文档内容
第 03 讲 二项式定理
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：求二项展开式中的参数........................................................................................................2
题型二：求二项展开式中的常数项....................................................................................................2
题型三：求二项展开式中的有理项....................................................................................................2
题型四：求二项展开式中的特定项系数............................................................................................3
题型五：求三项展开式中的指定项....................................................................................................3
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数................................................3
题型七：求二项式系数最值................................................................................................................4
题型八：求项的系数最值....................................................................................................................4
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和................................................................5
题型十：求奇数项或偶数项系数和....................................................................................................5
题型十一：整数和余数问题................................................................................................................5
题型十二：近似计算问题....................................................................................................................6
题型十三：证明组合恒等式................................................................................................................7
题型十四：二项式定理与数列求和....................................................................................................8
题型十五：杨辉三角............................................................................................................................9
02 重难创新练....................................................................................................................................11
03 真题实战练....................................................................................................................................14题型一：求二项展开式中的参数
1．（2024·陕西榆林·模拟预测） 的展开式中 项的系数为84，则实数 ．
2．二项式 的展开式中前三项的系数和为 ，则 ；
3．已知 展开式中的常数项是 ，则实数 的值为
4．（2024·河北沧州·三模）已知 的二项展开式中常数项为60，则 .
题型二：求二项展开式中的常数项
5．（2024·新疆·三模）已知 的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为 .
（用数字作答）
6． 展开式中的常数项为 .
7．（2024·河北唐山·一模）在 的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
8．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中的常数项为 .
题型三：求二项展开式中的有理项
9．写出 展开式中的一个有理项为 .
10．在 的展开式中，有理项有 项．11．（2024·高三·江西·开学考试）已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式
中的一个有理项 ．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
12．（2024·高三·四川成都·开学考试）二项式 的展开式中第5项为 .
13．（2024·安徽芜湖·三模）写出 的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示）
14．（2024·高三·北京·期中）在 的二项展开式中，第四项为 ．
15． 的展开式的第4项是 .
题型五：求三项展开式中的指定项
16．（2024·山东·二模） 展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·新疆乌鲁木齐·一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30
18．（2024·浙江·一模） 展开式中含 项的系数为（ ）
A．30 B． C．10 D．
19．在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
20．若 的展开式中 的系数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．21．已知 的展开式中 的系数为448，则该展开式中 的系数为（ ）
A．56 B． C．106 D．
22．（2024·广西南宁·一模） 展开式中的常数项为（ ）
A．60 B．4 C． D．
23．（2024·广东汕头·一模） 展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
题型七：求二项式系数最值
24．已知二项式 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正
数 的值为 .
25．若 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的 项为 .
26．已知二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 .
27． 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
题型八：求项的系数最值
28．已知 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．二项式 的展开式中，系数最大项的是（ ）
A．第 项 B．第 项和第 项
C．第 项 D．第 项
30．（2024·江西南昌·三模）若 的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数
最大的是（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项31．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70 B．56 C． 或 D．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
32．已知 ，则
（ ）
A．9 B．10
C．19 D．29
33．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．253 D．126
34．已知对任意实数x， ，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．已知 的展开式中各项的二项式系数之和为 ，各项的系数之和为 ，若 ，则展
开式中的常数项为（ ）
A．180 B．60 C．280 D．240
题型十：求奇数项或偶数项系数和
36．（2024·高三·上海普陀·期末）已知 ，则 （用
数字作答）．
题型十一：整数和余数问题
37．（2024·湖北荆州·三模）已知 ，则 被3除的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
38．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种
动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
39．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，
会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现
代十进制是 ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 换算成十进
制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
40．（2024·福建三明·三模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般
使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数 转换为十进制数的算法为
．若将八进制数 转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型十二：近似计算问题
41．（2024·高三·河北·开学考试）已知二项式 的二项式系数的和为 ，则 .
试估算 时， 的值为 .（精确到 ）
42．（2024·广东深圳·模拟预测）定义 表示不超过 的最大整数 ，如： ， ；
定义 ．
（1） ；
（2）当 为奇数时， ．
43． 的小数点后第100位数字是 ．44．实数 精确到 的近似值为 .
