文档内容
专题 2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性【十二大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:28)................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:28)....................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:46)(cid:47)(cid:28)....................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:28)................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:28)....................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:47)(cid:28)....................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28)........................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)(cid:28)............................................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:28)....................................................................................................................8
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:28)..................................................................................................................8
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:70)(cid:71)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28)..............................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:30)(cid:13)(cid:33)(cid:63)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................10
1(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)
(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:40) (cid:77)(cid:21)(cid:78)(cid:79) (cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:55)
(1)(cid:82)(cid:83)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:86)(cid:27)(cid:87)
2021(cid:108)I(cid:109)(cid:10)(cid:110)8(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:9)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32) (cid:112)(cid:113)(cid:106)(cid:108)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:80)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:85)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:24)(cid:25)
2021(cid:108)(cid:111)(cid:109)(cid:10)(cid:110)12(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:33)(cid:57)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:57)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:85)(cid:15) (cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:75)(cid:85)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)
2022(cid:108)I(cid:109)(cid:10)(cid:110)12(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:41)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:94)(cid:27)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99) (cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:123)(cid:25)(cid:124)(cid:125)(cid:85)(cid:122)
2022(cid:108)Ⅱ(cid:109)(cid:10)(cid:110)8(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(2)(cid:100)(cid:73)(cid:101)(cid:102)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:103)(cid:41)(cid:48) (cid:75)(cid:3)(cid:4)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:100)(cid:73)(cid:126)
2023(cid:108)I(cid:109)(cid:10)(cid:110)4(cid:21)(cid:85)5(cid:81)(cid:57)
(cid:49)(cid:33)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:95)(cid:106) (cid:120)(cid:127)(cid:85)(cid:50)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:71)(cid:57)(cid:30)(cid:13)(cid:128)(cid:75)(cid:95)(cid:68)(cid:69)(cid:56)
(cid:110)11(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(cid:107)(cid:98)(cid:99) (cid:129)(cid:100)(cid:73)(cid:130)(cid:131)(cid:25)(cid:132)(cid:85)(cid:41)(cid:21)(cid:133)(cid:76)(cid:134)(cid:81)(cid:135)(cid:27)(cid:136)
2023(cid:108)Ⅱ(cid:109)(cid:10)(cid:110)4(cid:21)(cid:85)5(cid:81)
(3)(cid:103)(cid:41)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:95) (cid:16)(cid:137)(cid:138)(cid:95)(cid:13)(cid:139)(cid:100)(cid:73)(cid:137)(cid:138)
(cid:106)(cid:107)(cid:98)(cid:99)
(cid:22)(cid:54)(cid:140)(cid:75)1 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:40)(cid:141)(cid:28)
1(cid:142)(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)
(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:85)(cid:74)(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:85)(cid:126)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:124)(cid:40)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39).
2(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:146)(cid:141)(cid:10)(cid:147)(cid:144)(cid:99)(cid:141)(cid:148)(cid:149)(cid:84)(cid:71)(cid:141)(cid:148)(cid:150)(cid:45)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:148)(cid:151)(cid:152)(cid:13)(cid:141).(2)(cid:30)(cid:13)y=f(g(x))(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:74)(cid:42)(cid:43)(cid:153)(cid:154)(cid:30)(cid:13)y=f(t)(cid:95)(cid:124)(cid:154)(cid:30)(cid:13)t=g(x)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:155)(cid:156)“(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)”(cid:34)
(cid:163)(cid:164).
3(cid:142)(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:117)(cid:146)(cid:141)(cid:10)
(1)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:141)(cid:10)(cid:143)(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:169)(cid:170)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:46)(cid:47).
(2)(cid:84)(cid:71)(cid:141)(cid:10)(cid:143)(cid:94)(cid:171)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:169)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:46)(cid:24)(cid:75)(cid:57)(cid:46)(cid:175)(cid:75)(cid:85)(cid:40)(cid:171)(cid:46)(cid:47).
(3)(cid:167)(cid:117)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:141)(cid:10)(cid:143)(cid:58)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:176)(cid:139)(cid:85)(cid:177)(cid:178)(cid:101)(cid:179)“(cid:120)(cid:180)(cid:181)(cid:144)(cid:165)(cid:129)(cid:69)”(cid:34)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:167)(cid:117)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:40)(cid:171)(cid:46)(cid:47).
4(cid:142)(cid:185)(cid:186)(cid:30)(cid:13)(cid:40)(cid:46)(cid:47)(cid:10)
(cid:58)(cid:187)(cid:65)(cid:185)(cid:186)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:188)(cid:135)(cid:27)(cid:152)(cid:13)(cid:85)(cid:40)(cid:171)(cid:126)(cid:189)(cid:144)(cid:38)(cid:39)(cid:190)(cid:34)(cid:191)(cid:47)(cid:85)(cid:46)(cid:184)(cid:100)(cid:73)(cid:192)(cid:75)(cid:47)(cid:85)(cid:40)(cid:171)(cid:46)(cid:47).
(cid:22)(cid:54)(cid:140)(cid:75)2 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:37)(cid:174)(cid:74)(cid:27)(cid:28)
1(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:85)(cid:174)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:121)(cid:123)(cid:179)(cid:182)(cid:183)(cid:10)
(1)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:3)(cid:187)(cid:163)(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:197)(cid:119)(cid:30)(cid:13)(cid:101)(cid:198)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:76)(cid:68)(cid:134)(cid:81)(cid:182)(cid:183)(cid:85)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:143)(cid:25)(cid:202)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:148)
(2)(cid:35)(cid:36)f(x)(cid:50)f(-x)(cid:119)(cid:203)(cid:101)(cid:198)(cid:69)(cid:204)(cid:3)(cid:205)(cid:85)(cid:126)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:135)(cid:206)(cid:193)(cid:85)(cid:188)(cid:200)(cid:136)(cid:16)(cid:207)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:208)(cid:69)(cid:204)(cid:3)(cid:205)
(cid:56)(f(x)+f(-x)=0((cid:48)(cid:30)(cid:13))(cid:209)f(x)-f(-x)=0((cid:49)(cid:30)(cid:13)))(cid:119)(cid:203)(cid:210)(cid:211).
2(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:74)(cid:27)
(1)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:188)(cid:40)(cid:30)(cid:13)(cid:47)(cid:209)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:85)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:3)(cid:213)(cid:126)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:136)(cid:16)(cid:207)(cid:40)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:39)(cid:190)(cid:34)
(cid:30)(cid:13)(cid:209)(cid:214)(cid:215)(cid:44)(cid:13)(cid:34)(cid:216)(cid:69)(cid:56)(cid:85)(cid:45)(cid:27)(cid:146)(cid:217)(cid:137)(cid:138)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:34)(cid:47).
(2)(cid:218)(cid:30)(cid:13)(cid:84)(cid:71)(cid:10)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:188)(cid:218)(cid:171)(cid:30)(cid:13)(cid:126)(cid:174)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:190)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:85)(cid:100)(cid:73)(cid:106)(cid:107)(cid:219)(cid:172)(cid:40)(cid:41)(cid:129)(cid:3)(cid:220)(cid:21).
