专题7.3空间直线、平面的平行八大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_专题7.3空间直线、平面的平行八大题型

专题 7.3 空间直线、平面的平行【八大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)........................................................................................................................................4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)....................................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)........................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:42)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:28)............................................................................9 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:32)(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:28)......................................................................................................................11 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)..................................................................................................................................12 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:55)(cid:27)(cid:28)..............................................................................................................14 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:36)(cid:57)(cid:58)(cid:55)(cid:27)(cid:28)..........................................................................................................................16 1(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34) (cid:25)(cid:47)(cid:63)(cid:52) (cid:64)(cid:21)(cid:65)(cid:66) (cid:25)(cid:67)(cid:68)(cid:69) 2022 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:17)(cid:13)(cid:88)(cid:10) (cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:94) (cid:89)9(cid:21)(cid:73)5(cid:68) (cid:47)(cid:95)(cid:96)(cid:73)(cid:97)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:99)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:101).(cid:102)(cid:103) (1)(cid:15)(cid:70)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:62) 2022 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:90)(cid:86)(cid:87)(cid:17)(cid:13)(cid:88)(cid:10) (cid:104)(cid:82)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:67)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:73)(cid:108)(cid:63)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:35)(cid:111) (cid:32)(cid:59)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:72) (cid:89)19(cid:21)(cid:73)12(cid:68) (cid:34)(cid:25)(cid:112)(cid:73)(cid:101)(cid:93)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:36)(cid:113) (cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76) 2023(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:86)(cid:10)(cid:89)18(cid:21)(cid:73) (cid:21)(cid:36)(cid:64)(cid:114)(cid:37)(cid:42)(cid:73)(cid:99)(cid:76)(cid:20)(cid:115)(cid:21)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21)(cid:36) (cid:30)(cid:31) 12(cid:68) (cid:117)(cid:118)(cid:25)(cid:112)(cid:73)(cid:119)(cid:54)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:93)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:32)(cid:59) (2)(cid:77)(cid:78)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:59)(cid:33)(cid:35) 2024(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:86)(cid:10)(cid:89)17(cid:21)(cid:73) (cid:32)(cid:35)(cid:59)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:73)(cid:101)(cid:124)(cid:76)(cid:70)(cid:125)(cid:21) (cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:72)(cid:40) 15(cid:68) (cid:36)(cid:89)(cid:101)(cid:126)(cid:127)(cid:36)(cid:117)(cid:118)(cid:25)(cid:112)(cid:73)(cid:119)(cid:54)(cid:71)(cid:128)(cid:122)(cid:70) (cid:41)(cid:73)(cid:74)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:55)(cid:27) 2024(cid:82)(cid:91)(cid:92)(cid:86)(cid:10)(cid:89)17(cid:21)(cid:73)12 (cid:21)(cid:129)(cid:63)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:27)(cid:62)(cid:32)(cid:59)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37) (cid:68) (cid:38)(cid:72)(cid:40)(cid:41). (cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:47)1 (cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:28) 1(cid:136)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15) (1)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141) (cid:142)(cid:143)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34). (cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141)(cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141) . (cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”. (2)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141) (cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:142)(cid:143)(cid:162)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:34). (cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141) (cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141) . (cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)”. (3)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:165)(cid:27) (cid:137)(cid:165)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:166)(cid:167).(cid:168)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:129)(cid:73)(cid:154)(cid:76)(cid:30)(cid:31)(cid:169)(cid:71)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:170)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32) (cid:93)(cid:162)(cid:89)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:164)(cid:32)(cid:73)(cid:102)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34). (cid:150)(cid:165)(cid:156)(cid:175)(cid:101)(cid:145)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:166)(cid:167).(cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:63)(cid:49)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:175)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72) (cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:154)(cid:76)(cid:162)(cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:32)(cid:165)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:33)(cid:35)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:176)(cid:93)(cid:48)(cid:63)(cid:175)(cid:36)(cid:62)(cid:32). 