文档内容
专题 2.6 函数的图象【七大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:28)....................................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:20)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:28)....................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:28)......................................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:50)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:28)..................................................................................................................15
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:50)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:13)(cid:57)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:28)..................................................................................................17
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:50)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:61)(cid:13)(cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:28)..............................................................................................................20
1(cid:57)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:25)(cid:47)(cid:66)(cid:60) (cid:67)(cid:21)(cid:68)(cid:69) (cid:25)(cid:70)(cid:71)(cid:42)
2022(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:10)(cid:103)3(cid:21)(cid:77)5(cid:71)
(1)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:70)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:38)(cid:39)
2022(cid:99)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:102)(cid:10)(cid:103)5(cid:21)(cid:77)5
(cid:58)(cid:79)(cid:33)(cid:80)(cid:66)(cid:20)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:83)
(cid:71)
(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:34)(cid:35)(cid:84)(cid:57)(cid:87)(cid:88)(cid:84)(cid:57) (cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:98)(cid:21)(cid:108)(cid:66)(cid:109)(cid:25)(cid:110)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
2022(cid:99)(cid:104)(cid:105)(cid:107)(cid:102)(cid:10)(cid:103)8(cid:21)(cid:77)5
(cid:41)(cid:42)(cid:84)(cid:89)(cid:88)(cid:90)(cid:32)(cid:13) (cid:111)(cid:112)(cid:47)(cid:113)(cid:114)(cid:47)(cid:77)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:110)(cid:50)(cid:27)(cid:32)(cid:13)(cid:34)
(cid:71)
(2)(cid:78)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35) (cid:35)(cid:32)(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:57)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:59)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:109)(cid:20)(cid:40)
2024 (cid:99)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:102)(cid:85)(cid:17)(cid:13)(cid:89)(cid:10)
(3)(cid:78)(cid:94)(cid:27)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:48)(cid:49) (cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:21)(cid:33)(cid:123)(cid:43)(cid:31)(cid:124)(cid:77)(cid:125)(cid:126)(cid:58)(cid:127).
(cid:103)8(cid:21)(cid:77)5(cid:71)
(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:77)(cid:41)(cid:95)(cid:83)(cid:96)(cid:41)
2024 (cid:99)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:102)(cid:85)(cid:15)(cid:13)(cid:89)(cid:10)
(cid:33)(cid:56)(cid:13)(cid:97)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:41)(cid:33)(cid:98)(cid:21)
(cid:103)7(cid:21)(cid:77)5(cid:71)
(cid:22)(cid:128)(cid:36)(cid:47)1 (cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:30)(cid:84)(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
1(cid:129)(cid:30)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:118)(cid:119)(cid:83)(cid:84)
(1)(cid:130)(cid:47)(cid:84)(cid:30)(cid:34)(cid:10)(cid:82)(cid:32)(cid:13)(cid:41)(cid:42)(cid:43)((cid:120)(cid:131)(cid:123)(cid:132)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43))(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:33)(cid:136)(cid:137)(cid:32)(cid:13)(cid:138)(cid:77)(cid:139)(cid:116) (cid:38)(cid:39)(cid:140)(cid:141)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:142)(cid:143)(cid:130)
(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:3)(cid:144)(cid:47)(cid:145)(cid:146)(cid:30)(cid:31).
(2)(cid:34)(cid:35)(cid:131)(cid:147)(cid:84)(cid:10)(cid:148)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:149)(cid:150)(cid:56)(cid:136)(cid:137)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:57)(cid:155)(cid:156)(cid:57)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:77)(cid:116)(cid:50)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:131)(cid:147)(cid:30)
(cid:31)(cid:77)(cid:161)(cid:162)(cid:4)(cid:163)(cid:153)(cid:154)(cid:131)(cid:147)(cid:97)(cid:164)(cid:165)(cid:131)(cid:147)(cid:33)(cid:166)(cid:167)(cid:157)(cid:131)(cid:147)(cid:93)(cid:168)(cid:169)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:170)(cid:171).
2(cid:129)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)
(1)(cid:174)(cid:175)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:77)(cid:54)(cid:51)(cid:71)(cid:42)(cid:10)
(cid:176)(cid:177)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:77)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:168)(cid:184)(cid:185)(cid:177)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:77)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:186)(cid:187)(cid:168)(cid:184)(cid:185)
(cid:188)(cid:177)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:77)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:16)(cid:190)(cid:191)(cid:185)(cid:192)(cid:177)(cid:193)(cid:194)(cid:51)(cid:77)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:185)
(cid:199)(cid:177)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:77)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:158)(cid:51).
(2)(cid:50)(cid:27)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:57)(cid:202)(cid:63)(cid:47)(cid:180)(cid:181).
(3)(cid:174)(cid:175)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:142)(cid:143)(cid:77)(cid:54)(cid:203)(cid:69)(cid:204)(cid:10)(cid:177)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:142)(cid:143)(cid:47)(cid:77)(cid:50)(cid:27)(cid:142)(cid:143)(cid:47)(cid:57)(cid:142)(cid:205)(cid:63)(cid:33)(cid:69)(cid:204)(cid:71)(cid:42)(cid:41)(cid:95)(cid:98)(cid:21).
(cid:22)(cid:128)(cid:36)(cid:47)2 (cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:162)(cid:27)(cid:33)(cid:41)(cid:21)(cid:206)(cid:207)(cid:28)
1(cid:129)(cid:50)(cid:27)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)
(cid:157)(cid:208)(cid:209)(cid:128)(cid:120)(cid:210)(cid:91)(cid:31)(cid:211)(cid:72)(cid:212)(cid:54)(cid:213)(cid:214)(cid:186)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:211)(cid:51)(cid:52)((cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:57)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:57)(cid:193)(cid:194)(cid:51)(cid:57)(cid:215)(cid:63)((cid:63)(cid:179))(cid:57)(cid:55)(cid:47))
(cid:216)(cid:44)(cid:45)(cid:208)(cid:34)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:77)(cid:217)(cid:118)(cid:54)(cid:66)(cid:4)(cid:163)(cid:51)(cid:52)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:33)(cid:157)(cid:162)(cid:3)(cid:218).
2(cid:129)(cid:50)(cid:27)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:41)(cid:95)(cid:83)(cid:96)(cid:113)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:33)(cid:60)(cid:41)(cid:98)(cid:21)(cid:33)(cid:41)(cid:21)(cid:206)(cid:207)
(cid:50)(cid:27)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:41)(cid:95)(cid:83)(cid:96)(cid:113)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:33)(cid:60)(cid:41)(cid:98)(cid:21)(cid:77)(cid:86)(cid:180)(cid:181)(cid:83)(cid:96)(cid:133)(cid:219)(cid:220)(cid:41)(cid:77)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:56)(cid:41).(cid:13)(cid:123)(cid:223)(cid:224)(cid:133)(cid:216)(cid:27)
(cid:33)(cid:172)(cid:225)(cid:83)(cid:84).(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:33)(cid:60)(cid:41)(cid:116)(cid:226)(cid:16)(cid:111)(cid:227)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:186)(cid:187)(cid:3)(cid:218)(cid:98)(cid:21).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:28)
(cid:22)(cid:228)1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )=| +2|+| |(cid:129)
𝑓 𝑥 2𝑥 3𝑥−3
(1)(cid:91)(cid:31) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:185)
(2)(cid:60)(cid:58)𝑓(cid:59)𝑥(cid:43) ( )<6(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)𝑓(cid:38)𝑥 (cid:39)(cid:234)(cid:157)(cid:63)(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:235)(cid:234)(cid:157)(cid:63)(cid:77)(cid:236)(cid:132)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:41)(cid:234)(cid:157)(cid:63)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:237)(cid:116)(cid:185)
<
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:149)(cid:21)(cid:128)(cid:77) = 1(cid:77)
1−5𝑥,𝑥 >−11
𝑓(𝑥) 5−𝑥,−1≤𝑥≤ ①
(cid:30)(cid:31) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:129) 5𝑥−1,𝑥
𝑓(𝑥) ②<6 <6 <6
(cid:85)2(cid:89)(cid:149)(cid:21)(cid:128)(cid:77) (cid:120) (cid:120) (cid:77)
< 1 >1
1−5𝑥 5−𝑥 5𝑥−1
③
(cid:41)(cid:159) < < 7 (cid:77)𝑥 (cid:240)−(cid:58)1(cid:59)(cid:43)(cid:33)−(cid:41)1(cid:233)≤(cid:111)𝑥≤ 7 . 𝑥
5 5
(cid:22)(cid:131) − (cid:43) 1 1-1 𝑥 (cid:28)(cid:85)202 ∴ 4·(cid:241)(cid:242)(cid:242)(cid:243)·(cid:244)(cid:229)(cid:89)(cid:209)−(cid:128)1(cid:32), (cid:13) = +1|+ + (cid:85)(cid:211)(cid:76) [ ](cid:89)(cid:129)
𝑓(𝑥) |2𝑥 |𝑥 𝑚| 𝑚∈ −1,0
1
(1)(cid:72)(cid:212)(cid:54)(cid:33)(cid:153)(cid:245)(cid:145)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:76)(cid:91)(cid:31) = (cid:138)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:185)
2
(2)(cid:60)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) =3(cid:65) 𝑚 (cid:250)(cid:221) − (cid:251)(cid:123)(cid:33)(cid:245) 𝑓 (cid:252)𝑥(cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:77)(cid:161)(cid:253)(cid:31)(cid:245)(cid:252)(cid:215)(cid:127)(cid:138) (cid:33)(cid:63)(cid:129)
𝑓 𝑥 𝑦1 𝑚
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:254) = (cid:255)(cid:256)(cid:77)(cid:257)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:237)(cid:116).
2
𝑚 −
(cid:85)2(cid:89)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13) = (cid:97)(cid:145)(cid:249) =3(cid:65)(cid:250)(cid:221)(cid:251)(cid:123)(cid:77)(cid:161)(cid:60)(cid:31)(cid:245)(cid:252)(cid:88)(cid:258)(cid:43)(cid:77)(cid:257)(cid:60)(cid:31)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:237)(cid:159).
𝑦 𝑓(𝑥) 𝑦 1 1
2 2
1 1 3 1 1
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:82) = (cid:138)(cid:77) = +1|+ |= + < < (cid:77)
2 2 −3𝑥2− 2,𝑥≤− 2
1 1
+
𝑚 − 𝑓(𝑥) |2𝑥 |𝑥− 𝑥 ,−2 𝑥2
3𝑥 ,𝑥≥
(cid:72)(cid:247)(cid:248)(cid:153)(cid:245)(cid:259)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:86)(cid:34)(cid:10)
𝑓(𝑥)1
2
(cid:85)2(cid:89)(cid:260)(cid:21)(cid:163)(cid:77) = +1|+ + = + 1 < < (cid:77)(cid:211)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:10)
−3𝑥−1−𝑚2,𝑥≤−
+1+
𝑓(𝑥) |2𝑥 |𝑥 𝑚| 𝑥 1−𝑚,− 𝑥 −𝑚
3𝑥 𝑚,𝑥≥−𝑚
4
(cid:261) =3(cid:77)(cid:159)(cid:32)(cid:13) = (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) =3(cid:33)(cid:227)(cid:56)(cid:262)(cid:47) ,3)(cid:77)
3 3
+𝑚 2−𝑚
𝑦 𝑦 𝑓(𝑥) 𝑦 𝐴(− ,3),𝐷(
(cid:145)(cid:249) = + (cid:97)(cid:145)(cid:249) =3(cid:262)(cid:208)(cid:47) + (cid:77)
𝑦 1𝑥 11−𝑚 𝑦 𝐸(2 𝑚,131)
(cid:263)(cid:236) )= = (cid:77)(cid:237)(cid:47) , (cid:77)
2 2 22
𝑓(− −𝑚,𝑓(−𝑚) 1−2𝑚 𝐵(− −𝑚),𝐶(−𝑚,1−2𝑚)
(cid:32)(cid:13) = (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) =3(cid:65)(cid:250)(cid:221)(cid:251)(cid:123)(cid:111)(cid:264)(cid:251)(cid:123) (cid:77)(cid:211)(cid:245)(cid:252)(cid:111)(cid:10)
𝑦 𝑓(𝑥) 1𝑦 4+ 𝐴1𝐵𝐶𝐷 1
= = [(2+ [(2+
2 3 2 2 3
𝑚 2−𝑚
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐶𝐷𝐸 𝑚)−(− )][3−( −𝑚)]− 𝑚)− ][3−(1−2𝑚)]
=
(5 2 4(1 2
=
2 17(cid:77)
6 3 6
+2𝑚) +𝑚) −4𝑚 +4𝑚+
−
(cid:263)(cid:236)(cid:32)(cid:13) = 2 17(cid:72) (cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:82) =0(cid:138)(cid:77) = 17 (cid:77)
6 max 6
−4𝑚 +4𝑚+
𝑦 [−1,0] 𝑚 𝑦
17
(cid:239)(cid:109)(cid:32)(cid:13) = (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) =3(cid:65)(cid:250)(cid:221)(cid:251)(cid:123)(cid:33)(cid:245)(cid:252)(cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:111) (cid:77)(cid:267)(cid:138) =0.
6
𝑦 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑚
(cid:22)(cid:131)(cid:43)1-2(cid:28)(cid:85)23-24(cid:24)(cid:118)(cid:186)·(cid:186)(cid:268)·(cid:194)(cid:269)(cid:89)(cid:72)(cid:187)(cid:245)(cid:33)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:76)(cid:91)(cid:31)(cid:187)(cid:87)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:270)(cid:10)(1) =
−2
(2)𝑦=𝑥|2 |(cid:129)
𝑥
(cid:22)(cid:41)𝑦(cid:21)(cid:172)(cid:173)−2(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:85)2(cid:89)(cid:50)(cid:27)(cid:130)(cid:47)(cid:84)(cid:223)(cid:224)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:60)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)
1 2 3 4 5 6
𝑥
1 1 1 1 1
= 1
4 8 16 32 64
−2
𝑦 𝑥
1
(cid:149)(cid:208) = (cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111){ | 0 }(cid:77)(cid:271) = = (cid:111)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:239)(cid:109)(cid:30)(cid:34)(cid:86)(cid:187)(cid:77)
2
−2 −2
𝑦 𝑥 𝑥 𝑥≠ 𝑦 𝑥 𝑥
(cid:85)2(cid:89)(cid:272)(cid:30)(cid:31) =2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:236)(cid:132)(cid:273) (cid:274)(cid:187)(cid:83)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276) (cid:274)(cid:155)(cid:156)(cid:237)(cid:116)(cid:159) =|2 |(cid:77)
𝑥 𝑥
(cid:277)(cid:30)(cid:34)(cid:86)(cid:187) 𝑦 −2 𝑥 𝑥 𝑦 −2
(cid:22)(cid:131)(cid:43)1-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:264)(cid:278)(cid:279)(cid:280)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )=| +1| | |.
𝑓 𝑥 𝑥 −2 𝑥−1(1)(cid:281)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:161)(cid:60) ( ) 1(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:185)
(2) (0,+ 𝑓)(cid:77)𝑥 ( )> + (cid:77)𝑓 (cid:60)𝑥 ≥+ (cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:63).
∀𝑥∈ ∞ 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 <
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:71)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:60)(cid:159) ( )= 1(cid:77)(cid:237)(cid:116)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:123)(cid:185)
𝑥−3+,𝑥 >−11
𝑓 𝑥 3𝑥−1,−1≤𝑥≤
(cid:85)2(cid:89)(cid:149)(cid:85)1(cid:89)(cid:128) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97) (cid:274)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)(cid:247)−(cid:248)𝑥(cid:111)3,𝑥(cid:77)(cid:271)(cid:286)(cid:287)(cid:71)(cid:239)(cid:72)(cid:145)(cid:249)(cid:288)(cid:289)(cid:33)(cid:215)(cid:290)(cid:63)(cid:111) (cid:77)(cid:291) (cid:77)
(cid:77)(cid:237)(cid:116)(cid:60)𝑓(cid:41)𝑥. 𝑦 −1 −1 𝑏≤−1
𝑎≤−1 <
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:85)1(cid:89) ( )=| +1| | |(cid:77) ( )= 1.
𝑥−3+,𝑥 >−11
∵𝑓 𝑥 𝑥 −2 𝑥−1 ∴𝑓 𝑥 3𝑥−1,−1≤𝑥≤
(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:183)(cid:239)(cid:90)(cid:10) −𝑥 3,𝑥
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128) ( ) 1(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:111) 2 ,2 .
3
(cid:85)2(cid:89)(cid:149)(cid:85) 𝑓 1 𝑥(cid:89)(cid:128) ≥ (cid:77) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97) (cid:274)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)(cid:247)(cid:248)(cid:111) (cid:77)
(cid:271)(cid:286)(cid:287)(cid:71)(cid:239)(cid:72)(cid:145)(cid:249)(cid:288)𝑓 𝑥(cid:289)(cid:33)(cid:215)(cid:290)(cid:63)𝑦(cid:111) (cid:77) −1
(cid:277)(cid:82)(cid:271)(cid:292)(cid:82) (cid:77) (cid:138)(cid:77) (−)1> + (cid:293)(cid:250)(cid:294)(cid:77)
(cid:267)(cid:138) + (cid:220)𝑏(cid:215)≤(cid:127)−(cid:63)1 𝑎.≤−1 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏
(cid:237) +𝑎 (cid:33)𝑏(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:133)−2.
