文档内容
专题 2.5 对数与对数函数【六大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)............................................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:34)(cid:13)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:36)(cid:21)(cid:31)(cid:37)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:28)........................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)........................................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:45)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:37)(cid:27)(cid:28)..................................................................................................................11
1(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)
(cid:25)(cid:58)(cid:59)(cid:60) (cid:61)(cid:21)(cid:62)(cid:63) (cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
(1)(cid:15)(cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:41)(cid:32)
(cid:33)(cid:45)(cid:54)(cid:69)(cid:70)(cid:27)(cid:71)(cid:72)(cid:7)(cid:53)(cid:73)
(cid:74)(cid:75)(cid:30)(cid:13)(cid:76)(cid:16)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:30)(cid:13)
(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:30)(cid:13) 2022(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:10)(cid:101)6(cid:21)(cid:69)5(cid:65) (cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:108)(cid:81)(cid:109)(cid:31)(cid:110)(cid:59)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:30)(cid:13)
(2)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:69)(cid:86)(cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:38) 2022(cid:97)(cid:102)(cid:103)(cid:100)(cid:10)(cid:101)7(cid:21)(cid:69)5(cid:65) (cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:25)(cid:31)(cid:111)(cid:58)(cid:112)(cid:113)(cid:69)(cid:114)
(cid:13)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:87)(cid:88)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13) 2022(cid:97)(cid:23)(cid:104)(cid:105)I(cid:100)(cid:10)(cid:101)7(cid:21)(cid:69) (cid:115)(cid:116)(cid:97)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:69)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:121)(cid:121)
(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:69)(cid:15)(cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31) 5(cid:65) (cid:57)(cid:122)(cid:38)(cid:13)(cid:35)(cid:34)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:123)(cid:56)(cid:25)(cid:124)(cid:69)(cid:125)(cid:59)(cid:126)
(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:58) 2023(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:100)(cid:10)(cid:101)4(cid:21)(cid:69)5(cid:65) (cid:127)(cid:128)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:54)(cid:95)(cid:129)(cid:130)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:34)(cid:35)(cid:30)(cid:13)
2024(cid:97)(cid:23)(cid:104)(cid:105)I(cid:100)(cid:10)(cid:101)6(cid:21)(cid:69) (cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:54)(cid:69)(cid:32)(cid:27)(cid:122)(cid:38)(cid:13)(cid:57)(cid:34)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)
(3)(cid:86)(cid:50)(cid:34)(cid:13)(cid:38)(cid:13)
5(cid:65) (cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:57)(cid:45)(cid:54)(cid:50)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:69)(cid:134)(cid:135)(cid:46)
(cid:91)a>0(cid:92)a ≠1(cid:93)(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13) 2024(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:100)(cid:10)(cid:101)7(cid:21)(cid:69)5(cid:65) (cid:47)(cid:34)(cid:30)(cid:122)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:52)(cid:21)(cid:29).
(cid:91)a>0 (cid:92) a ≠1(cid:93)
(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:38)(cid:13)
(cid:22)(cid:137)(cid:138)(cid:58)1 (cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:50)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:28)
1(cid:141)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:81)(cid:27)(cid:142)(cid:143)
(1)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:145)(cid:69)(cid:146)(cid:42)(cid:27)(cid:122)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:147)(cid:72)(cid:13)(cid:80)(cid:61)(cid:13)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:117)(cid:69)(cid:16)(cid:77)(cid:65)(cid:13)(cid:34)(cid:13)(cid:122)(cid:31)(cid:117)(cid:53)(cid:69)(cid:151)(cid:122)(cid:31)(cid:72)(cid:13)(cid:152)(cid:153)(cid:69)
(cid:79)(cid:154)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:16)(cid:153)(cid:56)(cid:157).
(2)(cid:146)(cid:73)(cid:30)(cid:13)(cid:53)(cid:16)(cid:95)(cid:158)(cid:72)(cid:13)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:159)(cid:35)(cid:160)(cid:35)(cid:161)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:79)(cid:154)(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:69)(cid:76)(cid:16)(cid:95)(cid:158)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:61)(cid:13)
(cid:31)(cid:163)(cid:35)(cid:164)(cid:35)(cid:122)(cid:165)(cid:32)(cid:33).
(3)(cid:34)(cid:30)(cid:94)(cid:16)(cid:10) (a>0,(cid:92)a≠1)(cid:108)(cid:50)(cid:131)(cid:166)(cid:3)(cid:34)(cid:13)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:36)(cid:21)(cid:31)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:155)(cid:69)(cid:144)(cid:32)(cid:33)(cid:145)(cid:37)(cid:4)(cid:169)(cid:94)(cid:16).
(cid:22)(cid:137)(cid:138)(cid:58)2 (cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:81)(cid:109)(cid:36)(cid:21)(cid:41)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)
1(cid:141)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:138)(cid:172)(cid:41)(cid:37)(cid:27)
(1)(cid:144)(cid:138)(cid:172)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:40)(cid:173)(cid:69)(cid:59)(cid:174)(cid:175)(cid:42)(cid:27)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:54)(cid:35)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:40)(cid:177)(cid:31)(cid:89)(cid:90)(cid:58)((cid:57)(cid:178)(cid:105)(cid:179)(cid:31)(cid:180)(cid:58)(cid:35)(cid:152)(cid:24)(cid:58)(cid:35)
(cid:152)(cid:181)(cid:58)(cid:52))(cid:182)(cid:183)(cid:51)(cid:184)(cid:56)(cid:59)(cid:60)(cid:31)(cid:20)(cid:185).
(2)(cid:74)(cid:186)(cid:30)(cid:13)(cid:29)(cid:168)(cid:187)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:36)(cid:21)(cid:81)(cid:76)(cid:16)(cid:95)(cid:188)(cid:37)(cid:31)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:40)(cid:36)(cid:21)(cid:69)(cid:42)(cid:27)(cid:13)(cid:117)(cid:123)(cid:56)(cid:155)(cid:60)(cid:50).
2(cid:141)(cid:30)(cid:13)(cid:91)(cid:29)(cid:93)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:159)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:36)(cid:21)(cid:31)(cid:50)(cid:21)(cid:139)(cid:140)
(cid:42)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:54)(cid:69)(cid:60)(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:166)(cid:3)(cid:31)(cid:38)(cid:13)(cid:189)(cid:190)(cid:159)(cid:191)(cid:56)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:36)(cid:21)(cid:69)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:168)(cid:197)(cid:31)(cid:36)
(cid:21)(cid:10)(cid:74)(cid:108)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:69)(cid:200)(cid:166)(cid:36)(cid:21)(cid:201)(cid:192)(cid:193)(cid:144)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:112)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:108)(cid:72)(cid:13)(cid:57)1(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:206)(cid:204)(cid:196)(cid:108)(cid:191)(cid:56)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:207)(cid:77)(cid:69)(cid:208)
(cid:209)(cid:108)(cid:210)(cid:211)(cid:186)(cid:127)(cid:128)(cid:212)(cid:52)(cid:38)(cid:13)(cid:191)(cid:56)(cid:213)(cid:77)(cid:31).(cid:214)(cid:215)(cid:69)(cid:50)(cid:21)(cid:173)(cid:59)(cid:4)(cid:169)(cid:13)(cid:117)(cid:123)(cid:56)(cid:35)(cid:65)(cid:216)(cid:202)(cid:203)(cid:35)(cid:76)(cid:16)(cid:57)(cid:16)(cid:217)(cid:170)(cid:218)(cid:31)(cid:37)(cid:27).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)
(cid:22)(cid:85)1(cid:28)(cid:91)2024·(cid:219)(cid:220)·(cid:196)(cid:221)(cid:93)(cid:222) (cid:69)(cid:156)(cid:16)(cid:153)2log 2 3+( )2+ 2(cid:31)(cid:123)(cid:223)(cid:108)(cid:91) (cid:93)
A(cid:141)3+ + 𝑎≥0,𝑏∈𝑅 B(cid:141)3+ +| | 𝑎 𝑏
C(cid:141)2+𝑎+𝑏 D(cid:141)2+𝑎+|𝑏|
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)𝑎(cid:224)𝑏(cid:225)(cid:34)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:16)(cid:153)(cid:60)𝑎(cid:189)(cid:208)𝑏(cid:226).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:210)2log 2 3=3(cid:69)( )2= (cid:69) 2=| |(cid:226)(cid:137)(cid:69)
2log 2 3+( )2+ 2=3+ +𝑎| |. 𝑎 𝑏 𝑏
(cid:228)(cid:20)(cid:10)B. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:150)(cid:53)1-1(cid:28)(cid:91)2024·(cid:229)(cid:230)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:222) =log 5(cid:69)5 =6(cid:69)(cid:156) log 2=(cid:91) (cid:93)
3 3
𝑏
A(cid:141)1 B(cid:141)(cid:234)1 𝑎 C(cid:141)2 𝑎𝑏− D(cid:141)(cid:234)2
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:128)(cid:21)(cid:25)(cid:124)(cid:34)(cid:13)(cid:53)(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:53)(cid:31)(cid:94)(cid:16)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:35)(cid:71)(cid:72)(cid:7)(cid:53)(cid:31)(cid:37)(cid:27).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:210)5 =6 =log 6(cid:69)
5
𝑏
(cid:200)(cid:126) log 2 =log 5 ⇒ lo 𝑏 g log 2 =log 5 log 3 6 log 2 =log log 2 =log 6 =log 3=1
3 3 5 3 3 log
3
5 3 3 3 32 3
𝑎𝑏− ⋅ 6− ⋅ − 6−
(cid:228)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:150)(cid:53)1-2(cid:28)(cid:91)2024·(cid:235)(cid:236)(cid:236)(cid:237)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:238)a(cid:69)b(cid:69)c(cid:201)(cid:108)(cid:239)(cid:13)(cid:69)(cid:92)4 =6 =9 = (cid:69)(cid:240)(cid:241)(cid:91) (cid:93)(cid:141)
𝑎 𝑏 𝑐
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 𝑡
A(cid:141) + = B(cid:141) + = C(cid:141) + = D(cid:141) + =
【解题思𝑎路】𝑏 将𝑐指数式化为𝑏对数𝑐 式𝑎，根据对数换底𝑎公式𝑏 、𝑐对数运算法则逐𝑎项验𝑐 证𝑏即可．【解答过程】依题意设4 =6 =9 = ，则 =log ， =log ， =log ，
4 6 9
𝑎 𝑏 𝑐
1 1 1 1 1 𝑡 1 𝑎 𝑡 𝑏 𝑡 𝑐 𝑡
所以 = =log 4, = =log 6, = =log 9(cid:69)
log log log
4 6 9
𝑎 𝑡 𝑡 𝑏 𝑡 𝑡 𝑐 𝑡 𝑡
1 1 1 1 1 2
(cid:156) + =log 4+log 6=log 24 =log 9(cid:69) + =log 24 =2log 9=log 81(cid:228)A(cid:69)C(cid:242)(cid:243)(cid:204)
𝑎 𝑏 𝑡 𝑡 𝑡 ≠𝑐 𝑡 𝑎 𝑏 𝑡 ≠𝑐 𝑡 𝑡
1 1 1
(cid:156) + =log 6+log 9=log 54 =log 4(cid:69)(cid:228)B(cid:242)(cid:243)(cid:204)
𝑏 𝑐 𝑡 𝑡 𝑡 ≠𝑎 𝑡
1 1 2
(cid:156) + =log 4+log 9=log 36=2log 6= (cid:69)(cid:228)D(cid:239)(cid:244).
(cid:228)(cid:20)𝑎 (cid:10)𝑐
D.
𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑏
(cid:22)(cid:150)(cid:53)1-3(cid:28)(cid:91)2024·(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:248)·(cid:74)(cid:221)(cid:93)(cid:222)2 =3(cid:69)3 =5(cid:69)5 =4(cid:69)(cid:156)log =(cid:91) (cid:93)
4
𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:141) B(cid:141) 1 C(cid:141) 2 D(cid:141) 𝑎 1 𝑏𝑐
2 2
−2
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:34)(cid:13)(cid:122)(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:16)(cid:7)(cid:53)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:7)(cid:53)(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:60)(cid:50).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:210)2 =3(cid:69)3 =5(cid:69)5 =4(cid:69)(cid:226)(cid:249) =log =log =log 4(cid:69)
2 3 5
𝑎 𝑏 𝑐
lg3 lg5 lg4𝑎 3,𝑏 5,𝑐 1
(cid:200)(cid:126) =log 3×log 5×log 4= × × =2(cid:69)(cid:156)log =log 2= .
2 3 5 lg2 lg3 lg5 4 4 2
𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:228)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:34)(cid:13)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:36)(cid:21)(cid:31)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:85)2(cid:28)(cid:91)2024·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:237)·(cid:196)(cid:221)(cid:93)(cid:205)(cid:253)(cid:254)(cid:57)(cid:255)(cid:256)(cid:31)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:259)(cid:188)(cid:3)(cid:69)(cid:255)(cid:256)(cid:151)(cid:27)(cid:31)(cid:205)(cid:253)(cid:254)(cid:125)(cid:59)(cid:108)21×21(cid:48)(cid:49)(cid:31)(cid:89)
(cid:90)(cid:31)(cid:116)(cid:260)(cid:39)(cid:117)(cid:69)(cid:208)441(cid:261)(cid:58).(cid:224)(cid:225)0(cid:159)1(cid:31)(cid:205)(cid:148)(cid:262)(cid:263)(cid:254)(cid:264)(cid:156)(cid:69)(cid:74)(cid:265)(cid:166)2441(cid:266)(cid:51)(cid:158)(cid:31)(cid:254)(cid:69)(cid:267)(cid:238)(cid:255)(cid:256)1(cid:268)(cid:97)(cid:27)(cid:269)
3×1015(cid:261)(cid:205)(cid:253)(cid:254)(cid:69)(cid:240)(cid:241)(cid:200)(cid:166)(cid:205)(cid:253)(cid:254)(cid:48)(cid:270)(cid:226)(cid:126)(cid:27)(cid:91) (cid:93)(cid:91)(cid:271)(cid:25)(cid:13)(cid:225)(cid:10)lg2 0.301,lg3 0.477(cid:93)
A(cid:141)10117(cid:268)(cid:97) B(cid:141)10120(cid:268)(cid:97) C(cid:141)10123(cid:268)(cid:97) D(cid:141)≈10125(cid:268)(cid:97) ≈
【解题思路】利用取对数法进行化简求解即可．
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) 1万年用掉3×1015个二维码，
大约能用
24∵41
万年，
3×1015
∴
设 = 2441 ，则lg =lg 2441 =lg2441 lg3+lg1015)=441lg lg 441× 117，
3×1015 3×1015
即 𝑥 10117万年． 𝑥 −( 2− 3−15≈ 0.301−0.477−15≈
故𝑥选≈：A．
(cid:22)(cid:150)(cid:53)2-1(cid:28)(cid:91)2024·(cid:106)(cid:107)(cid:272)(cid:273)·(cid:205)(cid:221)(cid:93)(cid:145)(cid:274)(cid:275)(cid:17)(cid:16)(cid:276)(cid:48)(cid:277)(cid:278)(cid:69)(cid:275)(cid:279)(cid:31)(cid:280)(cid:281)(cid:57)(cid:275)(cid:282)(cid:216)(cid:29)(cid:159)(cid:279)(cid:31)(cid:283)(cid:284)(cid:166)(cid:3)(cid:69)(cid:285)(cid:286)
(cid:287)(cid:288)(cid:69)(cid:289)(cid:266)(cid:290)(cid:275)(cid:27)90℃(cid:31)(cid:279)(cid:291)(cid:262)(cid:69)(cid:165)(cid:52)(cid:292)(cid:275)(cid:279)(cid:283)(cid:284)(cid:293)(cid:294)60℃(cid:173)(cid:295)(cid:27)(cid:69)(cid:226)(cid:126)(cid:296)(cid:257)(cid:297)(cid:298)(cid:280)(cid:281)(cid:204)(cid:144)20℃(cid:299)(cid:283)(cid:300)(cid:69)
(cid:275)(cid:279)(cid:283)(cid:284)(cid:114)90℃(cid:301)(cid:302)(cid:69)(cid:285)(cid:83)tmin(cid:154)(cid:31)(cid:283)(cid:284)(cid:95) (cid:69)(cid:226)(cid:20)(cid:303)(cid:38)(cid:13) =60×0.9 +20( 0)(cid:119)(cid:115)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:275)(cid:279)(cid:283)
𝑡
𝑦℃ 𝑦 𝑡≥(cid:284)(cid:307)(cid:173)(cid:308)(cid:150)(cid:16)(cid:31)(cid:264)(cid:309)(cid:69)(cid:156)(cid:144)(cid:177)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:300)(cid:69)(cid:313)(cid:266)(cid:290)(cid:275)(cid:275)(cid:279)(cid:314)(cid:292)(cid:152)(cid:298)(cid:295)(cid:27)(cid:280)(cid:281)(cid:173)(cid:69)(cid:315)(cid:59)(cid:316)(cid:317)(cid:31)(cid:173)(cid:308)(cid:152)(cid:318)(cid:115)(cid:31)(cid:108)
(cid:91) (cid:93)
(cid:91)(cid:271)(cid:25)(cid:13)(cid:225)(cid:10)lg2 0.30,lg3 0.48(cid:93)
A(cid:141)2.5min ≈ B(cid:141)4≈.5min C(cid:141)6min D(cid:141)8min
2
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:319)60×0.9 +20=60(cid:69)(cid:156)0.9 = (cid:69)(cid:320)(cid:321)(cid:158)(cid:173)(cid:322)(cid:30)(cid:73)lg2 0.30,lg3 0.48(cid:323)(cid:324)(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:325)(cid:227)(cid:326).
