文档内容
第 03 讲 二项式定理
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题.................................................................4
知识点2：二项式展开式中的最值问题.............................................................................................5
知识点3：二项式展开式中系数和有关问题.....................................................................................6
题型一：求二项展开式中的参数........................................................................................................7
题型二：求二项展开式中的常数项....................................................................................................7
题型三：求二项展开式中的有理项....................................................................................................8
题型四：求二项展开式中的特定项系数............................................................................................8
题型五：求三项展开式中的指定项....................................................................................................9
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数..............................................10
题型七：求二项式系数最值..............................................................................................................10
题型八：求项的系数最值..................................................................................................................11
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和..............................................................12
题型十：求奇数项或偶数项系数和..................................................................................................13
题型十一：整数和余数问题..............................................................................................................13
题型十二：近似计算问题..................................................................................................................14
题型十三：证明组合恒等式..............................................................................................................15
题型十四：二项式定理与数列求和..................................................................................................17
题型十五：杨辉三角..........................................................................................................................18
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................20
05课本典例·高考素材........................................................................................................................21
06易错分析·答题模板........................................................................................................................22
易错点：混淆项的系数与二项式系数..............................................................................................22
答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数..........................................................................23
考点要求 考题统计 考情分析
（1）二项式定理 2024年北京卷第4题，4分 (1)今后在本节的考查形式依然以选择或
（2）二项式系数的性 2024年甲卷（理）第13题，5 者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,分
2023年北京卷第5题，4分 难度中等偏下,与教材相当.
质 2023年天津卷第11题，5分 (2)本节内容在高考中的比重可能会持续
2023年上海卷第10题，5分 降低,但仍然是备考的重要内容.
2022年I卷第13题，5分
复习目标：
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有： ，
(ab)n
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式．
式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项： ，
其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式 的展开式的特点：
①项数：共有 项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 ．字母 降幂排列，次数由 到 ；字母 升幂排列，次
数从 到 ，每一项中， ， 次数和均为 ；
④项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①
(ab)n C
n
0anC
n
1an1b
(1)rC
n
ranrbr
(1)nC
n
nbn （nN*
）
(1x)n 1C1xC2x2 Crxr xn
② n n n
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是C n r ；
②字母 的次数和组合数的上标相同；
③ 与 的次数之和为 ．
Cranrbr Crbnrar
注意：①二项式 的二项展开式的第r+1项 n 和 的二项展开式的第r+1项 n
是有区别的，应用二项式定理时，其中的 和 是不能随便交换位置的．T (1)rCranrbr
②通项是针对在 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项是 r1 n
（只需把 看成 代入二项式定理）．
【诊断自测】已知在 的二项展开式中，各项系数和为 ，则展开式中，含 项的系数为 .
知识点2：二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ．
③二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，变形式
．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ，
则 ，
从而得到： ．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大；
如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大．
（2）系数的最大项
求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，设
第 项系数最大，应有 ，从而解出 来．
【诊断自测】设 为整数， 展开式的二项式系数的最大值为 ， 展开式的二项式系数的
最大值为 ，若 ，则 ．
知识点3：二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设abn C
n
0an C
n
1an1bC
n
2an2b2
C
n
ranrbr
C
n
nbn，二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 ，
的值．
①令ab1，可得：2n C
n
0 C
n
1
C
n
n
②令 ，可得：0C n 0C n 1C n 2C n 3 1nC n n，即：
C n 0 C n 2 C n n C n 1 C n 3 C n n1 （假设n为偶数），再结合①可得：
C n 0 C n 2 C n n C n 1 C n 3 C n n1 2n1 ．
（2）若 ，则
①常数项：令 ，得 ．
②各项系数和：令 ，得 ．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当 为偶数时，奇数项的系数和为 ；
偶数项的系数和为 ．
（可简记为： 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当 为奇数时，奇数项的系数和为 ；
偶数项的系数和为 ．
（可简记为： 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若 ，同理可得．
注意：常见的赋值为令 ， 或 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【诊断自测】设 ，则 .
题型一：求二项展开式中的参数
【典例1-1】在 展开式中 的系数为 ，则 的值为 .
【典例1-2】已知二项式 的展开式中的常数项为 ，则 .
【方法技巧】在形如 的展开式中求 的系数，关键是利用通项求 ，则 ．
【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）在 的展开式中，常数项为90，则 ．
【变式1-2】在 的展开式中， 的系数为12，则 的值为 ．
【变式1-3】（2024·高三·上海·开学考试）已知二项式 的展开式中存在常数项，正整数 的最小值
为 ．
【变式1-4】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知 展开式中 的系数为80，则 .
题型二：求二项展开式中的常数项
【典例2-1】（2024·高三·浙江·开学考试） 的展开式中，常数项为 ．
【典例2-2】（2024·高三·江苏·开学考试） 展开式中的常数项为 .