3(cid:142)(cid:221)(cid:222)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:30)(cid:13)(cid:223)(cid:29)
(1)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:10)
ax +1 ax -1
(cid:147)(cid:30)(cid:13) f(x)=m( )(x¹0)(cid:209)(cid:30)(cid:13) f(x)=m( )(cid:142)
ax -1 ax +1
(cid:149)(cid:30)(cid:13) f(x)=±(ax -a-x)(cid:142)
x+m 2m x-m 2m
(cid:150)(cid:30)(cid:13) f(x)=log =log (1+ )(cid:209)(cid:30)(cid:13) f(x)=log =log (1- )
a x-m a x-m a x+m a x+m
(cid:151)(cid:30)(cid:13) f(x)=log ( x2+1+x)(cid:209)(cid:30)(cid:13) f(x)=log ( x2+1-x)(cid:142)
a a
(2)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:10)
(cid:147)(cid:30)(cid:13) f(x)=±(ax +a-x)(cid:142)
mx
(cid:149)(cid:30)(cid:13) f(x)=log (amx +1)- (cid:142)
a 2
(cid:150)(cid:30)(cid:13) f(|x|)(cid:62)(cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:224)(cid:30)(cid:13)(cid:142)
(cid:151)(cid:221)(cid:13)(cid:30)(cid:13).
(cid:22)(cid:54)(cid:140)(cid:75)3 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:221)(cid:27)(cid:100)(cid:225)(cid:28)
1(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:221)(cid:27)(cid:100)(cid:225)(a(cid:119)(cid:68)(cid:207)0(cid:34)(cid:221)(cid:13))
(1)(cid:226)f(x+a)=f(x)(cid:85)(cid:164)T=a(cid:148)
(2)(cid:226)f(x+a)=f(x-a)(cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)(3)(cid:226)f(x+a)=-f(x)(cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)
(4)(cid:226)f(x+a)= (cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)
(5)(cid:226)f(x+a)= (cid:85)(cid:164)T=2a(cid:148)
(6)(cid:226)f(x+a)=f(x+b)(cid:85)(cid:164)T=|a-b|(a≠b);
2(cid:142)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:165)(cid:121)(cid:221)(cid:27)(cid:100)(cid:225)
(1)(cid:226)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:227)(cid:228)f(a+x)=f(b-x)(cid:85)(cid:164)y=f(x)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:219)(cid:229) (cid:58)(cid:59).
(2)(cid:226)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:227)(cid:228)f(a+x)=-f(b-x)(cid:85)(cid:164)y=f(x)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75) (cid:58)(cid:59).
(3)(cid:226)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:227)(cid:228)f(a+x)+f(b-x)=c(cid:85)(cid:164)y=f(x)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75) (cid:58)(cid:59).
3(cid:142)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:205)
(1)(cid:226)(cid:30)(cid:13)y= f(x)(cid:198)(cid:196)(cid:182)(cid:58)(cid:59)(cid:230)x=a(cid:85)x=b(a0)(cid:190)(cid:85)(cid:47)(cid:145)(cid:207)R(cid:34)(cid:30)(cid:13) (cid:227)(cid:228)(cid:10)
(−𝑚,𝑚)(𝑚 𝑓(𝑥) ①
(cid:253)0< < (cid:133)(cid:85) >0(cid:148) (cid:58)(cid:187)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:124)(cid:254)(cid:98)(cid:34)(cid:96)(cid:13)a(cid:57)b(cid:255)(cid:227)(cid:228)(cid:10) + = (cid:142)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)
A(cid:142) 𝑥 𝑚 =1 𝑓(𝑥) ② 𝑓(𝑎 𝑏) 1−𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)
B(cid:142)𝑓(0), < < < ( )> ( )
1 2 1 2 1 2
C(cid:142)∀(cid:30)𝑥(cid:13)𝑥 ,−𝑚(cid:126)(cid:38)𝑥(cid:39) 𝑥 (cid:190)𝑚(cid:31),𝑓(cid:32)𝑥(cid:242)(cid:161) 𝑓 𝑥
D(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:126)(cid:38)(cid:39)(0,𝑚) (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:42)𝑓(cid:43)(𝑥(cid:30)) (cid:13)(cid:34)(cid:31)((cid:32)−𝑚(cid:33),𝑚(cid:40))(cid:44)(cid:13)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:243)(cid:244)(cid:256)(cid:257)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= 2+ +1(cid:126)(2,6)(cid:190)(cid:68)(cid:31)(cid:32)(cid:85)(cid:164) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142)(2,6) 𝑓 𝑥B(cid:142)(−𝑥 ,2𝑎]𝑥 [6,+ ) 𝑎
C(cid:142)(4,12) D(cid:142)(−∞,4]∪[12,+∞ )
(cid:22)(cid:176)(cid:56)2-1(cid:28)(cid:234)2023·(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:263)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:245) (cid:85)(cid:164)“−∞> ∪”(cid:119)“(cid:30)(cid:13)∞( )=2 2+ +1(cid:126)(2,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)
(cid:159)”(cid:34)(cid:234) (cid:241) 𝑎∈𝑅 𝑎 −2 𝑓 𝑥 𝑥 4𝑎𝑥 ∞
A(cid:142)(cid:134)(cid:81)(cid:68)(cid:123)(cid:76)(cid:182)(cid:183) B(cid:142)(cid:123)(cid:76)(cid:68)(cid:134)(cid:81)(cid:182)(cid:183)
C(cid:142)(cid:134)(cid:76)(cid:182)(cid:183) D(cid:142)(cid:264)(cid:68)(cid:134)(cid:81)(cid:265)(cid:68)(cid:123)(cid:76)(cid:182)(cid:183)
2+ 1
(cid:22)(cid:176)(cid:56)2-2(cid:28)(cid:234)2023·(cid:266)(cid:250)(cid:267)(cid:268)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164) (cid:34)(cid:212)(cid:47)
+ >1
−𝑥 2𝑎𝑥,𝑥≤
𝑓(𝑥) 𝑅 𝑎
(cid:258)(cid:259)(cid:119)(cid:234) (cid:241) (3−𝑎)𝑥 2,𝑥
A(cid:142)[1,3) B(cid:142)[1,2] C(cid:142)[2,3) D(cid:142)(0,3)
(cid:22)(cid:176)(cid:56)2-3(cid:28)(cid:234)2023·(cid:263)(cid:269)(cid:270)(cid:271)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) (cid:85)(cid:272)(cid:126)(cid:221)(cid:13) ( >0)(cid:85)(cid:177)(cid:214)(cid:58)(cid:254)(cid:98) (cid:85)(cid:273)
| 𝑓| 𝑥 𝑅 𝑡 𝑡 𝑥∈𝑅
(cid:198) + = (cid:85)(cid:253) [ )(cid:133)(cid:85) = (cid:142)(cid:226) ( )(cid:126)(cid:38)(cid:39)(3,4)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164)t(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑡
𝑓(𝑥 𝑡) 𝑓(𝑥) 𝑥∈ 0,𝑡 𝑓(𝑥) 𝑥− 𝑓 𝑥
8 8
A(cid:142)3 B(cid:142) C(cid:142)2 D(cid:142)
3 5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:46)(cid:47)(cid:28)
1 1
(cid:22)(cid:233)3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:190)(cid:274)·(cid:120)(cid:223)(cid:241).(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:275)(cid:276)x(cid:277) (cid:126) ](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
3
𝑥 [−2,−
3 8
A(cid:142) B(cid:142)(cid:276) C(cid:142)(cid:276)2 D(cid:142)2
2 3
(cid:22)(cid:176)(cid:56)3-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:263)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:253)(cid:96)(cid:13) (cid:176)(cid:16)(cid:133)(cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )=| 2+ | [ ](cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207)
(cid:234) (cid:241) 𝑡 𝑓 𝑥 𝑥 𝑡 ,𝑥∈ −4,4
