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专题2.4 解一元二次方程-一因式分解法（能力提升）（解析
版）
一、选择题。
1．（2021•深圳模拟）方程x（x﹣6）＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x ＝0，x ＝6 C．x＝﹣6 D．x ＝0，x ＝﹣6
1 2 1 2
【答案】B。
【解答】解：x（x﹣6）＝0
x＝0或x﹣6＝0
解得x ＝0，x ＝6．
1 2
故选：B．
2．（2022•呼兰区校级模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
【答案】D。
【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
故选：D．
3．（2021•红桥区模拟）方程x2+x﹣6＝0的两个根为（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝﹣2 B．x ＝﹣3，x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝3 D．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
【答案】B。
【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
则x+3＝0或x﹣2＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝2，
1 2
故选：B．
4．（2021秋•奎屯市月考）若关于x的一元二次方程的根分别为﹣5，7，则该方程可以为
（ ）
A．（x+5）（x﹣7）＝0 B．（x﹣5）（x+7）＝0C．（x+5）（x+7）＝0 D．（x﹣5）（x﹣7）＝0
【答案】A。
【解答】解：∵（x+5）（x﹣7）＝0
∴x+5＝0或x﹣7＝0
∴x ＝﹣5，x ＝7
1 2
故选：A．
5．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则
这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】C。
【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12；
法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，
∴ab＝24，
则这个菱形的面积为 ab＝12．
故选：C．
6．（2022春•八步区期末）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，
则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．15 D．12或15
【答案】C。
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．
7．（2022•碧江区 一模）若一个三角形的两边长分别是 4和7，第三边的边长是方程x2﹣
10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．13 B．18 C．15 D．16
【答案】B。
【解答】解：∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，
∴x＝3或x＝7，
当x＝3时，
∵4+3＝7，
∴4、3、7不能组成三角形，
当x＝7时，
∵4+7＞7，
∴4、7、7能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为4+7+7＝18，
故选：B．
8．（2021秋•绥宁县期末）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝
0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．13 B．18 C．22 D．26
【答案】C。
【解答】解：∵x2﹣13x+36＝0，
∴（x﹣4）（x﹣9）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣9＝0，
解得x ＝4，x ＝9，
1 2
则此三角形第三边的长度需满足5＜第三边长度＜13，
所以此三角形的周长需满足18＜周长＜26，
故选：C．
9．（2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长
为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
【答案】A。【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝ ＝ ，
故选：A．
10．（2022春•南湖区校级期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的
两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5 B．3 C． D．3或
【答案】D。
【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，
分为两种情况：
①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为 ＝ ；
②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为 ＝3，
所以第三边长为3或 ，
故选：D．
二、填空题。
11．（2021秋•工业园区校级期中）方程x2﹣x＝56的根是 x ＝ 8 ， x ＝﹣ 7 ．
1 2
【答案】x ＝8，x ＝﹣7。
1 2
【解答】解：∵x2﹣x＝56，
∴x2﹣x﹣56＝0，
则（x﹣8）（x+7）＝0，
∴x﹣8＝0或x+7＝0，
解得x ＝8，x ＝﹣7，
1 2
故答案为：x ＝8，x ＝﹣7．
1 212．（2021秋•镇江期中）小明在解一元二次方程x2＝2x时，只得到一个根x＝2，则被他
漏掉的一个根是x＝ 0 ．
【答案】0。
【解答】解：方程x2＝2x，
移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x ＝0，x ＝2，
1 2
则被他漏掉的一个根是x＝0．
故答案为：0．
13．（2021春•禹城市月考）若实数 x，y满足（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为
﹣ 2 或 1 ．
【答案】﹣2或1。
【解答】解：（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，
可得：x+y+2＝0或x+y﹣1＝0，
解得：x+y＝﹣2或1．
故答案为：﹣2或1
14．（2021秋•深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根
据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 x ＝ 3 ， x ＝ 8 ．
1 2
【答案】x ＝3，x ＝8。
1 2
【解答】解：变形为：（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，
x﹣3＝0，x﹣3﹣5＝0，
解得：x ＝3，x ＝8．
1 2
故答案为：x ＝3，x ＝8．
1 2
15．（2021秋•通川区校级期中）关于x的代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，当m＝ 4
或 8 时，代数式为完全平方式．
【答案】4或8。
【解答】解：∵m+2＝±2×1× ，
∴（m+2）2＝4（4m﹣7），∴m2﹣12m+32＝0，
∴（m﹣4）（m﹣8）＝0，
∴m ＝4，m ＝8
1 2
∴当m＝4或8时，代数式为完全平方式．
16．（2021秋•顺德区月考）y＝ ﹣ 2 或﹣ 3 时，y2+5y与6互为相反数．
【答案】﹣2或3。
【解答】解：∵y2+5y与6互为相反数，
∴y2+5y+6＝0，
∴（y+2）（y+3）＝0，
∴y+2＝0或y+3＝0，
∴y ＝﹣2，y ＝﹣3．
1 2
故答案为﹣2或3．
17．（2021秋•宽城区校级月考）一元二次方程2x2﹣4x＝0的根是 x ＝ 0 ， x ＝ 2 ．
1 2
【答案】x ＝0，x ＝2。
1 2
【解答】解：2x2﹣4x＝0，
2x（x﹣2）＝0，
2x＝0，x﹣2＝0，
x ＝0，x ＝2，
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝2．
1 2
18．（2022春•淄川区期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和
﹣3，则分解因式：x2+bx+c＝ （ x ﹣ 2 ）（ x + 3 ） ．
【答案】（x﹣2）（x+3）。
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，
∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3），
故答案为：（x﹣2）（x+3）．
三、解答题。