𝑎 𝑏 −2(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:228)2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:295)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:32)(cid:13) ( )= 3cos (cid:33)(cid:287)(cid:71)(cid:34)(cid:35)(cid:111)(cid:85) (cid:89)
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:180)(cid:181)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:177)(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:20)(cid:299)A(cid:57)D(cid:185)(cid:257)(cid:180)(cid:181)(cid:82)0< < (cid:138) ( )(cid:32)(cid:13)(cid:63)(cid:33)(cid:300)(cid:9)(cid:237)(cid:116)(cid:297)(cid:298)
2
π
𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
C.
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:301)(cid:111) ( )= 3cos (cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:239)(cid:109)(cid:297)(cid:298)A,D(cid:185)(cid:82)0< < (cid:138)(cid:77) ( )= 3cos >0(cid:77)(cid:239)(cid:109)(cid:297)(cid:298)C.
2
π
(cid:277)(cid:20)(cid:10)B. 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:131)(cid:43)2-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:243)(cid:302)(cid:224)(cid:303)·(cid:244)(cid:229)(cid:89)(cid:32)(cid:13) ( )= | 2 |(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:127)(cid:304)(cid:133)(cid:85) (cid:89)
𝑥 −4
𝑓 𝑥 𝑥
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:13)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:57)(cid:72)(2,+ )(cid:186)(cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:57)(cid:32)(cid:13)(cid:63) (1)(cid:33)(cid:305)(cid:306)(cid:70)(cid:307)(cid:260)(cid:308)(cid:180)(cid:181)(cid:113)(cid:297)(cid:298)ABC(cid:77)(cid:237)(cid:116)
(cid:159)(cid:41). ∞ 𝑓
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:21) ( )(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111)( ,0) (0,+ )(cid:3)(cid:208)(cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:77)(cid:271) ( )= |( )2 | = | 2 | = ( )(cid:77)
−𝑥 −4 𝑥 −4
(cid:277) ( )(cid:133)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:277) 𝑓 𝑥 A(cid:309)(cid:185) −∞ ∪ ∞ 𝑓 −𝑥 −𝑥 − 𝑥 −𝑓 𝑥
𝑓 𝑥(cid:82) >2(cid:138)(cid:77) ( )= | 2 | = 2 = 4 (cid:77)
𝑥 −4 𝑥 −4
𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥−𝑥
4
(cid:310) = (cid:133)(cid:266)(cid:32)(cid:13)(cid:77) = (cid:72)(2,+ )(cid:186)(cid:133)(cid:266)(cid:32)(cid:13)(cid:77)
𝑦 𝑥 𝑦 −𝑥 ∞
4
(cid:277) ( )= (cid:72)(2,+ )(cid:186)(cid:133)(cid:266)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:277)BC(cid:309)(cid:185)
(cid:277) 𝑓 (cid:20)𝑥(cid:10)D. 𝑥−𝑥 ∞
e e
(cid:22)(cid:131)(cid:43)2-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:311)(cid:312)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:32)(cid:13) ( )= (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:127)(cid:304)(cid:111)(cid:85) (cid:89)
|𝑥 −2|𝑥
−
𝑓 𝑥 1−𝑥
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:169)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:77)(cid:257)(cid:149)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:72)(0,1)(cid:259)(cid:32)(cid:13)(cid:63)(cid:33)(cid:305)(cid:306)(cid:180)(cid:181)(cid:237)(cid:116).
𝑓(𝑥) e e
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:260)(cid:21)(cid:163)(cid:77)(cid:32)(cid:13) = (cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111) R ±1}(cid:77)
𝑥 −2|𝑥
−
𝑓(𝑥) |1−𝑥 {𝑥∈ |𝑥≠
e e e e
= = = (cid:77)(cid:291) (cid:133)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:211)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208)(cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:77)B(cid:58)(cid:313)(cid:314)(cid:185)
−𝑥 𝑥2| 𝑥 −2|𝑥
− −
(cid:82)
𝑓(−𝑥)
(0,1
|1
)
−
(cid:138)
(−
(cid:77)
𝑥)
e e
−|1−
>
𝑥 −𝑓2(
|
𝑥
>
)
0(cid:77)
𝑓
(cid:291)
(𝑥)
>0(cid:77)AD(cid:58)(cid:313)(cid:314)(cid:77)C(cid:313)(cid:314).
𝑥 −𝑥
(cid:277)(cid:20)𝑥∈(cid:10)C. − 0,|1−𝑥 𝑓(𝑥)
(cid:22)(cid:131)(cid:43)2-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:264)(cid:278)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:32)(cid:13) ( )=( 3 )ln| |(cid:33)(cid:127)(cid:304)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:117)(cid:111)(cid:85) (cid:89)
𝑓 𝑥 𝑥 −2𝑥−1 𝑥
A(cid:129) B(cid:129)C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:223)(cid:224)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:169)(cid:142)(cid:205)(cid:63)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:63)(cid:33)(cid:300)(cid:9)(cid:180)(cid:181)(cid:237)(cid:116).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:301)(cid:111)(cid:32)(cid:13) ( )=( 3 )ln| |(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111){ | 0 }(cid:77)(cid:277)(cid:297)(cid:298)B(cid:299)(cid:57)D(cid:299)(cid:77)
(cid:310)(cid:301)(cid:111) 1 = 15 ln 1 > 𝑓 0(cid:77) 𝑥 (cid:277)(cid:297) 𝑥 (cid:298) − C 2𝑥 (cid:299) − . 1 𝑥 𝑥 𝑥≠
2 8 2
𝑓 −
(cid:277)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:20)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:28)
(cid:22)(cid:228)3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:315)(cid:316)·(cid:317)(cid:229)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:287)(cid:71)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:116)(cid:117)(cid:111)(cid:85) (cid:89)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
2 2 2 2
A(cid:129) ( )= B(cid:129) ( )=
| | | | 1
𝑥 𝑥
𝑓 𝑥 −𝑥−1 𝑓 𝑥 −𝑥+
2| |
C(cid:129) ( )= D(cid:129) ( )=
| | 2
2𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172) 𝑓 (cid:173)𝑥(cid:28)(cid:38) − (cid:39) 𝑥 (cid:32) −1 (cid:13)(cid:33)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:113)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:77)(cid:50)(cid:27)(cid:297) 𝑓 (cid:298)𝑥(cid:84)(cid:237) − (cid:116)𝑥(cid:159)−1(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:157)(cid:162)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:111)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:297)(cid:298)C(cid:185)
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:58)(cid:133)(cid:73)(cid:13)(cid:233).(cid:277)(cid:297)(cid:298)B(cid:185)
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:82) + (cid:138)(cid:77) (cid:77)
(cid:296)(cid:157)(cid:208)D(cid:20)(cid:299)𝑥(cid:77)→(cid:82) ∞ + 𝑦(cid:138)→(cid:77)−∞ (cid:77)(cid:277)(cid:297)(cid:298)D.
(cid:277)(cid:20)(cid:10)A. 𝑥→ ∞ 𝑦→0
(cid:22)(cid:131)(cid:43)3-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:100)(cid:101)·(cid:317)(cid:229)(cid:89)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:291) ( )(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:116)(cid:117)(cid:111)(cid:85) (cid:89)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥ln| | e e
A(cid:129) ( )= B(cid:129) ( )=
2 1 𝑥 2−𝑥
𝑥 −
𝑓 𝑥 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑥
2 ln| |
C(cid:129) ( )= D(cid:129) ( )=
𝑥 −1 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172) 𝑓 (cid:173)𝑥(cid:28)(cid:38)(cid:39)𝑥 (cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:180)(cid:181)A(cid:185)(cid:318)(cid:319) (1)(cid:33)(cid:63)(cid:180) 𝑓 (cid:181)𝑥 B(cid:185)(cid:38)𝑥(cid:39)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:57)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:180)(cid:181)C(cid:185)(cid:38)(cid:39)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:180)(cid:181)D.
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:128)(cid:77)(cid:320)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:3)𝑓(cid:208)(cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:77)(cid:239)(cid:109)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:271) (1)=0(cid:77)
ln| | ln| | 𝑓 𝑥 𝑓
(cid:157)(cid:208)A(cid:77) ( )= = = ( )(cid:77)(cid:111)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:277)A(cid:309)(cid:321)(cid:185)
( )2 1 2 1
−𝑥 𝑥
𝑓 −𝑥 −𝑥 + 𝑥 + 𝑓 𝑥
(cid:157)(cid:208)B(cid:77) (1)= e1 e =e 1 0(cid:77)(cid:277)B(cid:309)(cid:321)(cid:185)
12−1 e
−
𝑓 − ≠
(cid:157)(cid:208)C(cid:77) ( )= ( )2 = 2 (cid:77)(cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:82) >0(cid:138)(cid:77) ( )= 2 = 1 (cid:77)
−𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥 −1
𝑓 −𝑥 −𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥−𝑥
1 1
(cid:301)(cid:111) = (cid:77) = (cid:72)(0,+ )(cid:111)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:239)(cid:109) ( )= (cid:72)(0,+ )(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:277)C(cid:305)(cid:53)(cid:185)
𝑦 𝑥 𝑦 −𝑥 ∞ 𝑓 𝑥 𝑥−𝑥 ∞
ln ln
(cid:157)(cid:208)D(cid:77)(cid:82) >0(cid:138)(cid:77) ( )= (cid:77) ( )= (cid:77)(cid:239)(cid:109) (0,e)(cid:138)(cid:77) ( )>0(cid:77)
2
𝑥 1− 𝑥
′ ′
( )(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266) 𝑥 (cid:77)(cid:82) 𝑓 (e 𝑥 ,+ ) 𝑥(cid:138)(cid:77) 𝑓 𝑥 ( )< 𝑥 0(cid:77) ( )(cid:93) 𝑥 (cid:189) ∈ (cid:265)(cid:322)(cid:77)(cid:277)D 𝑓 (cid:309)𝑥(cid:321)(cid:77)
′
(cid:277)𝑓 𝑥(cid:20)(cid:10)C. 𝑥∈ ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:131)(cid:43)3-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:100)(cid:101)·(cid:317)(cid:229)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:287)(cid:71)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:291) ( )(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:116)(cid:117)(cid:111)(cid:85) (cid:89)(cid:129)
𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
e 1 e 2
A(cid:129) ( )= B(cid:129) ( )= C(cid:129) ( )= D(cid:129) ( )=
e𝑥 e𝑥 1 3 4 3 4
+ −1 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172) 𝑓 (cid:173)𝑥(cid:28)(cid:38)(cid:39)−1 (0)=0 𝑓 (cid:297)𝑥(cid:298)A(cid:77)+(cid:38)(cid:39)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:297) 𝑓 (cid:298)𝑥 B(cid:77)(cid:38)𝑥(cid:39)−1(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:297)(cid:298) 𝑓 C 𝑥(cid:77)(cid:323)(cid:296)𝑥(cid:116)−1(cid:159)(cid:238)(cid:324).
𝑓 e 1
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:157)(cid:208)A(cid:77) ( )= (cid:72) =0(cid:325)(cid:326)(cid:163)(cid:178)(cid:77)(cid:277)A(cid:309)(cid:321)(cid:185)
e𝑥
+
𝑥
𝑓 𝑥 −1 𝑥
e
(cid:157)(cid:208)B(cid:10) ( )= (cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111)R(cid:77)(cid:277)B(cid:309)(cid:321)(cid:185)
e𝑥 1
−1
𝑥
𝑓 𝑥 +2
(cid:157)(cid:208)C(cid:10) ( )= (cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111){ ±1}(cid:77)
3 4
𝑥
𝑓 𝑥( )2𝑥 −1 2 𝑥|𝑥≠
(cid:271) ( )= = = ( )(cid:77)(cid:291) ( )(cid:111)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:277)C(cid:309)(cid:321)(cid:185)
3 ( )4 3 4
−𝑥 𝑥
𝑓 −𝑥 −𝑥 −1 𝑥 −1 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:157)(cid:208)D(cid:77) ( )= (cid:313)(cid:314)(cid:34)(cid:76)(cid:66)(cid:60)(cid:77)(cid:277)D(cid:305)(cid:53).
3 4
𝑥
(cid:277)(cid:20)(cid:10)D. 𝑓 𝑥 𝑥 −1
(cid:22)(cid:131)(cid:43)3-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:330)·(cid:118)(cid:229)(cid:89)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34) (cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:291)(cid:86)(cid:34) (cid:239)(cid:90)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:239)(cid:157)(cid:162)(cid:33)
(cid:32)(cid:13)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:116)(cid:117)(cid:111)(cid:85) (cid:89) 𝑦 𝑓 𝑥 ① ②
A(cid:129) = 1 B(cid:129) = 1
2 2
C(cid:129) 𝑦 = 𝑓 ( 1− 𝑥 ) D(cid:129) 𝑦 = −𝑓 ( 1− 𝑥 )
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)𝑦(cid:173)(cid:28)𝑓 4−2𝑥 𝑦 −𝑓 4−2𝑥
(cid:38)(cid:39)(cid:212)(cid:54)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:149) =0(cid:331)(cid:15)(cid:297)(cid:298)CD(cid:185)(cid:149) (cid:76)(cid:32)(cid:13)(cid:82) >1(cid:138)(cid:77) >0(cid:71)(cid:42)(cid:180)(cid:181)(cid:159)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:34) (cid:128)(cid:77)𝑓(1) =0(cid:77)(cid:271)(cid:82) >1(cid:138)(cid:77)① >0(cid:77)(cid:149)𝑥 (cid:128)(cid:77)(cid:34)𝑓(cid:35)(𝑥(cid:152)) (cid:47)(0,0)(cid:77)(cid:271)(cid:82) <0(cid:138)(cid:77)
>0(cid:77) ① 𝑓(1) 𝑥 𝑓(𝑥) ② 𝑥
(cid:157)𝑦 (cid:208)C(cid:77)(cid:82) =0(cid:138)(cid:77) = >0(cid:77)C(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:185)
(cid:157)(cid:208)D(cid:77)(cid:82)𝑥=0(cid:138)(cid:77)𝑦=𝑓(4) <0(cid:77)D(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:185)
𝑥 𝑦 −𝑓(4) 1 1
(cid:157)(cid:208)A(cid:77)(cid:82) =0(cid:138)(cid:77) = =0(cid:77)(cid:296)(cid:82) <0(cid:138)(cid:77) >1(cid:77)(cid:291) >0(cid:77)A(cid:116)(cid:117)(cid:185)
2 2
𝑥 𝑦 𝑓(1) 𝑥 1− 𝑥 𝑓(1− 𝑥)
1 1
(cid:157)(cid:208)B(cid:77)(cid:82) =0(cid:138)(cid:77) = =0(cid:77)(cid:296)(cid:82) <0(cid:138)(cid:77) >1(cid:77)(cid:291) <0(cid:77)B(cid:58)(cid:116)(cid:117).
2 2
𝑥 𝑦 −𝑓(1) 𝑥 1− 𝑥 −𝑓(1− 𝑥)
(cid:277)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:28)
(cid:22)(cid:228)4(cid:28)(cid:85)2024·(cid:311)(cid:312)·(cid:317)(cid:229)(cid:89)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:46)(cid:47) (cid:72)(cid:251)(cid:332)(cid:111)1(cid:33)(cid:305)(cid:83)(cid:123) (cid:33)(cid:251)(cid:186)(cid:275) (cid:94)(cid:46)(cid:77) (cid:88)(cid:90)
(cid:46)(cid:47) (cid:149)A(cid:47)(cid:31)(cid:333)(cid:239)(cid:151)(cid:152)(cid:33)(cid:173)(cid:96)(cid:77) (cid:88)(cid:90) 𝑃 (cid:33)(cid:245)(cid:252)(cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) =𝐴𝐵(𝐶)𝐷(cid:33)(cid:127)(cid:304)(cid:34)(cid:270)𝐴(cid:133)→𝐵(cid:85)→ 𝐶 →(cid:89)𝐷(cid:129) 𝑥
𝑃 𝑦 △𝐴𝑃𝐷 𝑦 𝑓 𝑥A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:71) [0,1](cid:77) [1,2](cid:77) [2,3](cid:60)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:236)(cid:132)(cid:116)(cid:128)(cid:34)(cid:35).
𝑥∈ 𝑥∈ 𝑥∈
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:82) [0,1](cid:138)(cid:77) = (cid:77)(cid:133)(cid:118)(cid:334)(cid:152)(cid:240)(cid:47)(cid:33)(cid:249)(cid:335)(cid:185)
2
𝑥
𝑥∈ 𝑦
1
(cid:82) [1,2](cid:138)(cid:77) = (cid:77)(cid:133)(cid:118)(cid:335)(cid:153)(cid:336)(cid:208) (cid:274)(cid:33)(cid:249)(cid:335)(cid:185)
2
𝑥∈ 𝑦 𝑥
(cid:82) [2,3](cid:138)(cid:77) = (cid:77)(cid:34)(cid:35)(cid:111)(cid:118)(cid:334)(cid:249)(cid:335).