A(cid:142)2 B(cid:142)4 C(cid:142)6 D(cid:142)8(cid:22)(cid:176)(cid:56)3-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:281)(cid:244)(cid:282)(cid:278)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = + + + (cid:85)(cid:174)(cid:193) > (cid:85)(cid:283) (cid:207)
4𝑎
(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:85)(cid:164)(cid:253) =2(cid:133)(cid:85) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑏,𝑥∈[𝑏, ∞) 𝑏 0,𝑎∈𝑅 𝑀 𝑓(𝑥)
1 𝑀 𝑎 1 1 1
A(cid:142) > B(cid:142) < C(cid:142) > D(cid:142) <
3 3 4 4
𝑎 𝑎 𝑎 + <0 𝑎
(cid:22)(cid:176)(cid:56)3-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:263)(cid:269)(cid:284)(cid:99)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ={
2 0
(cid:85)(cid:226)(cid:96)(cid:13) (cid:85)(cid:164)
1−|𝑥 1|,𝑥
𝑓(𝑥) 𝑚∈[−2,0] |𝑓(𝑥)−𝑓(−1)|
(cid:126)(cid:38)(cid:39) +2](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:47)(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:119)(cid:234) (cid:241) 𝑥 −2𝑥,𝑥≥
A(cid:142)[𝑚[1,𝑚,4] B(cid:142)[2,4] C(cid:142)[1,3] D(cid:142)[1,2]
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)4(cid:28)(cid:234)2024·(cid:285)(cid:286)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) (cid:85) ( ) ( ) ( )= (cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142) (0)=0 𝑓 𝑥B(cid:142) ( )=1𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 −𝑓 𝑥 𝑥𝑦−𝑦
C(cid:142)𝑓( +1)(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13) D(cid:142)𝑓(−1+1)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:176)(cid:56)4-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:122)(cid:287)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:245)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:85)(cid:164)(cid:246)(cid:247)(cid:30)(cid:13)(cid:193)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
2
2−𝑥
A(cid:142) ( )+1 𝑓 𝑥 B(cid:142)+𝑥 ( )+2
C(cid:142)𝑓(𝑥−+22)+2 D(cid:142)𝑓(𝑥−+22)+1
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ( ) ( )
(cid:22)(cid:176)(cid:56)4-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:262)(cid:263)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( ,0) (0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) ( )= + +
𝑓 −𝑥 𝑓 −𝑦
1 −∞ ∪ ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥𝑦 𝑦 𝑥
(cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
𝑥𝑦
A(cid:142) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
B(cid:142)𝑓(𝑥)(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)( ,0∞)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
C(cid:142)𝑓(𝑥)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)(−0,∞+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
D(cid:142)𝑓(𝑥)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:231)(cid:126)( ,0∞)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
(cid:22)(cid:176)(cid:56)4𝑓-3𝑥(cid:28)(cid:234)2024·(cid:262)(cid:236)(cid:23)−(cid:288)∞·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) ( + +1)= ( )+ ( )(cid:85)(cid:164)(cid:246)(cid:247)(cid:100)(cid:225)(cid:120)(cid:144)(cid:180)(cid:168)(cid:34)
(cid:119)(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦
A(cid:142) ( )+1(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13) B(cid:142) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)
C(cid:142)𝑓(𝑥) (cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13) D(cid:142)𝑓(𝑥−+11)(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5𝑓 𝑥(cid:42)−(cid:43)1(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:44)(cid:13)(cid:28) 𝑓 𝑥
1
(cid:22)(cid:233)5(cid:28)(cid:234)2024·(cid:266)(cid:250)(cid:250)(cid:278)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:47)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑥
𝑓 𝑥 𝑎− −1 𝑎∈𝐑 𝑎
1 1
A(cid:142) B(cid:142) C(cid:142)1 D(cid:142)
2 2
− −1( 1)( )
(cid:22)(cid:176)(cid:56)5-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:252)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) =(cid:234) (cid:241)
𝑥+ 𝑥+𝑎
A(cid:142)1 B(cid:142) 𝑓 C 𝑥(cid:142)2 𝑥 D(cid:142) 𝑎
−1 3+2 2 0 −2
(cid:22)(cid:176)(cid:56)5-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:292)(cid:293)(cid:249)(cid:294)(cid:294)(cid:295)(cid:296)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54) ( )= (cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:164) =(cid:234) (cid:241)
3+ 2 <0
𝑥 𝑥 ,𝑥≥
A(cid:142) B(cid:142)2 C(cid:142) 𝑓 1 𝑥 𝑥 𝑎𝑥 ,𝑥 D(cid:142) 𝑎
−2 −1
(cid:22)(cid:176)(cid:56)5-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:297)(cid:298)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:253) <0(cid:133)(cid:85) ( )= 2+ (cid:85)(cid:226)
𝑎
(3)= (cid:85)(cid:164) =(cid:234) (cid:241) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑅 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
𝑓 −8 𝑎 1 1
A(cid:142) B(cid:142)3 C(cid:142) D(cid:142)
3 3
−3 −
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:47)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)6(cid:28)(cid:234)2024·(cid:281)(cid:250)(cid:299)(cid:300)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:207)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:253) 0(cid:133)(cid:85) =2 + (cid:85)(cid:164)
𝑥
(cid:253) <0(cid:133)(cid:85) =(cid:234) (cid:241) 𝑓(𝑥) 𝑥≥ 𝑓(𝑥) 𝑥−1
𝑥A(cid:142)2 𝑓(𝑥) B(cid:142)2 + +1
−𝑥 −𝑥
C(cid:142) 2 −𝑥−1 D(cid:142) 2 𝑥+ +1
−𝑥 −𝑥
− −𝑥−1 − ( +𝑥2) 0
(cid:22)(cid:176)(cid:56)6-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:285)(cid:286)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:163)(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:231) (5)=1(cid:85)(cid:164)
( ) <0
𝑓 𝑥 ,𝑥≥
( )+ ( )+ ( )=(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 ℎ 𝑥 ,𝑥 𝑓 ℎ
−20A2(cid:142)2 ℎ −2023 Bℎ(cid:142)−02024 C(cid:142)1 D(cid:142)2
(cid:22)(cid:176)(cid:56)6−-21(cid:28)(cid:234)2024·(cid:301)(cid:235)(cid:250)(cid:298)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:226) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) ( +1)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:253)0< 1(cid:133)(cid:85)