3
𝑡 𝑡
≈ ≈
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:210)(cid:21)(cid:226)(cid:137)(cid:69)(cid:38)(cid:13) =60×0.9 +20( 0)(cid:69)
𝑡
𝑦 2 𝑡≥
(cid:319)60×0.9 +20=60(cid:69)(cid:156)0.9 = (cid:69)
3
𝑡 𝑡
2 9
(cid:320)(cid:321)(cid:158)(cid:173)(cid:322)(cid:30)(cid:226)(cid:249)(cid:10)lg0.9 =lg (cid:69)(cid:208) lg = (2lg )=lg lg3(cid:69)
3 10
𝑡
lg lg3 0.18 𝑡 𝑡 3−1 2−
(cid:208) = = =4.5 min.
2lg 2× 0.04
2− 0.30−0.48
(cid:228) 𝑡 (cid:20)(cid:10)B. 3−1 ≈ 0.48−1
(cid:22)(cid:150)(cid:53)2-2(cid:28)(cid:91)2024·(cid:237)(cid:327)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:18)(cid:11)(cid:328)(cid:114)(cid:210)(cid:84)(cid:329)(cid:257)(cid:258)(cid:249)(cid:325)(cid:31)(cid:48)(cid:330)(cid:62)(cid:63)(cid:13)(cid:225)(cid:145)(cid:331)(cid:332)(cid:126)1(cid:301)(cid:333)(cid:31)(cid:13)(cid:325)(cid:332)(cid:31)
(cid:334)(cid:335)(cid:47)(cid:24)(cid:69)(cid:126)1(cid:301)(cid:333)(cid:31)(cid:13)(cid:325)(cid:332)(cid:31)(cid:334)(cid:13)(cid:270)(cid:95)(cid:336)(cid:13)(cid:31)(cid:196)(cid:77)(cid:69)(cid:157)(cid:337)(cid:325)(cid:198)(cid:309)(cid:10)(cid:144)(cid:48)(cid:330)b(cid:148)(cid:262)(cid:307)(cid:338)(cid:13)(cid:225)(cid:145)(cid:69)(cid:126)n(cid:301)(cid:333)
1
(cid:31)(cid:13)(cid:325)(cid:332)(cid:31)(cid:67)(cid:335)(cid:95) ( )=log (cid:69)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:240)(cid:342)(cid:13)(cid:35)(cid:343)(cid:344)(cid:13)(cid:35)(cid:345)(cid:13)(cid:52)(cid:201)(cid:46)(cid:47)(cid:184)(cid:56)(cid:313)(cid:198)(cid:309)(cid:141)(cid:154)(cid:119)(cid:81)(cid:166)(cid:13)(cid:11)(cid:346)(cid:347)
𝑛+
𝑃𝑏 𝑛 𝑏 𝑛
ln ln2
(cid:348)(cid:27)(cid:349)(cid:198)(cid:309)(cid:119)(cid:350)(cid:286)(cid:289)(cid:186)(cid:285)(cid:351)(cid:13)(cid:225)(cid:35)(cid:20)(cid:352)(cid:13)(cid:225)(cid:52)(cid:48)(cid:13)(cid:225)(cid:31)(cid:61)(cid:84)(cid:45)(cid:141)(cid:222) ( )= (cid:91) N (cid:69)
𝑘=4 10 ln
6
2
−
ln5
∗
>4(cid:93)(cid:69)(cid:156)k(cid:31)(cid:189)(cid:95)(cid:91) (cid:93) 𝑛 𝑃 𝑛 + 𝑘∈
𝑘 A(cid:141)11 B(cid:141)15 C(cid:141)19 D(cid:141)21
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:311)(cid:312)(cid:145)(cid:31)(cid:67)(cid:335)(cid:7)(cid:53)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:60)(cid:159)(cid:7)(cid:53)(cid:69)(cid:126)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:60)(cid:50).
5 6 7 1 ln ln2
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) ( )=lg +lg +lg +...+lg = (cid:69)
𝑘=4 10 4 5 6
𝑘+
ln
6
2
−
ln5
𝑃 𝑛 𝑘 +
1 ln3 𝑛 1
(cid:208)lg = =lg3(cid:69)(cid:156) =3(cid:69)(cid:249) =11.
4 ln10 4
𝑘+ 𝑘+
𝑘
(cid:228)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:150)(cid:53)2-3(cid:28)(cid:91)2024·(cid:353)(cid:274)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:268)(cid:166)(cid:354)(cid:355)(cid:198)(cid:309)(cid:108)(cid:356)(cid:274)(cid:357)(cid:48)(cid:31)(cid:14)(cid:15)(cid:11)(cid:328)(cid:35)(cid:13)(cid:11)(cid:328)(cid:35)(cid:98)(cid:17)(cid:11)(cid:328)(cid:358)(cid:359)(cid:337)(cid:325)(cid:119)
(cid:31)(cid:69)(cid:208)(cid:360)(cid:169)(cid:320)(cid:261)(cid:54)(cid:58)(cid:82)(cid:83)(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:168)(cid:364)(cid:177)(cid:31)(cid:355)(cid:188)(cid:94)(cid:365)(cid:354)(cid:69)(cid:366)(cid:13)(cid:11)(cid:287)(cid:314)(cid:53)(cid:95) = 1 2(cid:69)(cid:366)(cid:145) (cid:287)(cid:367)(cid:320)(cid:261)(cid:14)(cid:133)(cid:308)
2
𝑚 ⋅𝑚
𝐹 𝐺 𝑟 𝐹
(cid:31)(cid:354)(cid:355)(cid:48)(cid:49)(cid:69) (cid:95)(cid:354)(cid:355)(cid:81)(cid:13)(cid:69) , (cid:65)(cid:172)(cid:287)(cid:367)(cid:320)(cid:261)(cid:14)(cid:133)(cid:31)(cid:54)(cid:330)(cid:69) (cid:287)(cid:367)(cid:320)(cid:261)(cid:14)(cid:133)(cid:308)(cid:31)(cid:368)(cid:369).(cid:222)(cid:305)(cid:370)(cid:57)(cid:371)(cid:370)(cid:31)(cid:115)
1 2
(cid:305)(cid:58)(cid:308)(cid:31)(cid:368)(cid:369)𝐺(cid:95) (cid:69)(cid:57)(cid:371)(cid:370)(cid:31)𝑚(cid:372)(cid:305)𝑚(cid:58)(cid:308)(cid:31)(cid:368)(cid:369)(cid:95) (cid:69)(cid:305)(cid:370)(cid:57)(cid:371)(cid:370)𝑟(cid:115)(cid:305)(cid:58)(cid:308)(cid:31)(cid:354)(cid:355)(cid:48)(cid:49)(cid:95) (cid:69)(cid:57)(cid:371)(cid:370)(cid:372)(cid:305)(cid:58)(cid:308)
1 2 1
(cid:31)(cid:354)(cid:355)(cid:48)(cid:49)(cid:95) 𝑟(cid:69)(cid:156)(cid:91) (cid:93) 𝑟 𝐹
2
𝐹
A(cid:141)ln +ln =ln +ln B(cid:141)ln +ln =ln +ln
1 1 2 2 1 2 2 1
𝐹 𝑟 𝐹 𝑟 𝐹 𝑟 𝐹 𝑟C(cid:141)ln ln =ln ln D(cid:141)ln ln =ln ln
1 1 2 2 1 2 2 1
𝐹 ⋅ 𝑟 𝐹 ⋅ 𝑟 𝐹 ⋅ 𝑟 𝐹 ⋅ 𝑟
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:210)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:323)(cid:324)(cid:63)(cid:33)(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:292)(cid:123)(cid:223).
2 2
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:210)(cid:21)(cid:169)(cid:137)(cid:69) 1= 2(cid:69)(cid:320)(cid:321)(cid:158)(cid:173)(cid:322)(cid:30)(cid:13)(cid:249)ln 1=ln 2(cid:69) ln ln =ln 2 ln 2=2(ln ln )(cid:69)
2 2 1 2 2 1 2 1
𝐹2 𝑟1 𝐹2 𝑟1
𝐹 𝑟 𝐹 𝑟 ∴ 𝐹 − 𝐹 𝑟 − 𝑟 𝑟 − 𝑟
(cid:208)ln +ln =ln +ln .
1 1 2 2
𝐹 𝑟 𝐹 𝑟
(cid:228)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:85)3(cid:28)(cid:91)2024·(cid:373)(cid:106)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:38)(cid:13) ( )=e e ln 2(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:48)(cid:374)(cid:95)(cid:91) (cid:93)
𝑥 𝑥
𝑓 𝑥 − − 𝑥
A(cid:141) B(cid:141)
C(cid:141) D(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225) <0(cid:173) (cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:226)(cid:182)(cid:183)BC(cid:204)(cid:165)(cid:210)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:226)(cid:182)(cid:183)D.
1
𝑥 1𝑓(𝑥) e e ln( ) <0
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) ( )=e e ln 2= (cid:69)
1
𝑥e 𝑥e ln >0
𝑥 𝑥 − −2 −𝑥 ,𝑥
𝑓 𝑥 − − 𝑥 𝑥 𝑥
1
(cid:377)(cid:95)(cid:378) <0(cid:173)(cid:69) =e = e = ln−( −)(cid:201)2(cid:95)𝑥(cid:379),𝑥(cid:38)(cid:13)(cid:69)
𝑥 𝑥
𝑥 1 𝑦 ,𝑦 − ,𝑦 −2 −𝑥
(cid:200)(cid:126)(cid:69) =e e ln( )(cid:144) (cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)(cid:228)B(cid:69)C(cid:242)(cid:243)(cid:204)
𝑥 𝑥
𝑦 − −2 −1𝑥 (−∞,0)
(cid:381)(cid:377)(cid:95) ( )=e e ln 2 ( )(cid:69)
−𝑥 −𝑥
(cid:200)(cid:126) ( 𝑓 )(cid:51)−𝑥(cid:108)(cid:375)(cid:38)(cid:13)−(cid:69)(cid:208)−(cid:39)(cid:40)𝑥 (cid:51)≠(cid:3)−(cid:175)𝑓 (cid:382)𝑥 (cid:58)(cid:30)(cid:383)(cid:69)(cid:228)D(cid:242)(cid:243).
(cid:228)(cid:20)(cid:10)𝑓 𝑥A.
(cid:22)(cid:150)(cid:53)3-1(cid:28)(cid:91)2024·(cid:353)(cid:274)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )= | | 1 ln 2(cid:69)(cid:156) ( )(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:48)(cid:374)(cid:95)(cid:91) (cid:93)
| |
𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥A(cid:141) B(cid:141)
C(cid:141) D(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:146)(cid:384)(cid:385)(cid:38)(cid:13)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:182)(cid:183)(cid:20)(cid:185)A(cid:69)(cid:165)(cid:224)(cid:225)(cid:38)(cid:13)(cid:189)(cid:239)(cid:386)(cid:182)(cid:183)B,C, (cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:325)(cid:227)(cid:326).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:377)(cid:95) ( )(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( ,0) (0,+ )(cid:69) ( )= | | 1 ln( )2= | | 1 ln 2=
| | | |
( )(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )(cid:108)(cid:376) 𝑓 (cid:38) 𝑥 (cid:13)(cid:69)(cid:156)(cid:366)(cid:39)(cid:40)(cid:3) −∞ (cid:175)y(cid:179) ∪ (cid:30)(cid:383)(cid:69) ∞ (cid:182)(cid:183) 𝑓 A − (cid:204) 𝑥 −𝑥 − −𝑥 −𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑓
𝑥 𝑓 𝑥 1 1
(cid:378) >1(cid:173)(cid:69)| | >0(cid:69)ln 2>0(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )>0(cid:69)(cid:378)0< <1(cid:173)(cid:69)| | <0(cid:69)ln 2<0(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )>0(cid:69)(cid:228)
| | | |
(cid:182) 𝑥 (cid:183)B(cid:69)C. 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:228)(cid:20):D.
1 ln| |
(cid:22)(cid:150)(cid:53)3-2(cid:28)(cid:91)2024·(cid:235)(cid:236)(cid:387)(cid:388)·(cid:205)(cid:221)(cid:93)(cid:38)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:39)(cid:389)(cid:48)(cid:374)(cid:95)(cid:91) (cid:93)
+ 𝑥
𝑥 −𝑥
𝑓 𝑥 𝑒 +𝑒
A(cid:141) B(cid:141)
C(cid:141)D(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:42)(cid:27)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:159)(cid:89)(cid:90)(cid:189)(cid:384)(cid:385)(cid:325)(cid:20)(cid:185)(cid:141)
1 ln| | 1 ln| |
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) ( )= = = ( )(cid:69) ( )(cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:182)(cid:183)C(cid:69)D(cid:204)
+ −𝑥 + 𝑥
−𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥
1 ∵𝑓 −𝑥 𝑒 +𝑒 𝑒 +𝑒 𝑓 𝑥 ∴𝑓 𝑥
(cid:381) (1)= 1>0(cid:69)
𝑓 𝑒+𝑒
(cid:228)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:150)(cid:53)3-3(cid:28)(cid:91)2024·(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:220)·(cid:74)(cid:221)(cid:93)(cid:38)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:39)(cid:389)(cid:48)(cid:374)(cid:95)(cid:91) (cid:93)
2ln| |
𝑥
𝑓 𝑥 𝑥
A(cid:141) B(cid:141)
C(cid:141) D(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:42)(cid:27)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:69)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:41)(cid:366)(cid:393)(cid:45)(cid:54)(cid:384)(cid:385)(cid:208)(cid:226).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) ( )= (cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95){ 0, (cid:92) ±1}(cid:69)
2ln| |
𝑥
(cid:377)(cid:95) ( )= 𝑓 𝑥 ( )(cid:69)(cid:200) 𝑥 (cid:126) ( )(cid:95)(cid:375)(cid:38)(cid:13)𝑥|𝑥(cid:69)≠(cid:182)(cid:183)A 𝑥(cid:69)≠ D(cid:69)
(cid:378) 𝑓(−0,𝑥1)(cid:173)(cid:69)−𝑓(𝑥)<0(cid:69)B𝑓(cid:242)𝑥 (cid:243)(cid:69)
(cid:228)(cid:20)𝑥∈(cid:10)C. 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:85)4(cid:28)(cid:91)2024·(cid:98)(cid:99)(cid:394)(cid:230)(cid:23)·(cid:196)(cid:221)(cid:93)(cid:176)(cid:137) =2log 2 0.4(cid:69) =log 0.4 2(cid:69) = log 0.4 (cid:69)(cid:156)(cid:91) (cid:93)
0.3
𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:141) > > B(cid:141) > > C(cid:141) > > D(cid:141) > >
𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:384)(cid:385)a(cid:69)b(cid:69)c(cid:57)0(cid:159)1(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:206)(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:292)(cid:227)(cid:326)(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) =2log 2 0.4=0.4(cid:69)
=log 2<𝑎log 1=0(cid:69)
0.4 0.4
𝑏0=log 11,
0.3 0.3 0.3
(cid:228) > > . 𝑐
(cid:228)(cid:20)𝑐 (cid:10)𝑎C. 𝑏
(cid:22)(cid:150)(cid:53)4-1(cid:28)(cid:91)2024·(cid:98)(cid:99)(cid:106)(cid:395)·(cid:196)(cid:221)(cid:93)(cid:176)(cid:137) =0.53.1(cid:69) =log 0.3(cid:69) =log 1 (cid:69)(cid:156)a(cid:69)b(cid:69)c(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:206)(cid:95)
0.9 1 2
3
𝑎 𝑏 𝑐
(cid:91) (cid:93)
A(cid:141) < < B(cid:141) < < C(cid:141) < < D(cid:141) < <
𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎1 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:34)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:145)(cid:308)(cid:189)“ ,1”(cid:65)(cid:66)(cid:48)(cid:49)(cid:208)(cid:226).
