文档内容
第 03 讲 三角函数的图象与性质
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第7题,5分 正弦函数图象的应用 图象交点问题
函数奇偶性的定义与判断
求余弦(型)函数的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 函数奇偶性的应用
余弦(型)函数的图象及应用
根据函数零点的个数求参数范围
求含sinx(型)函数的值域和最值
2024年新Ⅱ卷，第9题,6分 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 求函数零点及方程根的个数
求正弦(型)函数的最小正周期
2023年新I卷，第15题,5分 余弦函数图象的应用 根据函数零点的个数求参数范围
正弦定理解三角形
2023年新I卷，第17题,12分 用和、差角的正弦公式化简、求值
三角形面积公式及其应用
由正 (余)弦函数的性质确定图象
2022年新I卷，第6题,5分 无
(解析式)
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求在曲线上一点处的切线方程
2022年新Ⅱ卷，第9题,5分 利用正弦函数的对称性求参数
(斜率)
求sinx型三角函数的单调性
2021年新I卷，第4题,5分 求sinx型三角函数的单调性 无
2020年新I卷，第10题,5分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 无
2020年新Ⅱ卷，第11题,5分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-11分
【备考策略】1能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质
2能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质
3理解 中 的意义，理解 的变化对图象的
影响，并能求出参数及函数解析式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加
强复习备考
知识讲解
1. 三角函数的图象与性质2. 三
角 函
数 型
函 图 数
的 象 图
象 和
性 质
（1） 定 正
义
弦 型
域
函
值
域
当 时，
当 时，
最 ；当
；当 既无最大值也无最小值
值
时， ．
时， ．
周
期
性
奇
偶 奇函数 偶函数 奇函数
性
在 在 上是增函
单
上是增函数； 数；
调 在
性 在 上是减函 上是增函数．
在
数．
上是减函数．
对
对称中心
称 对称中心 对称中心
性 对称轴 对称轴 无对称轴
数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，
叫做相位，其中 叫做初相
（2）正切型函数性质
的周期公式为：
（3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质
考点一、 正弦型函数的图象与性质
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．
2．（2024·全国·高考真题）函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求
的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先
把 化为正数．
4．（2024·全国·高考真题）（多选）对于函数 和 ，下列说法中正确的有
（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，
显然 零点不同，A选项错误；B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
5．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 的图像关于点 中心对称，
则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
1．（2021·全国·高考真题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正周期
为 ，最大值为 .
故选：C．
2．（2024·天津·高考真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在
的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出 ，得 ，再整体求出 时， 的
范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】 ，由 得 ，即 ，当 时， ，
画出 图象，如下图，
由图可知， 在 上递减，
所以，当 时，
故选：A
3．（2024·全国·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
4．（2022·天津·高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
5．（2024·河北唐山·二模）函数 在 上为单调递增函数，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围，求出 ，结合正弦函数的单调性得到 ，解得即可.
【详解】由 可得 ，
又 ，则 ，且 在 上为单调递增函数，
所以 ，解得 ，即 的取值范围为 .
故选：C
考点二、 余弦型函数的图象与性质
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
3．（2024·全国·二模）已知函数 ， ，则函数 的单调递减区间为
.
【答案】
【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.
【详解】由题意知， ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，则 ，
即函数 的单调递减区间为 .
故答案为：
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在区间 上的值域为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助余弦函数的单调性与值域的关系计算即可得.
【详解】 时， ，由函数 在区间 上的值域为 ，
故函数 在区间 上的值域为 ，
则有 ，即 .
故选：A.
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 最小正周期为
B． 是 图象的一条对称轴
C． 是 图象的一个对称中心
D． 在 上单调
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式化简函数，根据 求出最小正周期判断A；利用余弦函数的对称轴方程和对
称中心可判断BC；由余弦函数的单调性可判断D.
【详解】 ，
对于A： 的最小正周期为 ，错误；
对于B：令 可得 ，
所以 的图象关于直线 对称，正确；
对于C：令 可得 ，且 ，
所以 的图象关于点 对称，正确；
对于D：因为 ，所以 ，
由 在 上单调递增， 上单调递减可知，在 上单调递增，在 单调递减，错误；
故选：BC.
1．（2024·全国·模拟预测）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】 ，令 ，
,
故函数 的单调递增区间为 .
故选：D．
2．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
3．（2024·福建漳州·一模）已知函数 在 上单调递减，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以 为整体，结合余弦函数性质分析求解.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，即实数 的最大值为 .
