文档内容
专题 2.1 函数的概念【九大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)............................................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:34)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:38)(cid:39)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:28)....................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:45)(cid:46)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:28)....................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:49)(cid:13)(cid:28)........................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:50)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:28)........................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:47)(cid:48)f(g(x))(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:28).............................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:30)(cid:13)(cid:53)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:28)....................................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:13)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:28)................................................................................................................................6
1(cid:59)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:43) (cid:62)(cid:21)(cid:63)(cid:64) (cid:25)(cid:65)(cid:54)(cid:51)
(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:94)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:53)(cid:42)(cid:95)(cid:21)(cid:96)(cid:24)
(1)(cid:66)(cid:44)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:67)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:43)
2021(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:10)(cid:91) 12(cid:21)(cid:68)5 (cid:25)(cid:13)(cid:11)(cid:31)(cid:97)(cid:25)(cid:98)(cid:99).(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:87)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:65)
(cid:70)(cid:71)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:72)(cid:53)(cid:42)
(cid:54) (cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:68)(cid:24)(cid:25)(cid:106)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)
(2)(cid:69)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:34)(cid:31)(cid:76)(cid:61)(cid:20)
2022(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:10)(cid:91) 14(cid:21)(cid:68)5 (cid:40)(cid:68)(cid:25)(cid:107)(cid:98)(cid:99)(cid:59)(cid:110)(cid:111)(cid:59)(cid:21)(cid:29)(cid:59)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)
(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:31)(cid:80)(cid:81)((cid:82)(cid:46)(cid:81)(cid:59)(cid:83)
(cid:54) (cid:16)(cid:75)(cid:116)(cid:68)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:117)(cid:24)(cid:25)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:71)
(cid:84)(cid:81)(cid:59)(cid:44)(cid:51)(cid:81))(cid:84)(cid:85)(cid:30)(cid:13)
2023(cid:87)(cid:92)(cid:93)(cid:90)(cid:10)(cid:91) 11(cid:21)(cid:68)5 (cid:121)(cid:25)(cid:107)(cid:68)(cid:122)(cid:117)(cid:44)(cid:123)(cid:21)(cid:118)(cid:124)(cid:125).(cid:24)(cid:25)(cid:106)(cid:126)(cid:127)
(3)(cid:66)(cid:44)(cid:70)(cid:71)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:13)(cid:68)
(cid:54) (cid:31)(cid:25)(cid:107)(cid:75)(cid:69)(cid:128)(cid:116)(cid:31)(cid:115)(cid:16)(cid:68)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:54)(cid:55)(cid:30)
(cid:86)(cid:69)(cid:58)(cid:27)
(cid:13)(cid:59)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:53)(cid:42)(cid:56)(cid:132)(cid:53)(cid:133)(cid:134).
(cid:22)(cid:48)(cid:135)(cid:60)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:81)(cid:28)
1(cid:136)(cid:43)(cid:137)(cid:40)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:80)(cid:81)
(cid:43)(cid:137)(cid:40)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:68)(cid:57)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:96)(cid:131)(cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:141)(cid:67)(cid:52)(cid:142)((cid:143)(cid:144))(cid:128)(cid:145)(cid:41)(cid:133)(cid:146)(cid:147)(cid:68)(cid:83)(cid:124)(cid:75)(cid:148)(cid:52)
(cid:149)(cid:75)(cid:148)(cid:52)(cid:150)(cid:43)(cid:44)(cid:151)(cid:106)(cid:152)(cid:138)(cid:153)(cid:95)(cid:21)(cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:58)(cid:154)(cid:138)(cid:153)(cid:95)(cid:21)(cid:128)(cid:145)(cid:41).
2(cid:136)(cid:43)(cid:45)(cid:46)(cid:30)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:80)(cid:81)
(1)(cid:155)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)f(x)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)[a,b](cid:68)(cid:147)(cid:156)(cid:157)(cid:30)(cid:13)f[g(x)](cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:158)(cid:159)(cid:75)(cid:148)(cid:52)a≤g(x)≤b(cid:43)(cid:124).
(2)(cid:155)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)f[g(x)](cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)[a,b](cid:68)(cid:147)f(x)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)g(x)(cid:117)x [a,b](cid:160)(cid:31)(cid:53)(cid:42).
(cid:22)(cid:48)(cid:135)(cid:60)2 (cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:31)(cid:161)(cid:162)(cid:43)(cid:81)(cid:28) ∈1(cid:136)(cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:31)(cid:161)(cid:162)(cid:43)(cid:81)
(1)(cid:163)(cid:164)(cid:81)(cid:10)(cid:159)(cid:47)(cid:48)(cid:165)(cid:166)f(g(x))=F(x)(cid:68)(cid:158)(cid:130)F(x)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:3)(cid:152)g(x)(cid:31)(cid:84)(cid:170)(cid:52)(cid:68)(cid:171)(cid:172)(cid:131)x(cid:173)(cid:174)g(x)(cid:68)(cid:175)(cid:176)f(x)
(cid:31)(cid:84)(cid:170)(cid:52).
(2)(cid:177)(cid:40)(cid:178)(cid:13)(cid:81)(cid:10)(cid:155)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:50)(cid:29)((cid:179)(cid:35)(cid:180)(cid:30)(cid:13)(cid:59)(cid:181)(cid:180)(cid:30)(cid:13))(cid:158)(cid:27)(cid:177)(cid:40)(cid:178)(cid:13)(cid:81)(cid:104)(cid:43)(cid:44).
(3)(cid:182)(cid:183)(cid:81)(cid:10)(cid:47)(cid:48)(cid:156)(cid:157)(cid:30)(cid:13)f(g(x))(cid:31)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:68)(cid:158)(cid:27)(cid:182)(cid:183)(cid:81)(cid:68)(cid:184)(cid:185)(cid:61)(cid:4)(cid:145)(cid:23)(cid:183)(cid:31)(cid:186)(cid:53)(cid:187)(cid:188).
