文档内容
专题 2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性【十二大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:28)................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:28)....................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:46)(cid:47)(cid:28)....................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:28)................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:28)..................................................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:47)(cid:28)..................................................................................................13
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28)......................................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)(cid:28)..........................................................................................................................................16
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:28)..................................................................................................................19
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:28)................................................................................................................21
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:70)(cid:71)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28)............................................................................................24
(cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:30)(cid:13)(cid:33)(cid:63)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................27
1(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)
(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:40) (cid:77)(cid:21)(cid:78)(cid:79) (cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:55)
(1)(cid:82)(cid:83)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:86)(cid:27)(cid:87)
2021(cid:108)I(cid:109)(cid:10)(cid:110)8(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:9)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32) (cid:112)(cid:113)(cid:106)(cid:108)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:80)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:85)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:24)(cid:25)
2021(cid:108)(cid:111)(cid:109)(cid:10)(cid:110)12(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:33)(cid:57)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:57)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:85)(cid:15) (cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:75)(cid:85)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)
2022(cid:108)I(cid:109)(cid:10)(cid:110)12(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:41)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:94)(cid:27)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99) (cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:123)(cid:25)(cid:124)(cid:125)(cid:85)(cid:122)
2022(cid:108)Ⅱ(cid:109)(cid:10)(cid:110)8(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(2)(cid:100)(cid:73)(cid:101)(cid:102)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:103)(cid:41)(cid:48) (cid:75)(cid:3)(cid:4)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:100)(cid:73)(cid:126)
2023(cid:108)I(cid:109)(cid:10)(cid:110)4(cid:21)(cid:85)5(cid:81)(cid:57)
(cid:49)(cid:33)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:95)(cid:106) (cid:120)(cid:127)(cid:85)(cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:71)(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:128)(cid:75)(cid:95)(cid:68)(cid:69)(cid:56)
(cid:110)11(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:107)(cid:98)(cid:99) (cid:129)(cid:100)(cid:73)(cid:130)(cid:131)(cid:25)(cid:132)(cid:85)(cid:41)(cid:21)(cid:133)(cid:76)(cid:134)(cid:81)(cid:135)(cid:27)(cid:136)
2023(cid:108)Ⅱ(cid:109)(cid:10)(cid:110)4(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(3)(cid:103)(cid:41)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:95) (cid:16)(cid:137)(cid:138)(cid:95)(cid:13)(cid:139)(cid:100)(cid:73)(cid:137)(cid:138)
(cid:106)(cid:107)(cid:98)(cid:99)
(cid:22)(cid:54)(cid:140)(cid:75)1 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:40)(cid:141)(cid:28)
1(cid:142)(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)
(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:85)(cid:74)(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:85)(cid:126)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:124)(cid:40)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39).
2(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:146)(cid:141)(cid:10)(cid:147)(cid:144)(cid:99)(cid:141)(cid:148)(cid:149)(cid:84)(cid:71)(cid:141)(cid:148)(cid:150)(cid:45)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:148)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:141).(2)(cid:30)(cid:13)y=f(g(x))(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:74)(cid:42)(cid:43)(cid:153)(cid:154)(cid:30)(cid:13)y=f(t)(cid:95)(cid:124)(cid:154)(cid:30)(cid:13)t=g(x)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)”(cid:34)
(cid:163)(cid:164).
3(cid:142)(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:117)(cid:146)(cid:141)(cid:10)
(1)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:141)(cid:10)(cid:143)(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:169)(cid:170)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:46)(cid:47).
(2)(cid:84)(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:143)(cid:94)(cid:171)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:169)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:46)(cid:24)(cid:75)(cid:57)(cid:46)(cid:175)(cid:75)(cid:85)(cid:40)(cid:171)(cid:46)(cid:47).
(3)(cid:167)(cid:117)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:141)(cid:10)(cid:143)(cid:58)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:176)(cid:139)(cid:85)(cid:177)(cid:178)(cid:101)(cid:179)“(cid:120)(cid:180)(cid:181)(cid:144)(cid:165)(cid:129)(cid:69)”(cid:34)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:167)(cid:117)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:40)(cid:171)(cid:46)(cid:47).
4(cid:142)(cid:185)(cid:186)(cid:30)(cid:13)(cid:40)(cid:46)(cid:47)(cid:10)
(cid:58)(cid:187)(cid:65)(cid:185)(cid:186)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:188)(cid:135)(cid:27)(cid:152)(cid:13)(cid:85)(cid:40)(cid:171)(cid:126)(cid:189)(cid:144)(cid:38)(cid:39)(cid:190)(cid:34)(cid:191)(cid:47)(cid:85)(cid:46)(cid:184)(cid:100)(cid:73)(cid:192)(cid:75)(cid:47)(cid:85)(cid:40)(cid:171)(cid:46)(cid:47).
(cid:22)(cid:54)(cid:140)(cid:75)2 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:37)(cid:174)(cid:74)(cid:27)(cid:28)
1(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:85)(cid:174)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:121)(cid:123)(cid:179)(cid:182)(cid:183)(cid:10)
(1)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:3)(cid:187)(cid:163)(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:197)(cid:119)(cid:30)(cid:13)(cid:101)(cid:198)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:76)(cid:68)(cid:134)(cid:81)(cid:182)(cid:183)(cid:85)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:143)(cid:25)(cid:202)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:148)
(2)(cid:35)(cid:36)f(x)(cid:50)f(-x)(cid:119)(cid:203)(cid:101)(cid:198)(cid:69)(cid:204)(cid:3)(cid:205)(cid:85)(cid:126)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:135)(cid:206)(cid:193)(cid:85)(cid:188)(cid:200)(cid:136)(cid:16)(cid:207)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:208)(cid:69)(cid:204)(cid:3)(cid:205)
(cid:56)(f(x)+f(-x)=0((cid:48)(cid:30)(cid:13))(cid:209)f(x)-f(-x)=0((cid:49)(cid:30)(cid:13)))(cid:119)(cid:203)(cid:210)(cid:211).
2(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:74)(cid:27)
(1)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:188)(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:47)(cid:209)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:85)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:3)(cid:213)(cid:126)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:136)(cid:16)(cid:207)(cid:40)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:39)(cid:190)(cid:34)
(cid:30)(cid:13)(cid:209)(cid:214)(cid:215)(cid:44)(cid:13)(cid:34)(cid:216)(cid:69)(cid:56)(cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:146)(cid:217)(cid:137)(cid:138)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:34)(cid:47).
(2)(cid:218)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:71)(cid:10)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:188)(cid:218)(cid:171)(cid:30)(cid:13)(cid:126)(cid:174)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:190)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:100)(cid:73)(cid:106)(cid:107)(cid:219)(cid:172)(cid:40)(cid:41)(cid:129)(cid:3)(cid:220)(cid:21).
3(cid:142)(cid:221)(cid:222)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:30)(cid:13)(cid:223)(cid:29)
(1)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:10)
ax +1 ax -1
(cid:147)(cid:30)(cid:13) f(x)=m( )(x¹0)(cid:209)(cid:30)(cid:13) f(x)=m( )(cid:142)
ax -1 ax +1
(cid:149)(cid:30)(cid:13) f(x)=±(ax -a-x)(cid:142)
x+m 2m x-m 2m
(cid:150)(cid:30)(cid:13) f(x)=log =log (1+ )(cid:209)(cid:30)(cid:13) f(x)=log =log (1- )
a x-m a x-m a x+m a x+m
(cid:151)(cid:30)(cid:13) f(x)=log ( x2+1+x)(cid:209)(cid:30)(cid:13) f(x)=log ( x2+1-x)(cid:142)
a a
(2)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:10)
(cid:147)(cid:30)(cid:13) f(x)=±(ax +a-x)(cid:142)
mx
(cid:149)(cid:30)(cid:13) f(x)=log (amx +1)- (cid:142)
a 2
(cid:150)(cid:30)(cid:13) f(|x|)(cid:62)(cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:224)(cid:30)(cid:13)(cid:142)
(cid:151)(cid:221)(cid:13)(cid:30)(cid:13).
(cid:22)(cid:54)(cid:140)(cid:75)3 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:221)(cid:27)(cid:100)(cid:225)(cid:28)
1(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:221)(cid:27)(cid:100)(cid:225)(a(cid:119)(cid:68)(cid:207)0(cid:34)(cid:221)(cid:13))
(1)(cid:226)f(x+a)=f(x)(cid:85)(cid:164)T=a(cid:148)
(2)(cid:226)f(x+a)=f(x-a)(cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)(3)(cid:226)f(x+a)=-f(x)(cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)
(4)(cid:226)f(x+a)= (cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)
(5)(cid:226)f(x+a)= (cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)
(6)(cid:226)f(x+a)=f(x+b)(cid:85)(cid:164)T=|a-b|(a≠b);
2(cid:142)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:165)(cid:121)(cid:221)(cid:27)(cid:100)(cid:225)
(1)(cid:226)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:227)(cid:228)f(a+x)=f(b-x)(cid:85)(cid:164)y=f(x)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:219)(cid:229) (cid:58)(cid:59).
(2)(cid:226)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:227)(cid:228)f(a+x)=-f(b-x)(cid:85)(cid:164)y=f(x)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75) (cid:58)(cid:59).
(3)(cid:226)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:227)(cid:228)f(a+x)+f(b-x)=c(cid:85)(cid:164)y=f(x)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75) (cid:58)(cid:59).
3(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:205)
(1)(cid:226)(cid:30)(cid:13)y= f(x)(cid:198)(cid:196)(cid:182)(cid:58)(cid:59)(cid:230)x=a(cid:85)x=b(a0𝑥(cid:85) 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥
1 2 1 2 2 1
(cid:164) =𝑦 −𝑓((cid:126)𝑥) (cid:190)(cid:207)(cid:161)𝑦(cid:30)−(cid:13)𝑦 (cid:85) [−(cid:180)𝑓(cid:168)(𝑥(cid:148))]−[−𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥
(cid:252)𝑦(cid:20)(cid:10)−D𝑓.(𝑥) 𝑅 𝐷
2 0,
(cid:22)(cid:176)(cid:56)1-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:267)(cid:268)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:226) ( )= ( +3)(cid:85)(cid:164) ( )= 2+ (cid:34)(cid:31)(cid:32)
+ <0,
𝑥 −2,𝑥≥
(cid:242)(cid:159)(cid:38)(cid:39)(cid:207)(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑥 3,𝑥 𝑓 𝑎 𝑓 𝑎 𝑔 𝑥 𝑎𝑥 𝑥
A(cid:142) 1 ,+ B(cid:142) , 1
8 8
∞ −∞
C(cid:142) 1 ,+ D(cid:142) , 1
2 2
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)∞(cid:143)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:269)(cid:182)(cid:183)(cid:40)(cid:171) (cid:34)(cid:47)(cid:85)(cid:169)(cid:42)(cid:43)−(cid:181)∞(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:40)(cid:171) (cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:38)(cid:39)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:41)(cid:10)(cid:259)(cid:21)(cid:98)(cid:85) +3=𝑎 ( +3)2 (cid:41)(cid:214)a(cid:270)(cid:271)1(cid:85)(cid:252) ( )= 𝑔(𝑥) 2+ (cid:85)(cid:188)(cid:54) ( )(cid:126) , 1 (cid:190)(cid:31)
<0 +3,
2
𝑎 𝑎 −2,
(cid:32)(cid:242)(cid:159) 𝑎 ≤𝑎 𝑔 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 −∞
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:176)(cid:56)1-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:267)(cid:272)(cid:272)(cid:273)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126)(cid:38)(cid:39) >0)(cid:190)(cid:85)(cid:47)(cid:145)(cid:207)R(cid:34)(cid:30)(cid:13) (cid:227)(cid:228)(cid:10)
(−𝑚,𝑚)(𝑚 𝑓(𝑥) ①
(cid:251)0< < (cid:133)(cid:85) >0(cid:148) (cid:58)(cid:187)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:124)(cid:266)(cid:98)(cid:34)(cid:96)(cid:13)a(cid:57)b(cid:274)(cid:227)(cid:228)(cid:10) + = (cid:142)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)
A(cid:142) 𝑥 𝑚 =1 𝑓(𝑥) ② 𝑓(𝑎 𝑏) 1−𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)
B(cid:142)𝑓(0), < < < ( )> ( )
1 2 1 2 1 2
C(cid:142)∀(cid:30)𝑥(cid:13)𝑥 ,−𝑚(cid:126)(cid:38)𝑥(cid:39) 𝑥 (cid:190)𝑚(cid:31),𝑓(cid:32)𝑥(cid:242)(cid:161) 𝑓 𝑥
D(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:126)(cid:38)(cid:39)(0,𝑚) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
𝑓(𝑥) (−𝑚,𝑚)(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:275)(cid:47)(cid:10)(cid:276) = =0(cid:277)(cid:278)(cid:188)(cid:214) =0(cid:85)(cid:276) = = (cid:277)(cid:278)(cid:188)(cid:214)(cid:30)(cid:13)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:169)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:31)
(cid:32)(cid:33)(cid:144)(cid:99)(cid:188)(cid:200)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:13)𝑎(cid:126) 𝑏 (cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝑓.(0) 𝑎 𝑥,𝑏 −𝑥
(−𝑚,𝑚)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:58)A(cid:85)(cid:276) = =0(cid:85)(cid:164) = (cid:85)
2(0)
2𝑓(0)
𝑎 𝑏 𝑓(0) 1−𝑓
3(0)= (cid:85)(cid:248) 2(0)+1 =0(cid:85)
𝑓(cid:252)(0)−𝑓=0(cid:85)(cid:199)2(cid:200)𝑓(0A)(cid:68)(cid:180)𝑓(cid:168)(0(cid:148)) 𝑓
𝑓(0)
(cid:58)B(cid:85)(cid:212) = = (cid:277)(cid:278)(cid:10) = = (cid:85)
𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏) 𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)
𝑎 𝑥,𝑏 −𝑥 𝑓(0) 1−𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) 1−𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥)
(cid:248) = (cid:85)(cid:248) (cid:126) (cid:190)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:255)𝑓(𝑥), ,0−<𝑓(−𝑥<) <𝑓(𝑥(cid:85)) (−𝑚,𝑚)
1 2 1 2
(cid:199)(cid:200)∀𝑥 𝑥 )𝑥>0(cid:85)𝑥 (cid:231)𝑚 )> )>0(cid:85)
2 1 2 1
(cid:252)(cid:10)𝑓(𝑥 −𝑥 )= 𝑓()𝑥+ 0,𝑓()𝑥= [ + )][ )]
2 1 2 1 2 1 2 1
= 𝑓(𝑥 )−)𝑓[1(𝑥+ 𝑓(𝑥 )]𝑓>(−0𝑥 𝑓 𝑥 (−𝑥 1−𝑓(𝑥 )𝑓(𝑥
2 1 2 1
(cid:248)(cid:10)𝑓(𝑥 −𝑥)> 𝑓)(cid:85)(𝑥(cid:252))𝑓B(𝑥(cid:263)(cid:264)(cid:148)
2 1
(cid:58)C(cid:85)𝑓((cid:170)𝑥 B(cid:54)𝑓(cid:30)(𝑥(cid:13)(cid:126)( )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:252)C(cid:263)(cid:264)(cid:148)
(cid:58)D(cid:85)(cid:170)C(cid:100)(cid:73)(cid:30)(cid:13)(cid:207)0,(cid:48)𝑚(cid:30)(cid:13)(cid:231) =0(cid:85)
(cid:199)(cid:200) (cid:126) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)𝑓(cid:252)(0D) (cid:180)(cid:168).
(cid:252)(cid:20)(cid:10)𝑓(𝑥D). (−𝑚,𝑚)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:253)(cid:254)(cid:279)(cid:280)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= 2+ +1(cid:126)(2,6)(cid:190)(cid:68)(cid:31)(cid:32)(cid:85)(cid:164) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142)(2,6) 𝑓 𝑥B(cid:142)(−𝑥 ,2𝑎]𝑥 [6,+ ) 𝑎
C(cid:142)(4,12) D(cid:142)(−∞,4]∪[12,+∞ )
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:189)(cid:144)(cid:182)(cid:183)(cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:181)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)−(cid:33)∞(cid:257)(cid:171)∪(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:40)∞(cid:41)(cid:248)(cid:214).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:30)(cid:13) ( )= 2+ +1(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:207) = (cid:85)(cid:259)(cid:21)(cid:98)(cid:85)2< <6(cid:85)(cid:214)4< <12(cid:85)
2 2
𝑎 𝑎
(cid:199)(cid:200) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207) 𝑓 ( 𝑥 4,12) − . 𝑥 𝑎𝑥 𝑥 𝑎
(cid:252)(cid:20)𝑎(cid:10)C.
(cid:22)(cid:176)(cid:56)2-1(cid:28)(cid:234)2023·(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:255) (cid:85)(cid:164)“ > ”(cid:119)“(cid:30)(cid:13) ( )=2 2+ +1(cid:126)(2,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)
(cid:159)”(cid:34)(cid:234) (cid:241) 𝑎∈𝑅 𝑎 −2 𝑓 𝑥 𝑥 4𝑎𝑥 ∞
A(cid:142)(cid:134)(cid:81)(cid:68)(cid:123)(cid:76)(cid:182)(cid:183) B(cid:142)(cid:123)(cid:76)(cid:68)(cid:134)(cid:81)(cid:182)(cid:183)
C(cid:142)(cid:134)(cid:76)(cid:182)(cid:183) D(cid:142)(cid:287)(cid:68)(cid:134)(cid:81)(cid:288)(cid:68)(cid:123)(cid:76)(cid:182)(cid:183)(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:98)(cid:85)(cid:170)(cid:181)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:95)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:205)(cid:200)(cid:37)(cid:134)(cid:81)(cid:33)(cid:50)(cid:123)(cid:76)(cid:33)(cid:34)(cid:74)(cid:27)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:214)
(cid:215)(cid:100)(cid:289).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:30)(cid:13) ( )=2 2+ +1(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:207) = (cid:85)
(cid:170)(cid:30)(cid:13) ( )=2 2+𝑓 𝑥 +1𝑥(cid:126)(24,𝑎+𝑥 )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:188)𝑥(cid:214)−𝑎 2(cid:85)(cid:248) (cid:85)
(cid:199)(cid:200)“ 𝑓>𝑥 ”(cid:119)𝑥“(cid:30)(cid:13)4𝑎𝑥( )=2 2+ ∞ +1(cid:126)(2,+ )(cid:190)−(cid:31)𝑎(cid:32)≤(cid:242)(cid:159)”(cid:34)𝑎(cid:134)≥−(cid:81)2(cid:68)(cid:123)(cid:76)(cid:182)(cid:183).
(cid:252)(cid:20)(cid:10)𝑎A.−2 𝑓 𝑥 𝑥 4𝑎𝑥 ∞
2+ 1
(cid:22)(cid:176)(cid:56)2-2(cid:28)(cid:234)2023·(cid:290)(cid:268)(cid:291)(cid:292)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164) (cid:34)(cid:212)(cid:47)
+ >1
−𝑥 2𝑎𝑥,𝑥≤
𝑓(𝑥) 𝑅 𝑎
(cid:281)(cid:282)(cid:119)(cid:234) (cid:241) (3−𝑎)𝑥 2,𝑥
A(cid:142)[1,3) B(cid:142)[1,2] C(cid:142)[2,3) D(cid:142)(0,3)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:126)(cid:293)(cid:120)(cid:246)(cid:190)(cid:207)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:126) =1(cid:133)(cid:85)(cid:120)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:47)(cid:68)(cid:67)(cid:187)(cid:181)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:47)(cid:85)(cid:294)
(cid:184)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:295)(cid:188)(cid:40)(cid:214)(cid:100)(cid:289). 𝑥
2+ 1
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207) = (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
+ >1
−𝑥 2𝑎𝑥,𝑥≤
𝑓(𝑥) 𝑅
1 (3−𝑎)𝑥 2,𝑥
(cid:199)(cid:200) 2𝑎>0 (cid:85)(cid:41)(cid:214)1 2.
+−−2≥ +2
3−𝑎 ≤𝑎≤
(cid:252)(cid:20)(cid:10)−B1. 2𝑎≤3−𝑎
(cid:22)(cid:176)(cid:56)2-3(cid:28)(cid:234)2023·(cid:286)(cid:297)(cid:298)(cid:299)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) (cid:85)(cid:300)(cid:126)(cid:221)(cid:13) ( >0)(cid:85)(cid:177)(cid:214)(cid:58)(cid:266)(cid:98) (cid:85)(cid:301)
| 𝑓| 𝑥 𝑅 𝑡 𝑡 𝑥∈𝑅
(cid:198) + = (cid:85)(cid:251) [ )(cid:133)(cid:85) = (cid:142)(cid:226) ( )(cid:126)(cid:38)(cid:39)(3,4)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164)t(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑡
𝑓(𝑥 𝑡) 𝑓(𝑥) 𝑥∈ 0,𝑡 𝑓(𝑥) 𝑥− 𝑓 𝑥
8 8
A(cid:142)3 B(cid:142) C(cid:142)2 D(cid:142)
3 5
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:95)(cid:245)(cid:58)(cid:47)(cid:29)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:40)(cid:41)(cid:248)(cid:188).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207)(cid:300)(cid:126)(cid:221)(cid:13) ( >0)(cid:85)(cid:177)(cid:214)(cid:58)(cid:266)(cid:98) (cid:85)(cid:301)(cid:198) + = (cid:85)
(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:207) (cid:85) 𝑡 𝑡 𝑥∈𝑅 𝑓(𝑥 𝑡) 𝑓(𝑥)
𝑡 | |
(cid:251) [ )(cid:133)(cid:85)(cid:30)(cid:13) = (cid:126)[0, )(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
2 2
𝑡 𝑡
𝑥∈ 0,𝑡 𝑓(𝑥) 𝑥|− |
(cid:199)(cid:200)(cid:251) 0(cid:133)(cid:85)(cid:30)(cid:13) = (cid:126) )( N )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
2 2
𝑡 (2𝑛+1)𝑡 ∗
(cid:296)(cid:207) ( 𝑥 ) ≥ (cid:126)(cid:38)(cid:39)(3,4)(cid:190) 𝑓( (cid:31) 𝑥) (cid:32)(cid:242)𝑥(cid:161)−(cid:85) [𝑛𝑡, 𝑛∈
𝑓 𝑥 3
3
8
(cid:199)(cid:200)(cid:198) ( 1) 4 8 3 3(cid:85)
2𝑛
𝑛2
+
𝑡≤
𝑡
𝑡≤𝑛1
⇒ ⇒ ≤𝑡≤
(cid:252)(cid:20)(cid:10)B.
≥ 𝑡≥2𝑛+(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:46)(cid:47)(cid:28)
1 1
(cid:22)(cid:233)3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:267)(cid:268)(cid:190)(cid:302)·(cid:120)(cid:223)(cid:241).(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:270)(cid:271)x(cid:303) (cid:126) ](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
3
𝑥 [−2,−
3 8
A(cid:142) B(cid:142)(cid:271) C(cid:142)(cid:271)2 D(cid:142)2
2 3
1
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:188)(cid:54)f(x)(cid:126) ](cid:190)(cid:119)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:112)(cid:304)(cid:188)(cid:40)(cid:171)(cid:174)(cid:46)(cid:66)(cid:47)
3
[−2,−
1 1
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:41)(cid:10)(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13) = (cid:95) = (cid:126) ](cid:190)(cid:274)(cid:207)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
3
𝑦 −𝑥 𝑦 𝑥 [−2,−
1
(cid:199)(cid:200)f(x)(cid:126) ](cid:190)(cid:119)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
3
[−2,−
1 3
f(x) (cid:270)f((cid:271)2)(cid:270)2(cid:271) (cid:270) .
max 2 2
∴(cid:252)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:176)(cid:56)3-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:286)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:251)(cid:96)(cid:13) (cid:176)(cid:16)(cid:133)(cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )=| 2+ | [ ](cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207)
(cid:234) (cid:241) 𝑡 𝑓 𝑥 𝑥 𝑡 ,𝑥∈ −4,4
A(cid:142)2 B(cid:142)4 C(cid:142)6 D(cid:142)8
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:143)(cid:58)(cid:124)(cid:30)(cid:13) = 2+ (cid:58)(cid:74)(cid:34)(cid:146)(cid:217)(cid:34)(cid:42)(cid:34)(cid:80)(cid:114)(cid:81)(cid:62)(cid:308)(cid:225)(cid:85)(cid:214)(cid:171) 0(cid:133)(cid:85)(cid:100)(cid:289)(cid:207)16(cid:85)(cid:58)(cid:187) <0(cid:133)(cid:85)
(cid:40)(cid:171)(cid:196)(cid:42)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:309)𝑦(cid:124)(cid:30)𝑥(cid:13)(cid:34)𝑡(cid:128)(cid:75)(cid:50)(cid:38)(cid:39)(cid:192)(cid:75)(cid:34)(cid:310)(cid:311)(cid:130)(cid:131)(cid:81)(cid:62)(cid:25)(cid:202)(cid:85)𝑡(cid:45)≥(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:81)(cid:55)(cid:248)(cid:214)𝑡.