故选：C.
4．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知函数 ，则以下结论正确的为
（ ）
A． 的最小正周期为
B． 图象关于点 对称
C． 在 上单调递减
D．将 图象向左平移 个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数
【答案】ABD
【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A；代入验证可判断B；取 可判断函数图
象关于 对称，可判断C；利用平移变换求出平移后的解析式，即可判断D.
【详解】
，
对于A， ，A正确；
对于B，因为 ，
所以点 是函数 的对称中心，B正确；对于C，因为 ，
所以函数 的图象关于 对称，
又 ，所以 在 上不单调，C错误；
对于D，将 图象向左平移 个单位后，得
，
显然为偶函数，D正确.
故选：ABD
考点三、 正切型函数的图象与性质
1．（2024·上海·三模）函数 的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】利用函数 的最小正周期计算公式即可求解.
【详解】因为 的最小正周期为 ,
所以函数 的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ,
故答案为： .
2．（2024·安徽·三模）“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若函数 的图象关于 对称，根据正切函数的对称性可得 ，再
根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
【详解】若函数 的图象关于 对称，则 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 的图象关于 对称”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（多选）若函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的定义域为
C． 在 上单调递增
D． 的图象关于点 对称
【答案】BC
【分析】A选项，由 求出最小正周期；B选项，整体法得到 ，求出定义域；C
选项，得到 ，得到 在 上单调递增；D选项，整体法求解出函数的对称中心.
【详解】A选项， 的最小正周期为 ，A错误；
B选项，由 ，得 ，B正确；
C选项，由 ，得 ，因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，C正确；
D选项，由 ，得 ，当 时， ，
所以 的图象关于点 对称， 错误.
故选：BC
4．关于函数 ，其中 有下述四个结论：① 是偶函数； ② 在区间 上是严格增函数；
③ 在 有3个零点； ④ 的最小正周期为 ．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、周期性定知识确定正确答案.
【详解】 的定义域为 ，
，所以 是偶函数，①正确.
当 时， 是严格增函数，②正确.
当 时， ，
所以 在 有无数个零点，则③错误.
，
所以 不是 的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
5．函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 是奇函数
C． 是周期函数 D． 既有最大值又有最小值
【答案】ACD
【分析】利用奇函数和周期函数的定义可判断BC的正误，利用正切函数的定义域可得A的正误，利用正
切函数的单调性可判断D的正误.
【详解】对于A， ，
因为 ，所以对于任意实数 ， 都有意义，所以A正确；
对于B， ，不与 恒等，所以B错误；
对于C， ，所以C正确；对于D， ， 在 单调递增，
所以 ，所以D正确.
故选：ACD.
1．（2024·湖北荆州·三模）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果
【详解】由周期公式得 .
故选：B
2．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 在区间 上单调递增
C． 图象的一个对称中心为 D． 的最小正周期为π
【答案】C
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，
即函数的定义域不关于原点对称，所以 不是奇函数，故A错误；
当 时， ，此时 无意义，故 在区间 上单调递增不正确，故B错误；
当 时， ，正切函数无意义，故 为函数的一个对称中心，故C正确；
因为 ，故 是函数的一个周期，故D错误.
故选：C3．（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 的一个周期为2 B． 的定义域是
C． 的图象关于点 对称 D． 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】
利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】对于A，由 可知其最小正周期 ，故A正确；
对于B，由 可知 ，
故B错误；
对于C，由 可知 ，
此时 的图象关于点 对称，故C正确；
对于D，由 可知 ，
又 在 上递增，显然 ，故D正确.
故选：ACD
9．（2024·湖南长沙·二模）已知函数 的最小正周期为 ，直线
是 图象的一条对称轴，则 的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【分析】根据 的最小正周期确定 的值，根据函数的对称轴求出 ，
结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于 的图象是将 的图象在x轴下方部分翻折
到x轴上方，
且 仅有单调递增区间，
故 和 的最小正周期相同，均为 ，
则 ，即 ，
又直线 是 图象的一条对称轴，则 ，
即 ，结合 ，得 ，
故 ，令 ，则 ，
即 的单调递减区间为 ，
故选：B
考点 四 、 求三角函数的解析式及函数值
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且 的最小值为
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为 ．【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小
正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最
小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点求解 .
4．（2023·全国·高考真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的两个交点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得， ，从而得
到 的值，再根据 以及 ，即可得 ，进而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
5．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，且
的图象关于点 中心对称，则 （ ）A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
6．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线 和
为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答案.
