文档内容
专题 7.2 平行线的判定【八大题型】
【人教版2024】
【题型1 平行线】......................................................................................................................................................1
【题型2 平行公理及其推论】..................................................................................................................................2
【题型3 添加条件使两直线平行】..........................................................................................................................3
【题型4 补充过程使两直线平行】..........................................................................................................................4
【题型5 直接证明两直线平行】..............................................................................................................................6
【题型6 旋转使两直线平行】..................................................................................................................................7
【题型7 平行线的判定的应用】..............................................................................................................................9
【题型8 作辅助线证平行】....................................................................................................................................10
知识点1：平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
【题型1 平行线】
【例1】（23-24七年级·吉林延边·期中）如图，在6×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C
均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点A作BC的平行线．
(2)过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D．
【变式1-1】（2023七年级·浙江·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可
以抽象成两条 直线．
【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）在同一平面内有三条不同的直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则
1
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学科网（北京）股份有限公司a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
【变式1-3】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的
位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．
知识点2：平行公理及其推论
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行
【题型2 平行公理及其推论】
【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们
都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,
不限定点是否在直线上.
【例2】（23-24七年级·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ）
过点P画与直线l垂直的直线 过点P画与直线l相交的直线 过点P画与l平行的直线
① ② ③
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
【变式2-1】（23-24七年级·全国·阶段练习）下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b,b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a⊥c
【变式2-2】（23-24七年级·浙江·课后作业）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，
与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式2-3】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工
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学科网（北京）股份有限公司具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆
秤的示意图，AB∥CD，AB∥EO，经测量发现∠1=106°，则∠2的度数是 度．
知识点3：平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 添加条件使两直线平行】
【例3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，已知AB∥HI，下列条件：①∠B+∠6=180°；②
∠B+∠4=180°；③∠B=∠7；④∠B=∠3．其中能判断BC∥EF的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加
一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
【变式3-2】（23-24七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线AB∥CD的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．∠2=∠3 B．∠1=∠4
C．∠BAD=∠BCD D．∠1+∠2=180°
【变式3-3】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，下列条件．①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；
④∠2+∠4=180°中，能判断直线 l ∥l 的有 ．（填序号即可）
1 2
【题型4 补充过程使两直线平行】
【例4】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB．
解：因为BE平分∠ABC，
所以 （ ）
又因为∠E=∠1（ 已 知 ） ，
所以∠E=∠2（等量代换） ．
所以 （ ），
所以∠A+∠ABC=180°（ ）．
又因为∠3+∠ABC=180°（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以DF∥AB（ ）
【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
求证：AB∥CD
请将下面的推理过程补充完整．
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵BE⊥FD（已知），
∴∠EGD=90°（ ），
∴∠1+ =90°，
又∵∠2和∠D互余（已知），
∴∠2+∠D= ，
∴∠1= （ ），
∵∠C=∠1（已知），
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD（ ，两直线平行）．
【变式4-2】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝
60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司【变式4-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分
∠ACB，∠DBF=∠F．
求证：CE∥DF．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
1 1
∴∠DBC= ∠__________，∠ECB= ∠__________．（ ）
2 2
又∵∠ABC=∠ACB，（已知）
∴∠__________=∠__________．（等量代换）
又∵∠DBF=∠F，（已知）
∴∠__________=∠__________．（等量代换）
∴CE∥DF．（__________）
【题型5 直接证明两直线平行】
【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相
等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行.
【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知∠B=46°，EF交AB于点D，DG平分∠ADE，
∠ADG=67°，求证：BC∥EF．
【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，试确定直线DF
与AE的位置关系，并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，∠A=∠C,∠BED+∠EBC=180°，求证：
AB∥CD．
【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分
∠BOF，F是DE上一点，连接OF．
(1)求证：OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
【题型6 旋转使两直线平行】
【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，a,b,c三根木棒钉在一起，交点分别为
A,B,∠1=70°，∠2=100°．现将木棒a,b分别绕点A,B顺时针旋转，同时开始，速度分别为12°/s
和2°/s，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒a,b平行．
【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆
住，∠EGB=100°，∠EHD=80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋
转（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线a∥b，a与c交于点P．若∠1=50°，则∠2= ．
将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于180°）后可使直线a⊥b．
【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与A′C边重合，
∠BAC=45°,∠DA′C=30°，接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板A′CD绕着点C（点C不动）
按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，∠AC A′逐渐增大，当∠AC A′第一次等于90°时，
停止旋转，在此旋转过程中，∠AC A′= °时，三角板A′CD有一条边与三角板ABC的一条边恰好
平行．
【题型7 平行线的判定的应用】
【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气
中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知
识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知
道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两
边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠2+∠4=180° D．∠3+∠4=180°
【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除
夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示
意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明
a∥b的是（ ）
A．∠1=85°，∠4=85° B．∠3=95°，∠4=85°
C．∠1=85°，∠3=95° D．∠2=85°，∠4=85°
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【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角.
【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知∠BDC=40°，∠ABC=100°，且线段DB的延长线
BF平分∠ABC的邻补角∠ABE．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若射线DB绕点D以每秒1°的速度逆时针方向旋转得DB′，同时，射线BA绕点B以每秒2°的速度逆时
针方向旋转得BA′，DB′和BA′交于点G，设旋转时间为t秒．
①当50
