跟踪训练03直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 03 直线与圆、圆与圆的位置关系 一．选择题（共15小题） 1．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则弦长 的值 为 A． B． C． D． 【解答】解：圆 的圆心坐标为 ，半径 ， 圆心到直线： 的距离 ， 弦 的长为 ， 故选： ． 2．已知点 ， 在圆 外，则直线 与圆的位置关系是 A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【解答】解：因为点 ， 为圆 外一点，所以 ， 又圆 的圆心为 ，半径为 ， 所以圆心 到直线 的距离为 ，即 ， 所以直线 与该圆的位置关系为相交． 故选： ． 3．若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是A． B． C． D． 【解答】解：由 ，可得 ， 曲线是圆心为 ，半径为2的圆在 轴以及 轴右侧的部分，如图所示： 直线 必过定点 ， 因为直线 与曲线 有两个交点， 所以可得 ，解得 或 ， 结合图形可得 ． 故选： ． 4 ． 设 ， ， 为 坐 标 原 点 ， 点 满 足 ， 若 直 线 上存在点 使得 ，则实数 的取值范围为 A． ， B． ， ， C． ， ， D． ，【解答】解：设 ，则由 ，得 ，即 ， 点 在圆 上及其内部．当点 也在圆 上或其内部时，符合题意； 当点 在圆 的外部时，过点 作该圆的切线，设切点为 ， ， 则需 ， ， ， 过 作 与直线 垂直，设垂足为 ，则有 ，只需 ， 则满足条件的点 存在， ，解得 或 ， 实数 的取值范围为 ． 故选： ． 5．已知圆 与圆 的公共弦所在直线与 直线 垂直，则 的值为 A．2 B． C．8 D． 【解答】解：把圆 与圆 的方程相减得： ，即为圆 与圆 的公共弦 所在直线方程， 由直线 与直线 垂直，得 ，解得 ， 当 时，圆 ，即 的圆心 ，半 径 ， 而圆 的圆心 ，半径 ，于是 ，则圆 与圆 相交，符合题意， 所以 的值为2． 故选： ． 6．已知点 ， ，点 为圆 上一点，则 的面积的 最大值为 A．12 B． C． D．6 【解答】解：因为 ， ，所以 ， 又因为圆的方程为 ，所以圆心为 ，半径为 ， 所以圆上点到直线 的最大距离为 ， 所以 的面积的最大值为 ． 故选： ． 7．已知圆 ，点 为直线 上的一个动点， ， 是圆 的两 条切线， ， 是切点，当四边形 （点 为坐标原点）面积最小时，直线 的方 程为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得，当直线 与直线 垂直时，四边形 （点 为坐标原 点）的面积最小， 此时点 的坐标为 ， 设 ， ， ， ，则切线 ，切线 ，因为直线 过点 ，所以 ，即 ①， 又因为直线 过点 ，所以 ，即 ②， 由①②可得点 ， 满足直线 方程， 所以直线 为 ． 故选： ． 8．若直线 与曲线 恰有一个公共点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：由曲线 ，可得 ，其中 ，表示以原点为圆心，半径为 1的右半圆， 是倾斜角为 的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况： （1）直线与半圆相切，根据 ，所以 ，结合图象，可得： ； （2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知 ， ．综上可知： ． 故选： ． 9．已知圆 ，过 作圆 的切线 ，则直线 的倾斜角为A． B． C． D． 【解答】解：因为 在圆 上，则切线只有一条， 圆心为 ，所以 ， 所以过 的切线 的斜率为 ， 设切线的倾斜角为 ，则 ， 由于 ， ，故 ． 故选： ． 10．已知点 ， ， 是坐标原点， 是圆 上的动点， 则 的最小值为 A． B． C．3 D．4 【解答】解：圆 的圆心为 ，半径 ， 因为点 ，所以点 在直线 上， 而点 在圆 上，则 ，因此 ， 设点 关于直线 对称的点为 ，则 ．由 ，解得 ， ，即 ， 所以 ，当且仅当点 ， ， 共线，且点 在线 段 上时取等号， 所以 ． 故选： ． 11．