(4)(cid:80)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:10)(cid:47)(cid:48)(cid:3)(cid:152)f(x)(cid:94) (cid:149)f(-x)(cid:148)(cid:31)(cid:84)(cid:170)(cid:52)(cid:68)(cid:158)(cid:73)(cid:74)(cid:47)(cid:48)(cid:165)(cid:166)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:124)(cid:195)(cid:196)(cid:35)(cid:197)(cid:148)(cid:52)(cid:150)(cid:169)(cid:80)
(cid:189)(cid:150)(cid:68)(cid:198)(cid:199)(cid:44)(cid:80)(cid:189)(cid:150)(cid:43)(cid:124)f(x).
(cid:22)(cid:48)(cid:135)(cid:60)3 (cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:53)(cid:42)(cid:31)(cid:35)(cid:200)(cid:80)(cid:81)(cid:28)
1(cid:136)(cid:43)(cid:30)(cid:13)(cid:53)(cid:42)(cid:31)(cid:35)(cid:200)(cid:80)(cid:81)
(1)(cid:54)(cid:201)(cid:202)(cid:13)(cid:81)(cid:151)
(2)(cid:203)(cid:44)(cid:81)(cid:151)
(3)(cid:163)(cid:80)(cid:81)(cid:151)
(4)(cid:75)(cid:148)(cid:52)(cid:81)(cid:151)
(5)(cid:71)(cid:204)(cid:205)(cid:81)(cid:151)
(6)(cid:182)(cid:183)(cid:81)(cid:151)
(7)(cid:13)(cid:206)(cid:207)(cid:157)(cid:81)(cid:151)
(8)(cid:208)(cid:13)(cid:81).
(cid:22)(cid:48)(cid:135)(cid:60)4 (cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:58)(cid:27)(cid:28)
1(cid:136)(cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:58)(cid:27)
(cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:13)(cid:95)(cid:21)(cid:209)(cid:209)(cid:76)(cid:61)(cid:210)(cid:211)(cid:54)(cid:50)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:73)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:13)(cid:117)(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:214)(cid:55)(cid:31)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:75)(cid:34)(cid:68)(cid:171)(cid:172)(cid:54)(cid:215)(cid:44)(cid:216)(cid:68)
(cid:217)(cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:13)(cid:95)(cid:21)(cid:68)(cid:54)(cid:55)(cid:44)(cid:216)(cid:136)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)
(cid:22)(cid:218)1(cid:28)(cid:219)2023·(cid:220)(cid:221)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:82)(cid:46)(cid:118)(cid:68)(cid:228)(cid:84)(cid:85)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:82)(cid:46)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)
𝑦 𝑓 𝑥
A(cid:136) B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)1①-1(cid:28)②(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)②·(cid:229)③(cid:221)(cid:230)(cid:220)·(cid:231)(cid:232)(cid:226)(cid:137)(cid:40)②(cid:13)④(cid:233) = =(0,+ ①③(cid:234)(cid:235)(cid:80)(cid:189) 2 =0(cid:68)(cid:227)(cid:83)(cid:106)(cid:58)
(cid:3)(cid:178) (cid:133)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226) 𝐴 𝑅,𝐵 ∞),𝑥,𝑦 𝑥 −𝑦
𝑓A(cid:136) = B(cid:136) =
C(cid:136)𝑓:𝐴→𝐵,𝑦= 𝑓(𝑥) D(cid:136)𝑓:𝐵→𝐴,𝑦=𝑓(𝑥)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)1𝑓-:2𝐴(cid:28)→(cid:219)𝐵,2𝑥024𝑓·((cid:89)𝑦)(cid:236)·(cid:35)(cid:222)(cid:226)(cid:237) = 𝑓4:𝐵}(cid:68)→𝐴,𝑥= 𝑓(𝑦) 0}(cid:68)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133) (cid:68)(cid:53)(cid:42)
(cid:133) (cid:68)(cid:147) ( )(cid:31)(cid:82)(cid:46)(cid:158)(cid:131)(cid:96)(cid:219) (cid:226) 𝑀 {𝑥|0≤𝑥≤ 𝑁 {𝑦|−4≤𝑦≤ 𝑓 𝑥 𝑀
𝑁 𝑓 𝑥
A(cid:136) B(cid:136)
C(cid:136) D(cid:136)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)1-3(cid:28)(cid:219)2024(cid:24)(cid:238)·(cid:239)(cid:240)·(cid:26)(cid:21)(cid:241)(cid:242)(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:106)(cid:58)(cid:96)(cid:100)(cid:233)(cid:157)A(cid:243)(cid:233)(cid:157)B(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)
A(cid:136) =N =N =( –1)2 B(cid:136) =N =N =±
𝐴 ,𝐵 ,𝑓:𝑥→𝑦 1𝑥 𝐴 ,𝐵 ,𝑓:𝑥→𝑦 𝑥
C(cid:136) =N =Q = D(cid:136) =R ={ >0} =| |
–1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 𝐴 (cid:34)(cid:35) ,𝐵 (cid:30)(cid:13) , (cid:31) 𝑓:𝑥 (cid:36) → (cid:37) 𝑦 (cid:28)𝑥 𝐴 ,𝐵 𝑦|𝑦 ,𝑓:𝑥→𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:218)2(cid:28)(cid:219)2024·(cid:244)(cid:245)(cid:89)(cid:246)(cid:247)(cid:248)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:249)(cid:150)(cid:30)(cid:13)(cid:118)(cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:34)(cid:35)(cid:197)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)
2
A(cid:136) = = B(cid:136) = =
𝑥
𝑓(𝑥) 𝑥,𝑔(𝑥) 𝑥 0 𝑓(𝑥) 𝑥(𝑥∈𝑅),𝑔(𝑥) 𝑥(𝑥∈𝑍)
C(cid:136) =| | = D(cid:136) = =( )2
