﹣3＝5 或 x2+2x﹣3＝﹣5，求解方程即可解
题.
【详解】
（1）根据题意得：
解得：b＝2，c＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；（2）∵当 y＝0 时，有 x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣3，x＝1．
1 2
∴B（﹣3， 0），
又 A（1，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3．
∴△ABC 的面积为 ×4×3＝6；
（3）∵AB＝4，△ABP 的面积为 10，
∴AB 边上的高为 5，
即点 P 的纵坐标为 5 或﹣5．
∴x2+2x﹣3＝5 或 x2+2x﹣3＝﹣5，
方程 x2+2x﹣3＝5 的解为：x ＝﹣4，x＝2，
1 2
方程 x2+2x﹣3＝﹣5 没有实数解．
∴P 点坐标为（﹣4，5），（2，5）．
【点拨】本题考查了用待定系数法求解一元二次方程,一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉
点的坐标含义是解题关键.
14．（1）y= x2﹣ x﹣4；（2）存在，P点坐标为（ ，﹣ ）．
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴得到D（3，0），再确定B（0，-4），连接OP，如图，设P（m，
m2- m-4）（0＜m＜8），利用S =S +S -S = ×3×（- m2+ m+4）+ ×4×m-
△PBD △POD △POB △BOD
×3×4= ×5×4得到关于m的方程，然后解方程求出m即可得到P点坐标．
【详解】
解：（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y=ax2+bx﹣4得 ，解得 ，∴
抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣4；
（2）存在．∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣3）2﹣ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴D（3，0），
当x=0时，y= x2﹣ x﹣4=﹣4，则B（0，﹣4），
连接OP，如图，设P（m， m2﹣ m﹣4）（0＜m＜8），
∵S =S +S ﹣S ，S = ×5×4=10，
△PBD △POD △POB △BOD △ABD
而△BDP的面积恰好等于△ADB的面积，
∴ ×3×（﹣ m2+ m+4）+ ×4×m﹣ ×3×4=10，
整理得3m2﹣34m+80=0，解得m= ，m=8（舍去），
1 2
∴P点坐标为（ ，﹣ ）．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与
x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二
次函数的性质．
15．
【小题1】( )
【小题2】y= x2+ x.
【小题3】( )，【解析】
(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB= . 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则 OD=
，BD= ，∴点B的坐标为( ) .
¿
(2) 将A(2,0)、B ( )、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得
解有a= ，b= ，c="0." ∴所求二次函数解析式是 y= x2+ x.
3
(3) 设存在点C (x , x2+ x) (其中00
试题解析：（1）因为△=
所以不论a为何实数，此函数图像与x轴总有两个交点
y=x2 +ax+a−2=0 x +x =−a x ⋅x =a−2
（2）设x 、x 是 的两个根，则 1 2 ， 1 2 ，因两交
1 2
√13 |x −x |= √ (x −x ) 2 =√13
点的距离是 ，所以 1 2 1 2
(x −x ) 2 =13
即： 1 2
(x +x ) 2 −4x ⋅x =13
变形为： 1 2 1 2
(−a) 2 −4(a−2)=13
所以：
(a−5)(a+1)=0
整理得：
a=5或−1
解方程得：
又因为：a<0
所以：a=－1y=x2 −x−3
所以：此二次函数的解析式为
(x ,y ) √13
（3）设点P的坐标为 o 0 ，因为函数图像与x轴的两个交点间的距离等于 ，所以：AB=
√13
1 √13
AB⋅|y |=
2 0 2
所以：S =
△PAB
√13|y
0
| √13
=
2 2
所以：
|y |=3 y =±3
即： 0 ，则 0
y =3 x −x −3=3 (x −3)(x +2)=0
当 0 时， 0 2 o ，即 0 o
x
解此方程得： 0=－2或3
y =−3 x −x −3=−3 x (x −1)=0
当 0 时， 0 2 o ，即 0 o
x
解此方程得： 0=0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)
考点：二次函数的综合.