2
3−𝑥
𝑥∈ 𝑦
(cid:277)(cid:20)(cid:10)A(cid:129)
(cid:22)(cid:131)(cid:43)4-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:337)(cid:312)(cid:338)(cid:311)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:86)(cid:34)(cid:77)(cid:47) (cid:72)(cid:251)(cid:332)(cid:111)1(cid:33)(cid:305)(cid:83)(cid:123)(cid:251)(cid:186)(cid:94)(cid:46)(cid:77) (cid:133) (cid:33)(cid:76)(cid:47)(cid:77)(cid:82)(cid:47)
(cid:275) (cid:94)(cid:46)(cid:138)(cid:77)(cid:47) (cid:151)(cid:152)(cid:33)(cid:173)(cid:96) (cid:97) (cid:33)𝑃(cid:245)(cid:252) (cid:33)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:123)(cid:339)𝑀(cid:127)𝐶(cid:304)𝐷(cid:133)(cid:85) (cid:89) 𝑃
𝐴−𝐵−𝐶−𝑀 𝑃 𝑥 △𝐴𝑃𝑀 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥
A(cid:129) B(cid:129)C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:60)(cid:31)(cid:47) (cid:72)(cid:157)(cid:162)(cid:249)(cid:335)(cid:186)(cid:138)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:34)(cid:35)(cid:180)(cid:181)(cid:237)(cid:116)(cid:159).
𝑃 1
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:82)(cid:47) (cid:72) (cid:186)(cid:138)(cid:77) = × × = (cid:77)
2 2
𝑥
𝑃 𝐴𝐵 𝑦 𝐴𝑃 𝐵𝐶
1 1 1
(cid:82)(cid:47) (cid:72) (cid:186)(cid:138)(cid:77) = × × × × ×
2 2 2
𝑃 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐵 𝐵𝐶− 𝐴𝐵 𝐵𝑃− 𝐴𝐷 𝐷𝑀− 𝑀𝐶 𝐶𝑃
1 1 1 1 1 3
= ( ) × × ( )= (cid:77)
2 2 2 2 2 4 4
𝑥
1− 𝑥−1 − − 2−𝑥 −
(cid:82)(cid:47) (cid:72) (cid:186)(cid:138)(cid:77) = 1 × × = 1 5 = 5 1 (cid:77)
2 2 2 4 2
(cid:211)(cid:76) 𝑃 A(cid:20) 𝐶𝑀 (cid:299)(cid:300)(cid:224)(cid:66) 𝑦 (cid:60)(cid:77)B(cid:57) 𝐴 C 𝐷 (cid:57)D 𝑃𝑀 (cid:340)(cid:58)(cid:300)(cid:224)−(cid:66)𝑥(cid:60)(cid:77) − (cid:277) 𝑥 A(cid:305)(cid:53).
(cid:277)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:131)(cid:43)4-2(cid:28)(cid:85)2023·(cid:268)(cid:316)(cid:341)(cid:145)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:93)(cid:168)·(cid:244)(cid:229)(cid:89)(cid:290)(cid:345)(cid:72)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:33)(cid:346)(cid:347)(cid:85)(cid:211)(cid:76)(cid:182)(cid:57)(cid:183)(cid:227)(cid:251)(cid:71)(cid:37)(cid:133)(cid:227)(cid:56)(cid:348)(cid:349)(cid:89)
(cid:186)(cid:350)(cid:351)(cid:346)(cid:352)(cid:77)(cid:353)(cid:177)(cid:47) (cid:325)(cid:31)(cid:333)(cid:77)(cid:275)(cid:354)(cid:355)(cid:83)(cid:356)(cid:151)(cid:152)(cid:47) (cid:57) (cid:57) (cid:357)(cid:358)(cid:160)(cid:47) (cid:77)(cid:359)(cid:27)(cid:138)80(cid:360)(cid:77)(cid:353)(cid:33)(cid:79)(cid:361)(cid:290)(cid:362)(cid:72)(cid:363)(cid:54)
(cid:47) (cid:168)(cid:184)(cid:364)(cid:365)(cid:290)(cid:345)(cid:346)(cid:352)𝐴(cid:33)(cid:152)(cid:96)(cid:77)(cid:366)(cid:290)(cid:345)(cid:346)(cid:352)(cid:33)(cid:138)(cid:214)𝐵(cid:111) (cid:85)𝐶(cid:93)𝐷(cid:168)(cid:10)(cid:360)(cid:89)(cid:77)𝐴(cid:353)(cid:97)(cid:79)(cid:361)(cid:290)(cid:362)(cid:214)(cid:33)(cid:367)(cid:368)(cid:111) (cid:85)(cid:93)(cid:168)(cid:10)
(cid:369)(cid:89)𝑂 (cid:77)(cid:148) = ( )(cid:77)(cid:291) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:127)(cid:304)(cid:111)(cid:85) (cid:89) 𝑡 𝑦
𝑦 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:71)(cid:42)(cid:72)(cid:370)(cid:56)(cid:94)(cid:46)(cid:152)(cid:96)(cid:76)(cid:77)(cid:290)(cid:345)(cid:113)(cid:290)(cid:362)(cid:371)(cid:214)(cid:33)(cid:367)(cid:368)(cid:33)(cid:131)(cid:16)(cid:77)(cid:116)(cid:159)(cid:31)(cid:224)(cid:372)(cid:33)(cid:20)(cid:299).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:21)(cid:34)(cid:128)(cid:77)(cid:290)(cid:345)(cid:177)(cid:47) (cid:160)(cid:47) (cid:33)(cid:152)(cid:96)(cid:76)(cid:77) (cid:33)(cid:63)(cid:272)(cid:266)(cid:132)(cid:322)(cid:77)
(cid:177)(cid:47) (cid:160)(cid:47) (cid:33)(cid:152)(cid:96)(cid:76)(cid:77) (cid:33)(cid:63)(cid:272)(cid:322)(cid:132)𝐴(cid:266)(cid:77)𝐵 𝑦
𝐵 𝐶 𝑦(cid:177)(cid:47) (cid:160)(cid:47) (cid:33)(cid:152)(cid:96)(cid:76)(cid:77) (cid:33)(cid:63)(cid:272)(cid:266)(cid:132)(cid:322)(cid:77)(cid:177)(cid:47) (cid:160)(cid:47) (cid:33)(cid:152)(cid:96)(cid:76)(cid:77) (cid:33)(cid:63)(cid:272)(cid:322)(cid:132)(cid:266)(cid:77)
(cid:239)(cid:109)𝐶(cid:77)(cid:72)(cid:370)𝐷(cid:56)(cid:94)(cid:46)(cid:152)(cid:96)(cid:76)𝑦(cid:77)(cid:290)(cid:345)(cid:113)(cid:290)(cid:362)(cid:371)(cid:214)(cid:33)𝐷(cid:367)(cid:368)(cid:85)𝐴(cid:237) (cid:33)(cid:63)(cid:89)(cid:33)𝑦(cid:266)(cid:322)(cid:51)(cid:111)(cid:10)(cid:266)(cid:57)(cid:322)(cid:57)(cid:266)(cid:57)(cid:322)(cid:57)(cid:266)(cid:77)D(cid:20)(cid:299)
(cid:224)(cid:373)(cid:21)(cid:163)(cid:77) 𝑦
(cid:277)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:131)(cid:43)4-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:315)(cid:316)·(cid:118)(cid:229)(cid:89)(cid:34)(cid:76)(cid:33)(cid:374)(cid:170)(cid:287)(cid:71)(cid:149)(cid:375)(cid:111)1(cid:77)(cid:24)(cid:111)1(cid:33)(cid:59)(cid:376)(cid:244)(cid:246)(cid:123)(cid:169)(cid:24)(cid:111)2(cid:113)3(cid:33)(cid:227)(cid:377)(cid:123)(cid:239)
(cid:378)(cid:250)(cid:129)(cid:366)(cid:32)(cid:13)S(cid:379)S(a)(a≥0)(cid:133)(cid:34)(cid:76)(cid:374)(cid:170)(cid:287)(cid:71)(cid:380)(cid:208)(cid:153)(cid:336)(cid:249)y(cid:379)0(cid:169)y(cid:379)a(cid:371)(cid:214)(cid:33)(cid:381)(cid:118)(cid:287)(cid:71)(cid:33)(cid:245)(cid:252)(cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13)S(a)(cid:33)
(cid:34)(cid:35)(cid:127)(cid:304)(cid:111)((cid:382)(cid:382))
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:272)(cid:364)(cid:365)(cid:82) (cid:131)(cid:16)(cid:138)(cid:77)(cid:245)(cid:252)(cid:33)(cid:131)(cid:16)(cid:70)(cid:307)(cid:77)(cid:257)(cid:223)(cid:224)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:270)(cid:33)(cid:153)(cid:383)(cid:57)(cid:384)(cid:385)(cid:96)(cid:126)(cid:180)(cid:181)(cid:237)(cid:116)(cid:159)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:41)(cid:10)(cid:149)(cid:34)(cid:364)𝑎 (cid:365)(cid:77)(cid:82) [0,1](cid:138)(cid:77)(cid:386)(cid:276) (cid:33)(cid:266)(cid:127)(cid:77)(cid:245)(cid:252)(cid:387)(cid:388)(cid:387)(cid:127)(cid:77)(cid:217)(cid:131)(cid:16)(cid:387)(cid:388)(cid:387)(cid:383)(cid:389)(cid:77)(cid:237)(cid:32)(cid:13)(cid:34)
(cid:270)(cid:387)(cid:388)(cid:387)(cid:153)(cid:383)(cid:77)(cid:263)(cid:236)(cid:20)(cid:299)A,B(cid:58)𝑎(cid:313)∈(cid:314)(cid:21)(cid:163)(cid:77)(cid:82) 𝑎(1,2](cid:97) (2,3](cid:138)(cid:77)(cid:386)(cid:276) (cid:33)(cid:266)(cid:127)(cid:77)(cid:245)(cid:252)(cid:387)(cid:388)(cid:387)(cid:127)(cid:77)(cid:217)(cid:82)
(1,2](cid:138)(cid:390) (2,3](cid:138)(cid:77)(cid:245)(cid:252)(cid:266)(cid:391)(cid:33)(cid:66)(cid:392)(cid:141)(cid:77)𝑎(cid:237)∈(cid:82) (1,𝑎2]∈(cid:138)(cid:390) (2,3](cid:138)𝑎(cid:77)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:270)(cid:66)(cid:393)(cid:384)(cid:385)(cid:141)(cid:77)(cid:263)(cid:236)(cid:20)
𝑎(cid:299)∈D(cid:58)(cid:313)(cid:314)(cid:21)𝑎(cid:163)∈(cid:77)(cid:394)(cid:220)(cid:20)(cid:299)C(cid:300)(cid:224)(cid:21)(cid:163)(cid:77) 𝑎∈ 𝑎∈
(cid:277)(cid:20)(cid:10)C.(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:50)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:28)
3
(cid:22)(cid:228)5(cid:28)(cid:85)2024·(cid:264)(cid:278)(cid:316)(cid:395)·(cid:317)(cid:229)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )= (cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) = ( )+1(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:85) (cid:89)
A(cid:129)(cid:3)(cid:208)(cid:47)(1,1)(cid:157)(cid:158) 𝑓 𝑥 B(cid:129)(cid:3)𝑥 (cid:208)(cid:47)( 𝑦 )(cid:157) 𝑓 (cid:158)𝑥−1
C(cid:129)(cid:3)(cid:208)(cid:47)( )(cid:157)(cid:158) D(cid:129)(cid:3)(cid:208)(cid:47)(−1,10,)1(cid:157)(cid:158)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28) −1,0
3
(cid:396)(cid:272)(cid:180)(cid:181)(cid:32)(cid:13) ( )= (cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:257)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:13)(cid:153)(cid:154)(cid:397)(cid:291)(cid:180)(cid:181)(cid:237)(cid:116).
𝑓 𝑥 𝑥
3 3
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:32)(cid:13) ( )= (cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111){ 0}(cid:77)(cid:310) ( )= = ( )(cid:77)
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥|𝑥≠ 𝑓 −𝑥 −𝑥 −𝑓 𝑥
3
(cid:239)(cid:109) ( )= (cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208)(cid:240)(cid:47)(0,0)(cid:157)(cid:158)(cid:77)
𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
3
(cid:310) = ( )+1(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:133)(cid:149) ( )= (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:356)(cid:183)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:77)(cid:257)(cid:356)(cid:186)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:159)(cid:160)(cid:77)
(cid:239) 𝑦 (cid:109)(cid:32) 𝑓 (cid:13)𝑥−=1 ( )+1(cid:33)(cid:34) 𝑓 (cid:35)𝑥(cid:3)(cid:208)(cid:47)𝑥 (1,1)(cid:157)(cid:158).
(cid:277)(cid:20)(cid:10)A.𝑦 𝑓 𝑥−1
(cid:22)(cid:131)(cid:43)5-1(cid:28)(cid:85)23-24(cid:24)(cid:118)(cid:186)·(cid:398)(cid:399)(cid:400)(cid:330)·(cid:401)(cid:335)(cid:402)(cid:403)(cid:89)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:133)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:34)(cid:76)(cid:404)(cid:249)(cid:97)(cid:145)(cid:249)(cid:326)(cid:405)(cid:146)
(cid:406)(cid:217)(cid:133)(cid:407)(cid:58)(cid:408)(cid:262)(cid:77)(cid:291)(cid:109)(cid:187)(cid:130)(cid:409)(cid:305)(cid:53)(cid:33)(cid:133)(cid:85) (cid:89) 𝑦 𝑓 𝑥
A(cid:129)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111)[ )
B(cid:129)(cid:32)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:111)[0,5−]4,4
C(cid:129)(cid:267)(cid:32)𝑓(cid:13)𝑥(cid:72)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:76)(cid:58)(cid:93)(cid:189)
D(cid:129)(cid:157)(cid:208)(cid:410)(cid:163)(cid:33) [0,+ )(cid:77)(cid:340)(cid:220)(cid:411)(cid:118)(cid:33)(cid:412)(cid:131)(cid:203)x(cid:97)(cid:371)(cid:157)(cid:162)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:149)(cid:32)(cid:13)𝑦(cid:34)∈(cid:35)(cid:53)(cid:54)∞(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:113)(cid:63)(cid:179)(cid:77)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:180)(cid:181)(cid:286)(cid:299)(cid:33)(cid:305)(cid:321).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:34)(cid:128)(cid:10) ( )(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111) [1,4)(cid:77)(cid:63)(cid:179)(cid:111)[0,+ )(cid:77)A(cid:57)B(cid:309)(cid:185)
(cid:263)(cid:236) ( )(cid:72) (cid:71)𝑓 (cid:37)𝑥 (cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:217)(cid:72)[(cid:54)−(cid:178)4,0(cid:179)]∪(cid:186)(cid:58)(cid:93)(cid:189)(cid:77)C(cid:157)(cid:185) ∞
(cid:263)(cid:236)𝑓 𝑥 [−4,0],[1,4)(cid:77)(cid:157)(cid:162)(cid:412)(cid:131)(cid:203)x(cid:58)(cid:411)(cid:118)(cid:77)D(cid:309).
(cid:277)(cid:20)𝑓(cid:10)(−C.4)≤𝑦≤𝑓(0)
(cid:22)(cid:131)(cid:43)5-2(cid:28)(cid:85)23-24(cid:24)(cid:118)(cid:186)·(cid:337)(cid:242)(cid:413)(cid:330)·(cid:194)(cid:76)(cid:89)(cid:54)(cid:178)(cid:72)[ ](cid:186)(cid:33)(cid:201)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:72)[0,5](cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:187)(cid:34)(cid:77)(cid:187)(cid:87)(cid:414)
−5,5 𝑓 𝑥(cid:84)(cid:58)(cid:305)(cid:53)(cid:33)(cid:133)(cid:85) (cid:89)
A(cid:129) ( )(cid:292)(cid:220)(cid:118)(cid:56)(cid:93)(cid:189)(cid:322)(cid:213)(cid:214)
B(cid:129)𝑓(𝑥)(cid:220)(cid:227)(cid:56)(cid:93)(cid:189)(cid:322)(cid:213)(cid:214)
C(cid:129)𝑓(𝑥)(cid:72)(cid:211)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:259)(cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:133)5
D(cid:129)𝑓(𝑥)(cid:72)(cid:211)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:259)(cid:33)(cid:215)(cid:290)(cid:63)(cid:133)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)𝑓(cid:173)𝑥(cid:28)(cid:415)(cid:104)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:236)(cid:132)(cid:223)(cid:224)−(cid:34)5(cid:35)(cid:71)(cid:42)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:213)(cid:214)(cid:109)(cid:169)(cid:215)(cid:63)(cid:77)(cid:149)(cid:267)(cid:116)(cid:159)(cid:309)(cid:321)(cid:20)(cid:299).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:273) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:415)(cid:395)(cid:416)(cid:370)(cid:86)(cid:187)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:10)
𝑓 𝑥
(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:128) ( )(cid:72)( )(cid:77)(0, )(cid:77)(3,5)(cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:77)(cid:277)AB(cid:309)(cid:321)(cid:185)
0 0
(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:128)𝑓(𝑥)(cid:72)(cid:54)−(cid:178)3,−(cid:179)𝑥(cid:259)(cid:33)(cid:215)(cid:127)𝑥(cid:63)(cid:111)5(cid:77)(cid:215)(cid:290)(cid:63)(cid:417)(cid:128)(cid:77)(cid:277)C(cid:305)(cid:53)(cid:77)D(cid:309)(cid:321)(cid:185)
(cid:277)(cid:20)(cid:10)ABD𝑓. 𝑥
(cid:22)(cid:131)(cid:43)5-3(cid:28)(cid:85)23-24(cid:24)(cid:118)(cid:186)·(cid:315)(cid:418)(cid:419)(cid:420)·(cid:194)(cid:76)(cid:89)(cid:421)(cid:73)(cid:13) , , , (cid:76)(cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:13)(cid:111)max{ , , , }(cid:77)(cid:215)(cid:290)(cid:13)(cid:111)
1 2 1 2
min{ , , , }(cid:77)(cid:291)(cid:3)(cid:208)(cid:32)(cid:13) ( )=min{ +1, 2 𝑥+𝑥 ⋅⋅⋅ +𝑥𝑛 6}(cid:33)(cid:414)(cid:84)(cid:76)(cid:305)(cid:53)(cid:33)(cid:133)𝑥(cid:85)𝑥 ⋅(cid:89)⋅⋅ 𝑥𝑛
1 2
A 𝑥 (cid:129) 𝑥 (cid:83)(cid:96) ⋅⋅⋅ 𝑥 ( 𝑛 ) =0(cid:220)(cid:244)(cid:56) 𝑓 (cid:38) 𝑥 𝑥 B(cid:129) 𝑥 − ( 𝑥 )(cid:33) 1 (cid:93) ,− (cid:189) 𝑥 (cid:322)(cid:213)(cid:214)(cid:111) , 1 (cid:113) 5 ,+
2 2
𝑓 𝑥 −1 𝑓 𝑥 −∞ ∞
7 3
C(cid:129) ( )(cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:111) D(cid:129) ( )(cid:33)(cid:215)(cid:290)(cid:63)(cid:111)
2 4
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172) 𝑓 (cid:173)𝑥(cid:28)(cid:149)min{ , , , }(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:116)(cid:159) ( )(cid:34) 𝑓 (cid:35)𝑥(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:34)(cid:35)(cid:260)(cid:308)(cid:180)(cid:181)(cid:286)(cid:56)(cid:20)(cid:299)(cid:237)(cid:116).