<0
𝑥,𝑥≥
(cid:22)(cid:115)(cid:52)2 𝑓 - ( 1 𝑥 (cid:28) ) (cid:219)2 𝑥 02 ,𝑔 4 ( ·(cid:220) 𝑥) (cid:221)·(cid:35)−(cid:222)𝑥,𝑥(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:249)(cid:150)(cid:30)(cid:13)(cid:118)(cid:68) 𝑓( (cid:84) 𝑥) (cid:85)(cid:34) 𝑥, (cid:35) 𝑔( (cid:30) 𝑥) (cid:13)(cid:31)(cid:96) 𝑥 ((cid:250)(cid:250))
A(cid:136) ( )＝ ， ( )＝
𝑙𝑛𝑥
𝑓 𝑥 𝑒 2 𝑔 𝑥 𝑥
B(cid:136) ( )＝ ( )＝ －2
2
𝑥 −4
𝑓 𝑥 𝑥+ ,𝑔 𝑥 𝑥
sin
C(cid:136) ( )＝ ( )＝sin
2cos
2𝑥
D(cid:136) 𝑓 𝑥 ( )＝| | 𝑥 ， ,𝑔 𝑥 ( )＝ 𝑥 2
(cid:22)(cid:115)(cid:52)2-𝑓2(cid:28)𝑥(cid:219)20𝑥24·(cid:251)𝑔(cid:252)𝑥·(cid:181)(cid:222)𝑥(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:30)(cid:13)(cid:118)(cid:68)(cid:94) = (cid:96)(cid:108)(cid:34)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:96)
A(cid:136) = 2 B(cid:136)𝑦 =𝑥lg10
𝑥
𝑦 2𝑥 𝑦
C(cid:136) = D(cid:136) = ( )2+1
𝑥
(cid:22)(cid:115)(cid:52)2 𝑦 -3(cid:28)𝑥(cid:219)23-24(cid:24)(cid:181)(cid:227)·(cid:253)(cid:254)(cid:238)(cid:255)·(cid:256)(cid:55)(cid:241)(cid:242)(cid:226) 𝑦 (cid:227)(cid:83)(cid:249)𝑥(cid:150)−1(cid:30)(cid:13)(cid:108)(cid:148)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)A(cid:136) ( )= 2(cid:68) ( )=( )4 B(cid:136) ( )= (cid:68) ( )= 2
𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥−1 𝑔 𝑥 𝑥−1 0
C(cid:136) ( )=1(cid:68) ( )= 0 D(cid:136) ( )=| |(cid:68) ( )=
<0
𝑥,𝑥≥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 𝑓 𝑥(cid:38)(cid:39)(cid:30)(cid:13) 𝑔 (cid:31)𝑥(cid:40)(cid:41) 𝑥 (cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:28) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑥,𝑥
(cid:22)(cid:218)3(cid:28)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:93)·(cid:256)(cid:55)(cid:241)(cid:242)(cid:226)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)(cid:219) (cid:226)
3−𝑥
A(cid:136)( ,3] B(cid:136)(1,+ ) C(cid:136)(1 𝑓 ,3 𝑥 ] 𝑥−1 D(cid:136)( ,1) [3,+ )
(cid:22)(cid:115)(cid:52)3- − 1(cid:28) ∞ (cid:219)2024·(cid:259)(cid:236)·(cid:222)(cid:223)(cid:224) ∞ (cid:225)(cid:226)(cid:30)(cid:13) = 2 4(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)(cid:219) (cid:226) −∞ ∪ ∞
−𝑥 −3𝑥+
A(cid:136)[ ] B(cid:136)[ ) 𝑦 C(cid:136)( 𝑥 0,1] D(cid:136)[ ) (0,1]
−4,1 −4,0 ln 1) −4,0 ∪
(cid:22)(cid:115)(cid:52)3-2(cid:28)(cid:219)2024(cid:260)(cid:261)·(cid:35)(cid:222)(cid:226)(cid:30)(cid:13) = (cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)(cid:219) (cid:226)
2 4
(𝑥+
A(cid:136) B(cid:136) 𝑦 −𝑥 −C3(cid:136)𝑥+ D(cid:136)
(−4,−1) (−4,1) (−1,1) ( (−)1,−1]
(cid:22)(cid:115)(cid:52)3-3(cid:28)(cid:219)2024·(cid:220)(cid:221)(cid:262)(cid:263)·(cid:238)(cid:222)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:68)(cid:147)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)(cid:219) (cid:226)
2 4 1
𝑥 𝑓 𝑥−1
𝑥 𝑥
A(cid:136)( ) B 𝑓 (cid:136)𝑥 ( − ) 𝑥+
C(cid:136)(−∞,1 ) ( ) D(cid:136)(−∞,−1) ( )
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 − ∞(cid:45),−(cid:46)1(cid:30)∪(cid:13)(cid:31)−1(cid:40),0(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:28) −∞,−1 ∪ −1,1
(cid:22)(cid:218)4(cid:28)(cid:219)2023·(cid:89)(cid:257)(cid:264)(cid:89)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:155)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)[ ](cid:68)(cid:147) = ( ) ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)
(cid:219) (cid:226) 𝑦 𝑓 2𝑥 −2,4 𝑦 𝑓 𝑥 −𝑓 −𝑥
A(cid:136)[ ] B(cid:136)[ ]
C(cid:136)[−2,2] D(cid:136)[−2,4]
−4,4 −8,8 ( )
(cid:22)(cid:115)(cid:52)4-1(cid:28)(cid:219)2024·(cid:259)(cid:236)(cid:236)(cid:263)·(cid:35)(cid:222)(cid:226)(cid:155)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:96)[0(cid:68)4](cid:68)(cid:147)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:96)
𝑓 2𝑥
A(cid:136)[ 0(cid:68)2] B(cid:136)(0(cid:68)2) 𝑓 C 𝑥(cid:136)[0(cid:68)2) D(cid:136)(0(cid:68) 𝑔 2] 𝑥 𝑥
1)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)4-2(cid:28)(cid:219)2023·(cid:265)(cid:92)(cid:266)(cid:267)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)[0,4](cid:68)(cid:147)(cid:30)(cid:13) = + 0(cid:31)
𝑓(𝑥+
(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:96)(cid:219) (cid:226) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥−1 (𝑥−2)
A(cid:136)(1,5] B(cid:136)(1,2) (2,5) C(cid:136)(1,2) (2,3] D(cid:136)(1,3]