如图，已知直线 与圆 相离，点 在直线 上运动且位于 第一象限，过 作圆 的两条切线，切点分别是 ， ，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，且 面积的最小值为 ，则 的值为 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，设 ， ， ， ， ， ， ， 则 ， 直线 与圆 相离，则 且 ， ， 以 为圆心，半径为 的圆的方程为 ， 整理得 ，由 两式相减得直线 的方程为 ， 分别令 和 ，则 ， 又 ， 所以 的面积 ， 当且仅当 时取等号，则 ． 故选： ． 12．已知点 是圆 上的动点，点 是圆 上的动点，点 在 直线 上运动，则 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为4， 圆 的圆心为 ，半径为1， 如图所示： 则 ， ，所以 ， 故求 的最小值可转化为求 的最小值， 设 关于直线 的对称点为 ， 设 坐标为 ， 则 ， 解得 ， 故 ， 因为 ， 可得 ， 当 ， ， 三点共线时，等号成立， 所以 的最小值为 ． 故选： ． 13．过点 引直线 与圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点，当 面积 取最大值时，直线 的斜率为A． B． C． D． 【解答】解：当 面积取最大值时， ， 圆 与直线 相交于 ， 两点， 为坐标原点， 圆心 ，半径 ， ， ， 圆心 到直线直线 的距离为1， 当直线 的斜率不存在时，直线的方程为 ，不合题意； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 圆心 到直线的距离 ，解得 ． 故选： ． 14．过点 的直线 与圆 相交的所有弦中，弦长最短为 A．5 B．2 C． D．4 【解答】解：将 代入 ，得到 ， 所以点 在圆内， 再根据 可得圆心坐标 ， 可知当 与 垂直时，弦长最小， 因为 ，即最短弦长为的一半为 ， 所以最短弦长为 ． 故选： ． 15．已知圆 与圆 外切，点 是圆 上一动点， 则点 到直线 的距离的最大值为 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：由 化为标准方程为 ， 即圆心 ，半径为 ， 由 知其圆心为 ，半径为2， 而两圆外切则有： ． 因为圆心 到直线 的距离 ， 所以点 到直线 的距离的最大值为 ． 如图所示：此时 、 两点重合． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 A．两圆外离B． 的最大值为9 C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为 【解答】解：圆 的圆心坐标 ，半径 ， 圆 ，即 的圆心坐标 ，半径 ， 所以圆心距 ， 因为 ，所以两圆外离．故 正确； 因 为 在 圆 上 ， 在 圆 上 ， 所 以 ， ，故 、 正确； 因 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 ， 所 以 不是两圆公切线，故 错误． 故选： ． 17．若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的值 可以是 A．3 B． C． D．2 【解答】解：直线 化成 ，可得它必定经过点 ， 而曲线 ，可变形整理为 ， 该曲线是以 为圆心，半径为1的圆位于直线 右侧的部分，设直线在圆下方与圆相切时的斜率为 ，直线过点 与圆有两个交点时的斜率为 ． 可得当直线 与曲线有两个不同的交点时，斜率 满足 ． 由点 到直线 的距离 ，解得 ， 而 ，由此可得 ， 的取值范围为 ， ． 故选： ． 18．直线 与曲线 恰有两个交点，则实数 的值可能是 A． B． C．4 D．5 【解答】解：如图：曲线 表示圆 在 轴的上半部分，当直线 与圆 相切时 ，解得 ， 当点 在直线 上时， ， 所以由图可知实数 的取值范围为 ， 故选： ． 19．圆 ，直线 ，点 在圆 上，点 在直线 上， 则下列结论正确的是 A．直线 与圆 相交 B． 的最小值是1 C．若 到直线 的距离为2，则点 有2个 D．从 点向圆 引切线，则切线段的最小值是3 【解答】解：由圆 ，得圆 的标准方程为 ， 圆心 到直线 的距离 ， 所以直线与圆相离，故 错误； 圆心到直线 的距离 ，所以 的最小值为 ， 若点 到直线 的距离为2，则点 有2个，故 正确， 正确； 根据图形知，点 到圆心 的最小值为圆心到直线的距离 ， 由勾股定理得切线长的最小值为 ，故 正确． 故选： ．20．已知圆 和圆 相交于 ， 两点，则下列说法 正确的是 A． B．直线 的方程为 C．线段 的长为 D． 