2
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:377)(cid:95) =0.5 (cid:144) (cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)(cid:156)0.53.1<0.51= 1 (cid:69)(cid:208) < 1 (cid:204)
2 2
𝑥
𝑦 𝑅 𝑎
(cid:381)(cid:377)(cid:95) =log (cid:144)(0,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)(cid:156)log 0.3>log 0.9=1(cid:69)(cid:208) >1(cid:204)
0.9 0.9 0.9
(cid:226)(cid:249) = 𝑦 log
1
1
2
=l 𝑥 og
3
2(cid:69)(cid:92)∞=log
3
(cid:144)(0,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69) 𝑏
3
𝑐 𝑦 𝑥 ∞
1 1
(cid:156) =log 3 > B(cid:141) > > 𝑎 C(cid:141),𝑏> > 𝑎 ,𝑐 D(cid:141) >𝑎 >
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)𝑎(cid:171)(cid:28)𝑏(cid:42)(cid:27)𝑐 (cid:34)(cid:13)(cid:38)(cid:13)𝑎(cid:43)(cid:44)𝑐(cid:45)𝑏(cid:249)(cid:292) >1(cid:69)(cid:42)(cid:27)𝑏 (cid:34)𝑐(cid:30)(cid:32)𝑎(cid:33)(cid:159)(cid:34)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:43)𝑐 (cid:44)𝑎(cid:45)(cid:249)𝑏(cid:292)0< <1(cid:69)(cid:42)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:38)
(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:249)(cid:292) <0(cid:69)(cid:156)(cid:46)(cid:47)(cid:325)(cid:48)(cid:49). 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)𝑐(cid:377)(cid:95) =40.3>40= =(log )4=0.34<1(cid:69)(cid:92)0.34>0(cid:69)(cid:156)0< <1(cid:69)
4
=log (log )=lo𝑎g 0.3<0(cid:69) 1,𝑏 𝑎 𝑏
4 4 4
(cid:200)𝑐 (cid:126) > >𝑎(cid:69)
(cid:228)(cid:20)(cid:10)𝑎 A.𝑏 𝑐
(cid:22)(cid:150)(cid:53)4-3(cid:28)(cid:91)2024·(cid:353)(cid:274)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) (cid:400)(cid:401) = (cid:69)(cid:92)(cid:144)(cid:402)(cid:308)[1,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396).(cid:238)
= ln1.1)(cid:69) = (20.4)(cid:69) = (log 5)(cid:69)(cid:156)(cid:91)𝑓( 𝑥 ) (cid:93) 𝑓(𝑥) 𝑓(2−𝑥) ∞
2
𝑎 𝑓A((cid:141)− > >𝑏 𝑓 𝑐 𝑓 B(cid:141) > >
𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎C(cid:141) > > D(cid:141) > >
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)𝑐(cid:171)(cid:28)𝑏 (cid:210)𝑎 = (cid:69)(cid:249)(cid:292)(cid:30)(cid:383)(cid:179)(cid:95) =𝑏1(cid:69)𝑎(cid:79)(cid:154)𝑐(cid:60)(cid:50) = ln1.1)= +ln1.1)(cid:69)(cid:148)(cid:213)(cid:42)(cid:27) ( )
(cid:144)[1,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)𝑓((cid:380)𝑥)(cid:396)(cid:69)𝑓(cid:46)(2(cid:47)−𝑥(cid:48))(cid:49)(cid:69)(cid:384)(cid:385)(cid:20)(cid:185). 𝑥 𝑎 𝑓(− 𝑓(2 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)∞(cid:187)(cid:28)(cid:210) = (cid:69)(cid:249)(cid:292)(cid:30)(cid:383)(cid:179)(cid:95) =1(cid:69)(cid:156) = ln1.1)= +ln1.1)(cid:69)
(cid:213)1<20.4<2+𝑓ln(𝑥1).1<𝑓2(2+−l𝑥o)g 1.1=log 4.4<𝑥log 5(cid:69)(cid:381)𝑎 (𝑓)((cid:144)−[1,+ )(cid:177)𝑓((cid:43)2(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
2 2 2
(cid:156) (20.4)> +ln1.1)> (log 5)(cid:69)(cid:249) > > . 𝑓 𝑥 ∞
2
(cid:228)𝑓(cid:20)(cid:10)D. 𝑓(2 𝑓 𝑏 𝑎 𝑐
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)
(cid:22)(cid:85)5(cid:28)(cid:91)2024·(cid:373)(cid:106)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )=|ln |(cid:69)(cid:222) ( ) ( +1)(cid:69)(cid:156)(cid:84)(cid:13)a(cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:108)(cid:91) (cid:93)
A(cid:141) 5 ,1 B(cid:141) 0, 5 𝑓 𝑥 C(cid:141) 5𝑥 ,+ 𝑓 𝑎 ≤𝑓 𝑎 D(cid:141)[1,+ )
2 2 2
−1 −1 −1
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:123)(cid:56)(cid:38)(cid:13) = ( )(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:159)(cid:38)(cid:13) = ( +1)(cid:31)∞(cid:39)(cid:40)(cid:69)(cid:210) ln =l ∞ n( +1)(cid:69)(cid:405)(cid:292)(cid:180)(cid:58)(cid:406)(cid:178)(cid:105)(cid:69)
1 1
(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:50). 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 − 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:144)(cid:158)(cid:74)(cid:178)(cid:105)(cid:206)(cid:145)(cid:88)(cid:325)(cid:38)(cid:13) = ( )(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:159)(cid:38)(cid:13) = ( +1)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:69)
(cid:238)(cid:320)(cid:39)(cid:40)(cid:180)(cid:175)(cid:58)A(cid:69)(cid:92)(cid:58)A(cid:31)(cid:406)(cid:178)(cid:105)(cid:95)𝑦 . 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥
1
(cid:210)(cid:39)(cid:40)(cid:226)(cid:249)(cid:400)(cid:401) ( ) ( +1)(cid:31)(cid:84)(cid:13)𝑎a(cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:95)[ ,+ ).
1
𝑓 𝑎 ≤𝑓 𝑎 1 𝑎 ∞
(cid:30)(cid:175) (cid:69)(cid:210) ln =ln( +1)(cid:69)(cid:249) = +1(cid:69)
1 1 1 1
1
𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:200)(cid:126) 2+ =0(cid:69)(cid:50)(cid:249) = 5(cid:80) = 5(cid:91)(cid:407)(cid:408)(cid:93)(cid:69)
1 1 1 1
2 2
−1+ −1−
𝑎 𝑎 −1 𝑎 𝑎
(cid:228)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:150)(cid:53)5-1(cid:28)(cid:91)2024·(cid:353)(cid:274)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:108)(cid:198)(cid:199)(cid:144)R(cid:177)(cid:31)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:378) 0(cid:173)(cid:69) ( )=3 + (cid:69)
𝑥
(cid:156)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (log ) <0(cid:31)(cid:50)(cid:409)(cid:95)(cid:91) (cid:93) 𝑓 𝑥 𝑥≥ 𝑓 𝑥 2𝑥−1
2
A(cid:141)( 𝑓 ,8) 𝑥 −32 B(cid:141)(0,8) C(cid:141) 1 ,8 D(cid:141) 0, 1
8 8
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)−(cid:171)∞(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:159)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:123)(cid:56)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:208)(cid:226).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:378) 0(cid:173)(cid:69) ( )=3 + (cid:69)
𝑥
𝑥≥ 𝑓 𝑥 2𝑥−1(cid:377)(cid:95)(cid:38)(cid:13) =3 = (cid:144)(0,+ )(cid:177)(cid:201)(cid:108)(cid:379)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
𝑥
(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13)𝑦( )(cid:144),(cid:402)𝑦 (cid:308)2(𝑥0−,+1 )(cid:177)(cid:43)∞(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)(cid:92) (3)=33+2× =32(cid:69)
(cid:381) ( )(cid:95)𝑓R𝑥(cid:177)(cid:31)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)∞ 𝑓 3−1
(cid:156)𝑓(𝑥log ) <0(cid:69)(cid:208) (log )<32(cid:69)(cid:208) (log )< (3)(cid:69)
2 2 2
(cid:200) 𝑓 (cid:126)|log 𝑥 | − < 32 3(cid:69)(cid:50)(cid:249) 1𝑓 < < 𝑥 8(cid:69)(cid:208)(cid:382)(cid:51)(cid:52) 𝑓 (cid:53)(cid:31)(cid:50) 𝑥 (cid:409)(cid:95) 𝑓 1 ,8 (cid:141)
2 8 8
(cid:228)(cid:20)(cid:10)C(cid:141)𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:150)(cid:53)5-2(cid:28)(cid:91)2024·(cid:219)(cid:220)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)“ > ”(cid:108)“ln( 2+e)>ln( 2+e)”(cid:31)(cid:91) (cid:93)
A(cid:141)(cid:410)(cid:59)(cid:311)(cid:312) 𝑎 𝑏 B(cid:141)(cid:410)𝑎(cid:65)(cid:51)(cid:192)(cid:59)(cid:311)(cid:312)𝑏
C(cid:141)(cid:192)(cid:59)(cid:51)(cid:410)(cid:65)(cid:311)(cid:312) D(cid:141)(cid:411)(cid:51)(cid:410)(cid:65)(cid:412)(cid:51)(cid:192)(cid:59)(cid:311)(cid:312)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:322) =1(cid:69) = (cid:208)(cid:226)(cid:413)(cid:288)(cid:51)(cid:410)(cid:65)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:412)(cid:226)(cid:413)(cid:288)(cid:51)(cid:192)(cid:59)(cid:210)(cid:349)(cid:208)(cid:226)(cid:249)
(cid:50). 𝑎 𝑏 −2
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:322) =1(cid:69) = (cid:226)(cid:249)ln( 2+e)ln𝑎( 2+e𝑏)(cid:69)(cid:224)−2(cid:225)(cid:30)(cid:13)(cid:38)𝑎(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:226)𝑏(cid:249) 2+e> 2+e(cid:69)
(cid:228) 2>𝑎 2(cid:69)(cid:249)| |>𝑏| |(cid:69)(cid:157)(cid:51)(cid:70)(cid:415)(cid:325) > (cid:69)(cid:200)(cid:126)(cid:192)(cid:59)(cid:45)𝑎(cid:158)(cid:416)(cid:51)(cid:77)𝑏(cid:414)(cid:69)
(cid:228)𝑎“ >𝑏”(cid:108)“ln(𝑎 2+𝑏e)>ln( 2+e)”𝑎(cid:31)(cid:411)𝑏(cid:51)(cid:410)(cid:65)(cid:412)(cid:51)(cid:192)(cid:59)(cid:311)(cid:312)(cid:69)
(cid:228)(cid:20)𝑎(cid:10)D𝑏(cid:141) 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:150)(cid:53)5-3(cid:28)(cid:91)2024·(cid:373)(cid:220)(cid:417)(cid:72)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )= +( ) (cid:91) >0(cid:92) 1(cid:93)(cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:156)(cid:3)
𝑥 −𝑥
(cid:175)x(cid:31)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (log )> 2 1(cid:31)(cid:50)(cid:409)(cid:108)(cid:91) (cid:93) 𝑓 𝑥 𝑎 𝑘−1 𝑎 𝑎 𝑎≠
𝑎 +
𝑓 𝑘𝑥 𝑎
A(cid:141)(2,+ ) B(cid:141) 0, 1 (2,+ )
2
∞ ∪ ∞
C(cid:141) 1 ,2 D(cid:141)(cid:126)(cid:177)(cid:227)(cid:326)(cid:201)(cid:51)(cid:30)
2
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225) ( )(cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:60)(cid:249) =2(cid:69)(cid:42)(cid:27)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:159)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:52)(cid:418)(cid:175)|log |>1(cid:69)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
2
(cid:208)(cid:226). 𝑓 𝑥 𝑘 𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) ( )(cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13)
( )= ( )∵(cid:69)𝑓(cid:208)𝑥 +( ) = +( )
−𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥
∴(cid:16)𝑓(cid:153)−(cid:249)𝑥( 𝑓 )𝑥( 𝑎 )=0𝑘−1 𝑎 𝑎 𝑘−1 𝑎
𝑥 −𝑥
=2(cid:69)𝑘−(2)=𝑎 −𝑎+ (cid:91) >0(cid:69) 1(cid:93)
𝑥 −𝑥
∴𝑘( )=ln𝑓 (𝑥 𝑎 ),𝑎 𝑎 𝑎≠
𝑥 −𝑥
𝑓′>𝑥1,0<𝑎<𝑎1−(cid:173)𝑎(cid:201)(cid:70)(cid:249)(cid:292) ( )=ln ( )>0(cid:69)
𝑥 −𝑥
𝑎 𝑎 𝑓′ 𝑥 𝑎 𝑎 −𝑎(cid:200)(cid:126) ( )= + (cid:144)[0,+ )(cid:177)(cid:108)(cid:379)(cid:38)(cid:13)
𝑥 −𝑥
( 𝑓)=𝑥 +𝑎 𝑎(cid:91) >0(cid:69) ∞ 1(cid:93)(cid:95)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:92)(cid:144)[0,+ )(cid:177)(cid:108)(cid:379)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
𝑥 −𝑥
∴𝑓 ( 𝑥 log 𝑎 )> 2𝑎 1(cid:69) 𝑎 (log ) 𝑎 > ≠ (1)(cid:69) ∞
2
𝑎 +
(cid:208)∴𝑓 |log 𝑘𝑥 |>1(cid:69)𝑎(cid:208)lo 𝑓 g >𝑥1(cid:80)lo 𝑓 g <
2 2 2
(cid:50)(cid:249) > 𝑥 2(cid:80)0< < 1 . 𝑥 (cid:208) 0, 1 𝑥 (2 − , 1 + ).