1 2
𝑥 𝑥 ⋅⋅⋅ 𝑥𝑛 𝑓 𝑥(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)min{ +1, 2 + +6}(cid:33)(cid:422)(cid:178)(cid:116)(cid:159) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:187)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)
𝑥 𝑥 −𝑥 1,−𝑥 𝑓 𝑥
(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:128)(cid:10)
(cid:157)(cid:208)A(cid:77) ( )(cid:97) =1(cid:220)(cid:271)(cid:292)(cid:220)(cid:244)(cid:56)(cid:58)(cid:79)(cid:262)(cid:47)(cid:77)(cid:237) ( ) =0(cid:220)(cid:244)(cid:56)(cid:38)(cid:77)A(cid:305)(cid:53)(cid:185)
(cid:157)(cid:208)B(cid:77) 𝑓 ( 𝑥 )(cid:33)(cid:93) 𝑦 (cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:213)(cid:214)(cid:111) 0, 1 (cid:113) 5 ,+ (cid:77) 𝑓 B 𝑥 (cid:309) −1 (cid:321)(cid:185)
2 2
𝑓 𝑥 ∞
(cid:157)(cid:208)C(cid:77) ( ) = 5 = 7 (cid:77)C(cid:305)(cid:53)(cid:185)
max 2 2
𝑓 𝑥 𝑓
(cid:157)(cid:208)D(cid:77) ( )(cid:326)(cid:215)(cid:290)(cid:63)(cid:77)D(cid:309)(cid:321).
(cid:277)(cid:20)(cid:10)AC𝑓. 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:50)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:13)(cid:57)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:28)
(cid:22)(cid:228)6(cid:28)(cid:85)2023·(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111) ，4](cid:77)(cid:211)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:291) ( ) 0(cid:33)(cid:41)(cid:233)
(cid:111)(cid:85) (cid:89) 𝑓 𝑥 [−2 𝑥𝑓 𝑥 ≤
A(cid:129){ < } B(cid:129){ 0}
C(cid:129){𝑥|−2≤𝑥 3}−1 D(cid:129){𝑥|−1≤𝑥≤4}
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)𝑥(cid:173)|1(cid:28)≤(cid:38)𝑥(cid:39)≤(cid:34)(cid:35)(cid:71)(cid:335)(cid:180)(cid:181)(cid:237)(cid:116). 𝑥|0≤𝑥≤
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:82) < (cid:138)(cid:77) ( ) 0(cid:77)(cid:239)(cid:109) ( ) 0(cid:185)
(cid:82) 0(cid:138)(cid:77) ( ) 0(cid:77)−(cid:239)2(cid:109)≤𝑥 ( −)1 0(cid:185)𝑓 𝑥 ≥ 𝑥𝑓 𝑥 ≤
(cid:82)−01<≤𝑥≤4(cid:138)(cid:77) (𝑓)𝑥>≤0(cid:77)(cid:239)(cid:109) 𝑥(𝑓)𝑥>≥0(cid:185)
(cid:277) (𝑥)≤ 0(cid:33)(cid:41)𝑓(cid:233)𝑥(cid:111){ <𝑥𝑓 𝑥}(cid:77)
𝑥𝑓 𝑥 ≤ 𝑥|−2≤𝑥 −1(cid:277)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:131)(cid:43)6-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:423)(cid:316)(cid:424)(cid:425)·(cid:244)(cid:229)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:54)(cid:178)(cid:72)R(cid:186)(cid:33)(cid:200)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:72)[0,+ )(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:291)(cid:58)(cid:59)
(cid:43) 2 ( )> ( )(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:111)(cid:85) (cid:89) 𝑓 𝑥 ∞
𝑥 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥
A(cid:129)( 2,0) ( 2,2) B(cid:129)( ) (2,+ )
C(cid:129)(− )∪ 2，0) ( 2，2) D(cid:129)(−∞,−22)∪ (0, 2∞) (2,+ )
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)−(cid:173)∞(cid:28),−(cid:38)2(cid:39)∪(cid:200)(−(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:270)(cid:3)∪(cid:208)(cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:237)(cid:159)(cid:32)−(cid:13)2(cid:370),−(cid:426)(cid:34)(cid:270)∪ ,(cid:50)(cid:27)(cid:34)∪(cid:270)(cid:237)(cid:159)∞.
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:77)(cid:30)(cid:31) ( )(cid:72)( ,0)(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)
𝑓 𝑥 −∞
(cid:149) 2 ( )> ( )(cid:77)(cid:159)( 2 ) ( )>0(cid:77)
𝑥 𝑓 𝑥 2 2𝑓>𝑥0， 𝑥2−2 <𝑓 0𝑥,
(cid:59)(cid:427)(cid:208) (cid:120)
( )>0, ( )<0,
𝑥 −2 𝑥 −2
(cid:41)(cid:159) < 𝑓 (cid:77)𝑥 (cid:120) 2< <𝑓2𝑥(cid:77)(cid:120) 2< <0(cid:129)
(cid:277)(cid:58)𝑥(cid:59)(cid:43)−(cid:41)2(cid:233)(cid:111)(cid:10)( 𝑥 ) − 2，0𝑥) ( 2，2).
(cid:277)(cid:20): C. −∞,−2 ∪(− ∪
(cid:22)(cid:131)(cid:43)6-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:264)(cid:278)(cid:428)(cid:429)(cid:430)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:54)(cid:178)(cid:72) (cid:186)(cid:33)(cid:200)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:293)(cid:220) ( )= ( +1)(cid:77)(cid:82) [0,1)
(cid:138)(cid:77) ( )= 1 3+ 3 (cid:77)(cid:209)(cid:128) 1 1 (cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) ( ) 𝑅 = ( ) 𝑓1 (cid:72) 𝑥 ( 𝑓 )(cid:186) 𝑥− (cid:33) 1 (cid:55)(cid:47) 𝑓 (cid:56) 𝑥 (cid:13)(cid:111)(cid:85) (cid:89) 𝑥∈
4 4 5 10 2
A 𝑓 (cid:129)𝑥 4 − 𝑥 𝑥 𝑘∈ − ,− B(cid:129)5 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑘𝑥− −1,6
C(cid:129)3(cid:120)4 D(cid:129)4(cid:120)5
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:193)(cid:194)(cid:169)(cid:72) (cid:138)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:226)(cid:16)(cid:111)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:262)(cid:47)(cid:98)(cid:21)(cid:60)(cid:41)(cid:237)(cid:116).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149) ( )= ( +1)𝑥(cid:116)∈(cid:128)(−(cid:77)1,1) = +2)(cid:77)(cid:237)(cid:193)(cid:194)(cid:111) =2(cid:77)
𝑓 𝑥−1 𝑓 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 𝑇(cid:366) < 0(cid:77)(cid:291)0 <1(cid:77)(cid:239)(cid:109) = 1 ( )3+ 3 ( )= 1 3 3 (cid:77)
4 4 4 4
−1 𝑥≤ ≤−𝑥 𝑓(−𝑥) − −𝑥 −𝑥 𝑥 − 𝑥
(cid:310) ( )(cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:239)(cid:109) = = 1 3+ 3 (cid:77)
4 4
𝑓 𝑥 𝑓(𝑥) −𝑓(−𝑥) − 𝑥 𝑥
(cid:237)(cid:82) (cid:138)(cid:77) ( )= 1 3+ 3 (cid:77) = 3 2+ 3 = 3 ( 2)(cid:77)
4 4 4 4 4
′
𝑥 > ∈ 0 ( (cid:77) −1 (cid:239) ,1 (cid:109) ) (cid:32)(cid:13) 𝑓 𝑥 (cid:72) − 𝑥 (cid:186) 𝑥 (cid:93)(cid:189) 𝑓( (cid:265) 𝑥) (cid:266)(cid:77) − 𝑥 1−𝑥
′
𝑓 (cid:296) (𝑥) = + 1 (cid:152)(cid:54)(cid:47) 𝑓( 0 𝑥 , )1 (cid:77) (− (cid:288) 1 (cid:289) ,1) 1 1 (cid:77)
2 2 5 10
(cid:72) 𝑦 (cid:79)(cid:118) 𝑘 (cid:145) 𝑥 (cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:259) 𝑃 (cid:30)(cid:227)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35) 𝑘 (cid:77) ∈ (cid:86)−(cid:34)(cid:77),−
1
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:82) = + (cid:72) (cid:371)(cid:214)(cid:431) (cid:226)(cid:46)(cid:138)(cid:77) < < (cid:77)
2
𝑦 𝑘𝑥 𝑃𝐴,𝑃𝐵 𝑃 𝑘𝑃𝐴 𝑘 𝑘𝑃𝐵
1 1
(cid:211)(cid:76) = , = (cid:77)
5 10
𝑘𝑃𝐴 − 𝑘𝑃𝐵 −
(cid:82)(cid:145)(cid:249)(cid:58)(cid:152)(cid:47) (cid:138)(cid:77)(cid:220)4(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:77)(cid:82)(cid:152)(cid:47) (cid:138)(cid:220)5(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:77)
(cid:277)(cid:20)(cid:10)D. 𝐶(3,0) 𝐶(3,0)
1 3
+ 0,
(cid:22)(cid:131)(cid:43)6-3(cid:28)(cid:85)2023·(cid:112)(cid:432)(cid:433)(cid:434)(cid:435)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )= 2 2 (cid:77)(cid:291) ( )>|log |(cid:33)
3 3 2
,+
𝑥 2,𝑥∈ 2
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:41)(cid:233)(cid:133)(cid:85) (cid:89) 2−𝑓 𝑥− ,𝑥∈ ∞
A(cid:129) 1 ,1 B(cid:129)(1,2)
2
C(cid:129) 1 ,2 D(cid:129) 1 ,1 (1,2)
2 2
∪
1 3
+ 0,
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:13) ( )= 2 2 (cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:436)(cid:296)(cid:30)(cid:31) =|log |(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)
3 3 2
,+
𝑥 2,𝑥∈ 2
𝑓 𝑥 𝑦 𝑥
(cid:13)(cid:123)(cid:223)(cid:224)(cid:77)(cid:60)(cid:159)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:33)(cid:41)(cid:233).2−𝑓 𝑥− ,𝑥∈ ∞
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:21)(cid:163)(cid:82) 3 ,3 (cid:138), ( )= 3 + 1 )= (cid:77)
2 2 2
𝑥∈ 𝑓 𝑥 2−(𝑥− 3−𝑥
(cid:82) 3, 9 (cid:138), ( )= = = 5 ,
2 2
𝑥∈ 𝑓 𝑥 2−[2−𝑓(𝑥−3)] 𝑓(𝑥−3) 𝑥−
1 3
+ 0,
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13) ( )= 2 2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:77)
3 3
,+
𝑥 2,𝑥∈ 2
𝑓 𝑥
(cid:72)(cid:79)(cid:118)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:76)(cid:30)2(cid:31)−𝑓(cid:32)(cid:13)𝑥− =,𝑥|lo∈g |(cid:33)∞(cid:34)(cid:35)(cid:77)
2
𝑦 𝑥(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:159)(cid:58)(cid:59)(cid:43) ( )>|log |(cid:41)(cid:233)(cid:111) 1 ,2 (cid:77)
2
2
(cid:277)(cid:20)(cid:10)C. 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:50)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:61)(cid:13)(cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:228)7(cid:28)(cid:85)2024·(cid:423)(cid:418)(cid:420)(cid:437)(cid:438)·(cid:244)(cid:229)(cid:89)(cid:212)(cid:54)(cid:32)(cid:13) ( )=| 2+ | ( )= + (cid:77)(cid:27) ( )(cid:88)(cid:90) ( ) ( )(cid:76)(cid:33)(cid:439)(cid:127)(cid:440)(cid:77)
(cid:421) ( )=max{ ( ) ( )}(cid:129)(cid:148)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33) 𝑓 𝑥(cid:34)(cid:35)(cid:97)𝑥 =𝑥(cid:220) ,𝑔 3 𝑥(cid:56)(cid:58) 𝑥 (cid:79)(cid:33)𝑥 (cid:262)(cid:47) 𝑀 (cid:77)𝑥(cid:291)(cid:73)(cid:13) 𝑓 (cid:33)𝑥 (cid:62) ,𝑔 (cid:63)𝑥(cid:64)(cid:65)(cid:133)
𝑀
0,
𝑥1
(2,+
𝑓 𝑥
)
, 𝑔
(cid:129)
𝑥 𝑦 𝑀 𝑥 𝑦 𝑎 𝑎
4
∪ ∞
1
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:72)(cid:79)(cid:118)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:187)(cid:91)(cid:31) ( )=| 2+ | ( )= + (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:60)(cid:31)(cid:262)(cid:47)(cid:247)(cid:248)(cid:185)(cid:223)(cid:224)(cid:34)(cid:35)(cid:257)(cid:441)(cid:31)(cid:313)(cid:314)
(cid:334)(cid:442)(cid:33)(cid:145)(cid:249) = (cid:77)(cid:323)(cid:296)(cid:60)(cid:31) (cid:33)(cid:62)(cid:63) 𝑓 (cid:64)𝑥 (cid:65)(cid:237)𝑥(cid:116). 𝑥 ,𝑔 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)𝑦(cid:28) 𝑎 𝑎
2+ 或 0 1
(cid:149) ( )=| 2+ |= (cid:77) ( )= + (cid:77)
2 ( < <0)
𝑥 𝑥 𝑥≤−1 𝑥≥
(cid:301)(cid:111) 𝑓 𝑥 ( ) 𝑥=ma𝑥x{ ( ) ( )}(cid:77) 𝑔 𝑥 𝑥 𝑥
−𝑥 −𝑥 −1 𝑥
(cid:239)(cid:109)𝑀(cid:34)(cid:35)𝑥(cid:131)(cid:111)(cid:10) 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥(cid:211)(cid:76) | 2+ | = 1 ( 0)(cid:77)(cid:82)(cid:271)(cid:292)(cid:82) = 1 (cid:138)(cid:62)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:185)
max 4 2
𝑥 𝑥 −1≤𝑥≤ 𝑥 − ( )=| 2+ |
(cid:271)(cid:366)(cid:227)(cid:32)(cid:13)(cid:72)(cid:103)(cid:118)(cid:35)(cid:405)(cid:33)(cid:262)(cid:47)(cid:111) (cid:77)(cid:237)(cid:82) > >0(cid:77) 1 (cid:77)
( )= +
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
𝑃 𝑥 0,𝑦
(cid:41)(cid:159)(cid:10) (1,2)(cid:77) 𝑔 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:149)(cid:21)(cid:163)𝑃= (cid:97)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:220)3(cid:56)(cid:58)(cid:79)(cid:33)(cid:262)(cid:47)(cid:77)
𝑦 𝑎 𝑦 𝑀 𝑥1
(cid:149)(cid:13)(cid:123)(cid:223)(cid:224)(cid:210)(cid:128)(cid:10)0< < (cid:77)(cid:120) >2(cid:77)
4
𝑎 𝑎
(cid:277)(cid:238)(cid:324)(cid:111)(cid:10) 0, 1 (2,+ ).