(cid:22)(cid:115)(cid:52)4-3(cid:28)(cid:219)2024·(cid:268)(cid:92)(cid:269)(cid:270)·(cid:222)∪(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:96)(cid:35)(cid:197)∪(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:238)(cid:61)(cid:271)(cid:272)(cid:35)(cid:68)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)
[211,985](cid:68)(cid:147)(cid:30)(cid:13) = + (cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)(cid:219) (cid:226) 𝐽𝑧𝑧𝑥(𝑥)
A(cid:136) 211 , 985 𝑠ℎ𝑢𝑎𝑛𝑔𝑦𝑖𝑙𝑖𝑢(𝑥) 𝐽𝑧𝑧𝑥(20 B 1 (cid:136) 8𝑥)211𝐽 , 𝑧𝑧9𝑥85(2021𝑥)
2018 2021 2021 2018
C(cid:136) 211 , 985 D(cid:136) 211 , 985
2018 2018 2021 2021(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:49)(cid:13)(cid:28)
(cid:22)(cid:218)5(cid:28)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:259)(cid:236)(cid:236)(cid:263)·(cid:231)(cid:118)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )= 2+ +1(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)R(cid:68)(cid:147)(cid:138)(cid:13) (cid:31)(cid:186)
𝑓 𝑥 𝑚𝑥 (𝑚−3)𝑥 𝑚
(cid:53)(cid:187)(cid:188)(cid:96)(cid:219)(cid:250)(cid:250)(cid:226)
A(cid:136)[1,9] B(cid:136)(1,9)
C(cid:136) ,1] [9,+ ) D(cid:136){3}
(−∞ ∪ ∞
(cid:22)(cid:115)(cid:52)5-1(cid:28)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:220)·(cid:231)(cid:118)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) = ( 2 ) 2+ + +1(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)R(cid:68)(cid:147)
𝑓(𝑥) 𝑎 −1 𝑥 (𝑎 1)𝑥
(cid:138)(cid:13)a(cid:31)(cid:186)(cid:53)(cid:187)(cid:188)(cid:133)(cid:219) (cid:226)
A(cid:136) 5 B(cid:136) 5 ,+
3 3
−1, (−∞,−1)∪ ∞
C(cid:136) 5 ,+ D(cid:136) 5 ,+
3 3
∞ (−∞,−1]∪ ∞ 1
(cid:22)(cid:115)(cid:52)5-2(cid:28)(cid:219)22-23(cid:24)(cid:181)(cid:160)·(cid:274)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:220)·(cid:256)(cid:55)(cid:241)(cid:242)(cid:226)(cid:155)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)R(cid:68)(cid:147)(cid:138)(cid:13)k(cid:31)(cid:186)(cid:53)
2 1
(cid:187)(cid:188)(cid:96)(cid:219) (cid:226) 𝑓 𝑥 𝑘𝑥 +𝑘𝑥+
A(cid:136)(0,4) B(cid:136)[0,4) C(cid:136)[0,4] D(cid:136)(0,4]
(cid:22)(cid:115)(cid:52)5-3(cid:28)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:88)(cid:89)·(cid:256)(cid:55)(cid:241)(cid:242)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42){ 2 < < 2 }(cid:96)(cid:3)(cid:152) (cid:31)(cid:75)(cid:148)(cid:52)
( + +2)( )>0(cid:31)(cid:44)(cid:233)(cid:31)(cid:142)(cid:233)(cid:68)(cid:147)(cid:138)(cid:13) (cid:31)(cid:186)(cid:53)(cid:187)𝑓(cid:188)𝑥(cid:96)(cid:219) (cid:226) 𝑥∣𝑎 −4𝑎 𝑥 𝑎 −8 𝑥
𝑥 A𝑎(cid:136)[2+𝑥−62,+ ) 𝑎B(cid:136) ,2] [2+ 6,+
C(cid:136)(2,2+ 6]∞ D(cid:136)(−2,∞3] ∪ ∞
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:50)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:28)
(cid:22)(cid:218)6(cid:28)(cid:219)2024·(cid:220)(cid:221)(cid:279)(cid:258)·(cid:181)(cid:222)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) = 2 +3(cid:68)(cid:147) +1)= (cid:136)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)6-1(cid:28)(cid:219)2024·(cid:229)(cid:221)(cid:221)(cid:280)·(cid:181)(cid:222)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)𝑓((cid:13)𝑥) −𝑥=−2𝑥 >0)𝑓(cid:68)(𝑥 = (cid:68)(cid:147) = (cid:136)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)6-2(cid:28)(cid:219)2023·(cid:89)(cid:236)(cid:281)(cid:89)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:155)(cid:238)(cid:282)𝑓(𝑥(cid:206))(cid:31)(cid:283)𝑎𝑥(cid:284)−𝑏(cid:133)(𝑎S(cid:219)cm2(cid:226)𝑓((cid:68)𝑓((cid:285)𝑥)(cid:286)) (cid:287)4(cid:133)𝑥−130cm(cid:68)𝑓(cid:285)(2(cid:160)) (cid:31)(cid:24)(cid:133)h
(cid:219)cm(cid:226)(cid:68)(cid:147)h(cid:3)(cid:152)S(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:3)(cid:178)(cid:52)(cid:96) (cid:136)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)6-3(cid:28)(cid:219)2024·(cid:220)(cid:221)(cid:279)(cid:258)·(cid:35)(cid:222)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:233)(cid:157) = ( )| ( )= 2 ( + ) + R (cid:68)(cid:30)(cid:13) ( )= 2
.(cid:155)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:234)(cid:235)(cid:10)(cid:106)(cid:288)(cid:145) ( ) (cid:68)(cid:289)(cid:117) 𝐴 R(cid:68)𝑢(cid:154)𝑥(cid:176)𝑢 (𝑥 )=𝑎𝑥 −( )𝑎+ 𝑏(𝑥)(cid:68)𝑏(cid:147),𝑎,𝑏(∈)(cid:31)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:158)𝑓 (cid:131)𝑥 (cid:96) 𝑥 .