2 2
(cid:228)(cid:20) 𝑥 (cid:10)B. 𝑥 𝑥∈ ∪ ∞
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:45)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
1 2
(cid:22)(cid:85)6(cid:28)(cid:91)2023·(cid:219)(cid:220)(cid:419)(cid:399)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:108)(cid:198)(cid:199)(cid:144)R(cid:177)(cid:31)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:378) <0(cid:173)(cid:69) ( )=log (cid:141)
2 2𝑥
+
𝑥
(1)(cid:60) ( )(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:204) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 3−
(2)(cid:222)𝑓(cid:3)𝑥(cid:175) (cid:31)(cid:168)(cid:187) ( )= (cid:144)R(cid:177)(cid:166)(cid:50)(cid:69)(cid:60)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)𝑥 (cid:28)(cid:91)1(cid:93)𝑓(cid:224)𝑥 (cid:225)(cid:38)𝑘(cid:13)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:60)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:204)𝑘
(cid:91)2(cid:93)(cid:60)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:60) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)𝑓(cid:91)𝑥1(cid:93)(cid:378) >0(cid:173)(cid:69) 𝑘 <0(cid:69)
1 2 𝑥 1 2−𝑥
(cid:156) ( )=log =log (cid:69)
2 2−𝑥 23×2 𝑥
+ +
−𝑥 𝑥
(cid:377) 𝑓 (cid:95)−(cid:38)𝑥(cid:13) ( )(cid:108)3(cid:198)− (cid:199)(cid:144)R(cid:177)(cid:31)(cid:375)−(cid:38)1(cid:13)(cid:69)
(cid:200)(cid:126) ( 𝑓)=𝑥 ( )(cid:69)
𝑓 −𝑥 −𝑓1𝑥2 3×2
(cid:228) ( )= log =log (cid:69)
23×2 𝑥 2 1 𝑥2
+ −1
𝑥 𝑥
(cid:378) 𝑓 =𝑥0(cid:173) − (cid:69) (0)= − 0 1(cid:69)(cid:184)(cid:56)(cid:177)(cid:53)+(cid:69)
𝑥 𝑓 1 2
log ,( <0)
2
(cid:55)(cid:177)(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:95) ( )= 2𝑥 .
3×+2
log 2 31−𝑥2 𝑥 , 𝑥 ( 0)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑥 1
+ 𝑥≥
(cid:91)2(cid:93)(cid:378) <0(cid:173)(cid:69) ( )=log 1 2 =log + 4 (cid:69)
2 2𝑥 2 2
+
𝑥 𝑥
𝑥 𝑓 𝑥 3− 1 −1 3−4
(cid:377)(cid:95) <0(cid:69)(cid:200)(cid:126) < 2 <0(cid:69)(cid:200)(cid:126) < + <1(cid:69)
3 2
𝑥
𝑥
(cid:200)(cid:126) 𝑥 log 3< ( − ) 1 <0 − (cid:69) −1 3−
2
(cid:210)(cid:30)−(cid:383)(cid:45)(cid:226)(cid:137)(cid:69)𝑓(cid:378)𝑥 >0(cid:173)(cid:69)0< ( )0,𝑎2 −1 =( )( +1)<0(cid:69)
2
𝑓(cid:50)(𝑥(cid:249)) < <−𝑥5(cid:69) 4(cid:38)𝑥(cid:13) (cid:31)(cid:198)−𝑥(cid:199)(cid:190)4(cid:95)𝑥 (cid:69)𝑥 −4𝑥−5 𝑥−5 𝑥
(cid:38)(cid:13)−1= 𝑥 2+ ∴+5(cid:144)𝑓(𝑥) (cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)((cid:379)−1(cid:69),5(cid:144)) (2,5)(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
∵(cid:381) =𝑡 log−𝑥(cid:144)(40𝑥,+ )(cid:177)((cid:95)−1(cid:379),2(cid:38)) (cid:13)(cid:69)
2
(cid:38)∵(cid:13)𝑦 (cid:31)𝑡(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)∞(cid:402)(cid:308)(cid:95) (cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:402)(cid:308)(cid:95)(2,5).
(cid:91)∴ 2(cid:93)(cid:238)𝑓((cid:422)𝑥)(cid:144)(cid:84)(cid:13)a(cid:69)(cid:151)(cid:38)(cid:13)(−1(cid:31),2)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95)0(cid:69) = 2+ +5(cid:69)
𝑓(𝑥) ℎ(𝑥) 𝑎𝑥 4𝑥
(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95)0(cid:69) (cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95)1(cid:69)(cid:200)(cid:126) >0 (cid:69)(cid:92) =1 (cid:69)
20𝑎−16
(cid:427)∵ (cid:414) 𝑓(𝑥) (cid:50)(cid:249)(cid:10) =1(cid:69) ∴ ℎ(𝑥) 𝑎 ① 4𝑎 ②
(cid:422)(cid:144)①(cid:84)②(cid:13) =1(cid:69)𝑎(cid:151)(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95)0.
∴ 𝑎 𝑓(𝑥) 2 1
(cid:22)(cid:150)(cid:53)6-2(cid:28)(cid:91)23-24(cid:24)(cid:74)(cid:300)·(cid:428)(cid:248)(cid:429)(cid:333)·(cid:430)(cid:145)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )= (cid:95)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:141)
2𝑥
+
𝑥
(1)(cid:60)(cid:84)(cid:13)a(cid:31)(cid:189)(cid:204) 𝑓 𝑥 +𝑎
(2)(cid:384)(cid:385)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:91)(cid:51)(cid:27)(cid:431)(cid:288)(cid:93)(cid:204)
𝑓 𝑥
(3)(cid:238)(cid:38)(cid:13) =log log + (cid:69)(cid:222)(cid:30)(cid:360)(cid:169)(cid:31) [2,8](cid:69)(cid:336)(cid:422)(cid:144) (0,1](cid:69)(cid:151)(cid:249) ( )= ( )(cid:77)(cid:414)(cid:69)(cid:60)(cid:84)
22 24 1 2 1 2
𝑥 𝑥
(cid:13)m(cid:31)(cid:322) 𝑔 (cid:189) (𝑥 (cid:403) ) (cid:404)(cid:141) ⋅ 𝑚 𝑥 ∈ 𝑥 ∈ 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:25)(cid:432) 0(cid:159) <0(cid:320)(cid:266)(cid:64)(cid:433)(cid:69)(cid:224)(cid:225)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:45)(cid:54)(cid:63)(cid:33)(cid:249)(cid:292)(cid:227)(cid:326).
(cid:91)2(cid:93)(cid:244)(cid:198)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:69)(cid:238) 𝑎,≥ (0𝑎,+ )(cid:69)(cid:92) < (cid:69)(cid:63)(cid:33) ( ) ( )>0(cid:69)(cid:249)(cid:292)(cid:43)(cid:44)(cid:45).
1 2 1 2 1 2
(cid:91)3(cid:93)(cid:224)(cid:225)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:244)(cid:198)∀𝑥 (𝑥0,1∈](cid:173) ( )∞(cid:31)(cid:189)(cid:190)𝑥 =[𝑥3,+ )(cid:69)𝑓(cid:238)𝑥 =−l𝑓og𝑥 [1,3](cid:69)(cid:71)(cid:434)(cid:249)(cid:292)(cid:205)(cid:435)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:63)(cid:33)
2
( )(cid:152)(cid:48)(cid:189)(cid:159)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:69)𝑥(cid:224)∈(cid:225)(cid:189)(cid:190)(cid:31)𝑓(cid:134)𝑥 (cid:436)(cid:3)(cid:206)(cid:249)𝐴(cid:292)(cid:227)(cid:326).∞ 𝑡 𝑥,𝑡∈
𝑔(cid:22)(cid:50)𝑥 (cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:210)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13)(cid:315)(cid:400)(cid:401)2 + 0(cid:69)(cid:378) 0(cid:173)(cid:69)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)R(cid:69)
𝑥
2 1 𝑎≠ 𝑎≥
(cid:38)(cid:13) ( )= (cid:95)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )= ( )(cid:69)
2𝑥
+
𝑥
𝑓 𝑥 +𝑎 𝑓 −𝑥 −𝑓 𝑥
2 1 2 1
(cid:208) = (cid:144)R(cid:177)(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:69)(cid:208)( +1)(2 +1)=0(cid:69) = (cid:91)(cid:407)(cid:93)(cid:69)
2−𝑥 2𝑥
−𝑥 + 𝑥 + 𝑥
+𝑎 − +𝑎 𝑎 𝑎 −1(cid:378) <0(cid:173)(cid:69) log ( )(cid:69)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( ,log ( )) (log ( ),+ )(cid:69)
2 2 2
𝑎 𝑥≠2 1 −𝑎 −∞ −𝑎 ∪ −𝑎 ∞
(cid:381)(cid:38)(cid:13) ( )= (cid:95)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:200)(cid:126)log ( )= = (cid:69)
2𝑥 2
+
𝑥
𝑓 𝑥 +𝑎 −𝑎 0,𝑎 −1
2 1
(cid:349)(cid:173) ( )= (cid:69)(cid:38)(cid:13)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( ,0) (0,+ )(cid:69)
2𝑥
+
𝑥
𝑓 𝑥 −1 −∞ ∪ ∞
2 1 2 1
( )= = = ( )(cid:69)(cid:38)(cid:13)(cid:95)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:400)(cid:401)(cid:69)
2−𝑥 2𝑥 1
+ +
−𝑥 𝑥
(cid:55) 𝑓 −(cid:177)𝑥(cid:200)(cid:310)(cid:10)−1 = −(cid:204)+ −𝑓 𝑥
(cid:91)2(cid:93) ( )(cid:144)𝑎( −,10)(cid:159)(0,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)(cid:431)(cid:288)(cid:339)(cid:300)(cid:10)
𝑓2𝑥 1 −∞ 2 ∞
( )= =1+ (cid:69)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( ,0) (0,+ )(cid:69)
2𝑥 2
+
𝑥 𝑥
(cid:238) 𝑓 𝑥 , −1 (0,+ )(cid:69)−1(cid:92) < (cid:69) −∞ ∪ ∞
1 2 1 2
(cid:156) ∀ ( 𝑥 𝑥 ) ∈ ( )= ∞ 1+ 𝑥2 𝑥 1+ 2 = 2(2 2 2 1)
1 2 2 1 2 2 (2 1 𝑥) − (2𝑥2 )
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:377) 𝑓 (cid:95)𝑥 1 , − 2 𝑓 𝑥 (0,+ )(cid:69)(cid:92)− 1 1< − 2 (cid:69)(cid:200)(cid:126)−21 1 > − 0 1 ,2 2 −1 >0,2 2 2 1>0(cid:69)
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:200)(cid:126)𝑥(𝑥)∈> ( )∞(cid:69)(cid:200)(cid:126)𝑥( )(cid:144)𝑥(0,+ )(cid:177)−(cid:43)1(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)−1 −
1 2
(cid:158)(cid:15)𝑓(cid:226)𝑥(cid:431)(cid:69)(cid:200)𝑓(cid:126)𝑥 ( )(cid:144)( 𝑓 𝑥,0)(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)∞(cid:396)(cid:204)
(cid:200)(cid:126) ( )(cid:144)(0,+𝑓 𝑥)(cid:69)( −∞,0)(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396).
(cid:91)3(cid:93)𝑓(cid:38)𝑥(cid:13) ( )(cid:144)∞( ,0−)(cid:159)∞(0,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
(cid:92)(cid:378) ( 𝑓 𝑥,0)(cid:173)(cid:69)−∞( )<0(cid:69)(cid:378)∞ (0,+ )(cid:173)(cid:69) ( )>0(cid:69)
𝑥(0∈,1]−(cid:173)∞(cid:69) ( ) 𝑓 𝑥(1)=3(cid:69)(cid:200)𝑥(cid:126)∈(cid:378) ∞(0,1](cid:173)𝑓(𝑥)(cid:31)(cid:189)(cid:190) =[3,+ )(cid:69)
2
𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≥𝑓 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝐴 ∞
(cid:381) ( )=log log + =(log )(log )+ [2,8](cid:69)
22 24 2 2
𝑥 𝑥
(cid:238) 𝑔 =𝑥log [ ⋅ 1,3](cid:69)(cid:156) 𝑚 =( 𝑥 )( −1 )+ 𝑥−=22 𝑚,𝑥 + ∈ 2+ (cid:69)
2
𝑡 3 𝑥,𝑡∈ 𝑦1 𝑡−1 𝑡−2 𝑚 𝑡 −3𝑡 𝑚
(cid:378) = (cid:173)(cid:69)(cid:322)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95) + (cid:69)(cid:378) =3(cid:173)(cid:69)(cid:322)(cid:152)(cid:48)(cid:189)(cid:95)2+ (cid:69)
2 4
𝑡 − 𝑚 𝑥 𝑚
(cid:208) ( )(cid:144) [2,8](cid:177)(cid:31)(cid:189)(cid:190) = 1 + + (cid:69)
4
(cid:381) 𝑔 (cid:30)(cid:360)𝑥 (cid:169) 𝑥 (cid:31) ∈ [2,8](cid:69)(cid:336)(cid:422) 𝐵 (cid:144) − (0,1 𝑚 ](cid:69),2(cid:151)𝑚(cid:249) ( )= ( )(cid:77)(cid:414)(cid:69)
1 2 1 2
(cid:208) (cid:69)(cid:200)
𝑥
(cid:126)
∈ 1
+ 3(cid:69)(cid:50)
𝑥
(cid:249)
∈ 13
(cid:69)(cid:208)
𝑔 𝑥13
,+
𝑓 𝑥
.
4 4 4
𝐵⊆𝐴 − 𝑚≥ 𝑚≥ 𝑚∈ ∞
(cid:22)(cid:150)(cid:53)6-3(cid:28)(cid:91)23-24(cid:24)(cid:196)(cid:177)·(cid:219)(cid:106)(cid:438)(cid:439)·(cid:343)(cid:440)(cid:441)(cid:442)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) =log (cid:69) = 4 2 +2+3
12
9𝑎−𝑥
𝑥 𝑥
𝑓(𝑥) +𝑏𝑥 𝑔(𝑥) 𝑚⋅ −
(1)(cid:222)y=lg[ ( )](cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:95)R(cid:69)(cid:60)(cid:400)(cid:401)(cid:311)(cid:312)(cid:31)(cid:443)(cid:13) (cid:31)(cid:189)(cid:204)
𝑔 𝑥 𝑚 1
(2)(cid:222)(cid:444)(cid:81)(cid:13)(cid:38)(cid:13) (cid:108)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( )(cid:31)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:92) [1,2)(cid:69) (cid:69) )> (cid:69)(cid:60) (cid:31)
1 2 1 2 2
𝑓(𝑥) −2,2 ∀𝑥 ∈ ∃𝑥 ∈[−1,1] 𝑓(𝑥 )−𝑔(𝑥 − 𝑚(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404).