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:226) = 0(cid:85)(cid:248) 0(cid:133)(cid:85) = 2+ (cid:85)(cid:174)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:207) =0(cid:85) = +16(cid:85)
max
(cid:312)(cid:133)(cid:85)(cid:296) 0(cid:85)(cid:252)△ −4=𝑡≤+16(cid:34)𝑡(cid:46)≥(cid:67)(cid:47)(cid:207)𝑓1(𝑥6)(cid:148) 𝑥 𝑡 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑡
(cid:226) <0(cid:85)𝑡(cid:170)≥ = 2+𝑔(𝑡=) 0(cid:188)𝑡 (cid:214) =± (cid:85)
𝑡 𝑦 𝑥 𝑡 𝑥 −𝑡
(cid:234)Ⅰ(cid:241)(cid:313)(cid:84)1(cid:85)(cid:251) 4(cid:133)(cid:85)(cid:248) <0(cid:133)(cid:85) ( )=| 2+ |(cid:126) ](cid:190)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
(cid:126) ,0](cid:190)(cid:242)(cid:159)−(cid:85)𝑡≤ −16≤𝑡 𝑓 𝑥 𝑥 𝑡 [−4,− −𝑡
(cid:126)[[−0, −𝑡](cid:190)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:126)[ ,4](cid:190)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:314) ±4)= +16|= + = = (cid:85)
−𝑡 −𝑡 𝑓( |𝑡 𝑡 16,𝑓(0) |𝑡| −𝑡(cid:251) (cid:133)(cid:85) +16 (cid:85)(cid:252) ( ) = (cid:85)(cid:304) = (cid:126) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)
max
(cid:161)①(cid:85)(cid:164)−(cid:312)1(cid:133)6≤(cid:85)𝑡≤−8 = 𝑡 =≤8−(cid:148)𝑡 𝑓 𝑥 −𝑡 𝑔(𝑡) −𝑡 [−16,−8]
min
(cid:251) < <𝑔(0𝑡(cid:133)) (cid:85) +𝑔1(−68>) (cid:85)(cid:252) ( ) = +16(cid:85)(cid:304) = +16(cid:126) (cid:190)(cid:31)(cid:32)
max
(cid:242)②(cid:159)(cid:85)−(cid:164)8(cid:312)(cid:133)𝑡 (cid:85) >𝑡 =−8𝑡. 𝑓 𝑥 𝑡 ℎ(𝑡) 𝑡 (−8,0)
𝑔(𝑡) ℎ(−8)
(cid:234)Ⅱ(cid:241)(cid:313)(cid:84)2(cid:85)(cid:251) >4(cid:85)(cid:248) < (cid:133)(cid:85) ( )=| 2+ |(cid:126) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:126)[0,4](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
(cid:164)(cid:312)(cid:133) ( ) = −𝑡 = = 𝑡 (cid:85)−(cid:304)16 =𝑓 𝑥 (cid:126) 𝑥 𝑡 [(cid:190)−(cid:31)4,0(cid:32)](cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164) > =16.
max
(cid:72)(cid:190)(cid:85)(cid:30)𝑓 𝑥(cid:13) ( )=𝑓(|02)+|𝑡|| −[𝑡 ](cid:46)𝜑((cid:66)𝑡)(cid:47)(cid:34)−𝑡(cid:46)(cid:67)(−(cid:47)∞(cid:207),−81.6) 𝜑(𝑡) 𝜑(−16)
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D. 𝑓 𝑥 𝑥 𝑡 ,𝑥∈ −4,4
(cid:22)(cid:176)(cid:56)3-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:315)(cid:254)(cid:316)(cid:305)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = + + + (cid:85)(cid:174)(cid:193) > (cid:85)(cid:317) (cid:207)
4𝑎
(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:85)(cid:164)(cid:251) =2(cid:133)(cid:85) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑏,𝑥∈[𝑏, ∞) 𝑏 0,𝑎∈𝑅 𝑀 𝑓(𝑥)
1 𝑀 𝑎 1 1 1
A(cid:142) > B(cid:142) < C(cid:142) > D(cid:142) <
3 3 4 4
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43) (cid:308)(cid:225)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:169)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:85)(cid:46)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:168)(cid:144) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28) (cid:251)𝑎 0(cid:133)(cid:85) (cid:126) + (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85) 𝑎
(cid:199)(cid:200) = ① 𝑎 = ≤ + 𝑓 = (𝑥 2 ) [𝑏 > , 0 ∞) =1 (cid:85)(cid:296)(cid:312) 0(cid:227)(cid:228)(cid:21)(cid:98)(cid:148)
min
2
4𝑎 + 1−8𝑎
(cid:251) 𝑓(𝑥 > ) 0(cid:133)(cid:85) 𝑓(𝑏) (cid:126)[ 2 2 𝑏 ,+ 𝑏 (cid:190) ∵ (cid:31) 𝑏 (cid:32)(cid:242) ∴ (cid:159) 𝑏 (cid:85)(cid:126)(0,2 )(cid:190)(cid:31)(cid:32) 𝑎≤ (cid:242)(cid:161)
(cid:296)②(cid:312)⑴𝑎(cid:251)2 𝑓(𝑥(cid:133))(cid:85) 𝑎(cid:126) ∞+) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:199)(cid:200)𝑎
= 𝑎≤ = 𝑏 + 𝑓(𝑥 = ) 2 [𝑏, 2 ∞) + =0 = =1± 2 (cid:85)
min
2
4𝑎 1−8𝑎
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑏) 22𝑏 1𝑏 ∵𝑏 −2𝑏 2𝑎 ∴𝛥2 1−8𝑎1≥+0,𝑏 ≥ 𝑎
2 2) >0 =
4 2 4 3 2
𝑏 𝑏 1−8𝑎
∵1+𝑎≤𝑏∴𝑎≤ ∴ (𝑏−𝑏 ≤ ∵𝑏 ∴𝑏≥ ∴𝑏
2 4
2
1−8𝑎
∵ ≥ 𝑎⇒ 1−8𝑎≥ 𝑎−11
>
1 1 1 1 1
< (cid:209){ 16 < (cid:209) < < 0<
16 +1 16 16 9 9
𝑎
⇒0 𝑎≤ ⇒0 𝑎≤ 𝑎 ∴ 𝑎≤
⑵(cid:251)2 > (cid:133)(cid:85) (cid:126)[2 ,+ (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:126) )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
1−8𝑎≥16𝑎−8 𝑎
𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑎 ∞) [𝑏,2 𝑎 1 1
(cid:199)(cid:200) = )=4 + =2 0< <2 2 > >0 < < (cid:148)
min 9 4
𝑓(𝑥) 𝑓(2 𝑎 𝑎 𝑏 ∵ 𝑏 𝑎∴ 𝑎 2−4 𝑎 ∴ 𝑎
1
(cid:72)(cid:190)(cid:85) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207) < (cid:85)
4
𝑎 𝑎
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D.
+ <0
(cid:22)(cid:176)(cid:56)3-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:286)(cid:297)(cid:318)(cid:99)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ={
2 0
(cid:85)(cid:226)(cid:96)(cid:13) (cid:85)(cid:164)
1−|𝑥 1|,𝑥
𝑓(𝑥) 𝑚∈[−2,0] |𝑓(𝑥)−𝑓(−1)|
(cid:126)(cid:38)(cid:39) +2](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119)(cid:234) (cid:241) 𝑥 −2𝑥,𝑥≥
A(cid:142)[𝑚[1,𝑚,4] B(cid:142)[2,4] C(cid:142)[1,3] D(cid:142)[1,2]
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:143)(cid:40)(cid:171) =1(cid:85)(cid:130)(cid:304)(cid:188)(cid:54) = (cid:85)(cid:170) (cid:85)(cid:188)(cid:54)(cid:38)(cid:39)
+2] (cid:85)𝑓(cid:231)(−(cid:319)1)(cid:38)(cid:39)(cid:320)(cid:321)(cid:207)2(cid:85)(cid:294)|𝑓(cid:184)(𝑥(cid:218))−(cid:171)𝑓((cid:30)−(cid:13)1)| |𝑓(cid:34)(𝑥(cid:84))−(cid:71)1(cid:85)| (cid:130)(cid:304)𝑚(cid:188)∈(cid:214)[−(cid:215)2,0=] (cid:126) (cid:190)(cid:34)
[(cid:84)𝑚(cid:71),𝑚(cid:85)(cid:100)(cid:73)⊆(cid:84)[−(cid:71)2(cid:188),2](cid:40)(cid:214) = (cid:126)(cid:38)(cid:39) +2](cid:190)(cid:34)𝑓((cid:46)𝑥)(cid:66)(cid:47)(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282). 𝑦 |𝑓(𝑥)−1| [−2,2]
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:85)𝑦(cid:251) |𝑓(𝑥)−(cid:133)1(cid:85)| =[𝑚,+𝑚2(cid:148)(cid:251) < <0(cid:133)(cid:85) = (cid:148)(cid:251) 0(cid:133)(cid:85) = 2
. 𝑥≤−1 𝑓(𝑥) 𝑥 −1 𝑥 𝑓(𝑥) −𝑥 𝑥≥ 𝑓(𝑥) 𝑥
−(cid:199)2(cid:200)𝑥 =1(cid:85)(cid:164) = (cid:85)
(cid:296)(cid:207)𝑓(−1) (cid:85)(cid:199)|(cid:200)𝑓((cid:38)𝑥)−(cid:39)𝑓(−1)|+2|]𝑓(𝑥)−1| (cid:85)(cid:231)(cid:319)(cid:38)(cid:39)(cid:320)(cid:321)(cid:207)2.
(cid:94)(cid:171)(cid:30)𝑚(cid:13)∈[−2,0(cid:34)](cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:313)(cid:84)[𝑚1(cid:85),𝑚(cid:130)(cid:304)(cid:188)⊆(cid:214)[−(cid:215)2,2=] (cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:313)(cid:84)2(cid:85)
(cid:42)(cid:43)(cid:84)(cid:71)𝑓(cid:188)(𝑥(cid:54)) = (cid:126)(cid:38)(cid:39) +2]𝑦(cid:190)(cid:34)|𝑓(cid:46)(𝑥(cid:66))−(cid:47)1(cid:34)| (cid:212)[−(cid:47)2,(cid:281)2](cid:282)(cid:119)[1,2].
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D. 𝑦 |𝑓(𝑥)−1| [𝑚,𝑚
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)4(cid:28)(cid:234)2024·(cid:322)(cid:323)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) (cid:85) ( ) ( ) ( )= (cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142) (0)=0 𝑓 𝑥B(cid:142) ( )=1𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 −𝑓 𝑥 𝑥𝑦−𝑦
C(cid:142)𝑓( +1)(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13) D(cid:142)𝑓(−1+1)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓(cid:243)𝑥(cid:28)(cid:276) =0(cid:85) ( )=0(cid:209) (0)=1(cid:85)(cid:81)(cid:62)𝑓(cid:308)𝑥(cid:225)(cid:188)(cid:40) (0)=1(cid:85)(cid:35)(cid:36)A(cid:148)(cid:141)(cid:120)(cid:10)(cid:276) =0(cid:85)(cid:188)(cid:214) ( )
𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦= (cid:85)(cid:130)(cid:304)(cid:188)(cid:40) ( )(cid:85)(cid:35)(cid:36)B(cid:148)(cid:141)(cid:181)(cid:10)(cid:276) = = (cid:85)(cid:188)(cid:40) ( )(cid:85)(cid:35)(cid:36)B(cid:148)
(cid:141)(cid:120)1−(cid:10)𝑦(cid:170)B(cid:188)(cid:214) (𝑓 +−11)= (cid:85)(cid:188)(cid:35)(cid:36)CD(cid:148)𝑥(cid:141)(cid:181)0, 𝑦 (cid:276) −=1 =2𝑓(cid:85)−(cid:188)1(cid:214) (0)+ (2)=0(cid:85)(cid:35)(cid:36)CD.
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28) A𝑓(cid:10)𝑥(cid:276) =0(cid:85)−(cid:214)𝑥 ( ) (0) ( )=0(cid:85)(cid:248)𝑥 ( 0)(,𝑦(0) )=0𝑓(cid:85)(cid:199)(cid:200)𝑓 ( )=0(cid:209) (0)=1(cid:142)
(cid:251) ( )=0(cid:133)(cid:85) ( ) (𝑦 ) ( )=𝑓 𝑥 𝑓 (cid:68)−(cid:216)𝑓(cid:210)𝑥(cid:211)(cid:85)(cid:252) (0𝑓)𝑥=1𝑓(cid:85)A−(cid:263)1(cid:264)(cid:142) 𝑓 𝑥 𝑓
B(cid:10)𝑓(cid:41)𝑥(cid:141)(cid:120) (cid:276) 𝑓=𝑥0(cid:85)𝑓 (cid:214)𝑦 −(𝑓0)𝑥( )𝑥𝑦−(0𝑦)= (cid:85)(cid:314) (0𝑓)=1(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )= (cid:85)
(cid:252) ( )=1+𝑥1=2(cid:85)B𝑓(cid:263)(cid:264)𝑓(cid:142)𝑦 −𝑓 −𝑦 𝑓 𝑓 𝑦 1−𝑦
(cid:41)𝑓(cid:141)−(cid:181)1 (cid:276) = = (cid:85)(cid:214) (0) ( ) (0)=1(cid:85)(cid:314) (0)=1(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )=2(cid:85)B(cid:263)(cid:264)(cid:142)
C(cid:10)(cid:41)(cid:141)(cid:120)𝑥 (cid:170)0B,𝑦(cid:20)(cid:260)−(cid:34)1 (cid:41)(cid:141)𝑓(cid:120)(cid:188)𝑓(cid:54)−1( −)𝑓= (cid:85)(cid:164) (𝑓 +1)= (cid:85)(cid:199)𝑓(cid:200)−1( +1)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)C(cid:263)(cid:264)(cid:85)D(cid:180)
(cid:168)(cid:142) 𝑓 𝑥 1−𝑥 𝑓 𝑥 −𝑥 𝑓 𝑥
(cid:41)(cid:141)(cid:181) (cid:276) = =2(cid:85)(cid:214) (0) (2) (0)= (cid:85)(cid:314) (0)=1(cid:85)(cid:199)(cid:200) (2)= (cid:85)
(cid:199)(cid:200) (0)+𝑥 (20),𝑦=0(cid:85)(cid:100)(cid:73)𝑓(cid:20)(cid:260)𝑓(cid:214)C−(cid:263)𝑓(cid:264)(cid:85)D−(cid:180)2 (cid:168)(cid:142)𝑓 𝑓 −1
(cid:72)(cid:190)𝑓(cid:188)(cid:54)(cid:85)𝑓(cid:20)D(cid:142)
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:176)(cid:56)4-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:122)(cid:324)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:255)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:85)(cid:164)(cid:256)(cid:257)(cid:30)(cid:13)(cid:193)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
2
2−𝑥
A(cid:142) ( )+1 𝑓 𝑥 B(cid:142)+𝑥 ( )+2
C(cid:142)𝑓(𝑥−+22)+2 D(cid:142)𝑓(𝑥−+22)+1
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓(cid:243)𝑥(cid:28)(cid:201)(cid:143)(cid:325)(cid:152)(cid:171) ( )+ ( )= (cid:85)(cid:248)𝑓(cid:30)𝑥 (cid:13) ( )(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232)(cid:207)( )(cid:85)(cid:169)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)
(cid:244)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:330)(cid:331)(cid:326)(cid:327)2(cid:121)(cid:31)𝑓(cid:310)−(cid:85)4−(cid:330)𝑥(cid:190)(cid:326)𝑓(cid:327)𝑥1(cid:121)(cid:31)−2(cid:310)(cid:85)(cid:214)(cid:215)(cid:30)𝑓(cid:13)𝑥 = ( )+1(cid:85)−(cid:164)2,−(cid:319)1(cid:30)(cid:13)(cid:3)(cid:187)(0,0)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:248)(cid:188)
(cid:35)(cid:36). 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥−2
( 2) 4 4
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207) ( )= = = + (cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207){ }(cid:85)
2 2 2
2−𝑥 − 𝑥+ +
𝑓 𝑥 +𝑥 +𝑥 −1 𝑥+ 𝑥|𝑥≠−2
4 4
(cid:164) ( )+ ( )= + + = ( )(cid:85)(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232)(cid:207)( )(cid:85)
2
(cid:199) 𝑓 (cid:200)−(cid:244)4(cid:30)−(cid:13)𝑥 ( 𝑓 ) 𝑥(cid:330)(cid:331)(cid:326) −1 (cid:327)2(cid:121)−𝑥(cid:31)−2(cid:310) −1 (cid:85)(cid:330)𝑥+(cid:190)(cid:326)(cid:327) −2 1(cid:121)𝑥(cid:31)≠(cid:310)−(cid:85)2(cid:214)(cid:215)(cid:30)(cid:13) = 𝑓 𝑥 ( )+1(cid:85) −2,−1
(cid:319)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:58)𝑓(cid:59)𝑥(cid:193)(cid:232)(cid:207)(0,0)(cid:85)(cid:252)(cid:30)(cid:13) = ( )+1(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13). 𝑦 𝑓 𝑥−2
(cid:252)(cid:20)(cid:10)A. 𝑦 𝑓 𝑥−2
( ) ( )
(cid:22)(cid:176)(cid:56)4-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:285)(cid:286)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( ,0) (0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) ( )= + +
𝑓 −𝑥 𝑓 −𝑦
1 −∞ ∪ ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥𝑦 𝑦 𝑥
(cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
𝑥𝑦
A(cid:142) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
𝑓 𝑥 ∞B(cid:142) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)( ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
C(cid:142)𝑓(𝑥)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)(−0,∞+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
D(cid:142)𝑓(𝑥)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)( ,0∞)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓(cid:243)𝑥(cid:28)(cid:276) = = (cid:85)−∞(cid:40)(cid:171) (1)(cid:85)(cid:276) = =1(cid:85)(cid:40)(cid:171) ( )(cid:85)(cid:169)(cid:81)(cid:332)(cid:276) = (cid:85) =1(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:171)(cid:30)(cid:13)
( )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:130)𝑥 (cid:304)𝑦(cid:188)(cid:214)−(cid:171)1(cid:249)(cid:265). 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 −1 𝑦 −1 𝑦
𝑓 𝑥 1
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:276) = = (cid:85)(cid:164) (1)= (1)+1(cid:85)(cid:199)(cid:200) (1)= (cid:85)
3
𝑥 𝑦 −1 𝑓 −2𝑓 𝑓
1
(cid:276) = =1(cid:85)(cid:164) (1)= ( )+1(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )= (cid:85)
3
𝑥 𝑦 𝑓 2𝑓 −1 𝑓 −1 −
(1) 1 1 1 2
(cid:276) = (cid:85)(cid:164) ( )= ( )+ = ( )+ = ( ) (cid:85)
𝑓
𝑦 −1 𝑓 −𝑥 −𝑓 −𝑥 𝑥 −𝑥 −𝑓 −𝑥 3𝑥−𝑥 −𝑓 −𝑥 −3𝑥
1
(cid:199)(cid:200) ( )= (cid:85)
𝑓 −𝑥 −3𝑥
( ) 1 1 1 1 1 1
(cid:276) =1(cid:85)(cid:164) ( )= ( )+ + = + = (cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )= (cid:85)
𝑓 −1
𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 𝑥 𝑥 −3𝑥−3𝑥 𝑥 3𝑥 𝑓 𝑥 3𝑥
1
(cid:296)(cid:207) ( )= = ( )(cid:85)(cid:231)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:3)(cid:187)(cid:163)(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
𝑓 −𝑥 −3𝑥 −𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
1
(cid:170)(cid:262)(cid:64)(cid:233)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:188)(cid:214)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161).
(cid:252)(cid:20)(cid:10)A. 𝑓 𝑥 3𝑥 ∞
(cid:22)(cid:176)(cid:56)4-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:285)(cid:236)(cid:23)(cid:333)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) ( + +1)= ( )+ ( )(cid:85)(cid:164)(cid:256)(cid:257)(cid:100)(cid:225)(cid:120)(cid:144)(cid:180)(cid:168)(cid:34)
(cid:119)(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦
A(cid:142) ( )+1(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13) B(cid:142) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)
C(cid:142)𝑓(𝑥) (cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13) D(cid:142)𝑓(𝑥−+11)(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓(cid:243)𝑥(cid:28)−(cid:45)1 (cid:27)(cid:275)(cid:47)(cid:141)(cid:325)(cid:214) + =0𝑓(cid:85)𝑥(cid:112)(cid:304)(cid:214)(cid:215) (cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:85)(cid:169)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:71)(cid:326)(cid:327)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:188)
(cid:35)(cid:36)B(cid:85)(cid:261)(cid:262)(cid:233)(cid:334)(cid:335)ACD(cid:85)(cid:170)𝑓(cid:312)(𝑥(cid:214)) (cid:41)𝑓.(−2−𝑥) 𝑓(𝑥)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207) ( + +1)= ( )+ ( )(cid:85)
(cid:276) = = (cid:85)(cid:188)(cid:214)𝑓 𝑥( 𝑦)= ( 𝑓)+𝑥 (𝑓 𝑦)(cid:85)(cid:164) =0(cid:148)
(cid:276)𝑥=𝑦 −1(cid:85)(cid:164) 𝑓 −=1 𝑓+−1 𝑓 −1=0(cid:85)𝑓(−1)
(cid:252)𝑦 −(cid:34)2(cid:84)−𝑥(cid:71)(cid:3)(cid:187)𝑓((cid:75)−1) 𝑓((cid:58)𝑥)(cid:59)(cid:85)𝑓(−2−𝑥)
(cid:164)𝑓(𝑥) (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)((cid:75)−1(0,0,0))(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:248) (cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:252)B(cid:180)(cid:168)(cid:148)
𝑓(𝑥−1) 𝑓(𝑥−1) 1
(cid:58)(cid:187)C(cid:85)(cid:276) = =0(cid:85)(cid:188)(cid:214) (1)= (0)+ (0)(cid:85)(cid:164) (0)= (1)(cid:85)
2
𝑥 𝑦 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
(cid:251) (1) 2(cid:133)(cid:85) (0) 0(cid:85)(cid:312)(cid:133) ( ) (cid:68)(cid:188)(cid:336)(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
𝑓 ≠ 𝑓 −1≠ 𝑓 𝑥 −1(cid:170)(cid:187)(cid:337)(cid:141)(cid:168)(cid:144) (1)(cid:34)(cid:47)(cid:85)(cid:252) ( ) (cid:68)(cid:120)(cid:144)(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:252)C(cid:263)(cid:264)(cid:148)
(cid:58)(cid:187)AD(cid:85)(cid:212) 𝑓( )= +1(cid:85)𝑓(cid:227)𝑥(cid:228)−(cid:21)1(cid:98)(cid:85)(cid:338)(cid:339)(cid:54)D(cid:263)(cid:264)(cid:148)
(cid:252)(cid:20)(cid:10)B. 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:233)5(cid:28)(cid:234)2024·(cid:290)(cid:268)(cid:268)(cid:305)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:47)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑥
𝑓 𝑥 𝑎− −1 𝑎∈𝐑 𝑎
1 1
A(cid:142) B(cid:142) C(cid:142)1 D(cid:142)
2 2
− −1
2 1
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:188)(cid:214) = (cid:85)(cid:79)(cid:206)(cid:188)(cid:40) (cid:34)(cid:47).
𝑥2 2
𝑥 𝑥
𝑎−1− −1−𝑎 𝑎
1 2 1
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28) ( )= = = ( )= (cid:85)
2 𝑥2 2
−𝑥 𝑥 𝑥
𝑓 −𝑥 𝑎− −1 𝑎−1− −𝑓 𝑥 −1−𝑎
1 2 1
(cid:214) = + = (cid:85)(cid:199)(cid:200) = .
2 𝑥2 2
𝑥 𝑥
(cid:252) 2 (cid:20) 𝑎 (cid:10)B. −1 1− −1 𝑎 −
( 1)( )
(cid:22)(cid:176)(cid:56)5-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:340)(cid:341)(cid:342)(cid:273)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) =(cid:234) (cid:241)
𝑥+ 𝑥+𝑎
A(cid:142)1 B(cid:142) 𝑓 C 𝑥(cid:142)2 𝑥 D(cid:142) 𝑎
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:170)(cid:30)(cid:13) (cid:207)−(cid:48)1(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:214)(cid:215) = −2(cid:85)(cid:81)(cid:332)(cid:277)(cid:278)(cid:343)(cid:257)(cid:171)(cid:3)(cid:187) (cid:34)(cid:146)(cid:217)(cid:85)
(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:171) (cid:34)(cid:47). 𝑓(𝑥) 𝑓(−𝑥) −𝑓(𝑥) 𝑎
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)𝑎(cid:217)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:214)(cid:85) 0(cid:85) = (cid:85)
𝑥≠ 𝑓(−𝑥) −𝑓(𝑥)
= (cid:85)
(−𝑥+1)(−𝑥+𝑎) (𝑥+1)(𝑥+𝑎)
(cid:344) ∴ (cid:15)(cid:188)(cid:214)−(cid:85)𝑥 + − = 𝑥 0(cid:58)(cid:266)(cid:98) 0(cid:301)(cid:210)(cid:211)(cid:85) +1=0(cid:85) = .
(cid:252)(cid:20)(cid:10)B. 2(𝑎 1)𝑥 𝑥≠ ∴𝑎 ∴𝑎 −1
3+2 2 0
(cid:22)(cid:176)(cid:56)5-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:345)(cid:346)(cid:267)(cid:347)(cid:347)(cid:348)(cid:349)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54) ( )= (cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164) =(cid:234) (cid:241)
3+ 2 <0
𝑥 𝑥 ,𝑥≥
A(cid:142) B(cid:142)2 C(cid:142) 𝑓 1 𝑥 𝑥 𝑎𝑥 ,𝑥 D(cid:142) 𝑎
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)2(cid:28) −1
(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:126)(cid:38)(cid:39)( ,0)(cid:190)(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:58)(cid:64)(cid:205)(cid:13)(cid:40)(cid:214) .
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28) 𝑓 𝑥 −∞ 𝑎
(cid:251) <0(cid:133)(cid:85) >0(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )= ( )= 3+2 2 = 3 2(cid:85)
(cid:350)𝑥(cid:250)(cid:58)(cid:64)(cid:205)(cid:13)−(cid:214)𝑥 = . 𝑓 𝑥 −𝑓 −𝑥 − (−𝑥) (−𝑥) 𝑥 −2𝑥
(cid:252)(cid:20)(cid:10)A. 𝑎 −2(cid:22)(cid:176)(cid:56)5-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:351)(cid:352)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:251) <0(cid:133)(cid:85) ( )= 2+ (cid:85)(cid:226)
𝑎
(3)= (cid:85)(cid:164) =(cid:234) (cid:241) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑅 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
𝑓 −8 𝑎 1 1
A(cid:142) B(cid:142)3 C(cid:142) D(cid:142)
3 3
−3 −
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:82)(cid:83)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:79)(cid:206)(cid:248)(cid:188)(cid:214).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28) (3)= = ( )(cid:85)(cid:252) ( )=8(cid:85)
𝑓 −8 −𝑓 −3 𝑓 −3
(cid:252) ( )=( )2+ =8(cid:85)(cid:41)(cid:214) =3.