45．（2024·高三·山西朔州·开学考试） 的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
题型十三：证明组合恒等式
46．
47．
48．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列 ，称 为数列 的一阶差分数列，其中
.对正整数 ，称 为数列 的 阶差分数列，其中
已知数列 的首项 ，且 为 的二阶差分数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的一阶差分数列，对 ，是否都有 成立？并说明理
由；（其中 为组合数）
(3)对于（2）中的数列 ，令 ，其中 .证明： .
49．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质： .小明同学想进一步探
究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.(1)计算： ，并与 比较，你有什么发现？写出一般性
结论并证明；
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明： .
50．已知 ．
(1)求 的值
(2) ①证明： ，其中 ， ， ， ， ；
②利用 的结论求 的值．
题型十四：二项式定理与数列求和
51．设n为正整数， 为组合数，则 （ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
52．设 ，对于有序数组 ，记 为 中所包含的
不同整数的个数，例如 ．当 取遍所有的 个有序数组时，
的平均值为（ ）
A． B． C． D．
53．（2024·江西南昌·模拟预测）记
，则
．54．设 ，则 的值为 .
55．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知 ，则
．
56．（2024·高三·重庆·开学考试）已知 ，则
.
题型十五：杨辉三角
57．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成
一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰
上的各数出发引一组平行线，第 条线上的数字是 ；第2条线上的数字是 ；第3条线上的数字是 ；第
4条线上的数字是 ，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表
示）
58． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解
九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则
“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为 .
59．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一
组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 .60．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，
10， 记这个数列前n项和为 ，则 .
61．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要
研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第 行中从左到右第3个数与第5个数的比为 ，则 的值为 ．
62．在探究 的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我
国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨
辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如下图所示：
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
如上图，杨辉三角第6行的7个数依次为 ， ， … ， ．现将杨辉三角中第 行的第 个数乘以 ，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如下图：
第0行 0
第1行 0 1
第2行 0 2 2
第3行 0 3 6 3
第4行 0 4 12 12 4
第5行 0 5 20 30 20 5
第6行 0 6 30 60 60 30 6
在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为 ；从第一行开始的前 行的所有数的和为
．
63．将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨
三角形，从莱布尼茨三角形可以看出： ，令
， 是 的前n项和，则 ．1．若 ，则 （ ）
A．180 B． C． D．90
2．（2024·高三·四川成都·开学考试）已知 是数列 的前 项和，若
，数列 的首项 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
3．若 ，则 的值为
（ ）
A．0 B． C．1 D．
4． ，则 等于（ ）
A．180 B． C．45 D．
5．若 既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
6．（2024·四川·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A．9 B．15 C．21 D．24
7．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常
有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量
的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理
得到很多排列和组合恒等式，如由等式 可知，其左边的 项的系数和右边的 项
的系数相等，得到如下恒等式为（ ）
A．
B．C．
D．
8． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的
一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
9．（多选题）已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．展开式的常数项为540 D．展开式含有
10．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知 展开式中共有8项．则该展开式结论正确
的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项
11．（多选题）若 ，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．12．（多选题）已知 ，则下列结论成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
13．若 ，则 ．
14．（2024·高三·全国·自主招生） ，则
.
15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，则
.
16．（2024·高三·湖北·开学考试）在 的展开式中，若 的系数为 ，则
.
17．（2024·天津·模拟预测）已知 的二项展开式的奇数项二项式系数和为 ，若
，则 等于 ．
18．（2024·高三·上海·开学考试）设 ，若
，则 .
1．（2024年上海秋季高考数学真题）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为
．
2．（2023年天津高考数学真题）在 的展开式中， 的系数为 ．
3．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式 ，则
， ．
4．（2022年新高考全国I卷数学真题） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
5．（2022年新高考天津数学高考真题）在 的展开式中，常数项是 .
6．（2021年天津高考数学试题）在 的展开式中， 的系数是 ．
7．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式 ，则
， .
8．（2021年北京市高考数学试题）在 的展开式中，常数项为 ．