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:224)(cid:225)(cid:38)(cid:13) =lg (cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:95)R(cid:69)(cid:226)(cid:249)(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:134)(cid:436)(0,+ )(cid:69)(cid:165)(cid:65) =0(cid:69) >0
(cid:159) <0(cid:196)(cid:266)(cid:64)(cid:433)(cid:202)(cid:203)(cid:69)(cid:123)(cid:56)𝑦(cid:205)(cid:435)(cid:38)[𝑔(cid:13)(𝑥(cid:31))](cid:45)(cid:54)(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:50)(cid:204) 𝑔(𝑥) ∞ 𝑚 𝑚
𝑚 1
(cid:91)2(cid:93)(cid:224)(cid:225)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:60)(cid:325)(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:69)(cid:165)(cid:224)(cid:225) )> (cid:69)(cid:156)(cid:445)(cid:59)
1 2 1 2 2
𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈[1,2),∃𝑥 ∈[−1,1],𝑓(𝑥 )−𝑔(𝑥 −
1
+ > (cid:208)(cid:226)(cid:69)(cid:60)(cid:325)(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:69)(cid:165)(cid:114) (cid:65)(cid:64)(cid:433)(cid:202)(cid:203)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:205)(cid:435)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:54)(cid:60)(cid:325) (cid:31)
min 2 min
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑚 𝑔(𝑥)
(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:208)(cid:226)(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:377)(cid:95)(cid:38)(cid:13) =lg[ ( )](cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:95)R(cid:69)(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:134)(cid:436)(0,+ )(cid:69)
( )= 4 2 +2+3= 𝑦(2 )2 𝑔 𝑥2 +3(cid:69) 𝑔 𝑥 ∞
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:378)𝑔 𝑥 =0𝑚(cid:173)⋅(cid:69)−( )= 2 +2𝑚+⋅3(cid:69)(cid:366)−(cid:189)4(cid:190)⋅(cid:95)( ,3)(cid:69)(cid:51)(cid:400)(cid:401)(cid:311)(cid:312)(cid:69)
𝑥
(cid:378) 𝑚 0(cid:173)(cid:69)(cid:319) 𝑔 𝑥 =2 − ， (0,+ )(cid:69)(cid:156)(cid:38)(cid:13) −∞ = 2 +3(cid:31)(cid:30)(cid:383)(cid:179)(cid:95) = 2 (cid:69)
𝑥
𝑚≠ 𝑡 𝑡∈ 2 ∞ 𝑦 𝑚𝑡 −4𝑡 𝑡 𝑚
(cid:378) >0(cid:173)(cid:69) = 2 2 +3= 4 (cid:69)(cid:208) ( )(cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:95) 4 ,+ (cid:69)
min
𝑚 4 𝑦0 𝑚⋅ 𝑚 −4 4 ⋅𝑚 3−𝑚 𝑔 𝑥 3−𝑚 ∞
(cid:200)(cid:126) (cid:69)(cid:50)(cid:249)0< (cid:69)
>0 3
3−𝑚≤
𝑚≤
(cid:378) <0𝑚(cid:173)(cid:69) 2 <0(cid:69)(cid:156)(cid:38)(cid:13) = 2 +3(cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:95)( ,3)(cid:69)(cid:208)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:95)( ,3)(cid:69)(cid:51)(cid:400)(cid:401)(cid:311)(cid:312)(cid:69)
𝑚 𝑚 𝑦 𝑚𝑡 −4𝑡 −∞ 𝑔 𝑥 −∞
4
(cid:55)(cid:177)(cid:200)(cid:310)(cid:69)0< (cid:69)(cid:200)(cid:126)(cid:400)(cid:401)(cid:311)(cid:312)(cid:31)(cid:443)(cid:13) (cid:31)(cid:189)(cid:95)1(cid:204)
3
𝑚≤ 𝑚
(cid:91)2(cid:93)(cid:377)(cid:95)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:108)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( )(cid:31)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
𝑓 𝑥 l−og2,2 =0
(0)=0 1 2 =2 =2
(cid:200)(cid:126) ( )= (1) (cid:69)(cid:208) log 1 9 = 𝑎 log (cid:69)(cid:50)(cid:249) =1 (cid:80) = (cid:69)
1 1
2
𝑓 9𝑎+ 9𝑎−1 𝑎 𝑎
𝑓 −1 −𝑓 2−𝑏 = − 2 +𝑏 𝑏 𝑏 −1
(cid:210)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:51)(cid:108)(cid:81)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:200)(cid:126) (cid:69)
=1
𝑎
𝑓 𝑥
(cid:285)(cid:350)(cid:286)(cid:69)(cid:184)(cid:56)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:208) ( )=log𝑏 1 (cid:69)
2
92−𝑥
𝑓 𝑥 +𝑥
1
(cid:210) [1,2)(cid:69) [ ](cid:69) ( ) ( )> (cid:69)
1 2 1 2 2
∀𝑥 ∈ ∃𝑥 ∈ −1,1 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 −
1
(cid:249) [1,2)(cid:69) [ ](cid:69) ( )+ > ( )(cid:69)
1 2 1 2 2
∀𝑥 ∈ ∃𝑥 ∈ −1,1 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
1
(cid:445)(cid:59) ( ) + > ( ) (cid:208)(cid:226)(cid:69)
min 2 min
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:378) [1,2)(cid:173)(cid:69) = (2 ) = 4 0, 1 (cid:69)
2 2 2 3
2−𝑥 4− +𝑥
𝑥∈ +𝑥 1+𝑥1 +𝑥−1∈ 1
(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13) ( ) =log = (cid:69)(cid:156) ( ) + =1(cid:69)
min 1 3 2 min 2
9
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥( )= 4 2 +2+3= (2 )2 2 +3(cid:69)
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:319)
𝑔 𝑥
=2
𝑚
(cid:69)
⋅
(cid:377)
−
(cid:95) [ ](cid:69)
𝑚
(cid:200)
⋅
(cid:126)
−41⋅
,2 (cid:69)
2
𝑥
𝑛 𝑥∈ −1,1 𝑛∈
(cid:38)(cid:13) = 2 +3， 1 ,2 (cid:69)
2
𝑦 𝑚⋅𝑛 −4𝑛 𝑛∈
(cid:378) =0(cid:173)(cid:69) = +3， 1 ,2 (cid:69)(cid:156) =2(cid:173)(cid:69) = <1(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:69)(cid:184)(cid:56)(cid:21)(cid:169)(cid:204)
min
2
𝑚 𝑦 −4𝑛 𝑛∈ 𝑛 𝑦 −5
(cid:378) 0(cid:173)(cid:69)(cid:38)(cid:13) = 2 +3， 1 ,2 (cid:31)(cid:30)(cid:383)(cid:179)(cid:95) = 2 (cid:69)
2
𝑚≠ 𝑦 𝑚⋅𝑛 −4𝑛 𝑛∈ 𝑛 𝑚
(cid:378) <0(cid:173)(cid:69)(cid:156) =2(cid:173)(cid:69) = <0(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:69)(cid:184)(cid:56)(cid:21)(cid:169)(cid:204)
min
4
𝑚 2 1 𝑛 𝑦 41𝑚−5 1
(cid:378)0< (cid:69)(cid:208) 4(cid:173)(cid:69)(cid:156) = (cid:173)(cid:69) = +1(cid:69)(cid:200)(cid:126) 1 (cid:69)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:446)(cid:447)(cid:50)(cid:204)
2 2 min 4 +1<1
4 𝑚≥
𝑚≤ 𝑚≥ 𝑛 𝑦 𝑚
2 𝑚
(cid:378) 2(cid:69)(cid:208)0< 1(cid:173)(cid:69)(cid:156) =2(cid:173)(cid:69) = <0(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:69)(cid:184)(cid:56)(cid:21)(cid:169)(cid:204)
min
𝑚≥ 𝑚≤ 𝑛 𝑦 4𝑚−5 1< <4
1 2 2 4
(cid:378) < <2(cid:69)(cid:208)1< <4(cid:173)(cid:69)(cid:156) = (cid:173)(cid:69) = +3(cid:69)(cid:200)(cid:126) 4 (cid:69)(cid:50)(cid:249)1< <2(cid:69)
2 min +3<1
𝑚
(cid:55)(cid:177)(cid:200)𝑚(cid:310)(cid:69) (cid:31)(cid:322)(cid:189) 𝑚 (cid:403)(cid:404)(cid:95)( ,2 𝑛 ). 𝑚 𝑦 −𝑚 −𝑚 𝑚
𝑚 −∞
(cid:74)(cid:35)(cid:43)(cid:20)(cid:21)
1 1
1(cid:141)(cid:91)2024·(cid:428)(cid:248)·(cid:205)(cid:221)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:239)(cid:84)(cid:13) (cid:400)(cid:401) ln =ln( ) ln (cid:69)(cid:156) =(cid:91) (cid:93)
2 2
𝑛
𝑚,𝑛 𝑚 𝑚−2𝑛 − 𝑛 𝑚
1 1
A(cid:141)1 B(cid:141) C(cid:141)4 D(cid:141)1(cid:80)
4 4
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:42)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:16)(cid:153)(cid:52)(cid:53)(cid:69)(cid:426)(cid:325)(cid:3)(cid:175) (cid:31)(cid:168)(cid:187)(cid:60)(cid:50)(cid:208)(cid:249).
𝑛
𝑚
1 1
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:210) ln =ln( ) ln (cid:69)(cid:249)ln =ln( )(cid:69)(cid:377)(cid:349) = >0(cid:69)
2 2
2 𝑚 𝑚−2𝑛 − 𝑛 𝑚𝑛 𝑚−2𝑛 𝑚𝑛 𝑚−2𝑛
1 1
(cid:443)(cid:15)(cid:249)2( ) + =0(cid:69)(cid:50)(cid:249) = (cid:69)(cid:208) = (cid:69)(cid:285)(cid:350)(cid:286)(cid:184)(cid:56)(cid:21)(cid:169)(cid:69)
2 4
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
1 𝑚 𝑚−1 𝑚 𝑚
(cid:200)(cid:126) = .
4
𝑛
𝑚
(cid:228)(cid:20)(cid:10)B.
1 1
2(cid:141)(cid:91)2024·(cid:250)(cid:251)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:222)(cid:84)(cid:13) (cid:69) (cid:69) (cid:400)(cid:401)5 =7 = (cid:92) + =2(cid:69)(cid:156) =(cid:91) (cid:93)
𝑚 𝑛
𝑚 𝑛 𝑡 𝑡 𝑚 𝑛 𝑡
A(cid:141)2 3 B(cid:141)12 C(cid:141) 5 D(cid:141) 35
1 1
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:16)(cid:226)(cid:249) =log (cid:69) =log (cid:69)(cid:323)(cid:324) + =2(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:63)(cid:33)(cid:249)(cid:292) (cid:31)(cid:189).
5 7
𝑚 𝑡 𝑛 𝑡 𝑚 𝑛 𝑡
1 1
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:377)(cid:95)5 =7 = (cid:92) + =2(cid:69)(cid:448)(cid:137) >0(cid:92) 1(cid:69)
𝑚 𝑛
𝑡 𝑚 𝑛 𝑡 𝑡≠(cid:200)(cid:126) =log (cid:69) =log (cid:69)
5 7
𝑚1 𝑡 1𝑛 𝑡
(cid:200)(cid:126) =log 5(cid:69) =log 7(cid:69)
𝑚 𝑡 𝑛 𝑡
1 1
(cid:200)(cid:126) + =log 5+log 7=log 35=2(cid:69)(cid:156) = 35.
(cid:228)(cid:20)𝑚(cid:10)D(cid:141)𝑛 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡
3(cid:141)(cid:91)2024·(cid:177)(cid:230)·(cid:196)(cid:221)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) =1+log > 1)(cid:437)(cid:83)(cid:198)(cid:58) (cid:69)(cid:156) + =(cid:91) (cid:93)
A(cid:141)1 B(cid:141)2 𝑓(𝑥) C𝑎(cid:141)(23𝑥−3) (𝑎 0,𝑎≠ D(cid:141)4 (𝑚,𝑛) 𝑚 𝑛
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:319) =1(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:60)(cid:50) (cid:437)(cid:83)(cid:198)(cid:58)(2,1)(cid:69)(cid:148)(cid:213)(cid:60)(cid:50).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:319)2𝑥−3=1(cid:69)(cid:50)(cid:249) =2𝑓(cid:69)(𝑥(cid:349)) (cid:173) =1+log 1=1(cid:69)
(cid:200)(cid:126) (cid:437)(cid:83)(cid:198)(cid:58)2𝑥(−23,1)(cid:69)(cid:156) =𝑥 =1(cid:69) 𝑓(2) 𝑎
(cid:200)(cid:126)𝑓(𝑥+) =3. 𝑚 2,𝑛
(cid:228)(cid:20)(cid:10)𝑚C.𝑛
4(cid:141)(cid:91)2024·(cid:103)(cid:236)(cid:449)(cid:450)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)19(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:274)(cid:98)(cid:17)(cid:11)(cid:328)(cid:236)(cid:454)·(cid:455)(cid:420)(cid:144)(cid:456)(cid:457)(cid:30)(cid:13)(cid:287)(cid:173)(cid:69)(cid:376)(cid:79)(cid:331)(cid:332)(cid:287)(cid:145)(cid:126)1(cid:301)(cid:333)(cid:31)
(cid:13)(cid:325)(cid:332)(cid:31)(cid:334)(cid:335)(cid:458)(cid:24)(cid:141)(cid:270)(cid:459)(cid:261)(cid:451)(cid:452)(cid:154)(cid:69)(cid:14)(cid:15)(cid:11)(cid:328)(cid:128)·(cid:460)(cid:89)(cid:381)(cid:110)(cid:23)(cid:331)(cid:332)(cid:461)(cid:261)(cid:332)(cid:40)(cid:69)(cid:114)(cid:84)(cid:329)(cid:257)(cid:258)(cid:249)(cid:325)(cid:31)(cid:48)(cid:330)(cid:13)(cid:225)(cid:145)(cid:69)
(cid:126)1(cid:301)(cid:333)(cid:31)(cid:13)(cid:325)(cid:332)(cid:31)(cid:334)(cid:13)(cid:270)(cid:95)(cid:336)(cid:13)(cid:31)(cid:196)(cid:77)(cid:69)(cid:157)(cid:337)(cid:325)(cid:128)·(cid:460)(cid:89)(cid:198)(cid:309)(cid:69)(cid:208)(cid:144)(cid:48)(cid:330)b(cid:148)(cid:262)(cid:307)(cid:338)(cid:13)(cid:225)(cid:145)(cid:69)(cid:126)n(cid:301)(cid:333)(cid:31)
1
(cid:13)(cid:325)(cid:332)(cid:31)(cid:67)(cid:335)(cid:95) ( )=log (cid:69)(cid:339)(cid:462)(cid:341)(cid:240)(cid:342)(cid:13)(cid:35)(cid:343)(cid:344)(cid:13)(cid:35)(cid:345)(cid:13)(cid:52)(cid:201)(cid:46)(cid:47)(cid:184)(cid:56)(cid:313)(cid:198)(cid:309)(cid:69)(cid:154)(cid:119)(cid:81)(cid:166)(cid:13)(cid:11)(cid:346)(cid:347)(cid:348)
𝑛+
𝑃𝑏 𝑛 𝑏 𝑛 2024 log log 3
(cid:27)(cid:349)(cid:198)(cid:309)(cid:119)(cid:350)(cid:286)(cid:289)(cid:186)(cid:285)(cid:351)(cid:13)(cid:225)(cid:35)(cid:20)(cid:352)(cid:13)(cid:225)(cid:52)(cid:48)(cid:13)(cid:225)(cid:31)(cid:61)(cid:84)(cid:45)(cid:141)(cid:222) ( )= 2 2 (cid:91) *(cid:69)
10 1 log 5
= 9− 2
2024(cid:93)(cid:69)(cid:156)k(cid:31)(cid:189)(cid:95)(cid:91) (cid:93) 𝑛 𝑘 𝑃 𝑛 + 𝑘∈𝑁
𝑘≤A(cid:141)674 B(cid:141)675 C(cid:141)676 D(cid:141)677
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:123)(cid:56)(cid:311)(cid:312)(cid:41)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:63)(cid:33)(cid:208)(cid:226).
2024
1 2 2025 2025
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28) ( )= ( )+ ( +1)+ + (2024)=lg +lg + +lg =lg (cid:69)
10 10 10 10 1 2024
= 𝑘+ 𝑘+
log 2 log 2 3 = log 2 3𝑛 = 𝑘 lg 𝑃 3(cid:69) 𝑛 (cid:228) = 𝑃 675 𝑘 (cid:141) 𝑃 𝑘 ⋯ 𝑃 𝑘 𝑘+ ⋯ 𝑘
1 log 5 log 10
9− 2 2
+ 𝑘
(cid:228)(cid:20)(cid:10)B.