19．（2021秋•怀化期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．
【解答】解：（1）x2+2x＝1，
x2+2x＝1＝2，（x+1）2＝2，
x+1＝± ，
所以x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ；
1 2
（2）3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+1）＝0，
x﹣1＝0或3x+1＝0，
所以x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
20．（2021秋•玄武区期末）解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0
（2x+1）（x﹣1）＝0，
故2x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x ＝1， ；
1
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2，
（2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0，
则3x（x+2）＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝0．
1 2
21．（2021春•平桂区 期中）解方程．
（1）2（x+1）＝x（x+1）；
（2）x2+3x+1＝0．
【解答】解：（1）2（x+1）＝x（x+1），
x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝2；
1 2
（2）x2+3x+1＝0，
a＝1，b＝3，c＝1，
则Δ＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
22．（2021春•天心区期末）解一元二次方程：
（1） （x﹣3）2＝18；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝36，
∴x﹣3＝±6，
∴x ＝9，x ＝﹣3；
1 2
（2）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
（2x+1）（3x﹣2）＝0，
2x+1＝0或3x﹣2＝0，
∴x ＝﹣ ，x ＝ ．
1 2
23．（2021春•市中区期末）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0．
（2）解方程： + ＝1．
【解答】解：（1）方程x2﹣4x+3＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x ＝1，x ＝3；
1 2
（2）去分母得：（x+1）2+4＝x2﹣1，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3．
24．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x ＝m，x ＝3m．
1 2
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x ，x ，则x +x ＝4m，x •x ＝3m2，
1 2 1 2 1 2
∵x ﹣x ＝2，
1 2
∴（x ﹣x ）2＝4，
1 2
∴（x +x ）2﹣4x x ＝4，
1 2 1 2
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
25．（2022春•洛龙区期中）（1）a﹣b＝2 ，求（ ） 的值；
（2）解方程3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2．
【解答】解：（1）（ ）
＝ •
＝ •
＝ ，
当a﹣b＝2 时，原式＝ ＝ ；
（2）3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2，3（2x﹣5）﹣（2x﹣5）2＝0，
（2x﹣5）（3﹣2x+5）＝0，
（2x﹣5）（8﹣2x）＝0，
2x﹣5＝0或8﹣2x＝0，
x ＝2.5，x ＝4．
1 2
26．（2022春•广州期中）先化简再求值： ．其中x是方程2x2+x﹣1
＝0的根．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
∵2x2+x﹣1＝0，
∴（2x﹣1）（x+1）＝0，
2x﹣1＝0或x+1＝0，
∴x ＝ ，x ＝﹣1，
1 2
∵x＝﹣1分式没有意义，
∴x的值为 ，
当x＝ 时，原式＝ ＝﹣1．
27．（2021秋•陈仓区期中）小敏与小霞两位同学解方程 3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如
下：
小敏： 小霞：
两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3， 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
则x＝6． 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x ＝3，x ＝0．
1 2
请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．【解答】解：小敏：错误；小霞：错误．
正确的解答方法：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x ＝3，x ＝6．
1 2
28．（2021秋•苏州期中）已知关于 x的一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0（a为常
数）．
（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；
（2）若x ，x 是这个一元二次方程两根，且x ，x 是以 为斜边的直角三角形两直角
1 2 1 2
边，求a的值．
【解答】解：（1）把a＝2代入一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0得2x2﹣3x+1＝
0，
则（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得x ＝ ，x ＝1；
1 2
（2）∵x ，x 是一元二次方程2x2﹣（a+1）x+a﹣1＝0两根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵x ，x 是以 为斜边的直角三角形两直角边，
1 2
∴x 2+x 2＝（ ）2，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝5，
1 2 1 2
∴（ ）2﹣2× ＝5，
解得a ＝﹣3（负值舍去），a ＝5．
1 2
故a的值为5．
29．（2021秋•台州期中）按要求解方程：
（1）小聪同学解方程的过程如 （2）小明同学解方程的过程如 （3）解方程：
下，请指出最早出现错误的步 下，请指出最早出现错误的步
x2﹣4x﹣5＝0
骤序号，并写出正确的解答过 骤序号，并写出正确的解答过
程． 程．2x（x﹣1）＝3（x﹣1） （x﹣3）2＝9
解：两边除以（x﹣1），得2x 解：两边开平方，得x﹣3＝
＝3① 3①
系数化为1，得x＝1.5② 移项，合并同类项，得x＝
6②
最早出现错误的步骤序号：
① 最早出现错误的步骤序号：
①
你的解答过程：
你的解答过程：
2x（x﹣1）＝3（x﹣1）
（x﹣3）2＝9
【解答】解：（1）最早出现错误的步骤序号：①，
正确过程如下：∵2x（x﹣1）＝3（x﹣1），
∴2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x ＝1，x ＝1.5；
1 2
故答案为：①；
（2）最早出现错误的步骤序号：①，
正确解答过程：
∵（x﹣3）2＝9，
∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
解得x ＝6，x ＝0，
1 2
故答案为：①．
（3）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x ＝5，x ＝﹣1．
1 2
30．（2021春•上城区校级期末）阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍
1 2
去）．
（2）当x＜0时，原方程化为 x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍
1 2
去）．
∴原方程的根是x ＝2，x ＝﹣2
1 2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0，
（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x ＝1，x ＝0（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜1时，原方程化为 x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍
1 2
去）．
故原方程的根是x ＝1，x ＝﹣2．
1 2