4
∪ ∞ e + 0
(cid:22)(cid:131)(cid:43)7-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:241)(cid:242)(cid:242)(cid:243)·(cid:118)(cid:229)(cid:89) ( )= 1 (cid:77)(cid:148) = ( ( )+1) (cid:220)(cid:227)(cid:56)(cid:55)(cid:47)(cid:77)(cid:291) (cid:33)(cid:62)(cid:63)
𝑥 >0
1,𝑥≤
𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑓 𝑥 −𝑘 𝑘
(cid:64)(cid:65)(cid:133) 1 , 1 . 𝑥,𝑥
3 2
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:272)(cid:60)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:77)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:77)(cid:161)(cid:91)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:257)(cid:366) = ( )+1(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:198)(cid:224)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:13)(cid:60)(cid:73)
(cid:13) (cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:237)(cid:116). 𝑓 𝑥 𝑡 𝑓 𝑥
𝑘 1
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:210)(cid:128)(cid:32)(cid:13) =e (cid:72)R(cid:186)(cid:266)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:32)(cid:13) = (cid:72)(0,+ )(cid:186)(cid:322)(cid:32)(cid:13)(cid:77)
𝑥
𝑦 𝑦 𝑥 ∞
1
(cid:239)(cid:109)(cid:77)(cid:82) 0(cid:138)(cid:77)10(cid:138)(cid:77) >0(cid:77)
𝑥
(cid:208)(cid:133)(cid:32)(cid:13) 𝑥 ( ≤ )(cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:111)(0,+ ≤ )(cid:77) 𝑥 𝑥
(cid:310)(cid:32)(cid:13) (𝑓)(cid:33)𝑥 (cid:72)( ,0)(cid:186)(cid:93)(cid:189)∞(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:72)(0,+ )(cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:77)
(cid:32)(cid:13)(cid:34)𝑓(cid:35)𝑥(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)−(cid:10)∞ ∞
1
(cid:366) = ( )+1(cid:77)(cid:149) ( )>0(cid:116)(cid:128)(cid:77) >1(cid:77)(cid:291) ( )= .
𝑡 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑡 𝑓 𝑡 𝑡1
(cid:301)(cid:111) = ( ( )+1) (cid:220)(cid:227)(cid:56)(cid:55)(cid:47)(cid:77)(cid:239)(cid:109) ( ) =0(cid:77)(cid:237) = (cid:77)
𝑦 𝑓 𝑓 𝑥 −𝑘 𝑓 𝑡 −𝑘 𝑡 𝑘
1 1 1
(cid:208)(cid:133) = >1(cid:77)(cid:291)(cid:83)(cid:96) = ( )+1= (cid:77)(cid:237) ( )= (cid:220)(cid:227)(cid:56)(cid:55)(cid:47)(cid:77)
𝑡 𝑘 𝑡 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 𝑥 𝑘−1
1
(cid:239)(cid:109)(cid:77)(cid:149) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:443)(cid:83)(cid:96) ( )= (cid:220)(cid:227)(cid:56)(cid:55)(cid:47)(cid:77)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑘−1
1
>1
1 1
(cid:291)(cid:313)(cid:314) (cid:77)(cid:41)(cid:159) < .
1< 1 2 3 2
𝑘
≤𝑘
𝑘−1≤
(cid:444)(cid:186)(cid:239)(cid:409)(cid:77)(cid:73)(cid:13) (cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:133) 1 , 1 .
3 2
𝑘
(cid:277)(cid:238)(cid:324)(cid:111)(cid:10) 1 , 1 .
3 2
|log ( )| >1
(cid:22)(cid:131)(cid:43)7-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )= 2 (cid:77)(cid:148)(cid:3)(cid:208) (cid:33)(cid:83)(cid:96) = (cid:220)3(cid:56)
|3 | 1
𝑥𝑥−1 ,𝑥
(cid:58)(cid:408)(cid:59)(cid:33)(cid:73)(cid:13)(cid:38)(cid:77)(cid:291) (cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:133) 1 𝑓 2𝑥 (cid:129) −1 ,𝑥≤ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑚
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:50)(cid:27)(cid:71)(cid:335)𝑚(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:253)(cid:13)(cid:32)(cid:13)(cid:77)≤(cid:157)𝑚(cid:13)(cid:32)≤(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:177)(cid:296)(cid:53)(cid:54) (cid:33)(cid:62)
(cid:63)(cid:64)(cid:65). 𝑓 𝑥 𝑚
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149) (cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31) (cid:33)(cid:127)(cid:304)(cid:34)(cid:270)(cid:129)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:10)
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
(cid:83)(cid:96) = (cid:220)3(cid:56)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:13)(cid:38)(cid:59)(cid:427)(cid:208) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) = (cid:220)3(cid:56)(cid:58)(cid:79)(cid:33)(cid:7)(cid:359)(cid:47)(cid:77)(cid:291)1 2(cid:129)
(cid:277)(cid:238)𝑓(cid:324)(𝑥(cid:111))(cid:10)1𝑚 2. 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑚 ≤𝑚≤
≤𝑚≤ |log |,1< 3
(cid:22)(cid:131)(cid:43)7-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:100)(cid:101)(cid:445)(cid:446)·(cid:118)(cid:229)(cid:89)(cid:366)(cid:32)(cid:13) = 2 (cid:77)(cid:148) = (cid:220)(cid:264)(cid:56)(cid:73)(cid:13)(cid:38) (cid:77)
2 >3 1
(𝑥−1) 𝑥≤
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑥
(cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:271) < < < (cid:77)(cid:291) 1 ( + ) + 1 (cid:33)((cid:62)𝑥−(cid:63)4(cid:64)) (cid:65),𝑥(cid:133) 10 , 9 (cid:129)
2 3 4 1 2 3 4 4 3 4 1 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
1 1 1
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:30)(cid:31) = (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:35)(cid:53)(cid:264)(cid:56)(cid:38)(cid:214)(cid:33)(cid:3)(cid:218)(cid:77)(cid:177)(cid:296)(cid:159)(cid:160) ( + ) + =1+2 (cid:77)
4 3 4 1 2 1 1
𝑦 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥
3
(cid:271) < <2(cid:77)(cid:257)(cid:50)(cid:27)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:237)(cid:116)(cid:60)(cid:31)(cid:223)(cid:447).
2 1
𝑥
log < <2
|log |,1< 3 2
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:301)(cid:111) = 2 (cid:77)(cid:239)(cid:109) = log <3 (cid:77)(cid:211)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)
2 >3 2
− (𝑥−1 2 ),1>3𝑥
(𝑥−1) 𝑥≤
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) (𝑥−1),2≤𝑥
(𝑥−4) ,𝑥
(𝑥−4) ,𝑥 1 1
(cid:310) = (cid:220)(cid:264)(cid:56)(cid:73)(cid:13)(cid:38)(cid:77)(cid:149)(cid:34)(cid:128) log ( =log ( (cid:77)(cid:159)(cid:160) = + (cid:77)(cid:237) + =1(cid:77)(cid:271) +
2 1 2 2 1 2 1 2 3 4
1 2
𝑓(𝑥) 𝑎 − 𝑥 −1) 𝑥 −1) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥=8(cid:77)
3 3
(cid:149)|log |=1(cid:77)(cid:159)(cid:160) =3(cid:120) = (cid:77)(cid:239)(cid:109) < <2(cid:77)
2 2 2 1
1 (𝑥−1) 1 𝑥 1 𝑥 1 𝑥
(cid:239)(cid:109) ( + ) + =2 + =1+2 (cid:77)
4 3 4 1 2 1 2 1 1
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:261) =1+ 1 (cid:77) 3 < <2(cid:77)(cid:210)(cid:128) =1+ 1 (cid:72)(cid:213)(cid:214) 3 ,2 (cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:239)(cid:109) 10 , 9 (cid:77)
2 2 3 2
𝑦 2𝑥−𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥−𝑥
(cid:239)(cid:109) 1 ( + ) + 1 (cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:111) 10 , 9 (cid:77)
4 3 4 1 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:277)(cid:238)(cid:324)(cid:111)(cid:10) 10 , 9 .
3 2
(cid:118)(cid:57)(cid:93)(cid:20)(cid:21)
1(cid:129)(cid:85)2024·(cid:100)(cid:101)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:187)(cid:87)(cid:34)(cid:35)(cid:76)(cid:77)(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:250)(cid:111)(cid:32)(cid:13) ( )= 3+ (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:133)(cid:85) (cid:89)
𝑡
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:272)(cid:159)(cid:160)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208)(cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:77)(cid:283)(cid:284)(cid:61)(cid:13) (cid:77)(cid:257)(cid:50)(cid:27)(cid:448)(cid:13)(cid:283)(cid:284)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:113)
(cid:283)(cid:284)(cid:32)(cid:13)(cid:63)(cid:33)(cid:305)(cid:306)(cid:159)(cid:160)(cid:238)(cid:324)𝑓 𝑥. 𝑡
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:21)(cid:163)(cid:116)(cid:128)(cid:77) 0(cid:77)(cid:310) ( )=( )3+ = 3+ = ( )(cid:77)
𝑡 𝑡
(cid:239)(cid:109) ( )(cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208) 𝑥≠ (cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158) 𝑓 (cid:77)−𝑥 −𝑥 −𝑥 − 𝑥 𝑥 −𝑓 𝑥
(cid:82) =𝑓0𝑥(cid:138) ( )= 3(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:449)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:116)(cid:128)(cid:77)D(cid:20)(cid:299)(cid:300)(cid:224)(cid:185)
𝑡 𝑓 𝑥 𝑥(cid:82) >0(cid:138)(cid:77)(cid:148) > ( )= 3+ >0(cid:77) < ( )<0(cid:77)A(cid:20)(cid:299)(cid:300)(cid:224)(cid:185)
𝑡
𝑡 𝑥 0,𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 0,𝑓 𝑥
(cid:82) <0(cid:138)(cid:77) ( )=3 2 = 3 4 >0(cid:77)(cid:267)(cid:138) (cid:72)( ,0)(cid:113)(0,+ )(cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77) B(cid:20)(cid:299)(cid:300)(cid:224)(cid:185)
2 2
𝑡 𝑥 −𝑡
′
(cid:223)(cid:224) 𝑡 (cid:20)(cid:299)(cid:116)(cid:128) 𝑓 (cid:77)𝑥(cid:394)(cid:220) 𝑥 C. − (cid:20) 𝑥 (cid:299)(cid:58)(cid:116)𝑥 (cid:117). 𝑓(𝑥) −∞ ∞
(cid:277)(cid:20)(cid:10)C.
2(cid:129)(cid:85)2024·(cid:328)(cid:450)(cid:451)(cid:452)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:32)(cid:13) =cos (cid:97) =lg| |(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:262)(cid:47)(cid:56)(cid:13)(cid:133)(cid:85) (cid:89)
A(cid:129)2 B(cid:129)3 𝑦 𝑥C(cid:129)𝑦4 𝑥 D(cid:129)6
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:72)(cid:79)(cid:118)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:76)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:227)(cid:56)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:35)(cid:159)(cid:160)(cid:262)(cid:47)(cid:56)(cid:13).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:32)(cid:13) =cos (cid:97) =lg| |(cid:340)(cid:133)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:211)(cid:76)cos2 =cos4 =1(cid:77)lg4 >lg10=1>lg2 (cid:77)
(cid:72)(cid:79)(cid:118)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:76)(cid:77)(cid:30)𝑦 (cid:31)(cid:32)(cid:13)𝑥 𝑦=cos 𝑥(cid:97) =lg| |(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:86)(cid:187)π(cid:34)(cid:77) π π π
𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:227)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:262)(cid:47)(cid:56)(cid:13)(cid:111)6.
(cid:277)(cid:20)(cid:10)D.
2 0,
3(cid:129)(cid:85)2023·(cid:23)(cid:453)(cid:454)(cid:455)(cid:456)·(cid:244)(cid:229)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13)(cid:291)(cid:32)(cid:13) = 1 = (cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:127)(cid:304)(cid:133)
<0,
𝑥 ,𝑥≥
(cid:85) (cid:89) 𝑓(𝑥) 𝑥,𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(−𝑥) 𝑔(𝑥)
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:149) ( )= ( )(cid:116)(cid:128) ( )(cid:34)(cid:270)(cid:97) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:270)(cid:3)(cid:208) (cid:274)(cid:157)(cid:158)(cid:77)(cid:149) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:270)(cid:237)(cid:116)(cid:159)(cid:31)(cid:223)(cid:447).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:301)𝑔(cid:111)𝑥( )𝑓=−(𝑥 )(cid:77)(cid:239)𝑔(cid:109)𝑥 ( )(cid:34)𝑓(cid:270)𝑥(cid:97) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:270)𝑦(cid:3)(cid:208) (cid:274)(cid:157)(cid:158)(cid:77)𝑓 𝑥
(cid:149) ( )(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:30)(cid:31)𝑔 𝑥( )(cid:33)𝑓(cid:34)−(cid:270)𝑥 (cid:86)(cid:34) 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥(cid:177)(cid:296)(cid:116)(cid:159) ( )(cid:34)(cid:270)(cid:111)B(cid:20)(cid:299).
(cid:277)(cid:20)(cid:10)B.𝑔 𝑥
4(cid:129)(cid:85)2023·(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:72)(cid:213)(cid:214)[ ](cid:33)(cid:127)(cid:304)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:116)(cid:117)(cid:111)(cid:85) (cid:89)
𝑦 𝑓 𝑥 −3,3 𝑓 𝑥
sin cos
A(cid:129) ( )= B(cid:129) ( )=
2 1 2 1
2𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑥 +
cos
C(cid:129) ( )= D(cid:129) ( )=
2 2 1
3𝑥 4𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172) 𝑓 (cid:173)𝑥 (cid:28)(cid:108)𝑥 −(cid:66)1(cid:457)(cid:27)(cid:297)(cid:298)(cid:84)(cid:77)(cid:458)(cid:152)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:116)(cid:297)(cid:298) 𝑓 A 𝑥(cid:185)(cid:458)𝑥(cid:152)+(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:116)(cid:297)(cid:298)C(cid:185)(cid:458)(cid:152)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:116)(cid:297)(cid:298)B.
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:32)(cid:13)(cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:271)(cid:32)(cid:13)(cid:72)[ ](cid:186)(cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:127)(cid:208)1(cid:85)(cid:3)(cid:144)(cid:47)(cid:89).
(cid:157)(cid:208)(cid:20)(cid:299)A(cid:77)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111)R(cid:77) −3,3
sin( ) sin
( )= = = ( )(cid:111)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:297)(cid:298)A(cid:20)(cid:299)(cid:185)
( )2 1 2 1
−2𝑥 −𝑥 2𝑥 𝑥
(cid:157) 𝑓 −(cid:208)𝑥(cid:20)(cid:299)C − (cid:77) 𝑥 x + (cid:313)(cid:314) 𝑥 + ±1(cid:77) 𝑓 (cid:297)𝑥(cid:298)C(cid:20)(cid:299)(cid:185)
(cid:157)(cid:208)(cid:20)(cid:299)B(cid:77)D(cid:77)(cid:54)𝑥(cid:178)≠(cid:179)(cid:111)R(cid:77)
( )cos( ) cos
(cid:301)(cid:111) = (cid:77)(cid:239)(cid:109)B(cid:77)D(cid:20)(cid:299)(cid:340)(cid:133)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)
( )2 1 2 1
−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥
−𝑥 + −𝑥 +
cos cos
(cid:301)(cid:111)(cid:72)(cid:213)(cid:214)[0,3](cid:186)(cid:77) ( )= =cos 1(cid:85)(cid:459)(cid:90)(cid:10)(cid:59)(cid:9)(cid:58)(cid:79)(cid:138)(cid:250)(cid:294)(cid:89)(cid:77)(cid:277)(cid:297)(cid:298)B(cid:20)(cid:299)(cid:77)
2 1
2𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥
𝑓 𝑥2 𝑥 + ≤ 2𝑥 𝑥≤
( )= cos (cid:77) = 2 = 8 2 >8 2>1(cid:77)
4𝑥
2 1
𝑥 π
4
16
2 π1 2 1
π
6 6
π
(cid:277) 𝑓 𝑥 ( )(cid:33)𝑥(cid:215)+(cid:127)(cid:63) 𝑓 (cid:460)(cid:152)1(cid:77)+D(cid:20)π(cid:299)+(cid:300)(cid:224)(cid:21)π+(cid:163).
(cid:277)(cid:20)𝑓 𝑥(cid:10)D.
5(cid:129)(cid:85)2024·(cid:243)(cid:302)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:86)(cid:34)(cid:77)(cid:145)(cid:249) (cid:72)(cid:461)(cid:462)(cid:168)(cid:184)(cid:97)(cid:59)(cid:251) (cid:33)(cid:375)(cid:251)(cid:112)(cid:224)(cid:77)(cid:371)(cid:132) (cid:463)(cid:462)(cid:72)(cid:153)(cid:245)(cid:186)(cid:464)(cid:465)(cid:138)
(cid:466)(cid:83)(cid:356)(cid:431)(cid:47) (cid:350)(cid:351)(cid:226)(cid:46)(cid:85)(cid:226)(cid:46)(cid:246)(cid:126)(cid:58)(cid:460)(cid:152)𝑙60°(cid:89)(cid:77)(cid:467)(cid:468)(cid:152)(cid:33)(cid:244)△(cid:246)𝐴(cid:123)𝐵𝐶(cid:259)(cid:374)(cid:170)(cid:287)(cid:71)(cid:33)(cid:245)(cid:252) 𝑙(cid:133)(cid:138)(cid:214) (cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:129)(cid:140)(cid:56)
(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:127)𝐴 (cid:304)(cid:133)(cid:85) (cid:89) 𝑆 𝑡A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:62) (cid:33)(cid:76)(cid:47) (cid:77)(cid:469)(cid:146) (cid:77)(cid:366)(cid:59)(cid:251) (cid:33)(cid:251)(cid:332)(cid:111)2(cid:77)(cid:60)(cid:159) = 3+ 3 tan 30 )(cid:77)(cid:261) ( )=
2 2
∘
𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷 (𝛼− 𝑆 𝑥
3+ 3 tan 30 )(cid:77)(cid:211)(cid:76)0 60 (cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:448)(cid:13)(cid:77)(cid:237)(cid:116)(cid:60)(cid:41).