−(cid:219)1(cid:168)(cid:124)(cid:35)(cid:197)𝑔(cid:234)𝑥(cid:235)(cid:165)(cid:166)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:44)𝑢(cid:51)𝑥(cid:52)∈(cid:217)𝐴(cid:158)(cid:226) 𝜆,𝜇∈ 𝑢 𝑥 𝜆𝑓 𝑥 𝜇𝑔 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:47)(cid:48)f(g(x))(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:28)
2
(cid:22)(cid:218)7(cid:28)(cid:219)2023·(cid:251)(cid:252)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )= ( 0)(cid:68)(cid:147) ( )=(cid:219) (cid:226)
2
1−𝑥
1 𝑓 1−𝑥 1 𝑥 𝑥≠ 𝑓 𝑥
A(cid:136) ( 0) B(cid:136) ( 1)
( )2 ( )2
𝑥−1 −1 𝑥≠ 𝑥−1 −1 𝑥≠4 4
C(cid:136) ( 0) D(cid:136) ( 1)
( )2 ( )2
𝑥−1 −1 𝑥≠ 𝑥−1 −1 𝑥≠
2
(cid:22)(cid:115)(cid:52)7-1(cid:28)(cid:219)2024(cid:24)(cid:238)·(cid:239)(cid:240)·(cid:26)(cid:21)(cid:241)(cid:242)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )= ( 0)(cid:68)(cid:147) ( )=(cid:219) (cid:226)
2
1−𝑥
1 1 𝑓 1−𝑥 𝑥 𝑥≠ 𝑓 𝑥
A(cid:136) ( 0) B(cid:136) ( 1)
( )2 ( )2
𝑥− 4 1 −1 𝑥≠ 𝑥− 4 1 −1 𝑥≠
C(cid:136) ( 0) D(cid:136) ( 1)
( )2 ( )2
𝑥−1 −1 𝑥≠ 𝑥−1 −1 𝑥≠
(cid:22)(cid:115)(cid:52)7-2(cid:28)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:263)(cid:290)(cid:291)(cid:292)·(cid:231)(cid:232)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:234)(cid:235)(cid:10) 1 = 2+ 1 (cid:68)(cid:147) ( )(cid:31)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:133)
2
(cid:219) (cid:226)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥−𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
A(cid:136) ( )= 2+2 B(cid:136) ( )= 2
C(cid:136)𝑓(𝑥)=𝑥2+2( 0) D(cid:136)𝑓(𝑥)=𝑥2 ( 0)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)7𝑓-3𝑥(cid:28)(cid:219)𝑥23-24(cid:24)𝑥(cid:35)≠(cid:160)·(cid:268)(cid:258)(cid:266)(cid:293)·(cid:231)(cid:118)(cid:226)(cid:30)(cid:13)𝑓 (𝑥 )(cid:234)𝑥(cid:235)−(cid:155)2 (𝑥≠( ))= +3， ( )= +1(cid:68)(cid:147) ( )=
(cid:219) (cid:226) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 9𝑥 𝑔 𝑥 3𝑥 𝑓 𝑥
A(cid:136) ( )= B(cid:136) ( )=3
C(cid:136)𝑓(𝑥)=3𝑥 +10 D(cid:136)𝑓(𝑥)= +12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8𝑓 𝑥(cid:30)(cid:13)2(cid:53)7𝑥(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:28) 𝑓 𝑥 27𝑥
(cid:22)(cid:218)8(cid:28)(cid:219)2024·(cid:268)(cid:258)(cid:294)(cid:16)·(cid:238)(cid:222)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) = 1 (1 2),(cid:147)(cid:30)(cid:13) = + 2)(cid:31)(cid:53)(cid:42)(cid:133)(cid:219) (cid:226)
𝑓(𝑥) 𝑥 ≤𝑥≤ 𝑔(𝑥) 2𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥
5 9 1
A(cid:136)[3,2+2 2] B(cid:136)[ ,3] C(cid:136)[ ,3] D(cid:136)[ + 2,3]
4 16 2
(cid:22)(cid:115)(cid:52)8-1(cid:28)(cid:219)2024·(cid:268)(cid:92)·(cid:238)(cid:222)(cid:226)(cid:30)(cid:13) = 2(cid:31)(cid:53)(cid:42)(cid:133)(cid:219) (cid:226).
