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专题 2.50 《二次函数》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
2．下列函数中，属于二次函数的是
A．y=x–3 B．y=x2–（x+1）2 C．y=x（x–1）–1 D．
3．函数y=（m+2） +2x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
4．如果y=（m-2）x 是关于x的二次函数，则m=（ ）
A．-1 B．2 C．-1或2 D．m不存在
5．对于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
6．已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图像如图所示，则反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的
图像可能是（ ）A． B． C． D．
7．由二次函数 ，可知（ ）
A．其图像的开口向下 B．其图像的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大
8．对于函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．图像顶点是（2，5） B．图像开口向上
C．图像关于直线 对称 D．函数最大值为5
9．如图，二次函数 的图像经过点 ， ，下列说法正确的是（
）
A． B．
C． D．图像的对称轴是直线
10．抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
11．已知二次函数 ，则下列关于这个函数图像和性质的说法，正确的是
（ ）
A．图像的开口向上 B．图像的顶点坐标是C．当 时， 随 的增大而增大 D．图像与 轴有唯一交点
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－
13．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
14．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图像是（ ）
A．
B．C．
D．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
16．二次函数 的图像如图所示，下列结论：① ；② ；③
；④当 时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
17．二次函数y＝x2﹣6x+m的图像与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另
一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
18．关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．顶点坐标为（2，1） B．对称轴为x= C．a+b+c=0 D．x＜3时，
y＞0
19．二次函数y＝x2＋4x－5的图像的对称轴为( )
A．x＝4 B．x＝－4 C．x＝2 D．x＝－2
20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y ），D（5，y
1
）四点，则y 与y 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．y>y B．y＝y C．y0. A选项错误；
函数图像与x轴有两个交点，所以 ＞0，B选项错误；
观察图像可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图像与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线， ，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
10．A
分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选A．
点拨：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
11．C
【分析】
先利用配方法得到 ，可根据二次函数的性质可对 、 、 进行判断；通过解
方程 可对 进行判断．
解： ，
抛物线的开口向下，顶点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，当 时， 随 的
增大而增大，
令 ，则 ，解方程解得 ， ，
△ ，
抛物线与 轴有两个交点．
故选： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
12．D
将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得： ,解得： ，
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4.
A. a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B. − =− ,当x⩾− 时，y随x的增大而增大，B不正确；
C. y=x²+5x+4=(x+ ) ²− ,二次函数的最小值是− ，C不正确；D. − =− ,抛物线的对称轴是x=− ，D正确.
故选D.
点拨: 本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
13．C
试题分析：根据二次函数及一次函数的图像及性质可得，当a＜0时，二次函数开口向上，顶点
在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数开口向上，顶点在y轴正半
轴，一次函数经过一、二、三象限．符合条件的只有选项C，故答案选C．
考点：二次函数和一次函数的图像及性质．
14．D
【分析】
分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数图像的开口方向、对称轴、与y轴的交点情况分析判断即
可得解．
解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴 ，在y轴左边，与y轴正半轴相交，
a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴 ，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，
D选项符合．
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数图像，熟练掌握函数图像与系数的关系是解题的关键，注意分情况
讨论．
15．D
【分析】
由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1；函数与x轴有两个不同的交点；当x＝﹣1时，
y＞0；
由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0；
∴abc＞0，A错误；
由图像可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；
当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，C错误；
∵b＝﹣2a，D正确；
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质；熟练掌握二次函数的图像及性质，能够从给出的图像
上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．
16．B
【分析】
根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜
0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝− ，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到
故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两
个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当
x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程 有两个不相等的实数解
∴∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
【点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，
正确识别图像，并逐一分析各结论是解题的关键．
17．C
【分析】
根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．
解：由二次函数 得到对称轴是直线 ，则抛物线与 轴的两个交点坐标关于
直线 对称，
∵其中一个交点的坐标为 ，则另一个交点的坐标为 ，
故选C．
【点拨】考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
18．C
【解析】
【分析】
由函数图像求得顶点坐标位于第四象限，对称轴方程，结合图像得到当 时， ，结合图
像判定函数的增减性.