2 2
∘ ∘ ∘
(𝑥− ≤𝑥≤
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:77)(cid:62) (cid:33)(cid:76)(cid:47) (cid:77)(cid:469)(cid:146) (cid:77)(cid:301)(cid:111) (cid:111)(cid:59)(cid:251)(cid:244)(cid:246)(cid:123)(cid:77)(cid:116)(cid:159) =30 (cid:77)
∘
(cid:366)(cid:59)(cid:251) (cid:33)(cid:251)(cid:332)(cid:111)2(cid:77)(cid:271)𝐵𝐶 =𝐸(cid:77)(cid:211)(cid:76)𝐴0𝐸 6△0𝐴(cid:77)𝐵𝐶 ∠𝐸𝐴𝐵
∘ ∘
(cid:116)(cid:159)| △|=𝐴𝐵|𝐶 ||tan(30 |∠=𝐷𝐴3𝐵|tan𝛼(30 |(cid:77)≤𝛼≤
∘ ∘
(cid:310)(cid:149) 𝐷𝐸 (cid:33) 𝐴𝐸 (cid:245)(cid:252)(cid:111) −𝛼) = 3(cid:77)(cid:116)(cid:159) −𝛼) = 3(cid:77)
2
△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐸
1 3
(cid:271) = × 3× 3|tan(30 |= |tan(30 |(cid:77)
2 2
∘ ∘
𝑆△𝐴𝐷𝐸
−𝛼) −𝛼)
(cid:291) (cid:33)(cid:245)(cid:252)(cid:111) = = 3 3 tan(30 = 3+ 3 tan 30 )(cid:77)
2 2 2 2
∘ ∘
△𝐴𝐵𝐷 𝑆 𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐴𝐷𝐸 − −𝛼) (𝛼−
(cid:261) ( )= 3+ 3 tan 30 )(cid:77)(cid:211)(cid:76)0 60 (cid:77)
2 2
∘ ∘ ∘
𝑆 𝑥 3 (𝑥 1 − ≤𝑥≤
(cid:116)(cid:159) ( )= × >0(cid:77)(cid:239)(cid:109) ( )(cid:111)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:32)(cid:13)(cid:77)
2 cos2 30)
′ ∘
(cid:310)(cid:149) 𝑆 (cid:470)(cid:471)𝑥 (cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52) (𝑥− (cid:159)(cid:77)(cid:82) =30 (cid:138) 𝑆 (cid:77)𝑥(cid:32)(cid:13) ( )(cid:62)(cid:159)(cid:215)(cid:290)(cid:63)(cid:77)
∘
(cid:239)(cid:109)(cid:374)(cid:170)(cid:287)(cid:71)(cid:33)(cid:245)(cid:252)(cid:118)(cid:145)(cid:72)𝑥(cid:266)(cid:391)(cid:77)(cid:217)(cid:133)(cid:266)(cid:391)(cid:351)𝑆 (cid:126)𝑥 (cid:272)(cid:392)(cid:132)(cid:389)(cid:257)(cid:392)(cid:77)
(cid:223)(cid:224)(cid:20)(cid:299)(cid:77)(cid:116)(cid:159)(cid:20)(cid:299)C(cid:300)(cid:224)(cid:21)(cid:163).
(cid:277)(cid:20)(cid:10)C.6(cid:129)(cid:85)2024·(cid:259)(cid:472)(cid:473)(cid:474)(cid:475)·(cid:118)(cid:229)(cid:89)(cid:72)(cid:187)(cid:87)(cid:264)(cid:56)(cid:34)(cid:123)(cid:76)(cid:77)(cid:47)P(cid:177)(cid:47)O(cid:31)(cid:333)(cid:77)(cid:464)(cid:465)(cid:138)(cid:466)(cid:83)(cid:356)(cid:275)(cid:193)(cid:332)(cid:111)l(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:94)(cid:46)
(cid:118)(cid:193)(cid:77)O(cid:57)P(cid:227)(cid:47)(cid:469)(cid:249)(cid:33)(cid:367)(cid:368)y(cid:97)(cid:47)P(cid:476)(cid:152)(cid:33)(cid:173)(cid:96)x(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:3)(cid:218)(cid:86)(cid:34)(cid:77)(cid:381)(cid:477)(cid:47)P(cid:239)(cid:476)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:133)(cid:85) (cid:89)
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)
(cid:149)(cid:47) (cid:72)(cid:103)(cid:317)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:94)(cid:46)(cid:138)(cid:77) (cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:116)(cid:297)(cid:298)A(cid:77)(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:158)(cid:51)(cid:116)(cid:297)(cid:298) (cid:77)(cid:149)(cid:118)(cid:463)(cid:462) (cid:97) (cid:133)(cid:249)(cid:51)(cid:33)(cid:116)(cid:297)(cid:298)
C(cid:77)(cid:157)𝑃(cid:208)D(cid:77)(cid:82)(cid:34)(cid:123)(cid:133)(cid:305)(cid:83)(cid:123)𝑦(cid:138)(cid:77)(cid:116)(cid:109)(cid:318)(cid:319)(cid:467)(cid:313)(cid:314)(cid:21)(cid:163). 𝐵 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:157)(cid:208)A(cid:77)(cid:47) (cid:72)(cid:103)(cid:118)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:138)(cid:77) = (cid:77)
(cid:217)(cid:47) (cid:72)(cid:103)(cid:317)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:94)(cid:46)(cid:138)𝑃(cid:77) (cid:133)(cid:386) (cid:33)(cid:266)(cid:127)(cid:272)𝑦(cid:322)(cid:290)𝑥(cid:85)(cid:322)(cid:160)(cid:215)(cid:290)(cid:138) (cid:237)(cid:111)(cid:244)(cid:246)(cid:123)(cid:33)(cid:103)(cid:317)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:33)(cid:24)(cid:33)(cid:332)(cid:126)(cid:89)(cid:77)
(cid:236)(cid:132)𝑃(cid:257)(cid:266)(cid:127)(cid:77) 𝑦 𝑥 𝑦
(cid:157)(cid:390)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:128)(cid:77)A(cid:309)(cid:321)(cid:185)
(cid:157)(cid:208)B(cid:77)y(cid:97)x(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:123)(cid:118)(cid:54)(cid:58)(cid:133)(cid:157)(cid:158)(cid:33)(cid:77)B(cid:309)(cid:321)(cid:185)
(cid:157)(cid:208)C(cid:77)(cid:118)(cid:463)(cid:462) (cid:97) (cid:33)(cid:3)(cid:218)(cid:58)(cid:133)(cid:249)(cid:51)(cid:33)(cid:77)C(cid:309)(cid:321)(cid:185)
(cid:157)(cid:208)D(cid:77)(cid:301)(cid:111)(cid:32)𝑦(cid:13)(cid:34)𝑥(cid:35)(cid:157)(cid:158)(cid:77)(cid:239)(cid:109)D(cid:20)(cid:299)(cid:162)(cid:111)(cid:305)(cid:83)(cid:123)(cid:77)(cid:58)(cid:478)(cid:366)(cid:251)(cid:332)(cid:111) (cid:77)
(cid:47) (cid:72)(cid:103)(cid:118)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:138)(cid:85)(cid:237)0 (cid:138)(cid:89)(cid:77) = (cid:77) 𝑎
𝑃 ≤𝑥≤𝑎 𝑦 𝑥
(cid:47) (cid:72)(cid:103)(cid:317)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:94)(cid:46)(cid:138)(cid:85)(cid:237) (cid:138)(cid:89)(cid:77) = 2+( )2(cid:77)(cid:260)(cid:236)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77)
𝑃 𝑎≤𝑥≤2𝑎 𝑦 𝑎 𝑥−𝑎(cid:47) (cid:72)(cid:103)(cid:244)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:94)(cid:46)(cid:138)(cid:85)(cid:237) (cid:138)(cid:89)(cid:77) = 2+( )2(cid:77)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:77)
𝑃 2𝑎≤𝑥≤3𝑎 𝑦 𝑎 3𝑎−𝑥
(cid:47) (cid:72)(cid:103)(cid:264)(cid:334)(cid:251)(cid:186)(cid:94)(cid:46)(cid:138)(cid:85)(cid:237) (cid:138)(cid:89)(cid:77) = (cid:77)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:77)
𝑃 3𝑎≤𝑥≤4𝑎 𝑦 4𝑎−𝑥
(cid:271)(cid:209)(cid:128) (cid:97) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208) = = (cid:85)(cid:211)(cid:76) = (cid:89)(cid:157)(cid:158)(cid:77)D(cid:305)(cid:53).
2
𝑙
𝑦 𝑥 𝑥 2𝑎 𝑙 4𝑎
(cid:277)(cid:20)(cid:10)D.
<1
7(cid:129)(cid:85)2024·(cid:112)(cid:432)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:133)(cid:54)(cid:178)(cid:72)R(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:111)4(cid:33)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:271) ( )= (cid:77)(cid:291)
+2,1 2
𝑥,0≤𝑥
(cid:58)(cid:59)(cid:43) <0(cid:72) (cid:186)(cid:33)(cid:41)(cid:233) 𝑓 (cid:111)𝑥(cid:85) (cid:89) 𝑓 𝑥 −𝑥 ≤𝑥≤
A(cid:129)𝑥𝑓(𝑥−1) (−2,2) B(cid:129) (0,1)
C(cid:129)(−2,−1) (0,1) D(cid:129)(−2,−1)∪(1,2)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(−(cid:173)1,(cid:28)0)(cid:149)∪(cid:32)(cid:13) = (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:356)(cid:183)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)((cid:93)−(cid:168)1,0(cid:332))∪(cid:126)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13) = (cid:72) (cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:223)(cid:224)
(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:237)(cid:116)(cid:60)(cid:41). 𝑦 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑓(𝑥−1) [−2,2]
<1
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:301)(cid:111)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:133)(cid:54)(cid:178)(cid:72)R(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:111)4(cid:33)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:271) ( )= (cid:77)
+2,1 2
𝑥,0≤𝑥
(cid:239)(cid:109)(cid:82) (cid:138)(cid:77) 𝑓 𝑥= (cid:185) 𝑓 𝑥 −𝑥 ≤𝑥≤
(cid:82) 𝑥∈(−1(cid:138),0](cid:77) 𝑓(𝑥[1),2](cid:77)𝑥 (cid:239)(cid:109) = = +2)= (cid:185)
(cid:82)𝑥∈[−2,−1](cid:138)(cid:77)−𝑥+∈4 [1,2](cid:77)(cid:239)(cid:109)𝑓(𝑥) −=𝑓(−𝑥+)4)−=(𝑥 +4)−+𝑥2−=2 (cid:77)
(cid:32)𝑥(cid:13)∈[=−3,−2] (cid:33)(cid:34)𝑥 (cid:35)(cid:116)∈(cid:149)(cid:32)(cid:13) = 𝑓(𝑥(cid:33))(cid:34)𝑓(cid:35)(𝑥(cid:356)(cid:183)(cid:153)(cid:154)−1(𝑥(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:332)(cid:126)(cid:159)−(cid:160)𝑥−(cid:77)2
(cid:30)(cid:31)𝑦(cid:32)(cid:13)𝑓(𝑥=−1) (cid:72) (cid:186)(cid:33)𝑦(cid:34)𝑓(cid:35)(𝑥(cid:77))(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:129)
𝑦 𝑓(𝑥−1) [−2,2]
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:58)(cid:59)(cid:43) <0(cid:72) (cid:186)(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:111) (0,1)(cid:129)
(cid:277)(cid:20)(cid:10)B(cid:129) 𝑥𝑓(𝑥−1) (−2,2) (−2,−1)∪
8(cid:129)(cid:85)2024·(cid:264)(cid:278)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208)(cid:145)(cid:249) =2(cid:157)(cid:158)(cid:77)(cid:157)(cid:410)(cid:163)(cid:33) (cid:77)(cid:340)(cid:220) ( +3)=
( )(cid:250)(cid:294)(cid:77)(cid:271)(cid:82) [ ](cid:138)(cid:77) ( )𝑦= 𝑓(cid:77)𝑥−(cid:148)2(cid:72)(cid:213)(cid:214)( )(cid:259)(cid:83)𝑥 (cid:96) ( ) log ( +2)𝑥=∈0𝑅(cid:220)5(cid:56)(cid:58)𝑓(cid:79)𝑥(cid:33)(cid:73) 𝑓
(cid:13)𝑥−(cid:38)1(cid:77)(cid:291)(cid:73)(cid:13) (cid:33)(cid:62)𝑥∈(cid:63)(cid:64)−2(cid:65),0(cid:111)(cid:85) 𝑓 (cid:89)𝑥 −𝑥 −2,10 𝑓 𝑥 − 𝑎 𝑥
A(cid:129)(2,2 2𝑎) B(cid:129)(2,2 2] C(cid:129)(2 2,2 3) D(cid:129)(2 2,2 3]
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:149)(cid:21)(cid:163)(cid:116)(cid:128)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208) (cid:274)(cid:157)(cid:158)(cid:271)(cid:193)(cid:194)(cid:111)4(cid:77)(cid:149)(cid:267)(cid:116)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:72)(cid:213)(cid:214)( )
(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:148)(cid:72)(cid:213)(cid:214)( )(cid:259)𝑦(cid:83)(cid:96)𝑓 𝑥( ) log ( +𝑦2)=0(cid:220)5(cid:56)(cid:58)(cid:79)(cid:33)(cid:73)(cid:13)(cid:38)(cid:77)(cid:237)(cid:32)(cid:13)𝑓=𝑥 ( )(cid:97) =−2lo,1g0
−2,10 𝑓 𝑥 − 𝑎 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑎( +2)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:220)5(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:77)(cid:13)(cid:123)(cid:223)(cid:224)(cid:87)(cid:31)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:479)(cid:60)(cid:41)(cid:237)(cid:116).
(cid:22)𝑥(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:301)(cid:111)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208)(cid:145)(cid:249) =2(cid:157)(cid:158)(cid:77)
(cid:239)(cid:109)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)𝑦(cid:3)(cid:208)𝑓 𝑥(cid:274)−2(cid:157)(cid:158)(cid:77) 𝑥
(cid:301)(cid:111)(cid:157)(cid:410)𝑦(cid:163)(cid:33)𝑓 𝑥 (cid:77)(cid:340)(cid:220) ( 𝑦+3)= ( )(cid:250)(cid:294)(cid:77)
(cid:239)(cid:109) ( +4)=𝑥∈[𝑅( +1)+𝑓3𝑥]= [( 𝑓+𝑥1−) 1 ]= ( )(cid:77)
(cid:239)(cid:109)𝑓(cid:32)𝑥(cid:13) ( )(cid:33)𝑓(cid:193)(cid:194)𝑥(cid:111)4(cid:77) 𝑓 𝑥 −1 𝑓 𝑥
(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:72)(cid:213)(cid:214)( )(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:10)
𝑓 𝑥 −2,10
(cid:148)(cid:72)(cid:213)(cid:214)( )(cid:259)(cid:83)(cid:96) ( ) log ( +2)=0(cid:220)5(cid:56)(cid:58)(cid:79)(cid:33)(cid:73)(cid:13)(cid:38)(cid:77)
(cid:237)(cid:32)(cid:13) =−2(,1)0(cid:97) =log𝑓(𝑥 +−2)(cid:33)𝑎 (cid:34)𝑥 (cid:35)(cid:220)5(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:77)
𝑦 𝑓 𝑥 lo𝑦g (6+𝑎2)𝑥<2
(cid:263)(cid:236) >1(cid:77)(cid:291) (cid:77)(cid:41)(cid:159)2 2< 2 3(cid:77)
log (10+2) 2
𝑎
(cid:237)(cid:73)(cid:13) 𝑎 (cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)𝑎(cid:111)(2 2,2≥3]. 𝑎≤
(cid:277)(cid:20)(cid:10)𝑎D(cid:129)
(cid:317)(cid:57)(cid:221)(cid:20)(cid:21)
9(cid:129)(cid:85)2024·(cid:243)(cid:302)(cid:224)(cid:303)·(cid:118)(cid:229)(cid:89)(cid:32)(cid:13) ( )= 3 ( R)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:117)(cid:133)(cid:85) (cid:89)
𝑚
𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑚∈
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:50)(cid:27)(cid:71)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:169)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:97)(cid:448)(cid:13)(cid:33)(cid:3)(cid:218)(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:237)(cid:116)(cid:60)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:149)(cid:21)(cid:163)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111)( ,0) (0,+ )(cid:77)
𝑓 𝑥 −∞ ∪ ∞
(cid:82) >0(cid:138)(cid:77) ( )=3 2+ >0(cid:77)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:72)( ,0),(0,+ )(cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:277)B(cid:305)(cid:53)(cid:185)
2
𝑚
′
(cid:82) 𝑚 =0(cid:138)(cid:77) 𝑓 ( 𝑥 )= 3𝑥 (cid:77) ( 𝑥 )=3 2>0 𝑓 (cid:77)𝑥(cid:239)(cid:109)(cid:72)−∞ ( ,0),(0, ∞ + )(cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:277)D(cid:305)(cid:53)(cid:185)
′
(cid:82) 𝑚 <0(cid:138)(cid:77) 𝑓 (cid:82) 𝑥 >0 𝑥 (cid:138)(cid:77) 𝑓 ( 𝑥 )= 3 𝑥 >0(cid:185)(cid:82) < − 0(cid:138) ∞ (cid:77) ( )= ∞3 <0(cid:185)
𝑚 𝑚
(cid:277) 𝑚 A(cid:305)(cid:53)(cid:185)C(cid:309) 𝑥 (cid:321). 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:277)(cid:20)(cid:10)ABD.