𝑎
(cid:252) 𝑓 (cid:20)−(cid:10)3 B. −3 −3 𝑎
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:47)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)6(cid:28)(cid:234)2024·(cid:315)(cid:268)(cid:353)(cid:354)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:207)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:251) 0(cid:133)(cid:85) =2 + (cid:85)(cid:164)
𝑥
(cid:251) <0(cid:133)(cid:85) =(cid:234) (cid:241) 𝑓(𝑥) 𝑥≥ 𝑓(𝑥) 𝑥−1
𝑥A(cid:142)2 𝑓(𝑥) B(cid:142)2 + +1
−𝑥 −𝑥
C(cid:142) 2 −𝑥−1 D(cid:142) 2 𝑥+ +1
−𝑥 −𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)(cid:28)−(cid:42)𝑥(cid:43)−1(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:130)(cid:131)(cid:40)(cid:41)(cid:248)(cid:188). − 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:251) <0(cid:133)(cid:85)(cid:164) >0(cid:85)(cid:296)(cid:207) (cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) = 𝑥 = 2 +−𝑥+1. 𝑓(𝑥)
−𝑥
(cid:252)(cid:20)𝑓(cid:10)(𝑥D). −𝑓(−𝑥) − 𝑥
( +2) 0
(cid:22)(cid:176)(cid:56)6-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:322)(cid:323)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:163)(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:231) (5)=1(cid:85)(cid:164)
( ) <0
𝑓 𝑥 ,𝑥≥
( )+ ( )+ ( )=(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 ℎ 𝑥 ,𝑥 𝑓 ℎ
−20A2(cid:142)2 ℎ −2023 Bℎ(cid:142)−02024 C(cid:142)1 D(cid:142)2
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)1(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:37) ( )= ( +2) 0(cid:79)(cid:206)(cid:188)(cid:214).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:41)(cid:10)(cid:170)(cid:21)(cid:188)(cid:54)𝑓(cid:85)𝑥(cid:251) 𝑓0𝑥(cid:133)(cid:85) ,(𝑥≥)= ( +2)(cid:85)(cid:231) (5)=1(cid:85)
(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:54) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164) (0)𝑥=≥0(cid:85) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓
(cid:314) ( 𝑓 )𝑥+ ( )+𝑓( )= ( )+ ( )+ ( )=
[ (ℎ20−2220)2+2 (2ℎ02−32)0+23(20ℎ24−)]2(cid:85)024(202𝑓2)−=20(222024𝑓)=−202(32023𝑓)−=20(254)=1−(cid:85)
(cid:164)𝑓 ( )𝑓+ ( 𝑓)+ ( 𝑓 )= . 𝑓 0,𝑓 𝑓
(cid:252)ℎ(cid:20)−(cid:10)2A0.22 ℎ −2023 ℎ −2024 −1
(cid:22)(cid:176)(cid:56)6-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:355)(cid:235)(cid:268)(cid:352)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:226) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) ( +1)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:251)0< 1(cid:133)(cid:85)
( )=e (cid:85)(cid:164)(cid:251)2< 3(cid:133)(cid:85) ( )(cid:34)(cid:41)𝑓(cid:55)𝑥(cid:56)(cid:207)(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑥≤
𝑥−1
𝑓 𝑥 𝑥≤ 𝑓 𝑥A(cid:142) = e B(cid:142) = e +1
1−𝑥 𝑥
C(cid:142)𝑓(𝑥)=−e D(cid:142)𝑓(𝑥)=−e
𝑥−3 3−𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓(cid:243)(𝑥)(cid:28)(cid:201)−(cid:143)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:98)(cid:214)(cid:215) (1+ )= ( 𝑓)(=𝑥) (− )(cid:85)(cid:112)(cid:304)(cid:214)(cid:215) ( )= ( )(cid:85)(cid:169)(cid:40) ( )(cid:34)(cid:41)
(cid:55)(cid:56)(cid:248)(cid:188). 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 −𝑓 𝑥−1 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥−2 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) ( +1)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) (1+ )= (𝑓 𝑥)= ( )(cid:85)(cid:248) ( )= 𝑓( 𝑥 )(cid:85)
(cid:251)2<𝑓 3𝑥(cid:133)(cid:85)𝑓0<1−𝑥 −1𝑓(cid:85)𝑥−1 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥−2
(cid:199)(cid:200) (𝑥≤)= ( )𝑥=−2≤ (cid:142)
𝑥−3
(cid:252)(cid:20)𝑓(cid:10)𝑥C. −𝑓 𝑥−2 −𝑒
(1)
(cid:22)(cid:176)(cid:56)6-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:235)(cid:236)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85) ( )(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) ( ) ( )= (cid:85)(cid:164) =
(1)
𝑥 𝑓
(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑒 𝑔
A(cid:142)e2 1 B(cid:142)e2 C(cid:142) e2 D(cid:142)1 e2
e e 1 e2 e2
+ −1 1− +
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:81)(cid:332)(cid:277)(cid:278) =1(cid:95) = +(cid:85)(cid:169)(cid:100)(cid:73)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)1−(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41) (1)(cid:95) (1)(cid:85)(cid:169)(cid:40)(cid:174)
(cid:64)(cid:47). 𝑥 𝑥 −1 𝑓 𝑔
1
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:212) =1(cid:214) (1) (1)= (cid:85)(cid:212) = (cid:214) ( ) ( )= (cid:85)
𝑥 𝑓 −𝑔 𝑒① 𝑥 −1 𝑓 −1 −𝑔 −1 𝑒
1 1 1
(cid:248) (1) (1)= (cid:85) (cid:271) (cid:214) (1)= (cid:85) (cid:303) (cid:214) (1)= + (cid:85)
−𝑓 −𝑔 𝑒② ① ② 2𝑓 𝑒−𝑒 ① ② −2𝑔 𝑒 𝑒
(1) 2
(cid:199)(cid:200) = (cid:142)
(1) 1 2
𝑓 1−𝑒
(cid:252)(cid:20)(cid:10) 𝑔 C. +𝑒
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)7(cid:28)(cid:234)2024·(cid:356)(cid:236)(cid:320)(cid:357)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:58)(cid:266)(cid:98) (cid:301)(cid:198) ( +1)= ( )(cid:85)
(cid:251) ( )= (cid:133)(cid:85)(cid:164) (2023)(cid:69)(cid:187)(cid:234) (cid:241) 𝑅 𝑓 𝑥 𝑥∈𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥
𝑓A−(cid:142)32 −2 𝑓B(cid:142) C(cid:142)0 D(cid:142)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)−(cid:49)2(cid:33)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:325)(cid:214)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:207)4(cid:85)(cid:45)(cid:27)−(cid:60)4(cid:61)(cid:33)(cid:95)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:358)(cid:359)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:214)
(2023)(cid:34)(cid:47). 𝑓 𝑥 𝑓
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:58)(cid:266)(cid:98) (cid:301)(cid:198) ( +1)= ( )(cid:85)
(cid:252)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)𝑅(cid:219)(cid:229) =1𝑓(cid:58)𝑥(cid:59)(cid:85) ( )= ( )(cid:85)𝑥(cid:252)∈𝑅( )𝑓=𝑥(2+ )𝑓=1−𝑥( )(cid:85)
( )=𝑓 𝑥 (2+ )= (4+𝑥)(cid:85) ( )(cid:119)∴(cid:60)𝑓(cid:61)𝑥(cid:207)4𝑓(cid:34)2−(cid:60)𝑥(cid:61)(cid:30)(cid:13)𝑓(cid:142)−𝑥 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
∴𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ∴𝑓 𝑥(cid:164) (2023)= ×4+3)= (3)= ( )=2(cid:142)
(cid:252)𝑓(cid:20)(cid:10)A(cid:142) 𝑓(505 𝑓 −𝑓 −3
(cid:22)(cid:176)(cid:56)7-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:360)(cid:273)(cid:361)(cid:118)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:126)x(cid:230)(cid:190)(cid:146)(cid:85)(cid:58) R(cid:85)(cid:301)(cid:198)
+2) = (cid:85)(cid:226) = (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)𝑓((cid:187)𝑥)(cid:219)(cid:229) =1(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:231) ∀=𝑥1∈(cid:85)(cid:164)
𝑓(𝑥 +⋅𝑓(𝑥) 2𝑓(+1) 𝑦 =𝑓((cid:234)𝑥− 1 (cid:241)) 𝑥 𝑓(0)
𝑓(20A2(cid:142)3)3 𝑓(2024) 𝑓B(2(cid:142)0425) C(cid:142)5 D(cid:142)6
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:143)(cid:170)(cid:30)(cid:13) = (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:219)(cid:229) =1(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:214)(cid:30)(cid:13) = (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:219)(cid:229) =0(cid:58)(cid:59)(cid:85)
(cid:248)(cid:30)(cid:13)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:188)(cid:214)𝑦 𝑓(𝑥=−1) (cid:142)(cid:169)(cid:362) +2(cid:277)𝑥(cid:278)(cid:85)(cid:188)(cid:214)(cid:30)(cid:13)(cid:60)(cid:61)(cid:207)𝑦 4(cid:85)𝑓((cid:40)𝑥)(cid:214) =2(cid:85) 𝑥=2(cid:85)(cid:248)(cid:188)
(cid:40)(cid:41)(cid:142) 𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(1) 𝑓(3)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207) = (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:219)(cid:229) =1(cid:58)(cid:59)(cid:85)
(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:13) = (cid:34)𝑦(cid:84)(cid:71)𝑓((cid:3)𝑥−(cid:187)1)(cid:219)(cid:229) =0(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:248)𝑥 (cid:30)(cid:13) = (cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:252)(cid:198) = (cid:142)
(cid:296)(cid:207) 𝑦 (cid:85)𝑓(cid:301)(𝑥(cid:198)) +2) =𝑥 (cid:85)(cid:199)(cid:200) +𝑦4)𝑓(𝑥) +2)= (cid:85)𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥)
(cid:199)(cid:200)∀𝑥∈+𝑅2) 𝑓(=𝑥 +⋅4𝑓)(𝑥) 2+𝑓(21))(cid:85)(cid:314)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥 (cid:34)(cid:84)⋅𝑓(cid:71)(𝑥(cid:126)x(cid:230)(cid:190)2(cid:146)𝑓((cid:85)1)
(cid:199)(cid:200)𝑓(𝑥 0(cid:85)⋅𝑓(cid:199)(𝑥(cid:200)) 𝑓(+𝑥 4)=⋅𝑓(𝑥(cid:85)(cid:248)(cid:30)(cid:13) = 𝑓(𝑥)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:207)4(cid:142)
(cid:251) =𝑓(1𝑥(cid:85))≠(cid:188)(cid:214) 𝑓(𝑥 = 𝑓(𝑥(cid:85))(cid:199)(cid:200) 𝑦=2𝑓(cid:85)(𝑥)
(cid:251)𝑥= (cid:85)(cid:188)(cid:214)𝑓(3)⋅𝑓(+1)2) 2𝑓(1) = 𝑓(3(cid:85))(cid:199)(cid:200) =2(cid:85)(cid:199)(cid:200) =2(cid:85)
(cid:199)𝑥(cid:200) −1 + 𝑓(−1 + ⋅𝑓(−1) =2𝑓(1)+ 𝑓+(−1) =2+1+𝑓2(1=)5.
(cid:252)(cid:20)(cid:10)𝑓(2C0(cid:142)23) 𝑓(2024) 𝑓(2025) 𝑓(3) 𝑓(0) 𝑓(1)
(cid:22)(cid:176)(cid:56)7-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:124)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:367)(cid:349)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) (2+ ) ( )= (cid:142)(cid:226)
( )(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75)(2,1)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:231) (0)=0(cid:85)(cid:164) (1)+ (2)+ + (𝑓50𝑥)=(cid:234)𝑓 (cid:241) 𝑥 −𝑓 2−𝑥 4𝑥 𝑓
2𝑥−A3(cid:142)0 B(cid:142)50 𝑓 C(cid:142)𝑓2509 𝑓 ⋅⋅⋅ 𝑓D(cid:142)2499
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:170) ( )(cid:84)(cid:71)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232)(cid:214) ( )(cid:84)(cid:71)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232)(cid:85)(cid:170) (2+ ) ( )= (cid:85)(cid:368)(cid:369)(cid:30)(cid:13) ( )
= ( ) (cid:85)(cid:40)(cid:171)𝑓 2𝑥(−)3(cid:84)(cid:71)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:95)(cid:60)(cid:61)𝑓(cid:85)𝑥(cid:170) (1)+ (2)+ + (𝑓50)=𝑥(−1)𝑓+2−(𝑥2)+4𝑥+ (50)+2𝑔 𝑥
(1𝑓+𝑥2+−2𝑥+50)(cid:40)𝑔(cid:47)𝑥(cid:248)(cid:188). 𝑓 𝑓 ⋅⋅⋅ 𝑓 𝑔 𝑔 ⋅⋅⋅ 𝑔
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)⋅⋅(cid:217)⋅ (cid:28)(cid:296)(cid:207) ( )(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75)(2,1)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )+ (2( ) )=2(cid:85)
(cid:248) ( )+ ( 𝑓 2)𝑥=−23(cid:85)(cid:112)(cid:304) ( )+ ( )=2(cid:85) 𝑓 2𝑥−3 𝑓 4−𝑥 −3
(cid:164)𝑓(2)𝑥(cid:34)−3(cid:84)(cid:71)𝑓(cid:3)5(cid:187)−(cid:75)2𝑥(1,1)(cid:58)(cid:59)(cid:142)𝑓 𝑥−3 𝑓 5−𝑥
(cid:170)𝑓(𝑥2+ ) ( )= (cid:85)(cid:188)(cid:214) (2+ ) (2+ )= ( ) ( )(cid:142)
(cid:276)𝑓( )=𝑥 −(𝑓) 2−𝑥(cid:85)(cid:214)4𝑥(2+ )=𝑓 ( 𝑥 −)(cid:85)2(cid:164) (𝑥)(cid:34)(cid:84)𝑓 (cid:71)2−(cid:3)𝑥(cid:187)−(cid:219)2 (cid:229)2−𝑥=2(cid:58)(cid:59)(cid:142)
𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −2𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 2−𝑥 𝑔 𝑥 𝑥(1+ )+ ( )= (1+ ) (1+ )+ ( ) ( )= (1+ )+ ( ) = (cid:85)
𝑔(cid:164) ( )𝑥(cid:34)(cid:84)𝑔(cid:71)1(cid:3)−(cid:187)𝑥 (cid:75)(𝑓 )𝑥(cid:58)−(cid:59)2(cid:85)(cid:164)(cid:198)𝑥 ( 𝑓)1+−𝑥(−)2=1−𝑥(cid:85) 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 −4 −2
(cid:199)𝑔(cid:200)𝑥(2+ )+ ( )=1,−1(cid:85) (4+ )+𝑔(22−+𝑥 )=𝑔 𝑥 (cid:85)−2
(cid:196)(cid:56)𝑔(cid:129)(cid:161)(cid:214)𝑥 ( 𝑔+𝑥4)=−(2 )(cid:85)𝑔(cid:252) (𝑥)(cid:119)𝑔(cid:200)4(cid:207)𝑥(cid:60)(cid:61)−(cid:34)2(cid:30)(cid:13)(cid:142)
(cid:296)(cid:207) (0)=𝑔(𝑥0) ×0𝑔=𝑥0(cid:85) (𝑔1)𝑥= (cid:85) (2)= (0)= (cid:85) (3)= (1)= (cid:85)
(cid:199)(cid:200)𝑔(1)+𝑓(2)+−2 + (50)=𝑔 (1)+−1(2)𝑔+ +−(25−0𝑔)+2(1+−22+𝑔 +50)𝑔 −1
= 𝑓× 𝑓 +⋅⋅2⋅55𝑓0=249𝑔9(cid:142) 𝑔 ⋅⋅⋅ 𝑔 ⋅⋅⋅
(cid:252)(cid:20)−4(cid:10)D1.2−1−2
(cid:22)(cid:176)(cid:56)7-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:370)(cid:371)(cid:236)(cid:134)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )、 ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:274)(cid:207)R(cid:85)(cid:30)(cid:13) +1(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:163)
(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:30)(cid:13) +1)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)y(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:85) 𝑓 𝑥+2)𝑔+𝑥 +1)= =0𝑓(cid:85)(2(cid:164)𝑥−1) =
(cid:234) (cid:241) 𝑔(𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 −1,𝑓(−4) 𝑓(2030)−𝑔(2017)
A(cid:142) B(cid:142) C(cid:142)3 D(cid:142)4
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)4(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:21)(cid:255)(cid:214)(cid:215)−3( )+ ( )= (cid:95) ( +1)= ( +1) (cid:85)(cid:314)(cid:170)
+2)+ +1)= (cid:85)𝑓(cid:100)𝑥(cid:73) 𝑓(cid:56)−(cid:85)2−(cid:325)𝑥(cid:214) −2(cid:34)①(cid:60)(cid:61)𝑔(cid:207)−𝑥12(cid:85)(cid:45)(cid:27)𝑔 𝑥 =②0(cid:40)(cid:214) (2)= (cid:95) =1(cid:85)
(cid:46)𝑓(𝑥(cid:184)(cid:45)(cid:27) 𝑔(𝑥(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:33)−(cid:248)1(cid:188)(cid:40)(cid:214).① 𝑔(𝑥) 𝑓(−4) 𝑓 −2 𝑔(1)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)𝑔(cid:217)((cid:28)𝑥)(cid:170)(cid:30)(cid:13) +1(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:163)(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85) ( )+1= ( ) (cid:85)
(cid:248) = 𝑓(2𝑥−(cid:85)1)(cid:248) ( )+ ( )= (cid:85)𝑓 −2𝑥−1 −𝑓 2𝑥−1 −1
(cid:170)(cid:30)𝑓(−(cid:13)𝑥−1)+1−)(cid:34)2−(cid:84)𝑓(cid:71)(𝑥−(cid:3)1(cid:187)) y(cid:230)𝑓(cid:58)𝑥(cid:59)(cid:85)𝑓(cid:188)−(cid:214)2−(𝑥 +−12)①= ( +1) (cid:85)
(cid:170) ( +𝑔(2𝑥)+ ( +1)= (cid:188)(cid:214) ( )+ ( 𝑔 )−=𝑥 (cid:85)(cid:314)𝑔(cid:214)𝑥( ②)+ ( )= (cid:85)
(cid:196)𝑓(cid:56)𝑥(cid:129)(cid:372)(cid:85) (𝑔)𝑥+ ( −1)+ (𝑓 𝑥 )+𝑔 (𝑥−1 )−=1 (cid:85)(cid:244)𝑓 −(cid:56)2−(cid:277)𝑥(cid:278)(cid:85)𝑔(cid:214)−𝑥(−3 )+−1( )=0(cid:85)
(cid:164)(cid:214) ( )𝑓+𝑥 ( 𝑓 +−21−)𝑥=0(cid:85)𝑔(cid:244)𝑥−1(cid:56)(cid:277)𝑔(cid:278)−(cid:214)𝑥−(cid:85)3 ( −+21)=①( )(cid:85)(cid:164)𝑔(𝑥−+16)=𝑔 −𝑥(−)3(cid:85)
(cid:187)(cid:119)𝑔(𝑥−+512)𝑔=−𝑥( +6)= ②(cid:85)(cid:248) (cid:34)(cid:60)𝑔(cid:61)𝑥(cid:207)12. −𝑔 𝑥−5 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑥
(cid:314) 𝑔 𝑥 =0(cid:85)(cid:170)−𝑔(cid:188)𝑥(cid:214) (2)+𝑔((𝑥) )=𝑔(𝑥)(cid:85)(cid:214) (2)= (cid:85)
(cid:314)𝑓(cid:170)(−(4)+2)+ (①+1)=𝑓 (cid:188)𝑓(cid:214)−4 +−2 =𝑓 (cid:85)(cid:248)−(cid:214)2 =1.
(cid:296) (2𝑓0𝑥30)+ (2𝑔0𝑥29)= −(cid:85)1(cid:188)(cid:214)(cid:85)𝑓(2()203𝑔0()1=) −1 (2029𝑔)((cid:85)1)
(cid:187)𝑓(cid:119)(cid:85) 𝑔 −1= (2𝑓029) −1−=𝑔 = =
(cid:252)(cid:20)(cid:10)𝑓B(.2030)−𝑔(2017) −1−𝑔 −𝑔(2017) −1−𝑔(1)−𝑔(1) −1−2𝑔(1) −3.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)8(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:267)(cid:268)(cid:373)(cid:305)·(cid:61)(cid:374)(cid:241)(cid:255)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:231) ( +4)= ( )(cid:85)(cid:251) (0,4](cid:133)(cid:85) ( )
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥=2 2 (cid:85)(cid:226)(cid:58)(cid:187) ( ](cid:85)(cid:301)(cid:198) ( ) 3 (cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:164)t(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
2
𝑥 A(cid:142) −8 ( 𝑥 ] ∀𝑥 B ∈ (cid:142)− ( ∞,𝑡 ] 𝑓 𝑥 ≥ C − (cid:142)( ] D(cid:142)( ]
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)∞(cid:28),−(cid:170)7 ( +4)= −∞(,−)(cid:95)5(cid:251) (0,4](cid:133) (−)∞=,−232 (cid:188)(cid:200)(cid:375)(cid:247)(cid:325)−(cid:171)∞,(−1 ](cid:85)( ](cid:85)( ]
𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥 −8𝑥 −4,0 −38,−4 −12,−8
(cid:190)(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:293)(cid:121)(cid:38)(cid:39)(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:34)(cid:376)(cid:377)(cid:85)(cid:74)(cid:40) ( ](cid:133)(cid:85)(cid:30)(cid:13)(cid:47)(cid:69)(cid:187) (cid:133)(cid:34)(cid:378)(cid:176)(cid:204)(cid:34)(cid:47)(cid:85)
2
𝑥∈ −8,−4 −
3
(cid:214)(cid:215)(cid:227)(cid:228) ( ) (cid:34) (cid:34)(cid:281)(cid:282)(cid:85)(cid:248)(cid:214)t(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282).
2
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250) 𝑓 (cid:217)𝑥(cid:28)(cid:251) ≥− (0 𝑥 ,4](cid:133)(cid:85) ( )=2 2 =2 2 (cid:85) (cid:148)(cid:296) ( +4)= ( )(cid:85)(cid:248)x(cid:293)(cid:159)
(cid:66)4(cid:85)(cid:58)(cid:74)(cid:34)(cid:379)(cid:380)𝑥(cid:381)∈ (cid:301)(cid:176)(cid:163)(cid:115)𝑓(cid:34)𝑥2(cid:382). 𝑥 −8𝑥 (𝑥−2) −8 𝑓(𝑥)∈[−8,0] 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥
(cid:251) ( ](cid:133)(cid:85) +4 (0,4](cid:85)(cid:252) ( +4)=2 +2)2 (cid:85)(cid:164) = 1 +4)= +2)2 (cid:85)
2
𝑥∈ −4,0 (cid:148) 𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 (𝑥 −8 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 (𝑥 −4
𝑓 (cid:251) (𝑥)∈ ( [−4,0] ](cid:133)(cid:85) +4 (cid:85)(cid:252) ( +4)= +6)2 (cid:85)(cid:164) = 1 +4)= 1 +6)2 (cid:85)
2 2
𝑥∈ −8,−4 (cid:148) 𝑥 ∈(−4,0] 𝑓 𝑥 (𝑥 −4 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 (𝑥 −2
𝑓 (cid:251) (𝑥)∈ ( [−2,0] ](cid:133)(cid:85) +4 (cid:85)(cid:252) ( +4)= 1 +10)2 (cid:85)(cid:164) = 1 +4)= 1 +10)2 (cid:85)
2 2 4
𝑥∈ −12,−8 𝑥 ∈(−8,−4] 𝑓 𝑥 (𝑥 −2 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 (𝑥 −1
.
𝑓(𝑥)∈[−1,0]
(cid:313)(cid:84)(cid:85)(cid:259)(cid:21)(cid:98)(cid:276) 1 +6)2 = 3 (cid:85)(cid:41)(cid:214) = (cid:209) = (cid:85)(cid:170)(cid:84)(cid:54)(cid:251) (cid:133)(cid:85) ( ) 3 (cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:248)(cid:383)(cid:177)
2 2 2
(𝑥 (cid:85)(cid:252)(cid:214) − (cid:10) 2 − ( ] 𝑥 (cid:142) −7 𝑥 −5 𝑥≤−7 𝑓 𝑥 ≥−
(cid:252)(−(cid:20)∞(cid:10),𝑡]A⊆.(−∞,−7] 𝑡∈ −∞,−7
(cid:22)(cid:176)(cid:56)8-1(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:384)(cid:267)(cid:299)(cid:273)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:255)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:227)(cid:228) ( )= ( )(cid:85)(cid:231)(cid:251) (0,2]
(cid:133)(cid:85) ( )= ( )(cid:142)(cid:226)(cid:58)(cid:266)(cid:98) ( ](cid:85)(cid:301)(cid:198) ( )𝑓 𝑥3(cid:85)(cid:164) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119)𝑓(cid:234)𝑥 (cid:241)2𝑓 𝑥−2 𝑥∈
A 𝑓 (cid:142) 𝑥 𝑥 , 52−𝑥 𝑥∈ −∞,𝑚 B(cid:142) 𝑓 𝑥 ≤ , 7 𝑚
2 2
−∞ −∞
C(cid:142) , 9 D(cid:142) , 11
2 2
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)∞(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:189)(cid:144)(cid:182)(cid:183)(cid:81)(cid:246)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:37)(cid:58)(cid:74)(cid:30)(cid:13)−∞(cid:47)(cid:385)(cid:73)(cid:85)(cid:169)(cid:45)(cid:27)(cid:13)(cid:139)(cid:100)(cid:73)(cid:248)(cid:214).(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:227)(cid:228) ( )= ( )(cid:85)
(cid:231)(cid:251) (0,2](cid:133)(cid:85) ( )=𝑓 𝑥( )= ( )2+1𝑓 𝑥[0,1](cid:85)2𝑓 𝑥−2
(cid:251) 𝑥(∈2,4](cid:85)(cid:133)(cid:85)𝑓 𝑥 (𝑥0,22−](cid:85)𝑥 − 𝑥−1 ∈
(cid:164)𝑥∈ = 𝑥=−22(∈ )[ ( )]= ( )2+2 [0,2](cid:85)
(cid:251)𝑓(𝑥)(4,62]𝑓(cid:85)(𝑥(cid:133)−(cid:85)2) 𝑥−(02,2]2(cid:85)− 𝑥−2 −2 𝑥−3 ∈
(cid:164)𝑥∈ = 𝑥=−44(∈ )[ ( )]= ( )2+4 [0.4](cid:85)
(cid:251)𝑓(𝑥) 4𝑓((cid:85)𝑥−(cid:133)2(cid:85)) +𝑥2−2(−02,2](cid:85)4− 𝑥−2 −4 𝑥−5 ∈
(cid:164) 𝑥∈(− = 21,0] +2)= 𝑥 1 ∈ +2)( )= 1 ( +1)2+ 1 [0, 1 ](cid:85)
2 2 2 2 2
(cid:94)(cid:171) 𝑓(𝑥 (cid:30) ) (cid:13) 𝑓 ( (𝑥 )(cid:34)(cid:66)(cid:386)(cid:84) ( (cid:71) 𝑥 (cid:85) −𝑥 − 𝑥 ∈
𝑓 𝑥
(cid:58)(cid:266)(cid:98) ( ](cid:85)(cid:301)(cid:198) ( ) 3(cid:85)(cid:255) (cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:207) (cid:85)
(cid:164) ( )= 𝑥∈ 3(cid:85) − (cid:199) ∞ (cid:200) ,𝑚 ( ) 𝑓 2 𝑥 +4 ≤ =3(cid:85)(cid:41) 𝑚 (cid:214) = 9 (cid:209) = 𝑡11 (cid:85)
2 2
𝑓 𝑡 −4 𝑡−5 𝑡 𝑡
(cid:100)(cid:73)(cid:84)(cid:71)(cid:54)m(cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:207) 9 (cid:85)(cid:248) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119) , 9 .
2 2
(cid:252)(cid:20)(cid:10)C. 𝑚 −∞
(cid:22)(cid:176)(cid:56)8-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:387)(cid:236)(cid:388)(cid:52)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:144)(cid:99)“(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:119) (cid:190)(cid:34) (cid:389)(cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)” (cid:313)(cid:256): (cid:30)(cid:13) = ( )
D(cid:85)(cid:58)(cid:187)(cid:189)(cid:144)(cid:34)(cid:390)(cid:128)(cid:221)(cid:13) (cid:85)(cid:391)(cid:300)(cid:126)(cid:390)(cid:128)(cid:221)(cid:13) (cid:85)𝑦(cid:177)(cid:214)𝑓 (cid:144)𝑥 (cid:99)(cid:145)𝐷 (cid:124)(cid:34)𝑎 (cid:266)(cid:98)(cid:96)(cid:13) (cid:301)(cid:198) ( )= (𝑦+ 𝑓)(cid:216)𝑥 (cid:210),𝑥(cid:211)∈ (cid:85)
(cid:312)(cid:133) (cid:207) ( )(cid:34)(cid:60)(cid:61). (cid:226) =𝑎 ( )(cid:119)[1,+ )(cid:190)(cid:34)𝑇 (cid:389)(cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)𝐷(cid:85)(cid:231) =1(cid:85)(cid:251)𝑥 [1𝑎,2𝑓)(cid:133)𝑥 (cid:85)𝑓(𝑥)=𝑇 +1,(cid:231)
= 𝑇( )𝑓(cid:119)𝑥[1,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:31)𝑦 (cid:32)𝑓(cid:242)𝑥(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)∞(cid:164)(cid:96)(cid:13)𝑎(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207)(cid:234) (cid:241)𝑇 𝑥∈ 𝑓 𝑥 2𝑥
𝑦 𝑓 A(cid:142) 𝑥 5 ,+ ∞ B(cid:142)[2,+ ) C 𝑎 (cid:142) 5 ,+ D(cid:142)[10,+ )
6 3
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)∞(cid:170)(cid:21)(cid:188)(cid:214)
( )=
∞
+ N
∞(cid:85)
[
+1)(cid:85)(cid:294)(cid:184)(cid:45)∞(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:248)(cid:214).