21．（1）二次函数解析式为：y＝ x2﹣4x+6；（2） ；（3）存在，P（4+ ， ），P（4
1 2
﹣ ， ），P（3，﹣ ），P（5，﹣ ）
3 4
【分析】
（1）根据待定系数法可求二次函数的解析式；
（2）由题意可得C点，D点坐标，求出BC解析式，可求E点坐标，即可求△BDE的面积；
（3）点P到x轴的距离为h，根据2S =S ，可求h= ，再分点P在x轴上方，x轴下方讨
△ADP △BCD
论，可求点P坐标．
【详解】（1）∵二次函数y＝ x2+bx+c的图像过A（2，0），B（8，6）
∴
解得b＝﹣4，c＝6
∴二次函数解析式为：y＝ x2﹣4x+6
（2）∵y＝ x2﹣4x+6＝y＝ （x﹣4）2﹣2，
∴函数图像的顶点坐标为（4，﹣2），
∴对称轴为直线x＝4，点C坐标（4，0）
∵点A，点D是抛物线y＝ x2﹣4x+6与x轴的交点
∴点A，点D关于对称轴直线x＝4对称，且A（2，0）
∴D（6，0）
设BC所在的直线解析式为y＝kx+b，且过点B（8，6），点C（4，0）
∴
解得k＝ ，b＝﹣6
∴BC所在的直线解析式为y＝ x﹣6，
∵E点是直线y＝ x﹣6与抛物线y＝ x2﹣4x+6的交点，
∴ x﹣6＝ x2﹣4x+6
解得x＝3，x＝8（舍去），
1 2
当x＝3时，y＝﹣ ，
∴E（3，﹣ ）
∴S ＝S +S ＝ ×2×6+ ×2× ＝ ．
△BDE △CDB △CDE
（3）存在，设点P到x轴的距离为h，
∵S ＝ ×2×6＝6，S ＝ ×4×h＝2h，且2S ＝S
△BCD △ADP △ADP △BCD
∴2×2h＝6，
解得h＝ ，
当P在x轴上方时，
＝ x2﹣4x+6，解得x＝4+ ，x＝4﹣ ，
1 2
当当P在x轴下方时，
﹣ ＝ x2﹣4x+6，
解得x＝3，x＝5，
1 2
∴P（4+ ， ），P（4﹣ ， ），P（3，﹣ ），P（5，﹣ ）
1 2 3 4
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，利用数形结合思想和分类讨论思
想解决问题是本题的关键．
22．(1)设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x+3)，
(2)P(−1+ ,3)或P(−1− ,3)或(0,−3)或P(−2,−3).
【解析】
试题分析：（1）由于已知了抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后
把C点坐标代入计算出a即可．
（2）首先算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为6可以计算出n的值，然后再
利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．
试题解析：(1)设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x+3)，
把C(0,−3)代入得a×(−1)×3=−3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=(x−1)(x+3)=x2+2x−3.
(2)∵A(1,0),B(−3,0)，
∴AB=4，
设P(m,n)，
∵△ABP的面积为6，∴ AB⋅|n|=6，
解得：n=±3，
当n=3时,m2+2m−3=3，
解得：m=−1+7√或−1−7√，
∴P(−1+ ,3)或P(−1− ,3)；
当n=−3时,m2+2m−3=−5，
解得m=0或m=−2，
∴P(0,−3)或P(−2,−3)；
故P(−1+ ,3)或P(−1− ,3)或(0,−3)或P(−2,−3).
23．（1） ， ；（2） ， ；（3）存在点 ，坐标为 或
【分析】
（1）由顶点坐标确定m、k的值；
（2）令y=0求得图像与x轴的交点坐标；
（3）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB中AB边上的高 ，然后得出P点纵坐标
代入二次函数表达式求得P点坐标．
【详解】
解：（1）由顶点坐标为M（1，-4）可知二次函数解析式为 ．
∴ ， ；
（2）在 中，令
得 ，
解得 ， ，
∴ ， ．
（3）∵ 与 同底，且 ，∴ ，即 ．
又∵点 在 的图像上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ，
∴存在点 ，坐标为 或 ，使 ．
【点拨】本题考查了由二次函数顶点式的求法及抛物线与x轴交点坐标的求法，以及给出面积关
系求点的坐标，综合体现了数形结合的思想．
24．（1） A（-1,0） B（3,0） （2）P（4,5） P（-2,5）.