( )=e (cid:85)(cid:164)(cid:253)2< 3(cid:133)(cid:85) ( )(cid:34)(cid:41)𝑓(cid:55)𝑥(cid:56)(cid:207)(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑥≤
𝑥−1
𝑓 𝑥 A(cid:142) = e 𝑥≤ 𝑓 𝑥 B(cid:142) = e +1
1−𝑥 𝑥
C(cid:142)𝑓(𝑥)=−e D(cid:142)𝑓(𝑥)=−e
𝑥−3 3−𝑥
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) − (1)
(cid:22)(cid:176)(cid:56)6-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:235)(cid:236)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85) ( )(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) ( ) ( )= (cid:85)(cid:164) =
(1)
𝑥 𝑓
(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑒 𝑔
A(cid:142)e2 1 B(cid:142)e2 C(cid:142) e2 D(cid:142)1 e2
e e 1 e2 e2
+ −1 1− +
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:33)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28) + 1−
(cid:22)(cid:233)7(cid:28)(cid:234)2024·(cid:302)(cid:236)(cid:303)(cid:304)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:58)(cid:254)(cid:98) (cid:273)(cid:198) ( +1)= ( )(cid:85)
(cid:253) ( )= (cid:133)(cid:85)(cid:164) (2023)(cid:69)(cid:187)(cid:234) (cid:241) 𝑅 𝑓 𝑥 𝑥∈𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥
𝑓A−(cid:142)32 −2 𝑓B(cid:142) C(cid:142)0 D(cid:142)
(cid:22)(cid:176)(cid:56)7-1(cid:28)(cid:234)2024·(cid:305)(cid:252)(cid:306)−(cid:118)2·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:126)x(cid:230)(cid:190)(cid:146)(cid:85)(cid:58)−4 R(cid:85)(cid:273)(cid:198)
𝑓(𝑥) ∀𝑥∈+2) = (cid:85)(cid:226) = (cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:219)(cid:229) =1(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:231) =1(cid:85)(cid:164)
𝑓(𝑥 +⋅𝑓(𝑥) 2𝑓(+1) 𝑦 =𝑓((cid:234)𝑥− 1 (cid:241)) 𝑥 𝑓(0)
𝑓(20A2(cid:142)3)3 𝑓(2024) 𝑓B(2(cid:142)0425) C(cid:142)5 D(cid:142)6
(cid:22)(cid:176)(cid:56)7-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:124)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:296)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) (2+ ) ( )= (cid:142)(cid:226)
( )(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:75)(2,1)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:231) (0)=0(cid:85)(cid:164) (1)+ (2)+ + (𝑓50𝑥)=(cid:234)𝑓 (cid:241) 𝑥 −𝑓 2−𝑥 4𝑥 𝑓
2𝑥−A3(cid:142)0 B(cid:142)50 𝑓 C(cid:142)𝑓2509 𝑓 ⋅⋅⋅ 𝑓D(cid:142)2499
(cid:22)(cid:176)(cid:56)7-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:312)(cid:313)(cid:236)(cid:134)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )、 ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:255)(cid:207)R(cid:85)(cid:30)(cid:13) +1(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)(cid:163)
(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:30)(cid:13) +1)(cid:34)(cid:84)(cid:71)(cid:3)(cid:187)y(cid:230)(cid:58)(cid:59)(cid:85) 𝑓 𝑥+2)𝑔+𝑥 +1)= =0𝑓(cid:85)(2(cid:164)𝑥−1) =
(cid:234) (cid:241) 𝑔(𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 −1,𝑓(−4) 𝑓(2030)−𝑔(2017)
A(cid:142) B(cid:142) C(cid:142)3 D(cid:142)4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8− 4(cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)(cid:28) −3
(cid:22)(cid:233)8(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:249)(cid:250)(cid:314)(cid:278)·(cid:61)(cid:315)(cid:241)(cid:245)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:231) ( +4)= ( )(cid:85)(cid:253) (0,4](cid:133)(cid:85) ( )
=2 2 (cid:85)(cid:226)(cid:58)(cid:187) ( ](cid:85)(cid:273)(cid:198) ( )
3𝑓
(cid:216)
𝑥
(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:164)t(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)
𝑓
(cid:259)
𝑥
(cid:119)(cid:234) (cid:241)
2𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥
2
𝑥 A(cid:142) −8 ( 𝑥 ] ∀𝑥 B ∈ (cid:142)− ( ∞,𝑡 ] 𝑓 𝑥 ≥ C − (cid:142)( ] D(cid:142)( ]
(cid:22)(cid:176)(cid:56)8-−1(cid:28)∞,(cid:234)−723-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)−·(cid:316)∞(cid:249),−(cid:271)5 (cid:252)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:245)(cid:30)(cid:13)−∞(,−)3(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:227)−(cid:228)∞,−(1)= ( )(cid:85)(cid:231)(cid:253) (0,2]
(cid:133)(cid:85) ( )= ( )(cid:142)(cid:226)(cid:58)(cid:254)(cid:98) ( ](cid:85)(cid:273)(cid:198) ( )𝑓 𝑥3(cid:85)(cid:164) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:119)𝑓(cid:234)𝑥 (cid:241)2𝑓 𝑥−2 𝑥∈
A 𝑓 (cid:142) 𝑥 𝑥 , 52−𝑥 𝑥∈ −∞,𝑚 B(cid:142) 𝑓 𝑥 ≤ , 7 𝑚
2 2
−∞ −∞
C(cid:142) , 9 D(cid:142) , 11
2 2
(cid:22)(cid:176)(cid:56)8- − 2(cid:28)∞(cid:234)2024·(cid:317)(cid:236)(cid:318)(cid:52)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:144)(cid:99)“(cid:30)(cid:13) = −∞ ( )(cid:119) (cid:190)(cid:34) (cid:319)(cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)” (cid:320)(cid:246): (cid:30)(cid:13) = ( )
D(cid:85)(cid:58)(cid:187)(cid:189)(cid:144)(cid:34)(cid:321)(cid:128)(cid:221)(cid:13) (cid:85)(cid:322)(cid:272)(cid:126)(cid:321)(cid:128)(cid:221)(cid:13) (cid:85)𝑦(cid:177)(cid:214)𝑓 (cid:144)𝑥 (cid:99)(cid:145)𝐷 (cid:124)(cid:34)𝑎 (cid:254)(cid:98)(cid:96)(cid:13) (cid:273)(cid:198) ( )= (𝑦+ 𝑓)(cid:216)𝑥 (cid:210),𝑥(cid:211)∈ (cid:85)
(cid:323)(cid:133) (cid:207) ( )(cid:34)(cid:60)(cid:61). (cid:226) =𝑎 ( )(cid:119)[1,+ )(cid:190)(cid:34)𝑇 (cid:319)(cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:13)𝐷(cid:85)(cid:231) =1(cid:85)(cid:253)𝑥 [1𝑎,2𝑓)(cid:133)𝑥 (cid:85)𝑓(𝑥)=𝑇 +1,(cid:231)
= 𝑇( )𝑓(cid:119)𝑥[1,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:31)𝑦 (cid:32)𝑓(cid:242)𝑥(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)∞(cid:164)(cid:96)(cid:13)𝑎(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:207)(cid:234) (cid:241)𝑇 𝑥∈ 𝑓 𝑥 2𝑥
𝑦 𝑓 A(cid:142) 𝑥 5 ,+ ∞ B(cid:142)[2,+ ) C 𝑎 (cid:142) 5 ,+ D(cid:142)[10,+ )
6 3
(cid:22)(cid:176)(cid:56)8-3(cid:28)(cid:234)∞ 23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:324)(cid:325)∞(cid:324)(cid:252)·(cid:61)(cid:315)(cid:241)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)∞(cid:34)(cid:30)(cid:13) (cid:227)(cid:228) +1 ∞ )= (cid:85)(cid:253) [0,2)(cid:133)(cid:85)
2 [0,1] 𝑅 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 2𝑓(𝑥) 𝑥∈