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的部分图像如图所示，则
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果.
【详解】由图可得 ， ， ，所以 ，
所以 ，因为 在函数的图像上，
可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ， ，
所以
.
故选：B.
2．（2024·重庆·三模）已知函数 的部分图像如图所示，若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由图像以及题意求出 的解析式，从而得 ，
，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.
【详解】由图可知 ，由 可知 ，
故 ，又由图 ，
故由图 ， ①，
由图 ， ②，
又 ，结合①②可得 ，故 ，
所以 .
故 .
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线 是函数 图象的两
条相邻的对称轴，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】借助正弦型函数的性质可分别计算出 、 、 ，得到函数解析式，再代入 的值即可得解.
【详解】由题意可知 ，所以 ．由 ，得 ，所以 ，
因为 ，
且直线 是函数 图象的两条相邻的对称轴，
所以 ，所以 ，由 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：D．
4．（2024·安徽·三模）已知函数 的部分图象如下图所示，若曲线
过点 ， ， ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用五点法作图，结合函数 的图象得 、 和
，再利用两角差的余弦公式，计算得结论.
【详解】解：因为 ，所以 ，而 ，因此 ，
即
因为 ，所以由“五点法”作图得： ，解得 ，
由于 ,解得 ，故取 ，则 ，
因此 .
因为 ，所以 ， .因为由函数 的图象，结合“五点法”作图知： ， ，
所以由 和 得： ，
，
因此
.
故选：A
5．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C是直线 与函数 （ ， ）的
图象的三个交点，如图所示．其中，点 ，B，C两点的横坐标分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． 的图象关于 中心对称 D． 在 上单调递减
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得 ，进而求得 ，结合 ，得到 ，
再逐项分析判断即可.
【详解】由 ，得 ，而 ，且点A在 图象的下降部分，则 ，
于是 ，显然 是直线 与 的图象的三个连续的交点，
由 点横坐标 ，即 ，解得 ， ，
解得 ， ，则 ，而 ，因此 ，所以 ，对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ， 的图象关于 不对称，C错误；
对于D，当 时， ，当 ，即 时，函数 取得最小值，
又 ，因此 在 上不单调，D错误.
故选：B
【点睛】思路点睛：给定 的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最
高（低）点定A，求出周期定 ，由图象上特殊点求 .
考点 五 、 由三角函数的图象求参数值
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 的部分图象如图所示，若
， ，则正整数 的取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出函数的周期 ，再据此得到 ，最后比对选项即可.
【详解】方法一：因为 ，
所以 ，
，所以 ，即 ，
而 ，所以 是非负整数，又由图象可得 ，所以 ，
综上，只能 ，
所以 的最小正周期为 ，
而由 ，可知 ，即正整数 是 的周期，
所以 ，即 ，对比选项可知只有C选项符合题意.
方法二：设函数的最小正周期为 ，由于 ，故据图象可知 ，从而 .
从而由 表明 ，比对选项知C正确，A，B，D错误.
故选：C.
2．已知函数 的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为
，与 轴的一个交点的坐标为 ．设M，N为直线 与 的图象的两个相邻交点，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定 ， ，然后根据线段 的长度确定它们与中间对称轴之间的距离，再由此推出
它们的函数值.
【详解】由图可知， 的最小正周期 ，所以 ，即 .
而 是 图象的最高点，所以 ，从而 .
由于 ，故 的横坐标一定位于 的相邻两个零点之间.而 ，故 到它们之间的对称轴的距离都是 ，而对称轴的横坐标 一定满足
，所以
.
故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，直线 与函数 的图象的三
个相邻的交点分别为A，B，C，其横坐标分别为 ， ， ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的对称性可得 ，故可求 .
【详解】因为 ，故 ，
故 中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ，
故 ，且 ，
故 ，而 ，故 ，
故选：A
1．（2024·山西长治·一模）已知函数 的部分图象如图所示，若方程
在 上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数 的解析式，再分析 在 上的图象性
质即可得解.
【详解】观察图象知， ，函数 的周期 ， ，
由 ，得 ，而 ，则 ，
于是 ，当 时， ，
当 ，即 ，函数 单调递减，函数值从 减小到 ，
当 ，即 时，函数 单调递增，函数值从 增大到 ，
显然函数 的 上的图象关于直线 对称，
方程 在 上有两个不相等的实数根，即直线 与函数 在 上的图象有两个公
共点，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 在区间 上是减函数，且
， ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定 与的值，两式相减，即可求出 的值.