到直线 的距离与 到直线 的距离之比为 【解答】解：对于 项，因为两个圆相交，所以圆心 ， 所在直线垂直平分两圆的公 共弦，故 正确； 对于 项，因为圆 和圆 相交于 ， 两点，所 以两圆方程相减得到 ，即 ，故 正确； 对于 项，圆 化为标准方程是 ， 圆心 到直线 的距离为 ， 所以 ，故 正确； 对于 项，因为圆 化为标准方程是 ，圆心 到直线 的距离为 ， 所以 到直线 的距离与 到直线 的距离之比为 ，故 错误． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知直线 与直线 相交于点 ，动点 ， 在圆 上，且 ，则 的取值范围是 ． 【解答】解：由直线 与直线 ， 可得 ，所以直线 与直线 垂直，直线 过定点 ， 过定点 ， 所以点 的轨迹是以 为直径的圆， 由 的中点坐标为 ， ， 所以圆心为 ，半径 ， 所以点 的轨迹方程是 ， 所以点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆， 因为圆 的方程为 ，所以圆心 ，半径 ， 取 的中点 ，连接 ，则 ，所以点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆， 所以 ， 而 ，且 ，即圆 与点 的轨迹外离； 因为 ，即 ， 所以 的取值范围是 ． 故答案为： ． 22．已知 ， 为圆 上的任意一点，当 时， 的值与 ， 无关，下列结论正确的是 ①② ． （1）当 时，点 的轨迹是一条直线； （2）当 时，有 的最大值为1； （3）当 ， 时， 的取值范围 ． 【解答】解： ， 为圆 上的任意一点， 当 时， 的值与 ， 无关， 为圆上的点到两条平行线距离和的 倍，可知圆在两条平行线 与 之间， 表示两条平行线之间距离的 倍． 当 时，点 的轨迹是一条直线，与 以及 等距离的 直线，所以①正确． 当 时，有 的最大值为1，正确． 当 ， 时，可得 ，解得 或 ，所以③不正确． 故答案为：①②． 23．已知圆 与 交于 ， 两点．若存在 ， 使得 ，则 的取值范围为 ． 【解答】解：圆 的圆心 ，半径 ，圆 的 圆心 ，半径 ， 若两圆相交，则 ，所以 ，即 ， 又 两 圆 相 交 弦 所 在 直 线 方 程 为 ： 即 ， 所以圆心 到直线 的距离 ，圆心 到直线 的距 离 ，则弦长 ，所以 ， 则 且 ，所以 ， 若存在 ，使得 ，则 ，即 ，所以 的取值范围为 ． 故答案为： ． 24．已知圆 与圆 ，直线 交圆 于 ， 两点，交圆 于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中点，则 ． 【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为2， 圆 的圆心为 ，半径为2， 连接 ， ， ，则 ， ． ， 则四边形 为直角梯形， 过点 作 ，垂足为点 ，则四边形 为矩形，所以 ， ． 所以 ． 又 ， 所以 ． 故答案为： ． 25．若曲线 上恰有两个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围是 ， ． 【解答】解：由圆 ，可得圆 的圆心 ，半径为 ， 若曲线 上恰有两个点到直线 的距离为1， 当直线不过圆心时，则 到直线 的距离 满足： ， ， 解得 或 ， 当直线过圆心时：圆心为 ，半径为1， ，解得 ． 故答案为： ， ． 四．解答题（共3小题） 26．求圆 与圆 的公共弦的长．【解答】解：把 与圆 的方程相减可得公共弦的 方程， ， 圆圆 的圆心 到直线 的距离 ，圆的半径 ， 根据直线与圆相交的性质可得， ． 27．已知圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于 两点 ， 在 的上方），且 ． （1）求圆 的标准方程； （2）过点 任作一条直线与圆 相交于 ， 两点．求证： 为定值， 并求出这个定值． 【解答】解：（1）过 向 轴作垂线，垂足为 ，则 ， ， 圆 的半径为 ，故 ， 圆 的标准方程为： ． （2）证明：由（1）可知 ， ， 设 ，则 ，， ， 故 为定值 ． 28．已知圆 ，直线 ． （1）证明：直线 恒过定点，且直线 与圆 恒交于两点； （2）求直线被圆 截得的弦长最小时 的方程． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 证 明 ： 直 线 化 为 ， 则 ，解得 ， 所以直线 恒过定点 ， 圆心 ，半径 ， 又因 ， 所以点 在圆 内， 所以不论 取什么实数，直线 与圆恒交于两点； （2）当直线 所过的定点为弦的中点，即 时，直线 被圆截得的弦长最短， 最短弦长为 ， ，所以直线 的斜率为2， 即 ，解得 ， 所以直线 的方程为 ．