A(cid:136)[ 2,4] B(cid:136)[0,4] 𝑦 𝑥− C4(cid:136)𝑥−[𝑥0,2+2 2] D(cid:136)[ 2,2+2 2]
2−2 1 2−2 1
(cid:22)(cid:115)(cid:52)8-2(cid:28)(cid:219)2008·(cid:89)(cid:236)·(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:21)(cid:226)(cid:155)(cid:30)(cid:13) = (cid:31)(cid:53)(cid:42)(cid:96)[ ,3](cid:68)(cid:147)(cid:30)(cid:13) = + (cid:31)(cid:53)(cid:42)(cid:96)
2
𝑦 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
1 10 510 10
A(cid:136)[ ,3] B(cid:136)[2, ] C(cid:136)[ , ] D(cid:136)[3, ]
2 3 2 3 3
(cid:22)(cid:115)(cid:52)8-3(cid:28)(cid:219)2024·(cid:88)(cid:89)(cid:274)(cid:295)·(cid:238)(cid:222)(cid:226)(cid:155)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:234)(cid:235) ( ) ( < )(cid:68)(cid:40)(cid:41) (cid:31)(cid:132)(cid:296)(cid:53)(cid:133) ( )(cid:31)(cid:53)(cid:42)
(cid:297)(cid:113)(cid:68)(cid:147)(cid:227)(cid:83)(cid:30)(cid:13)(cid:118)(cid:53)(cid:42)(cid:297)(cid:113)(cid:75)(cid:133)2(cid:31)(cid:96)(cid:219) 𝑓 (cid:226)𝑥 𝑎≤𝑓 𝑥 ≤𝑏 𝑎 𝑏 𝑏−𝑎 𝑓 𝑥
A(cid:136) ( )=cos +1 B(cid:136) ( )= + 2
𝑓 𝑥 2𝑥 𝑓 𝑥 32𝑥2 1−𝑥
C(cid:136) ( )=| | | | D(cid:136) ( )=
3𝑥 2𝑥
−
𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 𝑓 𝑥(cid:54)(cid:55)(cid:30)𝑥 − (cid:13)(cid:56)𝑥−(cid:57)1(cid:58)(cid:27)(cid:28) 𝑓 𝑥 +
2 >0
(cid:22)(cid:218)9(cid:28)(cid:219)2024·(cid:260)(cid:261)(cid:287)(cid:298)·(cid:238)(cid:222)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) = (cid:68)(cid:147) ( )=(cid:219) (cid:226)
+ 0
𝑥
,𝑥
𝑓(𝑥) 𝑓 −3
𝑓(𝑥 2),𝑥≤A(cid:136)1 B(cid:136)2 C(cid:136)4 D(cid:136)8
(cid:22)(cid:115)(cid:52)9-1(cid:28)(cid:219)2024·(cid:229)(cid:221)(cid:230)(cid:220)·(cid:181)(cid:222)(cid:226)(cid:179)(cid:82)(cid:68) (cid:96)(cid:286)(cid:287)(cid:133)2(cid:31)(cid:299)(cid:238)(cid:282)(cid:206)(cid:68)(cid:300) (cid:301)(cid:152)(cid:302)(cid:303) =
(cid:219)0 2(cid:226)(cid:304)(cid:305)(cid:31)(cid:82)(cid:206)(cid:31)(cid:283)(cid:284)(cid:133) ( )(cid:136)(cid:147)(cid:30)△(cid:13)𝑂𝐴=𝐵 ( )(cid:31)(cid:116)(cid:306)(cid:82)(cid:46)(cid:96)(cid:219) (cid:226) △𝑂𝐴𝐵 𝑥 𝑡
≤𝑡≤ 𝑓 𝑡 𝑦 𝑓 𝑡
A(cid:136) B(cid:136)
C(cid:136) D(cid:136)
2 1
(cid:22)(cid:115)(cid:52)9-2(cid:28)(cid:219)2024·(cid:89)(cid:236)(cid:258)(cid:307)·(cid:35)(cid:222)(cid:226)(cid:237)(cid:30)(cid:13) ={ (cid:68)(cid:155) (cid:96) (cid:31)(cid:132)(cid:296)(cid:53)(cid:68)(cid:147)(cid:138)(cid:13) (cid:31)(cid:186)(cid:53)
+ >1
|𝑥−𝑎|
,𝑥≤
𝑓(𝑥) 𝑓(1) 𝑓(𝑥) 𝑎
(cid:187)(cid:188)(cid:133)(cid:219) (cid:226) 𝑥 1,𝑥
A(cid:136) B(cid:136) C(cid:136)[1,2] D(cid:136)[1,+
[−1,2) [−1,0] ∞1)
(cid:22)(cid:115)(cid:52)9-3(cid:28)(cid:219)2023·(cid:263)(cid:290)(cid:157)(cid:308)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:40)(cid:41)(cid:117) (cid:160)(cid:31)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:234)(cid:235) ( +1)= ( )(cid:68)(cid:309)(cid:79) [0,1)(cid:185)(cid:68) ( )
2
𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥
3
= | |.(cid:79) [ + )(cid:185)(cid:68) ( ) (cid:68)(cid:147) (cid:31)(cid:132)(cid:296)(cid:53)(cid:133)(cid:219) (cid:226)
32
1− 2𝑥−1 𝑥∈ 𝑚, ∞ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑚
27 29 13 15
A(cid:136) B(cid:136) C(cid:136) D(cid:136)
8 8 4 4
(cid:35)(cid:59)(cid:71)(cid:20)(cid:21)
1(cid:136)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:160)(cid:310)(cid:311)(cid:312)·(cid:231)(cid:232)(cid:226)(cid:131)(cid:227)(cid:82)(cid:206)(cid:118)(cid:68)(cid:75)(cid:96)(cid:30)(cid:13)(cid:82)(cid:46)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)A(cid:136) B(cid:136)
C(cid:136) D(cid:136)
2(cid:136)(cid:219)2023·(cid:89)(cid:236)(cid:281)(cid:89)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:249)(cid:150)(cid:30)(cid:13)(cid:118)(cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:34)(cid:35)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)
A(cid:136) = 2 1)(cid:68) = B(cid:136) = (cid:68) = 2
2 1
𝑥(𝑥 +
𝑓(𝑥) 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥
2
C(cid:136) =1(cid:68) = D(cid:136) = (cid:68) =
∘ 𝑥
3(cid:136)(cid:219)20
𝑓
2
(
3
𝑥
·
)
(cid:268)(cid:258)(cid:313)
𝑔
(cid:293)
(𝑥
·(cid:222)
)
(cid:223)
𝑥
(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:30)(cid:13) = +
𝑓(𝑥
(cid:31)
)
(cid:40)
𝑥
(cid:41)(cid:42)
𝑔(
(cid:96)
𝑥)
(cid:219)
𝑥
(cid:226)