𝑛−1 ∗
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28) [1,2)𝑓(cid:133)𝑥, ( )𝑎= ⋅(+2𝑥1−(cid:85)2𝑛 3),𝑛∈ 𝑥∈ 𝑛,𝑛
(cid:251) [2,3)(cid:133)∵,𝑥(∈)= 𝑓 𝑥 =2𝑥 (cid:148)
(cid:251)∴ 𝑥∈[ +1)(cid:133)𝑓 ,𝑥( )𝑎=𝑓(𝑥−1) 𝑎=(2𝑥2−1) = = +1)= +3)(cid:85)
𝑛−1 𝑛−1
(cid:248)𝑥∈[𝑛,𝑛+1)(cid:133),𝑓(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥−1) 𝑎 𝑓+(𝑥−2) N⋯(cid:85)𝑎 𝑓(𝑥−𝑛 𝑎 ⋅(2𝑥−2𝑛
𝑛−1 ∗
𝑥∈(cid:126)𝑛[,𝑛1,+ )(cid:190)𝑓(cid:31)𝑥(cid:32)(cid:242)𝑎(cid:159)(cid:85)⋅(2𝑥−2𝑛 3),𝑛∈
∵𝑓(𝑥) ∞>0(cid:231) +3) +5)(cid:85)
𝑛−1 𝑛−2
∴𝑎 5𝑎 ⋅(2𝑛−2𝑛 ≥𝑎 ⋅(2𝑛−2𝑛
(cid:41)(cid:214) (cid:85)
3
𝑎≥
(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119) 5 ,+ .
3
(cid:252) ∴ (cid:20)(cid:10) 𝑎 C. ∞
(cid:22)(cid:176)(cid:56)8-3(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:392)(cid:393)(cid:392)(cid:273)·(cid:61)(cid:374)(cid:241)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) (cid:34)(cid:30)(cid:13) (cid:227)(cid:228) +1)= (cid:85)(cid:251) [0,2)(cid:133)(cid:85)
2 [0,1] 𝑅 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 2𝑓(𝑥) 𝑥∈
={ (cid:85)(cid:226) (cid:133)(cid:85)(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:34) [1,2](cid:301)(cid:198) (cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)
log + (1,2)
2 1 𝑡 6 𝑎
𝑥 −𝑥,𝑥∈
𝑓(𝑥) 𝑥∈[−2,0) 𝑡∈ 𝑓(𝑥)≥ −8𝑡 𝑎
(cid:281)(cid:282)(cid:119)(cid:234) (cid:241)(𝑥 1),𝑥∈
A(cid:142) B(cid:142)[3,+ C(cid:142) D(cid:142)(3,+
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(−(cid:243)∞(cid:28),3(cid:170)) +1)= ∞(cid:188))(cid:40)(cid:41)(cid:171) (−∞,(cid:95)3] (cid:133)(cid:85) (cid:34)(cid:41)(cid:55)∞(cid:56))(cid:85)(cid:112)(cid:304)(cid:214)(cid:215) (cid:126)
(cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:85)(cid:112)
𝑓
(cid:304)
(𝑥
(cid:244)(cid:68)(cid:69)(cid:56)
2
(cid:136)
𝑓(
(cid:16)
𝑥)
(cid:207)
𝑥∈1[
(cid:58)
−2,−1
[1
)
,2)
[
(cid:216)
−1
(cid:210)
,0
(cid:211)
)
(cid:85)(cid:45)
𝑓
(cid:27)
(𝑥
(cid:81)
)
(cid:394)(cid:176)(cid:204)(cid:141)(cid:188)(cid:244)(cid:220)(cid:21)(cid:136)
𝑓
(cid:16)
(𝑥
(cid:207)
) [−2,0
2
)
16 16
𝑡 𝑎
−8𝑡≤− 𝑡∈ 2𝑎≥𝑡
+ = + 1 ) 2 1 (cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:181)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:214)(cid:126)[1,2)(cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:85)(cid:112)(cid:304)(cid:214)(cid:215) 6(cid:85)(cid:130)(cid:304)(cid:40)(cid:214)(cid:100)(cid:289).
2 4
(cid:22)𝑡(cid:41)(cid:249)(𝑡(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:251)− [ ](cid:133)(cid:85) +2 [0,1] 2𝑎≥
1 𝑥∈ −2 1 ,−1 𝑥 ∈ 1
= +2)= [ +2)2 +2)]= ( 2+ +2)
4 4 4
∴𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 (𝑥 −(𝑥 𝑥 3𝑥
3 1
[ ](cid:133)(cid:85) = )=
min 2 16
∴𝑥∈ −2,−1 𝑓(𝑥) 𝑓(− −
1 1
(cid:251) (cid:133)(cid:85) +2 (1,2)(cid:85) = +2)= log +3)
4 4 2
𝑥∈(−1,0) 𝑥 ∈ ∴𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 (𝑥
1
(cid:133)(cid:85) > =
2
∴𝑥∈(−1,0) 𝑓(𝑥) 𝑓(−1)
1 1
(cid:133)(cid:85) = (cid:85)(cid:248) (cid:58) [1,2)(cid:216)(cid:210)(cid:211)
min 16 16 16
𝑡 𝑎
∴𝑥∈[−2,0) 𝑓(𝑥) − −8𝑡≤− 𝑡∈
(cid:248)(cid:10) 2+ = + 1 ) 2 1 (cid:58) [1,2)(cid:216)(cid:210)(cid:211)
2 4
(cid:276) 2𝑎 = ≥𝑡 2+ 𝑡 = (𝑡 + 1 ) 2 − 1 (cid:85) 𝑡∈ [1,2)(cid:85) < =6
2 4
𝑔(𝑡) 6(cid:85)𝑡 (cid:41)𝑡(cid:214)(cid:10)(𝑡
[3,+
− 𝑡∈ ∴𝑔(𝑡) 𝑔(2)
(cid:252)∴(cid:20)2𝑎(cid:10)≥B. 𝑎∈ ∞)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)9(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:285)(cid:236)(cid:236)(cid:280)·(cid:395)(cid:246)(cid:396)(cid:397)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) (1+ )= ( )(cid:85)(cid:231) ,
1 2
>1(cid:85) (cid:133)(cid:85)[ ( ) ( )]( )<0(cid:85)(cid:317) = 2𝑅 (cid:85) = 𝑓3 𝑥 (cid:85) = 𝑓 6 (cid:85) 𝑥 (cid:164)(cid:234) 𝑓 1 − (cid:241) 𝑥 ∀𝑥 𝑥
1 2 1 2 1 2
2 2 2
A(cid:142) 𝑥 ≠ > 𝑥 > 𝑓 𝑥 B(cid:142)−𝑓 𝑥 > > 𝑥 −𝑥 C(cid:142) 𝑎 > 𝑓 > 𝑏 𝑓 D(cid:142) 𝑐 > 𝑓 >
𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:98)(cid:336)(cid:214)(cid:215)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:3)(cid:187)(cid:219)(cid:229) =1(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:231) ( )(cid:126)( ,1)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:294)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:394)(cid:58)
(cid:59)(cid:230)(cid:34)(cid:398)(cid:113)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67). 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −∞
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:170) , >1(cid:85) (cid:133)(cid:85)[ ( ) ( )]( )<0(cid:214)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:126)(1,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:170) (1+ )= (∀𝑥 )𝑥(cid:214)(cid:30)(cid:13) 𝑥( )≠(cid:3)𝑥(cid:187)(cid:219)(cid:229)𝑓=𝑥1(cid:230)−𝑓(cid:58)𝑥(cid:59)(cid:85)𝑥 −𝑥 𝑓 𝑥 ∞
(cid:199)𝑓(cid:200)(cid:30)(cid:13)𝑥 ( )𝑓(cid:126)1(−𝑥 ,1)(cid:190)(cid:31)𝑓(cid:32)𝑥(cid:242)(cid:159). 𝑥
(cid:314)(cid:296)(cid:207) | 2 𝑓 𝑥| |−1.∞4 | =0.3(cid:234)(cid:46)(cid:398)(cid:394) =1(cid:241)(cid:85) | 3 | | 1.7 | =0.15(cid:234)(cid:46)(cid:399)(cid:113) =1(cid:241)(cid:85) | 6 | | 2.4 |
2 2 2 2 2 2
−1 ≈ −1 𝑥 −1 ≈ −1 𝑥 −1 ≈ −1
=0.2，
(cid:199)(cid:200) 3 > 6 > 2 .
2 2 2
𝑓 𝑓 𝑓
(cid:252)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:176)(cid:56)9-1(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:290)(cid:268)(cid:268)(cid:305)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:251)0 < (cid:133)(cid:85)[ ( ) ( )]( )
1 2 2 1 2 1
>0(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:255) = 5 5 (cid:85) = ( 2)(cid:85) = (3 3)(cid:85)(cid:164)𝑓 𝑥a(cid:85)b(cid:85)c(cid:34)(cid:66)(cid:67)(cid:3)≤(cid:205)𝑥(cid:207)(cid:234)𝑥 (cid:241) 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥
A(cid:142) < <𝑎 𝑓 B(cid:142) 𝑏< 𝑓<− 𝑐 C𝑓(cid:142)b0(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)
1 2 2 1 2 1
(cid:188)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:126)[0≤,+𝑥 )(cid:190)𝑥(cid:31)(cid:32)(cid:242)𝑓(cid:159)𝑥(cid:85)−𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:314)(cid:296)(cid:207)(cid:30)𝑓(cid:13)𝑥( )(cid:119)(cid:49)(cid:30)∞(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) = ( 𝑓 𝑥2)= ( 2)(cid:85)
𝑏 𝑓 − 𝑓 10 10
(cid:255) =5 5, = 2, =3 3(cid:85)(cid:164)( )10= 5 5 =25,( )10=( 2) =32(cid:85)
1 1 1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
6 6
(cid:199)(cid:200) < (cid:85)(cid:314)( )6=( 2) =8,( )6=(3 3) =9(cid:85)
1 1 1 1
(cid:199)(cid:200)𝑎 <𝑏 (cid:85)(cid:199)(cid:200)𝑏 < < (cid:85) 𝑐
1 1 1 1 1
(cid:314)(cid:296)𝑏(cid:207)(cid:30)(cid:13)𝑐 ( )(cid:126)[𝑎0,+𝑏)(cid:190)𝑐(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) < <𝑓 .𝑥 ∞
(cid:252)(cid:20)(cid:10)𝑎 A.𝑏 𝑐
(cid:22)(cid:176)(cid:56)9-2(cid:28)(cid:234)22-23(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:370)(cid:371)(cid:210)(cid:301)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:126)(0,4)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:231) = ( +4)(cid:119)(cid:49)(cid:30)
(cid:13)(cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥
A(cid:142) (2)< (3)< (7) B(cid:142) (7)< (2)< (3)
C(cid:142)𝑓(2)<𝑓(7)<𝑓(3) D(cid:142)𝑓(3)<𝑓(7)<𝑓(2)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓(cid:243)(cid:28)(cid:42)𝑓(cid:43)(cid:21)(cid:98)𝑓(cid:214)(cid:215)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:3)(cid:187) =4𝑓(cid:58)(cid:59)(cid:85)𝑓(cid:199)(cid:200) (𝑓7)= (cid:85)(cid:100)(cid:73)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41).
𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑓(1)(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:170)(cid:30)(cid:13) = ( +4)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:188)(cid:214)(cid:30)(cid:13) = ( +4)(cid:3)(cid:187) =0(cid:58)(cid:59)(cid:85)
(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:3)(cid:187)𝑦 =𝑓4𝑥(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:199)(cid:200) (7)= (cid:85) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13)𝑦=𝑓(𝑥)(cid:126)(0,𝑥4)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:231)𝑓 1<2𝑓<(13)(cid:85)(cid:199)(cid:200) (7)< (2)< (3).
(cid:252)(cid:20)(cid:10)B.𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓 𝑓
1
(cid:22)(cid:176)(cid:56)9-3(cid:28)(cid:234)2023·(cid:345)(cid:346)(cid:267)(cid:66)(cid:324)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54) =ln1.1(cid:85) = (cid:85) = 1.2 (cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
11
𝑎 𝑏 𝑐 −1
A(cid:142) > > B(cid:142) > > C(cid:142) > > D(cid:142) > >
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑎(cid:243)(cid:28)𝑏(cid:368)(cid:369)𝑐 (cid:30)(cid:13) ( )𝑎=l𝑐n(1𝑏+ ) ( 1+ 𝑐 )𝑏(cid:85)(cid:45)𝑎(cid:27)(cid:174)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:64)(cid:65)𝑐 a𝑎(cid:85)c(cid:148)𝑏(cid:368)(cid:369)(cid:30)(cid:13) ( )=ln(1+ )
(cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:174)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:64)(cid:65)𝑓a𝑥(cid:85)b. 𝑥 − 2𝑥−1 𝑔 𝑥 𝑥
(cid:22)−𝑥(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:255) ( )=ln(1+ ) ( 1+ )(cid:85)( 0)(cid:85)
1 𝑓 𝑥1 1 𝑥(−1 ) 2𝑥−1 𝑥≥
(cid:199)(cid:200) ( )= = (cid:85)
1 1 1 (1 )
+2𝑥− +𝑥
′
(cid:276) ( 𝑓 ) 𝑥 = 1+ +𝑥− + (1 2𝑥 + )(cid:85)+ ( 2𝑥 + 0 𝑥 )(cid:85)
𝑔 𝑥 1 2𝑥− 𝑥1 𝑥≥
(cid:164) ( )= = 0(cid:85)
1 1
1− +2𝑥
′
(cid:164) 𝑔 ( 𝑥 )= 1 + + 2𝑥−1 (1+ + ) 2(cid:126)𝑥 ≤ [0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
(cid:199)𝑔(cid:200)𝑥( ) (02)𝑥=−0(cid:85)(cid:164)𝑥 ( 𝑥)∈ 0(cid:85) ∞
′
(cid:252) (𝑔)(cid:126)𝑥 [≤0,𝑔+ )(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)𝑓(cid:85)𝑥 ≤
(cid:199)(cid:200)𝑓 𝑥(0.1)< ∞(0)=0(cid:85)(cid:248)ln(1.1)< 1.2 (cid:85)(cid:248) < (cid:85)
(cid:296)(cid:207) 𝑓 ln1.1=ln 𝑓11 = ln = ln 1 − (cid:85) 1 𝑎 𝑐
10 11 11
11−1
(cid:368)(cid:369) ( )=ln(1+ − ) (cid:85) − ( 1− ](cid:85)
𝑔 𝑥 1 𝑥 −𝑥 𝑥∈ −1,0
(cid:199)(cid:200) ( )= = 0(cid:85)(cid:248) ( )(cid:126)( ](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)
1 1
−𝑥
′
𝑔 𝑥 +𝑥−1 +𝑥≥ 𝑔 𝑥 −1,0
(cid:199)(cid:200) 1 < (0)=0(cid:85)(cid:248)ln 1 + 1 <0(cid:85)(cid:248) 1 < ln 1 (cid:85)
11 11 11 11 11
(cid:248) < 𝑔 −(cid:85) 𝑔 1− − 1−
(cid:72)𝑏(cid:190)(cid:10)𝑎 < < (cid:142)
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D𝑏. 𝑎 𝑐
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)10(cid:28)(cid:234)2024·(cid:290)(cid:268)(cid:268)(cid:305)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:96)(cid:13)x(cid:85)y(cid:301)(cid:198)
+ = + (cid:85)(cid:251) >0(cid:133)(cid:85) >1𝑓(cid:85)𝑥(cid:231) =5(cid:85)(cid:164)(cid:3)(cid:187)x(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56) + <6(cid:34)(cid:41)
𝑓(cid:385)(𝑥(cid:207)(cid:234)𝑦 ) (cid:241)𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)−1 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(2) 𝑓(𝑥) 𝑓(4−3𝑥)A(cid:142)(1,+ ) B(cid:142)(2,+ ) C(cid:142) ，1 D(cid:142) ，2
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)∞(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:98)(cid:45)(cid:27)(cid:144)(cid:99)∞(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:13)(cid:126)R(cid:190)(cid:31)−(cid:32)∞(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:400)(cid:304)(cid:136)(cid:16)(cid:68)(cid:69)−(cid:56)∞(cid:85)(cid:40)(cid:41)(cid:248)(cid:188).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:266)(cid:212) < (cid:85)
1 2
(cid:112)(cid:304) )=𝑥 𝑥 + )
2 1 2 1 1 1
= 𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥, 𝑓(𝑥 −𝑥 𝑥 )−𝑓(𝑥
2 1
(cid:296)(cid:207)𝑓(𝑥 −𝑥 )>−01(cid:85)(cid:199)(cid:200) )>1(cid:85)
2 1 2 1
(cid:199)(cid:200)𝑥 −𝑥 )>0(cid:85)𝑓(𝑥 −𝑥
2 1
(cid:164) (𝑓)((cid:126)𝑥 )R−𝑓(cid:190)(𝑥(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:142)
(cid:68)𝑓(cid:69)𝑥(cid:56) + <6(cid:69)(cid:208)(cid:187)(cid:68)(cid:69)(cid:56)
+𝑓(𝑥) 𝑓(4−3<𝑥5)(cid:85)
𝑓(cid:248)(𝑥) +𝑓(4−3𝑥)<−1 (cid:142)
(cid:296)𝑓(cid:207)(𝑥( )4(cid:126)−3R𝑥)(cid:190)(cid:31)𝑓(cid:32)(2(cid:242)) (cid:159)(cid:85)
(cid:199)(cid:200)𝑓 𝑥 <2(cid:85)(cid:41)(cid:214) >1(cid:142)
(cid:252)(cid:20)4(cid:10)−A2.𝑥 𝑥
+3, <0
(cid:22)(cid:176)(cid:56)10-1(cid:28)(cid:234)2023·(cid:285)(cid:236)(cid:292)(cid:280)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = (cid:85)(cid:164)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )> ( )(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)
2+3, 0
−3𝑥 𝑥
(cid:234) (cid:241) 𝑓(𝑥) −𝑥 𝑥≥ 𝑓 𝑎 𝑓 3𝑎−4
A(cid:142) 1 ,+ B(cid:142)(2,+ ) C(cid:142)( ,2) D(cid:142) 1
2 2
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)−(cid:28)(cid:170)∞(cid:81)(cid:246)(cid:30)(cid:13)(cid:90)(cid:91)(cid:56)∞(cid:85)(cid:35)(cid:36)(cid:174)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)−(cid:45)∞(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:69)−(cid:56)∞(cid:142),−
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:269)(cid:199)(cid:189)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:188)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:126)( ,+ )(cid:190)(cid:119)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) < (cid:85)(cid:41)(cid:214) >2(cid:142) 𝑓 𝑥 −∞ ∞
(cid:252)(cid:20)𝑎(cid:10)B.3𝑎−4 𝑎
(cid:22)(cid:176)(cid:56)10-2(cid:28)(cid:234)2023·(cid:290)(cid:268)(cid:401)(cid:402)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:126)( ,0](cid:190)(cid:119)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) (3)
=0(cid:85)(cid:164)(cid:177)(cid:214) ( )<0(cid:34) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119)(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑅 −∞ 𝑓
A(cid:142)( 𝑓 𝑥) 𝑥 B(cid:142)(3,+ )
C(cid:142)(−∞,−)3 D(cid:142)( ∞ ) (3,+ )
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)3(cid:28),3(cid:81)(cid:55)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:126)[0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)−(cid:244)∞(cid:199),−(cid:40)3 (cid:68)∪(cid:69)(cid:56)(cid:176)∞(cid:139)(cid:207) (| |)< (3)(cid:85)(cid:188)(cid:214)(cid:171)(cid:3)(cid:187) (cid:34)(cid:68)(cid:69)
(cid:56)(cid:85)(cid:41)(cid:178)(cid:248)(cid:188). 𝑓 𝑥 ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:126)( ,0](cid:190)(cid:119)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
𝑓 𝑥 𝑅 −∞(cid:164)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:126)[0,+ )(cid:190)(cid:207)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:296)(cid:207) (3𝑓)𝑥=0(cid:85)(cid:170) ∞( )<0(cid:188)(cid:214) (| |)< (3)(cid:85)(cid:164)| |<3(cid:85)(cid:41)(cid:214) < <3(cid:85)
(cid:296)(cid:312)𝑓(cid:85)(cid:227)(cid:228) ( )<𝑓0𝑥(cid:34) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)𝑓 (cid:282)𝑥(cid:119)( 𝑓 ). 𝑥 −3 𝑥
(cid:252)(cid:20)(cid:10)C. 𝑓 𝑥 𝑥 −3,3
(cid:22)(cid:176)(cid:56)10-3(cid:28)(cid:234)2023·(cid:285)(cid:236)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( ,0) (0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:158)(cid:133)(cid:227)(cid:228)(cid:10) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:148)
(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:34) , (0,+ )(cid:85)(cid:231) (cid:85)(cid:301)(cid:198) 2−(∞1 ) 1 ∪( 2 ) <0 ∞ (cid:85)(cid:164)(cid:59)(cid:30)(cid:13) 𝑓 ( 𝑥 )(cid:101)(cid:198)(cid:33)(cid:63) ① (cid:142)(cid:53) 𝑓 (cid:54) 𝑥 (cid:30)(cid:13) ( )
1 2 1 2
𝑥 𝑓 𝑥 1−𝑥2𝑓 𝑥
② 𝑥 𝑥 ∈ ∞ 𝑥 ≠𝑥 𝑥 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑃 𝑓 𝑥
(cid:101)(cid:198)(cid:33)(cid:63) (cid:85)(cid:164)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )< ( 2 )(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑓 𝑥 −4
A(cid:142)( 𝑃 ) 𝑓 𝑥−2 𝑥+ B(cid:142)( )
C(cid:142)(−∞,−1) ( ) D(cid:142)(−3,2 ) (2,+ )
−∞,−3 ∪ −1,2 ( ) −∞,−3 ∪ ( )∞
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:368)(cid:369)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:85)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:200)(cid:325)(cid:171)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:294)(cid:184)(cid:58) (cid:130)(cid:131)(cid:81)(cid:62)(cid:308)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:225)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:248)(cid:188). 𝑔 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑥
( ) ( )
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207)(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:34) , (0,+ )(cid:85)(cid:231) (cid:85)(cid:301)(cid:198) 2 1 1 2 <0(cid:85)
1 2 1 2
𝑥 𝑓 𝑥 1−𝑥2𝑓 𝑥
𝑥 𝑥 ∈ ∞ 𝑥 ≠𝑥 2 ( 1) 𝑥 1 (− 2 𝑥) ( 1) ( 2)
(cid:248)(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:196)(cid:121)(cid:68)(cid:129)(cid:69)(cid:34)(cid:180)(cid:96)(cid:13) 1 , 2 (cid:68)(cid:403)(cid:255)0< 1 < 2 (cid:85)(cid:301)(cid:198) 𝑥 𝑓𝑥 1−𝑥2𝑓𝑥 = 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 <0(cid:85)
𝑥1 𝑥 2 𝑥 1− 2𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
( ) ( ) 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:199)(cid:200)(cid:198) 1 > 2 (cid:85)
𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2
𝑥 𝑥
( )
(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
𝑓 𝑥
(cid:314)(cid:296)(cid:207) ( 𝑔 )(cid:207)𝑥 (cid:48)(cid:30)𝑥(cid:13)(cid:85)(cid:248)(cid:198)∞ ( ,0) (0,+ )(cid:85)(cid:198) ( )= ( )(cid:85)
𝑓 𝑥 ( ) ( )∀𝑥∈( )−∞ ∪ ∞ 𝑓 −𝑥 −𝑓 𝑥
(cid:199)(cid:200)(cid:198) ( )= = = = ( )(cid:85)
𝑓 −𝑥 −𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:199)(cid:200) ( 𝑔 )(cid:207)−𝑥(cid:49)(cid:30)(cid:13)−(cid:85)𝑥 −𝑥 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:199)(cid:200)𝑔(𝑥)(cid:126)( ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:142)
(cid:251) 𝑔 𝑥 >0(cid:85) − (cid:248) ∞ >2(cid:133)(cid:85)(cid:198) 2 >0,(cid:170) ( )< ( 2 )(cid:85)(cid:214) ( ) < ( 2 )(cid:85)
2 2
𝑓 𝑥 −4 𝑓 𝑥−2 𝑓 𝑥 −4
(cid:199) 𝑥 (cid:200) −2 > 2 𝑥 (cid:85)(cid:41)(cid:214) < 𝑥 2 − (cid:85) 4 (cid:312)(cid:133)(cid:337)(cid:41) 𝑓 (cid:148)𝑥−2 𝑥+ 𝑥−2 𝑥 −4
(cid:251) 𝑥− < 2 0(cid:85) 𝑥 (cid:248) −4 <2(cid:133)(cid:85) 𝑥 (cid:170) − ( )< ( 2 )(cid:85)(cid:214) ( ) > ( 2 )(cid:85)
2 2
𝑓 𝑥 −4 𝑓 𝑥−2 𝑓 𝑥 −4
(cid:199) 𝑥 (cid:200) − | 2 |<| 2 𝑥 |(cid:85)(cid:41)(cid:214) 𝑓 <𝑥−2(cid:209) 𝑥 < + <2(cid:142)𝑥−2 𝑥 −4
(cid:72)(cid:190)(cid:199)
𝑥−
(cid:404)
2
(cid:85)(cid:68)
𝑥
(cid:69)
−
(cid:56)
4
( )<
𝑥 (−23)(cid:34) −
(cid:41)
1
(cid:385)
𝑥
(cid:207)( ) ( )(cid:142)
2
𝑓 𝑥 −4
(cid:252)(cid:20)(cid:10)C. 𝑓 𝑥−2 𝑥+ −∞,−3 ∪ −1,2(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:70)(cid:71)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)11(cid:28)(cid:234)2024·(cid:315)(cid:268)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) (cid:85)(cid:47)(cid:145)(cid:207)(0,+ )(cid:85)(cid:231)(cid:58)(cid:266)(cid:98) (cid:85) (cid:85)(cid:301)(cid:198) ( + )
( ) 𝑓 𝑥 𝑅 ∞ 𝑚 𝑛∈𝑅 𝑓 𝑚 𝑛
= ( ) ( )(cid:142) ( )= (cid:142)
( ) 1
𝑓 𝑥 −1
(1)(cid:40) 𝑓 𝑚 (0 𝑓 )(cid:34)𝑛(cid:47)(cid:85) 𝜑 (cid:343)𝑥(cid:51)(cid:52) 𝑓 𝑥 ( + )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:142)
𝑓 𝜑 𝑥 15
(2)(cid:226) >0(cid:85) ( )>1(cid:85)(cid:231) (3)=4(cid:85)(cid:51)(cid:52) ( )(cid:207) (cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:343)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )> (cid:142)
17
(cid:22)(cid:41)(cid:21) 𝑥 (cid:137)(cid:243)(cid:28) 𝑓 (cid:234)𝑥 1(cid:241)(cid:275)(cid:47)(cid:141) 𝑓 (cid:276) = =0(cid:85) 𝑓 (cid:188)𝑥(cid:214) ( 𝑅 0)(cid:148)(cid:170) ( )(cid:189)(cid:144)(cid:33)(cid:63)(cid:85)(cid:51)(cid:52) 𝜑 ( 𝑥 )= ( )(cid:248)(cid:188).