={ (cid:85)(cid:226) (cid:133)(cid:85)(cid:58)(cid:254)(cid:98)(cid:34) [1,2](cid:273)(cid:198) (cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)
log + (1,2)
2 1 𝑡 6 𝑎
𝑥 −𝑥,𝑥∈
𝑓(𝑥) 𝑥∈[−2,0) 𝑡∈ 𝑓(𝑥)≥ −8𝑡 𝑎
(cid:258)(cid:259)(cid:119)(cid:234) (cid:241)(𝑥 1),𝑥∈
A(cid:142) B(cid:142)[3,+ C(cid:142) D(cid:142)(3,+
(−∞,3) ∞) (−∞,3] ∞)(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:28)
(cid:22)(cid:233)9(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:262)(cid:236)(cid:236)(cid:257)·(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228) (1+ )= ( )(cid:85)(cid:231) ,
1 2
>1(cid:85) (cid:133)(cid:85)[ ( ) ( )]( )<0(cid:85)(cid:283) = 2𝑅 (cid:85) = 𝑓3 𝑥 (cid:85) = 𝑓 6 (cid:85) 𝑥 (cid:164)(cid:234) 𝑓 1 − (cid:241) 𝑥 ∀𝑥 𝑥
1 2 1 2 1 2
2 2 2
A(cid:142) 𝑥 ≠ > 𝑥 > 𝑓 𝑥 B(cid:142)−𝑓 𝑥 > > 𝑥 −𝑥 C(cid:142) 𝑎 > 𝑓 > 𝑏 𝑓 D(cid:142) 𝑐 > 𝑓 >
(cid:22)(cid:176)(cid:56)9𝑏-1(cid:28)𝑐(cid:234)2𝑎3-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)𝑏·(cid:266)𝑎(cid:250)(cid:250)𝑐(cid:278)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:53)(cid:54)𝑐(cid:30)(cid:13)𝑏 (𝑎)(cid:119)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:253)𝑐0 𝑎 <𝑏 (cid:133)(cid:85)[ ( ) ( )]( )
1 2 2 1 2 1
>0(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:245) = 5 5 (cid:85) = ( 2)(cid:85) = (3 3)(cid:85)(cid:164)𝑓 𝑥a(cid:85)b(cid:85)c(cid:34)(cid:66)(cid:67)(cid:3)≤(cid:205)𝑥(cid:207)(cid:234)𝑥 (cid:241) 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥
A(cid:142) < <𝑎 𝑓 B(cid:142) 𝑏< 𝑓<− 𝑐 C𝑓(cid:142)b > B(cid:142) > > C(cid:142) > > D(cid:142) > >
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1𝑎0 (cid:45)𝑏 (cid:27)𝑐(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:63)𝑎(cid:41)(cid:68)𝑐 (cid:69)𝑏(cid:56)(cid:28) 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:233)10(cid:28)(cid:234)2024·(cid:266)(cid:250)(cid:250)(cid:278)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:58)(cid:254)(cid:98)(cid:96)(cid:13)x(cid:85)y(cid:273)(cid:198)
+ = + (cid:85)(cid:253) >0(cid:133)(cid:85) >1𝑓(cid:85)𝑥(cid:231) =5(cid:85)(cid:164)(cid:3)(cid:187)x(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56) + <6(cid:34)(cid:41)
𝑓(cid:330)(𝑥(cid:207)(cid:234)𝑦 ) (cid:241)𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)−1 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(2) 𝑓(𝑥) 𝑓(4−3𝑥)
A(cid:142)(1,+ ) B(cid:142)(2,+ ) C(cid:142) ，1 D(cid:142) ，2
∞ ∞ −∞ +3, <0 −∞
(cid:22)(cid:176)(cid:56)10-1(cid:28)(cid:234)2023·(cid:262)(cid:236)(cid:268)(cid:257)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) = (cid:85)(cid:164)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )> ( )(cid:34)(cid:41)(cid:330)(cid:207)
2+3, 0
−3𝑥 𝑥
(cid:234) (cid:241) 𝑓(𝑥) −𝑥 𝑥≥ 𝑓 𝑎 𝑓 3𝑎−4
A(cid:142) 1 ,+ B(cid:142)(2,+ ) C(cid:142)( ,2) D(cid:142) 1
2 2
(cid:22)(cid:176)(cid:56)10 − -2(cid:28)(cid:234)∞ 2023·(cid:266)(cid:250)(cid:331)(cid:332)·(cid:223)∞(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13)− ( ∞ )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)−(cid:13)∞(cid:85),−(cid:126)( ,0](cid:190)(cid:119)(cid:161)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) (3)
=0(cid:85)(cid:164)(cid:177)(cid:214) ( )<0(cid:34) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:119)(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑅 −∞ 𝑓
A(cid:142)( 𝑓 𝑥) 𝑥 B(cid:142)(3,+ )
C(cid:142)(−∞,−)3 D(cid:142)( ∞ ) (3,+ )
(cid:22)(cid:176)(cid:56)10−-33(cid:28),3(cid:234)2023·(cid:262)(cid:236)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( −,0∞),−3(0,∪+ )(cid:190)∞(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:158)(cid:133)(cid:227)(cid:228)(cid:10) ( )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:148)
(cid:58)(cid:254)(cid:98)(cid:34) , (0,+ )(cid:85)(cid:231) (cid:85)(cid:273)(cid:198) 2−(∞1 ) 1 ∪( 2 ) <0 ∞ (cid:85)(cid:164)(cid:59)(cid:30)(cid:13) 𝑓 ( 𝑥 )(cid:101)(cid:198)(cid:33)(cid:63) ① (cid:142)(cid:53) 𝑓 (cid:54) 𝑥 (cid:30)(cid:13) ( )
1 2 1 2
𝑥 𝑓 𝑥 1−𝑥2𝑓 𝑥
② 𝑥 𝑥 ∈ ∞ 𝑥 ≠𝑥 𝑥 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑃 𝑓 𝑥(cid:101)(cid:198)(cid:33)(cid:63) (cid:85)(cid:164)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )< ( 2 )(cid:34)(cid:41)(cid:330)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑓 𝑥 −4
A(cid:142)( 𝑃 ) 𝑓 𝑥−2 𝑥+ B(cid:142)( )
C(cid:142)(−∞,−1) ( ) D(cid:142)(−3,2 ) (2,+ )
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11− ∞(cid:70),−(cid:71)3(cid:30)∪(cid:13)−(cid:34)1,(cid:31)2(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:28)−∞,−3 ∪ ∞
(cid:22)(cid:233)11(cid:28)(cid:234)2024·(cid:281)(cid:250)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207) (cid:85)(cid:47)(cid:145)(cid:207)(0,+ )(cid:85)(cid:231)(cid:58)(cid:254)(cid:98) (cid:85) (cid:85)(cid:273)(cid:198) ( + )
( ) 𝑓 𝑥 𝑅 ∞ 𝑚 𝑛∈𝑅 𝑓 𝑚 𝑛
= ( ) ( )(cid:142) ( )= (cid:142)
( ) 1
𝑓 𝑥 −1
(1)(cid:40) 𝑓 𝑚 (0 𝑓 )(cid:34)𝑛(cid:47)(cid:85) 𝜑 (cid:333)𝑥(cid:51)(cid:52) 𝑓 𝑥 ( + )(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:142)
𝑓 𝜑 𝑥 15
(2)(cid:226) >0(cid:85) ( )>1(cid:85)(cid:231) (3)=4(cid:85)(cid:51)(cid:52) ( )(cid:207) (cid:190)(cid:34)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:333)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )> (cid:142)
17
𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓 𝑥 𝑅 𝜑 𝑥
(cid:22)(cid:176)(cid:56)11-1(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:263)(cid:269)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:245)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:119)(0,+ )(cid:85)(cid:231)(cid:58)(cid:254)(cid:98)(cid:180)(cid:96)(cid:13)x(cid:85)y(cid:273)(cid:198) ( )
= ( )+ ( )(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:53)(cid:54) (2)=1(cid:85)(cid:231)(cid:253) >1(cid:133)𝑓(cid:85)𝑥 ( )>0. ∞ 𝑓 𝑥𝑦
(1)(cid:40) 𝑓 𝑥 1 𝑓 (cid:34) 𝑦 (cid:47)(cid:148) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
2
𝑓
(2)(cid:35)(cid:36) = ( )(cid:126)(cid:38)(cid:39)(0,+ )(cid:124)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:333)(cid:189)(cid:171)(cid:51)(cid:52)(cid:148)
(3)(cid:41)(cid:68)(cid:69)𝑦 (cid:56)𝑓(𝑥 )> ( )∞ .