10(cid:129)(cid:85)2024·(cid:243)(cid:302)(cid:224)(cid:303)·(cid:118)(cid:229)(cid:89)(cid:209)(cid:128) >0(cid:77)(cid:32)(cid:13) ( )= ( >0)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:117)(cid:133)(cid:85) (cid:89)
𝑎 𝑥
𝑎 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑎 𝑥
A(cid:129) B(cid:129)
C(cid:129) D(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)
(cid:38)(cid:39)(cid:212)(cid:54)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:464)0< < = >1(cid:71)(cid:282)(cid:480)(cid:283)(cid:77)(cid:223)(cid:224)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:51)(cid:169)(cid:32)(cid:13)(cid:266)(cid:332)(cid:351)(cid:126)(cid:33)(cid:127)(cid:290)(cid:180)(cid:181)(cid:30)(cid:238).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:82)0< <1𝑎(cid:138)(cid:77)1(cid:32),𝑎(cid:13)1,𝑎= (cid:72)(0,+ )(cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:32)(cid:13) = (cid:72)(0,+ )(cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:77)
𝑎 𝑥
(cid:301)(cid:267)(cid:32)(cid:13) = 𝑎 (cid:72)(0,+ )(cid:186)𝑦(cid:93)(cid:189)𝑥(cid:265)(cid:266)(cid:77)(cid:296)∞ = =0(cid:77)𝑦(cid:32)(cid:13)𝑎(cid:34)(cid:35)(cid:111)(cid:404)∞(cid:249)(cid:77)A(cid:116)(cid:117)(cid:185)
𝑎 𝑥
(cid:82) =1(cid:138)𝑓(cid:77)(𝑥(cid:32)) (cid:13)𝑥 −𝑎= (cid:72)∞(0,+ )(cid:186)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:133)𝑓(cid:58)(0(cid:422)) (cid:481)−(cid:47)1,𝑓(𝑎) (cid:33)(cid:482)(cid:249)(cid:77)B(cid:116)(cid:117)(cid:185)
(cid:82)𝑎>1(cid:138)(cid:77)(cid:62) =𝑓(2𝑥(cid:77)) (cid:220)𝑥−1 = ∞=0(cid:77)(cid:237)(cid:32)(cid:13) = 2 (20,−1>) 0(cid:34)(cid:35)(cid:97)x(cid:274)(cid:220)(cid:227)(cid:56)(cid:7)(cid:359)(cid:47)(cid:77)
𝑥
(cid:310)𝑎 (0,+ )(cid:77)𝑎 (cid:386)(cid:276) (cid:33)𝑓(cid:326)(2(cid:405))(cid:266)𝑓(cid:127)(4(cid:77))(cid:32)(cid:13) = (cid:483)𝑓(cid:484)(𝑥(cid:485))(cid:43)(cid:266)𝑥 −(cid:332)(cid:77),𝑥(cid:211)(cid:266)(cid:332)(cid:351)(cid:126)(cid:390) = (cid:33)(cid:127)(cid:77)
𝑥 𝑎
(cid:301)𝑥(cid:267)∈(cid:486)(cid:72)(cid:305)∞(cid:13)
0
(cid:77)(cid:82)𝑥>
0
(cid:138)(cid:77) 2
0
< 0(cid:293)𝑦(cid:250)(cid:294)𝑎(cid:77)(cid:237) <0(cid:77)C(cid:116)(cid:117)(cid:77)D(cid:58)(cid:116)𝑦(cid:117).𝑥
𝑥
(cid:277)(cid:20)(cid:10)ABC. 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎 𝑓(𝑥)
11(cid:129)(cid:85)2024·(cid:311)(cid:312)(cid:487)(cid:488)·(cid:244)(cid:229)(cid:89)(cid:72)(cid:153)(cid:245)(cid:145)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:218) (cid:76)(cid:77)(cid:86)(cid:34)(cid:489)(cid:184)(cid:33)(cid:251)(cid:332)(cid:111)2(cid:33)(cid:305)(cid:83)(cid:123) (cid:275) (cid:274)(cid:490)(cid:46)(cid:85)(cid:326)
(cid:491)(cid:46)(cid:490)(cid:46)(cid:89)(cid:77)(cid:47) (cid:81)(cid:492)(cid:151)(cid:152)(cid:247)(cid:248)(cid:240)(cid:47)(cid:77)(cid:366)(cid:493)(cid:47) (𝑥𝑂𝑦)(cid:33)(cid:494)(cid:495)(cid:83)(cid:96)(cid:133) = ( )(cid:77)(cid:291)(cid:85) (cid:89)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑥
𝐷 𝐵 𝑥,𝑦 𝑦 𝑓 𝑥A(cid:129)(cid:83)(cid:96) ( )=2(cid:72)[ ](cid:186)(cid:220)(cid:244)(cid:56)(cid:38)
B(cid:129) ( 𝑓)=𝑥 ( ) −3,9
C(cid:129)𝑓(−)𝑥(cid:72)[6,−8]𝑓(cid:186)𝑥(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:266)
𝑓 𝑥 1
D(cid:129)(cid:157)(cid:410)(cid:163) (cid:77)(cid:340)(cid:220) ( +4)=
( )
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:38) 𝑥 (cid:39) ∈ (cid:305) 𝑅 (cid:83)(cid:123)(cid:33) 𝑓 (cid:94)𝑥(cid:46)(cid:77)(cid:159)(cid:160) − (cid:47) 𝑓 𝑥 B(cid:33)(cid:494)(cid:495)(cid:77)(cid:236)(cid:132)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:113)(cid:51)(cid:52)(cid:71)(cid:37)(cid:323)(cid:336)(cid:180)(cid:181)(cid:237)(cid:116).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:71)(cid:42)(cid:305)(cid:83)(cid:123)(cid:493)(cid:47) (cid:33)(cid:94)(cid:46)(cid:339)(cid:496)(cid:116)(cid:128)(cid:77)
𝐵 1
(cid:82) (cid:138)(cid:77) (cid:33)(cid:494)(cid:495)(cid:133)(cid:109) (cid:111)(cid:349)(cid:497)(cid:77)(cid:348)(cid:498)(cid:111)2(cid:33) (cid:349)(cid:185)
4
−4≤𝑥≤−2 𝐵 𝐴
1
(cid:82) 2(cid:138)(cid:77) (cid:33)(cid:494)(cid:495)(cid:133)(cid:109) (cid:111)(cid:349)(cid:497)(cid:77)(cid:348)(cid:498)(cid:111)2 2(cid:33) (cid:349)(cid:185)
4
−2≤𝑥≤ 𝐵 𝐷
1
(cid:82)2 4(cid:138)(cid:77) (cid:33)(cid:494)(cid:495)(cid:133)(cid:109) (cid:111)(cid:349)(cid:497)(cid:77)(cid:348)(cid:498)(cid:111)2(cid:33) (cid:349)(cid:185)
4
≤𝑥≤ 𝐵 𝐶
1
(cid:82)4 6(cid:138)(cid:77) (cid:33)(cid:494)(cid:495)(cid:133)(cid:109) (cid:111)(cid:349)(cid:497)(cid:77)(cid:348)(cid:498)(cid:111)2(cid:33) (cid:349)(cid:77)
4
≤𝑥≤ 𝐵 𝐴
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:187)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:10)
(cid:149)(cid:34)(cid:128)(cid:10)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) =2(cid:72)[ ](cid:186)(cid:220)(cid:244)(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:77)
(cid:237)(cid:83)(cid:96) ( ) 𝑦=0𝑓(cid:72)𝑥[ ](cid:186)(cid:220)(cid:244)(cid:56)𝑦(cid:38)(cid:77)A(cid:305)−(cid:53)3,(cid:185)9
(cid:32)(cid:13) =𝑓 𝑥(−)2(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)−(cid:208)3,9(cid:274)(cid:157)(cid:158)(cid:77)(cid:239)(cid:109)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:133)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)B(cid:309)(cid:321)(cid:185)
(cid:32)(cid:13)𝑦( )𝑓(cid:72)𝑥[6,8](cid:186)(cid:93)(cid:189)(cid:265)𝑦(cid:266)(cid:77)C(cid:305)(cid:53)(cid:185) 𝑦 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 1
(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:128)(cid:10) (2)=2(cid:77) ( )=2(cid:77) (2) (cid:77)D(cid:309)(cid:321).
( )
(cid:277)(cid:20)(cid:10)AC. 𝑓 𝑓 −2 𝑓 ≠−𝑓 −2
(cid:244)(cid:57)(cid:121)(cid:122)(cid:21)
12(cid:129)(cid:85)2024·(cid:186)(cid:268)(cid:499)(cid:311)·(cid:118)(cid:229)(cid:89)(cid:366) 、 (cid:111)(cid:216)(cid:13)(cid:77)(cid:148) > < (cid:77)(cid:291)(cid:32)(cid:13) = + (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:500)(cid:54)(cid:58)(cid:151)(cid:152)(cid:103) (cid:317)
𝑥
(cid:35)(cid:405). 𝑎 𝑏 𝑎 1,𝑏 −1 𝑦 𝑎 𝑏(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:149)(cid:253)(cid:13)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:153)(cid:154)(cid:116)(cid:159).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:209)(cid:128) > < ,
(cid:291)(cid:253)(cid:13)(cid:32)(cid:13) = (cid:93)𝑎(cid:189)(cid:265)1,𝑏(cid:266)(cid:77)−(cid:152)1(cid:54)(cid:47)(0,1)(cid:77)(cid:271)| |>1(cid:77)
𝑥
(cid:32)(cid:13) = +𝑦 (cid:33)𝑎(cid:34)(cid:35)(cid:133)(cid:149)(cid:32)(cid:13)(cid:32)(cid:13) = (cid:356)(cid:187)(cid:153)𝑏(cid:154)| |(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:77)
𝑥 𝑥
(cid:30)(cid:31)𝑦(cid:32)(cid:13)𝑎 =𝑏 + (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:116)(cid:128)(cid:34)𝑦(cid:35)(cid:500)𝑎(cid:54)(cid:58)(cid:151)(cid:152)(cid:103)(cid:317)𝑏 (cid:35)(cid:405).
𝑥
(cid:277)(cid:238)(cid:324)(cid:111)(cid:10)𝑦 (cid:317)𝑎. 𝑏
13(cid:129)(cid:85)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )= ( )=e e +1+1(cid:77)(cid:291) ( )(cid:97) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)(cid:247)
𝑥
𝑥−1 −𝑥
(cid:248)(cid:371)(cid:113)(cid:111) 2 (cid:129) 𝑓 𝑥 𝑥−1,𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:71)(cid:42)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:200)(cid:201)(cid:51)(cid:77)(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:153)(cid:154)(cid:131)(cid:147)(cid:60)(cid:41)(cid:237)(cid:116).
1
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:157)(cid:208) ( )= = +1(cid:77)(cid:116)(cid:109)(cid:254) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:501)(cid:30)(cid:10)
𝑥
𝑓 𝑥 𝑥−1 𝑥−1 𝑓 𝑥
1
(cid:149) ( )= (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:356)(cid:186)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:332)(cid:126)(cid:159)(cid:160)(cid:77)
1
𝑓 𝑥 𝑥−1
1
(cid:296) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:501)(cid:30)(cid:149) ( )= (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:356)(cid:183)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:332)(cid:126)(cid:159)(cid:160)(cid:185)
1 2
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:157)(cid:208) ( )=e e +1+1=e 1 +1(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:501)(cid:30)(cid:149)
e
𝑥−1 −𝑥 𝑥−1
𝑥−1
𝑔 𝑥 − −
1
( )=e (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:356)(cid:186)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:332)(cid:126)(cid:159)(cid:160)(cid:77)
1 e
𝑥−1
𝑥−1
𝑔 𝑥 −
1
(cid:296) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:501)(cid:30)(cid:149) ( )=e (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:356)(cid:183)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:332)(cid:126)(cid:159)(cid:160)(cid:129)
1 2 e
𝑥
𝑥
𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 −
1 1
(cid:210)(cid:128) ( )= (cid:97) ( )=e (cid:340)(cid:111)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)
2 2 e
𝑥
𝑥
(cid:291)(cid:210) 𝑓 (cid:128) 𝑥 ( )(cid:97)𝑥 𝑔 ( ) 𝑥(cid:33)(cid:34)(cid:35) − (cid:359)(cid:220)(cid:227)(cid:56)(cid:3)(cid:208)(cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:33)(cid:262)(cid:47)(cid:77)(cid:271)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)(cid:247)(cid:248)(cid:371)(cid:113)(cid:111)0(cid:129)
2 2
(cid:301)(cid:111)(cid:273)𝑓(cid:32)(cid:13)𝑥(cid:34)(cid:35)𝑔(cid:356)𝑥(cid:183)(cid:153)(cid:154)(cid:58)(cid:502)(cid:131) ( )(cid:97) ( )(cid:227)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:262)(cid:47)(cid:325)(cid:32)(cid:13)(cid:63)(cid:33)(cid:127)(cid:290)(cid:77)
1 1
(cid:239)(cid:109) ( )(cid:97) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)𝑓(cid:247)𝑥(cid:248)(cid:371)𝑔(cid:113)(cid:111)𝑥 0(cid:77)
1 1
(cid:310)(cid:273)𝑓(cid:32)(cid:13)𝑥(cid:34)(cid:35)𝑔(cid:356)𝑥(cid:186)(cid:153)(cid:154)1(cid:56)(cid:93)(cid:168)(cid:332)(cid:126)(cid:78)(cid:443)(cid:159)(cid:240)(cid:262)(cid:47)(cid:325)(cid:33)(cid:32)(cid:13)(cid:63)(cid:340)(cid:266)(cid:391)1(cid:77)
(cid:291) ( )(cid:97) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:227)(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)(cid:247)(cid:248)(cid:97) ( )(cid:97) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:227)(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)(cid:247)(cid:248)(cid:408)(cid:390)(cid:340)(cid:266)(cid:391)1(cid:77)
1 1
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥(cid:277) ( )(cid:97) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:262)(cid:47)(cid:33)(cid:285)(cid:247)(cid:248)(cid:371)(cid:113)(cid:111)2(cid:129)
(cid:277)𝑓(cid:238)𝑥(cid:324)(cid:111)𝑔(cid:10)𝑥2.
14(cid:129)(cid:85)2024(cid:24)(cid:244)·(cid:104)(cid:105)·(cid:26)(cid:21)(cid:402)(cid:403)(cid:89)(cid:366)(cid:200)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:111)[ ](cid:129)(cid:148)(cid:82) [0,5](cid:138)(cid:77) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:77)(cid:291)
(cid:58)(cid:59)(cid:43) <0(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:133) (2,5) (cid:129)𝑓(𝑥) −5,5 𝑥∈ 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) (−2,0)∪
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)
(cid:149)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:237)(cid:116)(cid:159)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:301)(cid:111)(cid:32)(cid:13) (cid:133)(cid:200)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:239)(cid:109)(cid:50)(cid:27)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:208)(cid:240)(cid:47)(cid:157)(cid:158)(cid:77)
(cid:116)(cid:159) <0(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:111) 𝑓(𝑥) (2,5)(cid:129) 𝑓(𝑥)
(cid:277)(cid:238)𝑓(cid:324)(𝑥(cid:111))(cid:10) (2(,−5)2.,0)∪
(cid:264)(cid:57)(cid:41)(cid:238)(cid:21)(−2,0)∪
15(cid:129)(cid:85)2024·(cid:311)(cid:312)(cid:503)(cid:504)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) = [ ] (cid:77)(cid:211)(cid:76)[x](cid:88)(cid:90)(cid:58)(cid:460)(cid:152) (cid:33)(cid:215)(cid:127)(cid:370)(cid:13)(cid:77)(cid:228)(cid:86)
[ ]= ，[2.1]=2. 𝑓(𝑥) 𝑥− 𝑥 ,𝑥∈[−1,2) 𝑥
−3.05 −4
(1)(cid:273) (cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:505)(cid:250)(cid:71)(cid:335)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:123)(cid:43);
(2)(cid:281)(cid:72)𝑓(𝑥(cid:86))(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:33)(cid:153)(cid:245)(cid:145)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:218)(cid:76)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:34)(cid:35);
(3)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:35)(cid:505)(cid:31)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:63)(cid:179). 𝑓(𝑥)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(1)(cid:38)(cid:39)𝑓(cid:209)(𝑥(cid:128))(cid:334)(cid:442)(cid:212)(cid:33)(cid:23)(cid:54)(cid:178)(cid:77)(cid:116)(cid:109)(cid:273)(cid:32)(cid:13)(cid:71)(cid:111)(cid:244)(cid:335)(cid:77)(cid:71)(cid:37)(cid:60)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:237)(cid:116).