、如图所示，抛物线的顶点位于第四象限，故本选项错误；
、如图所示，对称轴为： ，故本选项错误；
、如图所示，当 时， ，即 ，故本选项正确；
、如图所示，当 时， ，故本选项错误.故选： .
【点拨】主要考查图像与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的
熟练运用.
19．D
，
∴对称轴为x＝－2.
故选D.
20．A
【分析】
根据二次函数图像的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y ）距对称轴的距离比D（5，y
1
）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．
2
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），
∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，
∵C（－5，y ）距对称轴的距离比D（5，y ）距对称轴的距离小，
1 2
∴y>y，
1 2
故选A．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解
题的关键．
21．C
由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
22．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，
本题得以解决．
解：二次函数y=-x2+mx+m= ，当4＜ 时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6．2（舍去）；
当 ＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19（舍去），
当-2≤ ≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x= 时取得最大值，则15= +m，得m=6，m=-10（舍去），
1 2
由上可得，m的值是-19或6，
故答案为：-19或6．
【点拨】本题考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质和分类讨论的方法解答．
23．B
解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图像过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数 有最大值，
∴最大值为 ，
故选B．
24．B
【分析】
根据二次函数y=﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图像的开口方向，由二次函数y=﹣
x2+bx+c的图像的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、
c的值．
∵二次函数y=﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，∴该函数的图像的开口方向向下，∴二次函数y=﹣x2+bx+c的图像的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，∴﹣1=﹣ ，即b=﹣2；
①
﹣3= ，即b2+4c﹣12=0；②
由①②解得：b=﹣2，c=﹣4．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数y=﹣x2+bx+c的图像的最
高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标”是解题的关键．
25．B
【分析】
由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，
又∵顶点坐标（-1，3），
∴y=-2（x+1）2+3，
故答案为y=-2（x+1）2+3．
故选B．
【点拨】本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开口方向相同，则它们二次项系数必
定相同．
26．C
【分析】
根据二次函数的顶点式求解析式.
解: 设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k
∵二次函数的图像的顶点坐标为（2，-1），
∴二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1，
把（0，3）分别代入得a=1，
所以y=（x-1）2-1．
故选C
【点拨】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次
函数的顶点式来求解析式．熟记顶点式公式：y=a（x-h）2+k是解题关键．27．D
【解析】
【分析】
根据图形得出抛物线的顶点坐标为（1，2），设出抛物线的顶点形式，把（2，0）代入求出a的
值，即可确定出抛物线解析式.
解: 根据图像得：抛物线的顶点坐标为（1，2），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，
将（2，0）代入解析式得：0=a+2，
解得：a=-2，
则抛物线解析式为y=-2（x-1）2+2=-2x2+4x．
故选D
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
28．D
试题分析：由题意a=﹣2，∵抛物线 与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0）
∴设y=﹣2（x+1）（x﹣3），即： ．故选D．
考点：待定系数法求二次函数解析式．
29．D
【分析】
用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
解：将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：
．
故选：D．
【点拨】主要考查了函数图像的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的
规律：左加右减，上加下减．
30．C
解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．31．C
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
抛物线 的顶点坐标是 ，抛物线线 的顶点坐标是 ，
所以将顶点 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到顶点 ，
即将函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到函数
的图像．
故选C．
【点拨】主要考查了函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规
律求函数解析式．
32．D
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由
平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解： ，即抛物线的顶点坐标为 ，
把点 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为 ，
所以平移后得到的抛物线解析式为 ．
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以
求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利
用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
33．A
【分析】由题意可知△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，解不等式即可求得m的取值范围.【详解】∵二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图像与x轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，
解得：m≤5，
故选A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的
关键．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点个数与△=b2-4ac的关系，
△>0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有2个交点；
△=0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有1个交点；
△<0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴没有交点.