𝑓 2𝑥 𝑓 8𝑥−6 −1
(cid:22)(cid:176)(cid:56)11-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:249)(cid:250)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:227)(cid:228)(cid:58)(cid:120)(cid:224) , (cid:273)(cid:198) ( + )= ( )+ ( ) (cid:85)
1 2 1 2 1 2
(cid:231) =0(cid:85)(cid:253) >1(cid:133)(cid:198) <0(cid:142) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 ∈𝑅 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 −2
(cid:234)𝑓1(cid:241)(1(cid:40)) (cid:34)𝑥(cid:47)(cid:148) 𝑓(𝑥)
(cid:234)2(cid:241)(cid:35)𝑓(cid:36)(−(cid:333)1(cid:51)) (cid:52)(cid:30)(cid:13) (cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:148)
𝑓(𝑥) 2
(cid:234)3(cid:241)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56)(cid:10) ( 2 ) + ( 2 ) <0(cid:142)
𝑓 𝑥 −2𝑥 2𝑓 𝑥 −2𝑥−1 −12(cid:22)(cid:176)(cid:56)11-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:249)(cid:250)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:85) (cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:255)(cid:207) (cid:85)(cid:231)(cid:227)(cid:228)(cid:10) >0(cid:85) >0(cid:148)
(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85) =1(cid:148) (cid:85) 𝑝((cid:85)𝑥) 𝑞(+𝑥) = +𝑅 . ①∀𝑥 𝑝(𝑥)
②(1)(cid:40)𝑞(𝑥) (cid:34)(cid:47)(cid:85)(cid:333)𝑞(cid:51)(𝑥(cid:52))(cid:10)≥𝑞(0)(cid:207)(cid:48)(cid:30)③(cid:13)(cid:148)∀𝑥 𝑦∈𝑅 𝑝(𝑥 𝑦) 𝑝(𝑥)𝑞(𝑦) 𝑞(𝑥)𝑝(𝑦)
(2) 𝑝(,0) (cid:85)(cid:231) < (cid:85)𝑝((cid:51)𝑥)(cid:52)(cid:10)
1 2 1 2
∀𝑥 𝑥 ∈𝑅 𝑥 𝑥
)= 1 2 1 2 + 1 2 1 2 (cid:148)
1
2 2 2 2
𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 −𝑥
①𝑝(𝑥 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝
(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159).
②𝑝(𝑥)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:30)(cid:13)(cid:33)(cid:63)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:27)(cid:28)
2
(cid:22)(cid:233)12(cid:28)(cid:234)2023·(cid:292)(cid:293)(cid:249)(cid:334)(cid:335)(cid:336)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)[(cid:276)2(cid:85)2](cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:226)(cid:227)(cid:228) ( )+
4 2
𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐
𝑓 𝑥 +𝑥 𝑓 𝑥 𝑓
1
( )=0(cid:231) = (cid:142)
5
(1 − ) 𝑥(cid:40) ( )(cid:34) 𝑓 (cid:41) (1 (cid:55) ) (cid:56)(cid:148)
(2)(cid:245)𝑓(cid:30)𝑥(cid:13) ( )= 2 +4( R)(cid:85)(cid:226)(cid:58)(cid:254)(cid:98) , [1,2](cid:85)(cid:273)(cid:198) ( )< ( )(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:40)m(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:142)
1 2 2 1
𝑔 𝑥 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚∈ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:176)(cid:56)12-1(cid:28)(cid:234)23-24(cid:24)(cid:181)(cid:246)·(cid:292)(cid:293)(cid:249)(cid:337)(cid:338)·(cid:61)(cid:315)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:85) ( )=
1 2
𝑎𝑥+𝑏
𝑓 𝑥 +𝑥 −1,1 𝑓 −𝑥 −𝑓
( )(cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:231) 1 = 2 .
2 5
(1 𝑥 )(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13) ( 𝑓 )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:148)
(2)(cid:27)(cid:144)(cid:99)(cid:51)𝑓(cid:52)𝑥( )(cid:126)( )(cid:190)(cid:119)(cid:159)(cid:30)(cid:13)(cid:148)
(3)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:56) (𝑓 𝑥 )+−(1,)1<0(cid:142)
𝑓 𝑥−1 𝑓 𝑥(cid:22)(cid:176)(cid:56)12-2(cid:28)(cid:234)2024·(cid:312)(cid:313)(cid:339)(cid:298)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) 1 = 2 (cid:142)
2 1 2 5
𝑎𝑥+𝑏
(1)(cid:40)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:148) 𝑓 𝑥 𝑥 + −1,1 𝑓
(2)(cid:35)(cid:36)(cid:30)𝑓(cid:13)𝑥( )(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:142)
(3)(cid:41)(cid:3)(cid:187)t(cid:34) 𝑓 (cid:68) 𝑥 (cid:69)(cid:56) − (cid:10) 1,1 + 1 + 1 0(cid:142)
2 2
𝑓 𝑡 𝑓 𝑡− ≤
(cid:22)(cid:176)(cid:56)12-3(cid:28)(cid:234)2024·(cid:190)(cid:235)(cid:340)(cid:341)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:96)(cid:13) (cid:119)(cid:221)(cid:13)(cid:85)(cid:30)(cid:13) =( 1+ + + 2+ .
(cid:234)1(cid:241)(cid:40)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:85)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:85)𝑎,(cid:333)𝑏 (cid:342)(cid:52)(cid:15)(cid:170)(cid:148) 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑥 𝑎)( 1−𝑥 𝑏)
𝑓(𝑥) 1
(cid:234)2(cid:241)(cid:226) = =1(cid:85)(cid:245) = 1+ + (cid:85)(cid:283) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:343)(cid:210)(cid:34)(cid:330)(cid:73)(cid:207) (cid:85)(cid:164)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:47)(cid:145)(cid:50)(cid:30)(cid:13) =
2
( 3 2) 𝑎 ( −3 ) , (cid:34) 𝑏 (cid:47)(cid:145)(cid:129)(cid:158) 𝑡 .(cid:344)(cid:41)(cid:345)(cid:246)𝑥 (cid:247)(cid:220)1(cid:21)−𝑥(cid:10) 𝑡 𝐷 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑡)
(cid:234)𝑡i−(cid:241)3(cid:40)𝑡 (cid:330)𝑡(cid:73)∈𝐷(cid:148)
(cid:234)ii(cid:241)(cid:346)(cid:347)(cid:30) 𝐷 (cid:13) = 1 ( 3 2)(cid:126)(cid:144)(cid:99)(cid:145) (cid:190)(cid:119)(cid:203)(cid:101)(cid:198)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:348)(cid:226)(cid:198)(cid:85)(cid:349)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:144)(cid:99)(cid:350)(cid:200)(cid:51)(cid:52)(cid:148)(cid:226)(cid:351)
2
𝑔(𝑡) 𝑡 −3𝑡 𝐷
(cid:198)(cid:85)(cid:349)(cid:342)(cid:52)(cid:15)(cid:170).(cid:333)(cid:45)(cid:27)(cid:352)(cid:34)(cid:346)(cid:347)(cid:100)(cid:353)(cid:130)(cid:120)(cid:354)(cid:40)(cid:171)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47).