5(cid:141)(cid:91)2024·(cid:246)(cid:463)(cid:464)(cid:465)(cid:466)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137) =log 6(cid:69) =log 8(cid:69) = e(cid:69)(cid:156) (cid:69) (cid:69) (cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:206)(cid:95)(cid:91) (cid:93)
5 2
A(cid:141) < < B(cid:141) < < 𝑎 C(cid:141) <𝑏 < 𝑐 D(cid:141) <𝑎 <𝑏 𝑐
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)𝑎 (cid:171)𝑏(cid:28)(cid:210)𝑐(cid:176)(cid:137)(cid:123)(cid:56)(cid:122)𝑎(cid:38)(cid:13)𝑐(cid:41)𝑏(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:45)𝑐(cid:384)(cid:385)𝑎 (cid:69)𝑏 (cid:69) (cid:31)(cid:403)(cid:404)(cid:69)𝑏(cid:208)(cid:226)𝑐(cid:46)(cid:47)𝑎 (cid:69) (cid:69) (cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:141)
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:377)(cid:95) = e> 9 4 = 3 2 (cid:69) =log 2 8=log 2 2 3 2 𝑎 = 3 2 𝑏 (cid:69) 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
𝑐 𝑏3
=log 6=log 36
−4𝑥−4,𝑥≤ 4
𝑓 𝑥 𝑎
𝑎(4𝑥)−1,𝑥
(cid:108)(cid:91) (cid:93)
A(cid:141)(0,1) B(cid:141)(1, 3] C(cid:141)(1, 3) D(cid:141)(1,3)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:65)(cid:440)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:31)(cid:384)(cid:198)(cid:168)(cid:155)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:30)(cid:13)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:54)(cid:69)(cid:426)(cid:325)(cid:3)(cid:175) (cid:31)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:69)
(cid:208)(cid:226)(cid:60)(cid:50). 𝑎
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:378) 3 (cid:173)(cid:69) ( )= 1 = 1 4(cid:69)(cid:226)(cid:249) ( )(cid:144) , 3 (cid:177)(cid:380)(cid:379)(cid:69)
4 4
−
1 𝑥≤ 3 𝑓 𝑥 −4𝑥−4 𝑥−1 𝑓 𝑥 −∞
(cid:59)(cid:151)(cid:249)(cid:38)(cid:13) ( )= 4 (cid:108)R(cid:177)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
3
log >
−4𝑥−4,𝑥≤ 4
𝑓 𝑥
𝑎(4𝑥)−1,𝑥
1
(cid:156)(cid:400)(cid:401) >1(cid:69)(cid:92)log 4× 3 4×3 (cid:69)(cid:50)(cid:226)(cid:249)1< 3(cid:69)
4 4
𝑎 𝑎 −1≥− −4 𝑎≤
(cid:200)(cid:126)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:95)(1, 3].
(cid:228)(cid:20)(cid:10)B.𝑎
7(cid:141)(cid:91)2024·(cid:428)(cid:236)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )= 2 (cid:69) ( )=log | |(cid:69)(cid:339)(cid:39)(cid:95)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:69)(cid:156) ( )(cid:226)(cid:70)(cid:95)
1 22𝑥 2
1−
2𝑥
(cid:91) (cid:93) 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑥 ℎ 𝑥 ℎ 𝑥
A(cid:141) ( )= ( )+ ( ) B(cid:141) ( )= ( ) ( )
ℎ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥 𝑓(𝑥) −𝑔 𝑥
C(cid:141) ( )= ( ) ( ) D(cid:141) ( )=
( )
𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170) ℎ (cid:171)𝑥 (cid:28)(cid:210) 𝑓 (cid:38)𝑥 (cid:13) 𝑔 (cid:31)𝑥 (cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:123)(cid:56)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:159) ℎ (cid:39)𝑥(cid:40)(cid:467) 𝑔 (cid:185) 𝑥 (cid:65)(cid:66)(cid:208)(cid:226)(cid:204)
1 2
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:129)(cid:21)(cid:169)(cid:226)(cid:137)(cid:69)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)R(cid:69) ( )= 2 = 2 2𝑥= 22𝑥−1= 2 = ( )(cid:69)
1
1
−
2
−
−
2
2
𝑥
𝑥 11− 1
2 2𝑥
2
22𝑥
2
+
𝑥1 22
2
𝑥
𝑥 −
1
1
𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 + + 2𝑥 + −𝑓 𝑥
(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:95)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:141)
𝑓 𝑥(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95){ | 0}(cid:69) ( )=log | |= ( )(cid:69)
2
(cid:200)(cid:126)𝑔(cid:38)(cid:13)𝑥 ( )(cid:95)(cid:376)(cid:38)(cid:13)𝑥(cid:141)𝑥≠ 𝑔 −𝑥 −𝑥 𝑔 𝑥
(cid:30)(cid:175)A(cid:69)𝑔(𝑥)= ( )+ ( )(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95) 0}(cid:69) ( )(cid:411)(cid:51)(cid:108)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:412)(cid:51)(cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:228)A(cid:242)(cid:243)(cid:204)
(cid:30)(cid:175)B(cid:69)(cid:38)ℎ (cid:13)𝑥 (𝑓)𝑥= (𝑔)𝑥 ( )(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190){𝑥(cid:95)|𝑥≠ 0ℎ}(cid:69)𝑥 ( )(cid:411)(cid:51)(cid:108)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:412)(cid:51)(cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:228)B(cid:242)(cid:243)(cid:204)
(cid:30)(cid:175)C(cid:69)(cid:38)(cid:13)ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−(𝑔)𝑥(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95) {𝑥|𝑥≠0}(cid:69) (ℎ 𝑥)= ( )(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )(cid:95) ( )(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:228)C(cid:239)(cid:244)(cid:204)
ℎ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 {𝑥|𝑥≠ ℎ −𝑥 −ℎ 𝑥 ℎ 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:30)(cid:175)D(cid:69)(cid:38)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95) 0(cid:92) ±1}(cid:69)(cid:228)D(cid:242)(cid:243)(cid:204)
( )
𝑓 𝑥
(cid:228)(cid:20)(cid:10)C(cid:141) ℎ 𝑥 𝑔 𝑥 {𝑥|𝑥≠ 𝑥≠
8(cid:141)(cid:91)2024·(cid:103)(cid:236)·(cid:205)(cid:221)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:198)(cid:199)(cid:144)R(cid:177)(cid:31)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:400)(cid:401) ( +2)= ( )= ( )(cid:69)(cid:378)0< 1(cid:173)(cid:69) ( )=log
2
( +1).(cid:222) ( +1)> ( )(cid:69)(cid:156)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)𝑓(cid:404)𝑥(cid:108)(cid:91) 𝑓(cid:93)𝑥 𝑓 −𝑥 −𝑓 𝑥 𝑥≤ 𝑓 𝑥
𝑥 A(cid:141) 𝑓5 + 𝑎 3 + 𝑓 𝑎 (cid:69) Z 𝑎 B(cid:141)( + )(cid:69) Z
2 2
− 4𝑘,− 4𝑘 𝑘∈ −1 4𝑘,4𝑘 𝑘∈
C(cid:141) 1 + 1 + (cid:69) Z D(cid:141) 3 + 1 + (cid:69) Z
2 2 2 2
− 4𝑘, 4𝑘 𝑘∈ − 4𝑘, 4𝑘 𝑘∈
1
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:129)(cid:21)(cid:169)(cid:226)(cid:249) ( )(cid:31)(cid:375)(cid:376)(cid:45)(cid:35)(cid:30)(cid:383)(cid:45)(cid:57)(cid:468)(cid:430)(cid:45)(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:292) ( )(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:292) + < +1<
2
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 − 4𝑘 𝑎
3
+ (cid:69) Z(cid:69)(cid:50)(cid:249)(cid:208)(cid:226).
2
4𝑘 𝑘∈
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:377)(cid:95) ( )= ( )(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )(cid:95)(cid:375)(cid:38)(cid:13)(cid:204)
(cid:381)(cid:377)(cid:95) ( +2)= 𝑓(−𝑥)(cid:69)(cid:200)−(cid:126)𝑓 𝑥( )(cid:3)(cid:175)(cid:469)𝑓 (cid:363)𝑥 =1(cid:30)(cid:383)(cid:204)
(cid:210) ( +𝑓4𝑥)= ( 𝑓+−2𝑥)= ( )(cid:137)𝑓 𝑥( )(cid:31)(cid:74)(cid:261)(cid:468)𝑥 (cid:430)(cid:95)4.
(cid:377)𝑓(cid:95)𝑥(cid:378)0< −1𝑓(cid:173)𝑥(cid:69) ( )=𝑓lo𝑥g (𝑓+𝑥1)(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )(cid:144)(0,1](cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)
2
(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)𝑥(cid:39)≤(cid:40)(cid:339)(cid:39)(cid:200)𝑓 (cid:367)𝑥 (cid:69) 𝑥 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
1 3
(cid:224)(cid:225)(cid:39)(cid:40)(cid:226)(cid:137)(cid:69)(cid:222) ( +1)> ( )(cid:69)(cid:156) + < +1< + (cid:69) Z(cid:69)
2 2
𝑓 𝑎 𝑓 𝑎 − 4𝑘 𝑎 4𝑘 𝑘∈
3 1
(cid:50)(cid:249) + < < + (cid:69) Z(cid:69)
2 2
− 4𝑘 𝑎 4𝑘 𝑘∈
(cid:200)(cid:126)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:108) 3 + 1 + (cid:69) Z.
2 2
(cid:228)(cid:20)(cid:10)D(cid:141) 𝑎 − 4𝑘, 4𝑘 𝑘∈(cid:205)(cid:35)(cid:470)(cid:20)(cid:21)
1
9(cid:141)(cid:91)2024·(cid:353)(cid:274)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137) =log 9(cid:69) = log 5(cid:69)(cid:156)(cid:91) (cid:93)
4 2 3
𝑎 𝑏
3 1 13
A(cid:141)1< < B(cid:141) >1 C(cid:141) + >2 D(cid:141)2< + <
2 6
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171) 𝑎 (cid:28)(cid:30)A(cid:10)(cid:151)(cid:27)(cid:71) 𝑎 (cid:72) 𝑏 (cid:7)(cid:53)(cid:16)(cid:153)(cid:226)(cid:384)(cid:385)a(cid:31) 𝑎 (cid:403)(cid:404) 𝑏 (cid:204)(cid:30)B(cid:10)(cid:151)(cid:27)(cid:71)(cid:72)(cid:7)(cid:53) 𝑎 (cid:16)(cid:153)𝑎 (cid:431)(cid:288)(cid:204)(cid:30)C(cid:10)(cid:224)(cid:225)(cid:127)(cid:128)(cid:51)
(cid:52)(cid:53)(cid:431)(cid:288)(cid:204)(cid:30)D(cid:10)(cid:224)(cid:225)(cid:38)(cid:13) = + 1 (cid:144) 3 ,+ (cid:177)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:384)(cid:385).
2
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:20)(cid:185)A(cid:10) =l 𝑦 og
4
9 𝑥 =l 𝑥 og
22
32= ∞ l
l
g
g
3
2
2
2
=log
2
3>log
2
8=log
2
2 3 2= 3
2
(cid:69)(cid:228)A(cid:242)(cid:243)(cid:141)
𝑎
(cid:20)(cid:185)B(cid:10) =log 9× 1 log 5=log 3×log 5= lg3 lg 5 =log 5>1(cid:69)(cid:228)B(cid:239)(cid:244)(cid:141)
4 2 3 2 3 lg2 lg3 2
𝑎𝑏 ⋅
3
(cid:20)(cid:185)C(cid:10) + >2 >2(cid:69)(cid:91) > (cid:69) =log 5<1(cid:69)(cid:200)(cid:126) (cid:69)(cid:200)(cid:126)(cid:51)(cid:70)(cid:322)(cid:52)(cid:9)(cid:93),(cid:228)C(cid:239)(cid:244)(cid:141)
2 3
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎≠𝑏
(cid:20)(cid:185)D(cid:10)(cid:448)(cid:137)(cid:38)(cid:13) = + 1 (cid:144) 3 ,+ (cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)(cid:200)(cid:126) + 1 > 13 (cid:69)(cid:228)D(cid:242)(cid:243)(cid:141)
2 6
(cid:228)(cid:20)(cid:10)BC. 𝑦 𝑥 𝑥 ∞ 𝑎 𝑎
10(cid:141)(cid:91)2024·(cid:219)(cid:220)·(cid:196)(cid:221)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )=lg( )(cid:69)(cid:156)(cid:91) (cid:93)
A(cid:141) ( )(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( ,1) 𝑓 𝑥 1−𝑥
B(cid:141)𝑓(𝑥)(cid:31)(cid:189)(cid:190)(cid:95) −∞
C(cid:141)𝑓(𝑥 )+ ( 𝑅)=1
D(cid:141)𝑓=−1( 2𝑓)(cid:31)−(cid:43)4(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:402)(cid:308)(cid:95)(0,1)
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)𝑦(cid:171)(cid:28)𝑓(cid:224)𝑥(cid:225)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:69)(cid:60)(cid:325)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:189)(cid:190)(cid:208)(cid:226)(cid:384)(cid:385)A(cid:35)B(cid:69)(cid:60)(cid:325) ( )+ ( )(cid:42)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:32)
(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:208)(cid:226)(cid:60)(cid:50)C(cid:69)(cid:224)(cid:225)(cid:191)(cid:56)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:208)(cid:226)(cid:384)(cid:385)D. 𝑓 −1 𝑓 −4
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:30)AB(cid:69)(cid:210) >0(cid:69)(cid:249) <1(cid:69)(cid:156) ( )(cid:31)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:95)( ,1)(cid:69)(cid:189)(cid:190)(cid:95) (cid:69)A(cid:69)B(cid:471)(cid:239)(cid:244)(cid:204)
(cid:30)C(cid:69) ( )+ ( )=l1g−2𝑥+lg5=lg1𝑥0=1(cid:69)C𝑓(cid:239)𝑥(cid:244)(cid:204) −∞ 𝑅
(cid:30)D(cid:69)𝑓(cid:377)−(cid:95)1 ( 2𝑓)−=4lg( 2)(cid:69)(cid:200)(cid:126) =lg (cid:69)(cid:215)(cid:472)(cid:38)(cid:13)(cid:95)(cid:379)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
= 2(cid:69)𝑓(cid:319)𝑥 2>01(cid:69)−𝑥(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13)(cid:198)𝑦(cid:199)(cid:190)𝑢(cid:95)( )(cid:69)
(cid:112)𝑢 (cid:472)1(cid:38)−(cid:13)𝑥 = 1−𝑥2(cid:69)(cid:144)( )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)(0−,11),1(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
(cid:200)(cid:126) = 𝑢( 2)1(cid:31)−𝑥(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)−(cid:402)1,0(cid:308)(cid:95)( )(cid:51)(cid:108)(0,1),D(cid:242)(cid:243).