34．D
【分析】
利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．
∵二次函数y=kx2−6x+3的图像与x轴有交点，
∴方程kx2−6x+3=0(k≠0)有实数根，
即△=36−12k⩾0，k⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k⩽3且k≠0.
故选D.
【点拨】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握其性质定义.
35．C
【分析】
分别令x（4-x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，
即可得到点P的个数．
当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的
说法正确；
当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正
确；
当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法
不正确；故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成
一元二次方程根的判别式．
36．B
【分析】
由题意可得方程 的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函
数的图像沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．
二次函数 的图像经过 与 两点，即方程 的两个根是
﹣3和1，
可以看成二次函数y的图像沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程 的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数图像与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在
图像上进行平移．
37．C
【解析】
解：由x2﹣x﹣2=0可得：x=﹣1，x=2，观察函数图像可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．故
1 2
选C．
38．C
【分析】
利用二次函数的对称性，可得出图像与x轴的另一个交点坐标，结合图像可得出ax2+bx+c<0的解
集．
解：由图像得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图像与x轴的另一个交点坐标为（－1，0），
由图像可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5，故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标.
39．D
【分析】
根据图像解答即可.
由图像可知，当y＞0时，自变量x的取值范是－11
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，即可得到答案.
解：∵ 中， ，
∴开口向下，对称轴是： ，顶点坐标为：（1，1），
当 时，y随x的增大而减小.
故答案为：下， ，（1，1）， .
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键.
49． .
【分析】
利用抛物线的对称性写出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的
自变量的范围即可．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故答案为﹣1＜x＜3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的
性质．
50．-1
【解析】
将这段抛物线C 通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C 与
1 1
C 的顶点到x轴的距离相等，且OA =A1A，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C
2 1 2 6
的顶点，从而得到结果．
解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A 坐标为（2，0）
1
∵C 由C 旋转得到，
2 1
∴OA =A1A，即C 顶点坐标为（3，﹣1），A（4，0）；
1 2 2 2
照此类推可得，C 顶点坐标为（5，1），A（6，0）；
3 3
C 顶点坐标为（7，﹣1），A（8，0）；
4 4
C 顶点坐标为（9，1），A（10，0）；
5 5
C 顶点坐标为（11，﹣1），A（12，0）；
6 6
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
“点拨”本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
51．
【分析】
使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，
再利用概率公式求解可得．
解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有
3种结果，
∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为 ，故答案为： .
【点拨】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．
52．①③④
根据图表，当x=-2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为
（-2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x= = ，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x= 时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，
并且在直线x= 的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错
53．( ，0)
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点
A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，
从而可以解答本题
解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a 0)与反比例函数y= 的图像相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线
与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x= ,
故答案为（ ）
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标
特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答．
54．2
【分析】
根据二次函数的图像与系数的关系直接进行求解即可．
解：由抛物线 可得与y轴的交点坐标为 ，与x轴只有一个交点其坐标为
，所以与坐标轴的交点有2个；
故答案为2．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系是
解题的关键．
55．①②③⑤【分析】
根据图像可判断①②③④⑤，由x=1时，y＜0，可判断⑥
由图像可得，a＞0，c＜0，b＜0，△=b2﹣4ac＞0，对称轴为x=
∴abc＞0，4ac＜b2，当 时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确,
∵
∴2a+b＞0,
故③正确,
由图像可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误,
当x=1时，y=a+b+c＜0,故⑥错误
故答案为:①②③⑤
【点拨】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物
线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
56．①③⑤
【分析】
①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=1,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负,由此得出①
正确，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,可知c为正结合a<0、b>0即可得出②错误，将
抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③正确，根据拋物线的对
称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标,即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标,④正确，
⑤根据两函数图像的上下位置关系即可解题.
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴对称轴为x=- =1，
∴2a+b=0，①正确，
∵a ，b ,抛物线与y轴交于正半轴，
∴c∴abc 0，②错误，
∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y= ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，
∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，
③正确.