𝑓(𝑥)
(cid:120)(cid:57)(cid:31)(cid:20)(cid:21)
1(cid:142)(cid:234)2024·(cid:285)(cid:286)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:226)(cid:30)(cid:13) = +3(cid:126)(cid:38)(cid:39)[1,+ )(cid:190)(cid:68)(cid:31)(cid:32)(cid:85)(cid:164)a(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142)[1,+ ) 𝑓(𝑥) 4|𝑥−B𝑎(cid:142)|(1,+ ) ∞
∞ ∞C(cid:142) ,1) D(cid:142) ,1]
2(cid:142)(cid:234)20(2−3∞·(cid:285)(cid:286)·(cid:165)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= ( +3()−∞3(cid:126)[ ](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) (cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:119)
(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑏𝑥− 𝑏 𝑥 −1,1 −3 𝑏
A(cid:142)( ] B(cid:142)[9,+ ) C(cid:142)[ ] D(cid:142) 9 ,9
2
3(cid:142)(cid:234)202
−
4
∞
·(cid:302)
,−
(cid:263)
4
(cid:355)(cid:356)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)
∞
(cid:30)(cid:13) ( )= | |(cid:85)
−
(cid:164)
4
(cid:3)
,9
(cid:187) (cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )
−
> ( )(cid:34)(cid:41)(cid:330)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142) 1 ,+ B(cid:142) , 1 𝑓 𝑥 𝑥 C 𝑥 (cid:142) 1 ,1 𝑥 𝑓 D(cid:142) 2𝑥 𝑓11−𝑥
3 3 3 3
4(cid:142)(cid:234)2023·(cid:266)∞(cid:250)(cid:250)(cid:278)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)−(cid:53)∞(cid:54) ( )(cid:119) (cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231) ( +2)= ( ) −(cid:85)1,(cid:253) [0,1](cid:133)(cid:85) ( )= 2+ (cid:85)
(cid:164) (2023)=(cid:234) (cid:241) 𝑓 𝑥 𝑅 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥 2𝑥
𝑓A(cid:142)3 B(cid:142) C(cid:142)255 D(cid:142)
5(cid:142)(cid:234)2023·(cid:243)(cid:244)(cid:357)(cid:358)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)−(cid:240)3 (cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)R(cid:85)(cid:226)(cid:58) R−(cid:273)2(cid:198)55(3+ )= ( )(cid:85)(cid:231) ( )(cid:126)
𝑓 𝑥 ∀𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 𝑓 𝑥
2，+ (cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164) (1)， (2)(cid:50) (4)(cid:34)(cid:66)(cid:67)(cid:3)(cid:205)(cid:119)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142)∞ (4)< (1)< (2) 𝑓 𝑓 𝑓 B(cid:142) (2)< (1)< (4)
C(cid:142)𝑓(1)<𝑓(2)<𝑓(4) D(cid:142)𝑓(4)<𝑓(2)<𝑓(1)
6(cid:142)(cid:234)20𝑓23·(cid:278)(cid:279)𝑓(cid:359)(cid:252)·(cid:223)𝑓(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)𝑓(cid:99)(cid:126)R𝑓(cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)𝑓 (cid:13)(cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)R(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)
( )(cid:85) ( )(cid:126)[0,+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164)(cid:234) 𝑓 𝑥(cid:241) 𝑔 𝑥
𝑓 𝑥A(cid:142)𝑔(𝑥(2))> ∞( (3)) B(cid:142) ( (2))< ( (3))
C(cid:142)𝑓(𝑓(2))>𝑓(𝑓(3)) D(cid:142)𝑓(𝑔(2))<𝑓(𝑔(3))
7(cid:142)(cid:234)20𝑔23𝑔·(cid:243)(cid:244)·(cid:120)𝑔(cid:223)𝑔(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)𝑔(cid:34)𝑓(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85)𝑔(cid:253)𝑓 >0(cid:133)(cid:85) = +1(cid:85)(cid:226) =5(cid:85)(cid:164)
1 𝑓(𝑥) 𝑅 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑓(−2)
(cid:68)(cid:69)(cid:56) > (cid:34)(cid:41)(cid:330)(cid:207)(cid:234) (cid:241)
2
𝑓(𝑥)
A(cid:142) 1 0, 1 B(cid:142) 1 ,0 0, 1
2 6 2 6
−∞,− ∪ − ∪
C(cid:142) 1 1 ,+ D(cid:142) 1 ,0 1 ,+
2 6 2 6
8(cid:142)(cid:234)202 − 3 ∞ ·(cid:285),−(cid:286)·(cid:223) ∪ (cid:238)(cid:239)(cid:240)∞(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:85) (cid:34)−(cid:144)(cid:99)(cid:145) ∪ (cid:255)(cid:207) (cid:85)∞ +1)(cid:207)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:85) +2)(cid:207)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)
102
1 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑅 𝑓(3𝑥 𝑔(𝑥
+1)+ =2(cid:85) = (cid:85)(cid:164) =(cid:234) (cid:241)
2
=1
𝑓(𝑥 𝑔(1−𝑥) 𝑓(0) − 𝑔(𝑘)
5 𝑘 415 409
A(cid:142) B(cid:142) C(cid:142) D(cid:142)
2 2 2
−51
(cid:181)(cid:57)(cid:360)(cid:20)(cid:21)
9(cid:142)(cid:234)2023·(cid:262)(cid:236)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:30)(cid:13) (cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)(cid:85)(cid:126)[0,+ )(cid:190)
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) (−∞ ∞(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)(cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241)
A(cid:142)(cid:30)(cid:13) (cid:126)R(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
B(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑓(𝑥))(cid:126) ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:159)
C(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑓(𝑔(𝑥)) (cid:126)(−∞ ,0)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
D(cid:142)(cid:30)(cid:13)𝑔(−𝑔(𝑥))(cid:126)[(0−,∞+ )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
𝑔(−𝑓(𝑥)) ∞
10(cid:142)(cid:234)2024·(cid:285)(cid:286)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:144)(cid:99)(cid:126)(0,+ )(cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:227)(cid:228)(cid:246)(cid:247)(cid:182)(cid:183)(cid:10)(cid:234)1(cid:241) = ( ) ( )(cid:148)(cid:234)2(cid:241)
𝑥
(cid:253) >1(cid:133)(cid:85) ( )>0(cid:85)(cid:164)(cid:234) (cid:241) ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑦𝑓 𝑥 −𝑥𝑓 𝑦
𝑥A(cid:142) (1)𝑓=𝑥0
B(cid:142)(cid:253)𝑓 0< <1(cid:133)(cid:85) ( )<0
C(cid:142) ( 2) 𝑥 ( ) 𝑓 𝑥
D(cid:142)𝑓(𝑥)(cid:126)≥(12,𝑓+𝑥 )(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
11(cid:142)(cid:234)20𝑓2𝑥4·(cid:305)(cid:252)(cid:305)(cid:257)∞·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:30)(cid:13) (cid:227)(cid:228) +1)= +3= (cid:85)(cid:58) ,