【详解】由题知 ，
因为 ， ，
所以 ，
又因为 在区间 上是减函数，
所以 ，
两式相减，得 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 （ 为常数），
， ，且 的最小值为 ，若 在区间 上恰有8个零点，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目条件得到方程组，求出 ， ，得到函数解析式，从而令 ，得到
，画出 的图象，要想在区间 上恰有8个零点，且 取得最小值，数形结
合得到方程组，求出答案.
【详解】由题意得 ，解得 ，
设 的最小正周期为 ，故 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
故 ，当 时， ，
令 ，得 ，
画出 的图象，如下：
要想在区间 上恰有8个零点，且 取得最小值，
故 ， ，
且 ，两式相减得 ， .
所以 的最小值为 .
故选：D
4．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，
将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 在区间 上的值域为 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由图象求出函数 ，再由平移变换得函数 ，结合整体法求值域，从而求 的取值范围.
【详解】设 的最小正周期为 ，由图象可知 ，所以 ，则 ，故 ，
又 的图象过点 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
则 ，
则 .
当 时， ，
当 或 .即 或 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 的取值范围为 .
故选：C.
考点 六 、 三角函数图象与性质的综合应用
1．（2024·河北唐山·一模）已知函数 的最小正周期为π，则（ ）
A． 在 单调递增 B． 是 的一个对称中心
C． 在 的值域为 D． 是 的一条对称轴
【答案】C
【分析】由函数 的最小正周期为π，求出 ，再代入化简 ，画出 的图象，再对选项一
一判断即可得出答案.
【详解】因为函数 的最小正周期为π，所以 ，
所以函数即 ，作出函数 的图象，
如下图所示：
对于A，由图可知， 在 单调有增有减，故A错误；
对于B，由图象可知， 无对称中心，故B错误；
对于C，由图象可知， 为偶函数，当 ，
，所以 ，
所以 ，所以 在 的值域为 ，故C正确；
对于D，由图象可知， 的对称轴为 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：由函数 的最小正周期求出 ，再代入化简 ，画出 的图象，再由三角函
数的单调性，对称性，值域对选项一一判断即可得出答案.
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，若关于 的方程 在 上有 个实数根， ， ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数的平移规则得到 的解析式，画出函数图象，结合 的对称性计算可得.
【详解】因为函数 ，将 的图象向左平移 个单位长度得到，
函数 的对称轴为 ，对称中心为 ，且 为偶函数，
又函数 的图象是由 的图象将 轴下方的部分关于 轴对称上去， 轴及 轴上方部分
保持不变而得到，
所以 的对称轴为 ，
又 的图象是将 的图象向上平移一个单位得到，
所以 的图象如下所示：
因为关于 的方程 在 上有 个实数根，
即 与 在 上有 个交点，
又 ， ，所以 ，
令 与 交点的横坐标从小到大依次为 ，
则 关于 对称， 关于 对称， 关于 对称， 关于 对称，
所以 ，
所以
.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代
数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数
函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点
之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.3．（2024·天津红桥·一模）将函数 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 单位，得到函数
的部分图象（如图所示）．对于 ， ，且 ，若 ，
都有 成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C． 在 上单调递增
D．函数 在 的零点为 ，则
【答案】C
【分析】由题意可得函数 的图象在区间 上的对称轴为 ，再结合 可求出
，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断
CD 即可.
【详解】对于A，由题意可知函数 的图象在区间 上的对称轴为 ，
则 与 关于 对称，
又 ，结合图象可得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B， 右移 个单位得到函数 的图象，再将其横坐标缩短为原来的 得到 的图象，故B正确；
对于C，由 ，得 ，
所以 在 上不单调，故C错误；
对于D，令 ，则 ，
函数 在 上有 个零点 ，
则 ， ， ， ， ，
故 ，
所以 ，故D正确；
故选：C．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 或 的形式；
（2）将 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 或余弦函数 的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、
单调性等）解决相关问题.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，现给出下列四个结论：
① 的图象关于点 对称；
②函数 的最小正周期为 ；
③函数 在 上单调递减；
④对于函数 ．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D.
【详解】对于①，由 得 的定义域为 ，，
因此 的图象关于点 对称，故①正确；
对于②，因为 ，
所以 是 的周期，故②错误；
对于③，当 时， ，所以 ，
故 ，
因为 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以，由复合函数性质可知，函数 在 上单调递减，③正确；
对于④，由上知，当 时， ，
，
因此 ，故④正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
①存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点 对
称.
