文档内容
专题2.4 解一元二次方程-因式分解法（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
2.理解并掌握用换元法解一元二次方程，化繁为易。
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点2 换元法解一元二次方程：
（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问
题得到简化。
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，
而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把
换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。
一些形式复杂的方程通过
【典例分析】【考点1 解一元二次方程-因式分解法】
【例1】（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝0，x ＝﹣2
1 2 1 2
【变式1-1】（2021秋•陵水县期末）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝ ，x ＝0
1 2 1 2
【变式1-2】（2021秋•河东区期末）方程x2＝x的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝0 C．x ＝﹣1，x ＝0 D．x ＝1，x ＝0
1 2 1 2
【变式1-3】（2021秋•上蔡县期末）方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝0
C．x ＝2，x ＝0 D．
1 2
【例2】（2021秋•玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
【变式2-1】（2022春•义乌市月考）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．
【变式2-2】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．【变式2-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6．
【考点2 换元法解元二次方程】
【例3】（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，
则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【变式3-1】（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数
式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【变式3-2】（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝
0，那么x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【变式3-3】（2021秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将
x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y ＝
1
1，y ＝4．
2
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以 ；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以 ．
所以原方程的根为 ， ， ， ．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．
运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．专题2.4 解一元二次方程-因式分解法（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
2. 理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；
2.理解并掌握用换元法解一元二次方程，化繁为易。
【知识点梳理】
考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点2 换元法解一元二次方程：
（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问
题得到简化。
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，
而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把
换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。
一些形式复杂的方程通过【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-因式分解法】
【例1】（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝0，x ＝﹣2
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：∵x（x+2）＝0，
∴x＝0或x+2＝0，
∴x ＝0，x ＝﹣2，
1 2
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•陵水县期末）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝ ，x ＝0
1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：移项得，x2﹣2x＝0，
提公因式得x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x ＝0，x ＝2，
1 2
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•河东区期末）方程x2＝x的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝0 C．x ＝﹣1，x ＝0 D．x ＝1，x ＝0
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：x2＝x，
移项得x2﹣x＝0，
提公因式得x（x﹣1）＝0，
解得x ＝1，x ＝0．
1 2
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•上蔡县期末）方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝0
C．x ＝2，x ＝0 D．
1 2【答案】D
【解答】解：3x（x﹣2）＝x﹣2，
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
所以x ＝2，x ＝ ．
1 2
故选：D．
【例2】（2021秋•玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
【答案】（1）x ＝1， （2）x ＝﹣2，x ＝0
1 1 2
【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0
（2x+1）（x﹣1）＝0，
故2x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x ＝1， ；
1
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2，
（2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0，
则3x（x+2）＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝0．
1 2
【变式2-1】（2022春•义乌市月考）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0； （2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．
【答案】（1）x ＝1，x ＝﹣7 （2）x ＝5，x ＝13．
1 2 1 2
【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x+7）＝0，
所以x﹣1＝0或x+7＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣7；
1 2
（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5），
移项得：（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）[（x﹣5）﹣8]＝0，所以x﹣5＝0或x﹣13＝0，
解得：x ＝5，x ＝13．
1 2
【变式2-2】（2021秋•昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．
【答案】（1）x ＝﹣3，x ＝1； （2）x ＝7，x ＝1
1 2 1 2
【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝﹣3，x ＝1；
1 2
（2）（x﹣7）（1﹣x）0，
x﹣7＝0或1﹣x＝0，
所以x ＝7，x ＝1．
1 2
【变式2-3】（2021秋•天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6．
【答案】（1）x ＝5，x ＝﹣3 （2）x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2 1 2
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣3；
1 2
（2）（x+3）2＝2x+6，
（x+3）2＝2（x+3），
移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
则（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
【考点2 换元法解元二次方程】
【例3】（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，
则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【答案】B【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，
解得：y ＝﹣4，y ＝2，
1 2
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，
故选：B．
【变式3-1】（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数
式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
【变式3-2】（2022春•蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝
0，那么x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【答案】B
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
【变式3-3】（2021秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将
x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y ＝
1
1，y ＝4．
2当y＝1时，x2﹣1＝1，所以 ；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以 ．
所以原方程的根为 ， ， ， ．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．
运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【答案】（1）x ＝2，x ＝﹣1 （2）x ＝ ，x ＝﹣
1 2 1 2
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a ＝a ＝2，
1 2
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
所以原方程的解是x ＝2，x ＝﹣1；
1 2
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y ＝3，y ＝﹣4，
1 2
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝ ；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