A(cid:136)(0,1) B(cid:136)[0,1] 𝑦 𝑥 C(cid:136)1[−0𝑥,+ ) D(cid:136){0,1}
4(cid:136)(cid:219)2024·(cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:198)·(cid:181)(cid:222)(cid:226)(cid:47)(cid:48) ( )(cid:106)(cid:152)(cid:288)(cid:145) (cid:68) ∞ (cid:314)(cid:128) ( + )= ( ) ( )(cid:68)(cid:309) 1 =2(cid:68)(cid:147) (4)=
2
(cid:219) (cid:226)
𝑓 𝑥 𝑥,𝑦∈𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 ⋅𝑓 𝑦 𝑓 𝑓
A(cid:136)4 B(cid:136)8 C(cid:136)64 D(cid:136)256
5(cid:136)(cid:219)2024·(cid:92)(cid:93)(cid:294)(cid:315)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )= 4 2 (cid:68)(cid:147)(cid:106)(cid:288)(cid:145)(cid:138)(cid:13)x(cid:68)(cid:30)(cid:13) ( )(cid:31)(cid:53)(cid:42)(cid:96)(cid:219) (cid:226)
2 2 1
𝑥
A(cid:136)(0,2) B(cid:136)(0,2] 𝑓 𝑥 C(cid:136)[ 𝑥 0, + 2) D(cid:136)[0,2] 𝑓 𝑥
6(cid:136)(cid:219)2023·(cid:89)(cid:236)(cid:281)(cid:89)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) = ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)[ ](cid:68)(cid:147)(cid:30)(cid:13) = (2 2 )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)
(cid:219) (cid:226) 𝑦 𝑓 𝑥 −1,5 𝑦 𝑓 𝑥 −1
A(cid:136)[0,3] B(cid:136)[ ] C(cid:136) 3, 3] D(cid:136)[ ]
2 <1,
7(cid:136)(cid:219)2024·(cid:260)(cid:261)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)
−
(cid:47)
3
(cid:48)
.3
( )=
[−
(cid:155) ( )=1(cid:68)(cid:147)(cid:138)(cid:13)
−
(cid:31)
3
(cid:53)
,0
(cid:133)(cid:219) (cid:226)
𝑥−1 1.
2 ,𝑥
𝑥
A(cid:136)1 B(cid:136)4 𝑓 𝑥 ,𝑥C≥(cid:136)1(cid:149)4 𝑓 𝑎 D(cid:136) 𝑎 2
8(cid:136)(cid:219)2024·(cid:220)(cid:221)·(cid:181)(cid:222)(cid:226)(cid:179)(cid:82)(cid:141)(cid:85)(cid:68)(cid:316)(cid:60) (cid:117)(cid:286)(cid:287)(cid:133)1(cid:31)(cid:299)(cid:80)(cid:206) (cid:31)(cid:286)(cid:160)(cid:317) (cid:143)(cid:316)(cid:68) (cid:84)(cid:85)(cid:316)(cid:60)
(cid:159)A(cid:60)(cid:124)(cid:318)(cid:141)(cid:319)(cid:199)(cid:31)(cid:320)(cid:189)(cid:68) (cid:84)(cid:85) 𝑃(cid:31)(cid:283)(cid:284)(cid:68)(cid:147)(cid:30)(cid:13) = 𝐴(𝐵𝐶)(cid:31)𝐷(cid:116)(cid:306)(cid:82)(cid:321)𝐴(cid:96)→(cid:219)𝐵→ 𝐶 (cid:226)→(cid:136)𝐷 𝑥 𝑃
𝑦 △𝐴𝑃𝐷 𝑦 𝑓 𝑥A(cid:136) B(cid:136)
C(cid:136) D(cid:136)
(cid:181)(cid:59)(cid:122)(cid:20)(cid:21)
9(cid:136)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:263)(cid:290)(cid:322)(cid:263)·(cid:231)(cid:118)(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:323)(cid:81)(cid:118)(cid:299)(cid:324)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)
2 5
A(cid:136)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:132)(cid:296)(cid:53)(cid:133)2
2 4
𝑥 +
𝑓 𝑥 𝑥 +
B(cid:136)(cid:155) > > >0(cid:68)(cid:147) <
𝑏 𝑏+𝑚
𝑎 𝑏 0,𝑚 𝑎 𝑎+𝑚
C(cid:136)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:31)(cid:53)(cid:42)(cid:133)( ,2) (2,+ )
2𝑥−3
D(cid:136)(cid:30)(cid:13) 𝑓 ( 𝑥 )= 𝑥−1 +1(cid:94)−∞(cid:30)(cid:13) ∪ ( )= ∞ 2 (cid:133)(cid:34)(cid:35)(cid:197)(cid:30)(cid:13)
10(cid:136)(cid:219)2024·
𝑓
(cid:239)
𝑥
(cid:240)·(cid:35)(cid:222)
𝑥−
(cid:226)
1
(cid:237)
⋅
a
𝑥
(cid:133)(cid:202)(cid:13)(cid:68)
𝑔 𝑥
=
1 𝑥
+
−1
= + (cid:68)(cid:147)(cid:219) (cid:226)(cid:136)
2
𝑓(0) ,𝑓(𝑥 𝑦) 𝑓(𝑥)𝑓(𝑎−𝑦) 𝑓(𝑦)𝑓(𝑎−𝑥)
1
A(cid:136) =
2
𝑓(𝑎)
1
B(cid:136) = (cid:169)(cid:325)
2
𝑓(𝑥)
C(cid:136) + =
D(cid:136)𝑓(cid:234)(𝑥(cid:235)(cid:165)𝑦(cid:166)) (cid:31)2𝑓(𝑥)(cid:75)𝑓((cid:326)𝑦)(cid:35)(cid:197)
11(cid:136)(cid:219)2024·(cid:268)(cid:258)(cid:327)(cid:293)𝑓(·𝑥(cid:222))(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:83)(cid:328)(cid:21)(cid:118)(cid:68)(cid:299)(cid:324)(cid:31)(cid:96)(cid:219) (cid:226)
1,当 >0时
| |
A(cid:136)(cid:30)(cid:13) ( )= (cid:94) ( )= 0,当 =0时 (cid:84)(cid:85)(cid:34)(cid:35)(cid:30)(cid:13)
𝑥 当𝑥 <0时
𝑣 𝑥 𝑥 𝑢 𝑥 𝑥
B(cid:136)(cid:30)(cid:13) ( )= 2 +2(cid:94)−(1,)=𝑥 2 +2(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:30)(cid:13)
C(cid:136)(cid:30)(cid:13)𝑣=𝑥 ( 𝑥)(cid:31)−(cid:82)2𝑥(cid:46)(cid:94)(cid:302)𝑢(cid:303)𝑡 =2𝑡0−242(cid:31)𝑡 (cid:82)(cid:46)(cid:329)(cid:122)(cid:128)(cid:35)(cid:197)(cid:330)(cid:60)
𝑦 𝑓 𝑥 𝑥D(cid:136)(cid:30)(cid:13) ( )=| | (cid:68)(cid:147) 1 =0
2
(cid:238)(cid:59)(cid:331)(cid:332)(cid:21) 𝑓 𝑥 𝑥−1 −𝑥 𝑓 𝑓
12(cid:136)(cid:219)2024·(cid:161)(cid:333)(cid:258)(cid:334)·(cid:238)(cid:222)(cid:226)(cid:30)(cid:13) ( )= 2(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133) .