②存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
5．（2024·广西贵港·模拟预测）（多选）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，
当 时， ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 在区间 上为增函数 D．方程 仅有4个实数解
【答案】ACD
【分析】根据给出的函数的性质，做出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.【详解】因为 为奇函数，所以 的图象关于点 中心对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称．
可画出 的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为 ）：
对于A，由图可知 的最小正周期为 ，所以 ，故A正确．
对于B， 的图象关于点 中心对称，故B错误．
对于C，由图可知 在区间 上单调递增，故C正确．
对于D， ， ， ， ，
由图可知，曲线 与 的图象有4个交点，所以方程 仅有4个实数解，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：
（1）若 为偶函数，则函数 为轴对称图形，对称轴为 .
（2）若 为奇函数，则函数 为中心对称图形，对称中心为 .
（3）若 的图象有两条对称轴 ， （ ），则 为周期函数，周期为 .
（4）若 的图象有两个对称中心 ， （ ），则 为周期函数，周期为 .
（5）若 的图象关于 成轴对称，同时关于 成中心对称，则 为周期函数，周期为
.
1．（2024·山东滨州·二模）已知函数 在 上有且仅有4个零点，直线 为
函数 图象的一条对称轴，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以 为整体，根据题意结合零点可得 ，结合对称性可得 ，进而可求 .
【详解】因为 ，且 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，
又因为直线 为函数 图象的一条对称轴，
则 ，解得 ，
可知 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：以 为整体，可得 ，结合正弦函数零点分析可知右端点
的取值范围，进而可得 的取值范围.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 满足：对 ，有
，若存在唯一的 值，使得 在区间 上单调递减，则实数
m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对 ，有 ，可得 ， ，结合
在区间 上单调递减，可得 ，又 ，可得 是其唯一
解，则有 ，再结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】由对 ，有 ，即可得 ，即 ，
则 ，
可得 ，
即 ，即 ，
则 ，
由 在区间 上单调递减，
故 ，即 ，
由存在唯一的 值，使其成立，故 ，即有 ，
则 ， ，即 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对存在唯一的 值的理解，结合 ，
，且 ，可得 ，则需 .
3．（2024·广西·模拟预测）已知函数 ，若 在区间 内恰好
有2022个零点，则n的取值可以为（ ）
A．2025 B．2024 C．1011 D．1348
【答案】D
【分析】令 ，按 分类探讨一元二次 根的情况，再结合正弦函数的
性质求解即得.
【详解】依题意， ，
令 ，则 ，由 ，得 ，
显然 ，即方程 有两个不等的实数根 ， ，
当 时， ， ，此时 在 上恰有3个实根，
而 ，因此 ，则 ；当 时， ， ，则 ， ，
此时 在 上恰有2个实根，
而 ，于是 或 ，
因此 或2023，所以n的取值可以为2022或2023或1348.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法
解决一元二次方程的实根问题.
4．（2024·山东烟台·三模）若定义在 上的函数 满足： ， ，且对任意 ，
，都有 ，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． 是 的一个周期 D． 图象关于 对称
【答案】D
【分析】首先得出 的对称中心以及周期，结合剩下的已知
来构造函数 ，以此排除ABC，并证明D选项.
【详解】在 中，令 ，得 ，则
是函数 的一个对称中心，
在 中，令 ，得 ，所以
， 是 的一个周期，
接下来我们构造反例说明ABC错误，然后证明D正确：
首先对于ABC而言，由以上分析不妨设 ，
而
，，
若要 恒成立，
只需 恒成立，只需 ，
因为 ，所以 ，从而满足题意的 可以是 ，
但是 ，故A错误；
，故B错误；
是函数 的一个最小正周期，故C错误；
现在我们来证明D是正确的：
对于D，由以上分析有， ，这表明 图象关于 对称，
故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键是得出 是函数 的一个对称中心，且 是函数 的一个周期，
由此即可顺利得解.