(cid:234)2(cid:241)(cid:51)(cid:52) ( )(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:169)(cid:170)𝑚(cid:31)(cid:32)𝑛 (cid:33)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)𝑓. 𝑓 𝑥 𝜑 −𝑥 −𝜑 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)𝑓(cid:28)𝑥(cid:234)1(cid:241)(cid:276) = =0(cid:85)(cid:214) (0)= (0) (0)(cid:85)
(cid:314)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:47)(cid:145)(cid:207)(0𝑚,+ 𝑛)(cid:85) (0)𝑓=1(cid:142)𝑓 𝑓
(0)=𝑓 𝑥( + )= ( ∞) ( )∴(cid:85)𝑓
∵𝑓 𝑓 −1𝑥 𝑥 𝑓 −𝑥 𝑓 𝑥
( )= (cid:85)
( )
∴𝑓 −𝑥 𝑓 ( 𝑥 ) 1 ( )
( )= = ( ) = = ( )(cid:85)
( ) 1 1 1 1 ( )
𝑓 −𝑥 −1 𝑓(𝑥)−1 1−𝑓 𝑥
∴𝜑 ( − ) 𝑥(cid:207)(cid:48) 𝑓 (cid:30) − (cid:13) 𝑥 + (cid:142) 𝑓𝑥 + +𝑓 𝑥 −𝜑 𝑥
(cid:234)∴𝜑2(cid:241)𝑥 (cid:266)(cid:212) < (cid:85) , (cid:142)
1 2 1 2
( ) ( 𝑥) =𝑥( 𝑥) 𝑥(∈𝑅 + )
1 2 1 2 1 1
𝑓=𝑥(−𝑓) 𝑥( 𝑓 𝑥) (−𝑓)𝑥=−(𝑥 )[𝑥 ( )](cid:142)
1 2 1 1 1 2 1
𝑓<𝑥 −(cid:85)𝑓 𝑥 −𝑥 >𝑓0𝑥(cid:142) 𝑓 𝑥 1−𝑓 𝑥 −𝑥
1 2 2 1
∵(cid:251)𝑥 >𝑥0(cid:133)∴(cid:85)𝑥 −(𝑥)>1(cid:85) ( )>1(cid:85) ( )<0(cid:142)
2 1 2 1
(cid:314)∵ (cid:30)𝑥(cid:13) ( )(cid:34)𝑓(cid:47)𝑥(cid:145)(cid:207)(0,+∴𝑓 𝑥)(cid:85)−𝑥 ∴1−𝑓 𝑥 −𝑥
( )[𝑓 𝑥 ( )]<0(cid:85)∞(cid:248) ( )< ( )(cid:85)
1 2 1 1 2
∴𝑓(𝑥)(cid:207)1−(cid:190)𝑓(cid:34)𝑥(cid:159)−(cid:30)𝑥 (cid:13)(cid:142) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
∴𝑓 𝑥 𝑅15 ( ) 15
(cid:170) ( )= (cid:85)(cid:248) > (cid:85)(cid:16)(cid:405)(cid:214) ( )>16(cid:142)
17 ( ) 1 17
𝑓 𝑥 −1
𝜑
(3)
𝑥=4(cid:85) 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥
∵𝑓16= (3) (3)= (6)(cid:85) ( )> (6)(cid:142)
(cid:314)∴ ( )𝑓(cid:207) (cid:190)𝑓(cid:34)(cid:159)(cid:30)𝑓(cid:13)(cid:85) ∴𝑓>𝑥6(cid:85)𝑓
𝑓 𝑥 𝑅15 ∴𝑥
(cid:252) ( )> (cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207){ | >6}(cid:142)
17
(cid:22) 𝜑 (cid:176)(cid:56)𝑥 11-1(cid:28)(cid:234)23-24 𝑥(cid:24)𝑥(cid:120)(cid:190)·(cid:286)(cid:297)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:255)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:119)(0,+ )(cid:85)(cid:231)(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:180)(cid:96)(cid:13)x(cid:85)y(cid:301)(cid:198) ( )
𝑓 𝑥 ∞ 𝑓 𝑥𝑦= ( )+ ( )(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:53)(cid:54) (2)=1(cid:85)(cid:231)(cid:251) >1(cid:133)(cid:85) ( )>0.
(1)(cid:40) 𝑓 𝑥 1 𝑓 (cid:34) 𝑦 (cid:47)(cid:148) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
2
𝑓
(2)(cid:35)(cid:36) = ( )(cid:126)(cid:38)(cid:39)(0,+ )(cid:124)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:343)(cid:189)(cid:171)(cid:51)(cid:52)(cid:148)
(3)(cid:41)(cid:68)(cid:69)𝑦 (cid:56)𝑓(𝑥 )> ( )∞ .
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)𝑓(cid:234)2𝑥1(cid:241)(cid:45)𝑓(cid:27)8𝑥(cid:275)−(cid:47)6 (cid:141)−1(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:214)(cid:199)(cid:40)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:47)(cid:85)(cid:214)(cid:215)(cid:249)(cid:265)(cid:148)
(cid:234)2(cid:241)(cid:201)(cid:143)(cid:35)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:207)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:294)(cid:184)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:95)(cid:199)(cid:189)(cid:182)(cid:183)(cid:130)(cid:131)(cid:51)(cid:52)(cid:248)(cid:188)(cid:148)
(cid:234)3(cid:241)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:199)(cid:214)(cid:30)(cid:13)(cid:47)(cid:58)(cid:74)(cid:34)(cid:378)(cid:176)(cid:204)(cid:214)(cid:215)(cid:30)(cid:13)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:85)(cid:214)(cid:171)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:295)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:34)(cid:180)(cid:96)(cid:13)x(cid:85)y(cid:301)(cid:198) = + (cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)
(cid:276) = =1(cid:85)(cid:188)(cid:214) = + 𝑓 𝑥(cid:85)(cid:199)(cid:200) (1)=0(cid:85) 𝑓(𝑥𝑦) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)
𝑥 𝑦 1 𝑓(1) 𝑓(1) 𝑓(1)1 𝑓 1 1
(cid:276) = = (cid:85)(cid:188)(cid:214) = + )(cid:85)(cid:248)1+ )=0(cid:85)(cid:41)(cid:214) )= (cid:148)
2 2 2 2
𝑥 2,𝑦 𝑓(1) 𝑓(2) 𝑓( 𝑓( 𝑓( −1
(cid:234)2(cid:241)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:207)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:51)(cid:52)(cid:313)(cid:256)(cid:10)
(cid:255) , (𝑓0,𝑥+ )(cid:231) < (cid:85)
1 2 1 2
(cid:276) 𝑥 = 𝑥 ∈ = 2(cid:85) ∞ (cid:42)(cid:43) 𝑥 (cid:21)(cid:98) 𝑥 (cid:85)(cid:188)(cid:214) )+ 2)= )(cid:85)(cid:248) )= 2)(cid:85)
1 1 2 2 1
𝑥1 𝑥1 𝑥1
𝑥 𝑥 ,𝑦 𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 𝑓(𝑥
(cid:314)(cid:170) >1(cid:133)(cid:85) >0(cid:85)
(cid:296)(cid:207) 𝑥2>1(cid:85)(cid:188) 𝑓 (cid:214) (𝑥) 2)>0(cid:85)(cid:248) )>0(cid:85)(cid:248) )> )(cid:85)
2 1 2 1
𝑥1 𝑥1
𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥
(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:13) = (cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:148)
𝑦 𝑓(𝑥) ∞ 1 1
(cid:234)3(cid:241)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:95)(cid:234)1(cid:241)(cid:188)(cid:214)(cid:10) = + )= = (cid:85)
2 2
𝑓(8𝑥−6)−1 𝑓(8𝑥−6) 𝑓( 𝑓[ (8𝑥−6)] 𝑓(4𝑥−3)
(cid:314)(cid:170)(cid:68)(cid:69)(cid:56) 2 > (cid:85)(cid:248) 2 > (cid:85)
2 > 𝑓( 𝑥) 𝑓(8𝑥3−6)−13 𝑓( 𝑥) 𝑓(4𝑥−3)
(cid:188)(cid:214) (cid:85)(cid:41)(cid:214) < < (cid:85)
>0 4 2
𝑥 4𝑥−3
𝑥
(cid:248)(cid:68)(cid:69)4(cid:56)𝑥−3 2 > (cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) 3 < < 3 .
4 2
(cid:22)(cid:176)(cid:56)11 𝑓 - ( 2(cid:28) 𝑥 (cid:234) ) 20 𝑓 2 ( 4 8 · 𝑥 (cid:267) − (cid:268) 6) · − (cid:223) 1 (cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)𝑥(cid:54)| (cid:30)(cid:13)𝑥 (cid:227)(cid:228)(cid:58)(cid:120)(cid:224) , (cid:301)(cid:198) ( + )= ( )+ ( ) (cid:85)
1 2 1 2 1 2
(cid:231) =0(cid:85)(cid:251) >1(cid:133)(cid:198) <0(cid:142) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 ∈𝑅 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 −2
(cid:234)𝑓1(cid:241)(1(cid:40)) (cid:34)𝑥(cid:47)(cid:148) 𝑓(𝑥)
(cid:234)2(cid:241)(cid:35)𝑓(cid:36)(−(cid:343)1(cid:51)) (cid:52)(cid:30)(cid:13) (cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:148)
𝑓(𝑥) 2
(cid:234)3(cid:241)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:10) ( 2 ) + ( 2 ) <0(cid:142)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)𝑓(cid:143)𝑥(cid:276)−2𝑥= 2=𝑓0𝑥(cid:40)−(cid:214)2𝑥−1=−21(cid:85)2 (cid:169)(cid:276) = =1(cid:188)(cid:40)(cid:148)
1 2 1 2
𝑥 𝑥 𝑓(0) 𝑥 −1,𝑥(cid:234)2(cid:241)(cid:45)(cid:27)(cid:144)(cid:99)(cid:85)(cid:266)(cid:212) , < = >0(cid:85)(cid:16)(cid:405)(cid:35)(cid:36) = ( ) ( )(cid:34)(cid:180)(cid:406)(cid:188)(cid:214)(cid:148)
1 2 1 2 2 1 2 1
(cid:234)3(cid:241)(cid:255) = 2 (cid:85)𝑥(cid:188)𝑥(cid:244)∈(cid:68)𝑅(cid:69),𝑥(cid:56)(cid:16)𝑥(cid:207),𝛥𝑥2 𝑥 −𝑥 <0(cid:85)(cid:41)(cid:214)𝛥𝑦<𝑓 𝑥 <−4𝑓(cid:85)𝑥(cid:169)(cid:45)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)𝑡(cid:217)(cid:28)𝑥 (cid:41)−2(cid:10)𝑥−(cid:234)11(cid:241)(cid:276) = =0(cid:85)𝑓(cid:214)(𝑡)−2=𝑓(𝑡)−8+ (cid:85)−(cid:164)2 𝑓(𝑡=)2(cid:85)
1 2
(cid:169)(cid:276) = =1(cid:85)(cid:214) 𝑥 +𝑥1)= 𝑓+(0) 𝑓(0)(cid:85) 𝑓(0)−2 𝑓(0)
1 2
(cid:248)2=𝑥 −1,𝑥 (cid:85)(cid:112)(cid:304) 𝑓(−1=4(cid:142) 𝑓(−1) 𝑓(1)−2
(cid:234)2(cid:241)(cid:266)𝑓((cid:212)−1)−, 2 𝑓<(−1) = >0(cid:85)
1 2 1 2 2 1
= ( )𝑥 𝑥( ∈)𝑅=,𝑥 ( 𝑥+,𝛥𝑥 ) 𝑥 (−𝑥) =
2 1 1 1
𝛥=𝑦 𝑓 𝑥+1−+𝑓 𝑥 𝑓 𝑥= 𝛥𝑥+−𝑓1)𝑥+ 𝑓(𝛥𝑥)−=2 +1)(cid:142)
𝑓(𝛥>𝑥0, 1+(−1)>)−02, 𝑓(𝛥+𝑥 <0𝑓(cid:85)(−(cid:248)1)−4<0𝑓(cid:142)(𝛥𝑥
∵𝛥𝑥 (cid:126)R∴(cid:190)(cid:119)𝛥(cid:161)𝑥(cid:30)(cid:13)(cid:142)∴𝑓(1 𝛥𝑥) 𝛥𝑦
(cid:234)∴3𝑓(cid:241)(𝑥(cid:170)) (cid:182)(cid:183)(cid:54)(cid:85) +1)= + = (cid:85)
(cid:255) = 2 (cid:85)𝑓(cid:164)(𝑥2 +1)𝑓+(𝑥) 𝑓(1)−2<0(cid:85)𝑓((cid:248)𝑥)−2 2+ <0(cid:85)
(cid:344)𝑡(cid:15)(cid:85)𝑥(cid:214)−22𝑥−1 𝑓 (𝑡 <0(cid:85)(cid:41)2(cid:214)𝑓(𝑡)−<12 <4(cid:85)[𝑓(𝑡)−2] 2𝑓(𝑡)−12
(cid:304) = 𝑓 (+𝑡)−2𝑓(+𝑡)−8 = =−2 𝑓((cid:85)𝑡) (cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:248)(cid:207) < < (cid:85)
(cid:314)(cid:296)−2(cid:207) −2(cid:126)𝑓R(1(cid:190))(cid:119)(cid:161)𝑓((cid:30)1)(cid:13)(cid:85)𝑓(2),4 <𝑓(−<12)(cid:85)(cid:248)∴ < 2 𝑓(2)<2𝑓(cid:85)(𝑡) 𝑓(−1)
2 𝑓(𝑥>)0 ∴−1 𝑡 −1 𝑥 −2𝑥−1
(cid:85)(cid:112)(cid:304)(cid:199)(cid:40)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) < <0(cid:209)2< <3}(cid:142)
2 <0
𝑥 −2𝑥
{𝑥∣−1 𝑥 𝑥
(cid:22)𝑥(cid:176)−(cid:56)2𝑥−113-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:267)(cid:268)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:85) (cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:274)(cid:207) (cid:85)(cid:231)(cid:227)(cid:228)(cid:10) >0(cid:85) >0(cid:148)
(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85) =1(cid:148) (cid:85) 𝑝((cid:85)𝑥) 𝑞(+𝑥) = +𝑅 . ①∀𝑥 𝑝(𝑥)
②(1)(cid:40)𝑞(𝑥) (cid:34)(cid:47)(cid:85)(cid:343)𝑞(cid:51)(𝑥(cid:52))(cid:10)≥𝑞(0)(cid:207)(cid:48)(cid:30)③(cid:13)(cid:148)∀𝑥 𝑦∈𝑅 𝑝(𝑥 𝑦) 𝑝(𝑥)𝑞(𝑦) 𝑞(𝑥)𝑝(𝑦)
(2) 𝑝(,0) (cid:85)(cid:231) < (cid:85)𝑝((cid:51)𝑥)(cid:52)(cid:10)
1 2 1 2
∀𝑥 𝑥 ∈𝑅 𝑥 𝑥
)= 1 2 1 2 + 1 2 1 2 (cid:148)
1
2 2 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
①𝑝(𝑥 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝
(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159).
②(cid:22)(cid:41)𝑝((cid:21)𝑥)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:27)(cid:275)(cid:47)(cid:141)(cid:85)(cid:276) = =0(cid:188)(cid:40)(cid:214) (cid:85)(cid:169)(cid:276) = (cid:85)(cid:177)(cid:27) 1>0(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:188)(cid:51)(cid:214) (cid:119)
(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:148) 𝑥 𝑦 𝑝(0) 𝑦 −𝑥 𝑞(𝑥)≥ 𝑝(𝑥)
(cid:234)2(cid:241) (cid:170) = 1 2+ 1 2(cid:277)(cid:278)(cid:53)(cid:54)(cid:56)(cid:188)(cid:51)(cid:148)
1 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:255) ① < 𝑥 (cid:85)
1 2
(cid:170) ② 𝑥 )= 𝑥 1 2+ 1 2)(cid:85) )= 1 2+ 2 1)(cid:85)(cid:407)(cid:408)(cid:184)(cid:129)(cid:161) )(cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:37)(cid:53)(cid:54)(cid:182)(cid:183)
1 2 2 2 2 2 2 1
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:188)(cid:51) 𝑝(𝑥 (cid:214)(cid:31)(cid:32) 𝑝 (cid:33) ( (cid:142) 𝑝(𝑥 𝑝( 𝑝(𝑥 )−𝑝(𝑥 ①②(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:126) + = + (cid:193)
(cid:276) = =0(cid:85)(cid:164) = 𝑝(𝑥+𝑦) 𝑝(𝑥)𝑞=(𝑦) 𝑞(cid:85)(𝑥(cid:199))𝑝(cid:200)(𝑦) =0(cid:85)
(cid:276)𝑥=𝑦 (cid:85)(cid:164) 𝑝(0=) 𝑝(0)𝑞(0)+ 𝑞(0)𝑝(0) (cid:85)2𝑝(0)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)𝑝((cid:85)0)
(cid:199)𝑦(cid:200) −𝑥 𝑝+(0) 𝑝(𝑥)𝑞(=−0𝑥)(cid:85)(cid:314)𝑞(𝑥)𝑝(>−0𝑥(cid:85)) (cid:199)𝑞(cid:200)(𝑥) + =0(cid:85)(cid:248) = (cid:85)
(cid:199)(cid:200)𝑝(𝑥)(cid:119)𝑞(𝑥(cid:48))(cid:30)(cid:13)𝑝((cid:148)−𝑥)𝑞(𝑥) 𝑞(𝑥) 𝑝(𝑥) 𝑝(−𝑥) 𝑝(−𝑥) −𝑝(𝑥)
(cid:234)2(cid:241) 𝑝 (cid:51) (𝑥 (cid:52) ) (cid:10) )= 1 2+ 1 2 = 1 2 1 2)+ 1 2 1 2)(cid:148)
1 2 2 2 2 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
①𝑝(𝑥 𝑝 𝑝( )𝑞( 𝑞( )𝑝(
(cid:255) < (cid:85)(cid:164) >0(cid:85) 2 1)>0(cid:85)(cid:314) 1 2 1>0(cid:85)
1 2 2 1 2 2
𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥
② 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑝( 𝑞 ≥
(cid:170)
①
(cid:188)(cid:214) )= 1 2 2 1 + 1 2 2 1 (cid:85)
2
2 2 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
𝑝(𝑥 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝
(cid:314) (cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85) (cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)
(cid:199)(cid:200) )= 1 2 1 2 + 1 2 1 2
1
2 2 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
𝑝(𝑥+ 𝑝 𝑞 𝑞+ 𝑝
1 2 2 1 1 2 2 1
=
2 2 2 2
𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥
𝑝 𝑞 −𝑞 𝑝
(cid:199)(cid:200) )= 1 2 2 1)>0(cid:85)
2 1 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
𝑝(𝑥 )−𝑝(𝑥 2𝑞( )𝑝(
(cid:199)(cid:200) )< )(cid:85)(cid:199)(cid:200) (cid:119)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:142)
1 2
(cid:22)(cid:21)𝑝(cid:29)(𝑥12 (cid:30)𝑝((cid:13)𝑥(cid:33)(cid:63)(cid:34)(cid:72)𝑝(cid:73)(𝑥(cid:74)) (cid:27)(cid:28)
2
(cid:22)(cid:233)12(cid:28)(cid:234)2023·(cid:345)(cid:346)(cid:267)(cid:409)(cid:410)(cid:411)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)[(cid:271)2(cid:85)2](cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:226)(cid:227)(cid:228) ( )+
4 2
𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐
𝑓 𝑥 +𝑥 𝑓 𝑥 𝑓
1
( )=0(cid:231) = (cid:142)
5
(1 − ) 𝑥(cid:40) ( )(cid:34) 𝑓 (cid:41) (1 (cid:55) ) (cid:56)(cid:148)
(2)(cid:255)𝑓(cid:30)𝑥(cid:13) ( )= 2 +4( R)(cid:85)(cid:226)(cid:58)(cid:266)(cid:98) , [1,2](cid:85)(cid:301)(cid:198) ( )< ( )(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:40)m(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:142)
1 2 2 1
𝑔 𝑥 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚∈ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑔1𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:248)(cid:188)(cid:214) =0(cid:85)(cid:130)(cid:304)(cid:100)(cid:73) = (cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41)(cid:85)
5
𝑐 𝑓(1)
(cid:234)2(cid:241)(cid:244)(cid:220)(cid:21)(cid:136)(cid:16)(cid:207) ( ) < ( ) (cid:85)(cid:130)(cid:304)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41)(cid:46)(cid:47)(cid:85)(cid:209)(cid:412)(cid:45)(cid:27)(cid:58)(cid:413)(cid:30)(cid:13)
2 max 1 min
(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41). 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241) [ ](cid:85)(cid:231) ( )+ ( )=0(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
𝑥∈ −2,2 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 𝑓 𝑥
(cid:244) =0(cid:277)(cid:278) ( )+ ( )=0(cid:188)(cid:214) (0)=0(cid:85)(cid:248) =0(cid:85)(cid:199)(cid:200) =0(cid:85)
4
𝑐
𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 𝑓 𝑐
1
=
(cid:248) ( )= 2 (cid:85)(cid:296)(cid:207) = 1 (cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )= 1 (cid:85)(cid:277)(cid:278)(cid:188)(cid:214) 5 5 (cid:85)
4 2 5 5 𝑎+𝑏 = 1
𝑎𝑥 +𝑏𝑥 5 5
𝑓 𝑥 +𝑥 𝑓(1) 𝑓 −1 − 𝑎−𝑏
−=0
(cid:41)(cid:214) (cid:85)(cid:252) ( )= (cid:148)
=1 4 2
𝑥
𝑎
𝑓 𝑥 +𝑥
( )= 𝑏 ( )= = ( )(cid:85)(cid:30)(cid:13)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:227)(cid:228)(cid:85)(cid:252) ( )= (cid:142)
4 2 4 2 4 2
𝑥 −𝑥 𝑥
𝑓 (cid:234) 𝑥 2(cid:241)(cid:328)(cid:76) +𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) + < 𝑥 ( − ) 𝑓 𝑥 (cid:85)(cid:255)1 < 2(cid:85)(cid:164) ( 𝑓 ) 𝑥 ( ) + = 𝑥 2 1 = ( 2 1 )( 1 2 ) (cid:85)
2 max 1 min 1 2 2 1 4 𝑥 2 2 4 𝑥 2 1 𝑥 4 −𝑥 2 2 4 4 −𝑥 2 1𝑥
1 < 𝑔 𝑥 2(cid:85) 𝑓 𝑥 > ≤ > 𝑥 0(cid:85) 𝑥 ≤ ( ) ( 𝑓 𝑥 )> − 0 𝑓 (cid:85)𝑥(cid:248) ( + ) 𝑥 > − + ( 𝑥 )(cid:85) +𝑥 +𝑥
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
∵ ≤𝑥 𝑥 ≤ ∴𝑥 −𝑥 0,4−𝑥 𝑥 ∴𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:252)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:126)[1(cid:85)2](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) = (cid:142)
4 2 5
𝑥
𝑓 𝑥 +𝑥 𝑓(1)
(cid:141)(cid:120)(cid:10) ( )= 2 +4< 1 (cid:126)[1(cid:85)2](cid:190)(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:328)(cid:76) > + 19 (cid:85)
5 max
𝑔 𝑥 𝑥 −2𝑚𝑥 2𝑚 𝑥 5𝑥
= + 19 (cid:126) 1, 95 (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:126) 95,2 (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)
5 5
𝑦 𝑥 5𝑥
19 24 19 39 24
(cid:251) =1(cid:133)(cid:85) + = (cid:85)(cid:251) =2(cid:133)(cid:85) + = < (cid:85)
5 10 5
𝑥 𝑥 5𝑥 𝑥 𝑥 5𝑥
(cid:252)(cid:251) =1(cid:133)(cid:85) + 19 = 24 (cid:85)(cid:199)(cid:200) > 12 (cid:142)
max 5 5
(cid:141)(cid:181) 𝑥 (cid:10) ( )= 2𝑥 5𝑥 +4=( )2𝑚 + 2(cid:85) [1,2](cid:85)
𝑔3 𝑥 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑥1−𝑚 4−𝑚 1𝑥∈ 39
(cid:251) (cid:133)(cid:85) ( ) = < (cid:85) +4< (cid:85)(cid:41)(cid:214) > (cid:85)(cid:414)(cid:415)(cid:148)
2 max 5 5 20
𝑚≤ 𝑔 𝑥 𝑔(2) 4−4𝑚 𝑚
3 1 1 12 12
(cid:251) > (cid:133)(cid:85) ( ) = < (cid:85) +4< (cid:85)(cid:41)(cid:214) > (cid:85)(cid:296)(cid:312) > (cid:85)
2 max 5 5 5 5
𝑚 𝑔 𝑥 𝑔(1) 1−2𝑚 𝑚 𝑚
12
(cid:72)(cid:190)(cid:199)(cid:404)(cid:10) > (cid:142)
5
𝑚
(cid:22)(cid:176)(cid:56)12-1(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:181)(cid:256)·(cid:345)(cid:346)(cid:267)(cid:416)(cid:417)·(cid:61)(cid:374)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:85) ( )=
1 2
𝑎𝑥+𝑏
𝑓 𝑥 +𝑥 −1,1 𝑓 −𝑥 −𝑓
( )(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:231) 1 = 2 .
2 5
(1 𝑥 )(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13) ( 𝑓 )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:148)
(2)(cid:27)(cid:144)(cid:99)(cid:51)𝑓(cid:52)𝑥( )(cid:126)( )(cid:190)(cid:119)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:148)
(3)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56) (𝑓 𝑥 )+−(1,)1<0(cid:142)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)𝑓 𝑥−1 𝑓 𝑥
(cid:234)1(cid:241)(cid:143)(cid:170)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:214)(cid:215) =0(cid:85)(cid:294)(cid:184)(cid:170) 1 = 2 (cid:40)(cid:41)(cid:148)
2 5
𝑏 𝑓
(cid:234)2(cid:241)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:144)(cid:99)(cid:51)(cid:52)(cid:148)
(cid:234)3(cid:241)(cid:244) + <0(cid:85)(cid:136)(cid:16)(cid:207) < = (cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41).