(cid:228)(cid:20)(cid:10)𝑦 AB𝑓C𝑥. −1,0
11(cid:141)(cid:91)2024·(cid:219)(cid:220)·(cid:74)(cid:221)(cid:93)(cid:198)(cid:199)(cid:144)R(cid:177)(cid:31)(cid:38)(cid:13) =log ( 1+ 2 2+ (cid:91) >0(cid:92) 1(cid:69) 0(cid:93)(cid:69)(cid:222)(cid:422)(cid:144)(cid:84)
(cid:13)m(cid:151)(cid:249)(cid:51)(cid:52)(cid:53) + 2+12)+ 𝑓(𝑥)0(cid:437)(cid:77)𝑎(cid:414)(cid:69)(cid:156)𝑏(cid:300)𝑥(cid:426)(cid:473)𝑏(cid:310)𝑥)(cid:239)(cid:244)𝑎(cid:31)(cid:108)(cid:91)𝑎 ≠ (cid:93) 𝑏≠
A(cid:141)(cid:222) >1(cid:69)𝑓(−>𝑚0(cid:69)(cid:156)𝑚(cid:84)(cid:13)m(cid:31)(cid:322)𝑓(cid:189)(−(cid:403)𝑚(cid:404))≥(cid:95)[ ]
𝑎 𝑏 −2,2B(cid:141)(cid:222)0< <1(cid:69) <0(cid:69)(cid:156)(cid:84)(cid:13)m(cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:95)( ,2]
C(cid:141)(cid:222) >𝑎1(cid:69) <0𝑏(cid:69)(cid:156)(cid:84)(cid:13)m(cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:95)( −∞] [2,+ )
D(cid:141)(cid:222)𝑎0< <𝑏1(cid:69) >0(cid:69)(cid:156)(cid:84)(cid:13)m(cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)−(cid:95)∞[,2−,2+∪) ∞
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:146)𝑎(cid:384)(cid:385)(cid:38)𝑏(cid:13) =log ( 1+ 2 2+ (cid:95)(cid:375)(cid:38)∞(cid:13)(cid:69)(cid:165)(cid:65) >1(cid:159)0< <1(cid:202)(cid:203) =log (cid:31)(cid:43)(cid:44)
(cid:45)(cid:69)(cid:65) >0(cid:159) <0(cid:202)(cid:203)(cid:38)𝑓((cid:13)𝑥)= 1 𝑎 + 2 2𝑏+𝑥 (cid:31)(cid:43)𝑏𝑥(cid:44)) (cid:45)(cid:69)(cid:224)(cid:225)(cid:191)(cid:56)(cid:38)𝑎(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)𝑎(cid:384)(cid:385)(cid:249)(cid:325)𝑦 (cid:31)𝑎(cid:43)𝑡(cid:44)(cid:45)(cid:69)
(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)𝑏 (cid:45)(cid:73)𝑏 + 2+𝑡12)+ 𝑏 𝑥 𝑏0𝑥(cid:148)(cid:149)(cid:52)(cid:418)(cid:76)(cid:16)(cid:77)(cid:436)(cid:271)(cid:13) (cid:31)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:69)(cid:60)(cid:50)(cid:208)(cid:249)𝑓(.𝑥)
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)𝑓(cid:30)(−(cid:175)𝑚(cid:38)(cid:13) 𝑚 =log ( 𝑓1(−+𝑚)2≥2+ (cid:69)(cid:377) + =𝑚log ( 1+ 2 2+ +log (
1+ 2 2 =log 𝑓[((𝑥1)+ 2 𝑎 2+ 𝑏 𝑥1+ 𝑏2𝑥)2 𝑓(𝑥=)0(cid:69)𝑓(cid:156)(−(cid:38)𝑥)(cid:13) 𝑎(cid:108)(cid:375)(cid:38)𝑏(cid:13)𝑥. 𝑏𝑥) 𝑎
(cid:51)(cid:474)(cid:238)𝑏 𝑥=−𝑏1𝑥+) 2 2+𝑎 (cid:69)(cid:156)𝑏=𝑥log𝑏𝑥(cid:69))( 𝑏 𝑥 −𝑏𝑥)] 𝑓(𝑥)
(cid:30)(cid:175)A𝑡(cid:185)(cid:69)(cid:378) 𝑏>𝑥1(cid:173)(cid:69)𝑏𝑥 =lo𝑦g (cid:144)(cid:198)𝑎(cid:199)𝑡 (cid:190)(cid:112)(cid:95)(cid:379)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
(cid:377) >0(cid:69)(cid:156) =𝑎 1+ 2 𝑦2+ (cid:144)𝑎𝑡R(cid:177)(cid:412)(cid:108)(cid:379)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:228) =log ( 1+ 2 2+ (cid:144)R(cid:177)(cid:412)(cid:108)(cid:379)(cid:38)(cid:13).
(cid:210)𝑏 + 𝑡 2+12)𝑏+𝑥 𝑏𝑥 + 2+1𝑓2()𝑥) 𝑎 = 𝑏 𝑥 (cid:69)(cid:156)𝑏𝑥) + 2+12 (cid:69)(cid:208)
𝑓2(−+𝑚12 𝑚 (cid:91)*(cid:93)(cid:69)𝑓(−𝑚)≥0⇔𝑓(−𝑚 𝑚 ≥−𝑓(−𝑚) 𝑓(𝑚) −𝑚 𝑚 ≥𝑚
𝑚(cid:378) 0≥(cid:173)2(cid:69)𝑚(cid:349)(cid:173)(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:204) (cid:378) >0(cid:173)(cid:69)(cid:210)(cid:91)*(cid:93)(cid:226)(cid:249) 2+12 4 2(cid:69)(cid:50)(cid:249) 2(cid:69)(cid:55)(cid:177)(cid:226)(cid:137)(cid:69)
① 𝑚≤,2](cid:69)(cid:228)A(cid:185)(cid:242)(cid:243)(cid:204) ② 𝑚 𝑚 ≥ 𝑚 −2≤𝑚≤
(cid:30)𝑚(cid:175)∈(B−∞(cid:185)(cid:69)(cid:378)0< <1(cid:173)(cid:69) =log (cid:144)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:112)(cid:95)(cid:396)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:377) <0(cid:69)(cid:156) = 1+ 2 2+ (cid:144)R(cid:177)(cid:412)(cid:108)(cid:396)(cid:38)
(cid:13)(cid:69)(cid:228) =log (𝑎 1+ 2 2𝑦+ (cid:144)𝑎𝑡R(cid:177)(cid:108)(cid:379)(cid:38)(cid:13)(cid:69) 𝑏 𝑡 𝑏 𝑥 𝑏𝑥
(cid:210)A(cid:185)𝑓(cid:65)(𝑥(cid:66)) (cid:226)(cid:249)(cid:69)𝑎 𝑏+𝑥 2𝑏𝑥+)12)+ 0(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:226)(cid:249)(cid:69) ,2](cid:69)(cid:228)B(cid:185)(cid:239)(cid:244)(cid:204)
(cid:30)(cid:175)C(cid:185)(cid:69)(cid:378) >1𝑓(cid:173)(−(cid:69)𝑚 =lo𝑚g (cid:144)(cid:198)(cid:199)(cid:190)𝑓((cid:112)−(cid:95)𝑚)(cid:379)≥(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:377) <0(cid:69)𝑚(cid:156)∈=(−∞1+ 2 2+ (cid:144)R(cid:177)(cid:108)(cid:396)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:228)
=log ( 1𝑎+ 2 2+𝑦 (cid:144)R𝑎𝑡(cid:177)(cid:108)(cid:396)(cid:38)(cid:13)(cid:69) 𝑏 𝑡 𝑏 𝑥 𝑏𝑥
(cid:210)𝑓(𝑥) +𝑎 2+𝑏12𝑥)+𝑏𝑥) + 2+12) = (cid:69)(cid:156) + 2+12 (cid:69)(cid:208)
𝑓2(−+𝑚12 𝑚 (cid:91)*(cid:93)(cid:69)𝑓(−𝑚)≥0⇔𝑓(−𝑚 𝑚 ≥−𝑓(−𝑚) 𝑓(𝑚) −𝑚 𝑚 ≤𝑚
𝑚(cid:378) 0≤(cid:173)2(cid:69)𝑚(cid:447)(cid:50)(cid:204) (cid:378) >0(cid:173)(cid:69)(cid:210)(cid:91)*(cid:93)(cid:226)(cid:249) 2+12 4 2(cid:69)(cid:50)(cid:249) (cid:80) 2(cid:69)(cid:55)(cid:177)(cid:226)(cid:137)(cid:69)
① [𝑚2,+≤ )(cid:69)(cid:228)C(cid:185)(cid:242)②(cid:243)(cid:204)𝑚 𝑚 ≤ 𝑚 𝑚≤−2 𝑚≥
𝑚(cid:30)(cid:175)∈ D(cid:185)∞(cid:69)(cid:378)0< <1(cid:173)(cid:69) =log (cid:144)(cid:198)(cid:199)(cid:190)(cid:112)(cid:95)(cid:396)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:377) >0(cid:69)(cid:156) = 1+ 2 2+ (cid:144)R(cid:177)(cid:412)(cid:108)(cid:379)(cid:38)
(cid:13)(cid:69)(cid:228) =log (𝑎 1+ 2 2𝑦+ (cid:144)𝑎𝑡R(cid:177)(cid:108)(cid:396)(cid:38)(cid:13)(cid:69) 𝑏 𝑡 𝑏 𝑥 𝑏𝑥
(cid:210)C(cid:185)𝑓(cid:65)(𝑥(cid:66))(cid:226)(cid:249)(cid:69)𝑎 𝑏+𝑥 2𝑏+𝑥)12)+ 0(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:226)(cid:249)(cid:69) [2,+ )(cid:69)(cid:228)D(cid:185)(cid:239)(cid:244).
(cid:228)(cid:20)(cid:10)BD. 𝑓(−𝑚 𝑚 𝑓(−𝑚)≥ 𝑚∈ ∞
(cid:196)(cid:35)(cid:475)(cid:476)(cid:21)12(cid:141)(cid:91)2024·(cid:177)(cid:230)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:239)(cid:84)(cid:13) (cid:400)(cid:401)log +log =
5
(cid:69) = (cid:69)(cid:156) + =
3
.
2 4
𝑎 𝑏
𝑎,𝑏 𝑎𝑏 𝑏𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
5 1 5
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:319) =log (cid:69)(cid:156)(cid:210)log +log = (cid:226)(cid:249) + = (cid:69)(cid:114)(cid:213)(cid:226)(cid:60)(cid:325) (cid:31)(cid:189)(cid:69)(cid:165)(cid:123)(cid:56) = (cid:60)(cid:325) (cid:69)
2 2
𝑎 𝑏
(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:50). 𝑡 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑏𝑎 𝑡 𝑡 𝑡 𝑎 𝑏 𝑎,𝑏
1
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:319) =log (cid:69)(cid:156)log = (cid:69)
𝑡 𝑎𝑏 𝑏𝑎 𝑡
5 1 5
(cid:210)log +log = (cid:69)(cid:249) + = (cid:69)
2 2
𝑎𝑏 𝑏𝑎 𝑡 𝑡
(cid:200)(cid:126)2 2 +2=0(cid:69)(cid:50)(cid:249) = 1 (cid:80) =2(cid:69)
2
𝑡 −5𝑡 𝑡 𝑡
1
(cid:200)(cid:126)log = (cid:80)log =2(cid:69)
2
𝑎𝑏 𝑎𝑏
1
(cid:200)(cid:126) 2= (cid:80) 2= (cid:69)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
1
(cid:378) 2= (cid:173)(cid:69)(cid:156) = 2(cid:69)
(cid:210)𝑎 =𝑏 (cid:69)(cid:249)(𝑎2) 𝑏= = (cid:69)(cid:200)(cid:126) = (cid:69)
𝑎 𝑏 𝑎 2𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 1 2𝑎 𝑏
= =
(cid:210) (cid:69)(cid:381) >0(cid:69)(cid:50)(cid:249) 4(cid:69)
= 2 = 1
2𝑎 𝑏 𝑎 2
𝑎
𝑎 𝑏 𝑏
3
(cid:200)(cid:126) + = (cid:204)
4
(cid:378) 2𝑎 = (cid:173) 𝑏 (cid:69)(cid:210) = (cid:69)(cid:249) =( 2) = (cid:69)(cid:200)(cid:126) = (cid:69)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 2𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 1𝑎 𝑎 𝑎 2𝑏
= =
(cid:210) (cid:69)(cid:381) >0(cid:69)(cid:50)(cid:249) 2(cid:69)
2=
=
1
𝑎 2𝑏 𝑎 4
𝑎
𝑎 𝑏 𝑏
3
(cid:200)(cid:126) + = (cid:69)
4
𝑎 𝑏
3
(cid:55)(cid:177)(cid:200)(cid:310)(cid:69) + = .
4
𝑎 𝑏
3
(cid:228)(cid:227)(cid:326)(cid:95)(cid:10) .
4
13(cid:141)(cid:91)2024·(cid:477)(cid:478)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:222)(cid:38)(cid:13) =ln +1)(cid:144)(1,2)(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)(cid:156)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:95) 1 ,0 (cid:141)
2
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:238) = + 𝑓( 1 𝑥 (cid:69) ) (cid:156) ( = 𝑎𝑥 ln (cid:69)(cid:42)(cid:27)(cid:191)(cid:56)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:226)(cid:249) 𝑎 = +1(cid:144)(1,2 − )(cid:177)(cid:95)(cid:396)
(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:92) >0(cid:437)(cid:77)(cid:414)(cid:69)(cid:123)(cid:56)𝑡(cid:74)(cid:435)𝑎(cid:38)𝑥 (cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:54)𝑦(cid:65)(cid:66)𝑡(cid:226)(cid:249)(cid:227)(cid:326)(cid:141) 𝑡 𝑎𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)𝑡(cid:187)(cid:28)(cid:50)(cid:10)(cid:224)(cid:225)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:238) = +1(cid:69)(cid:156) =ln (cid:69)(cid:222)(cid:38)(cid:13) =ln +1)(cid:144)(1,2)(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
(cid:42)(cid:27)(cid:191)(cid:56)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:226)(cid:249) =𝑡 𝑎+𝑥1(cid:144)(1,2)𝑦(cid:177)(cid:95)(cid:396)𝑡(cid:38)(cid:13)(cid:92) >𝑓(0𝑥(cid:437)) (cid:77)(cid:414)((cid:69)𝑎𝑥
𝑡 𝑎𝑥 𝑡(cid:208) <0 (cid:69)(cid:50)(cid:249) 1 <0(cid:69)(cid:208)a(cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404)(cid:95) 1 ,0 (cid:141)
+1 0 2 2
𝑎
− ≤𝑎 −
(cid:228)(cid:227)2𝑎(cid:326)(cid:95)(cid:10)≥ 1 ,0 (cid:141)
2
14(cid:141)(cid:91)2024·(cid:235)−(cid:236)(cid:236)(cid:237)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:38)(cid:13) =log + +2(cid:91) >0(cid:92) 1(cid:93)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:437)(cid:83)(cid:198)(cid:58)( )(cid:69)(cid:222)
𝑥−1
9 1𝑦 𝑎𝑥 𝑎 𝑎 𝑎≠ 𝑘,𝑏
+ = (cid:92) >0(cid:69) >0(cid:69)(cid:156) + (cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95) 8 (cid:141)
𝑚 (cid:22)(cid:50)(cid:21) 𝑛 (cid:170) 𝑏 (cid:171) − (cid:28) 𝑘 (cid:146) 𝑚 (cid:60)(cid:325)(cid:38)(cid:13) 𝑛 (cid:83)(cid:198)(cid:58)(cid:31)𝑚(cid:178)(cid:105)𝑛(cid:69)(cid:165)(cid:42)(cid:27)(cid:127)(cid:128)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:60)(cid:152)(cid:189).
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:377)(cid:95) 0=1(cid:69)log 1=0(cid:91) >0(cid:92) 1(cid:93)(cid:69)
(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13) =log 𝑎+ +2(cid:91)𝑎 >0(cid:92)𝑎 1(cid:93)𝑎(cid:31)≠(cid:39)(cid:40)(cid:437)(cid:83)(cid:198)(cid:58)(1,3)(cid:69)
𝑥−1
(cid:200)(cid:126) +𝑦= 𝑎𝑥=2𝑎(cid:69) 𝑎 𝑎≠
(cid:200)(cid:126) 𝑚 2 9 + 𝑛1 3 = −1 + 9 + 1 )=10+ + 10+2 9=16(cid:69)
9𝑛 𝑚
2 9 + 𝑚 1 𝑛 16 ( (cid:69) 𝑚 9 𝑛 + )(𝑚 1 8 𝑛 (cid:69)(cid:378)(cid:92)(cid:479) 𝑚 (cid:378) 𝑛 = ≥ (cid:69)(cid:208) = 1 = 3 (cid:52)(cid:9)(cid:77)(cid:414)(cid:69)
2 2
9𝑛 𝑚
∴ 9 𝑚1 𝑛 ≥ ∴𝑚 𝑛≥ 𝑚 𝑛 𝑛 ,𝑚
(cid:208) + (cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95)8.