5．（2024·江西吉安·模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的值域为
C．若方程 在 上有6个不同的实根，则实数 的取值范围是
D．若方程 在 上有6个不同的实根 ，则 的
取值范围是
【答案】BC
【分析】根据 是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段
函数 的图象，求出 的取值范围，再利用对称性判断D.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 的图象不关于点 对称，A说法错误；
当 时， ，由 可得 ，
当 时， ，由 可得 ，
综上 ，B说法正确；
当 时，由 解得 ，
当 时，由 解得 ，
所以方程 在 上的前7个实根分别为 ，
所以 ，C说法正确；
由 解得 或 ，
又因为 ，
所以根据正弦函数的单调性可得 图象如图所示，
所以 有4个不同的实根， 有2个不同的实根，
所以 ，解得 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以 的取值范围是 ，D说法错误，
故选：BC一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以 为周期，且其图象关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的性质判断A，根据正弦函数的性质判断B，利用二倍角公式化简函数解析式，再
由余弦函数的性质判断C，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦函数的性质判断D.
【详解】对于A： 的最小正周期为 ，对称中心为 ，故A错误；
对于B： 的图象是由 将 轴下方部分关于 轴对称上去， 轴上方及 轴部分不变，
所以 的最小正周期为 ，没有对称中心，故B错误；
对于C： ，则最小正周期 ，
且当 时 ，所以函数图象关于点 对称，故C正确；
对于D： ，最小正周期 ，故D错误.
故选：C
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，则
的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式得到 ，根据余弦函数的周期得到 ，再求出其对称中
心的通式，最后对每个选项验证即可.
【详解】由题意得 ，由题可知 ，所以 .
令 ，得 ，所以 的图象的对称中心为 ，所以点 符合.
故选：D.
3．（2024·天津北辰·三模）已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于点 对称
C．若 是偶函数，则 ，
D． 在区间 上的值域为
【答案】D
【分析】A项，化简函数求出 ，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函
数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出 的取值范围；D项，计算出 时 的
范围，即可得出值域.
【详解】由题意，
在 中，
，
A项， ，A正确；
B项，令 , 得 ,
当 时, ,
所以 的图象关于点 对称,故B正确;
C项， 是偶函数，
∴ , ，
解得： , 故C正确；D项, 当 时, ,
所以 ,
所以 在区间 上的值域为 ，故D错误.
故选：D.
4．（2024·福建泉州·一模）已知函数 的周期为 ，且在区间 内单调递增，则 可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.
【详解】因为函数 的周期为 ，
所以当 时，对正、余弦函数来说， ，故排除AB，
当 时， ，
因为 在 上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
5．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 与 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 与 都是偶函数，其中 ， ，
在同一坐标系中，作出函数 与 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D6．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 的部分图象如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在 上单调递减
D．函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于 轴对称
【答案】C
【分析】根据图象求出函数 的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可．
【详解】由 得 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，故A错误；
时， ，所以 ， ，故B错误；
，令 ，则 ，
时， ，此时 单调递增， 单调递减，
故 在 上单调递减，故C正确；
的图象上的所有点向左平移 个单位长度，
得到 ，图象关于原点对称，故D错误.
故选：C.二、多选题
7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 的最小正周期为
C． 的最小值为 D． 在 上单调递增
【答案】AC
【分析】首先化简函数 ，再根据函数的性质判断各选项.
【详解】 ，函数的定义域为 ，
对A， ，所以函数 是奇函数，故A正确；
对B，函数 的最小正周期为 ，故B错误；
对C，函数 的最小值为 ，故C正确；
对D， ， ，函数 不单调， 在 上单调递增，在 上单调递减，故D
错误.
故选：AC
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 的图像关于点 中心对称，则
（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 在 处的切线
【答案】ABD
【分析】由条件求出 ，即得 .对于A,B两项，只需将 看成整体角，利用正弦函数
的图象即可判断，对于C，只需将 代入解析式，根据函数值即可检验，对于D，利用导数的几何意义即可求出切线方程进行判断.
【详解】由题意可得， ，则 ，因 ，则 ，于是
.
对于A，令 ，由 可得， ，因 在 上单调递减，故 在区
间 单调递减，即A正确；
对于B，令 ，由 可得， ，因 在 上有两个极值点，故B正
确；
对于C，当 时， ，因 ，故直线 不是曲线 的对称轴，即
C错误；
对于D，由 求导得， ，则 ，又 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，故D正确.
故选：ABD.
9．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 则（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象关于 轴对称
C．函数 在区间 上有2个零点
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变换易得 ，采用代入检验法即可判断A项，利用平移变换，求
得函数解析式，易得其为奇函数，，故而排除B项，将 看成整体角，求出其范围，利用余弦函数的
图象观察分析，易对C,D两项进行判断.【详解】
对于 当 时 ，而 ，故A正确；
对于 将 向左平移 个单位后可得，
为奇函数，关于原点对称，故B错；
对于 当 时， ，
因 在 上仅有2个零点，故 在 上也仅有2个零点，故C正确；
对于 当 时，因 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，故D正确.
