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专题 7.3 空间直线、平面的平行
目录
题型一： 直线与平面平行的判定..................................................................................................3
题型二： 直线与平面平行的性质..................................................................................................7
题型三： 平面与平面平行的判定..................................................................................................9
题型四： 平面与平面平行的性质.................................................................................................11
题型五： 平行关系的综合应用....................................................................................................14
知识点总结
知识点一、直线与直线平行
(1)基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言 ⇒a∥c
作用 基本事实4表明了平行线的传递性. 可用来证明两直线平行
(2)等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或
文字语言
互补
图形语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝
符号语言
180°
知识点二、直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条
直线与此平面内
判定定理 的 一 条 直 线 平 ⇒a∥α
行，那么该直线
与此平面平行
一条直线与一个
平面平行，如果
过该直线的平面
性质定理 ⇒a∥b
与此平面相交，
那么该直线与交
线平行
知识点三、平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的
两条相交直线与另
判定定理
一个平面平行，那
么这两个平面平行 ⇒β∥α
两个平面平行，如
果另一个平面与这
性质定理
两个平面相交，那
么两条交线平行 ⇒a∥b
例题精讲
题型一：直线与平面平行的判定
【要点讲解】直线与平面平行的判定问题的解题策略：(1)主旨思想：“线线平行”→“线
面平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线，在平面内解决线线平行问题；(3)再交代清
楚哪条直线在平面外，哪条直线在平面内，严格依据判定定理进行即可．
【例1】下列各图中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号是
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【变式训练1】如图，点 ， ， ， ， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各
图中，不满足直线 平面 的是
A． B．
C． D．
【变式训练2】如图，直三棱柱 中，底面三角形 是正三角形， 是
中点，则下列叙述正确的是A． 与 是异面直线
B．
C． ， 为异面直线，且
D． 平面
【变式训练3】在长方体 中，底面 为正方形， 平面 ，
为 的中点，则下列结论错误的是
A． B．
C． 平面 D．平面 平面
【例2】在正方体中 ，已知 为 中点，如图所示．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 夹角大小．【变式训练1】如图，在正方体 中， 为 的中点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．【变式训练2】如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， 已 知 ， ，
， 为 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的大小（用反三角函数表示）；
（2）求证： 平面 ．
【变式训练3】如图所示，在几何体 中，四边形 为直角梯形， ，
， 底面 ， ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与直线 所成角的余弦值．题型二：直线与平面平行的性质
【要点讲解】直线与平面平行的性质定理问题的解题策略：(1)主旨思想“线面平行”
→“线线平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线进而得到过原直线的一个“新平面”；
(3)确定“新平面”与“原平面”的交线，则交线与原直线平行．
【例3】如图，在四面体 中， 是 中点， 是 中点．在线段 上存在一
点 ，使得 平面 ，则 的值为
A．1 B．2 C．3 D．
【变式训练1】如图，已知圆锥的顶点为 ， 为底面圆的直径，点 ， 为底面圆周
上的点，并将弧 三等分，过 作平面 ，使 ，设 与 交于点 ，则
的值为A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在多面体 中，平面 平面 ， ，且
， ，则
A． 平面 B． 平面
C． D．平面 平面
题型三：平面与平面平行的判定
【要点讲解】证明面面平行的常用方法
(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平
面平行．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(4)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，
β∥γ⇒α∥γ)．
【例4】如图，在正方体 中， 是 的中点， ， ， 分别是 ，
， 的中点，求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．【变式训练1】正方体 中， 、 分别为 、 的中点， 、 分
别是 、 的中点．
（1）求证： 、 、 、 共面；
（2）求证：平面 平面 ．【变式训练2】如图，在正方体 中， 与 交于点 ，求证：
（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 ．
题型四：平面与平面平行的性质
【要点讲解】平面与平面平行的性质应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
【例5】下列说法正确的是
A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行
【变式训练1】如图，在长方体 中，若 ， ， ， 分别是棱 ，
， ， 上的动点．且 ，则必有A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
【变式训练2】如图，平面 平面 ，平面 ，平面 ，
， ， ， ， ，则 ．
【例6】由四棱柱 截去三棱锥 后得到的几何体如图所示，四边
形 为平行四边形， 为 与 的交点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）设平面 与底面 的交线为 ，求证： ．【变式训练1】如图，四棱锥 的底面为平行四边形．设平面 与平面 的
交线为 ， 、 、 分别为 、 、 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： ．
【变式训练2】如图，四棱柱 的底面 是正方形．
（1）证明：平面 平面 ；（2）若平面 平面 直线 ，证明 ．
题型五：平行关系的综合应用
【要点讲解】证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问
题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【例7】已知 ， ， 是三个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列结论正确的
是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D． ， ， ，则
【变式训练1】已知平面 ， ， ，直线 ， ， ，下列说法正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【变式训练2】设 ， 是空间中的两条直线， ， 是空间中的两个平面，下列说法正确
的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则 与 相交
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则 与 没有公共点
【变式训练3】若 ， 为空间中两条不同的直线， ， ， 为空间三个不同的平面，
则下列结论正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
【变式训练4】设 ， ， 是互不重合的平面， ， 是互不重合的直线，给出四个命
题：
①若 ， ，则
②若 ， ，则
③若 ， ，则
④若 ， ，则其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练5】已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 ， ， ，则下列命题：
（1）若 ， ，则 且 ；
（2）若平面 内有不在同一直线的三点 、 、 到平面 的距离都相等，则 ；
（3）若 ， 分别经过两异面直线 ， ，且 ，则 必与 或 相交；
（4）若 ， ， 是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与 ， ， 都相交．
其中正确的命题是
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【变式训练6】在正方体 中，点 在正方形 内，且不在棱上，则
A．在正方形 内一定存在一点 ，使得
B．在正方形 内一定存在一点 ，使得
C．在正方形 内一定存在一点 ，使得平面 平面
D．在正方形 内一定存在一点 ，使得 平面【变式训练7】如图，正方体 的棱长为1，动点 在直线 上， ，
分别是 ， 的中点，则下列结论中错误的是
A．
B． 平面
C．
D．存在点 ，使得平面 平面
【例8】如图，在长方体 中， ， ， 分别为所在棱的中点， ，
分别为 ， 的中点，连接 ， ， ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 点的位置；若
不存在，请说出理由．【变式训练1】如图，在三棱柱 中，若 ， 分别是线段 ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，若存在，指出 的具体
位置并证明；若不存在，说明理由．
【变式训练2】如图，在三棱柱 中，点 ， 分别在线段 ， 上，且满足 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ．若存在，求出 ；若
不存在，请说明理由．