∵对称轴为x=- =1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为
（-2，0），④错误，
由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y＜y ⑤正确.
2 1.，
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉二次函数的性质是解题关键.
57．①③
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，从而得到抛物线在 轴上截
得的线段的长，利用 和对称轴方程不能确定顶点的纵坐标和 的值.
二次函数 的图像过点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
抛物线在 轴上截得的线段的长是 .
故答案为：①③.
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ ， ， 是常数，
）与 轴的交点坐标问题转化解.关于 的一元二次方程即可求得交点横坐标.
58．（﹣3，0）.
【解析】
∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．
故答案为（﹣3，0）．
59．1
【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为（1，1），故当x=1时可求得y值为1，即
可求得答案．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，
∴P（3，1）对称点坐标为（1，1），
∴当x=1时，y=1，
即a+b+c=1，
故答案为1．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，1）在其图像上是解
题的关键．
60．-4
【分析】
先求出抛物线的对称轴，从而求出m和n的值，即可得出结论．
解：抛物线 的对称轴为直线x=
∵点A（2，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，
∴ ，m=4
解得n=-8
∴m+n=-4
故答案为：-4．
【点拨】此题考查的是抛物线的对称性的应用，求出抛物线的对称轴并利用抛物线的对称性求出
m和n的值是解题关键．
61．
【分析】
由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性
质进行求解即可．
62．10
【分析】
由x2﹣3x+2y=6，可得2y=6-x2+3x，代入x+2y，利用二次函数的性质求解.
解：由实数x、y满足x2﹣3x+2y=6,，可得2y=6-x2+3x，
x+2y=x+6-x2+3x=-x2+4x+6；
令Z= x+2y=-x2+4x+6，
可得当x=2时，Z有最大值为10，
故答案为:10
【点拨】x的最高次幂是2, x+2y的最高次幂是1, 应用x表示出2y, 进而表示出x+2y, 得到关于x
的二次函数, 利求二次函数性质求出最大值.
63．1 9
【解析】
【分析】
根据顶点式表示的二次函数，结合考虑-2≤x≤1，即可求解此题．
解：将标准式化为两点式为y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1
∵开口向上，
∴当x＝1时，有最大值：y ＝9，
max
当x＝﹣1时，y ＝1．
min
故答案为1，9．
【点拨】考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图像直接
得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
64．8
【分析】
先依据配方法确定出抛物线的最小值，依据矩形的对角线相等可得到 ，然后确定出AC
的最小值即可.(x-3)2+8，
抛物线的顶点坐标为 ．
的最小值为8．
的最小值为8．
故答案为8．
【点拨】本题主要考查的是矩形性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关
键．
65．2
【分析】
把 和 分别带入二次函数 ，得到关于m、y的二元一次方程组即可.
解：把 和 分别带入二次函数 ，得
解得
【点拨】本题考查待定系数法，关键是正确带入求值.
66．y=x2﹣2x﹣8
【解析】
分析：由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=（x+2）（x-4），然后变形为一般式
即可．
详解：抛物线的解析式为y=（x+2）（x-4），即y=x2-2x-8，
故答案为y=x2-2x-8
点拨：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式
时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
67．2．
【解析】
试题分析：首先设二次函数的解析式为：y=a(x-3)(x+1)，将(0，2)代入可得： ，则二次函数的解析式为：y= ，则当x=2时，y=2．
点拨：本题主要考查的就是利用待定系数法求二次函数解析式以及求函数值，属于简单题型．在
利用待定系数法求解析式时，首先要选择合适的解析式，二次函数的解析式有三种形式：①、一
般式： ；②、顶点式： ；③、交点式：
．选择哪一种解析式，我们需要根据实际的题目来进行．
68．答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．
【分析】
由题意得，设 ，此时可令 的数，然后再由与y轴的交点坐标为(0，3)求
出k的值，进而可得到二次函数的解析式.