2(cid:136)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15) (1)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141) (cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34). (cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141) (cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:178) . (cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”. (2)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:179)(cid:180) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141) (cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:181)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:68)(cid:182)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34). (cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141)(cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141) . (3)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141) (cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:142)(cid:143)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:109)(cid:145)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:34). (cid:150)(cid:151)(cid:117)(cid:140)(cid:141) (cid:152)(cid:153)(cid:9)(cid:140)(cid:141) . (cid:149)(cid:38)(cid:15)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)”. (4)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:169)(cid:183)(cid:40)(cid:41) (cid:137)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:169)(cid:71)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:184)(cid:185)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35). (cid:150)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:32)(cid:187)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:48)(cid:188)(cid:36)(cid:32)(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:163)(cid:128). (cid:152)(cid:189)(cid:162)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:101)(cid:47)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:181)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:72)(cid:171)(cid:133)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34). (cid:192)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:193)(cid:129)(cid:187)(cid:194)(cid:161)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:48)(cid:188)(cid:73)(cid:188)(cid:173)(cid:36)(cid:32)(cid:43)(cid:195)(cid:55)(cid:196)(cid:44)(cid:45). (cid:197)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:68)(cid:182)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:89)(cid:194)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:198)(cid:163)(cid:33)(cid:34). (cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:47)2 (cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:110)(cid:199)(cid:28) 1(cid:136)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:199) (1)(cid:38)(cid:200)(cid:199)(cid:10)(cid:201)(cid:30)(cid:31)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:49)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:190)(cid:109)(cid:62)(cid:32)(cid:202)(cid:181)(cid:7)(cid:203)(cid:47)(cid:122) (2)(cid:204)(cid:27)(cid:33)(cid:35)(cid:151)(cid:117)(cid:36)(cid:181)(cid:3)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:73)(cid:142)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:71)(cid:50)(cid:32)(cid:73)(cid:206)(cid:117)(cid:73)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:128)(cid:3)(cid:98)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:122) (3)(cid:204)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:212)4(cid:10)(cid:213)(cid:174)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:214)(cid:48)(cid:30)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:72)(cid:177)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:122) (4)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:106)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34). 2(cid:136)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:110)(cid:199) (1)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:38)(cid:200)(cid:10)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:33)(cid:35)(cid:202)(cid:181)(cid:7)(cid:203)(cid:47)(cid:122) (2)(cid:204)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:181)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:62)(cid:32)(cid:72)(cid:146)(cid:33) (cid:35)(cid:33)(cid:34)((cid:80)(cid:155)(cid:156)“(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)—(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”)(cid:122) (3)(cid:204)(cid:27)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:49)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:48)(cid:181)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:217)((cid:80) (cid:155)(cid:156)“(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)—(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)”). 3(cid:136)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:110)(cid:199) (1)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:38)(cid:200)(cid:10)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:202)(cid:181)(cid:7)(cid:203)(cid:47)(cid:73)(cid:99)(cid:72)(cid:218)(cid:30)(cid:199)(cid:219)(cid:58)((cid:220)(cid:99)(cid:27))(cid:122)(2)(cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:15)(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:95)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:62)(cid:32)(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:170)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:147)(cid:148)(cid:177)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34) ((cid:108)(cid:63)(cid:110)(cid:199)). (3)(cid:221)(cid:62)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)((cid:20)(cid:115)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21)(cid:154)(cid:27))(cid:122) (4)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)((cid:20)(cid:115)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21)(cid:154)(cid:27)). (cid:22)(cid:110)(cid:199)(cid:222)(cid:223)(cid:72)(cid:224)(cid:219)(cid:28) 