1 2
( ) ( ) 𝑅 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥)−𝑔(−𝑥) 𝑓(3−𝑥) ∀𝑥 𝑥
(1,2](cid:85) (cid:85)(cid:216)(cid:198) 1 2 <0(cid:85)(cid:164)(cid:246)(cid:247)(cid:361)(cid:21)(cid:119)(cid:77)(cid:361)(cid:21)(cid:34)(cid:198)(cid:234) (cid:241)
1 2
𝑓 𝑥 2−𝑓1𝑥
∈ 𝑥 ≠𝑥 𝑥 −𝑥
A(cid:142)(2025,3)(cid:119) (cid:84)(cid:71)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:58)(cid:59)(cid:193)(cid:232) B(cid:142) (cid:126)(cid:38)(cid:39)(2024,2026)(cid:190)(cid:31)(cid:32)(cid:242)(cid:161)
2026
C(cid:142)(cid:58)
405𝑓1(
,
𝑥4)053
(cid:85)(cid:216)(cid:198) > +1)
𝑓
D
(𝑥
(cid:142)
)
>6078
2 2 =1
∀𝑥∈ 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 𝑓(𝑛)
(cid:165)(cid:57)(cid:362)(cid:363)(cid:21) 𝑛
12(cid:142)(cid:234)2024·(cid:301)(cid:235)(cid:250)(cid:298)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126) (cid:190)(cid:34)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:85)(cid:231)(cid:227)(cid:228) ( +4)= ( )(cid:85)(cid:253) [ ]
(cid:133)(cid:85) ( )= 3 (cid:85)(cid:164) (1)+ (4)= 𝑓 𝑥. 𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥∈ −2,0
𝑥
𝑓 𝑥 − −2𝑥 𝑓 𝑓
13(cid:142)(cid:234)2023·(cid:190)(cid:235)(cid:364)(cid:365)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= + + (cid:85) [ + )(cid:85)(cid:174)(cid:193) >0(cid:85) R(cid:85)(cid:226) ( )(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)
𝑎
(cid:207)2(cid:85)(cid:164)(cid:96)(cid:13) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259)(cid:119) . 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑏 𝑥∈ 𝑏, ∞ 𝑏 𝑎∈ 𝑓 𝑥
14(cid:142)(cid:234)2024·(cid:262)𝑎(cid:263)(cid:366)(cid:144)·(cid:181)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145) =( ,0) (0,+ )(cid:85)(cid:58)(cid:254)(cid:98) , (cid:85)(cid:216)(cid:198) ( )
1 2 1 2
= ( )+ ( ) (cid:85)(cid:231)(cid:253) 𝑓 𝑥 > >0(cid:133) 𝐷 (cid:85) 1 (−2∞) 2 ∪( 1 ) > ∞ (cid:216)(cid:210)(cid:211)(cid:85) ( 𝑥 2) 𝑥 = ∈𝐷 (cid:85)(cid:164)(cid:68)(cid:69) 𝑓 (cid:56) 𝑥 𝑥
1 2 1 2 2 1 1 2
𝑥 𝑓 𝑥 1−𝑥2𝑓 𝑥
−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −1 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 −1 𝑓 −3
( +1) 1 + +2> ( )(cid:34)(cid:41)(cid:330)(cid:207) .
1
(cid:312)𝑥(cid:57)(cid:41)(cid:367) 𝑓 (cid:21)𝑥+ 𝑥 𝑓 −1
15(cid:142)(cid:234)2023·(cid:302)(cid:263)(cid:340)(cid:368)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:245) >0(cid:85) >0(cid:85)(cid:30)(cid:13) ( )= + 2.
(1)(cid:40)(cid:3)(cid:187) (cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56) ( )>0(cid:41)(cid:330)(cid:148) 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑎−2𝑏 2𝑏𝑥−𝑎𝑥
𝑥 𝑓 𝑥
(2)(cid:226) ( )(cid:126)[0,2](cid:190)(cid:34)(cid:46)(cid:67)(cid:47)(cid:207) (cid:85)(cid:40) (cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259).
𝑏
𝑓 𝑥 𝑎−2𝑏 𝑎16(cid:142)(cid:234)2023·(cid:314)(cid:369)(cid:303)(cid:370)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:30)(cid:13) (cid:34)(cid:144)(cid:99)(cid:145)(cid:207)(0,+ )(cid:85)(cid:58)(cid:187) (cid:85) (0,+ )(cid:85) = + (cid:85)
(cid:231)(cid:253) >1(cid:133)(cid:85) <0(cid:142) 𝑓(𝑥) ∞ ∀𝑥 𝑦∈ ∞ 𝑓(𝑥𝑦) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)
(1)(cid:51)𝑥(cid:52)(cid:10) (cid:207)𝑓((cid:161)𝑥)(cid:30)(cid:13)(cid:148)
(2)(cid:226) 1 𝑓 = (𝑥 2 ) (cid:85)(cid:40)(cid:68)(cid:69)(cid:56) + +2>0(cid:34)(cid:41)(cid:330)(cid:142)
2
𝑓 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥−1)
17(cid:142)(cid:234)22-23(cid:24)(cid:120)(cid:190)·(cid:297)(cid:298)·(cid:61)(cid:193)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:119)(cid:144)(cid:99)(cid:126)( )(cid:190)(cid:34)(cid:48)(cid:30)(cid:13),(cid:231) 1 = 4 (cid:142)
2 2 5
2𝑎𝑥+𝑏
(1)(cid:168)(cid:144)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:41)(cid:55)(cid:56); 𝑓 𝑥 𝑥 +𝑏𝑥+𝑎 −1,1 𝑓
(2)(cid:253) ( 𝑓 𝑥)(cid:133),(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33),(cid:333)(cid:51)(cid:52);
(3)(cid:41)(cid:68)
𝑥∈
(cid:69)(cid:56)
−1,1
( +1)+
1𝑓 𝑥
<0(cid:142)
2
𝑓 2𝑥 𝑓 𝑥
18(cid:142)(cid:234)2023·(cid:262)(cid:236)·(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:58)(cid:254)(cid:98)(cid:96)(cid:13) (cid:216)(cid:198) + + = (cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:231)(cid:253) <0(cid:133)(cid:85)
>0. 𝑓 𝑥 𝑥,𝑦 𝑓(𝑥−𝑦) 𝑓(𝑥 𝑦) 𝑓(2𝑥) 𝑥
𝑓(1()𝑥(cid:40)) (cid:34)(cid:47);
(2)(cid:35)𝑓(cid:36)(0)( )(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:333)(cid:51)(cid:52);
(3)(cid:41)(cid:3)𝑓(cid:187)𝑥(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:56): 2 + + + + >0.
𝑥 𝑓 𝑥 −(𝑎 2)𝑥 𝑓(𝑎 𝑦) 𝑓(𝑎−𝑦)19(cid:142)(cid:234)2023·(cid:190)(cid:235)(cid:331)(cid:281)·(cid:120)(cid:223)(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:13) ( )= 2 (cid:85) R.
(1)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:148) 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑎𝑥−𝑎 𝑎∈
(2)(cid:226)(cid:30)(cid:13) (𝑓)𝑥= ( )(cid:126) =1(cid:371)(cid:198)(cid:191)(cid:47)(cid:85)(cid:231)(cid:3)(cid:187)x(cid:34)(cid:146)(cid:217) ( )= (cid:198)3(cid:121)(cid:68)(cid:158)(cid:34)(cid:96)(cid:42)(cid:85)(cid:40)(cid:96)(cid:13)m(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)
(cid:259)(cid:148) 𝐹 𝑥 𝑥⋅𝑓 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥 𝑚
(3)(cid:283) ( )= e (cid:234)e(cid:119)(cid:372)(cid:373)(cid:58)(cid:13)(cid:34)(cid:374)(cid:13)(cid:241).(cid:226)(cid:58)(cid:254)(cid:98) (cid:57) [0,e](cid:231) > (cid:133)(cid:85)(cid:255)(cid:198)| ( ) ( )|<
1 2 1 2 1 2
𝑥
| ( 𝑔) 𝑥 ( −)|(cid:210)(cid:211)(cid:85)(cid:40)(cid:96)(cid:13)a(cid:34)(cid:212)(cid:47)(cid:258)(cid:259). 𝑥 𝑥 ∈ 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
1 2
𝑔 𝑥 −𝑔 𝑥