1 2
【解析】
y=x2 +bx+c
试题分析：（1）将顶点M（1，-4）代入二次函数 ，求出二次函数解析式，令
y=0，解方程即可；（2）假设存在点P（x，y）满足条件，用点P坐标分别表示出两个三角形的
面积，解方程确定点P的坐标.
y=x2 +bx+c
试题解析：：（1）因为M（1，-4） 是二次函数 的顶点坐标，
所以 ，
令 解得
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）.
（2）在二次函数的图像上存在点P，使
设P（x，y）
则又
∴
即y=±5
∵二次函数的最小值为-4
∴
当 时， 或
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）.
考点：1.二次函数的图像；2.一次函数的图像；3.二次函数的最值；4.轴对称 .
25．（1）A（－1,0） B（3,0）；（2）存在，P（－2,5）或 P（4,5）
【解析】
试题分析：1）由已知得，抛物线解析式
令y=0，解得
∴A（－1,0） B（3,0）
1
S = ×4×4=8
ΔMAB 2
（2）
∴
∵AB=4 ∴
令y=5，解得
∴P（－2,5）或 P（4,5）
考点：1．抛物线的顶点式；2．抛物线的值
26．(1)∠OBC=45∘；(2)点Q的坐标为( , )， ( , )
【分析】
（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．（2）因为抛物线已固定，利用设点Q到AB的距离为a以及△ABQ的面积等于5，求出a的值，
然后代入二次函数的表达式，即可求出Q点坐标.
【详解】
(1)∵y=x2−2x−3=(x−3)(x+1)，
∴当x=0时，y=−3，当y=0时，x=−1或x=3，
∴点C的坐标为(0,−3)，点B(3,0)，点A(−1,0)，
∴OC=3，OB=3，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BOC=90∘，∴∠OBC=∠OCB=45∘，
即∠OBC=45∘；
(2)在x轴下方的抛物线上存在一点Q，使△ABQ的面积等于5，
∵点B(3,0)，点A(−1,0)，
∴AB=4，
设点Q到AB的距离为a，
∵△ABQ的面积等于5，
∴ ，得a= ，
∵点Q在x轴下方，
∴点Q的纵坐标是 ，
将y=- 代入y=x2-2x-3，得- =x2-2x-3，
解得，x=
∴点Q的坐标为（ , ) ( , )
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的综合运用，解题关键是注意分情况讨论．
27．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）P（﹣4，5）或P（2，5）．
【分析】
（1）设交点式y=a（x-1）（x+3），然后把C（0，-3）代入求出a的值即可；
（2）首先算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再
利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．【详解】
（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+3），
把C（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•3＝﹣3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3；
（2）∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝4，
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，
∴ AB•|n|＝10，
解得：n＝±5，
当n＝5时，m2+2m﹣3＝5，
解得：m＝﹣4或2，
∴P（﹣4，5）或P（2，5）；
当n＝﹣5时，m2+2m﹣3＝﹣5，即m2+2m+2＝0，
∵△＝22﹣4×1×2＜0，
∴n＝﹣5不存在，
故P（﹣4，5）或P（2，5）．
【点拨】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数
图像经过的点必能满足解析式．
28．（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）先把点 代入抛物线的顶点式，用待定系数法求解析式，再由A、B坐标求出一次函
数的解析式；
（2）根据 的面积=S -S = PC×（4-2）=9即可解答.
△PCA △PBC
【详解】
（1）解：设y a（x+4）2-1，把点 代入解析式得,
1=
3= a（-2+4）2-1，解得：a=1∴ ；
设y=kx+b，把 和点 代入得
2
解得：
所以，一次函数解析式为y=2x+7；
（2）∵ 、 ，点P在 轴上.
∴点A、B到x轴的距离分别是4、2，
∴ 的面积=S -S = PC×（4-2）=9,解得PC=9，
△PCA △PBC
∵一次函数解析式为y=2x+7与x轴交于点C
∴C(0，7)，OC=7，又∵PC=9
∴OP=7+9=16或OP=9-7=2
∴ 或P（0,16）
【点拨】本题考查一次函数和二次函数的综合运用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式.