故选：ACD．
10．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 的图象关于 对称
B．当 时， 在 上的最大值为
C．当 为 的一个零点时， 的最小值为1
D．当 在 上单调递减时， 的最大值为1
【答案】ACD
【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余
弦函数的零点对选项逐一判定即可．
【详解】 时， ，因为 ，
所以 关于 对称，故A正确；
时，由 可得 ，根据余弦函数的单调性可知 的最大值为 ，故B错误；
若 ，则 ， ，所以 ， ，且 ，
所以 的最小值为1，故C正确；
因为 在 上单调递减，且 ，
根据余弦函数的单调性可知 的单调递减区间为：
， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，故D正确．
故选：ACD．
一、单选题
1．（2024·全国·三模）若偶函数 的最小正周期为 ，则
（ ）
A． B． 的值是唯一的
C． 的最大值为 D． 图象的一条对称轴为
【答案】D
【分析】由 可判断A；由偶函数的性质可判断B；由三角函数的性质可判断C；
可判断D.
【详解】对于A，因为周期只与 有关，因此只需考虑 的情况.
若对任意 ，都有 ，
，
所以 ，所以 ，所以A错误.
对于B，因为 为偶函数，所以 .因为 ， ，
所以 .又 ，所以 或 ，所以B错误.
对于C， ，
当 时取得最大值，所以C错误.
对于D，容易知道 或 时，
，
所以 的图象关于直线 对称，所以D正确.
故选：D.
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ，则图中的函数图象所对应的函数解析式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 依次代入选项中，根据周期性、过的点以及诱导公式可判断每个选项的正误，进
而选出答案.
【详解】题目中图象对应函数的最小正周期 ，
对于A， ，
最小正周期为 ，不符合题意，错误；
对于B， ，
最小正周期为 ，且 和 都在图象上，符合题意，正确；对于C， ，
最小正周期为 ，但函数过点 ，不符合题意，错误；
对于D， ，
最小正周期为 ，不符合题意，错误.
故选：B
3．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数
的图象，若函数 在区间 和 上均单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合正弦函数图象的平移先求出 的解析式，然后结合正弦函数的单调性即可求解．
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，
令 ， ，
则 ， ，
若函数 在区间 和 上均单调递增，
则 ，解得 ．
故选：A．4．（2024·山东济宁·三模）已知函数 ，若 在区间 上的值域为
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 ，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.
【详解】依题意，函数 ，
当 时， ，显然 ，
且正弦函数 在 上单调递减，由 在区间 上的值域为 ，
得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ，且 是函
数 相邻的两个零点， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，由 判断，对于B，由题意可得 ，结合周期公式可求出 ，对于
C，由 可求出 ，对于D，求 的值可判断 是否为对称轴即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B， ，且 是函数 相邻的两个零点，
所以其周期 ，所以 ，故B正确；对于C，令 ，则 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，由以上可知 ，所以 ，
所以 的图象关于直线 对称，所以 ，故D正确.
故选：C.
二、多选题
6．（2024·山东·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B． 为奇函数
C．若 在 单调递增，则
D． 的图象与直线 有5个交点
【答案】BCD
【分析】先根据函数图象的对称性求 的值，再分析函数的性质，判断各选项是否正确.
【详解】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 或 ，
解的 .
即 .
所以 ，故A错误；
因为 ，为奇函数，故B正确；
由 ，所以 在 上递增，又因为若 在单调递增，所以 ，故C正确；
设 ，则 .
做函数 和 的草图如下：
可知两个函数的图象有5的交点，即 的图象与直线 有5个交点，故D正确.
故选：BCD
7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若函数图象过原点，则
B．若函数图象关于 轴对称，则
C．若函数在零点处的切线斜率为1或 ，则其最小正周期为
D．存在 ，使得将函数图象向右平移 个单位后与原函数图象在 轴的交点重合
【答案】BCD
【分析】根据正弦函数的图象与性质以及复合函数的求导一一验证即可.
【详解】对于A，将原点代入，得到 ， ， ，故A错误.
对于B，图象关于 轴对称，即对称轴为 ，经过最高最低点，则 ，则 ，故B
正确.