【方法技巧】
写出通项，令指数为零，确定 ，代入．
【变式2-1】 的展开式中的常数项为 .（请用数字作答）
【变式2-2】二项式 的展开式中的常数项为 ．
【变式2-3】 的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示）
【变式2-4】（2024·全国·模拟预测） 的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数
项为 ．
题型三：求二项展开式中的有理项
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测） 的展开式中，有理项是第 项．【典例3-2】（2024·山东烟台·三模）已知 的展开式中共有 项，则有理项共 项．（用数字表
示）
【方法技巧】
先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．
【变式3-1】已知 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为
．
【变式3-2】（2024·高三·上海·单元测试）二项式 的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ．
【变式3-3】（2024·高三·吉林通化·期中）在 的展开式中，有理项的个数为 ．
【变式3-4】在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项．
【变式3-5】已知 的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项
．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
【典例4-1】二项式 展开后的第三项是
【典例4-2】（2024·浙江绍兴·二模） 的展开式的第四项为 .
【方法技巧】
写出通项，确定r，代入．
【变式4-1】（2024·陕西渭南·二模） 展开式中的 项是 .
【变式4-2】（2024·湖北·模拟预测） 展开式中 项的系数为 .
【变式4-3】二项式 的展开式的中间项为
【变式4-4】（2024·高三·上海浦东新·期中） 的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表
示）.题型五：求三项展开式中的指定项
【典例5-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试） 的的展开式中 的系数为（ ）
A．30 B． C．20 D．
【典例5-2】（2024·江苏南京·模拟预测） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
【方法技巧】
三项式 的展开式：
若令 ，便得到三项式 展开式通项公式：
，
其中 叫三项式系数．
【变式5-1】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试） 的展开式中 的系数是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【变式5-2】（2024·新疆喀什·三模） 展开式中， 的系数为（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【变式5-3】（2024·云南昆明·模拟预测） 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．10 B． C．60 D．
【变式5-4】（2024·河北沧州·二模）在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【典例6-1】（2024·高三·全国·课后作业） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．7168 D．
【典例6-2】（2024·北京大兴·三模）在 的展开式中，x的系数为（ ）A．9 B．15 C． D．
【方法技巧】
分配系数法
【变式6-1】（2024·西藏·模拟预测）在 ( y − 2x) (x+ y) 6 的展开式中， 的系数为（ ）
x y
A． B．4 C． D．8
【变式6-2】已知 展开式中 的系数为28，则该展开式的各项系数和为（ ）
A． B． C．0 D．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．3 D．27
【变式6-4】（2024·福建福州·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．34 D．74
题型七：求二项式系数最值
【典例7-1】（2024·贵州·模拟预测） 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作
答）
【典例7-2】已知 的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
【方法技巧】
利用二项式系数性质中的最大值求解即可．
【变式7-1】 的展开式中所有二项式系数的最大值是 （用数字作答）．
【变式7-2】已知 的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ．
【变式7-3】已知 的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为 ，则展开式中二项式
系数最大的项的系数为 .
【变式7-4】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设 为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 ，
展开式的二项式系数的最大值为 ，若 ，则 .题型八：求项的系数最值
【典例8-1】已知 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】已知 的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第
（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧】
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关
系，则转化为解不等式组： ，注意：系数比较大小．
【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为
（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【变式8-2】已知 为满足 能被 整除的正整数 的最小值，则
的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项
【变式8-3】 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【变式8-4】（2024·四川雅安·一模） 的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【典例9-1】（2024·四川乐山·三模）设 ，则
（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【典例9-2】已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
二项展开式二项式系数和： ；奇数项与偶数项二项式系数和相等： ．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式： （ 是系
数），令 得系数和： ．
【变式9-1】若 ，则 （ ）
A．4048 B． C．1 D．
【变式9-2】（2024·陕西·模拟预测）若 的展开式中的各项系数和为
243，则 （ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【变式9-3】已知 ，则下列描述正确的是（ ）
A．
B． 除以5所得的余数是1
C．
D．
【变式9-4】已知 ，则 （ ）
A． B．14 C． D．7
【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）已知
，若 ，且 ，则m的值
为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-6】（2024·福建福州·模拟预测）设 是常数，对于 ，都有
，则
（ ）
A．2019 B．2020 C．2019! D．2020!【变式9-7】若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型十：求奇数项或偶数项系数和
【典例10-1】设 ，则 ．
【典例10-2】（2024·高三·河北保定·开学考试）若 ，则
.
【方法技巧】
，令 得系数和： ①；
令 得奇数项系数和减去偶数项系数和：
②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
【变式10-1】（2024·广东·一模）若 ，则 .
【变式10-2】已知多项式 ，则 ．
【变式10-3】（2024·浙江·模拟预测）当 ，则
．
【变式10-4】（2024·湖南邵阳·一模）已知 ，则
.