(0)=0
𝑓(𝑥−1) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥−1) −𝑓(𝑥=) 0 𝑓(−𝑥)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:214) 1 = 2(cid:85)(cid:41)(cid:214) =1
𝑓 2 5
𝑏
(cid:199)(cid:200) ( )= (cid:85)(cid:418)(cid:419)(cid:420)(cid:227)(cid:228)(cid:48)(cid:30)𝑓(cid:13). 𝑎
1 2
𝑥
𝑓 𝑥 +𝑥(cid:234)2(cid:241)(cid:255) < < <1(cid:85)
1 2
(cid:164) −1 𝑥 )= 𝑥1 2 = ( 1 2 1 2 ) (cid:85)
1 2 1 𝑥 2 1 1 𝑥 2 2 𝑥 (1 −𝑥 2 1) ) ( ( 1 1 −𝑥 2 2𝑥 )
𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 +𝑥 − +𝑥 +𝑥 +𝑥
< < <1(cid:85)
1 2
∵−1<𝑥 𝑥<1(cid:85)(cid:231) <0(cid:85)(cid:164) >0(cid:85)
1 2 1 2 1 2
(cid:164)∴−1 𝑥 𝑥 )<0(cid:85)𝑥(cid:248)−𝑥 )< 1)(cid:85)−𝑥 𝑥
1 2 1 2
(cid:199)𝑓(cid:200)(𝑥(cid:30))(cid:13)−𝑓((𝑥)(cid:126)( )(cid:190)𝑓((cid:119)𝑥(cid:159)(cid:30)𝑓(cid:13)(𝑥(cid:142)
(cid:234)3(cid:241) 𝑓 𝑥 +−1,1 <0(cid:85)
∵𝑓(<𝑥−1) 𝑓=(𝑥) (cid:85)
∴𝑓(𝑥−(cid:119)1)(cid:144)(cid:99)−(cid:126)𝑓(𝑥) 𝑓((cid:190)−(cid:34)𝑥)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
∵𝑓(𝑥) < <(−11,1)
1
< <1 (cid:85)(cid:214)0< < (cid:85)
2
−1 𝑥<−1
∴ −1 𝑥 𝑥
𝑥−1 −𝑥 1
(cid:199)(cid:200)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)(0, )(cid:142)
2
(cid:22)(cid:176)(cid:56)12-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:370)(cid:371)(cid:421)(cid:352)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) 1 = 2 (cid:142)
2 1 2 5
𝑎𝑥+𝑏
(1)(cid:40)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:148) 𝑓 𝑥 𝑥 + −1,1 𝑓
(2)(cid:35)(cid:36)(cid:30)𝑓(cid:13)𝑥( )(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:142)
(3)(cid:41)(cid:3)(cid:187)t(cid:34) 𝑓 (cid:68) 𝑥 (cid:69)(cid:56) − (cid:10) 1,1 + 1 + 1 0(cid:142)
2 2
𝑓 𝑡 𝑓 𝑡− ≤
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:170)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:188)(cid:214) = =0(cid:85)(cid:40)(cid:171) =0(cid:85)(cid:169)(cid:170) 1 = 2 (cid:40)(cid:171) =1(cid:85)(cid:112)(cid:304)(cid:188)(cid:40)(cid:171)(cid:30)(cid:13)
1 2 5
𝑏
𝑓(0) 𝑏 𝑓 𝑎
(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)
(cid:234)2(cid:241)(cid:45)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:35)(cid:36)(cid:248)(cid:188)(cid:85)
(cid:234)3(cid:241)(cid:143)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:244)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:136)(cid:16)(cid:85)(cid:169)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
2 1
𝑎𝑥+𝑏
𝑓 𝑥 𝑥 + −1,1
(cid:199)(cid:200) = =0(cid:85)(cid:214) =0(cid:85)
1
𝑏
𝑓(0) 𝑏
(cid:199)(cid:200) ( )= (cid:85)
2 1
𝑎𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 +
(cid:296)(cid:207) 1 = 2 (cid:85)
2 5
𝑓1
2
(cid:199)(cid:200)2 = (cid:85)(cid:41)(cid:214) =1(cid:85)
1 1 5
4 𝑎
+ 𝑎
(cid:199)(cid:200) ( )=
2 1
𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 +(cid:234)2(cid:241)(cid:266)(cid:212) , ( )(cid:85)(cid:231) < (cid:85)(cid:164)
1 2 1 2
𝑥 𝑥 ∈ −21,1 𝑥1 𝑥
)=
2 1 2+1 2+1
2 1
𝑥 𝑥
𝑓(𝑥 )(−𝑓2(𝑥+ ( 2+−1)
2 1 𝑥1 2 𝑥
=
( 2+1)( 2+1)
1 2
𝑥 𝑥 1)−𝑥 𝑥
( )
= 2 𝑥1 2 1 (cid:85)𝑥
( 2 1)( 2 1)
𝑥1−𝑥 )(1−2𝑥 𝑥
𝑥 + 𝑥 +
(cid:296)(cid:207) , ( )(cid:85)(cid:231) < (cid:85)
1 2 1 2
(cid:199)(cid:200)𝑥 𝑥 ∈>−1,1 𝑥>0(cid:85)𝑥( 2+1)( 2+1)>0
2 1 1 2 1 2
(cid:199)(cid:200)𝑥 −𝑥 0,1)−>𝑥0𝑥(cid:85)(cid:248) 𝑥)> )𝑥(cid:85)
2 1 2 1
(cid:199)(cid:200)𝑓(cid:30)(𝑥(cid:13))−(𝑓)((cid:126)𝑥 ( )(cid:190)(cid:31)𝑓((cid:32)𝑥(cid:242)(cid:159)𝑓(cid:85)(𝑥
(cid:234)3(cid:241)(cid:296)(cid:207)𝑓 𝑥( )(cid:119)−(cid:144)1(cid:99),1(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) + 𝑓1 𝑥 + 1 − 0(cid:188) 1,1 (cid:136)(cid:16)(cid:207) + 1 + 1 (cid:85)
2 2 2 2
(cid:296)(cid:207) 𝑓 (cid:30)(cid:13)𝑡 ( )(cid:126) 𝑓 ( 𝑡− )(cid:190) ≤ (cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85) 𝑓 𝑡 ≤𝑓 −𝑡
𝑓 𝑥 1−1,1
< + <1
2
1 1
(cid:199)(cid:200) < <1 (cid:85)(cid:41)(cid:214) < 0(cid:85)
−1 𝑡 2 2
1 1
+ +
−1 2 𝑡− 2 − 𝑡≤
𝑡 ≤−𝑡
(cid:199)(cid:200)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) 1 ,0 .
2
−
(cid:22)(cid:176)(cid:56)12-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:190)(cid:235)(cid:422)(cid:423)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:96)(cid:13) (cid:119)(cid:221)(cid:13)(cid:85)(cid:30)(cid:13) =( 1+ + + 2+ .
(cid:234)1(cid:241)(cid:40)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:85)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:85)𝑎,(cid:343)𝑏 (cid:424)(cid:52)(cid:15)(cid:170)(cid:148) 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑥 𝑎)( 1−𝑥 𝑏)
𝑓(𝑥) 1
(cid:234)2(cid:241)(cid:226) = =1(cid:85)(cid:255) = 1+ + (cid:85)(cid:317) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:295)(cid:210)(cid:34)(cid:385)(cid:73)(cid:207) (cid:85)(cid:164)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:47)(cid:145)(cid:50)(cid:30)(cid:13) =
2
( 3 2) 𝑎 ( −3 ) , (cid:34) 𝑏 (cid:47)(cid:145)(cid:129)(cid:158) 𝑡 .(cid:425)(cid:41)(cid:426)(cid:256)𝑥 (cid:257)(cid:220)1(cid:21)−𝑥(cid:10) 𝑡 𝐷 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑡)
(cid:234)𝑡i−(cid:241)3(cid:40)𝑡 (cid:385)𝑡(cid:73)∈𝐷(cid:148)
(cid:234)ii(cid:241)(cid:427)(cid:428)(cid:30) 𝐷 (cid:13) = 1 ( 3 2)(cid:126)(cid:144)(cid:99)(cid:145) (cid:190)(cid:119)(cid:203)(cid:101)(cid:198)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:429)(cid:226)(cid:198)(cid:85)(cid:430)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:144)(cid:99)(cid:372)(cid:200)(cid:51)(cid:52)(cid:148)(cid:226)(cid:431)
2
𝑔(𝑡) 𝑡 −3𝑡 𝐷
(cid:198)(cid:85)(cid:430)(cid:424)(cid:52)(cid:15)(cid:170).(cid:343)(cid:45)(cid:27)(cid:432)(cid:34)(cid:427)(cid:428)(cid:100)(cid:289)(cid:130)(cid:120)(cid:433)(cid:40)(cid:171)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47).
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:170)(cid:30)(cid:13)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:42)(cid:56)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:257)𝑓(cid:68)(𝑥(cid:69)) (cid:56)(cid:295)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:85)(cid:170)(cid:30)(cid:13)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:99)
(cid:424)(cid:52) (cid:34)(cid:3)(cid:205)(cid:248)(cid:188)(cid:51)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33).
(cid:234)2(cid:241)𝑓(cid:234)(−i𝑥(cid:241)),(cid:170)𝑓((cid:21)𝑥)(cid:255)(cid:188)(cid:214) 2=2+2 2(cid:85)(cid:170)(cid:42)(cid:56)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:385)(cid:73) (cid:85)(cid:234)ii(cid:241)(cid:266)(cid:98)(cid:34) , (cid:231) <
1 2 1
(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:36) 𝑡 )(cid:66)(cid:67)1−(cid:248)𝑥(cid:188)(cid:168)(cid:144)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:45)(cid:27) (cid:50)𝑡 ( )(cid:34)𝐷(cid:47)(cid:145)(cid:129)(cid:158)(cid:40) 𝑡(cid:46)𝑡(cid:67)∈(cid:47)𝐷. 𝑡
2 1 2
𝑡(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241) 𝑔((cid:96)𝑡(cid:13)),𝑔(𝑡(cid:119)(cid:221)(cid:13)(cid:85)(cid:30)(cid:13) =( 1+ +𝑓(𝑥) 𝑔(+𝑡) 𝑡∈𝐷 2+ (cid:85) 𝑓(𝑥)
∵ 𝑎,𝑏 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑥 𝑎)( 1−𝑥 𝑏)1+ 0
(cid:170){ 0(cid:85)(cid:41)(cid:214) 1.
𝑥 2 ≥0
∴ 1−𝑥≥ −1≤𝑥≤
(cid:30)(cid:13)1−(cid:34)𝑥(cid:144)≥(cid:99)(cid:145)(cid:119) .
∴ [−1,1]
(cid:58)(cid:187)(cid:266)(cid:98) (cid:85)(cid:198) , =( 1+ + + 2+ =( +
𝑥∈[−1,1] −𝑥∈[−1,1]𝑓(−𝑥) (−𝑥) 1−(−𝑥) 𝑎)( 1−(−𝑥) 𝑏) 1−𝑥
1+ + 2+ = (cid:85)(cid:248) = (cid:58) (cid:301)(cid:210)(cid:211)((cid:314) (cid:68)(cid:216)(cid:207)(cid:128))(cid:85)
(cid:30)(cid:13)𝑥 𝑎)(cid:119)((cid:49)1(cid:30)−𝑥(cid:13). 𝑏) 𝑓(𝑥) 𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥∈[−1,1] 𝑓(𝑥)
∴(cid:234)2(cid:241)(cid:170)𝑓(𝑥)= =1(cid:85)(cid:198) =( 1+ + 2+1).
(cid:234)i(cid:241) =𝑎 1−+3,𝑏+ (𝑓(𝑥) 1)(cid:85)(cid:164)𝑥 2=1−2𝑥+−23)( 1−2.𝑥
0𝑡 2𝑥 1(cid:85)12−𝑥 −21≤𝑥≤ 0)(cid:85)(cid:248)𝑡 2 2.1−𝑥
∴ =≤[ 21,−2]𝑥. ≤ ≤𝑡 ≤4(𝑡≥ ≤𝑡≤
(cid:234) ∴ i 𝐷 i(cid:241)(cid:170)(cid:234)i(cid:241)(cid:54)(cid:10) = 1 ( 3 2)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) =[ 2,2].
2
𝑔(𝑡) 𝑡 −3𝑡 𝐷
(cid:58)(cid:187)(cid:266)(cid:98)(cid:34) , (cid:231) < (cid:85)(cid:198) )= 1 [ 3 2 3 2)] = 1 [( )( 2+ + 2 )(
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
𝑡 𝑡 ∈𝐷 𝑡 𝑡 𝑔(𝑡 )−𝑔(𝑡 𝑡 −3𝑡 −(𝑡 −3𝑡 𝑡 −𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 )−3(𝑡 −𝑡
+ )] = 1 ( )[( 2 )+( 2 )+( 1 )+( 1 )] = 1 ( )[ ( + ( + 1
1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2
𝑡 𝑡 𝑡 −𝑡 𝑡 −2𝑡 𝑡 −2𝑡 𝑡 𝑡 −𝑡 𝑡 𝑡 −𝑡 𝑡 −𝑡 𝑡 𝑡 −2) 𝑡 𝑡 −2)
1
( + ( .
1 2 2 2 1
𝑡 𝑡 −2) 𝑡 𝑡 −2)]
(cid:314) >0, >0, <0(cid:231) 0, 0((cid:197)(cid:434)(cid:181)(cid:412)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:68)(cid:336)(cid:158)(cid:133)(cid:210)(cid:211))(cid:85)
1 2 1 2 1 2
𝑡1 𝑡 𝑡 −𝑡 𝑡 −2≤ 1𝑡 −2≤ 1
( )[ ( + ( + ( + ( >0(cid:85)(cid:248) )> )> ).
2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2
∴ 𝑡 −𝑡 𝑡 𝑡 −2) 𝑡 𝑡 −2) 𝑡 𝑡 −2) 𝑡 𝑡 −2)] 𝑔(𝑡 )−𝑔(𝑡 0,𝑔(𝑡 𝑔(𝑡
(cid:30)(cid:13) (cid:126) (cid:190)(cid:119)(cid:161)(cid:30)(cid:13).
∴ 𝑔(𝑡) = 𝐷 = 1 ×(23 ×22)= .
min 2
∴ 𝑔(𝑡) 𝑔(2) −3 −2
(cid:314) (cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:47)(cid:145)(cid:50)(cid:30)(cid:13) = 1 ( 3 2)(cid:34)(cid:47)(cid:145)(cid:129)(cid:158)(cid:85)
2
∵ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑡) 𝑡 −3𝑡
(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) .
∴ 𝑓(𝑥) −2
(cid:120)(cid:57)(cid:31)(cid:20)(cid:21)
1(cid:142)(cid:234)2024·(cid:322)(cid:323)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13) = +3(cid:126)(cid:38)(cid:39)[1,+ )(cid:190)(cid:68)(cid:31)(cid:32)(cid:85)(cid:164)a(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142)[1,+ ) 𝑓(𝑥) 4|𝑥−B𝑎(cid:142)|(1,+ ) ∞
C(cid:142) ,1∞) D(cid:142) ,1∞]
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(−(cid:243)∞(cid:28)(cid:143)(cid:81)(cid:55) (cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:169)(cid:257)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:248)((cid:188)−∞(cid:40)(cid:41).
𝑓(𝑥)(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13) = +3(cid:126) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:126) + )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:142)
(cid:314)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:126)(cid:38)(cid:39)[1,+𝑓(𝑥)(cid:190)) (cid:68)4(cid:31)|𝑥(cid:32)−𝑎(cid:85)| (cid:199)(cid:200) (>−∞1(cid:85),𝑎) (𝑎, ∞
(cid:252)(cid:20)(cid:10)𝑓B(cid:142)𝑥 ∞ 𝑎
2(cid:142)(cid:234)2023·(cid:322)(cid:323)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= ( +3) 3(cid:126)[ ](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) (cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119)
(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑏𝑥− 𝑏 𝑥 −1,1 −3 𝑏
A(cid:142)( ] B(cid:142)[9,+ ) C(cid:142)[ ] D(cid:142) 9 ,9
2
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)∞(cid:28),−(cid:170)4 (cid:53)(cid:54)(cid:188)(cid:214)(cid:251) 1 ∞ <1(cid:133)(cid:85)(cid:188)(cid:214) ( − 1 4 + ,9 ) ( 2+ +1 − )(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:350)(cid:250)(cid:81)(cid:394)(cid:176)(cid:204)(cid:85)(cid:100)(cid:73)(cid:30)
(cid:13)(cid:33)(cid:63)(cid:188)(cid:40) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282). − ≤𝑥 𝑏𝑥 𝑥 ≥−3 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)𝑏(cid:28)
(cid:296)(cid:207) (1)= (cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )= ( +3) 3(cid:126)[ ](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) (cid:85)
(cid:199)(cid:200)(cid:58)𝑓 −[ 3 ](cid:85) 𝑓( 𝑥) 𝑏𝑥(cid:216)−(cid:210)𝑏(cid:211)(cid:85)𝑥 −1,1 −3
(cid:199)(cid:200) ∀𝑥(∈+−31),13 𝑓 𝑥(cid:216)≥(cid:210)−(cid:211)3(cid:85)(cid:248) ( 2) ( 3)(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)
(cid:251) =𝑏𝑥1−(cid:133)𝑏(cid:85) R𝑥(cid:85)≥−3 𝑏𝑥 1−𝑥 ≥−3 1−𝑥
(cid:251)𝑥1 <1𝑏(cid:133)∈(cid:85)(cid:188)(cid:214) (1+ ) ( 2+ +1)(cid:216)(cid:210)(cid:211).
(cid:251)−=≤0(cid:209)𝑥 = 1(cid:133)(cid:85)(cid:68)𝑏(cid:69)𝑥 (cid:56)(cid:435)𝑥(cid:294)≥(cid:210)−(cid:211)3(cid:148)𝑥 𝑥
(cid:251) 𝑥 0< < 𝑥 1(cid:133) − (cid:85) ( 2 1) = 1+ 1 (cid:85)
(1 ) 2
−3 𝑥 +𝑥+
(cid:296)(cid:207) 2 𝑥 + (0,2 𝑏 )(cid:85) ≥ (cid:199) 𝑥 (cid:200) + 1 𝑥 1 − , 3 + (cid:85) 𝑥 1 +𝑥 + 1 3 ,+ (cid:85) 1+ 1 9 (cid:85)
2 2 2 2 2 2
𝑥 𝑥∈ 𝑥 +𝑥∈ ∞ 𝑥 +𝑥∈ ∞ −3 𝑥 +𝑥 ∈ −∞,−
9
(cid:199)(cid:200) (cid:148)
2
𝑏≥−
(cid:251) < <0(cid:133)(cid:85) 1+ 1 (cid:85)
2
(cid:296) − (cid:207) 1 2+ 𝑥 1 , 𝑏 0 ≤ (cid:85) − (cid:199) 3 (cid:200) 1𝑥 +𝑥 ( )(cid:85)1+ 1 ( )(cid:85) 1+ 1 (9,+ )(cid:85)
4 2 2 2
(cid:199)(cid:200) 𝑥 9 𝑥 . ∈ − 𝑥 +𝑥∈ −∞,−4 𝑥 +𝑥∈ −∞,−3 −3 𝑥 +𝑥 ∈ ∞
(cid:72)(cid:190) 𝑏 (cid:188) ≤ (cid:214)(cid:85)(cid:96)(cid:13)b(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119) 9 ,9 .
2
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D. −
3(cid:142)(cid:234)2024·(cid:356)(cid:286)(cid:436)(cid:437)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= | |(cid:85)(cid:164)(cid:3)(cid:187) (cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )> ( )(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142) 1 ,+ B(cid:142) , 1 𝑓 𝑥 𝑥 C 𝑥 (cid:142) 1 ,1 𝑥 𝑓 D(cid:142) 2𝑥 𝑓11−𝑥
3 3 3 3
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)∞(cid:438)(cid:415)(cid:245)(cid:58)(cid:47)(cid:188)(cid:214)−∞(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:248)−(cid:188)1(cid:214),
.2 0
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:170) ( )= | |= (cid:85)(cid:252) ( )(cid:126) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)
2 <0
𝑥 ,𝑥≥
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝐑
(cid:170) ( )> ( )(cid:85)(cid:198) > −(cid:85)𝑥 (cid:248),𝑥 > 1 .
3
(cid:252) 𝑓 (cid:20)2(cid:10)𝑥 A. 𝑓 1−𝑥 2𝑥 1−𝑥 𝑥
4(cid:142)(cid:234)2023·(cid:290)(cid:268)(cid:268)(cid:305)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54) ( )(cid:119) (cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) ( +2)= ( )(cid:85)(cid:251) [0,1](cid:133)(cid:85) ( )= 2+ (cid:85)
(cid:164) (2023)=(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑅 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥 2𝑥
𝑓A(cid:142)3 B(cid:142) C(cid:142)255 D(cid:142)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)−(cid:49)3(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:79)(cid:206)(cid:248)(cid:188). −255
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:54)(cid:10) ( +2)= ( )= ( ) ( +4)= ( +2)= ( )(cid:85)(cid:248)4(cid:207) ( )(cid:34)(cid:120)(cid:121)
(cid:60)(cid:61)(cid:85) 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 ⇒𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:199)(cid:200) (2023)= (506× )= ( )= (1)= .
(cid:252)(cid:20)𝑓(cid:10)B. 𝑓 4−1 𝑓 −1 −𝑓 −3
5(cid:142)(cid:234)2023·(cid:253)(cid:254)(cid:439)(cid:440)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:226)(cid:58) R(cid:301)(cid:198) (3+ )= ( )(cid:85)(cid:231) ( )(cid:126)
𝑓 𝑥 ∀𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 𝑓 𝑥
2，+ (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164) (1)， (2)(cid:50) (4)(cid:34)(cid:66)(cid:67)(cid:3)(cid:205)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142)∞ (4)< (1)< (2) 𝑓 𝑓 𝑓 B(cid:142) (2)< (1)< (4)
C(cid:142)𝑓(1)<𝑓(2)<𝑓(4) D(cid:142)𝑓(4)<𝑓(2)<𝑓(1)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓 (cid:243)(cid:28)(cid:170)𝑓 (3+𝑓 )= ( )(cid:85)(cid:214)(cid:215) (1)= 𝑓(3)(cid:85)(cid:45)𝑓(cid:27)(cid:31)(cid:32)𝑓(cid:33)(cid:248)(cid:188)(cid:35)(cid:36)(cid:66)(cid:67)(cid:3)(cid:205)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41)(cid:142)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)𝑓(cid:207)(cid:58) 𝑥 R𝑓(cid:301)1(cid:198)−𝑥(3+ )=𝑓 ( 𝑓)(cid:85)(cid:199)(cid:200) (1)= ( )= = (3)
∀𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 𝑓 𝑓 3−2 𝑓[1−(−2)] 𝑓
(cid:314)(cid:296)(cid:207) ( )(cid:126) 2，+ (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:231)2<3<4(cid:85)
(cid:199)(cid:200) (4 𝑓 ) 𝑥< (3)< ( ∞ 2)(cid:85)(cid:248) (4)< (1)< (2)(cid:142)
(cid:252)(cid:20)𝑓(cid:10)A(cid:142) 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
6(cid:142)(cid:234)2023·(cid:305)(cid:306)(cid:441)(cid:273)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)
( )(cid:85) ( )(cid:126)[0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164)(cid:234) 𝑓 𝑥(cid:241) 𝑔 𝑥
𝑓 𝑥A(cid:142)𝑔(𝑥(2))> ∞( (3)) B(cid:142) ( (2))< ( (3))
C(cid:142)𝑓(𝑓(2))>𝑓(𝑓(3)) D(cid:142)𝑓(𝑔(2))<𝑓(𝑔(3))
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑔 (cid:243)𝑔(cid:28)(cid:42)(cid:43)𝑔(cid:21)𝑔(cid:98)(cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:200)(cid:37)(cid:30)𝑔(cid:13)𝑓(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)𝑔 (cid:85)𝑓 (cid:35)(cid:36)(cid:442)(cid:20)(cid:260)(cid:34)(cid:180)(cid:406)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207) ( )(cid:85) ( )(cid:126)[0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85) ( )(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) ( )(cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)𝑓(cid:242)𝑥(cid:161)(cid:85)𝑔 𝑥( )(cid:126)( ∞,0](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:58)(cid:187)𝑔A𝑥(cid:193)(cid:85)(cid:170) (2)> (3)(cid:85)𝑓(cid:338)𝑥(cid:337)(cid:141)−(cid:35)∞(cid:36) (2) (3)(cid:34)(cid:180)(cid:406)(cid:85)(cid:199)(cid:200)A(cid:68)(cid:180)(cid:168)(cid:148)
𝑓 𝑓 𝑓 ,𝑓(cid:58)(cid:187)B(cid:193)(cid:85)(cid:296)(cid:207) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:188)(cid:214) (0)=0(cid:85)
(cid:314)(cid:296)(cid:207) ( )(cid:126)[0,𝑔+𝑥 )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:188)(cid:214)0> (2)>𝑔 (3)(cid:85)
(cid:296)(cid:207) (𝑔)(cid:126)𝑥 [0,+ )∞(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:231) ( )(cid:207)(cid:49)𝑔(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:199)𝑔 (cid:200) ( )(cid:126) ,0)(cid:190)(cid:207)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200)𝑓(𝑥(2))> (∞(3))(cid:85)(cid:199)(cid:200)B(cid:68)(cid:180)𝑓(cid:168)𝑥(cid:148) 𝑓 𝑥 (−∞
(cid:58)(cid:187)𝑓C𝑔(cid:193)(cid:85)(cid:170) 𝑓(2𝑔)> (3)(cid:85) ( )(cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( (2))< ( (3))(cid:85)(cid:199)(cid:200)C(cid:68)(cid:180)(cid:168)(cid:148)
(cid:58)(cid:187)D(cid:193)(cid:85)(cid:170)𝑔(2)>𝑔(3)(cid:85)𝑔(𝑥)(cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85) ( (2𝑔))𝑔< ( (3𝑔))𝑔(cid:85)(cid:199)(cid:200)D(cid:180)(cid:168).