1(cid:136)(cid:221)(cid:62)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:201)(cid:158)a α(cid:73)a β(cid:73)(cid:159)α//β. 2(cid:136)(cid:33)(cid:34)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:109)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:201)(cid:158)α//β(cid:73)β//γ(cid:73)(cid:159)α//γ. ⊥ ⊥ 3(cid:136)(cid:221)(cid:62)(cid:98)(cid:193)(cid:101)(cid:161)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:201)(cid:158)a α(cid:73)b α(cid:73)(cid:159)a//b. 4(cid:136)(cid:158)α//β(cid:73)a α(cid:73)(cid:159)a//β. ⊥ ⊥ (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28) (cid:22)(cid:45)1(cid:28)(cid:87)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:87)19-20(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)E(cid:73)F(cid:68) 1 1 1 (cid:182)(cid:93)AB(cid:73)AC(cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:159)EF(cid:72) (cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:3)(cid:56)(cid:93)(cid:87) (cid:88) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 1 1 𝐴𝐸:𝐸𝐵 𝐴𝐹:𝐹𝐶 𝐵 𝐶 A(cid:136)(cid:235)(cid:35) B(cid:136)(cid:33)(cid:34) C(cid:136)(cid:163)(cid:164) D(cid:136)(cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:163)(cid:164) (cid:22)(cid:236)(cid:118)1-1(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:238)(cid:73)(cid:49)(cid:53)(cid:110)(cid:239)AC (cid:71)(cid:73)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)B O(cid:135)C O(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) 1 1 1 (cid:159)(cid:53)(cid:110)(cid:239)(cid:36)(cid:240)(cid:232)(cid:71)(cid:72)EF(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:181)(cid:87) (cid:88) A(cid:136)3(cid:145) B(cid:136)4(cid:145) C(cid:136)5(cid:145) D(cid:136)6(cid:145) (cid:22)(cid:236)(cid:118)1-2(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:60)(cid:61)(cid:207)(cid:208)(cid:117)ABCD(cid:73)E(cid:59)H(cid:68)(cid:182)(cid:93)AB(cid:59)AD(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)F(cid:59)G (cid:68)(cid:182)(cid:93)BC(cid:59)CD(cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10)(cid:62)(cid:32)EH(cid:72)(cid:62)(cid:32)FG(cid:33)(cid:34)(cid:136) 𝐶𝐹 𝐶𝐺 𝐶𝐵 𝐶𝐷(cid:22)(cid:236)(cid:118)1-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:234)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:15)·(cid:244)(cid:245)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:232)(cid:53)(cid:156)3(cid:36)(cid:246)(cid:110)(cid:239) (cid:71)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156) 1 1 1 1 (cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑃,𝑄 1 𝐵𝐶,𝐶𝐶 (1)(cid:30)(cid:31)(cid:10) // (cid:122) 1 (2)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:247)𝐴𝐷 𝑃𝑄 (cid:36)(cid:239)(cid:248)(cid:136) 1 𝐴−𝐵 𝑄𝑃 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28) (cid:22)(cid:45)2(cid:28)(cid:87)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:242)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35)ABCD(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:33)(cid:35) ABCD(cid:73) = = =12(cid:73) =0(cid:73)(cid:190)𝑃−M𝐴(cid:73)𝐵N𝐶𝐷(cid:68)(cid:182)(cid:156)PD(cid:73)AC(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136) 𝑃𝐴⊥ 4𝑃𝐴 4𝐴𝐵 3𝐴𝐷 𝐵𝐴⋅𝐴𝐷(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35)PBC(cid:122) (2)(cid:52)(cid:194)(cid:232)𝑀(cid:247)𝑁 (cid:36)(cid:239)(cid:248)(cid:136) 𝑀−𝐴𝐶𝐷 (cid:22)(cid:236)(cid:118)2-1(cid:28)(cid:87)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:62)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:206)(cid:117)(cid:73) 1 1 1 1 (cid:73) =6(cid:73) = = =2(cid:73) =60°(cid:73)(cid:47) (cid:49)𝐴(cid:32)𝐵𝐶(cid:43)𝐷−𝐴(cid:234)𝐵(cid:73)𝐶(cid:190)𝐷 =2(cid:73) (cid:156)(cid:32)𝐴𝐵(cid:43)𝐶𝐷 (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136)𝐴𝐵∥ 1 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐷𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐹 𝐵𝐶 (1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) (cid:33)(cid:35) (cid:122) 1 1 1 (2)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:247)𝐶 𝐸∥ 𝐴(cid:36)𝐷𝐷(cid:253)𝐴(cid:35)(cid:248)(cid:136) 1 𝐶 −𝐶𝐸𝐹 (cid:22)(cid:236)(cid:118)2-2(cid:28)(cid:87)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:258)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:246)(cid:110)(cid:239) (cid:71)(cid:73) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136) 1 1 1 1 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 −𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐷𝐷(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) 1 1 (2)(cid:158) 𝐴=6𝐶(cid:73)(cid:52)(cid:47) 𝐴(cid:174)𝐶(cid:33)𝐸(cid:35) (cid:36)(cid:259)(cid:260). 1 𝐵𝐷 𝐵 𝐴𝐸𝐶 (cid:22)(cid:236)(cid:118)2-3(cid:28)(cid:87)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:47)E(cid:73)F(cid:73)G(cid:73)H(cid:68)(cid:182)(cid:49)(cid:232) (cid:73) (cid:73) (cid:73) (cid:234)(cid:136) 𝐴−𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷 (1)(cid:158)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:10) (cid:33)(cid:35) (cid:122) 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵∥ 𝐸𝐹𝐺𝐻 (2)(cid:158)E(cid:73)F(cid:73)G(cid:73)H(cid:261)(cid:156)(cid:48)(cid:49)(cid:232)(cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:239)(cid:248)(cid:156) (cid:73)(cid:262)(cid:35)(cid:239) (cid:36)(cid:239)(cid:248)(cid:156) (cid:73)(cid:52) 1(cid:136) 1 𝑉 𝐴−𝐵𝐶𝐷 𝑉 𝐶𝐷𝐺𝐹𝐸𝐻 𝑉 𝑉 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28) (cid:22)(cid:45)3(cid:28)(cid:87)2024(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:156)(cid:265)(cid:117)(cid:73) (cid:252)(cid:35) (cid:73)(cid:190) (cid:68)(cid:182)(cid:156)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:164)(cid:98)(cid:62)𝑃(cid:32)−𝐴.(cid:52)𝐵𝐶(cid:30)𝐷(cid:10) // .𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀,𝑁 𝐴𝐵,𝑃𝐶 𝐶𝑀𝑁 𝑃𝐴𝐷 𝑙 𝑀𝑁 𝑙(cid:22)(cid:236)(cid:118)3-1(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:266)(cid:267)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:93)(cid:246)(cid:110)(cid:117)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234) (cid:87)(cid:220)(cid:72)(cid:268)(cid:47)(cid:269)(cid:58)(cid:88)(cid:73)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93)PD(cid:73)AC(cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐼 𝑃𝐴 (1)(cid:30)(cid:31)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) . (2)(cid:158)(cid:33)(cid:35)𝐸𝐹 (cid:33)(cid:35)𝑃𝐵𝐶 = (cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:10) // . 𝑃𝐴𝐵∩ 𝐸𝐹𝐼 𝑙 𝐸𝐹 𝑙 (cid:22)(cid:236)(cid:118)3-2(cid:28)(cid:87)24-25(cid:24)(cid:123)·(cid:234)(cid:270)·(cid:114)(cid:244)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:151)1(cid:93)(cid:39)(cid:246)(cid:110)(cid:117) Rt Rt (cid:271)(cid:196)(cid:36)(cid:101)(cid:161)(cid:128)(cid:272)(cid:206)(cid:117)(cid:73) (cid:169)(cid:71) =2(cid:73)(cid:273) (cid:59) (cid:68)(cid:182)(cid:274) (cid:275)(cid:276)(cid:214)(cid:173)E(cid:72)𝐴𝐵F𝐶(cid:269)𝐷,(cid:58)(cid:73)△(cid:142)𝐴𝐵(cid:151)𝐸2, (cid:136)△(cid:277)𝐶(cid:33)𝐷(cid:35)𝐹 (cid:33)(cid:35) = (cid:73) (cid:30)(cid:31)𝐴(cid:10)𝐵// (cid:122) △𝐴𝐵𝐸 △𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐵,𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐸∩ 𝐶𝐷𝐸 𝑙 𝑙 𝐶𝐷(cid:22)(cid:236)(cid:118)3-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:207)(cid:278)(cid:279)(cid:258)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:171)(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:156) (cid:280)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝑆𝐶 (1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) (2)(cid:277)(cid:33)(cid:35)𝑆𝐴 (cid:33)(cid:35)𝐸𝐷𝐵 = (cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10) // . 𝑆𝐴𝐵∩ 𝑆𝐶𝐷 𝑙 𝐴𝐵 𝑙 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:42)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:28) (cid:22)(cid:45)4(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)·(cid:285)(cid:43)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73)E(cid:156)(cid:32)(cid:43) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 (cid:234)(cid:286)(cid:103)A(cid:36)(cid:194)(cid:128)(cid:68)(cid:47)(cid:73)F(cid:156)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:168) //(cid:33)(cid:35) (cid:129)(cid:73) =(cid:87) (cid:88) 𝑃𝐹 𝑃𝐶 𝑃𝐴 𝐸𝐵𝐹 𝑃𝐶1 1 A(cid:136)3 B(cid:136)4 C(cid:136) D(cid:136) 3 4 (cid:22)(cid:236)(cid:118)4-1(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:171)(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:252)(cid:35)(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:164) (cid:98)(cid:47) (cid:73) (cid:156) (cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:49) (cid:234)(cid:73) = (cid:73) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) (cid:36)𝑃(cid:287)−𝐴(cid:156)𝐵(cid:87)𝐶𝐷 (cid:88) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐸 𝐴𝐷 𝐹 𝑃𝐴 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐹 𝑃𝐶 𝐵𝐸𝐹 𝜆 3 A(cid:136)1 B(cid:136) C(cid:136)2 D(cid:136)3 2 (cid:22)(cid:236)(cid:118)4-2(cid:28)(cid:87)2024·(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:258)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73) (cid:35) (cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:208)(cid:53)(cid:156)1(cid:36)(cid:156)(cid:246)(cid:110)(cid:117),(cid:47) (cid:49) 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 (cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:73) = . 𝑃𝐸 𝑃𝐶 𝐸𝐶 𝑚 (cid:87)1(cid:88)(cid:158) //(cid:33)(cid:35) (cid:129)(cid:73)(cid:52) (cid:287)(cid:122) (cid:87)2(cid:88)(cid:158)𝑃𝐴 (cid:35) 𝐸(cid:73)𝐵(cid:232)𝐷(cid:247) 𝑚 (cid:239)(cid:248)(cid:291)(cid:173)(cid:292)(cid:243)(cid:287)(cid:73)(cid:52)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:24). 𝑃𝐶⊥ 𝐸𝐵𝐷 𝐸−𝐵𝐶𝐷 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:22)(cid:236)(cid:118)4-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:234)·(cid:293)(cid:91)(cid:294)(cid:295)·(cid:285)(cid:43)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:238)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208) (cid:117)(cid:73)(cid:280)(cid:35) (cid:156)(cid:246)(cid:194)(cid:205)(cid:117)(cid:73) (cid:156)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐷 𝑀 𝑃𝐷 𝑁 𝐵𝐶 (1)(cid:168) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:129)(cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) . (2)(cid:168)𝑀 //𝑃(cid:33)𝐷(cid:35) (cid:73)(cid:52)(cid:296)(cid:47) 𝑀(cid:36)𝑁(cid:50)(cid:51)(cid:73)(cid:297)𝑃(cid:31)𝐴𝐵(cid:15)(cid:39). 𝑃𝐵 𝐴𝑀𝑁 𝑀 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:39)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:32)(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:28) (cid:22)(cid:45)5(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:246)(cid:110)(cid:239) (cid:36)(cid:232)(cid:53)(cid:156)1(cid:73)(cid:47) (cid:93)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:71)(cid:298)(cid:73)(cid:47) (cid:93)(cid:33)(cid:35) 1 1 1 (cid:36)(cid:195)(cid:205)(cid:32) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:190) (cid:33)(cid:35) 𝐴𝐶(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:43) (cid:36)(cid:53)(cid:156)𝑃(cid:87) (cid:88)𝐴𝐴 𝐷 𝐷 𝑄 1 1 1 1 1 1 1 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐵 𝐷 𝑃𝑄∥ 𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝑃𝑄 A(cid:136) 1 B(cid:136) 2 C(cid:136) 2 D(cid:136) 3 2 2 2 (cid:22)(cid:236)(cid:118)5-1(cid:28)(cid:87)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:62)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:36)(cid:280)(cid:232)(cid:135)(cid:252)(cid:35)(cid:208)(cid:53)(cid:261)(cid:156) 1， ， (cid:68)(cid:182) 1 1 1 (cid:93)(cid:232) ， (cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73) (cid:190) =2 = (cid:73) (cid:168) 𝐴𝐵𝐶−//𝐴 (cid:33)𝐵(cid:35)𝐶 (cid:129)(cid:73) (cid:36)(cid:287)(cid:156)(cid:87) 