16−𝑥
𝑓 𝑥 𝑥3−1+ 0
13(cid:136)(cid:219)2024·(cid:259)(cid:236)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48) ( )= (cid:68)(cid:155) ( )=29(cid:68)(cid:147) = (cid:136)
<0
𝑥 2,𝑥≥
14(cid:136)(cid:219)2024·(cid:268)(cid:258)(cid:327)(cid:293)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47) 𝑓 (cid:48)𝑥 (cid:30)(cid:13)−(3𝑥),(cid:31)𝑥 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133)( 𝑓 𝑚 ,+ )(cid:136)(cid:106) 𝑚 (cid:288)(cid:145)(cid:31) (cid:335)(cid:128) ( + ) ( )
=[ ( )+ ( )][ ( ) ( )](cid:68)(cid:309) (1)=2(cid:68)𝑓(𝑥2)=0(cid:136)(cid:147) (2−02∞3)+∞(2024)= 𝑥,𝑦∈(cid:136)𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥−𝑦
(cid:161)(cid:59)𝑓(cid:44)𝑥(cid:123)(cid:21)𝑓 𝑦 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑦 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
15(cid:136)(cid:219)2023·(cid:89)(cid:236)(cid:281)(cid:89)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:155) (cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:133) (cid:68)(cid:43) = +1)+ 2)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:136)
𝑓(𝑥) [−4,4] 𝑔(𝑥) 𝑓(2𝑥 𝑓(𝑥
1
16(cid:136)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:336)(cid:258)(cid:337)(cid:338)·(cid:256)(cid:55)(cid:241)(cid:242)(cid:226)(cid:47)(cid:48) ( )=3 2 (cid:68) ( )= .
2
(1)(cid:43) (1)(cid:68) (1)(cid:31)(cid:53)(cid:151) 𝑓 𝑥 𝑥 −1 𝑔 𝑥 𝑥+
(2)(cid:43)𝑓( (1)𝑔)(cid:68) ( (1))(cid:31)(cid:53)(cid:151)
(3)(cid:43)𝑓(𝑔)(cid:68) ( 𝑔)(cid:31)𝑓(cid:53)(cid:42).
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
0
17(cid:136)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:227)·(cid:339)(cid:310)(cid:236)(cid:274)·(cid:340)(cid:11)(cid:25)(cid:341)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) ( )= 1 (cid:68)(cid:309) (2)=0.
<0
𝑎𝑥−1,𝑥≥
(1)(cid:43) ( (0))(cid:151) 𝑓 𝑥 𝑥,𝑥 𝑓
(2)(cid:155)𝑓(𝑓 )= (cid:68)(cid:43)(cid:138)(cid:13) (cid:31)(cid:53).
𝑓 𝑚 𝑚 𝑚2
18(cid:136)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:89)(cid:257)(cid:257)(cid:270)·(cid:256)(cid:55)(cid:241)(cid:242)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13) = R)
𝑥 −3𝑥−𝑚
(1)(cid:155) =2(cid:68)(cid:43)(cid:138)(cid:13)m(cid:56) ( (5)+1)(cid:151) 𝑓(𝑥) 𝑥−1 (𝑚∈
(2)(cid:155)𝑓(2=)10(cid:68)(cid:43) ( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)𝑓(cid:42)𝑓(cid:151)
(3)(cid:155)𝑚( )(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)𝑓(cid:133)𝑥(1,+ )(cid:68)(cid:43)(cid:138)(cid:13)m(cid:31)(cid:186)(cid:53)(cid:187)(cid:188).
𝑓 𝑥 ∞
19(cid:136)(cid:219)23-24(cid:24)(cid:35)(cid:160)·(cid:263)(cid:290)·(cid:231)(cid:118)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:35)(cid:180)(cid:30)(cid:13) (cid:234)(cid:235) = +3.
(1)(cid:43) (cid:31)(cid:44)(cid:51)(cid:52)(cid:151) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑓(𝑥)) 𝑥
𝑓(𝑥) 1 1 1
(2)(cid:155) = 1(cid:68)(cid:43) + + + + )+ )+ + )(cid:31)(cid:53).
𝑥 2 2023 2022 2
𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)− 𝑔(1) 𝑔(2) ⋯ 𝑔(2023) 𝑔( 𝑔( ⋯ 𝑔(