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D. 𝑓 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 𝑓 𝑔 𝑓
7(cid:142)(cid:234)2023·(cid:253)(cid:254)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:251) >0(cid:133)(cid:85) = +1(cid:85)(cid:226) =5(cid:85)(cid:164)
1 𝑓(𝑥) 𝑅 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑓(−2)
(cid:68)(cid:69)(cid:56) > (cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑓(𝑥)
A(cid:142) 1 0, 1 B(cid:142) 1 ,0 0, 1
2 6 2 6
−∞,− ∪ − ∪
C(cid:142) 1 1 ,+ D(cid:142) 1 ,0 1 ,+
2 6 2 6
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)−(cid:243)∞(cid:28),− ∪ ∞ − ∪ ∞
(cid:42)(cid:43)(cid:182)(cid:183)(cid:188)(cid:40)(cid:214) >0(cid:133) (cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:400)(cid:304)(cid:188)(cid:40)(cid:214)(cid:251) <0(cid:133) (cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:81)(cid:80)(cid:114)(cid:41)(cid:171)
(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:248)(cid:188). 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13) (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) = =5𝑓(cid:85)(𝑥(cid:164)) = 𝑅(cid:85)
(cid:164) 𝑓+(−12=) −(cid:85)𝑓((cid:199)2)(cid:200) = 𝑓(cid:85)(2) −5
(cid:164)2(cid:251)𝑎 >0(cid:133)−(cid:85)5 =𝑎 −+31(cid:85)
(cid:251) <𝑥0(cid:133)(cid:85) 𝑓>(𝑥0)(cid:85)−3𝑥
(cid:164)𝑥 = −𝑥 = × +1] = (cid:85)
𝑓(𝑥) −𝑓(−𝑥) −[−3 (1−𝑥) −13𝑥−1
(cid:164)(cid:251) >0(cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56) > (cid:207) +1> (cid:85)
2 2
𝑥 𝑓(𝑥) −3𝑥
1
(cid:41)(cid:214)0< < (cid:85)
6
𝑥
1 1
(cid:251) <0(cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56) > (cid:207) > (cid:85)
2 2
𝑥 𝑓(𝑥) −3𝑥−1
1
(cid:41)(cid:214) < (cid:85)
2
𝑥 −
(cid:252)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) 1 0, 1 (cid:85)
2 6
(cid:252)(cid:20)(cid:10)A. −∞,− ∪8(cid:142)(cid:234)2023·(cid:322)(cid:323)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:85) (cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:274)(cid:207) (cid:85) +1)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85) +2)(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
102
1 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑅 𝑓(3𝑥 𝑔(𝑥
+1)+ =2(cid:85) = (cid:85)(cid:164) =(cid:234) (cid:241)
2
=1
𝑓(𝑥 𝑔(1−𝑥) 𝑓(0) − 𝑔(𝑘)
5 𝑘 415 409
A(cid:142) B(cid:142) C(cid:142) D(cid:142)
2 2 2
−51
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:188)(cid:214) (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75)(1,0)(cid:193)(cid:232)(cid:58)(cid:59)(cid:57) (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75)(1,2)(cid:193)(cid:232)
(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:130)(cid:304)(cid:188)(cid:54) (cid:119)(cid:200)4(cid:207)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥(cid:142))(cid:40)(cid:171) (cid:85) (cid:85) (cid:85) (cid:85)𝑔((cid:100)𝑥)(cid:73)(cid:60)(cid:61)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)𝑔(cid:207)(𝑥) +1)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:199)(cid:200) +1)(cid:207)𝑔((cid:48)1)(cid:30)(cid:13)𝑔((cid:85)2) 𝑔(3) 𝑔(4)
(cid:199)(cid:200) +1)= 𝑓(3𝑥+1)(cid:85) (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)𝑓((cid:75)𝑥(1,0)(cid:193)(cid:232)(cid:58)(cid:59)(cid:85) =0(cid:142)
(cid:296)(cid:207)𝑓(𝑥+2)(cid:207)(cid:49)−𝑓(cid:30)(−(cid:13)𝑥(cid:85)(cid:199)(cid:200)𝑓(𝑥)+2)= +2)(cid:85) (cid:34)(cid:84)(cid:71)𝑓(cid:3)(1(cid:187))(cid:219)(cid:229) =2(cid:58)(cid:59)(cid:142)
(cid:170) 𝑔(+𝑥1)+ =2(cid:85)(cid:214)𝑔(𝑥 +1)+𝑔(−𝑥 + =𝑔2((cid:85)𝑥)(cid:164) +1)+ 𝑥 + =2(cid:85)
(cid:199)(cid:200)𝑓(𝑥 +1)𝑔+(1−𝑥) = 𝑓(−+𝑥 𝑔=(14(cid:85)𝑥(cid:199))(cid:200) (cid:34)−(cid:84)𝑓((cid:71)𝑥(cid:3)(cid:187)(cid:75)(𝑔1(,21)(cid:193)𝑥(cid:232))(cid:58)(cid:59)(cid:142)
(cid:296)(cid:207)𝑔(𝑥 (cid:34)(cid:84)(cid:71)𝑔(cid:3)(1(cid:187)−𝑥=) 2(cid:230)4,𝑔(cid:58)(𝑥(cid:59))(cid:85)(cid:199)𝑔((cid:200)2−𝑥) + + 𝑔(𝑥=)4(cid:85) +2)+ +4)=4(cid:85)
(cid:199)(cid:200)𝑔(𝑥)+4)= (cid:85)𝑥 (cid:248) (cid:119)(cid:200)4(cid:207)(cid:60)𝑔(cid:61)(𝑥)(cid:34)(cid:60)𝑔(cid:61)(2(cid:30)(cid:13)𝑥)(cid:142) 𝑔(𝑥 𝑔(𝑥
𝑔(𝑥 𝑔(𝑥) 1𝑔(𝑥) 5 3
(cid:296)(cid:207) =0(cid:85) = (cid:85)(cid:199)(cid:200) =2(cid:85) = (cid:85) = =2(cid:85) = = = (cid:85)
2 2 2
𝑓(11)02 𝑓(0) − 𝑔(1) 𝑔(2) 𝑔(3) 𝑔(1) 𝑔(4) 𝑔(0) 4−𝑔(2)
(cid:199)(cid:200) =25× 2+ 5 +2+ 3 +2+ 5 = 409 (cid:142)
=1 2 2 2 2
𝑔(𝑘)
(cid:252)(cid:20)(cid:10)D𝑘(cid:142)
(cid:181)(cid:57)(cid:443)(cid:20)(cid:21)
9(cid:142)(cid:234)2023·(cid:285)(cid:236)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:30)(cid:13) (cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:126)[0,+ )(cid:190)
(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) (−∞ ∞
A(cid:142)(cid:30)(cid:13) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
B(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑓(𝑥))(cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
C(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑔(𝑥)) (cid:126)(−∞ ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
D(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑔(−𝑔(𝑥))(cid:126)[(0−,∞+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)𝑔((cid:170)−𝑓(cid:185)(𝑥(cid:73)))(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)∞(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:146)(cid:141)(cid:375)(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:248)(cid:188).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:296)(cid:207) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:199)(cid:200) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:252)A(cid:180)(cid:168)(cid:148)
(cid:296)(cid:207) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)𝑓(cid:32)(𝑥(cid:242))(cid:159)(cid:85) (cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)𝑓(cid:32)(𝑓(cid:242)(𝑥(cid:159)))(cid:85)(cid:199)(cid:200) (cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:252)B(cid:180)(cid:168)(cid:148)
(cid:296)(cid:207)𝑓(𝑥)(cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)𝑔(cid:159)(𝑥(cid:85))(cid:199)((cid:200)−∞ (cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)𝑓((cid:161)𝑔((cid:85)𝑥)(cid:296)) (cid:207)(−∞ (cid:34)(cid:47)(cid:145)(cid:119)(cid:203)(cid:126) ,0)(cid:190)(cid:337)(cid:141)
(cid:35)(cid:36)𝑔(cid:85)(𝑥) (−∞ −𝑔(𝑥) (−∞ −𝑔(𝑥) (−∞
(cid:199)(cid:200) (cid:126) ,0)(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:337)(cid:141)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:252)C(cid:263)(cid:264)(cid:148)
𝑔(−𝑔(𝑥)) (−∞(cid:296)(cid:207) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85) (cid:126)[0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:296) (cid:34)(cid:47)(cid:145)(cid:119)(cid:203)(cid:126)[0,+ )(cid:190)(cid:337)(cid:141)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:199)(cid:200)
−𝑓(𝑥(cid:126)) [0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝑔((cid:337)𝑥)(cid:141)(cid:35)(cid:36)(cid:85)∞(cid:252)D(cid:263)(cid:264). −𝑓(𝑥) ∞
(cid:252)𝑔((cid:20)−𝑓(cid:10)(𝑥A))B. ∞
10(cid:142)(cid:234)2024·(cid:322)(cid:323)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:144)(cid:99)(cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228)(cid:256)(cid:257)(cid:182)(cid:183)(cid:10)(cid:234)1(cid:241) = ( ) ( )(cid:148)(cid:234)2(cid:241)
𝑥
(cid:251) >1(cid:133)(cid:85) ( )>0(cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241) ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑦𝑓 𝑥 −𝑥𝑓 𝑦
𝑥A(cid:142) (1)𝑓=𝑥0
B(cid:142)(cid:251)𝑓 0< <1(cid:133)(cid:85) ( )<0
C(cid:142) ( 2) 𝑥 ( ) 𝑓 𝑥
D(cid:142)𝑓(𝑥)(cid:126)≥(12,𝑓+𝑥 )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)𝑓(cid:243)𝑥(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:275)∞(cid:47)(cid:141)(cid:188)(cid:200)(cid:375)(cid:247)(cid:35)(cid:36)(cid:20)(cid:260)(cid:85)A(cid:85)(cid:212) = =1(cid:188)(cid:214)(cid:148)B(cid:85)(cid:212) =1(cid:85)(cid:169)(cid:170)(cid:182)(cid:183)(cid:251) >1(cid:133)(cid:85) ( )
>0(cid:325)(cid:15)(cid:188)(cid:214)(cid:148)(cid:58)(cid:187)C(cid:85)(cid:444)(cid:336)(cid:27)(cid:167)(cid:117)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:85)(cid:338)(cid:296) (𝑥)(cid:126)𝑦(0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:87)(cid:9)(cid:68)𝑥(cid:144)(cid:85)(cid:214)(cid:68)(cid:171)(cid:100)(cid:225)(cid:148)𝑥(cid:58)(cid:187)D(cid:85)𝑓(cid:135)𝑥
(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:144)(cid:99)(cid:141)(cid:325)(cid:152)(cid:214)(cid:171)(cid:129)(cid:262)(cid:100)(cid:225)(cid:85)(cid:334)(cid:335). 𝑓 𝑥 ∞
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:58)(cid:187)A(cid:260)(cid:85)(cid:170) = ( ) ( )(cid:85)(cid:212) = =1(cid:85)(cid:214)(cid:85) = =0(cid:85)(cid:252)A(cid:260)(cid:180)(cid:168)(cid:148)
𝑥
𝑓 𝑦 𝑦𝑓 𝑥 −𝑥𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 1 𝑓(1) 𝑓(1)− 1 𝑓(1)
(cid:58)(cid:187)B(cid:260)(cid:85)(cid:170) = ( ) ( )(cid:85)(cid:212) =1(cid:85)(cid:296) (1)=0(cid:85)(cid:252) )= (cid:85)(cid:248) )= (cid:85)
𝑥
𝑓 𝑦 𝑦𝑓 𝑥 −𝑥𝑓 𝑦 𝑥 𝑓 𝑓(𝑦 −𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥 −𝑓(𝑥)
1 1
(cid:251)0< <1(cid:133)(cid:85) >1(cid:85)(cid:164) )>0(cid:85)(cid:252) >0(cid:85)(cid:248) ( )<0(cid:85)(cid:252)B(cid:260)(cid:180)(cid:168)(cid:148)
𝑥 𝑥 𝑓(𝑥 −𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 1
(cid:58)(cid:187)C(cid:260)(cid:85)(cid:170) = ( ) ( )(cid:85)(cid:212) = 2(cid:85)(cid:188)(cid:214)(cid:85) = 2 2 (cid:85)(cid:344)(cid:15)(cid:214)(cid:85) 2)= +
𝑥
(cid:85) 𝑓 𝑦 𝑦𝑓 𝑥 −𝑥𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑓(𝑦) 𝑦𝑓(𝑦 )−𝑦 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑦 (𝑦 𝑦
)𝑓(𝑦) 1
(cid:296) >0(cid:85) + 2(cid:85)(cid:251)(cid:231)(cid:445)(cid:251) =1(cid:133)(cid:212)(cid:69)(cid:9)(cid:85)(cid:338)(cid:296) (cid:34)(cid:87)(cid:9)(cid:68)(cid:336)(cid:168)(cid:144)(cid:85)(cid:252)(cid:68)(cid:120)(cid:144)(cid:198) 2) (cid:85)
(cid:248) 𝑦 2) 𝑦 𝑦≥ (cid:68)(cid:120)(cid:144)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:252) 𝑦 C(cid:260)(cid:263)(cid:264)(cid:148) 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑦 ≥2𝑓(𝑦)
(cid:58)(cid:187) 𝑓(𝑥 D(cid:260) ≥ (cid:85) 2𝑓 (cid:266) (𝑥 (cid:212) ) > >1(cid:85)(cid:164) 1>1(cid:85)(cid:259)(cid:21)(cid:98)(cid:85) 1)>0(cid:85)(cid:304) 1 = ( ) ( )(cid:85)
1 2 2 1 1 2
𝑥2 𝑥2 𝑥2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑓(𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑥 𝑓 𝑥
( ) ( )
(cid:164) ( ) ( )>0(cid:85)(cid:248) 1 > 2 (cid:85)(cid:248) = (cid:126)(1,+ )(cid:190)(cid:119)(cid:159)(cid:30)(cid:13).(cid:187)(cid:119)(cid:85)(cid:58)(cid:187) = (cid:85)
2 1 1 2
𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 𝑓(𝑥)
(cid:266)(cid:212) 𝑥 𝑓 𝑥> −𝑥 > 𝑓 1(cid:85)𝑥 (cid:296) )> 𝑥 )> 𝑥 0(cid:85)(cid:164) 𝑔(𝑥) )> 𝑥 )(cid:85) ∞ (cid:248) )> )(cid:85)(cid:248)(cid:30)(cid:13) 𝑓( ( 𝑥) )(cid:126)( 𝑥 1 𝑔 , ( + 𝑥) )(cid:190)
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
(cid:31)(cid:32)(cid:242)𝑥 (cid:159)(cid:85)𝑥 (cid:252)D(cid:260)(cid:263)𝑔(cid:264)(𝑥. 𝑔(𝑥 𝑥 𝑔(𝑥 𝑥 𝑔(𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 𝑓 𝑥 ∞
(cid:252)(cid:20)(cid:10)AB.
11(cid:142)(cid:234)2024·(cid:360)(cid:273)(cid:360)(cid:280)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) (cid:227)(cid:228) +1)= +3= (cid:85)(cid:58) ,
1 2
( ) ( ) 𝑅 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥)−𝑔(−𝑥) 𝑓(3−𝑥) ∀𝑥 𝑥
(1,2](cid:85) (cid:85)(cid:216)(cid:198) 1 2 <0(cid:85)(cid:164)(cid:256)(cid:257)(cid:446)(cid:21)(cid:119)(cid:77)(cid:446)(cid:21)(cid:34)(cid:198)(cid:234) (cid:241)
1 2
𝑓 𝑥 2−𝑓1𝑥
∈ 𝑥 ≠𝑥 𝑥 −𝑥A(cid:142)(2025,3)(cid:119) (cid:84)(cid:71)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232) B(cid:142) (cid:126)(cid:38)(cid:39)(2024,2026)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
2026
C(cid:142)(cid:58)
405𝑓1(
,
𝑥4)053
(cid:85)(cid:216)(cid:198) > +1)
𝑓
D
(𝑥
(cid:142)
)
>6078
2 2 =1
∀𝑥∈ 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 𝑓(𝑛)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:214)(cid:30)(cid:13) (cid:126)(cid:38)(cid:39)(1,2](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)𝑛 (cid:170) +1)= (cid:85)(cid:188)(cid:214)(cid:219)(cid:229) =2(cid:119) (cid:34)
(cid:120)(cid:182)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:85)(cid:276) = + 𝑓(𝑥)(cid:85)(cid:188)(cid:214)(cid:30)(cid:13) (cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:112)𝑓(𝑥(cid:304)(cid:214)(cid:75)(1𝑓,3()3(cid:119)−𝑥) (cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232)𝑥 (cid:85)(cid:248)(cid:188)𝑓((cid:214)𝑥)(cid:30)
(cid:13) (cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:207)ℎ4((cid:85)𝑥)(cid:169)(cid:375)𝑓((cid:120)𝑥(cid:35)(cid:36)1)(cid:248)−3(cid:188). ℎ(𝑥) 𝑓(𝑥)
(cid:22)𝑓(cid:41)(𝑥(cid:249))(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:276) = + (cid:85)
(cid:170) +1)= ℎ(𝑥) 𝑓(𝑥+31(cid:85))−(cid:214)3 = + = (cid:85)
(cid:435)𝑓(cid:294)(𝑥(cid:85) 𝑔=(𝑥)−𝑔((cid:85)−𝑥(cid:199))(cid:200) (cid:207)ℎ(cid:48)(𝑥(cid:30)) (cid:13)𝑓(cid:85)(𝑥(cid:164) 1)−(cid:3)3(cid:187)𝑔(cid:75)(𝑥(0)−,0𝑔)(cid:193)(−(cid:232)𝑥)(cid:58)(cid:59)(cid:85)
(cid:199)(cid:200)(cid:75)ℎ(1(,−3𝑥)(cid:119)) −ℎ(cid:34)(𝑥(cid:58)) (cid:59)(cid:193)(cid:232)ℎ(cid:85)(𝑥)(cid:199)(cid:200) = ℎ(𝑥) +6(cid:85)
(cid:314)(cid:296)(cid:207) +1𝑓)(=𝑥) (cid:85) 𝑓(𝑥) −𝑓(2−𝑥)
(cid:199)(cid:200)(cid:219)𝑓(cid:229)(𝑥=2(cid:119) 𝑓(3(cid:34)−𝑥(cid:120))(cid:182)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:142)(cid:199)(cid:200) +2)=
(cid:314)(cid:296)(cid:207) 𝑥 = 𝑓(𝑥) +6(cid:85) = 𝑓(𝑥 (cid:85) 𝑓(2−𝑥),
(cid:199)(cid:200) 𝑓(+𝑥)2)=−𝑓(2−𝑥) 𝑓(2−𝑥) 6−𝑓(𝑥)
(cid:248) 𝑓(+𝑥 = 6−𝑓(+𝑥), = =
(cid:199)𝑓(cid:200)(4 𝑥(cid:119))(cid:60)6(cid:61)−(cid:207)𝑓(24(cid:34)𝑥(cid:30))(cid:13)(cid:85)6−[6−𝑓(𝑥)] 𝑓(𝑥),
𝑓(𝑥) ( ) ( )
(cid:314)(cid:296)(cid:207)(cid:58) , (1,2](cid:85) (cid:85)(cid:216)(cid:198) 1 2 <0(cid:85)
1 2 1 2
𝑓 𝑥 2−𝑓1𝑥
∀𝑥 𝑥 ∈ 𝑥 ≠𝑥 𝑥 −𝑥
( ) ( )
(cid:248) 1 2 >0(cid:85)(cid:199)(cid:200) (cid:126)(cid:38)(cid:39)(1,2](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)
𝑓 𝑥 1−𝑓2𝑥
𝑥 −𝑥 𝑓(𝑥)
(cid:199)(cid:200)(cid:126)[0,2](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:126)[2,4](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:142)
(cid:58)(cid:187)A,(cid:296)(cid:207)(cid:75)(1,3)(cid:119) (cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232)(cid:85)
(cid:170)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:188)(cid:214)(2025,3𝑓)((cid:119)𝑥) (cid:84)(cid:71)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232)(cid:85)(cid:252)A(cid:180)(cid:168)(cid:148)
(cid:58)(cid:187)B (cid:119)(cid:60)(cid:61)(cid:207)4(cid:34)(cid:30)𝑓((cid:13)𝑥)(cid:85)(cid:231)(cid:126)[0,2](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) ,𝑓(𝑥(cid:126))(cid:38)(cid:39)(2024,2026)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:252)B(cid:263)(cid:264)(cid:148)
(cid:58)(cid:187)𝑓C((cid:85)𝑥) (cid:126)(2024,2026)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:126)(2026,2028)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
(cid:231)(cid:219)(cid:229) =𝑓(2𝑥0)26(cid:119) (cid:34)(cid:120)(cid:182)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:85)
(cid:58)
𝑥4051
,
4053𝑓
(cid:85)
(𝑥
(cid:216)
)
(cid:198) < + (cid:85)
2 2
∀𝑥∈ |𝑥−2026| |𝑥 1−2026|
(cid:252)(cid:216)(cid:198) > +1),(cid:252)C(cid:180)(cid:168)(cid:148)
(cid:58)(cid:187)D(cid:85)𝑓((cid:42)𝑥)(cid:43) 𝑓(𝑥(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:95)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:188)(cid:214)(cid:85) = =3(cid:85) + = >3(cid:85)
𝑓(𝑥) 𝑓(1) 3,𝑓(3) 𝑓(2) 𝑓(4) 6,𝑓(2)2026
(cid:252) =506×12+ + >6078,(cid:252)D(cid:180)(cid:168)(cid:85)
=1
𝑓(𝑛) 𝑓(1) 𝑓(2)
(cid:252)(cid:20)(cid:10)𝑛ACD(cid:142)
(cid:165)(cid:57)(cid:447)(cid:448)(cid:21)
12(cid:142)(cid:234)2024·(cid:355)(cid:235)(cid:268)(cid:352)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:227)(cid:228) ( +4)= ( )(cid:85)(cid:251) [ ]
(cid:133)(cid:85) ( )= 3 (cid:85)(cid:164) (1)+ (4)=
2 𝑓
.
𝑥 𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥∈ −2,0
3
𝑥
𝑓 𝑥 − −2𝑥 𝑓 𝑓
5
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:214) =4(cid:231) (1)= ( )= (cid:85)(cid:219)(cid:449)(cid:79)(cid:206)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41).
3
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:255)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34) 𝑇 (cid:46)(cid:67)(cid:180) 𝑓 (cid:60)(cid:61)(cid:207) 𝑓 −(cid:85)1(cid:164) =4.
𝑓 𝑥 𝑇 𝑇 5
(cid:296)(cid:207) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:199)(cid:200) (1)= ( )= (cid:85)
3
𝑓 𝑥 𝑅 𝑓 𝑓 −1
2
(cid:199)(cid:200) (1)+ (4)= ( )+ (0)= .
3
𝑓 𝑓 𝑓 −1 𝑓
(cid:252)(cid:249)(cid:265)(cid:207)(cid:10)
2.
3
13(cid:142)(cid:234)2023·(cid:190)(cid:235)(cid:450)(cid:451)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= + + (cid:85) [ + )(cid:85)(cid:174)(cid:193) >0(cid:85) R(cid:85)(cid:226) ( )(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)
𝑎
(cid:207)2(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:119) ( ,1) 𝑓 𝑥 . 𝑥 𝑥 𝑏 𝑥∈ 𝑏, ∞ 𝑏 𝑎∈ 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)𝑎(cid:42)(cid:43) (cid:308)(cid:225)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)−(cid:33)∞(cid:85)(cid:169)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:85)(cid:46)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:168)(cid:144) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28) (cid:251)𝑎 0(cid:133)(cid:85) (cid:126) + )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85) 𝑎
(cid:199)(cid:200) ( ) = ① ( ) 𝑎 = ≤ + = 𝑓( 2 𝑥 , ) [𝑏 > , 0, ∞ =1 (cid:85)(cid:296)(cid:312) 0(cid:227)(cid:228)(cid:21)(cid:98)(cid:148)
min
2
𝑎 + 1−2𝑎
(cid:251) 𝑓 𝑥 >0(cid:133)(cid:85) 𝑓 𝑏 (cid:126)[ 2𝑏 ,+ 𝑏 )(cid:190) ∵ (cid:31) 𝑏 (cid:32)(cid:242)(cid:159) ∴ (cid:85) 𝑏 (cid:126)(0, )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242) 𝑎 (cid:161) ≤
(cid:234)②i(cid:241)𝑎(cid:251) (cid:133)𝑓((cid:85)𝑥) (cid:126)𝑎 ∞+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85) 𝑎
(cid:199)(cid:200)
𝑎≤
=
𝑏 𝑓
=
(𝑥)
+
[𝑏,
=2
∞
(cid:85)(cid:164)2 2 + =0(cid:85)
min
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑏) 2𝑏 𝑏 𝑏 −2𝑏 𝑎
= =1± (cid:85)
2
1−2𝑎
(cid:199) ∴ (cid:200) Δ 1−22𝑎 (cid:85) ≥0,𝑏 2 2(cid:85) ≥ >0𝑎(cid:85)
𝑎2≤
(cid:85)
𝑏 2
=
𝑏−12𝑏 ≤
(cid:85)
𝑏 𝑏
3 2
+ 1−2𝑎
∴𝑏≥ ∴𝑏
1 2 (cid:85)
2
+ 1−2𝑎
∵
1
≥ 𝑎⇒ 1−2𝑎>≥1 𝑎−1
1 1 4
< (cid:209) 4 0< (cid:209) < ,
4 +1 4 4 9
𝑎
⇒0 𝑎≤ ⇒ 𝑎≤ 𝑎≤
4
0< (cid:148) 1−2𝑎≥4𝑎−4 𝑎
9
∴ 𝑎≤(cid:234)ii(cid:241)(cid:251) > (cid:133)(cid:85) (cid:126)[ ,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:126) )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
(cid:199)(cid:200) ( ) 𝑎 =𝑏 ( 𝑓)(=𝑥)2 +𝑎 =∞2, [𝑏, 𝑎
min
0<𝑓 𝑥< (cid:85)𝑓(cid:248) 𝑎 > 𝑎 𝑏>0(cid:85)
∵4 𝑏 𝑎 𝑎 2−2 𝑎
< <1(cid:148)
9
∴ 𝑎
(cid:72)(cid:190)(cid:85) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207) <1.
(cid:252)(cid:249)(cid:265)𝑎(cid:207)(cid:10) ,1). 𝑎
14(cid:142)(cid:234)2024·((cid:285)−∞(cid:286)(cid:452)(cid:144)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145) =( ,0) (0,+ )(cid:85)(cid:58)(cid:266)(cid:98) , (cid:85)(cid:216)(cid:198) ( )
1 2 1 2
= ( )+ ( ) (cid:85)(cid:231)(cid:251) 𝑓 𝑥 > >0(cid:133) 𝐷 (cid:85) 1 (−2∞) 2 ∪( 1 ) > ∞ (cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85) ( 𝑥 2) 𝑥 = ∈𝐷 (cid:85)(cid:164)(cid:68)(cid:69) 𝑓 (cid:56) 𝑥 𝑥
1 2 1 2 2 1 1 2
𝑥 𝑓 𝑥 1−𝑥2𝑓 𝑥
−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −1 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 −1 𝑓 −3
( +1) 1 + +2> ( )(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) 5 3 ,+ .
1 4 4
𝑥 𝑓 𝑥+ 𝑥 𝑓 −1 ( ) 1 −∞,− ∪ − ∞ 1
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:182)(cid:183)(cid:85)(cid:368)(cid:369) ( )= (cid:85)(cid:45)(cid:27) ( )(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:95)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:244)(cid:220)(cid:21)(cid:136)(cid:16)(cid:210)(cid:40)(cid:41) <4(cid:85)(cid:248)
| 1|
𝑓 𝑥 +
(cid:188)(cid:40)(cid:171)(cid:100)(cid:289). 𝑔 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥+
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:170) ( ) = ( )+ ( ) (cid:85)(cid:214) 1 2 = 1 + 2 (cid:85)
1 2 1 2 1 2 2 1
𝑓 𝑥1𝑥2+ 𝑓 𝑥1+ 𝑓 𝑥2+
𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥 −𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
( ) 1
(cid:255) ( )= (cid:85)(cid:164) ( )= ( )+ ( )(cid:85)(cid:212) = =1(cid:85)(cid:214) (1)=0(cid:85)
1 2 1 2 1 2
𝑓 𝑥 +
𝑔 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑥 𝑔
1
(cid:212) = = (cid:85)(cid:214) ( )= (1)=0(cid:148)(cid:212) = = (cid:85)(cid:214) ( )= ( )(cid:85)
1 2 2 1 2
(cid:199)(cid:200) 𝑥 ( 𝑥 )(cid:119)(cid:49) − (cid:30) 1 (cid:13)(cid:85) 𝑔 (cid:199)−(cid:200)1 ( ) 𝑔 = (| |)(cid:85) 𝑥 𝑥,𝑥 −1 𝑔 −𝑥 𝑔 𝑥
(cid:296)(cid:207) 𝑔 (cid:251) 𝑥 > >0(cid:133)(cid:85) 1 𝑔( 2𝑥) 2 𝑔( 1 )𝑥 > (cid:85)(cid:196)(cid:453)(cid:158)(cid:133)(cid:454)(cid:200) (cid:85)
1 2 1 2
𝑥 𝑓 𝑥 1−𝑥2𝑓 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 −1 𝑥 −𝑥
( ) ( ) 1 1
(cid:214) ( ) ( )> (cid:85)(cid:196)(cid:453)(cid:158)(cid:133)(cid:335)(cid:200) (cid:85)(cid:214) 2 1 > (cid:85)
1 2 2 1 2 1 1 2
𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥1 1 2
𝑥 ( 𝑓 )𝑥1 −𝑥 ( 𝑓 )𝑥1 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:248) 2 > 1 (cid:85)(cid:248) ( )> ( )(cid:85)(cid:199)(cid:200) ( )(cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161).