对于C，令 ，则零点为 ，求导 将 代入，
，则 ，其最小正周期为 .故C正确.
对于D，若 ， ，平移后的函数
，
与原函数图象关于 轴对称，故D正确
故选：BCD.8．（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， 在 上单调递增
B．若 且 ，则
C．若 在 上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】ACD
【分析】选项A：利用正弦函数的单调性判断； 选项B：利用正弦函数的最值、周期判断；选项C：利用
正弦函数的图象判断； 选项D：利用三角函数的图象变换判断.
【详解】对于A，当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B，若 且 ，
所以 一个是最大值，一个是最小值，
则 ，故B不正确；
对于C，若 ，则 ，
若 在 上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得 ，解得 ，也就是 的取值范围为 ，故C正确；对于D， ，
当 时， 是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
9．（2024·河北张家口·三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的一个周期为
B．函数 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数 为偶函数，则
的最小值为
D．若 ，其中 为锐角，则 的值为
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A；代入验证可判断B；根据平移变化求 ，
由奇偶性可求出 ，可判断C；根据已知化简可得 ，将目标式化为 ，
由和差角公式求解可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 的最小值周期 ，所以 是函数 的一个周期，A正确；
对于B，因为 ，
所以，点 不是函数 的对称中心，B错误；
对于C，由题知， ，
若函数 为偶函数，则 ，得 ，
因为 ，所以 的最小值为 ，C正确；
对于D，若 ，则 ，
因为 为锐角， ，所以 ，
所以
，D正确.
故选：ACD
10．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数 ，其部分图象如图
所示，且直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，下列叙述正确的是
（ ）
A．
B． 为奇函数
C．
D．若 在区间 （其中 ）上单调递增，则 的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据函数图象求出 、 ，再根据面积求出 ，最后根据函数过点 求出 ，即可得到函数
解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】依题意可得 ，即 ，又 ，所以 ，解得 ，又直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，
所以 ，解得 ，故A正确；
所以 ，又函数过点 可得 ，
又 ，则 ，所以 ，则 ，
所以 ，
则 ，为非奇非偶函数，故B错误；
因为 ，
所以
，
又 ，
所以 ，故C正确；
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
因为 在区间 （其中 ）上单调递增，
所以 ， ，
即 ， ，解得 ， ，
即 的取值范围是 ， ，故D错误；
故选：AC1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故
A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 ，则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
2．（2023·北京·高考真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．【答案】(1) .
(2)条件①不能使函数 存在；条件②或条件③可解得 ， .
【分析】（1）把 代入 的解析式求出 ，再由 即可求出 的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 的解析式化简，根据 在 上的单调性及函
数的最值可求出 ，从而求出 的值；把 的值代入 的解析式，由 和 即可求出 的
值；若选条件③：由 的单调性可知 在 处取得最小值 ，则与条件②所给的条件一样，解
法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
3．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
4．（2020·全国·高考真题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数
图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即
可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
5．（2020·山东·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．【答案】BC
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确
结果.
【详解】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
不妨令 ,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求
待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x ，
0
则令ωx ＋φ＝0(或ωx ＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
6．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的
定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①， ， ，则 ，所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．（2019·浙江·高考真题）设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定 的值；
(2)首先整理函数的解析式为 的形式，然后确定其值域即可.
【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得： ，
函数为偶函数，则当 时， ，即 ，结合 可取 ，相
应的 值为 .
(2)由函数的解析式可得：.
据此可得函数的值域为： .
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等
知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．（2019·全国·高考真题）设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，
下述四个结论：
① 在（ ）有且仅有3个极大值点
② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得 ，结合正弦函数的
图像分析得出答案．
【详解】当 时， ，
∵f（x）在 有且仅有5个零点，
∴ ，
∴ ，故④正确，
由 ，知 时，令 时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当 时， ，
若f（x）在 单调递增，
则 ，即 ，
∵ ，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思
想解三角函数问题，属于中档题．
9．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即
可做出选择．
【详解】因为 图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为 ，周期为 ，排
除C，作出 图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递增，A正确；作出 的
图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递减，排除B，故选A．【点睛】
利用二级结论：①函数 的周期是函数 周期的一半；② 不是周期函数；
10．（2019·全国·高考真题）关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】 为偶函数，故①正确．当 时，
，它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，它有两个零点：
；当 时， ，它有一个零点： ，故 在 有 个零
点： ，故③错误．当 时， ；当
时， ，又 为偶函数， 的最大值为 ，故④
正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C．