𝑀(cid:88) 𝑁 1 1 1 1 1 𝐵𝐶3 𝐴 𝐵 2 𝐶𝑀 𝐵 𝑁 𝜆 1 𝑀𝑁 𝐴𝐴 𝐶 1𝐶 𝜆 A(cid:136) B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136) 4 3 2 3 (cid:22)(cid:236)(cid:118)5-2(cid:28)(cid:87)2023·(cid:293)(cid:242)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:246)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:240)(cid:232)(cid:53)(cid:261)(cid:156)2(cid:73)D(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)M(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)E 1 𝑃−𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 (cid:156) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:33)(cid:35) (cid:164) (cid:98)(cid:47)Q(cid:73)(cid:159)(cid:188)(cid:35) (cid:36)(cid:35)(cid:248)(cid:156)(cid:87) (cid:88) 3 𝑃𝐶 𝑃𝐸 𝑃𝐶 𝐷𝐸𝑀 𝐴𝑃 𝑀𝐷𝐸𝑄A(cid:136) 34 B(cid:136) 34 C(cid:136) 51 D(cid:136)5 51 6 12 6 36 (cid:22)(cid:236)(cid:118)5-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:234)·(cid:281)(cid:250)(cid:299)(cid:300)(cid:301)·(cid:244)(cid:245)(cid:88)(cid:49)(cid:232)(cid:53)(cid:156)2(cid:36)(cid:246)(cid:110)(cid:239)ABCD﹣A B C D (cid:71)(cid:73)(cid:47)E(cid:73)F(cid:68)(cid:182)(cid:93) 1 1 1 1 (cid:232)C D (cid:73)B C (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)P(cid:93)(cid:234)(cid:252)(cid:35)A B C D (cid:95)(cid:101)(cid:47)(cid:73)(cid:158)AP (cid:33)(cid:35)BDEF(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:43)AP(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:291)(cid:287)(cid:302)(cid:303)(cid:93) 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:87) (cid:88) ∥ A(cid:136)[3 2(cid:73) 5] B(cid:136)[ 5(cid:73)2 2] C(cid:136)[3 2(cid:73) 6] D(cid:136)[ 6(cid:73)2 2] 2 4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28) (cid:22)(cid:45)6(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:304)(cid:270)(cid:250)(cid:254)·(cid:244)(cid:245)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:246)(cid:110)(cid:239) (cid:71)(cid:73) (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:68)(cid:182) 1 1 1 1 1 1 (cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47).(cid:52)(cid:30)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐻 𝐵 𝐷 𝐸,𝐹,𝐺 𝐷𝐶,𝐵𝐶,𝐻𝐶 (1) (cid:207)(cid:47)(cid:203)(cid:35)(cid:122) (2)𝐹(cid:33),𝐺(cid:35),𝐻,𝐵 (cid:33)(cid:35) . 1 1 𝐸𝐹𝐺 ∥ 𝐵𝐷𝐷 𝐵 (cid:22)(cid:236)(cid:118)6-1(cid:28)(cid:87)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:305)(cid:306)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:307)(cid:247) (cid:71)(cid:73) (cid:156)(cid:307)(cid:247)(cid:36)(cid:308)(cid:47)(cid:73) (cid:93)(cid:307)(cid:247)(cid:252)(cid:35)(cid:36)(cid:307)(cid:298)(cid:73)(cid:207)(cid:208) (cid:117) (cid:93)(cid:252)(cid:35)(cid:36)(cid:95)(cid:309)(cid:246)(cid:110)(cid:117)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)𝑃(cid:162)𝑂(cid:47) 𝑃 (cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:156) . 𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝑃𝐷,𝑃𝐴 𝐸,𝐹,𝑂 𝛼(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) (cid:122) (2)(cid:158)(cid:307)(cid:247)(cid:36)(cid:252)(cid:35)𝛼 (cid:307)∥(cid:310)(cid:311)(cid:156)𝑃𝐵2𝐶(cid:73)(cid:24)(cid:156) 3(cid:73)(cid:277)(cid:47) (cid:49)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:132)(cid:312)(cid:73)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:239)(cid:248). 𝑀 𝐸𝐹 𝑃−𝑀𝐵𝐶 (cid:22)(cid:236)(cid:118)6-2(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:249)(cid:250)(cid:313)(cid:314)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:62)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:156)(cid:246)(cid:110)(cid:117)(cid:73) 1 1 1 1 (cid:156)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) = =3(cid:136) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 1 𝐸 𝐴𝐴 𝐴𝐵 2,𝐴𝐴 (1)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:239)(cid:248)(cid:136) (2)(cid:49) (cid:234)(cid:93)𝐴−(cid:315)𝐵(cid:316)𝐷𝐸(cid:49)(cid:101)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) .(cid:142)(cid:143)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:317)(cid:297)(cid:31) (cid:47)(cid:50)(cid:51)(cid:74)(cid:30)(cid:31).(cid:142)(cid:143)(cid:220)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:317) 1 1 (cid:297)(cid:31)(cid:15)𝐷𝐷(cid:39). 𝑃 𝑃𝐴 𝐶 𝐸𝐵𝐷 𝑃 (cid:22)(cid:236)(cid:118)6-3(cid:28)(cid:87)2024·(cid:293)(cid:242)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117)ABCD(cid:93)(cid:246)(cid:110)(cid:117)(cid:73)E(cid:73)F(cid:73) 1 1 1 1 G(cid:68)(cid:182)(cid:93)(cid:232) (cid:73) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 1 1 1 1 𝐵𝐵 𝐵 𝐶 𝐶𝐶(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) 1 1 (2)(cid:158)(cid:47) (cid:49)(cid:252)𝐴(cid:35)𝐸A𝐹BCD(cid:36)(cid:318)𝐴𝐷(cid:319)𝐺(cid:93)(cid:207)(cid:208)(cid:117)ABCD(cid:36)(cid:71)(cid:298)(cid:73) = =4(cid:73)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:239)(cid:248). 1 1 1 1 𝐴 𝐴 𝐴 2𝐴𝐵 𝐴 −𝐴𝐷 𝐺 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:15)(cid:36)(cid:55)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:45)7(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:258)·(cid:285)(cid:43)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:320)(cid:35)(cid:239) (cid:71)(cid:73) // (cid:73)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207) (cid:208)(cid:117)(cid:73) = (cid:136) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐸 2𝐶𝐹 (1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:136) (2)(cid:158)G(cid:93)(cid:232) 𝐴(cid:36)𝐷𝐸(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:30)𝐵(cid:31)𝐶𝐹(cid:10) // (cid:136) 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐹𝐺 (cid:22)(cid:236)(cid:118)7-1(cid:28)(cid:87)2024(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73) (cid:33)(cid:35) = =90 ∘ = (cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:73)(cid:190) = .(cid:52)(cid:30)(cid:10)𝑃− 𝐴𝐵𝐶(cid:33)𝐷(cid:35) 𝑃𝐶. ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷,∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷 ,𝐴𝐵 3𝐶𝐷 𝑀 𝑃𝐵 𝑃𝐵 3𝑃𝑀 𝐶𝑀 ∥ 𝑃𝐴𝐷(cid:22)(cid:236)(cid:118)7-2(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:270)(cid:242)(cid:270)(cid:321)·(cid:285)(cid:43)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:171)(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:156)(cid:280)(cid:232) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝑆𝐶 (1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) (cid:33)(cid:35) (cid:122) (2)(cid:158) (cid:156)(cid:280)𝑆𝐴(cid:232)∥ (cid:36)(cid:71)𝐸(cid:47)𝐷𝐵(cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10) (cid:33)(cid:35) . 𝐹 𝐴𝐵 𝐸𝐹 ∥ 𝑆𝐴𝐷 (cid:22)(cid:236)(cid:118)7-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:269)(cid:322)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:252)(cid:35) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117)(cid:73) (cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156)(cid:232) (cid:73) (cid:234)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:190) = (cid:73) = . 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝑃𝐶 𝐴𝐸 2𝐸𝐵 𝐹𝐶 2𝑃𝐹(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) 𝐵𝐹 𝑃𝐷𝐸 (2)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:93)(cid:315)(cid:316)(cid:49)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:323)(cid:158)(cid:316)(cid:49)(cid:52)(cid:296) (cid:36)(cid:287)(cid:122)(cid:158)(cid:220)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:297)(cid:31)(cid:15)(cid:39). 𝐴𝐺 𝐴𝐷 𝐺 𝑃𝐺 𝐵𝐷𝐹 𝐷𝐺 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:56)(cid:36)(cid:57)(cid:58)(cid:55)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:45)8(cid:28)(cid:87)2024(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:238)(cid:73)(cid:171)(cid:133)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:36)(cid:252)(cid:35) (cid:156)(cid:324)(cid:117). 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:87)1(cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) 1 1 1 (cid:87)2(cid:88)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:234)𝐴𝐵(cid:93)(cid:315)𝐶 (cid:316)(cid:49)(cid:47)𝐴 (cid:73)𝐶(cid:214)𝐷 //(cid:33)(cid:35) (cid:323)(cid:158)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:325)(cid:38)(cid:47) (cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:122)(cid:158)(cid:220)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:297)(cid:31)(cid:15)(cid:39). 1 1 1 𝐶𝐶 𝑃 𝐵𝑃 𝐴 𝐶 𝐷 𝑃 (cid:22)(cid:236)(cid:118)8-1(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:293)(cid:91)(cid:326)(cid:327)(cid:321)·(cid:285)(cid:43)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:49)(cid:246)(cid:110)(cid:239) (cid:71)(cid:73)O(cid:93) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:68) 1 1 1 1 (cid:182)(cid:93) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐶 𝑀,𝑁 1 1 1 𝑂𝐷 𝐴 𝐷(1)(cid:52)(cid:30)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) 1 1 (2)(cid:158)P(cid:93)𝑀𝑁 (cid:36)(cid:71)(cid:47)𝐴𝐶(cid:73)𝐶(cid:52)𝐴(cid:30)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) . 1 1 1 1 𝐶 𝐷 𝑀𝑁𝑃 𝐴𝐶𝐶 𝐴 (cid:22)(cid:236)(cid:118)8-2(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:269)(cid:322)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73) = = =2 3(cid:73) = = = =2. 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑃𝐷 𝑃𝐵 (1)(cid:158)(cid:47) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:52)(cid:30)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) . 𝐸 𝑃𝐶 𝑀 𝐷𝐶 𝐵𝐸𝑀 𝑃𝐴𝐷 (2)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:93)(cid:315)(cid:316)(cid:49)(cid:101)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:323)(cid:158)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:317)(cid:52)(cid:296) (cid:36)(cid:287)(cid:10)(cid:158)(cid:220)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:317)(cid:297)(cid:31)(cid:15)(cid:39). 𝑃𝐹 𝑃𝐷 𝐹 𝐴𝐹 𝑃𝐵𝐶 𝐹𝐷 (cid:22)(cid:236)(cid:118)8-3(cid:28)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:270)(cid:242)(cid:270)(cid:321)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:247) (cid:71)(cid:73)(cid:252)(cid:35) (cid:156)(cid:246)(cid:110)(cid:117)(cid:73)(cid:47) (cid:73) (cid:68) (cid:182)(cid:156) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:277)(cid:33)(cid:35) (cid:33)(cid:35) = . 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐶𝐷∩ 𝑃𝐵𝐸 𝑙(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) (2)(cid:30)(cid:31)(cid:10)𝐷𝐹// (cid:122) 𝑃𝐵𝐸 𝐷𝐹 𝑙 (3)(cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:93)(cid:315)(cid:316)(cid:49)(cid:47) (cid:73)(cid:214)(cid:173) //(cid:33)(cid:35) (cid:323)(cid:158)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:52)(cid:296) (cid:36)(cid:287)(cid:122)(cid:158)(cid:220)(cid:316)(cid:49)(cid:73)(cid:297)(cid:31)(cid:15)(cid:39). 𝐴𝑁 𝐴𝐵 𝑁 𝐸𝑁 𝐹𝐵𝐷 𝑁𝐵 (cid:101)(cid:59)(cid:81)(cid:20)(cid:21) 1(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:237)·(cid:328)(cid:242)·(cid:285)(cid:43)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:194)(cid:145)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:62)(cid:32)l(cid:73)m(cid:73)n(cid:73)(cid:190) (cid:73)(cid:159)“ ”(cid:93)“ ”(cid:36)(cid:87) (cid:88) A(cid:136)(cid:329)(cid:68)(cid:220)(cid:330)(cid:63)(cid:145)(cid:331) B(cid:136)(cid:330)(cid:63)(cid:220)(cid:329)(cid:68)(cid:145)(cid:331) 𝑙∥𝑚 𝑚∥𝑛 𝑙∥𝑛 C(cid:136)(cid:329)(cid:63)(cid:145)(cid:331) D(cid:136)(cid:332)(cid:220)(cid:329)(cid:68)(cid:333)(cid:220)(cid:330)(cid:63)(cid:145)(cid:331) 2(cid:136)(cid:87)2024·(cid:95)(cid:334)(cid:335)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:277) (cid:73) (cid:93)(cid:109)(cid:161)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:73) (cid:73) (cid:93)(cid:109)(cid:145)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:190) = (cid:159)“ // ”(cid:93)“ // (cid:190) // ”(cid:36)(cid:87) (cid:88) 𝛼 𝛽 𝑚 𝑙 𝛼∩𝛽 𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝛽 𝑚A(cid:136)𝛼(cid:329)(cid:68)(cid:220)(cid:330)(cid:63)(cid:145)(cid:331) B(cid:136)(cid:329)(cid:68)(cid:330)(cid:63)(cid:145)(cid:331) C(cid:136)(cid:330)(cid:63)(cid:220)(cid:329)(cid:68)(cid:145)(cid:331) D(cid:136)(cid:332)(cid:220)(cid:329)(cid:68)(cid:333)(cid:220)(cid:330)(cid:63)(cid:145)(cid:331) 3(cid:136)(cid:87)2024·(cid:293)(cid:91)(cid:336)(cid:258)·(cid:123)(cid:225)(cid:88)(cid:171)(cid:133) (cid:156)(cid:33)(cid:35) (cid:144)(cid:36)(cid:101)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:159)(cid:237)(cid:337)(cid:113)(cid:21)(cid:71)(cid:246)(cid:325)(cid:36)(cid:93)(cid:87) (cid:88) A(cid:136)(cid:316)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:73)(cid:214)(cid:173) (cid:73)𝑚 𝛼 B(cid:136)(cid:316)(cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:73)(cid:214)(cid:173) (cid:73) // C(cid:136)(cid:316)(cid:49)(cid:62)(cid:32)𝑛(cid:73)(cid:214)(cid:173)𝑛/⊥/𝑚(cid:73)𝑛/⊥/ 𝛼 D(cid:136)(cid:316)(cid:49)(cid:62)(cid:32)𝑛(cid:73)(cid:214)(cid:173)𝑛/⊥/𝑚(cid:73)𝑛 𝛼 4(cid:136)(cid:87)2023·(cid:288)(cid:250)·𝑛(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)𝑛(cid:88)(cid:49)𝑚(cid:194)𝑛(cid:232)(cid:247)𝛼 (cid:71)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:93)𝑛 𝑛(cid:59)𝑚 𝑛⊥(cid:36)𝛼(cid:269)(cid:298)(cid:73)(cid:76)(cid:237)(cid:72)(cid:62)(cid:32) (cid:33)(cid:34) (cid:36)(cid:93)(cid:87) (cid:88) 𝐷−𝐴𝐵𝐶 𝑀,𝑁 △𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐷 𝑀𝑁 A(cid:136)(cid:62)(cid:32) B(cid:136)(cid:33)(cid:35) C(cid:136)(cid:33)(cid:35) D(cid:136)(cid:33)(cid:35) 5(cid:136)(cid:87)2024·(cid:270)𝐶𝐷(cid:242)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)𝐴(cid:73)𝐵𝐷(cid:49)(cid:62)(cid:194)(cid:232)(cid:233) 𝐴𝐶𝐷 (cid:71)(cid:73)(cid:47)D(cid:73)E(cid:68)(cid:182)𝐵(cid:49)𝐶𝐷(cid:232) (cid:234)(cid:73) 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐴 ,𝐶𝐶= = = 2 = =2 =2(cid:73)(cid:47) (cid:338)(cid:339) = (0< <1)(cid:73)(cid:158) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) (cid:36)(cid:287)(cid:156) 1 1 1 𝐴(cid:87)𝐵 (cid:88)𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴 𝐷 𝐶𝐸 𝐶 𝐸 𝐹 𝐵𝐹 𝜆𝐵𝐷 𝜆 𝐵 𝐸∥ 𝐴𝐶𝐹 𝜆 2 1 1 1 A(cid:136) B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136) 3 2 3 4 6(cid:136)(cid:87)2024·(cid:207)(cid:278)(cid:340)(cid:258)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:49)(cid:194)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:73)(cid:190) = (cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:73) 1 1 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐵𝐵 𝐵𝐵 3𝐵𝐷 𝑀 𝐴 𝐶 (cid:190) (cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:62)(cid:32) (cid:234)(cid:73)(cid:158) (cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:159) =(cid:87) (cid:88) 1 1 1 1 𝑁𝐵1 𝑀 𝐴 𝐶 𝑁 𝐵𝐵 𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐷𝐶 𝑁𝐵 A(cid:136)2 B(cid:136)3 C(cid:136)4 D(cid:136)5 7(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:270)(cid:242)·(cid:244)(cid:245)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:238)(cid:93)(cid:101)(cid:161)(cid:246)(cid:110)(cid:239)(cid:36)(cid:33)(cid:35)(cid:341)(cid:342)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:177)(cid:161)(cid:246)(cid:110)(cid:239)(cid:71)(cid:76)(cid:237)(cid:207)(cid:161)(cid:113)(cid:21)(cid:71)(cid:73)(cid:64) (cid:113)(cid:21)(cid:36)(cid:343)(cid:9)(cid:93)(cid:87) (cid:88) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) ①𝐵𝑀//(cid:33)(cid:35)𝐴𝐷𝐸(cid:122) ②𝐶(cid:33)𝑁(cid:35) /𝐴/𝐵(cid:33)𝐹(cid:35) (cid:122) ③(cid:33)(cid:35)𝐵𝐷𝑀//(cid:33)(cid:35)𝐴𝐹𝑁. ④A(cid:136)𝐵𝐷𝐸 𝑁𝐶𝐹B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136) 8(cid:136)(cid:87)23①-24②(cid:24)③(cid:123)④(cid:237)·(cid:207)(cid:278)(cid:196)(cid:186)①·(cid:244)②(cid:245)③(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:246)(cid:110)①(cid:239)②④ (cid:71)②(cid:73)(cid:171)③(cid:133)④E(cid:73)F(cid:73)G(cid:73)H(cid:73)(cid:68)(cid:182)(cid:93) 1 1 1 1 1 (cid:73) (cid:73) (cid:73) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:159)(cid:237)(cid:337)(cid:219)(cid:180)(cid:71)(cid:344)(cid:345)(cid:36)(cid:93)𝐴𝐵(cid:87)𝐶𝐷 − (cid:88)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 1 1 1 1 1 𝐵 𝐴𝐷 𝐵 𝐶 𝐶 𝐷A(cid:136)C(cid:73)G(cid:73) (cid:73)F(cid:207)(cid:47)(cid:203)(cid:35) B(cid:136)(cid:62)(cid:32) //(cid:33)(cid:35) 1 1 1 C(cid:136)(cid:33)(cid:35) 𝐴//(cid:33)(cid:35) D(cid:136)(cid:62)(cid:32)𝐸E𝐹F(cid:135)HG𝐵(cid:48)𝐷𝐷(cid:196)𝐵(cid:205)(cid:36)(cid:246)(cid:346)(cid:287)(cid:156) 2 1 1 (cid:123)(cid:59)(cid:262)(cid:20)(cid:21)𝐻𝐶𝐺 𝐵𝐷𝐷 𝐵 9(cid:136)(cid:87)2024(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:171)(cid:133)a(cid:73)b(cid:93)(cid:220)(cid:193)(cid:36)(cid:62)(cid:32)(cid:73) (cid:93)(cid:33)(cid:35)(cid:73)(cid:237)(cid:337)(cid:113)(cid:21)(cid:344)(cid:345)(cid:36)(cid:93)(cid:87) (cid:88) A(cid:136) // (cid:73) // B(cid:136) // (cid:73) 𝛼 // C(cid:136)𝑎//𝑏(cid:73)𝑏/⊂/𝛼⇒𝑎//𝛼 D(cid:136)𝑎 𝛼(cid:73)𝑏/⊂/ 𝛼(cid:73)⇒𝑎 𝑏 // 10(cid:136)(cid:87)2𝑎023𝛼·(cid:83)𝑎(cid:84)·(cid:225)𝑏⇒(cid:226)𝑏(cid:227)(cid:228)𝛼 (cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:194)(cid:232)(cid:233) 𝑎⊄𝛼(cid:71)𝑎(cid:73) 𝑏 (cid:68)𝑏(cid:182)⊂(cid:93)𝛼⇒𝑎 𝛼 (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:73)(cid:159)(cid:87) (cid:88) 1 1 1 1 1 A(cid:136) //(cid:33)(cid:35) 𝐴𝐵𝐶−B𝐴(cid:136)𝐵 𝐶//(cid:33)(cid:35)𝐷,𝐸 𝐴𝐵,𝐴 𝐶 1 1 1 1 C(cid:136)𝐵𝐶 //(cid:33)(cid:35)𝐴 𝐷𝐶 D(cid:136)𝐷𝐸 //(cid:33)(cid:35)𝐵𝐶𝐶 𝐵 1 1 1 11(cid:136)(cid:87)2𝐴024𝐷·(cid:347)(cid:348)·(cid:225)𝐵(cid:226)𝐸(cid:227)𝐶(cid:228)(cid:88)(cid:171)(cid:133)(cid:246)(cid:110)(cid:239) 𝐵𝐶 (cid:73)𝐶𝐷𝐸(cid:68)(cid:182)(cid:93)(cid:208) (cid:234)(cid:87)(cid:349)(cid:268)(cid:47)(cid:88)(cid:36)(cid:47)(cid:73)(cid:159) 1 1 1 1 1 1 (cid:87) (cid:88) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸,𝐹 𝐵𝐷,𝐶 𝐷 A(cid:136)(cid:168) // (cid:129)(cid:73)(cid:62)(cid:32) (cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:246)(cid:110)(cid:239)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:350)(cid:101)(cid:325)(cid:38) 1 B(cid:136)(cid:168)𝐸𝐹 //𝐴𝐷 (cid:129)(cid:73)(cid:62)(cid:32)𝐸𝐹(cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:246)(cid:110)(cid:239)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:350)(cid:101)(cid:325)(cid:38) 1 C(cid:136)(cid:168)𝐴 𝐹//(cid:33)𝐶𝐸(cid:35) (cid:129)(cid:73)𝐸𝐹(cid:62)(cid:32) (cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:246)(cid:110)(cid:239)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:350)(cid:101)(cid:325)(cid:38) 1 D(cid:136)(cid:168)𝐶(cid:33)𝐸(cid:35) /𝐴/𝐷(cid:33)𝐹(cid:35) (cid:129)𝐸(cid:73)𝐹(cid:62)(cid:32) (cid:163)(cid:195)(cid:98)(cid:246)(cid:110)(cid:239)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:350)(cid:101)(cid:325)(cid:38) 1 1 (cid:194)(cid:59)(cid:116)(cid:60)(cid:21) 𝐴𝐸𝐷 𝐴 𝐶𝐹 𝐸𝐹 12(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:123)·(cid:83)(cid:84)·(cid:229)(cid:230)(cid:165)(cid:231)(cid:88)(cid:158)(cid:62)(cid:32) (cid:73)c(cid:73)d(cid:156)(cid:220)(cid:269)(cid:58)(cid:36)(cid:109)(cid:145)(cid:62)(cid:32)(cid:73)(cid:190) (cid:73) (cid:73)(cid:159)c(cid:72)d(cid:36)(cid:50) (cid:51)(cid:3)(cid:56)(cid:93) (cid:136) 𝑎∥𝑏 𝑎∥𝑐 𝑏∥𝑑 13(cid:136)(cid:87)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:313)(cid:314)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73) (cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:35)(cid:144)(cid:101)(cid:47)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:234)(cid:101)(cid:47)(cid:73) (cid:190) =2:5(cid:73)(cid:168) (cid:33)(cid:35) (cid:129)(cid:73) 𝑃 = . 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝐴𝐷,𝑃𝐶 𝑃𝐹 𝐴𝐸:𝐴𝐷 𝑃𝐴 ∥ 𝐸𝐵𝐹 𝐹𝐶14(cid:136)(cid:87)2023·(cid:207)(cid:278)(cid:351)(cid:284)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:207)(cid:232)(cid:233) (cid:71)(cid:73) (cid:33)(cid:35) (cid:73) // (cid:73) 1 1 1 1 1 =90°(cid:73) = = = (cid:73) (cid:156)(cid:232)𝐴𝐵𝐶(cid:234)𝐷−(cid:101)𝐴(cid:312)𝐵(cid:47)𝐶(cid:73)𝐷(cid:162)(cid:62)(cid:32)𝐴𝐴(cid:36)⊥(cid:33)(cid:35)(cid:68)𝐴(cid:182)𝐵𝐶(cid:72)𝐷(cid:232)𝐴𝐵 (cid:73)𝐶𝐷 (cid:164)(cid:98)(cid:47) (cid:73) 1 1 1 1 ∠(cid:73)𝐷𝐶(cid:159)𝐵(cid:237)(cid:337)(cid:219)(cid:180)𝐴(cid:246)𝐵(cid:325)(cid:36)𝐴𝐷(cid:93) 𝐴 𝐴 (cid:136)2𝐷𝐶 𝑄 𝐶𝐶 𝐴𝑄 𝐵𝐵 𝐷𝐷 𝑃 𝑅 (cid:137)(cid:195)(cid:98)(cid:184)(cid:185)(cid:36)(cid:47) (cid:73)(cid:186)(cid:181) // (cid:150)(cid:195)(cid:98)(cid:184)(cid:185)(cid:36)(cid:47)𝑄(cid:73)(cid:207)(cid:208)𝐴𝑃 𝑄(cid:220)𝑅(cid:154)(cid:352)(cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:207)(cid:208)(cid:117) (cid:152)(cid:168) = (cid:129)(cid:73)𝑄(cid:316)(cid:49)(cid:47)𝐴𝑃(cid:73)𝑄(cid:214)𝑅(cid:173) (cid:156)(cid:128)(cid:272)(cid:62)(cid:205)(cid:194)(cid:205)(cid:117) (cid:192)(cid:316)𝐷(cid:49)𝐵(cid:47) 𝑃(cid:73)𝑅(cid:214)(cid:173)(cid:62)(cid:32) 𝑄//(cid:33)(cid:35) △𝐴𝑅𝑃 (cid:207)(cid:59)(cid:70)(cid:125)𝑄(cid:21) 𝐵𝐶 𝐴𝑃𝑄𝑅 15(cid:136)(cid:87)2024(cid:24)(cid:194)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:73)(cid:109)(cid:161)(cid:246)(cid:194)(cid:205)(cid:117) (cid:73) (cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:35)(cid:198)(cid:163)(cid:221)(cid:62)(cid:73) (cid:68)(cid:182)(cid:156) (cid:36)(cid:71) (cid:47)(cid:73)(cid:47) (cid:49)(cid:232) (cid:234)(cid:73) = (cid:73)(cid:62)(cid:32) (cid:72)(cid:33)(cid:35) (cid:163)(cid:164)𝐴(cid:98)𝐵𝐶(cid:47) 𝐵.𝐶(cid:30)𝐷(cid:31)(cid:10) // (cid:122) 𝐸,𝐹 𝐵𝐶,𝐶𝐷 𝐺 𝐴𝐷 𝐴𝐺 2𝐺𝐷 𝐴𝐵 𝐸𝐹𝐺 𝐻 𝐵𝐷 𝐺𝐻16(cid:136)(cid:87)2024·(cid:234)(cid:270)(cid:353)(cid:38)·(cid:194)(cid:225)(cid:88)(cid:49)(cid:53)(cid:110)(cid:239) (cid:71)(cid:73) = =1(cid:73) = 3(cid:73)E(cid:59)F(cid:59)G(cid:68)(cid:182)(cid:156) 1 1 1 1 1 AB(cid:59)BC(cid:59) (cid:36)(cid:71)(cid:47). 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐷 𝐴𝐵 1 1 𝐶 𝐷 (1)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:239)(cid:248)(cid:122) (2)(cid:47)P(cid:49)(cid:265)𝐴(cid:117)−𝐺𝐸𝐹 (cid:95)(cid:73)(cid:158)(cid:62)(cid:32) //(cid:33)(cid:35) (cid:73)(cid:52)(cid:32)(cid:43) (cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:292)(cid:126)(cid:287). 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷 𝑃 𝐸𝐹𝐺 𝐷 𝑃 17(cid:136)(cid:87)2023·(cid:293)(cid:242)·(cid:123)(cid:225)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:238)(cid:73)(cid:246)(cid:320)(cid:232)(cid:233) (cid:36)(cid:252)(cid:35)(cid:208)(cid:53)(cid:156)1(cid:73)(cid:24)(cid:156) 3. 1 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 (1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:33)(cid:35) //(cid:33)(cid:35) (cid:122) 1 1 (2)(cid:52)(cid:33)(cid:35) 𝐴(cid:72)𝐷𝐹(cid:33)(cid:35) (cid:61)𝐴(cid:36)𝐵𝐶(cid:259)(cid:260). 1 1 𝐴𝐷𝐹 𝐴 𝐵𝐶 18(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:293)(cid:91)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:48)(cid:238)(cid:10)(cid:49)(cid:53)(cid:110)(cid:239) (cid:71)(cid:73) = =3(cid:73) =2(cid:73)E(cid:59)F 1 1 1 1 1 (cid:68)(cid:182)(cid:93)(cid:35) (cid:73) (cid:71)(cid:298)(cid:73)G(cid:73)H(cid:68)(cid:182)(cid:93) (cid:73) 𝐴𝐵(cid:36)𝐶𝐷(cid:71)−(cid:47)𝐴.𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴 𝐵𝐶 1 1 1 1 𝐴𝐷𝐷 𝐴 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐷 𝐶(1)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:35) //(cid:35) (cid:122) 1 1 (2)(cid:30)(cid:31)(cid:10) 𝐴//𝐶(cid:35)𝐵 𝐴𝐸.𝐹 1 1 𝐺𝐻 𝐴𝐴 𝐶 𝐶 19(cid:136)(cid:87)23-24(cid:24)(cid:101)(cid:237)·(cid:288)(cid:289)(cid:354)(cid:355)·(cid:244)(cid:71)(cid:88)(cid:142)(cid:151)(cid:10)(cid:49)(cid:246)(cid:110)(cid:239) (cid:71)(cid:73)(cid:208)(cid:53) =2(cid:73)M(cid:156) (cid:36)(cid:71)(cid:47)(cid:136) 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐷 (1)(cid:52)(cid:194)(cid:232)(cid:247) (cid:36)(cid:239)(cid:248)(cid:122) (2)(cid:52)(cid:30)(cid:10) 𝐷−//𝐴(cid:33)𝑀(cid:35)𝐶 (cid:122) 1 (3)(cid:158) (cid:156)(cid:32)𝐵(cid:43)𝐷 (cid:234)(cid:36)𝐴𝑀(cid:312)𝐶(cid:47)(cid:73)(cid:159)(cid:32)(cid:43) (cid:234)(cid:93)(cid:315)(cid:316)(cid:49)(cid:47) (cid:73)(cid:214) //(cid:33)(cid:35) (cid:323)(cid:297)(cid:31)(cid:15)(cid:39)(cid:136) 1 1 𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐶 𝑁 𝐸𝑁 𝐴𝑀𝐶