2 1
𝑓 𝑥2+ 𝑓 𝑥1+
(cid:170) ( 𝑥 )=0(cid:85) 𝑥 (cid:214) ( 𝑔 )=𝑥 (cid:85) 𝑔 (cid:170)𝑥 (2)= 𝑔 (cid:85)𝑥(cid:214) (2)=∞ (4)= (cid:85)
(cid:199) 𝑔 (cid:200)( −1 +1) 1 𝑓 + −1 +2 − > 1 ( 𝑓 )(cid:188)(cid:16)(cid:207) −3 1 𝑔 > = −1 ( , 4 𝑔 )(cid:85) −2
1 1
(cid:248) 𝑥 1 > 𝑓 𝑥 ( + 4)(cid:85)(cid:199) 𝑥 (cid:200) 1 𝑓 < − 4 1 (cid:85)(cid:41)(cid:214) > 𝑔 𝑥+3 (cid:209) < −2 5 (cid:85) 𝑔
| 1| | 1| 4 4
𝑔 𝑥+ 𝑔 𝑥+ 𝑥 − 𝑥 −
(cid:199)(cid:200)(cid:68)(cid:69)(cid:56)( +1) 1 + +2> ( )(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) 5 3 ,+ (cid:85)
1 4 4
𝑥 𝑓 𝑥+ 𝑥 𝑓 −1 −∞,− ∪ − ∞
(cid:252)(cid:249)(cid:265)(cid:207)(cid:10) 5 3 ,+ .
4 4
(cid:370)(cid:57)(cid:41)(cid:249)(cid:21) −∞,− ∪ − ∞15(cid:142)(cid:234)2023·(cid:356)(cid:286)(cid:422)(cid:455)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:255) >0(cid:85) >0(cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )= + 2.
(1)(cid:40)(cid:3)(cid:187) (cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )>0(cid:41)(cid:385)(cid:148) 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑎−2𝑏 2𝑏𝑥−𝑎𝑥
𝑥 𝑓 𝑥
(2)(cid:226) ( )(cid:126)[0,2](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) (cid:85)(cid:40) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282).
𝑏
𝑓 𝑥 𝑎−2𝑏 𝑎
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:170)(cid:21)(cid:188)(cid:214) <0(cid:85)(cid:294)(cid:184)(cid:81)(cid:62)(cid:308)(cid:225)(cid:248)(cid:214)(cid:148)
2𝑏−𝑎
(𝑥−1) 𝑥− 𝑎 0
(cid:234)2(cid:241)(cid:42)(cid:43)(cid:181)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:100)(cid:73)(cid:182)(cid:183)(cid:188)(cid:214) | | | |(cid:85)(cid:130)(cid:304)(cid:248)(cid:214).
𝑓(0)≤
𝑏 𝑏
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:296)(cid:207) ( )= + 𝑎−0 2 ≥=2−(𝑎 )( + )(cid:85)(cid:314) >0(cid:85) >0(cid:85)
𝑓 𝑥 𝑎−2𝑏 2𝑏𝑥−𝑎𝑥 − 𝑥−1 𝑎𝑥 𝑎−2𝑏 𝑎 𝑏
( )>0(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:69)(cid:208)(cid:187) <0(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:85)
2𝑏−𝑎
∴𝑓 𝑥 (𝑥−1) 𝑥− 𝑎
(cid:251) <1(cid:248) < (cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) ,1 (cid:85)
2𝑏−𝑎 2𝑏−𝑎
𝑎 𝑏 𝑎 𝑎
(cid:251) =1(cid:248) = (cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) (cid:85)
2𝑏−𝑎
𝑎 𝑏 𝑎 ∅
(cid:251) >1(cid:248) > (cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) 1, (cid:148)
2𝑏−𝑎 2𝑏−𝑎
𝑎 𝑏 𝑎 𝑎
(cid:72)(cid:190)(cid:85)(cid:251) < (cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) ,1 (cid:85)(cid:251) = (cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) (cid:85)(cid:251) > (cid:133)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)
2𝑏−𝑎
𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 ∅ 𝑏 𝑎
1, (cid:148)
2𝑏−𝑎
𝑎
(cid:234)2(cid:241)(cid:296)(cid:207) ( )= + 2(cid:85) (1)=0(cid:85) (0)= (cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:207) = >0(cid:85)(cid:456)(cid:14)(cid:229)(cid:408)(cid:237)
𝑏
(cid:330)(cid:256)(cid:85) 𝑓 𝑥 𝑎−2𝑏 2𝑏𝑥−𝑎𝑥 𝑓 𝑓 𝑎−2𝑏 𝑓 𝑥 𝑥 𝑎
(cid:314) ( )(cid:126)[0,2](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) (cid:85)
0
𝑓 𝑥 𝑎−2𝑏
| | | |(cid:85)(cid:248) (cid:85)
1
𝑓(0)≤ 𝑎≤2𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
∴
𝑎−1(cid:85)0 ≥(cid:248)2(cid:34)−(cid:212)𝑎 (cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207)𝑎≥ [1,+ ).
𝑏 𝑏
1 ∴ 6(cid:142)𝑎≥ (cid:234)2023· 𝑎(cid:373)(cid:457)(cid:320)(cid:458)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:30)(cid:13)∞ (cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)(0,+ )(cid:85)(cid:58)(cid:187) (cid:85) (0,+ )(cid:85) = + (cid:85)
(cid:231)(cid:251) >1(cid:133)(cid:85) <0(cid:142) 𝑓(𝑥) ∞ ∀𝑥 𝑦∈ ∞ 𝑓(𝑥𝑦) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)
(1)(cid:51)𝑥(cid:52)(cid:10) (cid:207)𝑓((cid:161)𝑥)(cid:30)(cid:13)(cid:148)
(2)(cid:226) 1 𝑓 = (𝑥 2 ) (cid:85)(cid:40)(cid:68)(cid:69)(cid:56) + +2>0(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:142)
2
𝑓 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥−1)
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:37)(cid:251)(cid:30)(cid:13)(cid:193) >1(cid:133)(cid:85) <0(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:248)(cid:188)(cid:51)(cid:52)(cid:148)
(cid:234)2(cid:241)(cid:170)(cid:70)(cid:71)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:16)(cid:405)(cid:85)(cid:100)(cid:73)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:144)(cid:99)(cid:145)𝑥 (cid:257)(cid:171)(cid:68)(cid:69)𝑓((cid:56)𝑥)(cid:295)(cid:188)(cid:214)(cid:41).
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:255) , (0,+ )(cid:85)(cid:231) < (cid:85)
1 2 1 2
∀𝑥 𝑥 ∈ ∞ 𝑥 𝑥(cid:164) 2>1(cid:85) 2)<0(cid:85)
𝑥1 𝑥1
𝑥 𝑓(𝑥
(cid:296)(cid:207) )= 2 )= 2)<0(cid:85)
2 1 1 1
𝑥1 𝑥1
𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 ⋅𝑥 )−𝑓(𝑥 𝑓(𝑥
(cid:199)(cid:200) )< )(cid:85)
2 1
(cid:248) 𝑓((cid:207)𝑥 (cid:161)(cid:30)𝑓(cid:13)(𝑥.
(cid:234) 𝑓 2(cid:241) (𝑥) (cid:296)(cid:207) 1 =2(cid:85)
2
𝑓
(cid:199)(cid:200) + +2= + + 1 )= 1 2 1 >0(cid:85)
2 2 2
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥−1) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥−1) 𝑓( 𝑓( 𝑥 − 𝑥)
(cid:276) = =1(cid:85)(cid:164) = + (cid:85)(cid:248) =0(cid:85)
(cid:199) 𝑥 (cid:200) 𝑦1 2 1 > 𝑓(1) (cid:85) 𝑓(1) 𝑓(1) 𝑓(1)
2 2
𝑓( 𝑥 − 𝑥) 𝑓(1)
(cid:314)(cid:296)(cid:207) (cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
𝑓(𝑥) >0 ∞
(cid:199)(cid:200) >0 (cid:85)(cid:41)(cid:214)1< <2(cid:85)
0< 1 𝑥2 1 <1
2𝑥−1 2
𝑥
(cid:199)(cid:200)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)𝑥 (cid:41)−(cid:385)𝑥(cid:207)(1,2).
17(cid:142)(cid:234)22-23(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:351)(cid:352)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13),(cid:231) 1 = 4 (cid:142)
2 2 5
2𝑎𝑥+𝑏
(1)(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56); 𝑓 𝑥 𝑥 +𝑏𝑥+𝑎 −1,1 𝑓
(2)(cid:251) ( 𝑓 𝑥)(cid:133),(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33),(cid:343)(cid:51)(cid:52);
(3)(cid:41)(cid:68)
𝑥∈
(cid:69)(cid:56)
−1,1
( +1)+
1𝑓 𝑥
<0(cid:142)
2
𝑓 2𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)(cid:28)(1)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:188)(cid:214) (0)=0,(cid:100)(cid:73) 1 = 4 (cid:277)(cid:278)(cid:188)(cid:214) ( )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56);
2 5
(2)(cid:143)(cid:35)(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:33),(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:144) 𝑓 (cid:99)(cid:51)(cid:52),(cid:143)(cid:212)(cid:47) 𝑓 ,(cid:169)(cid:459)(cid:460),(cid:176)(cid:139)(cid:461)(cid:106) 𝑓 (cid:121)𝑥(cid:296)(cid:56)(cid:34)(cid:454)(cid:462),(cid:144)(cid:9),(cid:46)(cid:184)(cid:463)(cid:171)(cid:100)(cid:225)(cid:248)(cid:188).
(3)(cid:244) 1 (cid:327)(cid:461)(cid:331)(cid:464),(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:30)(cid:13),(cid:244)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:136)(cid:16)(cid:207) ( +1)< 1 ,(cid:169)(cid:42)(cid:43)(2)(cid:34)(cid:100)(cid:225)(cid:136)(cid:16)(cid:207) +1< 1
2 2 2
𝑓 𝑥 𝑓 2𝑥 𝑓 − 𝑥 2𝑥 −
1
,(cid:169)(cid:372)(cid:190) + (cid:274)(cid:126)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:124),(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:171)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:41)(cid:385).
2
𝑥 2𝑥 1,− 𝑥
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:41):(cid:170)(cid:21)(cid:98)(cid:188)(cid:54) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13),
(0)=0, 𝑓 𝑥
∴𝑓
(cid:248) =0, =0,
𝑏
𝑎 𝑏
1 = 4 , =1,
2 5
∵𝑓 ∴𝑎
( )= ;
2 1
2𝑥
∴𝑓 𝑥 𝑥 +(cid:234)2(cid:241)(cid:251) ( )(cid:133),(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159),
(cid:51)(cid:52)(cid:313)(cid:256)𝑥:∈ −1,1 𝑓 𝑥
(cid:255) , (cid:207)( )(cid:190)(cid:34)(cid:266)(cid:98)(cid:196)(cid:121)(cid:13),(cid:231) < ,
1 2 1 2
2 2
𝑥 𝑥 −1,1 2 1 𝑥 𝑥
( ) ( ) =
2 1 2+1 2+1
2 1
𝑥 𝑥
∴𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 −
2( )( )
= 2 1 2 1 ,𝑥 𝑥
2 1 2 1
𝑥 2−𝑥 1−1𝑥 𝑥
𝑥 + 𝑥 +
>0, , ( ),
2 1 1 2
∵𝑥 −𝑥 > 𝑥 𝑥 ∈ >−10,,1
2 1 1 2
∴𝑥(−𝑥) (0,1)−>𝑥0𝑥,
2 1
(cid:252)∴(cid:30)𝑓 𝑥(cid:13) −(𝑓)(cid:126)𝑥 ( )(cid:190)(cid:207)(cid:159)(cid:30)(cid:13);
(cid:234)3(cid:241) 𝑓 𝑥 ( + − 1 1 ) ,1 + 1 <0,
2
∵𝑓 2𝑥 𝑓 𝑥
( +1)< 1 ,
2
∴𝑓
(
2
)
𝑥(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13) −
,
𝑓 𝑥
∵𝑓 ( 𝑥 +1)< 1 ,
2
∴𝑓 (cid:251)2𝑥 ( 𝑓 )(cid:133)− ,(cid:30)𝑥(cid:13) ( )(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159),
< +1<1
∵ 𝑥∈ −1,1 𝑓 𝑥
1
< <1
,
−1 2𝑥2 1
+1<
−1 − 𝑥 2
∴
2𝑥 2− 𝑥
< < ,
5
∴−1 𝑥 −
(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207) 2 (cid:142)
5
1 ∴ 8(cid:142)(cid:234)2023·(cid:285)(cid:236)·(cid:223)(cid:238)−1(cid:239),−(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:96)(cid:13) (cid:216)(cid:198) + + = (cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:231)(cid:251) <0(cid:133)(cid:85)
>0. 𝑓 𝑥 𝑥,𝑦 𝑓(𝑥−𝑦) 𝑓(𝑥 𝑦) 𝑓(2𝑥) 𝑥
𝑓(1()𝑥(cid:40)) (cid:34)(cid:47);
(2)(cid:35)𝑓(cid:36)(0)( )(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:343)(cid:51)(cid:52);
(3)(cid:41)(cid:3)𝑓(cid:187)𝑥(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56): 2 + + + + >0.
(cid:22)(cid:41)(cid:21)(cid:137)(cid:243)𝑥 (cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:42)𝑓(cid:43)𝑥(cid:21)−(cid:98)(𝑎(cid:85)(cid:276)2)𝑥= 𝑓(𝑎=0(cid:85)𝑦)(cid:248)(cid:188)𝑓((cid:40)𝑎−(cid:214)𝑦) =0(cid:148)
(cid:234)2(cid:241)(cid:276) =0(cid:85)(cid:214)(cid:215) = 𝑥 (cid:85)0(cid:199),𝑦(cid:200) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)𝑓(cid:85)(0(cid:126))(cid:100)(cid:73)(cid:21)(cid:98)(cid:95)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:95)(cid:35)(cid:144)(cid:146)(cid:141)(cid:85)(cid:248)
(cid:188)(cid:40)(cid:41)(cid:148)𝑥 𝑓(−𝑦) −𝑓(𝑦) 𝑓 𝑥
(cid:234)3(cid:241)(cid:16)(cid:405)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:207) 2 + > (cid:85)(cid:100)(cid:73)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:362)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:136)(cid:16)(cid:207) 2
𝑓 𝑥 −(𝑎 2)𝑥 𝑓(−2𝑎) 𝑓 𝑥 𝑥+ < (cid:85)(cid:100)(cid:73)(cid:120)(cid:465)(cid:181)(cid:247)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:141)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:41).
(cid:22)−((cid:41)𝑎(cid:249)2(cid:250))𝑥(cid:217)(cid:28)−(cid:234)2𝑎1(cid:241)(cid:41)(cid:10)(cid:296)(cid:207)(cid:30)(cid:13) (cid:58)(cid:266)(cid:98)(cid:96)(cid:13) (cid:216)(cid:198) + + = (cid:210)(cid:211)(cid:85)
(cid:276) = =0(cid:85)(cid:164) + = 𝑓(𝑥(cid:85)) (cid:199)(cid:200) =𝑥,0𝑦. 𝑓(𝑥−𝑦) 𝑓(𝑥 𝑦) 𝑓(2𝑥)
(cid:234)𝑥2(cid:241)0,𝑦 𝑓(0) 𝑓(0) 𝑓(0) 𝑓(0)
(cid:41)(cid:10)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:207)R(cid:190)(cid:34)(cid:161)(cid:30)(cid:13).
(cid:51)(cid:52):(cid:276) 𝑓=𝑥0(cid:85)(cid:164) + = =0(cid:85)(cid:199)(cid:200) = (cid:85)(cid:252) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13).
(cid:266)(cid:212) ,𝑥 R(cid:85)(cid:231)𝑓(−<𝑦) (cid:85)𝑓((cid:164)𝑦) 𝑓(0<) 0(cid:85) 𝑓(−𝑦) −𝑓(𝑦) 𝑓 𝑥
1 2 1 2 1 2
(cid:296)(cid:207)𝑥(cid:251)𝑥<∈0(cid:133)(cid:85) 𝑥 >𝑥0(cid:85)(cid:199)(cid:200)𝑥 −(𝑥 )>0(cid:85)
1 2
𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 −𝑥
(cid:199)(cid:200) ( ) ( )= ( )+ ( )= 1 2+ 1 2 + 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥
= ( 𝑓 𝑥 − ) 𝑓 > 𝑥 0(cid:85)(cid:248) 𝑓 ( 𝑥 )> 𝑓 − ( 𝑥 )(cid:85)(cid:199) 𝑓 (cid:200) ( )(cid:119)R(cid:190)(cid:34)(cid:161) 𝑓 (cid:30)(cid:13). −
1 2 1 2
(cid:234)3𝑓(cid:241)𝑥 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:41)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:98)(cid:85)(cid:188)(cid:214) 2 + > + + = = (cid:85)
(cid:170)(cid:234)2(cid:241)(cid:54) ( )(cid:126)R(cid:190)𝑓(cid:31)𝑥(cid:32)−(cid:242)((cid:161)𝑎 (cid:85)2(cid:199))𝑥(cid:200) 2−[𝑓(+𝑎 𝑦)< 𝑓(𝑎(cid:85)−𝑦)] −𝑓(2𝑎) 𝑓(−2𝑎)
(cid:248) 2 +𝑓 𝑥 + <0(cid:85)(cid:188)(cid:214) 𝑥 −(𝑎<20)(cid:85)𝑥 −2𝑎
(cid:251)𝑥>−(2𝑎(cid:133)(cid:85)2(cid:163))𝑥(cid:68)(cid:69)2𝑎(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)(𝑥−2(cid:148))(𝑥−𝑎)
(cid:251)𝑎=2(cid:133)(cid:85)(cid:163)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)(2(cid:148),𝑎)
(cid:251)𝑎<2(cid:133)(cid:85)(cid:163)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:34)(cid:41)(cid:385)(cid:207)∅ .
19𝑎(cid:142)(cid:234)2023·(cid:190)(cid:235)(cid:401)(cid:315)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)((cid:54)𝑎,2(cid:30))(cid:13) ( )= 2 (cid:85) R.
(1)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:148) 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑎𝑥−𝑎 𝑎∈
(2)(cid:226)(cid:30)(cid:13) (𝑓)𝑥= ( )(cid:126) =1(cid:466)(cid:198)(cid:191)(cid:47)(cid:85)(cid:231)(cid:3)(cid:187)x(cid:34)(cid:146)(cid:217) ( )= (cid:198)3(cid:121)(cid:68)(cid:158)(cid:34)(cid:96)(cid:42)(cid:85)(cid:40)(cid:96)(cid:13)m(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)
(cid:282)(cid:148) 𝐹 𝑥 𝑥⋅𝑓 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥 𝑚
(3)(cid:317) ( )= e (cid:234)e(cid:119)(cid:378)(cid:294)(cid:58)(cid:13)(cid:34)(cid:467)(cid:13)(cid:241).(cid:226)(cid:58)(cid:266)(cid:98) (cid:57) [0,e](cid:231) > (cid:133)(cid:85)(cid:274)(cid:198)| ( ) ( )|<
1 2 1 2 1 2
𝑥
| ( 𝑔) 𝑥 ( −)|(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:40)(cid:96)(cid:13)a(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282). 𝑥 𝑥 ∈ 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
1 2
(cid:22)𝑔(cid:41)𝑥(cid:21)−(cid:137)𝑔(cid:243)𝑥(cid:28)(cid:234)1(cid:241)(cid:42)(cid:43)(cid:181)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:200)(cid:37)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:35)(cid:36)(cid:148)
(cid:234)2(cid:241)(cid:42)(cid:43)(cid:191)(cid:47)(cid:85)(cid:40)(cid:171) =1(cid:85)(cid:214)(cid:215) = 3 2 (cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:152)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:85)(cid:35)(cid:36) = (cid:198)3(cid:121)(cid:68)(cid:158)(cid:34)(cid:96)(cid:42)(cid:133)(cid:85)
(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:148) 𝑎 𝐹(𝑥) 𝑥 −𝑥 −𝑥 𝐹(𝑥) 𝑚 𝑚
(cid:234)3(cid:241)(cid:42)(cid:43) (cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:220)(cid:21)(cid:136)(cid:16)(cid:207) ( ) ( )< ( ) ( )< ( ) ( )(cid:85)(cid:344)(cid:15)(cid:214)(cid:85)
1 2 1 2 2 1
1 )+ 𝑔( 1 𝑥))< 2 )+ 2 ) (cid:85)(cid:81)(cid:332) 𝑔 (cid:35) 𝑥 (cid:36)(cid:30) −𝑔 (cid:13) 𝑥 + 𝑓 𝑥 − (cid:95) 𝑓 (cid:30) 𝑥 (cid:13) 𝑔 𝑥 −𝑔 (cid:126) 𝑥 [0,e](cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:68)(cid:69)
)> )
1 1 2 2
𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥 )−𝑔(𝑥 𝑓(𝑥 )−𝑔(𝑥(cid:56)(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:85)(cid:81)(cid:394)(cid:44)(cid:13)(cid:85)(cid:248)(cid:188)(cid:40)(cid:171) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282).
𝑎
(cid:22)(cid:41)(cid:249)(cid:250)(cid:217)(cid:28)(cid:234)1(cid:241) ( )= 2 (cid:85)(cid:296)(cid:207) (cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:207) = (cid:85)(cid:252)(cid:251) =0(cid:133)(cid:85) (cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:230)(cid:207) (cid:230)(cid:85)(cid:312)(cid:133)
2
𝑎
(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:148) 𝑓 0(cid:133)𝑥(cid:85) 𝑥 − (cid:207) 𝑎𝑥 (cid:390) − (cid:48) 𝑎 (cid:390)(cid:49)(cid:30) 𝑓 (cid:13) (𝑥 . ) 𝑥 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑦
(cid:234)𝑓(𝑥2)(cid:241) ( )= 𝑎(≠)(cid:126) =𝑓1((cid:466)𝑥)(cid:198)(cid:191)(cid:47)(cid:85)(cid:296)(cid:207) = 3 2 (cid:85)(cid:164) =3 2 (cid:85)(cid:252)
′ ′
(1)=𝐹 𝑥 𝑥⋅=𝑓0𝑥(cid:85)(cid:214)𝑥 =1(cid:148) 𝐹(𝑥) 𝑥 −𝑎𝑥 −𝑎𝑥 𝐹(𝑥) 𝑥 −2𝑎𝑥−𝑎 𝐹
=3−32𝑎−2𝑎 (cid:85)(cid:312)(cid:133)𝑎(cid:85) =3 2 = +1)(cid:85)
′
𝐹(𝑥) 𝑥 −𝑥1−𝑥 𝐹(𝑥) 𝑥 −2𝑥−1 (𝑥−1)1(3𝑥
(cid:252) )(cid:95)(1,+ )(cid:190)(cid:85) (cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85) ,1)(cid:190)(cid:85) (cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)
3 3
𝑥∈(−∞,− ∞ 𝐹(𝑥) 𝑥∈(− 𝐹(𝑥)
1
(cid:296)(cid:207)(cid:3)(cid:187)x(cid:34)(cid:146)(cid:217) ( )= (cid:198)3(cid:121)(cid:68)(cid:158)(cid:34)(cid:96)(cid:42)(cid:85)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:251) < < )(cid:133)(cid:85)(cid:227)(cid:228)(cid:21)(cid:98)(cid:85)(cid:214)
3
𝐹 𝑥 𝑚 𝐹(1) 𝑚 𝐹(−
< < 5 (cid:85)(cid:252) 5
27 27
− (cid:234) 1 3(cid:241) 𝑚 ( )= e (cid:85) 𝑚∈ −(cid:31)1,(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:58)(cid:266)(cid:98) (cid:57) [0,e](cid:231) > (cid:133)(cid:85)
1 2 1 2
𝑥
𝑔 𝑥 )−>0(cid:85)𝑔(𝑥) )<0(cid:85) 𝑥 𝑥 ∈ 𝑥 𝑥
2 1 1 2
(cid:164)𝑔((cid:58)𝑥 (cid:266))−(cid:98)𝑔(𝑥(cid:57) [𝑔0,(e𝑥](cid:231))−𝑔(>𝑥 (cid:133)(cid:85)(cid:274)(cid:198)| ( ) ( )|<| ( ) ( )|(cid:210)(cid:211)(cid:85)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:136)(cid:16)(cid:207)(cid:85)𝑥(cid:58)(cid:266)𝑥(cid:98)∈(cid:57) 𝑥[0,e](cid:231)𝑥 > (cid:133)(cid:85)𝑓(cid:274)𝑥(cid:198)−𝑓( 𝑥) ( 𝑔)𝑥< −(𝑔 )𝑥 ( )< ( ) ( )(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:248)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1 )+ 1 )<𝑥 𝑥 2 )+∈ 2 ) (cid:85) 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑥
)> )
1 1 2 2
𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥
(cid:199)𝑓(cid:200)(𝑥(cid:85))(cid:30)−𝑔(cid:13)(𝑥 +𝑓(𝑥 )−(cid:126)𝑔[(0𝑥,e](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:30)(cid:13) (cid:126)[0,e](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)
(cid:30)(cid:13) 𝑓+(𝑥) 𝑔(cid:126)(𝑥[0),e](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:248) +𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥0)(cid:126)[0,e](cid:190)(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)
′ ′
①(cid:314)(cid:296)(cid:207)(cid:85)𝑓(𝑥() )=𝑔(𝑥2) (cid:85) ( )= e (cid:85)(cid:252)𝑓(𝑥) +𝑔(𝑥)≤= e 0(cid:85)
𝑥 𝑥
′ ′
(cid:214) e 𝑓 𝑥(cid:126)[0𝑥,e−](cid:190)𝑎𝑥(cid:216)−(cid:210)𝑎(cid:211)𝑔(cid:85)𝑥(cid:276) − = 𝑓e(𝑥(cid:85)) 𝑔(𝑥=) 2e𝑥−(cid:85)𝑎(cid:276)− ≤ =0(cid:85)(cid:214) =ln2(cid:85)(cid:199)(cid:200)(cid:85) (cid:126)[0,ln2)
𝑥 𝑥 𝑥
′ ′
(cid:190)2(cid:31)𝑥(cid:32)−(cid:242)≤(cid:159)𝑎(cid:85)(cid:126)(ln2,e](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)ℎ(cid:85)(𝑥(cid:252)) 2𝑥− =ℎ(l𝑥n)2)=2−2ln (cid:85)ℎ(cid:252)(𝑥) 2ln 𝑥(cid:148) ℎ(𝑥)
max
(cid:30)(cid:13) (cid:126)[0,e](cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:248)ℎ(𝑥) ℎ( 0(cid:126)[0,2e]−(cid:190)2(cid:216)(cid:210)𝑎(cid:211)≥(cid:85) 2−2
′ ′
②(cid:314)(cid:296)(cid:207)(cid:85)𝑓(𝑥()−)𝑔=(𝑥)2 (cid:85) ( )= e (cid:85)𝑓(cid:252)(𝑥)−𝑔(𝑥)≥ = +e 0(cid:85)(cid:214)
𝑥 𝑥
′ ′
+e 𝑓 (cid:126)𝑥 [0,e𝑥](cid:190)−𝑎(cid:216)𝑥(cid:210)−𝑎(cid:211)(cid:85)𝑔(cid:296)𝑥(cid:207)(cid:30)−(cid:13) = 𝑓(+𝑥)e−(cid:126)𝑔([𝑥0),e](cid:190)2(cid:207)𝑥−(cid:31)𝑎(cid:32)(cid:242)(cid:159)≥(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:252) =1(cid:85)(cid:312)(cid:133)(cid:85) 1(cid:148)
min
𝑥 𝑥
(cid:72)2𝑥(cid:190)(cid:199)(cid:404)≥(cid:85)𝑎(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:281)(cid:282)(cid:207)(cid:10)[2ln 𝑦 2]𝑥. 𝑦 𝑎≤
𝑎 2−2,1