题型十一：整数和余数问题
【典例11-1】（2024·湖北·模拟预测） 被9除的余数为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【典例11-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则 天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
【变式11-1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 均为整
数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ，如9和21被6除得的余数
都是3，则记 ．若 ，且 ，则 的值可以是
（ ）A．2010 B．2021 C．2019 D．1997
【变式11-2】若 能被25整除，则正整数 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式11-3】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的
研究.设 均为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ，
如 和 被 除得的余数都是 ，则记 .若 ，且 ，
则 的值可以是（ ）
A．4021 B．4022 C．4023 D．4024
【变式11-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较
深的研究，对于两个整数 ，若它们除以正整数 所得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为
．若 ，则 的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
题型十二：近似计算问题
【典例12-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为 ，小张于2024年初存入大额存款10
万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【典例12-2】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为 ，某人存入大额存款
元，按照复利计算10年后得到的本利和为 ，下列各数中与 最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【变式12-1】（2024·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减 ，其初始质量为 ，
年后的质量为 ，则下列各数中与 最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-2】（2024·江西南昌·一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理
可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：
对于任意实数 ，
当 比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得： ，并且 的值越小，所得结
果就越接近真实数据.用这个方法计算 的近似值，可以这样操作：.
用这样的方法，估计 的近似值约为（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【变式12-3】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次
幂，即广义二项式定理：对于任意实数 ，当
比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得： ，并且 的值越小，所得结果
就越接近真实数据.用这个方法计算 的近似值，可以这样操作：
.用这样的方法，估计 的近似值约为 .（精确
到小数点后两位数）
【变式12-4】用二项式定理估算 .（精确到0.001）
【变式12-5】 （精确到0.01）
题型十三：证明组合恒等式
【典例13-1】求证：
【典例13-2】求证：
【变式13-1】求证：【变式13-2】（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，
记 ，并规定 .记
，并规定 .定义
.
(1)若 ，求 和 ；
(2)求 ；
(3)证明：
【变式13-3】莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所
示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数
之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为 ，第2行的第2个数字为 ，第 行的第2个数字为 .
(1)求 的值；
(2)将杨辉三角中的每一个数 都换成 就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质
，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性
质，并证明你的结论.【变式13-4】（1）求证： ；
（2）利用等式 可以化简：
；类比上述方法，化简下式：
.
（3）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，求证：对于任意正整数 ，函数
总是关于 的一次函
数.
题型十四：二项式定理与数列求和
【典例14-1】 （ ）
A． B． C． D．
【典例14-2】已知 ，展开式中 的系数为 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-2】（2024·河南洛阳·三模）若 ，则
的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
【变式14-3】若 ，且，则实数 的值为 .
【变式14-4】对于 ，将n表示为 ，当 时，
.当 时， 为0或1.记 为上述表示中 为0的个数，（例如 ，
，故 ， ）.若 ，则 .
【变式14-5】已知等差数列{a }，对任意 都有 成立，则数列
n
的前 项和 ．
【变式14-6】设 是正整数，化简 .
题型十五：杨辉三角
【典例15-1】如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个
数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第 行的第 个数为 ，则
．
【典例15-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，
请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 .
【变式15-1】我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式
的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，
3，1，1，4，6，4，1， ，记作数列 ，则 ；若数列 的前 项和为S ，则 .
n【变式15-2】在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在
“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.
【变式15-3】如图所示的梯形数阵中，第 行第 个数的值为
【变式15-4】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三
角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，
4，6，4，5，10，10，5，…，记作数列{a }，若数列{a }的前n项和为 ，则 ．
n n1．（2024年北京高考数学真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年新高考北京数学高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
3．（2024年上海市1月春考数学试题） 展开式中 的系数为 .
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
5．（2024年天津高考数学真题）在 的展开式中，常数项为 ．
1．在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C． D．
2．在 的展开式中， 的系数是 .
3．证明：
（1） 的展开式中常数项是 ；
（2） 的展开式的中间一项是 .
4．用二项式定理证明：
（1） 能被 整除；（2） 能被1000整除.
5．求证： .
6．如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：
(1)在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽
可能地一般化．请你试一试，从 推广到 （m， ）．
(2)请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n次，从二项到m项等，说说数学家是
如何发现问题和解决问题的．易错点：混淆项的系数与二项式系数
易错分析：项的系数与二项式系数虽然相关，但概念不同。项的系数是二项式系数与其他数字因数的
积，而二项式系数仅与二项式的幂的指数和项数有关。在解题时，需仔细区分这两者，避免出错。
【易错题1】 的展开式中含 的项的二项式系数是 （用数字作答）.
【易错题2】 的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有 项的系数为 .
答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数
1、模板解决思路
在求解二项展开式中的特定项或项的系数时，关键在于首先写出二项展开式的通项公式。然后，根据
题目给出的条件，我们可以设立一个方程来找到满足条件的k值。这里，k代表二项展开式中项的序号，
其取值范围是0到n。一旦找到k，我们就可以将其代回通项公式，从而求解出所需的项或项的系数。
2、模板解决步骤
第一步：根据二项式定理写出二项展开式的通项，并化简.
第二步：根据已知条件，列出方程并求解.
第三步：代回二项展开式的通项，求出特定项或项的系数.
【经典例题1】若 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
【经典例题2】 展开式中常数项为 .