解：设 ，
将(0，3)代入 ，解得 ，
故 或y=x2﹣4x+3．
故答案为：答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．
考点：1.二次函数的图像及其性质；2.开放思维.
69．y=x2+2
分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣
1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得
对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为y=x2+2．
点拨：本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求
平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用
待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
70． 或 （答出这两种形式中任意一种均得分）【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位长度所得抛物线的解析
式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下
平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图像与几何变换．
71．
【分析】
先求出原二次函数图像的顶点坐标，然后根据平移方式即可求出平移后的二次函数图像的顶点坐
标，从而求出平移后的解析式．
解：
∴二次函数 的图像的顶点坐标为（1,2）
将（1,2）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到（0,0）
∴平移后的二次函数图像的顶点坐标为（0,0）
∴平移后的二次函数解析式为
故答案为： ．
【点拨】此题考查的是二次函数图像的平移，掌握将图像的平移转化为顶点的平移是解决此题的
关键．
72．下 3 y轴 （0，-3） 减小
【解析】
【分析】
由函数图像的平移规则，以及二次函数的图像和性质，即可得到答案.
解：抛物线 是由抛物线 向下平移3个单位得到的，它的对称轴是y轴，顶点
坐标是（0，-3）；
∵ ，∴当 时，y随x的增大而减小，
将抛物线 向下平移2个单位，可得： .
故答案为：下，3，y轴，（0，-3），减小， .
【点拨】本题考查了函数平移的规律，以及二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握平移
的规律.
73．x＝﹣3，x＝1
1 2
【分析】
关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，由此即可得到
答案．
∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x的方程
ax2+bx=mx+n的解为x=﹣3，x=1．
1 2
故答案为x=﹣3，x=1．
1 2
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与
x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性
质．
74．2
【分析】
求出∆的值，根据∆的值判断即可．
解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与 轴有2个交点．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，
a≠0）的图像与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴
有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元
二次方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数
根．
75．4．
解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．
76．8试题分析：由题意可得 ，即可得到关于m的方程，解出即可.
由题意得 ，解得
考点：本题考查的是二次根式的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握当 时，抛物线与x轴有两个公共点；当
时，抛物线与x轴只有一个公共点； 时，抛物线与x轴没有
公共点.
77．
【分析】
首先根据二次函数的的二次项系数大于零，可得抛物线开口向上，再计算抛物线的对称轴
，判断 范围内函数的增减性，进而计算y的范围.
解：根据二次函数的解析式 可得
由a=2>0，可得抛物线的开口向上
对称轴为：
所以可得在 范围内，二次函数在 ，y随x的增大而减小，在 上y
随x的增大而增大.
所以当 取得最小值，最小值为：
当 取得最大值，最大值为：
所以
故答案为
【点拨】本题主要考查抛物线的性质，关键在于确定抛物线的开口方向，对称轴的位置，进而计算y的范围.
78．﹣3≤x≤0．
【分析】
根据函数图像写出二次函数图像在一次函数图像上方部分的x的取值范围即可．
解：由图可知，-3＜x＜0时二次函数图像在一次函数图像上方，
所以，满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是﹣3≤x≤0．
故答案为：﹣3≤x≤0
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
79．
【分析】
求函数值y＜0时，自变量x的取值范围，就是求当函数图像在x轴下方时，对应的x的取值范围．
解：如图，函数值y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3．
故答案是：-1＜x＜3．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值y＜0时，自变量x的取值范围，
就是求当函数图像在x轴下方时自变量的范围是关键，体现了数形结合思想．
80．-2≤x＜0或4＜x≤6
【分析】
根据点A、B的坐标确定出对称轴，再求出点C的对称点的坐标，然后写出即可．
解：∵A（-2，0）、B（6，0），
∴对称轴为直线x= =2，
∴点C的对称点的坐标为（4，4），
∴0≤ax2+bx+c＜4的解集为-2≤x＜0或4＜x≤6．
故答案为：-2≤x＜0或4＜x≤6．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C点的对称点的坐标．