(cid:228)(cid:227)𝑚 (cid:326)𝑛(cid:95)(cid:10)8.
(cid:250)(cid:35)(cid:50)(cid:227)(cid:21)
15(cid:141)(cid:91)2023·(cid:103)(cid:480)(cid:361)(cid:481)(cid:482)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:63)(cid:33)(cid:10)
0.5 2
(1) 2 7 +0.1 + 2 10 3 0+ 37 (cid:204)
9 27 − 48
−2
(2)log 2 3 log 3 4+(lg5)2+lg5 −3 lg π 20+ 1 2 lg 2log 2 3.
⋅ ⋅ 16−
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:224)(cid:225)(cid:34)(cid:13)(cid:122)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:469)(cid:318)(cid:16)(cid:153)(cid:60)(cid:50)(cid:208)(cid:226)(cid:204)
(cid:91)2(cid:93)(cid:224)(cid:225)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:155)(cid:156)(cid:469)(cid:318)(cid:16)(cid:153)(cid:60)(cid:50)(cid:208)(cid:226).
0.5 2 1 2
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:91)1(cid:93) 2 7 +0.1 + 2 10 3 0+ 37 = 25 2+102+ 27 3 + 37 = 5 +100+ 9 + 37
9 27 − 48 9 64 48 3 16 48
−2
=3+97=100. −3π −3 −3
(cid:91)2(cid:93)log 2 3 log 3 4+(lg5)2+lg5 lg20+ 1 2 lg 2log 2 3 = l l g g 3 2 l l g g 4 3 +lg5 (lg5+lg20)+2lg =2+lg5 lg
⋅ ⋅ 16− ⋅ ⋅ 2−3 ⋅
100+2lg =2+2(lg5+lg2) =2+ =1.
16(cid:141)(cid:91)202 2 3 − ·(cid:477) 3 (cid:478)(cid:483)(cid:484)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93) − (cid:91) 3 1(cid:93)(cid:60)(cid:189) 2− (cid:10) 3 (3 2× 3) 6 +( 2 2) 4 3 × 16 1 2 4 2×80.25 0(cid:204)
49 −
−4 − −(−2023)
(cid:91)2(cid:93)(cid:176)(cid:137)lg +lg =2lg (cid:69)(cid:60)log (cid:31)(cid:189).
2
𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28) 𝑥 (cid:91)1(cid:93) 𝑦 (cid:16)(cid:153)(cid:208) (𝑥 (cid:226) − (cid:60) 2𝑦 (cid:325) ) (cid:313)(cid:53)(cid:485)(cid:31)(cid:189)𝑦 (cid:204)(cid:91)2(cid:93)(cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:168)(cid:187)(cid:60)(cid:325) (cid:69)(cid:208)(cid:226)(cid:249)(cid:325)log (cid:31)(cid:189).
2
𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:210) 𝑦 (cid:21)(cid:169)(cid:69) 𝑦
4 1
6 3 16 2
(3 2× 3) +( 2 2) × 4 2×80.25 0
49 −
−4 − −(−2023)
4
3
3 7 1 1
=22×33+( 22) × 24×23× 4
4
−4 − −1
=108+
=100 2−7−2−1
(cid:91)2(cid:93)(cid:210)(cid:21)(cid:169)(cid:69)
(cid:144)lg +lg =2lg (cid:145)(cid:69)
>0
𝑥 𝑦 (𝑥−2𝑦)
>0
(cid:69) =( )2(cid:16)(cid:153)(cid:249) 2 +4 2=0(cid:69)
𝑥 >0
=𝑦( )2
𝑥𝑦 𝑥−2𝑦 𝑥 −5𝑥𝑦 𝑦
𝑥−2𝑦
2
(cid:320)𝑥(cid:321)𝑦 (cid:158)(cid:183)𝑥−22(cid:249)𝑦 +4=0(cid:69)(cid:50)(cid:249)(cid:10) =4(cid:80)1(cid:91)(cid:407)(cid:93)(cid:69)
𝑥 𝑥 𝑥
𝑦 𝑦 −5 𝑦 𝑦
log =log 4=4.
2 2
𝑥
∴ 17(cid:141)(cid:91)2 𝑦 023·(cid:373)(cid:220)(cid:486)(cid:399)·(cid:221)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) ( )= (log )2+ log +2 (2 16)(cid:69)(cid:92)(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:39)(cid:40)
2 4
(cid:285)(cid:83)(cid:58)(4,6). 𝑓 𝑥 − 𝑥 𝑚 𝑥 ≤𝑥≤ 𝑓(𝑥)
(1)(cid:60)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:189)(cid:204)
(2)(cid:60)(cid:38)(cid:13)𝑚( )(cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:159)(cid:152)(cid:48)(cid:189).
(cid:22)(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)𝑓(cid:28)𝑥 (cid:91)1(cid:93)(cid:73)(cid:58)(4,6)(cid:323)(cid:324)(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:69)(cid:60)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:189)(cid:208)(cid:226)(cid:204)
(cid:91)2(cid:93)(cid:73)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:285)(cid:83)(cid:150)(cid:330)(cid:323)(cid:71)𝑓((cid:69)𝑥)(cid:76)(cid:16)(cid:95)(cid:74)(cid:434)(cid:205)(cid:435)(cid:38)(cid:13)𝑚(cid:117)(cid:53)(cid:69)(cid:60)(cid:152)(cid:189)(cid:208)(cid:226)(cid:204)
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)𝑓(cid:91)𝑥1(cid:93)(cid:210)(cid:21)(cid:169)(cid:69)(cid:73)(cid:58)(4,6)(cid:323)(cid:324)(cid:38)(cid:13) (cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:69)
(cid:249)(cid:10) (log 4)2+ log 4+2=6(cid:69)(cid:208) + +2𝑓=(𝑥)6(cid:69)(cid:50)(cid:249) =8.
2 4
− 𝑚 ln ln−4 1𝑚ln 1 𝑚
(cid:91)2(cid:93)(cid:210)(cid:71)(cid:72)(cid:7)(cid:53)(cid:249)(cid:10)log = = = × = log (cid:69)
4 ln4 2ln2 2 ln2 2 2
𝑥 𝑥 𝑥
(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13) ( )= (log
)2𝑥
+4log +2= (log
)2𝑥
+6(cid:69)
2 2 2
(cid:319) =log𝑓 (cid:69)𝑥 (cid:377)(cid:95)−2 𝑥 16(cid:69)(cid:200)(cid:126)𝑥1 −4. 𝑥−2
2
(cid:238)𝑡( )= 𝑥 2+≤𝑥≤[1,4](cid:69) ≤𝑡≤
(cid:487)ℎ(cid:79)𝑡(cid:38)(cid:13)−((𝑡)−(cid:144)2(cid:402)) (cid:308)6[1,𝑡,2∈](cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)(cid:144)(cid:402)(cid:308)(2,4](cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
(cid:200)(cid:126) ℎ 𝑡= (2)= = (4)=2(cid:69)
max min
ℎ(𝑡) ℎ 6,ℎ(𝑡) ℎ(cid:208)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:95)2(cid:69)(cid:152)(cid:48)(cid:189)(cid:95)6.
18(cid:141)(cid:91)𝑓20𝑥24·(cid:235)(cid:236)(cid:488)(cid:478)·(cid:74)(cid:221)(cid:93)(cid:176)(cid:137) ( )(cid:108)(cid:198)(cid:199)(cid:144) (cid:177)(cid:31)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:92) 0(cid:173)(cid:69) ( )=log 1( +1).
2
𝑓 𝑥 𝑅 𝑥≤ 𝑓 𝑥 −𝑥
(1)(cid:60) ( )(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:204)
(2)(cid:222)𝑓(𝑥 ) (1)<0(cid:69)(cid:60)(cid:84)(cid:13) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404).
(cid:22)(cid:50)(cid:21)𝑓(cid:170)𝑎−(cid:171)1(cid:28)−(cid:91)𝑓 1(cid:93)(cid:378) >0(cid:173)(cid:69)(cid:226)𝑎 (cid:73) (cid:323)(cid:324)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:198)(cid:199)(cid:226)(cid:249)(cid:349)(cid:173) ( )(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:69)(cid:210)(cid:349)(cid:226)(cid:249) ( )
(cid:50)(cid:66)(cid:53)(cid:204) 𝑥 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:91)2(cid:93)(cid:210)(cid:191)(cid:56)(cid:38)(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:384)(cid:385)(cid:168)(cid:155)(cid:384)(cid:385)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:144)(0,+ )(cid:177)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:123)(cid:56)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:45)(cid:54)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:16)(cid:153)(cid:51)
(cid:52)(cid:53)(cid:60)(cid:249)(cid:123)(cid:223). 𝑓 𝑥 ∞
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:377)(cid:95) ( )(cid:108)(cid:198)(cid:199)(cid:144) (cid:177)(cid:31)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
(cid:200)(cid:126) ( )= ( )(cid:69) 𝑓 𝑥 𝑅
(cid:319) >𝑓0−(cid:69)𝑥(cid:156) 𝑓 <𝑥 ( )=log 1( +1)
2
𝑥 −𝑥 0,𝑓 −𝑥 𝑥
>0(cid:173)(cid:69) ( )= ( )=log 1( +1)(cid:69)
2
∴𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 𝑥
log ( +1) >0
1
(cid:156) ( )= 2 .
log ( +1) 0
1
𝑥 ,𝑥
2
𝑓 𝑥
−𝑥 ,𝑥≤
(cid:91)2(cid:93)(cid:377)(cid:95) >0(cid:173)(cid:69) ( )=log 1( +1)(cid:69)
2
𝑥 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:381)(cid:38)(cid:13) =log 1( +1)(cid:69) >0(cid:210)(cid:38)(cid:13) = +1(cid:69) >0(cid:57)(cid:38)(cid:13) =log 1 (cid:69) >1(cid:191)(cid:56)(cid:213)(cid:77)(cid:69)
2 2
𝑦 𝑥 𝑥 𝑡 𝑥 𝑥 𝑦 𝑡 𝑡
(cid:38)(cid:13) = +1(cid:144)(0,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)
(cid:38)(cid:13)𝑡 =𝑥log
1
(cid:144)(1,+ ∞)(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
2
𝑦 𝑡 ∞
(cid:200)(cid:126)(cid:38)(cid:13) =log 1( +1)(cid:144)(0,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
2
𝑦 𝑥 ∞
(cid:228)(cid:38)(cid:13) ( )(cid:144)(0,+ )(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:396)(cid:69)
( )(cid:108)𝑓 (cid:198)𝑥 (cid:199)(cid:144) (cid:177)∞(cid:31)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)(cid:200)(cid:126) ( )= (| |)(cid:69)
(cid:200)∵(cid:126)𝑓 𝑥(cid:51)(cid:52)(cid:53) ( 𝑅) (1)<0(cid:69)(cid:226)(cid:16)𝑓(cid:95)𝑎−(|1 |𝑓)<𝑎−(11)
| |>1𝑓(cid:69)𝑎−1 −𝑓 𝑓 𝑎−1 𝑓
∴ 𝑎>−12(cid:80) <0.
1∴9(cid:141)𝑎 (cid:91)23-𝑎24(cid:24)(cid:196)(cid:177)·(cid:353)(cid:274)·(cid:343)(cid:440)(cid:441)(cid:442)(cid:93)(cid:176)(cid:137)(cid:38)(cid:13) =log (2 +1)+ (cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13).
2
𝑥
(1)(cid:60) (cid:31)(cid:189); 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥
(2)(cid:238)𝑎 = + (cid:69) = 2 + (cid:69)(cid:222)(cid:30)(cid:360)(cid:169)(cid:31) [0,4] (cid:69)(cid:422)(cid:144) [0,5](cid:69)(cid:151)(cid:249) ( ) ( )(cid:69)
1 2 1 2
𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥 ℎ(𝑥) 𝑥 −2𝑥 𝑚 𝑥 ∈ 𝑥 ∈ 𝑔 𝑥 ≥ℎ 𝑥(cid:60) (cid:31)(cid:322)(cid:189)(cid:403)(cid:404).
(cid:22)𝑚(cid:50)(cid:21)(cid:170)(cid:171)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:210)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:54)(cid:208)(cid:226)(cid:60)(cid:50) (cid:31)(cid:189)(cid:204)
(cid:91)2(cid:93)(cid:210)(cid:21)(cid:169)(cid:226)(cid:249) ( )(cid:144)[0,4](cid:177)(cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:51)(cid:49)(cid:175)𝑎 ( )(cid:144)[0,5](cid:177)(cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:69)(cid:65)(cid:172)(cid:60)(cid:325) ( )(cid:159) ( )(cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:69)(cid:208)
(cid:226)(cid:60)(cid:50). 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥
(cid:22)(cid:50)(cid:227)(cid:83)(cid:187)(cid:28)(cid:91)1(cid:93)(cid:377)(cid:95) =log (2 +1)+ (cid:108)(cid:376)(cid:38)(cid:13)(cid:69)
2
𝑥
(cid:200)(cid:126) = (cid:69) 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥
(cid:208)log𝑓((−2𝑥)+𝑓1()𝑥) =log (2 +1)+ (cid:69)
2 2
−𝑥 𝑥
log (2 +1) log−𝑎(𝑥2 +1)+ =0𝑎(cid:69)𝑥
2 2
𝑥 −𝑥
log (2 +1) − log 1 +1 + 2𝑎𝑥 =0(cid:69)
2 2
2
𝑥
𝑥
− 2𝑎𝑥
log (2 +1) log 1 2 + =0(cid:69)
2 2
2 𝑥
𝑥 +
𝑥
(2 1) − 2𝑎𝑥
log + =0(cid:69)
2 1𝑥2
+
2+
𝑥
𝑥 2𝑎𝑥
log 2 + =0(cid:69)
2
𝑥
+ =2𝑎0𝑥(cid:69)
𝑥(1+2𝑎𝑥) =0(cid:69)
2𝑎 𝑥 1
(cid:200)(cid:126)1+ =0(cid:69)(cid:208) = .
2
2𝑎 𝑎 −
1
(cid:91)2(cid:93) =log (2 +1)+ (cid:69)
2 2
𝑥
𝑔(𝑥) 𝑥
(cid:377)(cid:95)(cid:30)(cid:360)(cid:169)(cid:31) [0,4] (cid:69)(cid:422)(cid:144) [0,5](cid:69)(cid:151)(cid:249) ( ) ( )(cid:69)
1 2 1 2
(cid:200)(cid:126) ( )(cid:144)[0,𝑥4](cid:177)∈(cid:31)(cid:152)(cid:49)(cid:189)(cid:51)(cid:49)𝑥(cid:175)∈( )(cid:144)[0,5](cid:177)𝑔(cid:31)𝑥(cid:152)(cid:49)≥(cid:189)ℎ(cid:69)𝑥
𝑔 𝑥 1 ℎ 𝑥
(cid:377)(cid:95) =log (2 +1)+ (cid:144)[0,4](cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)
2 2
𝑥
𝑔(𝑥) 𝑥
(cid:200)(cid:126) ( ) = (0)=1(cid:69)
min
(cid:377)(cid:95)𝑔 𝑥 = 2 𝑔 + =( )2+ (cid:69)
(cid:200)(cid:126)ℎ((𝑥))(cid:144)[𝑥0,1−]2(cid:177)𝑥(cid:43)(cid:44)𝑚(cid:380)(cid:396)𝑥(cid:69)−1(cid:144)[1,5𝑚](cid:177)−1(cid:43)(cid:44)(cid:380)(cid:379)(cid:69)
(cid:200)(cid:126)ℎ(𝑥) = (1)= (cid:69)
min
(cid:200)(cid:126)ℎ1 𝑥 (cid:69)ℎ(cid:50)(cid:249) 𝑚−21(cid:69)
(cid:200)(cid:126) ≥(cid:31)𝑚(cid:322)−(cid:189)1(cid:403)(cid:404)(cid:95)𝑚≤,2].
𝑚 (−∞