(2)(cid:38)(cid:39)(cid:505)(cid:31)(cid:33)(cid:71)(cid:335)(cid:32)(cid:13)(cid:91)(cid:34).
(3)(cid:149)(cid:34)(cid:270)(cid:139)(cid:116)(cid:109)(cid:364)(cid:365)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:63)(cid:179).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:82) <0(cid:138)(cid:77)[ ]= ，(cid:239)(cid:109) = +1;
(cid:82)0 <1(cid:138)(cid:77)[ ]=0−(cid:77)1(cid:239)≤𝑥(cid:109) = 𝑥 −1 𝑓(𝑥) 𝑥
(cid:82)1≤𝑥<2(cid:138)(cid:77)[𝑥]=1(cid:77)(cid:239)(cid:109)𝑓(𝑥)=𝑥; .
≤𝑥 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥−1+1， <0
(cid:444)(cid:186)(cid:77) = <1
𝑥 ，−11≤𝑥<2
𝑓(𝑥) 𝑥,0≤𝑥
(cid:85)2(cid:89)(cid:32)(cid:13) (cid:33)𝑥(cid:34)−(cid:35)1 (cid:86)(cid:34)≤(cid:239)𝑥(cid:90).
𝑓(𝑥)
(cid:85)3(cid:89)(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:159)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:111)[0,1).
16(cid:129)(cid:85)2024·(cid:264)(cid:278)(cid:279)(cid:280)·𝑓(cid:229)(𝑥(cid:230))(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) = + + (cid:129)
(1)(cid:60)(cid:58)(cid:59)(cid:43) 6(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:185) 𝑓(𝑥) |2𝑥−3| |𝑥 1|−5
𝑓(𝑥)≤ 15
(2)(cid:148)(cid:145)(cid:249) = +1)(cid:97) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:239)(cid:65)(cid:250)(cid:33)(cid:244)(cid:246)(cid:123)(cid:33)(cid:245)(cid:252)(cid:111) (cid:77)(cid:60)(cid:73)(cid:13) (cid:33)(cid:63)(cid:129)
2
𝑦 𝑘(𝑥 𝑓(𝑥) 𝑘
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:396)(cid:272)(cid:273)(cid:32)(cid:13)(cid:505)(cid:250)(cid:71)(cid:335)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:257)(cid:71)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:159)(cid:160)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:479)(cid:77)(cid:41)(cid:159)(cid:237)(cid:116)(cid:185)
(cid:85)2(cid:89)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:249) = +1)(cid:113)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:366)(cid:145)(cid:249) = +1)(cid:113)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:506)(cid:118)(cid:56)(cid:262)(cid:47)(cid:111) (cid:77) (cid:60)(cid:31)
(cid:47)(cid:247)(cid:248)(cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:83)𝑦(cid:96)(cid:60)𝑘((cid:31)𝑥 (cid:33)(cid:63). 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑘(𝑥 𝑓(𝑥) 𝐷 𝐷
3
𝑘
2
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:301)(cid:111) = + + = < < 3(cid:77)
3𝑥−7,𝑥≥ 2
𝑓(𝑥) |2𝑥−3| |𝑥 1|−5 −𝑥− 1,−1 𝑥
6 6 6
(cid:239)(cid:109) 6(cid:77)(cid:237) 3 (cid:120) 3(cid:120) −3(cid:77)𝑥−3,𝑥≤−1
< <
3𝑥−7≤2 −𝑥−1≤ 2 −3𝑥−3≤
𝑓(𝑥)≤
(cid:41)(cid:159) 3 13 (cid:120) < 𝑥≥ < 3 (cid:120) −1 𝑥 (cid:77) 𝑥≤−1
2 3 2
≤𝑥≤ −1 𝑥 −3≤𝑥≤−1
(cid:444)(cid:186)(cid:116)(cid:159)(cid:58)(cid:59)(cid:43) 6(cid:33)(cid:41)(cid:233)(cid:111) 13 .
3
(cid:85)2(cid:89)(cid:145)(cid:249) = 𝑓(𝑥 + ) 1 ≤ )(cid:293)(cid:152)(cid:47)( − ) 3(cid:77),
(cid:86)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:145)𝑦(cid:249)𝑘=(𝑥 +1)(cid:113)(cid:32)−(cid:13)1,0 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:187)(cid:77)
(cid:421) (cid:97) (cid:274)(cid:33) 𝑦 (cid:262)(cid:47) 𝑘( (cid:111) 𝑥 ( )(cid:77) 𝑓(7𝑥 , ) 0 (cid:77) 3 5 (cid:77)(cid:291)| |= 10 (cid:77)
3 2 2 3
(cid:366) 𝑓 (cid:145) (𝑥 (cid:249) ) = 𝑥 +1)(cid:113)(cid:32) 𝐴 (cid:13)−1,0 (cid:33) 𝐵 (cid:506)(cid:118)(cid:56)(cid:262) 𝐶 (cid:47)(cid:111),− (cid:77) 𝐴𝐵
𝑦 𝑘1(𝑥10 5 25 𝑓(𝑥) 15 25𝐷 10 1 10
(cid:291) = × × = (cid:77)(cid:239)(cid:109) = = = × × (cid:77)(cid:41)(cid:159) =2(cid:77)
2 3 2 6 2 6 3 2 3
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷 − 𝑦𝐷 𝑦𝐷
1
(cid:291) =3(cid:77)(cid:239)(cid:109) (3,2)(cid:77)(cid:255)(cid:256) = ( +1)(cid:77)(cid:237)2= (3+1)(cid:77)(cid:41)(cid:159) = .
2
𝑥𝐷 𝐷 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘 𝑘17(cid:129)(cid:85)2023·(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )=| +3| | |(cid:129)
(1)(cid:91)(cid:31) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:270)(cid:77)(cid:161)(cid:145)(cid:146)(cid:505)(cid:31) ( )(cid:33)𝑓(cid:63)𝑥(cid:179)(cid:185)𝑥 − 𝑥−2
(2)(cid:148)(cid:58)𝑓(cid:59)𝑥(cid:43) ( ) 3 2 +1(cid:293)𝑓(cid:250)𝑥(cid:294)(cid:77)(cid:60)(cid:73)(cid:13) (cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)𝑓(cid:85)𝑥 1≤(cid:89)(cid:273)𝑎 −4𝑎(cid:16)(cid:111)(cid:71)(cid:335)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:71)𝑎 (cid:335)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:91)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:159)(cid:63)(cid:179)(cid:185)
(cid:85)2(cid:89)(cid:16)(cid:111) 3𝑓(2𝑥) +1(cid:77)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:116)(cid:159)(cid:223)(cid:447).
max
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)𝑓(cid:28)(𝑥)(cid:85)1(cid:89)≤(cid:82)𝑎 −4𝑎(cid:138)(cid:77) = + = (cid:77)
(cid:82) < <2(cid:138)(cid:77) 𝑥=≤−+33+ 𝑓(𝑥)= −𝑥+−13(cid:77)𝑥−2 −5
(cid:82)−3 2(cid:138)𝑥(cid:77) =𝑓(𝑥+) 𝑥 +2=𝑥5−(cid:77)2 2𝑥
𝑥≥ 𝑓(𝑥) 𝑥 3−𝑥
(cid:239)(cid:109) = + < <2(cid:77)
−5,𝑥≤−23
𝑓(𝑥) 2𝑥 1,−3 𝑥
(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:10)5,𝑥≥
𝑓(𝑥)
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:128)(cid:77)(cid:32)(cid:13) ( )(cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:133) .
(cid:85)2(cid:89)(cid:148)(cid:58)(cid:59)(cid:43) 𝑓( 𝑥) 3 2 [+−51,(cid:293)5](cid:250)(cid:294)(cid:77)(cid:291) 3 2 +1(cid:77)
max
𝑓 𝑥 ≤ 𝑎 −4𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 −4𝑎(cid:291)3 2 +1 5(cid:77)(cid:237)3 2 0(cid:77)
𝑎 −4𝑎2 ≥ 𝑎 −4𝑎−4≥
(cid:41)(cid:159) (cid:120) 2.
3
𝑎≤− 𝑎≥
18(cid:129)(cid:85)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:13) ( )=| + |+| |( )(cid:77)(cid:271) ( ) 1(cid:220)(cid:41)(cid:129)
𝑓 𝑥 𝑥 𝑎 𝑥−2 𝑎∈𝑅 𝑓 𝑥 ≤
(1)(cid:60)a(cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:185)
(2)(cid:82)a(cid:62)(cid:215)(cid:127)(cid:63)(cid:138)(cid:77)(cid:30)(cid:31) ( )= ( ) | | (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:161)(cid:60) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)x(cid:274)(cid:65)(cid:250)(cid:33)(cid:507)(cid:508)(cid:34)(cid:123)(cid:33)(cid:245)(cid:252)(cid:129)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:85)1(cid:89)(cid:50)(cid:27)(cid:234)𝑔(cid:157)𝑥(cid:244)(cid:246)3(cid:58)𝑓(cid:59)𝑥(cid:43)−(cid:60)2 𝑥(cid:31)−(cid:215)2(cid:127)−3(cid:63)(cid:77)(cid:257)(cid:38)(cid:39) ( 𝑔) 𝑥1(cid:220)(cid:41)(cid:77)(cid:237) ( ) 1(cid:77)(cid:60)(cid:41)(cid:237)(cid:116).
min
(cid:85)2(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:234)(cid:157)(cid:63)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:33)(cid:283)(cid:284)(cid:83)(cid:84)(cid:77)(cid:323)(cid:336)(cid:71)(cid:335)(cid:325)(cid:15)(cid:77)(cid:91)(cid:31)(cid:157)(cid:162)𝑓 𝑥(cid:34)(cid:270)≤(cid:77)(cid:60)(cid:31)(cid:157)(cid:162)𝑓(cid:33)𝑥(cid:262)(cid:47)(cid:38)≤(cid:39)(cid:245)(cid:252)(cid:7)(cid:43)(cid:60)(cid:41)(cid:237)
(cid:116).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)(cid:28)(cid:85)1(cid:89) ( )=| + |+| | | + +2|=| +2|(cid:77)(cid:85)(cid:509)(cid:510)(cid:10)(cid:234)(cid:157)(cid:63)(cid:244)(cid:246)(cid:58)(cid:59)(cid:43)(cid:33)(cid:162)(cid:27)(cid:89)
(cid:239)(cid:109) ( )(cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:111)[|𝑓 +𝑥 2|,+𝑥 )𝑎(cid:129)(cid:301)(cid:111)𝑥−2( )≥ 𝑥1(cid:220)𝑎(cid:41)−(cid:77)𝑥 𝑎
(cid:239)(cid:109)𝑓(𝑥) 1(cid:77)(cid:237)𝑎| +2| ∞1(cid:77)(cid:41)(cid:159)𝑓 𝑥 ≤ (cid:77)(cid:239)(cid:109)a(cid:33)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:111)[ ](cid:129)
min
(cid:85)2(cid:89)𝑓(cid:149)𝑥(cid:85)1(cid:89)≤(cid:128)a(cid:33)(cid:215)𝑎(cid:127)(cid:63)(cid:111)≤(cid:511)1(cid:77) −3≤𝑎≤−1 −3,−1
+ 1
(cid:239)(cid:109) ( )= ( ) | | =3| |+| | = 4,1< <2(cid:129)
−4𝑥 2,𝑥≤2
𝑔 𝑥 3𝑓 𝑥 −2 𝑥−2 −3 𝑥−1 𝑥−2 −3 2𝑥− 𝑥
(cid:30)(cid:31) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:270)(cid:86)(cid:34)(cid:239)(cid:90)(cid:129) 4𝑥−8,𝑥≥
𝑔 𝑥
(cid:149)(cid:34)(cid:116)(cid:159) ( )(cid:33)(cid:34)(cid:270)(cid:97)x(cid:274)(cid:239)(cid:65)(cid:250)(cid:33)(cid:507)(cid:508)(cid:34)(cid:123)(cid:111) (cid:77)
𝑔 𝑥 △𝐴𝐵𝐶(cid:210)(cid:159) ( )(cid:77) (2,0)(cid:77) 1 ,0 (cid:77)(cid:239)(cid:109) = 1 × 1 ×2= 3 (cid:129)
2 2 2 2
19(cid:129) 𝐴 (cid:85)2 1 3 ,− -2 2 4(cid:24) 𝐵 (cid:118)(cid:186)·(cid:337)(cid:242) 𝐶 (cid:413)(cid:330)·(cid:194)(cid:76)(cid:89)(cid:209) 𝑆△ (cid:128) 𝐴𝐵 (cid:32) 𝐶 (cid:13) 2(cid:133)−(cid:54)(cid:178)(cid:72) (cid:186)(cid:33)(cid:201)(cid:32)(cid:13)(cid:77)(cid:82) 0(cid:138)(cid:77) = 2 .
(cid:85)1(cid:89)(cid:60)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:161)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:13) (cid:33)𝑓(cid:34)(𝑥(cid:35))(cid:185) 𝑅 𝑥≥ 𝑓(𝑥) 𝑥 −2𝑥
(cid:85)2(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:34)𝑓(cid:35)(𝑥(cid:505))(cid:31)(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)𝑓(cid:213)(𝑥(cid:214))(cid:113)(cid:63)(cid:179)(cid:185)
(cid:85)3(cid:89)(cid:283)(cid:284)(cid:83)(cid:96) = (𝑓(𝑥) )(cid:41)(cid:33)(cid:56)(cid:13).
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:85)𝑓1(𝑥(cid:89))(cid:149)(cid:201)𝑎 (cid:32)𝑎∈(cid:13)𝑅(cid:33)(cid:54)(cid:178)(cid:237)(cid:116)(cid:60)(cid:159) <0(cid:138)(cid:33)(cid:32)(cid:13)f(x)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:323)(cid:296)(cid:159)(cid:160)(cid:41)(cid:185)
(cid:85)2(cid:89)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:13)(cid:123)(cid:223)(cid:224)(cid:237)(cid:116)(cid:159)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:93)𝑥 (cid:189)(cid:266)(cid:213)(cid:214)(cid:185)
(cid:85)3(cid:89)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) = (cid:33)(cid:262)(cid:47)(cid:56)(cid:13)(cid:77)(cid:13)(cid:123)(cid:223)(cid:224)(cid:237)(cid:116)(cid:159)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:238)(cid:152)(cid:96)𝑦(cid:28)(cid:41)𝑓(cid:10)𝑥(cid:85)1(cid:89)(cid:301)(cid:111) 𝑦0(cid:138)(cid:77)𝑎 = 2 (cid:77)(cid:366) <0(cid:77)(cid:291) >0(cid:77)
( )= 2+ (cid:77) 𝑥≥ 𝑓(𝑥) 𝑥 −2𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:310)∴(cid:32)𝑓(cid:13)−𝑥 (cid:111)𝑥(cid:201)(cid:32)2𝑥(cid:13)(cid:77) = ( )= 2+ (cid:77)
𝑓(𝑥) ∴ 𝑓(2𝑥) 𝑓 −𝑥0) 𝑥 2𝑥
(cid:277)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:111) = .
2+ <0)
𝑥 −2𝑥(𝑥≥
𝑓(𝑥)
(cid:32)(cid:13) (cid:34)(cid:270)(cid:86)(cid:34)(cid:10) 𝑥 2𝑥(𝑥
𝑓(𝑥)
(cid:85)2(cid:89)(cid:149)(cid:32)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:116)(cid:128)(cid:77)
(cid:32)(cid:13) (cid:33)(cid:93)(cid:189)(cid:265)(cid:322)(cid:213)(cid:214)(cid:111)( ]､[0,1](cid:77)
(cid:32)(cid:13) 𝑓(𝑥) (cid:33)(cid:63)(cid:179)(cid:111)[ + ). −∞,−1
(cid:85)3(cid:89)𝑓(cid:83)(𝑥)(cid:96) ( )= (cid:33)−1(cid:73), (cid:13)∞(cid:38)(cid:33)(cid:56)(cid:13)(cid:139)(cid:133)(cid:32)(cid:13) = ( )(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:97)(cid:145)(cid:249) = (cid:33)(cid:262)(cid:47)(cid:56)(cid:13)(cid:77)
(cid:149)(cid:32)(cid:13) 𝑓(cid:33)𝑥(cid:34)(cid:35)𝑎(cid:116)(cid:128)(cid:77) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑎
(cid:82) < 𝑓(𝑥(cid:138))(cid:77)(cid:83)(cid:96) = (cid:33)(cid:41)(cid:33)(cid:56)(cid:13)(cid:111)0(cid:185)
(cid:82)𝑎=−1(cid:77)(cid:120) >0𝑓(cid:138)(𝑥(cid:77)) (cid:83)𝑎(cid:96) = (cid:33)(cid:41)(cid:33)(cid:56)(cid:13)(cid:111)2(cid:185)
(cid:82)𝑎=−0(cid:138)1(cid:77)(cid:83)𝑎(cid:96) = (cid:33)(cid:41)𝑓((cid:33)𝑥)(cid:56)(cid:13)𝑎(cid:111)3(cid:185)
(cid:82)𝑎 < <0(cid:138)(cid:77)𝑓(cid:83)(𝑥(cid:96)) 𝑎 = (cid:33)(cid:41)(cid:33)(cid:56)(cid:13)(cid:111)4.
−1 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑎
